南宋农业发展对数学的作用

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摘要：南宋时期人口的南迁为农业发展引入了先进的工具和生产经验，朝廷的一系列利农政策以及大兴水利等措施促使农业得到了迅猛发展，但不规则耕田等问题的出现促使数学发生变革以适应社会的需求。本文在搜集相关文献的基础上，对杨辉所著《田亩比类乘除捷法》做出剖析，论述了这一时期农业发展对数学的影响，并总结了数学发展过程中所形成的特点。

关键词：南宋；农业发展；数学；田亩比类

乘除捷法杨辉，字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，南宋著名数学家及数学教育家。约在13世纪中叶至后半叶活动于苏、杭一带。其一生著作颇丰，共撰有数学著作5部21卷，即《详解九章算法》12卷、《日用算法》2卷、《乘除通变本末》3卷、《田亩比类乘除捷法》2卷、《续古摘奇算法》2卷［1］(P57)。此前，学界对杨辉算书中所蕴含的数学思想这一问题的研究已取得了显著成果，但在农业对数学发展的促进作用这一问题上，却关注甚少。目前搜集到的相关研究论文只有吕变庭的《杨辉算书与南宋社会经济诸关系初探》以及《试论〈杨辉算法〉与南宋经济领域中的几个计量数学问题》等少数文章涉及到了对该问题的研究，但是这些文章也只是从经济史的角度对杨辉算法进行了论述。而在这些成果之中，对有关农业发展对杨辉算法在研究过程中起到的作用却涉猎不多，甚至可以说，有关农业对于南宋时期数学发展的影响，学界重视程度仍然不高。

一、南宋时期农业发展状况及其对数学的新要求

在正式论述南宋农业发展对数学起到的影响之前，先简要地概述一下南宋时期农业的发展状况。从时代背景上讲，自靖康之变以后，中原地区受到金军、元军的先后入侵，“敌骑所在，唯务杀戮生灵，劫掠财物，驱掳妇人，焚毁舍屋产业”［2］(P661)，“敌纵兵四掠，东及沂、密，西至曹、濮、兖、郓、南至陈、蔡、汝、颍、北至河朔，皆被其害。杀人如刈麻，臭闻数百里。淮、泗之间，亦荡然矣”［3］(P67)。种种野蛮的行为使得原先生活在此地的人民被迫踏上了流亡的道路。在南方地区由于还存在着由宋高宗赵构所创建的南宋政权，众多因饱受战火之苦的农民便向南迁移，开始了艰苦的异地求生之路。史书中所记载的“建炎之后,江浙、湖湘、闽广,西北流寓之人遍满”［4］(P71)、“中原士民，扶携南渡，不知其几千万人”［5］(P982)以及“高宗南渡,民之从者如归市”［6］(P1997)便是对这一现象的生动描述。受此移民浪潮的影响，南方地区人口开始大量增加，仅江南西路和福建路的人口就分别净增了40余万户和30余万户。这些南迁的人口在为江南地区劳动力提供了充分保障的同时，对农业技术发展也起到了推动作用。本文对史书记载的数据进行统计分析后发现，仅在主要农作物单位面积产量方面，南宋时期就比隋唐时期提高了两到三倍。而造成这种现象的原因与这些南迁人口是密不可分的。这些南迁的人口中很大一部分是具有丰富生产经验的农民以及受过系统教育的官员。这些人来到江南地区以后，在增加了劳动力的同时，还从中原地区带来了先进的生产技术和生产工具。在南宋以前，尽管江南地区的农业生产已经比较发达，但相较于北方来说，无论是生产工具还是生产技术仍处于落后的状态。像犁铧、铁耙、弯锄等工具的使用，虽然在北方已经得到了普及，但在南方地区还未受到重视。伴随着人口的大量南下，这些先进的生产工具也开始在南方地区得到了应用。除了这些先进的生产工具来到江南地区以外，南迁人口还从北方带来了“精耕细作,深耕熟薅”等农业生产理念。正是在这些因素的共同影响下，劳动者们结合长江以南农耕地区的实际生产经验写出了《农书》《全芳备祖》《梅谱》等一系列具有划时代意义的农学著作。在官方层面，南宋政权也采取了一系列积极的措施来促进农业的发展。为了安置南迁的流民，采取了“招诱农民,归业者振贷之,蠲欠租,免耕牛税”［7］(P1908)，“听两淮避兵民耕种所在闲田”［8］(P236)等措施来帮助其复业，并且为了将这些政策落实到位，还将“立残破州县守令劝民垦田及抛荒殿最格”［9］(P238)等政策纳入到官员政绩考核标准之中。此外，为了解决旱涝问题，南宋统治者还大举兴修水利设施，不仅修复了许多因战争而遭到破坏的水利建筑，还修建了大量新的水利设施，据统计，仅在淳熙七年（1180）江东地区就修筑了22400余所。在这些政策的影响之下，大量荒地被开垦出来，耕地面积大为增加。南宋资政殿学士知潭州魏良臣在给皇帝的奏章中写道:“本州民间开耕荒田七十八万余亩。”［10］(P2120)诸如此类的奏章还有很多，这也正是对当时耕地面积大量增加的真实写照。“苏湖熟，天下足”这句谚语便最早出现在了南宋时期，据《元史》记载，在元朝初期，饱受战乱的江浙行省虽然只是元代十个行省中的一个，但是在岁粮收入方面却占了全国总收入的37.10％，江浙地区因此也成为了中国农业最为发达的地区。农业的飞速发展，也推动了南宋商业经济的繁荣。由于生产力和生产效率的提高，农村产生了大量的剩余劳动力。再加上北宋时期颁布的《皇祐官庄客户逃移法》在南宋时期也被很好地保留了下来，这就使得相当数量的农民可以脱离土地的束缚，进入城市。与其他朝代不同的是，两宋时期的统治者打破了以前历代统治者奉行的“重农抑商”观念的束缚，确立起了“农商并重”的国策，并采取了一系列的惠商、恤商的政策措施来促进商业的发展。随着南迁逃难人口来到江南地区的还有大量的北方商人，这些商人也从战乱地区带来了雄厚的资金以及灵活的生产经营手段［11］(P31)。正是在这些因素的共同影响下，以南宋都城临安为代表的商业城市迅速地繁荣起来。经济基础决定上层建筑，社会经济发展所处的状况决定着该时期的数学发展能够达到的层次和水平。正是随着南宋农业的发展以及工商业的繁荣，当时的社会也开始对数学提出了新的要求。首先，在赋税征收方面，社会开始对数学提出了新的要求。由于耕地与赋税关系密切，丈量田亩并根据面积大小来确定赋税的征收额度是官府税收的主要工作。然而南宋农民在开垦土地的过程中，以水田、圩田、梯田等为代表的众多特殊土地利用的存在虽然大大增加了耕地的面积，但也为当时的数学计算提供了新的难题。正如《田亩比类乘除捷法》上卷第十八题所载：“今有牛角田一段，角长一十六步，口阔六步，问田几何？答曰：一百一十四步。”［12］(P185)该题所反映的正是南宋农民在开垦土地过程中，由于受环境条件的限制，其开垦出来的耕地形状不再是规整的，而是类似于牛角一样的形状。罗愿在《(淳熙)新安志》卷二《叙贡赋》中也记述道：“殆十数级不能为一亩。”［13］(P20)反映的便是山田在开垦过程中受自然条件的局限非常之大，人们只能因地制宜，开垦出来的田块通常十分的窄小并且形状也不规整，不再是原来的矩形、圆形等规整的图形。这也为统治者在依据不同的田地类型以及耕地面积等条件征收田地赋税时面临着巨大的难题。其次，在粮食运输过程中也存在着新的难题。由于金军、元军的不断入侵，南宋统治者为了维系自己的统治便在边境上常年驻扎着大量的军队。例如镇守襄阳的南宋著名战将孟洪“招中原精锐百战之士万五千余”［14］(P4280)，组成了镇北军；在南宋三大屯兵重地之一的另外一处鄂州，也驻有军队大约5万多人。为了向前线输送粮草以抵御金军、元军的入侵，就需要在运输过程中做好计算方面的工作。由于江南多丘陵、地势不及北方地势平坦，这更增加了运输的难度。因此，为准确无误地将粮草运送到指定位置，雇佣劳动力的多少、支付的薪酬、缴纳的税款以及运输过程中的损耗等问题，均给当时的算学从业者增添了新的难题。商业的发展也吸引了相当数量的人口涌入城市，除了一部分受雇于他人从事生产劳动以外，相当多的人选择了自主创业，投身于商业活动之中。在这种趋势下，薪酬计算、物价计算、利润分配等商业数学问题也在大量地产生，亟待算学学者们去解决。另外，由于受历史发展的局限，南宋时期的人们受教育程度普遍不高，而以《九章算术》为代表的中国传统数学著作又相对晦涩，社会的发展却急需大量具备基础数学知识的人才以及相对实用高效的计算方法。在这样的背景下，对现有教科书进行改进或者编撰新的兼具实用性和普及性的教科书就成了当务之急。综上所述，正是由于农业发展、商业繁荣所产生的巨大需求，为南宋数学的发展提供了新的推动力，并使其开始沿着能够解决这些实用问题的方向飞速前进。

二、以《田亩比类乘除捷法》为例简释南宋时期农业对数学发展的促进作用

南宋时期农业在取得自身飞速发展的同时，也促使数学这一计量科学产发生了巨大的变革，并由此促进了独具特色的中国传统数学逻辑体系的成熟。南宋数学在发展过程中秉承着从生产活动过程中遇到的实际数学问题入手，从中分析出数量关系来建立数学模型，然后再利用这一模型，通过抽象与归纳进而得到解决问题的方法这一数学理念，不但满足了当时社会发展的需要，而且在中国数学史乃至世界数学史上都取得了极为辉煌的成就。杨辉作为我国南宋时期著名的数学家及数学教育家，他在研究数学的过程中特别擅长将数学问题的解决与日常生活相联系，尤其注重实用性和普及性。由于杨辉是钱塘人，长期生活在台州、苏州、钱塘等地，还曾经担任过南宋的地方行政官员。其编撰于德祐元年（1275）的《田亩比类乘除捷法》一书无论从名称还是内容而言都与田亩紧密相关，通过对该书进行剖析，可以更加清楚地看到农业发展对数学的影响。正是基于此种原因，本文以杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》为例来阐释农业的发展对于数学产生的促进作用。杨辉在编撰《田亩比类乘除捷法》一书时将其分为上下两卷。受南宋时期的耕地面积在增加过程中以非规则图形田地的开垦为代表的农业发展新情况的影响，上卷主要是讲述各种田亩求积例题和计算方法，以及能够化作田亩求积问题来求解的其他数学问题。下卷的主要内容则与开方有关，共引入与开方相关的问题27个。杨辉以上卷中所记载的直田问题作为逻辑上的立足点，通过对同一个直田问题所给出的例图不断进行已知条件上的变化，来试图求出不同背景条件下直田的长或宽，文章的侧重点由面积的计算变成了开带从方，其分别给出了“益积开方”法、“减从开方”法等十分具有创造性的解二次方程的计算方法，同时还求解了带“益隅”和负方的二次方程。《田亩比类乘除捷法》一书最大的亮点可以分为三大部分，即演段法与几何证明、提倡捷法以及对方程的新认识。而这三大亮点的产生，便是杨辉受到农业发展影响的结果。在有关于演段法与几何证明方面，杨辉认为田亩算法是一切几何问题的基础，直田起到了数学逻辑起点的作用，其在序言中写道：“为田亩算法者，盖万物之体，变段终归于田势”［15］(P1)，“入则诸门，出则直田，盖因直田能致诸用，而有是说，诸家算经皆以直田为第一问”［15］(P1)。这就说明他认为田亩面积计算是所有数学问题的基础，其他数学问题的产生只是在该基础上的演化。如下卷中例题：“以金换绢八百六十四匹，不知黄金一两原换绢几匹，但云原金总两与每两所换匹数较之，则两多如匹十二。今先问原金几两？”［16］(P11)杨辉说：“原金为长，每两换绢为阔，其所换总绢匹数，即直田之积步也。”［16］(P11)根据这段话可以很明显地看出，在杨辉看来，该题的解法和求直田面积的解法是一致的，同样可以套用长方形面积公式来求解。提倡捷法是该书的另一大特色，全书共有61道问题，其中共计有14道例题有两种或者两种以上的解法。将同一问题的不同解法进行比较时会发现，这些解法是有繁有简的，杨辉通过比较各种解法的优劣，力图找出最简单快捷的计算方法，以此来提倡优法。为何提倡优法？究其原因是与农业发展以及商业繁荣密切相关的。农业的发展以及商业的繁荣使得南宋数学既迫切需要一种简便准确易于操作的计算方法，还需要一大批熟练掌握此种计算方法的专业人才。正是在这种情况下，以杨辉为代表的数学教育家们为了更好地使初学者适应这种数学上的新变化而采取了新的编写方法，来对自己的著作进行编排。因为在杨辉看来，解决问题的方法要简单，而且要易于学习和掌握，在计算过程中要注重简洁和精确。该书受这种发展形势和思想的影响，实用性与操作性非常的强。并且，为了便于初学者进行学习和训练，还充分运用了“比类”这一方法，即在书中加上了能够化作田亩求积问题来求解的其他数学问题，而这正好也是杨辉数学研究与数学教育工作的侧重点［17］(P95)。而该书的第三大亮点即对方程的新认识的产生，则更是与农业紧密相关。如在下卷中记载了两道例题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？答曰：二十四步”［16］(P12)；“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求长步，问得几何？答曰：三十六步”［16］(P13)。面对这些从农业生产中产生的问题，杨辉从实际出发，对这些问题进行分析和归纳，从中提炼出数学模型并进行分析，进而发现有些问题虽然题干是不同的，但其所列方程却相同。换句话说，就是杨辉通过对田亩问题进行求解，已经认识到一个二次方程可能有两个正根。虽然杨辉并没有明确地在书中指出并进行讨论，但毫无疑问的是，这个发现是具有划时代意义的；并且，关于二次方程有两个正根的这个事实，一直到清代才由汪莱明确指出［18］。此外，农业的发展还对中国古代数学的发展造成另外一个结果，即相对于结果的“精确性”，中国传统数学更加注重答案的“整体性”。在对所有的中国传统数学著作进行分析后不难发现，中国古代科学追求“正确”而非精确，虽然可以从天文学、机械制造等领域举出很多注重“精确”的反例，但是从中国古代科技发展的整体上看，追求整体性还是占据了主流的地位［19］(P41)。杨辉在《田亩比类乘除捷法》中对《九章算术》和《五曹算经》所给出的用“圆田术”来求解“丘田”近似面积的答案并不满意，并由此提出了“常分段求之”的思想［19］(P42)。虽然这种分段方法是十分卓越的，但是怎样分段？杨辉却未进行详尽的说明。我们知道认识到问题并不意味着解决问题，这中间还有漫长的历程需要进行探索，可惜在杨辉以后我国的古代数学家们却放弃了这方面的研究。究其原因，农业的因素对其造成的影响是不可忽视的，其中，有关于土地面积的计算便占据了很大一部分。在中国古代，有关土地面积的计算大多是与统治者征缴赋税相关的。农民在耕种土地过程中由于受到所处的自然环境以及自身文化水平的限制，对自己耕种的土地面积实际情况的掌握大致只会精确到几亩几分，至于更加精确到像现今数学中经常用到的平方分米以及平方厘米，就束手无策了。对于在统治者征缴赋税时，情况亦是如此，负责征税的官员只需知道在自己统治范围内的农民耕种的土地大致面积，并以此来收税即可，至于更为精确到小数点后多少位，便没有了意义。而在运输过程中，由于受到天气等因素的影响会物品在道路上产生损耗，因此目的地的接收者也只会关注收到的粮食大致的重量而不会去精确到几斤几克。正是农业发展中的这些因素，对中国古代数学在“精确性”发展方面造成了比较大的影响。

三、结语

英国著名科技史学家李约瑟曾将宋代称为“伟大的代数学家的时代”，换句话来说，就是宋代中国传统数学取得了革命性的进展，而为何会造成这种现象？这便不得不提到农业的发展对数学的发展起到的巨大推动作用，特别是南宋时期尤为显著。靖康之变以后，随着宋室南渡，在统治者的政策作用以及劳动人民的辛勤劳作下，南宋农业得到了长足的发展与进步，并以此为基础促进了商业经济的繁荣，使得南宋统治下的江南地区成为了当时中国经济最为发达的区域。同时，在精神思想方面，虽然南宋也是处于中国漫长的封建社会时期，处于该时期的数学研究者们在研究数学时仍旧会受到封建集权思想与皇权统治的束缚，但与其他朝代相比，南宋时期人们的思想却是相对自由与活跃的。正是在这种情况下，生产力取得了突破性的发展。而经济基础决定上层建筑，生产力的发展推动了文化的进步。在受到当时快速发展的社会生产力和人民日益增长的文化需求等因素的共同影响下，数学这门受实践影响极大的学科也取得了飞速的发展。而农业在促进南宋数学发展的同时，也对后来数学的发展走向影响颇大。在有关中国古代数学发展的研究领域中经常被提及到的大传统与小传统的关系即“理论性”与“实用性”之争便受到农业发展的巨大影响。人们在实践中认识到的数学问题，在经过一系列的理性思考后得出的结论又反过来影响到了接下来的实践活动。因此，正确地认识到农业发展对数学发展所起到的促进作用，既可以帮助我们正确地把握中国古代数学发展的脉络，又可以令我们重视到实践的作用，从而可以通过实践对某些历史现象做出更好的解释。

作者:赵晨 宋芝业 单位:内蒙古师范大学