数学思维品质培养
时间：2022-03-07 03:20:00
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在平时的解题训练或考试之后，往往有部分学生会讲“XX题好像是课本上或是老师讲过的某一例题，可临阵时却解不出来。”究其原因，除了学生对知识掌握不牢固或记忆遗忘外，还有一个因素就是学生在解这种“似曾相识”的题目时，缺乏了那种由“似”到“是”的思维品质，“燕不归来”，思维断线。学习数学，思维是根本的东西，思维品质是关键的素质。我们也常常会听到学生对你讲：“老师，你是怎么这么厉害，我们无从下手的问题，你总能打开僵局找到思路，你是怎么想出来的？”问得好，殊不知，老师毕竟是老师，有学历和阅历，有资历和智力，还有数学专业的扎实功夫，丰富的数学涵养，掌握较多的数学思想方法与解题技巧，因此教师能在学生面前游刃有余，眉头一皱计上心来。数学教师是数学教学过程的组织者和引导者，担负着调控教学过程的主导作用。在全新教育理念下的教学，德才兼备品格高尚的教师形象在师生互动中应是学生的楷模，数学教师应是每个学生的良师益友。精心备课，就是数学园地的精心“备耕”，努力揭示数学思维过程是实现和谐的教学结构的保证，也是形成学生数学思维品质的保障。
一般说，思维品质具有目的性、灵活性、开拓性、合理性、论证性、批判性、深刻性、独创性等，各项思维品质的形成与发展是紧密相关、相辅相成、互相促进的，并且任何优良的思维品质都不可能自然形成，而应在教学中有意识地加予培养，只要不惜从点滴做起，坚持实践，学生思维品质的形成和提高，则是可望且可及的。
二、善于变换，培养数学思维品质的灵活性、开阔性、深刻性。
数学思维是人脑对客观事物现实中空间形式和数量关系的一种概括与间接的反映过程，直觉思维是数学思维的基础与先驱，很多抽象的数学问题可借助图像来提高思维品质的开阔性。
例1某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生。参加英语竞赛有120名女生，80名男生。已知该校总有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了，问该校有几名女生参加了数学竞赛而没有参加英语竞赛？
析：本题中已知数据6个，未知1个，两种学科，两种性别，两种兼科，头绪纷纷，思路不易集中，宜用图示的策略。
设两科竞赛都参加的女生数为X，则45+75+5+（80-X）+X+（120-X）=260。X=65。于是所求为80-X=15人。
评：这种化抽象为形象的图表所产生的“数形互通”视野宽广的直觉思维，使问题变得简单、具体、清晰。解法择优录取，灵活使用，可见思维品质的提升，使杂乱的问题面貌得以焕然一新。学生的学习过程，就是发现问题、解决问题的过程，从某种意义上讲，提出一个问题往往比解决一个问题更重要。数学家希尔伯特的名言：问题是数学的心脏。哈尔莫斯说：“数学的真正组成部分是问题和解。”
问题一安放照片用的相框是矩形状，边框的四周一样宽度，问相框的内外沿两个矩形相似吗？
问题二两个等腰三角形具有相同的面积和相同的周长，它们全等吗？
这两个问题，在学生思维不充分时往往会暴露出思维品质方面的弱点，错答的是多数，一答相似，二答全等。如何补充学生思维的不良？最好的营养还是“直觉”，画图！“唯利是图”，看一看，算一算，获利的是学生。，不相似。
三等（等腰、等积、等周）之下也未必全等。如图的两等腰三角形，同面积420，同周长98，显然不全等。
严谨的数学科学性要求我们数学思维品质要纯，做数学学问的态度要诚，数学教师优秀的解题素质会赢得学生的欣赏，且表现得心服口服，从而懂得解题不可马虎大意。
同样，面对填空题：已知△ABC中，，则△ABC的面积为_____。原题没有给出图形。学生计算时往往只画一个锐角三角形，得数14。思维中遗漏了另一种钝角三角形的情形，得数2。这种思维定势中负影响（坏习惯）要在教学中加强训练，对直观图形善于观察，提高警觉，重在思维品质的深刻性。
三、励志求知，培养数学思维品质的目的性、独创性、合理性。
对学生思维训练，很值得注意的是思维的目的性，必须明确思维的方向，解题一开始就能使思维步入正轨，少走弯路，节省解题时间和精力，克服和避免解题的盲目性。
例2如果，求的值
析：若按常规，将已知式去分母后，再解出x代入所求式，带根号，还有四次方，计算肯定繁冗。不足取，另辟蹊径，茫茫中，注意到一点星光，不妨将所求式上下倒过来，马上发现“新大陆”的彼岸了。
所求式=。喜出望外，在原题有意义的情况下，可以颠倒分子分母的解法，体现了思维品质的合理性和独创性，学生啧啧称奇，课堂教学是培养学生思维能力的主要阵地，思维训练是促进思维品质的有效载体。教学中要重视学生非智力因素在思维训练中的作用，引导学生从多方位、多角度、多线条进入思维空间，既要有张力，又要有穿透力。
我注意到上海青浦的一位老师在讲授“等腰三角形的判定定理”时，就与众不同：他在黑板上画了线段AB与射线BD，要求学生根据所绘出的图形自己动手画出一个等腰△ABC。学生很有兴趣的投入到自我创造之中，有的作∠A=∠B，交BD于C；有的作AB的垂直平分线，交BD与C，再连结AC；每个学生不同的答案都认为自己在创造。老师在得到各种信息后归纳、提炼，指出能把∠A作为等腰三角形的顶角，也可作为底角，在以后初三数学开放题中会经常碰到。本来就是“等角对等边”的“小菜一碟”，可是这位老师的教学过程展示了思维品质的独创性和开阔性的培养，为之叫好！
例3Rt△ABC中，∠C=90°，P、Q、R分别在AB、BC、CA上，四边形PQCR是正方形，AP=a，BP=b,求S△APR+S△BPQ=？
析：这是个以字母表示数据的面积计算题，还真不太好求呢！所涉两个三角形处于分散状态，最好能把他们合到一起，行吗？让学生动脑思考，动手操作一下。（平移，割补，翻折，旋转）最佳方案：将△QPB绕点P逆时针旋转90°到如图△DRP处，这一转，就出现了转机，有了生机，PD=PB=b，且∠APD=Rt∠。所求两个三角形面积和成了一个三角形面积1/2ab。这里，彰显了思维品质的深刻性和开阔性。
四、质疑究难，培养数学思维品质的批判性、深刻性、论证性。
数学的发展，并不是简单的承袭过去，而是在新的实践基础上，批判地改造前人积累的成果，而把数学推向前进的。教育引导学生勇于思考，勤动脑子，爱好数学，翱翔在广阔的数学天地。数学学科中众多的内容或形式中的相近或相似处，学生很容易混淆，因此极需要学生思维品质上良好的应对能力，是非辨别能力，挑战错误的能力，从人为设置的问题“陷阱”中解脱，从题海的漩涡中逃生。且不说那些是非题，选择题了，举一个方程题的例子。
例4解方程.
析：学生会将原方程变形为，由于分子等于分母，因此分母等于分母：7-X=13-X，得出结论“原方程无解”。错了！事实上原方程有解X=10。反思造成错误的原因，系“分数与分式”的相近相似。分数中的常识经验，误导了含有未知数的分式。剥茧抽丝，找到问题的症结，方程的两边，无端被除掉了含有未知数的式子4X-40，这是思维品质中批判性的一面。敢于挑战，敢于求异，敢于攀登的精神迸发出探索真理的火花。解题训练要突一个“想”字—数学思维！是温故知新的回想，是横向类比的联想，是活跃思维的猜想，是抽象思维的再回头想，是醒悟数学本质的大彻大悟，是数学思维品质的大升华。由学习阶段的“开窍”到研究阶段的“顿悟”，学得的知识便会系统化、结构化、科学化。
例5求证：不论m为何值，直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0总通过一定点，并求之。
析：图也无法画，怎么证？一筹莫展，数学的奥妙又在哪里？深刻理解“不论m为何值”就能拨开迷雾。
一法：有无数个解，依“”型，则得定点（2，-3）。
二法：任取m=0或1，分别代入后解方程组得，定点（2，-3）。
真是山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村。不是“一计不成”，而是不但“一计已成”，而且“又生一计”。以此启发，鼓励学生对数学孜孜以求的勇敢探索，本例作为思维品质的论证性和深刻性的培养训练，学生得益匪浅。
教师在备课中以学生为本进行换位思维，筛选出值得撞击的思维信息火花，将数学真谛“返璞归真”给学生，是我们数学教师的天职。学生数学思维的培养是个十分复杂的过程，需要我们在数学中不断摸索规律，在每一节内容以至每一堂课的教学中，都要有意识地对学生在数学思维的深度、广度和难度上进行耐心细致有目的地训练，教育教学改革不可急功近利，我们相信，在广大数学教师的辛勤耕耘下，发展和培养学生的思维能力，形成良好数学思维品质的春天一定阳光灿烂！
参考文献
1、王厥轩《上海教学研究》、上海、2007.09
2、马明《数学思想录〈中学数学〉》、江苏教育出版社，1996
3、孙之清《初中数学思想方法》，上海科学普及出版社，2003.08