天道崇美·人性好美

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一、黄金分割研究史

古希腊人朴素的自然科学研究影响西方文化和文明的发展，他们重视分析、分解、假设、推理、推导、实验、验证等思维方式。这与东方重视整体、模糊处理、直觉综合、和谐大同、“仁者爱人”等思维方式和思想有明显的差别。胡适在“中国的文艺复兴”一文中说“当孟子在对人性的内在美德进行理论探讨时，欧几里德正在完善几何学，正在奠定欧洲的自然科学的基础。”这种说法不全面，东方的中华文明有过比西方更辉煌的历史，但在五百多年来，西方经历了继承希腊的文艺复兴和工业革命，使科学和技术快速发展，而中国因封建统治和闭关锁国等原因而衰落。现在应该撷取东西方文明的长处，把它们整合起来，创建中华夏兴。

“科学中的美和美的科学”，早期属于自然哲学，自古希腊人开始研究，至今约有2500年。古希腊人喜欢抽象研究。抽象研究又分为逻辑推理研究和形象推理研究，后者所用的工具有直尺和圆规。代数和平面几何为两者的典型代表。

古希腊人曾提出这样一个问题：“一根棍从哪里分割最为美妙？”答案是：“前半段与后半段之比应等于后半段与全长之比”。设全长为1，后半段为x，此式即成为(1-x):x=x:1，也就是X2+X-1=0。其解为：。棍内分割只能取正值，此值就是著名的黄金分割比值G,G=0.618033988≈0.618。

而且G(1+G)=1，即G和(1+G)互为倒数。

偏有一些古希腊人想用形象方法解决黄金分割问题，并获得漂亮的结果。欧几里德（约公元前330-257年）总结了前人的经验和研究成果，编著了《几何原理》十三卷。这是世界上最早用公理方法叙述的数学著作。其中所载的黄金分割几何问题已引起广泛的兴趣，在科学、艺术、建筑、技术各领域有着广泛的应用，哲学家和美学家也曾反复讨论，不断有文章发表。（可阅《美感》，许康，2000）

螺旋在大自然中到处存在，从银河系外的螺旋星云，到地球上的台风、龙卷风、贝壳、动物的角，植物的攀缘，小至生物遗传基因等等。它们中有些令人恐惧，有些令人愉悦，有些令人迷惑不解，但都引起人们的研究兴趣。最早研究螺旋的乃是古希腊人阿基米德（公元前287-212年）。他的主要贡献是发观扛杆原理、浮力原理和阿基米德螺旋线。（可参阅《贝壳的自然史》、《对称》、《生命的曲线》等中文书籍）

自然界的形成、运行、演化、生长、繁衍、消亡等都是有规律的，有些物体可以直接感到自然美，但更多的物体令人迷惑不解。我们深信“天道崇美”，但需要人去探究，揭露其规律，使人感受到深层次的自然美和科学美。这就是“因人而彰”。本文介绍和探讨黄金分割律，就是想梳理和探讨这种自然美和科学美。人有爱美的天性，而且人本身也是很精美的。“天道崇美，人性好美”有普遍性，无论是天然物品还是人工制品，形态的丑陋必然表明其功能的缺陷，而某些功能的完美，往往伴随着美的外形。探讨黄金分割律可能对西方的思维方式和对美的认识有所帮助。

二、葵花子模特儿五角星

这里，举三个例子说明存在黄金分割律和分割值。

1、葵花子

葵花子在花盘上的排列呈螺旋线，有顺时针方向和逆时针方向，葵花子就生长在两列螺旋线的交叉点上，见图1。花盘上有21列逆时针，34列顺时针；或34列逆时针，55列顺时针。其它如菠萝表皮上的疙瘩（见图2），斜向左下方的有8列，向右下方的有13列。松树果球的鳞片也有螺旋状排列，向左下或右下有5列，反向为8列；也有各为8列和13列的。这些奇怪的数字之间又有什么关系？原来它们都属于费波纳契(Fibonacci)数列。它的规则很简单，前面邻近两项之和就是下一项(a[,n]=a[,n-1]+a[,n-2])。如令a[,1]=1,a[,2]=2，就可以写出费波纳契数列为：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,……这些数列有一个特点，就是前项被后项除(a[,n-1/a[,n])，其值从第八项以后均接近0.618。可以严格证明，当n很大时，a[,n=1]/a[,n]等于黄金分割值G。原来这些天然生长的螺旋列均与黄金分割有关联，怪不得这样有序、和谐。直到上世纪末才有人证明，这样有序排列可以使同样面积上排列最多的种子和疙瘩数。但这些植物怎样知道和控制这些有序生长呢？

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2、模特儿

人的本身是很精美的。模特儿要长得比例匀称和谐。匀称的人，肚脐应是他（她）的黄金分割点。黄金分割问题引起许多艺术家的兴趣。例如达·芬奇在《绘画论》中称之为“神圣比例”，认为美感完全建立在各部分之间的比例上，各要素必须同时发生作用才能奏效。

要讨论这个问题，还得从黄金分割值G谈起。令Φ=(1+G)，则Φ[1]=0+Φ=1.618,Φ[2]=1+Φ=2.618,Φ[3]=1+2Φ=4.236,Φ[4]=2+3Φ=6.854,Φ[5]=3+5Φ=11.090,Φ[6]=5+8Φ=17.944,Φ[7]=8+13Φ=29.034,Φ[8]=13+21Φ=46.979,……;Φ[0]=1.000,Φ[-1]=-1+Φ=0.618,Φ[-2]=2-Φ=0.382,Φ[-3]=-3+2Φ=0.236,Φ[-4]=5-3Φ=0.146,Φ[-5]=-8+5Φ=0.090，……这里又反复出现费波纳契数。

图3示出一位艺术家所研究的模特儿的各部分的比例关系，可以看出各部分有美妙、和谐的比例，肚脐以上和以下的比例为(Φ[1]+1+Φ[1]+Φ[2]+Φ[3])/(Φ[4]+Φ[5])=11.090/17.944=0.618。可见这个模特儿多么合乎黄金分割规律，真是美妙之极。实际上，人的比例与此会有偏离，人们也不必为此而怨天尤人。

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图3一位艺术家的模特儿（引自《生命的曲线》第597页）

3、五角星

新中国成立以后，人们都钟爱五角星，因为国旗上有五颗五角星。2300多年前古希腊人就已知道用直尺和圆规求解黄金分割值G和制作五角星。此法被欧几里德编入《几何原理》。这里，简单介绍求G值和画五角星的方法。

先画一个正方形ABCD（见图4a），找出AB的中点E，画直线EC，并在AB的延长线上找出F，使EF=EC，即可找到BF/AB=G和AF/AB=1+G。（用勾股弦定律即可证明）。设正方形的每边长为1，则BF=G≈0.618。

再以B为圆心，画通过A、B的圆（见图4b），三角形BCF的每边CF、BC和BF就是这个圆的内接正五边形、正六边形和正十边形的边长。如以C为起点，在圆周上找出五等分点，就可画出五角星，如图4b所示。这就是2300多年前古希腊人画五角星的方法。

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中国人重视对称美，北京的故宫建筑就具有庄严的对称美。通过五角星的顶点和圆心画一条直线，此直线就是镜像左右对称线。此种镜像对称线可画五条。另一种对称称为旋转对称。以五角星的中心为轴，每旋转72β(360β/5)即可与原图重合，可重复五次，称为五重对称。五角星由直线和尖角组成，具有庄严阳刚之美。如将尖角换成花瓣，则成为五瓣花朵，如梅花、桃花等，就具有妩媚温柔之美。图5Ⅰ、Ⅱ给出两朵五瓣花（引自《对称》图39），其中Ⅰ是天竺葵，它具有五重旋转对称和镜像对称；Ⅱ是草本长春花，它只具五重旋转对称。

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三、螺旋

天道崇美，螺旋在大自然中到处存在，通常体现自然美。在工业产品中更是常见，如螺丝钉、螺旋桨、钟表发条等等。这里，对动植物中常见的螺旋和科学实验中出现的螺旋作简略介绍。

1、数学螺旋

除了前面提到的阿基米德螺旋线（ρ＝αθ）外，还有一种叫等角螺旋线，也叫对数螺旋（ρ＝e[αθ]），1638年笛卡尔首先研究）。它普遍存在于自然界、建筑设计和艺术创作中。它们都属于平面螺旋。如将ρ随θ再与Z轴发生联系，使Z轴成为螺旋轴，便构成立体螺旋。

这里介绍一种由长方形形成的特殊螺旋。在图4a中介绍了BFC三角形的画法，如补上同样的倒三角形，即可得一个奇妙的长方形AFHD，如图6所示。这就是黄金分割长方形。如果有人将这个长方形的一端剪去正方形ABCD，遗下的仍是相似的长方形；如此，原则上可无穷尽地重复剪下去，形象地体现了无穷级数的概念。如当初令正方形的边长为1，则长方形的面积为1×(1+G)，其值为Φ。所有剪下的正方形，其面积各为1,Φ[2],Φ[4],Φ[6],Φ[8],……其总和即为当初长方形面积。

可以看出这些小方块以逆时针方向作螺旋排列，见图6。这些螺旋不是光滑曲线，而是跳跃式前进的。如将第一块小方块取在右上方，则可得顺时针方向的螺旋。一般称前者为右（手性）螺旋，后者是左（手性）螺旋。两者呈镜面对称。所有螺旋都有手性，这是普遍的。

如将8块此种长方形和一个正方形组成一个图形（见图7）。此为幸福的标志，已在一些国家出现，并有较长的历史（见《生命的曲线》203-209页）。在1750年乾隆年间制作的一个红漆小盒上，几乎画满这种小图形。

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2、生物螺旋

螺旋普遍地存在于生物体，用途各不相同，形式各种各样。最引人入胜的是贝壳（可参阅前面引过的书籍），这里仅引用一张，见图8，它们具有手性，即右旋和左旋。

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图8

图8a活体纺锤螺（右旋），8b化石纺锤螺（左旋）（《生命的曲线》188页）

另一种美丽的螺旋是动物的犄角，它们往往长成左、右对称。这里也引用一张，见图9。

在攀缘植物中常利用螺旋状卷须，它们可以是右旋转，也可能是左旋转的。

3、物理螺旋

在材料的晶体生长中可能出现螺旋位错，它们影响材料的性能。

最近，北大纳米研究中心研制出硅氧化物的螺旋和双螺旋，见图10a和10b，这些双螺旋的细致结构还不清楚，它与下面要讨论的双螺旋有什么关系呢？

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4、圆周的黄金分割

前面已经讨论过将圆周角360°做5、6、10等分，可制作（或说明）各种美丽的图形，如五角星、雪花等等。现在，从直线的黄金分割，联想到圆周是否也有黄金分割？英国人丘奇在说明植物生长的螺旋结构系统与黄金分割数的关系时指出：2π/Φ[2]（即137°30′27.95″）是黄金分割角度。在非对称枝条或叶子植物生长的情况下可以观察到。

四、双螺旋——生命的曲线

《科学中国人》杂志于2002年12月发表了我写的“天道崇美·人道颂勤—纳米相薄膜的生长”，描述了无生命的一些艺术图像，并作了分类讨论。下面针对有生命的纳米世界中的美进行讨论。纳米科技是1－100纳米尺度范围内的科学和技术。地球上的生命现象起源于此尺度范围。

《生命的曲线》的原版出版于1914年，1979年Dover出版社未加修订，重新出版。中文本根据此版翻译。这本书有许多精美的插图和资料，对“自然美和科学美”有吸引人的叙述。此书不足之处是在出版时没有补上“双螺旋”这一章。上世纪五十年代脱氧核糖核酸(DNA)双螺旋模型的发现与相对论和量子力学理论一起成为20世纪的三大发现。它解开了生命遗传之谜，从此掀起了遗传基因的研究热。这里，从“天道崇美”的角度加以介绍和讨论。

上世纪四十年代底，有三支队伍在向DNA进军，其中最年轻的一组是剑桥卡文笛许实验室的沃森和克里克。1953年元旦刚过，他们就制造出一个新模型，在两股糖与磷酸组成的双螺旋链(L[,1]、L[,2])之间夹着碱基对。当时已知的碱基有四种：腺嘌呤(A)、鸟嘌呤(G)、胞嘧啶(C)和胸腺嘧啶(T)。当A与A和T与T相对接，可以符合已知的数据，但因碱基分子大小不同，使两条螺旋骨架扭曲。沃森陷入了沉思，认为自然界DNA应该有简洁、和谐及美的结构，不可能如此丑陋。他终于把模型拆开，按长短搭配，让A和T及G和C配对。这样装配的模型具有舒展自如的和谐美，而且符合A和T及G和C数目各相等的要求。DNA结构之谜从此解开。沃森和克里克写了一篇“核酸的分子结构—脱氧核糖核酸的结构”发表在1953年4月英国《自然》杂志上。今年是这篇50周年。这篇短文只有一页多一点，上有一张DNA结构图（见图11a）。该结构由双螺旋链L[,1]L[,2]和两种碱基对（横杠）A-T、T-A和G-C、C-G从L[,1]到L[,2]连接起来，排列成特殊的旋转梯状。所有DNA双螺旋都是右手螺旋，但由于与碱基横杠匹配的关系，L[,1]和L[,2]原子排布的序列方向正好相反。所有横杠都落在垂直于螺旋轴的平面内，两邻面之间的距离为0.34纳米。相邻横杠的相对夹角为36°，因此由十根依次排列的横杠构成一周期，即螺距为3.4纳米。双螺旋模型螺旋链至其轴的距离为1纳米，其外径为2纳米，实际原子排列的外径略大于2纳米。

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人的DNA分子全长约有1.8米，所含碱基横杠就有54亿条之多。这么长的DNA分子只能折叠起来放在一个细胞内。一个人的基因，是其中的一段，约有2000条横杠。

实际上，横杠A-T是由二个氢键连接起来，C-G由三个氢键连接起来，见图12ab。由于氢键较弱，DNA双螺旋有可能像拉链一样从中间断开。在细胞繁殖的时候，这根双螺旋从一端开始拆分成两条，各成为寻找配对的模子，在浮游于细胞核内的分子中找到新伴侣，例如A与新的T结合，G与新的C结合。这样，就形成两条与原来DNA一模一样的复制品。这就是生命遗传的方式。如果DNA在复制过程中出一点意外，就会造成物种的突变或病变。

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与DNA双螺旋链L1或L2相连的有四种分子单元A、T、C、G，著名学者薛定谔认为每次取出其中三个构成一组，这样排列组合，便成为携带大量遗传信息的遗传基因。目前进行的基因测序，就是要解开由此四种单元写成的无字天书。各种物种都有各自的基因排列，造成物种的多样性；也造成个体之间的区别，即可识别。

在解开DNA的谜之后，人们陆续发现核糖核酸分子(RNA)、多肽、蛋白质等分子也有螺旋结构。在得出DNA结构之前，沃森就提出“中心法则预测”：“DNA→RNA→蛋白质”。“→”表示信息流方向，即遗传基因控制了生物的生长。后来发现了反向转录酶，有可能改造基因排布，但在常规情况下中心法则还是正确的。

沃森和克里克的这篇论文不足1000字，从总体上解开了遗传之谜。沃森、克里克和威尔金斯一起获得了1962年诺贝尔医学和生理学奖。

本文作者用画法几何的方法把双螺旋链和横杠与五角星联系起来，彰显DNA与黄金分割的关系，说明生物生生不息与美有多么奇妙的关系。作者将沃森和克里克在英国《自然》（171卷(1953)737-738页）上的插图看成是该模型在平行于螺旋主轴的侧面投影，见图11a，再画其与螺旋轴垂直平面上的投影，即顶视图，如图11b所示。大圆是双螺旋链的投影，中心是螺旋轴的位置。图11a上的0、1，到10是作者标定横杠的序号。0号位于L1和L2侧视交叠处，此横杠在投影图上仅是一点。此点离螺旋轴的垂直距离为0.69纳米。在顶视投影图上，以旋转轴为圆心，以0.69纳米为半经画圆（见图11b），此圆的最右边的点就是0号横杠应通过的点。从此点开始将此圆周分成十等分，并将这些等分点以逆时针方向标上序号1到10。依次在每个等分点画该圆的切线，线的两端终止于双螺旋的投影圆。这些直线就是所有横杠在顶视图上的投影。其两端标志的L[,1]、L[,2]表示从螺旋链L[,1]出发到螺旋链L[,2]为止，使两螺旋链固定。从投影图可以看出横杠长度都是一样的，即1.42纳米；相邻横杠之间的角度均为36°。如在小圆等分点2、4、6、8、10各点之间连接直线，即得正五角星，如图11b所示。所有横杠都可以找到与它平行的五角星的边。在顶视投影图11b中，横杠排列为十重旋转对称，而五角星为五重旋转对称。当从横杠1开始以逆时针方向依次读数前进时，与它们对应的五角星平行边以隔数跳跃方式顺时针方向前进。在对横杠读数一周期时，在相应的五角星上要转两圈。当读数到下一段螺旋的横杠时，五角星的平行边将继续以跳跃式方式前进。只要双螺旋绕其轴前进，就可以对任何一根横杠找到其对应的五角星的边。

前面曾经讨论过用几何作图方法画五角星，而五角星又与黄金分割有密切联系。老天爷（指大自然）怎么会想到参照五角星创造出奇妙的双螺旋链和横杠呢？这是一个多么简单、和谐而又舒展的模型，并在旋转轴附近留有可供人类利用的空间。多么奇妙的生命世界！

五、结束语“公务员之家有”版权所

本文已对黄金分割的研究历史作了梳理，并终止于DNA双螺旋，大致可以看出东西方思维方式的差异。地球上，“大千世界，芸芸众生，忙忙碌碌，悠悠自得，战争与和平共在，和谐与美丽长存。”作者把老子在《德经》（四十二章）所说的“道生一，一生二，二生三，三生万物”，去其头一句，改‘三’为‘四’，即“一生二，二生四，四生万物”，并用来描述“芸芸众生”。这样，既有科学严谨性，又符合美学原理，具有总体的简单性和个体的复杂性的辩证关系。对地球上生物来说，“只有一种双螺旋，生有两种碱基横杠，并可拆分为四种分子单元，它们的排列组合衍生出万物。”实际上，地球上有170万种生物，其中微生物约10万种，植物约30万种，动物约130万种（见《生命的曲线》第630页）。每时每刻有物种消亡，也有新物种产生。目前，消亡数目大于新生数目，令人担忧。提倡“天人合一”，使人类与大自然和谐相处，既保护了生态环境，也保护了人类自己。我们要纪念50年前沃森和克里克对DNA双螺旋的发现，使我们对“芸芸众生”有新的理解，也促进了当前和今后生命科学和生物技术的蓬勃发展。

附：建议北京有一座双螺旋模型安放在中关村，它是高新科技园区的标志，但它没有横杠，无法体现遗传特性。建议北京市人民政府在2008年举办奥运会之前，以沃森的模型为基础，以站立起来的中国人的“人”字为形象，重新设计建造。“人”字的上部是完整的双螺旋，下部是横杠已拆开的两股螺旋链，站立在基座上。基座上刻有DNA的投影图，即大圆、横杠和五角星。它既是区标，又是科普建筑，符合“人文奥运”的精神。