唯物主义思想分析论文

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【摘要】本文宗旨在于使“四色问题”的证明更公理化、系统化、严密化和科学化。并把证明上升到辩论唯物主义即马克思主义的辩证法哲学的高度，因为唯物辩证法是辩证法思想发展的高级形态。(我们在证明时用到了，对立统一即矛盾规律，量变到质变的规律和否定之否定规律)同时为了说明问题也深入到现象与本质的关系，因果关系，必然与偶然的关系以及时空观等一系列的基本范畴。

我们更要指出在研究“四色问题”的界的探讨时的一个逼近序列就是以我们中华民族的汉字“田”字为基本单位而加倍展开的没有哪个国家或民族的文字中有“田”字。这就说明中华民族的文明中早就蕴藏着“四色问题”的基本原理，只不过也吸收了别个国家的文明发扬而光大之。

【关健词】“四色问题”“五色问题”，贯穿曲线，欧拉(Euler)公式

Four-colorsolvetheproblem-thetextofdialecticalthinking

HuHanlin

【Abstract】Thisarticleaimstomake“four-colorproblem”provedtobemoreaxiomatic,systematic,rigorousandscientific.AndrosetothedebateprovedthattheMarxistmaterialistdialecticsofphilosophyandthehigh,becausethedevelopmentofdialecticalmaterialismisadialecticsofseniorformofthinking.(Weusecertificates,andtheunityofoppositesorcontradictionsinthelawofquantitativechangetoqualitativechangeinthelawandthelawofnegationofnegation)Toillustratetheproblematthesametimeintotherelationshipbetweenthephenomenonandessence,acausalrelationship,therelationshipbetweentheinevitableandaccidental,aswellasSpaceandTimeaseriesofbasicareassuchas.

Wealsowanttopointoutthatin“four-colorproblem”ofthecommunityanapproximationsequenceatthetimeoftheChinesenationisthecharacters“Tian”andthewordforthebasicunitofthevotetoredoubleWhichcountryornationintheText“field”word.ThisshowsthatthecivilizationoftheChinesenationhaslongbeenhiddenina“four-colorproblem”ofthebasicprinciples,butalsoabsorbedinothercivilizedcountrieshavemadeYangoftheChinaEverbright.

【Keywords】“four-colorproblem”;“coloredproblem”;throughoutthecurve;Euler(Euler)equation多元一次不定方程，多元一次齐次不定方程，非负整数解，容斥原理、匹配原理，藕合问题、错位问题。

我们这里研究的“四色问题”是属于数学科学，和其它自然科学一样，从问题的提出到问题的解决恰恰是一个在人类认识论中的一个飞跃，使人类的智慧又上一新台阶，解决一个世界性难题(或猜测)当然更是如此。谈到人类的智慧，笛卡尔认为哲学一词就是关于人类智慧的研究。而辩证法是关于普遍联系和发展的哲学学说(源出希腊语dialego意为谈话，论战的技巧)，后指和形而上学相对立的世界观和方法论。为了使我们对“四色问题”的研究更公理化、系统化、严密化和科学化。我们再引进一个马克思主义基础理论中的什么是“客观真理”，客观真理是人的认识所正确反映的不依赖人们意志为转移的客观内容。再我们讲：唯物辩证法即“马克思主义辩证法”是以自然界，人类社会和思维发展最一般规律的研究对象。是辩证法思想发展的高级形态。

有了以上马克思主义的基本常识才开始研究“四色问题”。

我们研究“四色问题”是从引进“贯穿曲线”后的“基本思想”开始的，而开头引出三个客观真理：Ⅰ．Ⅱ．Ⅲ．(即公理Ⅰ．Ⅱ．Ⅲ)

客观真理是人的认识所正确反映的不依赖人们意志为转移的客观内容：正如恩格斯说：“拿破仑死于1821年5月5日”就是客观真理。

则预备知识1、只需要对在任一顶点相交的国家都不多余三个的地图作证明。因为若在某一个点相交的国家超过三个如下图1、那么我们就可以别作一新地图除了围绕顶点的小国家外和原图一样，这点对于任何地图都可以这样处理，(所以是正确反映不依赖于人们意志为转移的客观内容。)那这个新地图比原图多一个国家的若干个顶点。但在顶点只有三个国家，相交的多余三个国家相交的点都被除掉了。如果对于每一个相交的多余三个国家的顶点都这样做，那么最后就有一张没有任何这种点新图。现在，如果我们注明了四色对于这种图就是足够了。(以后我们把国家改称为某区域)这就是我们的客观真理I(公理Ⅰ)（图1）

图1再在“四色”的地图(这里可染色的意思，是指没有2个有共同边界的国家是同一种颜色，但是只在角顶点相交的国家可以有同一种颜色，而且作为国家，我们是指连成一片的陆地，而不是由几个分离部分组成的政治单位。

贯穿曲线的定义：一次(或二次)性通过区域的两个边界的封闭曲线“贯穿曲线”可色含于一个或多个区域的子域内构成一个环(贯穿曲线用虚线表示)直到目前为此还没有人能举出一反例这种曲线作不出。所以是能正确反映不依赖于人的意志的转发转移的客观内容。这就是我们的客观真理Ⅱ（公理Ⅱ)。

我们再来谈一下“四色问题”证明的“基本思想”，首先谈“思想”。“一种思想”在马克思看来“即使是黑暗地狱中囚徒的思想比天堂的奇迹还更崇高。”这里讲到的囚徒不外乎是奴隶和无产阶级即是一无所有的劳动者吧，又…在马克思看来科学是一种在历史上起推动作用的革命力量。任何一门理论科学中的每一个新的发现(即新的思想)——它的实际应用图2也许还根本无法预见，都使马克思感到衷心喜悦。(怡然心悦)

(摘自：“恩格斯在马克思墓前演说”)而我创立的“贯穿曲线”的概念和方法就是在“拓扑学”“图论”和“组合数学”等中的新思想和新发现的方法，现在就谈谈“四色问题彻底解决”的新思想和新方法，理论的基本思想：我们先假定a、b、c、d、e为五种不同的颜色。如图2、一“贯穿曲线”它穿过的一串与周边相邻的是封闭环状区域，这些区域围绕着一个或多个区域为中心，环绕着它们的区域的颜色为底色，中心区域中总有一个子区域的颜色与底色b同色。因为用五色可以作有分辨能力的地图见(4)，若假定底色是b，则“贯穿曲线”穿过的封闭环状区域的每个相邻的区域不同色(否则难以作出五色图，我们在这里所说难以作出有五色图是指我们作出了五色图之后因上面若假设中心区域不含底色b的五色图，我们只要将底色b置换中心区域中的e色的子区域很快地得到四色图。因为该地图中没有e色)故在被上述的封闭环状区域间开。而这些区域只须a、c两色，至多用a、c或d三色染色。＊1这里边有一个说明，(作“贯穿曲线”后)的封闭环状区域的的子域个数为N，则1、N三0(mod2)才可能用a、c两色，这时因为只用a、c两色，故a、c两色在封闭环状区域中出现概率密度太大。我对许多地图进行了这样的染色很难作出四色图！2、N三1(mod2)则一是要用a、c、d三色染色，3、N三0(mod6)也应该用a、c、d三色染色，参见五色作图的证明中最关键的一个图(e)。

图3(e)图4它有二层封闭环状子域，外层的五个子域5三1(mod2)是用a、c、d三色染色而在内一层封闭环状子域的也是五个子域，5三1(mod2)是用b、c、d三色染色故我们在读书时在这点问题上要仔细和慎之又慎啊!我们再分三种情况加以说明(讨论)一、中心区域中至少有一色为b，而不含e，这样就把五色问题改为了四色(见图2)。二、如果中心部分包含e、而不含b(见上＊1的一个说明)则中心区域的第五色e改为b(见图4)则完成四色作图。三、如果中心部分色含b又包含e，则若e不与b相邻改b，若e与b相邻e改为a或c或d(图3)，一、二两种情况显然可证明，“四色问题”的结论。下面三(情况)为什么可经过上面的置换可得“四色问题”彻底(证明)解决呢?这也是问题的症结所在。即矛盾所在。根据马克思主义的

唯物辩证法事物的内在矛盾是事物发展的动力。现在来看我们创立的“贯穿曲线”的理论是怎样解决这一矛盾的。

首先我们应该指出证明用的是形式逻辑学中的简接证法(简接证法分两种方法:①是反证法;②是同一法)。我们的证明是用反证法。何为反证法，是证明命题的等效命题是正确的(即逆否命题是正确的)指战略上的方法：因为证明“四色问题”与证明“五色定理”不但方法相似，而且要用到“五色定理”所以用现有的基本定理和公理先证明一下“五色定理”。与之对应的，在战术上有五种具体的方法：由否定结论ABC而C不合理，或与本科公理抵触；或与前此定理不相容；或与本题己知条件冲突；或与临时性假设违背；或自相矛盾。我们选择即与前此定理不相容(即与五色定理矛盾)

再看在引进“贯穿曲线”后在复原图形的过程中后来的图形与原来的图形在四色的性质保持不变，因为(i)将“贯穿曲线”向四方扩张，直到图形边界为止，其实这就是拓扑学中的同胚变换（homeomorphism)即拓扑变换。(ii)经过区域的颜色与“贯穿曲线”每段的内侧颜色相同。故这样一来贯穿曲线的内侧的颜色，①使相邻的两子域不同色，②又是构成一个封闭的环状图这样一来复原图形后和原图形一样，不但没有增加任何颜色，而且保持仍是四色(即只要四种颜色就可以作出可分辨的地图就与以上图(e)一样)迄今为止还没有一个人，对图(e)作出“贯穿曲线”后再用上法复原图形会得不出原地图和四色图来。所以是不能正确反映不依赖于人们意志为转移的客观(内容)即方法!这就是我们的客观真理III(公理III)有了上面所述的内容我们罗列一下公理和引进“贯穿曲线”后的“基本思想”和有关定理。

三个客观真理Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，即公理(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)。

定理1，欧拉(Euler)公式[4]V+F-E=2(1)且注意V、F、E均为非负整数。

定理2，[2]关于多元一次，不定方程

a1x1+a2x2+……+anxn=N(2)

其中a1，a2，……，an，N均都是整数，n≥2并且不失一般性我们可以假定a1，a2，……，an均不为零，则(2)式有整数解的充分与必要条件是(a1，a2，……，an)=d｜N，即(a1，a2，……，an)｜N系1、若在(2)中含a1=n，a2=n-1，……，an=1N≥0(且n≥2)

则(2)1nx1+(n-1)x2+……2xn-1+xn=N

因d=(n、n-1……1)=1符合有解充要条件

所以d｜N故(2)是有非负整数解

系2、若N=0(2)’变为一次齐次不定方程n≥2

nx1+(n-1)x2+……2xn-1xn=0故只有零解，x1=0，x2=0，x3=0……xn=0

回顾一下“五色”和“四色”的证明(这里a1>0，a2>0，……ai>0，i=4，N=12>0)

“五色”证明：由3V=2e和2e=2f2+3f3+4f4+5f5+6f6+……

很容易得出4f2+3f3+2f4+f5=12+f7+2f8+…(3)

参见[4]M且4f2+3f3+4f4+f5=12(3)’

若f6≠0f2=3,f3=0,f4=0,f5=0

f2=0,f3=4,f4=0,f5=0

f2=0,f3=0,f4=6,f5=0

f2=3,f3=0,f4=0,f5=12

四个数组均不为，多元一次不定方程(3)’的非负整数解且12>0但据定理2的系1d=(4、3、2、1)=1所以，d｜12，则(1)’一定有解、矛盾!这是第一次否定，至少肯定得出有一个地图的边界的顶点数少于6。

“四色”证明由3V+4V＝2（e+3V）=2E

和2e=2f2+3f3+4f4+5f5+6f6+……

及F=f2+f3+(f4+V)+f5+f6+……

很容易得出

4V+4f2+3f3+2f4+f5=12+f7+2f8+……(4)

且4V+4f2+3f3+2f4+f5=12(4)

则(4）”是多元一次不定方程1<V≤3

若令V＝3（4）”变成了4f2+3f3+2f4+f5=0即变成了多元一次齐次不定方程

根据定理2的系2则d=(4、3、2、1）＝1所以d｜0一定有解（非负整数解)且N＝0只有零解则f2=0,f3=0,f4=0,f5=0

作贯穿曲线后仍是一个地图f5≠0但若故0＋0＋0＋f5≠0矛盾！

这是第二次否定！至少得到肯定得出有一个地图的边界上的顶点数少于5。

这第二次否定：①我们否定f6≠0,所以解f6=0；②我们又否定f≠0,这二次否定即辩证唯物主义的第三个规律：否定之否定定律，是不是终而复始呢！恰恰相反是螺旋上升，由只要5色，减少到只要四色，观点更高了，达到肯定四色结论的正确，便能使客观自然的地图染色规律与我们主观认识由基本(近似)符合到完全符合。简言之我们人类的认识由必然王国到自由王国至少是在地图染色问题上是这样。

因为一，我不是想吹捧自己，尽跟一些著名的科学家匹美二，我也不是穿凿附会，恩格斯在“马克思墓前演说”中说过……马克思还发现了现代资本主义生产方式和它所产生的资产阶级社会的特殊的运动规律。由于剩余价值的发现，使之就豁然开朗了起来，而先前无论资产阶级的资产经济学家或者社会主义批评家所做的一切研究都只是在黑暗中摸索。

我在研究“四色问题”中引进地图的“贯穿曲线”的概念，也使之“四色问题”的研究豁然开朗起来。用与证明“五色问题”极其相似的方法彻底证明了“四色问题”。在这之前的理论数学家和计算数学家都是在黑暗中摸索而已。在1976年和1977年美国的两位计算数学家阿佩尔和哈肯，用电子计算机对“四色问题”进行了证明，但受到世界上一些数学家这样或那样的非议，暂且不谈，有一点是可以肯定的，是人类开始用电子计算机证明世界难题获得了一定成就。但还有一点，早在中世纪的欧洲常将逻辑称为辩证法，经院哲学将辩法变成环琐的论证和诡辩。所以我们可以这样说(从哲学的角度)环琐的论证，就可称为环琐哲学或经院哲学，这意味着人类智慧的倒退。

牛顿说过：“如果我所见的比笛卡尔远一点，那是因为我站在巨人们的肩上的缘故。”牛顿的这句话蕴藏着很深刻的必然和偶然的关系，原因与结果的关系，再就是时间和空间(时空观)等一系列基本范畴。因为牛顿处在英国(伊丽纱白女皇)正是资本主义的上升时代，而英国当时是最发达的资本主义国家。他站在那些巨人的肩上，无外乎指笛卡尔(descartes1596－1650)德国，费尔马(Fermat1601—1665)法国，莱布尼兹(Leibniz1646－1716)德国，欧拉(Euler1707－1783)瑞士等数学家，物理学家和天文学家等科学家的基础上。牛顿这样伟大的科学家当然有他独特的发现，但有些发现却都是在他前面所说的科学家的巨人的基础上，看起来是偶然的结果但都有他必然性的原因。

同样我为什么比牟比乌斯看得远一些，也是因为我站在一些数学家(巨匠)的基础上，如欧拉(Eulerl1701－1783)瑞士，牟比乌斯（Mobius1790－1868)德国，希伍德(Sherwood)德国，西尔维斯特（Syevester1814－1897)英国，蒙特莫特(Montmorh)的基础上，而西尔维斯特在组合数合中创立了“容斥原理”，这是计数法中一个重要原理，有了这个原理，和蒙特莫特，在1708年首先提出并解决了藕合问题。才把组合数学中的“匹配”概念，藕合(或相亲)(problemeclesrencontres)重排(derangement)亦称“(或错位”。等“藕合”A知“错位”B有关系：

S＝A∪B且A∩B中＝Φ所就有｜S｜=｜A｜+｜B｜。得

｜S｜－｜A｜=｜B｜＝n!-n!(1-11!+12!-……+(-1)n-11n！

故｜B｜=n!(12!-13!+……＋（－1）n1n!)=n1∑ni=0（-1）1i！（和谐地写为)

要知上面的公式怎样得来的怎样用在四色问题上，下面作以下叙述：

问题的提出。“四色问题的彻底解决”一文，以后称文章[1]中得出的定理，在任意地图都只须用四种颜色作图的前提下，子区域为n(即任意区域的子区域的个数)的地图必有一种四色的染图1(1)色方法。

以我国2003年高考试题为例(理工医农类(15)为例1，某城市在中心广场建造一个花园，花园分为6个部分(如图1)，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种且相邻的部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有图2120种(以数字作答)。

略解：P14P15P33=120即当n=6时的条件下，有120种四色的染色方法。

例2，如图2，下述的图的染色方法有288种方法。

略解：P14P16P33P12=288

即n=7时的条件下有288种四色的染色方法等等。

也即是说在子域个数为6或7…等等。有120种方法

、288种方法，…等等。也即有一百多种染包或二百多种染色的方法，…等等，而且都是有比较大数目的染色方法。

所以用四种颜色染色只须一种方法是一个必要条件，仿佛自然界有特大的浪费，有几百种，几千种…甚至于更多的方法。都只要其中的一种就够了。也就是说，四色问题是一个显然可以也解决的问题，而且须要方法对头的话。

这里有一个声明，即打招呼，也就是象计算机联网那样，在图论中我们往往把具有相同顺序的排列视为一种排列(一种图)，如作贯穿曲线形的环状封闭区域尤其是这样。但在四色问题中，因为是地图，涉及到地翟的方位。故属不同排列。如图3

图3不按环状区域算，则有P44=24种，即在四色问题中是这样算的。

如果按环状区域算，P44／4＝6种，而在图论中是这样算的。而我们以(3)，的方法为例，在解放前设a为红色表解放区，b为绿色为国民党统图3（2）治下的白区，c为黄色(日寇占领区)即沦陷区，d为白色东三省日伪区。

就只有这种地理位置的方位，任何一种环状排列改变了它们的政治地理的位置而视为同一种图实属荒谬。

现在为了进一步研究，在一个有n个子域的地图，可用四种颜色染色的基础上，到底有几种染色的方法的界的问题。我们引进子域标准图。为若干正方形方格。又设Cn＝B［4·2n-22］,如上6个区域和7个区域为4<6或7≤16，则B0（4）≤c′1或c′2≤B(16)c′1和c′2分别为6和7个子区域的用四色的染色方法数)。即6个出区域和7全子区域时染色方法数的上、下界，当然是4种颜色都出现的上下界问题。引进标准趋近图是一群若干个正方形方格。以“田”字为单位加倍展开。

图4……等等。C1=B0(4),C2=B(16),C3=B(64),C4=B(256),……,Ck=B[4·2k-2)2],…….

有了这些预备知识，我们转而来研究：

（i)“容斥原理”(principleofinclusionandexclusion).

引理1容斥原理：把集合A分为子集A1，A2，…An即

A=A1∪A2∪…∪An,则：

｜A｜=｜A1∪A2∪…∪An｜=∑1≤i≤n｜Ai｜-∑1≤i≤j≤n｜Ai∩Aj｜+∑1≤i≤j≤k≤n｜A1∩Aj∩Ak｜+……+(-1)n｜A1∩A2∩……An(1)

证明见[2]

(ii)“耦合问题”和“错位问题”，也即“相遇问题”（problemedesrencontres)和“更列”或“重排”问题(derangement).

引理2和引理3，即耦合问题和错位问题。

有甲乙两副纸牌，各有n张编号，自1至n的牌，把牌洗过，然后配成n对，每对甲乙牌各1张，如果同一对的两张同号，就说有1个相合。

（1）至少有一个相配的配牌方法有多少种？

（2）没有相合的配牌方法有多少种？

设所有配牌方法的全体记为S，满足(1)，（2）的配牌方法全体，依次为A,B。则有S=A∪B,A∩B=Φ。则

引理2（即耦合问题）problemedesrencontres

｜A｜=c1n(n-1)!-c2n(n-2)!+c3n(n-3)!+…+(-1)n-1cnn!0

=(n!)(11!-12!+13!-14!+…+(-1)-11n!(2)

引理3（即错位问题）derangement

｜B｜=(n!)(12！－13！＋14！－15！＋…＋（－1）n1n!)

（和谐地写为)＝n!∑ni=0（-1）i1i！（3）

证明见［3］和［4］

例3在8×8格的国际象棋盘中，用8种颜色染色，要使具有公共邻边的格子染上不同的颜色，并且使水平顺序的每一格八种颜色都出现。问有多少种染色方法？

见图(4)3略解与提示：

分任意染色的方法为八步：第一层横格染上各种颜色，第二层横格染上各种颜色，……，第八层染上各种颜色。在第一步显有8！种可能性，而后下列每步里可能性的种数用前面引理3即错位原理中的公式：

B（n)=(n!)(12!-13!+14!-15!+…+(-1)n1n!)

B（8)=(8!)(12!-13!+14!-15!+…+(-1)818!)=14833

故答案方法有C8=8!×148337种。

看来染色问题中每一格代表一个区域，有多少子区域，类同。而8种颜色的错位，即射映着4种颜色的相邻的两个子区域的不同色。即文章［1］中的附注*即有分办能力的图，指相邻边界的图象，或区域染不同的颜色。这样才构思出Cn=B[(4×2n-2)2]（4）

情况1：用a,b,c,d四种颜色染色的问题（对“田”字正方格的染色。

见图(4)1n=1时，C1＝B0（4）＝B［(4×20)2］＝B(16）的计算为

B（42）＝4！B30（4）＝4！（4！∑4i=0(-1)ii!=4!×93=17496

情况3：在8×8正方格纸上用四种颜色，使每格与相邻的格图5不同色，用上面情况2，如下图5,这是第一步，在位于右上角的4×4的一个正方形的子域上。

第二步将4个4×4的正方形格子，同步旋转4下得到的图形仍为每格与相邻格不同色的四色图

C3＝B［（4×2）2］＝B(64)=4B(16)=424!B30（4）

C4＝B［（4×2）2］＝B(256)=4B(64)=434!B30（4）

Cn＝B［（4×22n）2］＝B(22n)=4n-14!B30（4）

∵B0(4)=4!(4!∑4i=0×(-1)ii!)3=4!×93=17496

∴CN=∑nk=1Ck=4!B30(4)(1+4+42+……+4n-1)=17496∑k-1i=04i

（顺便检查一下后得到）定理在有N个子区域的地图上N即在(4×2k-2)2<N<(4×2k-1)2。它的四色染色的方法数的上、下界可能是17496∑ki=04i≤CN≤17496∑k+1i=04i。

然而“四色问题”的彻底证明就此画上了一个圆满的句号！正像在物理、化学……等自然科学中的定律或公式除了在理论上证明是正确的之外还要用实验来检验和核对是正确的。从正面我的在理论上是正确的外，还要从计算中计算出“四色问题”是正确的如B(42)===B(16)=4！1B30(4)=4！(4！∑4i=0（－1）i1i!)3=4！×93=17496(种)即16块子域可能有17496种四色的染色的方法，数学上的计算便是实践上的检验。正如周兴龙教授与我合写的“超越数的哲学史话”一文也是从两方面证明超越数的存在的：一方面是柳威尔(Liouville)1844年代数无理与超越无理数存在着区别的基础上发现了一种超越数a110+a2102!+a3103!+……，其中ai是0到9之间的任意整数。另一方面康托(cantor1845-1918)从集论中发现代数无理数是一个可列集，故给了超越无理数在数轴上占一个相关大的空间，才证明了超越数的存在。……数学中这些。“四色问题”，π，e是超越这些真理，有什么意义呢?我们用中世纪阿拉伯的医学家、哲学家、自然科学家的伊本·西拿(ibnsina，980-1037)拉丁名阿维森纳(Avicenna)曾这样说过(大意是)“……那些帝王将相和救世主们，随着时间的推移化作历史的尘埃吹得无影无踪。而只有那永恒的真理和劳动人民创造的绩却永受烈日的曝晒和疾风的狂飚。……”

诗歌二首

(一)赠中科院科技情报中心《中国数学文摘》编辑部主任冯玉明同志

诗一首(七律)

悲痛欲绝送母归，百感俱淡万念灰。

不忍目睹妻儿泪，就此作罢调头回。

党的召唤似春雷，中华儿女哪能退。

“四色问题”彻底解，神州大地尽朝晖。

(二)《攻破“四色难题”有感》(七律)

华人学子好风采，太平盛世树英才。

锦涛书记来关怀，艰难险阻只等闲。

“四色问题”彻底解，人类智慧上台阶。

历尽磨艰论文在，千古绝唱中华来。参考文献

［1］胡含琳《四色问题的彻底解决》文中内容的进一步充实中国科学院国家科学图书馆，中国数学文摘［J］，2007年12月5日

[2]胡含琳《关于多元一次不定方程的行列式解决》中国科学院科技情报中心的中国数学文摘[J].1993年7卷5期19～20页

[3]胡含琳《四色问题界的探讨》——“四色问题彻底解决”一文续中国科学院文献情报中心的《中国数学文献数据库》光盘(2004版)上[J].

[4][德]汉斯·拉德梅彻，奥托·托普利茨著·左平译.数学欣赏[M].北京出版社，1981年

[5]胡作弦.数学在你身边[M].中国华侨出版社，1995年

[6]谷超豪.数学词典[M]，上海辞书出版社，1995年

[7]李蔚萱.图论[M].湖南科学技术出版社，1980年

[8]RoberAMelter．ProblemsinCombinatoricsandGrapheory[M]．Buchayest.RomaniaAwilgintersciencePublication,1985．