信息熵理论金融风险度量探究

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摘要：金融风险的发生不是一个单一线性的过程。金融系统的内部和外部的交互影响使其具有非常复杂的非线性特征。同时，金融风险存在“尖峰厚尾”现象，传统的金融风险模型假设金融系统的随机变量符合正态分布，这不能准确地度量金融风险。信息熵是一种对系统整体性的不确定程度的一种度量。本文从动态信息理论出发，通过随机动力学的态变量的几率密度的演化方程对金融风险进行动态度量,构建一种动态信息熵演变模型,为度量金融风险的动态演化过程提供了一种新的思路。

关键词：信息熵；信息熵密度函数；金融风险；随机动力学方程；动态信息理论

金融风险通常是指金融系统运行失常并且难于快速恢复系统的正常功能。从系统的角度出发可认为金融风险是一个金融系统从有序到无序的动态过程。非线性系统动力学认为金融风险是源于风险因子在金融系统中长期积累并达到系统的突变点或者阈值后集中爆发。金融风险的发生从时间维度来看是不可逆的，从空间维度看，具有复杂的多重因果反馈。主流的现代金融风险模型的理论基础是有效市场假说和风险分散化原理。主流的金融风险模型把风险分为系统性金融风险和非系统性金融风险并且假定风险的根源都来自系统外部。这种分析框架忽略了系统性金融风险所具有的内生性特征，而且没有考虑到金融系统与实体经济在风险演化过程中的相互作用的动态机制。金融风险的发生既有内生性的根源也有外部因素。外部因素包括金融系统与其他系统的相互影响例如金融风险的溢出效应，传染性等。金融风险的发生不是静态的，也不是线性的。因此，对金融风险的研究要从随机系统的角度出发可以更好地揭示金融风险的动态演化规律。目前应用比较广泛的金融风险量化方法主要是从数理统计出发。基于矩的风险度量方法假设系统的变量的总体分布函数为正态分布。基于矩的风险度量方法包括均值-方差模型等。虽然变量符合正态分布的假设使得量化风险变得简单并且容易操作，但这不利于分析金融风险的“尖峰厚尾”现象。基于分位点的风险度量如:VaR、CoVaR和ES等。这些方法的局限性在于没有从系统的角度出发研究金融风险。金融风险是一个随机游走过程，并且有很强的传染性以及会在非线性系统中漂移扩散。因此如何从时间维度和空间维度对金融风险进行建模并分析金融风险的时空演化路径是研究的难度。随机动力学系统中的信息熵是一个较好度量金融风险的方法。

一、信息熵用于度量金融风险的文献综述

Maasoumi（1993）从数理统计的角度分析了信息熵在衡量金融风险的离散和无序度方面比方差更有优势。Reesor（2001）认为相对熵更适合度量金融风险]。Gulko通过设定约束条件，结合最大熵原理论证最大熵函数能有效地优化资产定价模型。Ou.Jianshe（2005）认为增熵是度量金融风险的分析方法之一。杨丽娟，李兴斯（2010）指出累积剩余熵具有递增性，因此可以对金融风险进行预测]。张世晓,王国华(2010)从金融系统是非线性系统的角度出发构建了“金融熵”指标，适用于预测区域金融集聚系统的演化趋势。刘湘云，王阳，杨磊(2016)通过求解金融风险的最大熵函数对全球6个股市进行实证分析，证明了熵更好地拟合了金融风险的“尖峰厚尾”现象。信息熵在金融风险研究中得到了较快的发展，但是仍然存在局限性：（1）研究的角度比较单一和分散，没有从随机动力学系统的角度出发研究金融风险。（2）没有研究金融风险的时空交互影响机制。邢修三（2010）通过Fokker-Planck方程进一步建立了动态信息熵理论,本文利用邢修三的动态信息理论中关于信息熵演变理论对金融系统的信息熵的度量方法进行探讨。

二、信息熵度量金融风险

1.信息熵定义。Clausins于1865年首次提出熵的概念。熵一开始被称为热力熵，用于衡量热力学系统的整体无序度。热力熵是用于表征热力学的态函数。由于熵具有统计的特性后来熵发展应用于统计物理学中。熵在科学理论中占据了重要的地位，正如爱因斯坦说:“熵理论,对于整个科学来说是第一法则”。信息理论在现代得到快速发展。从信源发出的信号通过信道后到可接收到的信息量即通信效率如何衡量成为人们研究的课题。由于信息传递效率与信号源发出的信号在信道中被吸收的多少有关,而这种不确定性与熵的微观解释在思维方法上有类似的地方。申农认为可以通过统计学把信源的不确定与粒子运动的无序度进行。申农(shannon)提出的信息熵表达式如下。i1()-()ln()qiiHXpxpx==∑（1）其中,H代表信息系统的信息熵，xi是系统中的随机事件，Pi为随机事件的概率。信息熵是对系统整体无序度的度量，同样可用于度量金融风险。信息熵作为金融系统的风险测度有其独特的优势。从公式（1）可以看到，Shannon的信息熵的定义是静态的，没有把时间维度和空间维度结合起来。金融系统风险的起源、传染、积累和爆发是非常复杂的非线性演变过程，既有时间维度的风险，也有空间维度的风险。因此，金融风险要从内部度量又要研究金融系统与其他外部系统动态的漂移扩散等机制。动态信息理论的核心则是定量地表述这种演化规律的动态信息(熵)密度随时空和系统自身运动规律变化的非线性演化方程,即动态信息(熵)演化方程（邢修三，2010）。2.金融系统动态信息演化方程。由公式（1）可知，信息可以由一组随机变量表示。根据信息熵理论，信息熵既描述无序度的对象既可以是微观的，更可以是宏观的或者介观的。因此，代表金融系统风险即系统不确定性的信息符号可由一组随机变量表示。向量分析是指研究的向量的维度等于或者多于两个维度。向量分析拓宽了变量的维度，对动态信息理论的发展起了重要作用。本文对金融系统不做任何假定或者约束条件，这样可以对金融系统的风险测度更加接近实际情况。本文采用状态向量即一组态变量用于描述金融系统的随机状态，并且用可以表征时空维度的态变量或者状态向量取代Shannon静态信息理论中泛义的随机变量，这样即可以研究内部因素又可以研究风险在系统外部的传递性。例如，金融系统的波动对实体经济的传递；描述金融系统的状态和运动规律及其在坐标空间传递的概率密度的演化方程就是该金融系统的信号符号演化方程。金融系统包含货币系统、证券市场系统、金融市场系统、房地产市场等各种系统。系统自身的性质决定了态变量的性质和数目及其演化方程。例如，在研究股市风险的时候，股票市场既要随着系统自身内生的运动规律变化，同时，由于它处于开放的金融系统之中，作为信号符号又要在股票市场系统之外的其他金融系统（坐标空间）传递。这种传递在发生金融风险的时候也称为金融风险传染途径。因此，本文研究的金融系统动态熵风险测度模型中的态变量演化方程既包含态变量空间变化项又包含坐标空间传递项。简而言之，本文的金融系统态变量演化方程包含了金融系统的时空维度。为简单起见，本文以一个态变量的金融动力学系统为研究对象，例如证券市场的股票市场收益率。如上所述，金融系统的态变量抽象为信号符号。设a是态变量，t是a动态演化的时间,a1为态变量随t变化自身的速率,x1为态变量随t在坐标空间的传递速率，由于动力学系统自身和传递过程中会受到内外部因素的影响，因此a1与x1都具有漂移和扩散的特性（邢修三，2010）。由随机动力学(Haken,1983)可得知,下述Fokker-Planck方程可用于描述金融系统的态变量的几率密度p(a,x,t)在坐标空间的演化过程：2222(,,)(,,)(,,)[()(,,)][()(,,)]paxtpaxtpaxtAapaxtvBapaxtQtaxax∂∂∂∂∂=−−++∂∂∂∂∂（2）归一化条件∫p(a,x,t)dadx=1，方程（2）中的A(a)为金融系统的态变量a内在的风险积累的变化速率,B(a)代表态变量的扩散系数。v是a在坐标空间即整个经济系统和外部系统的漂移传染速率；B(a)是为扩散变化速率,Q是B(a)的扩散系数。p(a,x,t)dadx为t时在a和a+da间的态变量传递到空间坐标x和x+dx间的几率（邢修三，2010）。由定义可知a是表征金融系统的态变量,属于金融系统内部;x表征的是a在坐标空间的扩散传染路径,属于金融系统外部。因此方程(2)就是根据随机理论所给出的金融系统的态变量即金融风险的动态演化方程。

三、结语

信息熵是对系统的不确定性的度量。根据动态信息理论的随机态变量的演化方程可以对金融系统的不确定性即金融风险进行动态度量。若已知A(a),B(a),v和Q,就可以由方程(2)解出p(a,x,t)邢修三，2010）[8]。知道了p(a,x,t)就可以对金融系统的态变量从时间维度和空间维度进行描述，并且能够研究态变量在金融系统内的演化过程以及在金融系统外部的传染过程。

作者:曾晓华 袁持平 单位:中山大学新华学院