导数在经济中应用论文

导语：导数在经济中应用论文一文来源于网友上传，不代表本站观点，若需要原创文章可咨询客服老师，欢迎参考。

【摘要】导数在经济领域中的应用非常广泛，特别是在微观经济学中有很多具体的例子。掌握导数的基本概念和经济中常见函数的概念非常重要，把经济学中很多现象进行分析，归纳到数学领域中，用我们所学的数学知识进行解答，对很多经营决策者起了非常重要的作用。

【关键词】导数；变化率；边际；边际分析

高等数学的主要内容是微积分，微分学则是微积分的重要组成部分，而导数又是微分学中的基本概念之一，所以学习导数的概念并熟练掌握导数的应用尤为重要。导数的应用范围颇为广泛，比如在物理学中的应用，在工程技术上的应用，在经济学中的应用等等，今天我们就导数在经济中的应用略做讨论。

一、导数的概念

从数量关系而言，导数反映函数的自变量在变化时，相应的函数值变化的快慢程度——变化率（瞬时变化率）。从数学表达式而言，研究的是函数的增量与自变量的增量比的极限问题。

函数y=f(x)在某一点x0的导数表达式如下：

若函数y=f(x)在某区间内每一点都可导，则称y=f(x)在该区间内可导，记f′(x)为y=f(x)在该区间内的可导函数（简称导数），表达式如下：

二、经济中常用的函数

导数在经济领域中的应用，主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系，因此必须了解一些经济分析中常见的函数。

（一）价格函数

一般说来，价格是销售量的函数。生活中随处可见，买的东西越多，消费者砍价的幅度就可以大些。例如：某批发站批发1000只杯子给零售商，批发定价是20元，若批发商每次多批发200只杯子，相应的批发价格就降低1元，现在批发站杯子的存货只有2000只，最小的销量是1000只，求价格函数。

（二）需求函数

作为市场上的一种商品，其需求量受到很多因素影响，如商品的市场价格、消费者的喜好等.为了便于讨论，我们先不考虑其他因素，假设商品的需求量仅受市场价格的影响。即

Q=f(p)

其Q中表示商品需求量，p表示商品市场价格。

例如：某厂家从促进消费的需求考虑，对某空调的价格从3000元/台降到2500元/台，相应的需求量从3000台增到5000台，求需求函数。

（三）成本函数

成本包括固定成本和变动成本两类.固定成本是指厂房、设备等固定资产的折旧、管理者的固定工资等，记为C0。变动成本是指原材料的费用、工人的工资等，记为C1。这两类成本的总和称为总成本，记为C，即

C=C0+C1

假设固定成本不变（C0为常数），变动成本是产量q的函数（C1=C1（q)），则成本函数为C=C（q)=C0+C1（q)。

（四）收益函数

在商业活动中，一定时期内的收益，就是指商品售出后的收入，记为R.销售某商品的总收入取决于该商品的销售量和价格。因此，收入函数为

R=pq

其中q表示销售量，p表示价格。

（五）利润函数

利润是指收入扣除成本后的剩余部分，记为L.

L=R-C

其中R表示收入，C表示成本。

总收入减去变动成本称为毛利润，再减去固定成本称为纯利润。

三、导数在经济分析中的应用举例

导数是函数关于自变量的变化率，在经济学中，也存在变化率的问题，因此我们可以把微观经济学中的很多问题归结到数学中来，用我们所学的导数知识加以研究并解决。

在此我们就经济学中的边际和边际分析问题加以稍作讨论。

边际概念表示当x的改变量△x趋于0时y的相应改变量△y与△x的比值的变化，即当x在某一给定值附近有微小变化时y的瞬时变化。

若设某经济指标y与影响指标值的因素x之间成立函数关系式y=f(x)，则称导数f′(x)为f(x)的边际函数，记作My。随着y，x含义不同，边际函数的含义也不一样。

设生产某产品q单位时所需要的总成本函数为C=C(q)，则称MC=C′(q)为边际成本。边际成本的经济含义是：当产量为q时，再生产一个单位产品所增加的总成本为C′(q)。

类似可定义其它概念，如边际收入，边际产量，边际利润，边际销量等等。

经济活动的目的，除了考虑社会效益，对于一个具体的公司，决策者更多的是考虑经营的成果，如何降低成本，提高利润等问题。

例1某种产品的总成本C（万元）与产量q（万件）之间的函数关系式（即总成本函数）为

C=C(q)=100+4q-0.2q2+0.01q3

求生产水平为q=10（万件）时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看，继续提高产量是否合适？

解当q=10时的总成本为

C(10)=100+4×10-0.2×102+0.01×103=130（万元）

所以平均成本（单位成本）为C(10)÷10=130÷10=13（元/件）

边际成本MC=C′(q)=4-0.4q+0.03q2

MC│q=10=4-0.4×10+0.03×102=3（元/件）

因此在生产水平为10万件时，每增加一个产品总成本增加3元，远低于当前的单位成本，从降低成本角度看，应该继续提高产量。

例2某公司总利润L（万元）与日产量q（吨）之间的函数关系式（即利润函数）为L=L(q)=2q-0.005q2-150

试求每天生产150吨，200吨，350吨时的边际利润，并说明经济含义。

解边际利润ML=L′(q)=2-0.01q

ML│q=150=2-0.01×150=0.5；

ML│q=200=2-0.01×200=0；

ML│q=350=2-0.01×350=-1.5

从上面的结果表明，当日产量在150吨时，每天增加1吨产量可增加总利润0.5万元；当日产量在200吨时，再增加产量，总利润已经不会增加；而当日产量在350吨时，每天产量再增加1吨反而使总利润减少1.5万元，由此可见，该公司应该把日产量定在200吨，此时的总利润最大为：L(25)=2×200-0.005×2002-150=50（万元）

从上例可以发现，公司获利最大的时候，边际利润为零。

例3某公司生产某产品的成本函数和收入函数依次为，C(q)=3000+200q+(1/5)q2，R(q)=350q+(1/20)q2，其中q为产品的月产量，每月的产品均能全部销完，求利润最大的月产量应为多少？

解L(q)=R(q)-C(q)

=350q+(1/20)q2-3000-200q-(1/5)q2

=150q+(3/20)q2-3000(q>0)

L′(q)=150-(3/10)q

令L′(q)=0，得q=500

列表考查

由表格可以看出在(0,+∞)内只有一个极大值点，且L(q)是一个二次函数，根据生活中的实际规律可得，它就是最大值点。

所以，当月产量为500生产单位时，利润最大。

从上例我们可以证明，利润最大的必要条件是边际收入等于边际成本。

即由L′(q)=0，且L(q)-C(q)

得L′(q)=R′(q)-C′(q)=0，即R′(q)=C′(q),

MR=MC

例4某企业生产过程中需使用某种原材料。到外地采购一次这种原材料，要开销采购人员的工资、旅差费、手续费、运输费、检验费等，但每次采购的总的采购费用基本相同。原材料被采购回来后，除了被使用外，存放在仓库里，要开销保管费用，保管费用通常是采购批量、采购价格、保管费率三者乘积的一半，试求总费用最小的采购批量。

解设每年使用原材料的总量为Q，每次采购的批量为q，每次采购费用为k，则年采购次数为(Q/q)，每年的采购费用为(Q/q)×k。

又设该原材料的价格为p，保管费率是i，则库存费用为(1/2)·q·p·i，因此总费用为

C(q)=(Q/q)·k+(1/2)·q·p·i

求导得C′(q)=-(Q/q)·k+(1/2)p·i，令C′(q)=0，得。

这是所求的唯一值，根据生活的实际情况定有最小值，这唯一的点就是最小值点，所以当每次采购批量为时，总费用最小。

上例的结果，是理想化的瞬时送货的最佳库存模型，这个模型被广泛地应用于生产实际。

下面我们看实际的例子。

例5某企业生产使用某原材料100吨/年，每次采购的费用是1000元，每吨原材料的年库存费（材料价格与保管费率之积）为500元，如果材料消耗是均匀的，问应分几批采购，使总费用最小？

解设每次采购原材料q吨，则总费用为

C(q)=(100/q)·1000+(1/2)·q·500

C′(q)=-(100000/q2)+(1/2)500

令C′(q)=0，得（吨）

所以q=20当时，即每年分(100/20)=5（次）时，总费用最小。

以上本人就导数在微观经济学中的边际问题进行了讨论，导数在经济学中的应用颇为广泛，不仅此而已。从上面的例子可以看出，导数对于在经济学中边际问题的分析尤为重要，通过边际问题的分析，对于企业的决策者作出正确的决策起了十分重要的作用！