初等数学内涵探究论文

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摘要：运用数字推理建立数值逻辑公理系统雏形，辩证认识、探讨初等数学基本理论的深刻内涵，继续深化认识，…。

关键词：1、分数整，2、相对整性质，3小数相对整，4、分数相对整，5、广义整数，6、有限不循环小数，7、有限循环小数，8、最大分数单位1/2，9、小数单位、最大小数单位0.5，10、双素数11、狭义数学真理12、广义数学真理等等

一、建立初等数学数值逻辑公理系统雏形：

（一）、探讨认识初等数学深刻内涵，需要不断深化认识、不断完善，还要考虑到易懂易理解，一篇不成熟的数学论文，反反复复，大同小异，颇感不妥，抱歉了！今后若有新的认识，以数学基本知识的方式单独，以前的数学学术观点、理念不再重复，…，再次抱歉、敬请谅解！

（二）、数字推理——数值逻辑辩证推理：

究竟是到数值逻辑系统外部探寻系统运算规律？还是在数值逻辑系统内部探寻系统运算规律？很显然，要在数值逻辑系统内部探寻系统运算规律，事实证明，数理逻辑与实无限并未完全揭示出数值逻辑公理系统运算规律，初等数学基本理论尚有不足之处，它是实无限数学理论和数理逻辑无法解决的数学矛盾与问题，关于数学的无限矛盾，实无限不能解决的数学矛盾，运用潜无限数学思维理念与潜无限手段去解决，未尝不可，…。

用那10个阿拉伯数字演绎数学真谛，1生2、2生3、“10”生无限，确切地说正整数数列：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，……，…如果从数学的集合论和数论、哲学角度出发，运用算术的方法分别选取：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……，…分别地建立起最基本最原始幼稚可笑的有理数数列群与子集合：

第1系列：0/1，1/1，2/1，3/1，4/1，5/1，6/1，……，…

第2系列：0/2，1/2，2/2，3/2，4/2，5/2，6/2，……，…

第3系列：0/3，1/3，2/3，3/3，4/3，5/3，6/3，……，…

第4系列：0/4，1/4，2/4，3/4，4/4，5/4，6/4，……，…

第5系列：0/5，1/5，2/5，3/5，4/5，5/5，6/5，……，…

第6系列：0/6，1/6，2/6，3/6，4/6，5/6，6/6，……，…

第7系列：0/7，1/7，2/7，3/7，4/7，5/7，6/7，……，…

第8系列：0/8，1/8，2/8，3/8，4/8，5/8，6/8，……，…

第9系列：0/9，1/9，2/9，3/9，4/9，5/9，6/9，……，…

第10系列：0/10，1/10，2/10，3/10，4/10，5/10，6/10，……，…

……，……

如何再去分别探索在何范畴内各基数间存在着2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……，…的倍数时——数值逻辑公理系统运算规律？：

第1系列：0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，……，…

第2系列：

第2环节：

2（0/2+1/2+2/2）

=（1/2+2/2+3/2）

=（0.5+2/2+1.5）

第3环节：

3（0/2+1/2+2/2）

=（2/2+3/2+4/2）

=（1+3/2+2）

第4环节：

4（0/2+1/2+2/2）

=（3/2+4/2+5/2）

=（1.5+4/2+2.5）

第5环节：

5（0/2+1/2+2/2）

=（4/2+5/2+6/2）

=（2+5/2+3）

第6环节：

6（0/2+1/2+2/2）

=（5/2++6/2+7/2）

=（2.5+6/2+3.5），……，…

第3系列：

第2环节：

2（0/3+1/3+2/3+3/3）

=(1.5/3+2.5/3+3.5/3+4.5/3）

=（3/3+4/3+5/3）

=（0.5+2.5/3+3.5/3+1.5）

第3环节：

3（0/3+1/3+2/3+3/3）

=（3/3+4/3+5/3+6/3）

=（1+4/3+5/3+2）

第4环节：

4（0/3+1/3+2/3+3/3）

=（4.5/3+5.5/3+6.5/3+7.5/3）

=（7/3+8/3+9/3）

=（1.5+5.5/3+6.5/3+2.5）

第5环节：

5（0/3+1/3+2/3+3/3）

=（6/3+7/3+8/3+9/3）

=（2+7/3+8/3+3）

第6环节：

6（0/3+1/3+2/3+3/3）

=（7.5/3+8.5/3+9.5/3+10.5/3）

=（11/3+12/3+13/3）

=（2.5+8.5/3+9.5/3+3.5），……，…

第4系列：

第2环节：

2（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）

=（2/4+3/4+4/4+5/4+6/4）

=（0.5+3/4+4/4+5/4+1.5）

第3环节：

3（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）

=（4/4+5/4+6/4+7/4+8/4）

=（1+5/4+6/4+7/4+2）

第4环节：

4（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）

=（6/4+7/4+8/4+9/4+10/4）

=（1.5+7/4+8/4+9/4+2.5）

第5环节：

5（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）

=（8/4+9/4+10/4+11/4+12/4）

=（2+9/4+10/4+11/4+3）

第6环节：

6（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4+）

=（10/4+11/4+12/4+13/4+14/4）

=（2.5+11/4+12/4+13/4+3.5），……，…

第5系列：

第2环节：

2（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（2.5/5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+7.5/5）

=（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）

=（0.5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+1.5）

第3环节：

3（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（5/5+6/5+7/5+8/5+9/5+10/5）

=（1+6/5+7/5+8/5+9/5+2）

第4环节：

4（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（7.5/5+8.5/5+9.5/5+10.5/5+11.5/5+12.5/5）

=（10/5+11/5+12/5+13/5+14/5）

=（1.5+8.5/5+9.5/5+10.5/5+11.5/5+2.5）

第5环节：

5（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（10/5+11/5+12/5+13/5+14/5+15/5）

=（2+11/5+12/5+13/5+14/5+3）

第6环节：

6（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（12.5/5+13.5/5+14.5/5+15.5/5+16.5/5+17.5/5）

=（16/5+17/5+18/5+19/5+20/5）

=（2.5+13.5/5+14.5/5+15.5/5+16.5/5+3.5），……，…

第6系列：

第2环节：

2（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）

=(3/6+4/6+5/6+6/6+7/6+8/6+9/6)

=(0.5+4/6+5/6+6/6+7/6+8/6+1.5)

第3环节：

3（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）

=（6/6+7/6+8/6+9/6+10/6+11/6+12/6）

=（1+7/6+8/6+9/6+10/6+11/6+2）

第4环节：

4（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）

=（9/6+10/6+11/6+12/6+13/6+14/6+15/6）

=（1.5++10/6+11/6+12/6+13/6+14/6+2.5）

第5环节：

5（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）

=（12/6+13/6+14/6+15/6+16/6+17/6+18/6）

=（2+13/6+14/6+15/6+16/6+17/6+3）

第6环节：

6（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）

=（15/6+16/6+17/6+18/6+19/6+20/6+21/6）

=（2.5+16/6+17/6+18/6+19/6+20/6+3.5），……，…

第7系列：

第2环节：

2（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）

=（3.5/7+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+10.5/7）

=（5/7+6/7+7/7+8/7+9/7+10/7+11/7）

=（0.5+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+1.5）

第3环节：

3（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）

=（7/7+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+14/7）

=（1+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+2）

第4环节：

4（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）

=(10.5/7+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+17.5/7)

=（13/7+14/7+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7）

=(1.5+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+2.5)

第5环节：

5（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）

=（14/7+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+21/7）

=（2+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+3）

第6环节：

6（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）

=(17.5/7+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+24.5/7)

=(21/7+22/7+23/7+24/7+25/7+26/7+27/7)

=(2.5+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+3.5)，……，…

第8系列：

第2环节：

2（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）

=（4/8+5/8+6/8+7/8+9/8+10/8+11/8+12/8）

=（0.5+5/8+6/8+7/8+9/8+10/8+11/8+1.5）

第3环节：

3（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）

=（8/8+9/8+10/8+11/8+12/8+13/8+14/8+15/8+16/8）

=（1+9/8+10/8+11/8+12/8+13/8+14/8+15/8+2）

第4环节：

4（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）

=（12/8+13/8+14/8+15/8+16/8+17/8+18/8+19/8+20/8）

=（1.5+13/8+14/8+15/8+16/8+17/8+18/8+19/8+2.5）

第5环节：

5（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）

=（16/8+17/8+18/8+19/8+20/8+21/8+22/8+23/8+24/8）

=（2+17/8+18/8+19/8+20/8+21/8+22/8+23/8+3）

第6环节：

6（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）

=（20/8+21/8+22/8+23/8+24/8+25/8+26/8+27/8+28/8）

=（2.5+21/8+22/8+23/8+24/8+25/8+26/8+27/8+3.5），……，…

第9系列：

第2环节：

2（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）

=(4.5/9+5.5/9+6.5/9+7.5/9+8.5/9+9.5/9+10.5/9+11.5/9+12.5/9+13.5/9)

=(6/9+7/9+8/9+9/9+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9)

=(0.5+5.5/9+6.5/9+7.5/9+8.5/9+9.5/9+10.5/9+11.5/9+12.5/9+1.5)

第3环节：

3（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）

=（9/9+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9+15/9+16/9+17/9+18/9）

=（1+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9+15/9+16/9+17/9+2）

第4环节：

4（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）

=（13.5/9+14.5/9+15.5/9+16.5/9+17.5/9+18.5/9

+19.5/9+20.5/9+21.5/9+22.5/9）

=（16/9+17/9+18/9+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9）

=（1.5+14.5/9+15.5/9+16.5/9+17.5/9+18.5/9

+19.5/9+20.5/9+21.5/9+2.5）

第5环节：

5（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）

=(18/9+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9+25/9+26/9+27/9)

=(2+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9+25/9+26/9+3)

第6环节：

6（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）

=（22.5/9+23.5/9+24.5/9+25.5/9+26.5/9+27.5/9

+28.5/9+29.5/9+30.5/9+31.5/9）

=（26/9+27/9+28/9+29/9+30/9+31/9+32/9+33/9+34/9）

=（2.5+23.5/9+24.5/9+25.5/9+26.5/9+27.5/9

+28.5/9+29.5/9+30.5/9+3.5），……，…

第10系列：

第2环节：

2（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）

=（5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10+11/10

+12/10|+13/10+14/10+15/10）

=（0.5+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10+11/10+12/10|+13/10+14/10+1.5）

第3环节：

3（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）

=（10/10+11/10+12/10+13/10+14/10+15/10

+16/10+17/10+18/10+19/10+20/10）

=（1+11/10+12/10+13/10+14/10+15/10

+16/10+17/10+18/10+19/10+2）

第4环节：

4（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）

=（15/10+16/10+17/10+18/10+19/20+20/10

+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10）

=（1.5+16/10+17/10+18/10+19/20+20/10

+21/10+22/10+23/10+24/10+2.5）

第5环节：

5（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）

=（20/10+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10

+26/10+27/10+28/10+29/10+30/10）

=（2+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10

+26/10+27/10+28/10+29/10+3）

第6环节：

6（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）

=（25/10+26/10+2710+28/10+24910+30/10

+31/10+32/10+33/10+34/10+35/10）

=（2.5+26/10+2710+28/10+24910+30/10

+31/10+32/10+33/10+34/10+3.5），……，…；

……，……

关于上述初等数学起点最简单最原始幼稚可笑的数值运算是否蕴涵着数值逻辑运算规律和深刻的数学内涵？单凭直觉无法回答，千百年来实无限理论和玄学无法理解与接受它、也不可能去探究，…，目前，只能实事求是，用事实说话，常言道，最简单的最质朴的恰恰是最深奥的、最难以理解接受的，数学是被应验的，我们将上述运用亚里士多德潜无限数学思想和辩证法指导下，在数论、集合论内涵条件下形成的普遍运算规律概括归纳为：

1、第1系列并未派生子集合：0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，6/1=6，……，是特殊矛盾特殊规律、为特殊特别系列、特殊矛盾例外，务必将其排斥在外，如果不将其排斥在外、这系统同样无法理解与接受，其实它就是分数整（整数分数）；

2、数值逻辑公理系统（从第2系列起均派生子集合）：

{[0～1]}1↓{[1～2]}3↓{[2～3]}5↓……，…（此结构式上下交错对应莫散开）

{[0.5～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…

第1环节：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，

第2环节：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，

第3环节：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，

第4环节：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，

第5环节：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，

第6环节：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，

第7环节：7∑{[0～1]}=∑{[3～4]}，

第8环节：8∑{[0～1]}=∑{[3.5～4.5]}，

第9环节：9∑{[0～1]}=∑{[4～5]}，

第10环节：10∑{[0～1]}=∑{[4.5～5.5]}，

……，……

∑{[0～1]}意指0与1之间的基数之和，∑{[0.5～1.5]}意指0.5与1.5之间的基数之和，它们是集合族、有无穷个子集合或有无穷个数组，其他依次类推，很显然，如果说{[0～1]}和{[0.5～1.5]}的基数是实无限，那么它的基数（有理数与无理数）就会一下子全部冒出来究竟具体有多少？无人具体知晓也无法具体知晓，自古至今一筹莫展，务必突破传统数学思维理念的严重束缚，让事实说话，符号↓：意指派生子集合，在有理数系统数值逻辑运算过程中，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……从系统发展变化过程中产生分化出来，占据整数位置，充分地十足地体现其相对整性质（亦可理解为哲理整性质），即派生子集合，为奇数能被2相对整除提供科学依据，蕴涵着完整数值逻辑运算规律2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……，数论、集论、初等数学、自然辩证法四位一体、辩证统一，自然辩证法（现代哲学）以对立统一规律为切入点注入初等数学、数学基础并为其指明前进方向，至此，需要引入数学新概念，相对整性质、小数相对整、等等概念：

相对整性质：其他普通小数的绝对值与小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......的绝对值相比较更零散，换言之，小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......的绝对值和其他普通小数的绝对值相比较整装（在数值逻辑公理系统中），将这一特殊性质统称为相对整性质，为什么会拥有相对整性质，因为1/2=0.5、1/2是最大分数单位、则0.5是最大小数单位，...，相对整性质为奇数能被2相对整除提供科学根据，只有在本数值逻辑公理系统中，才能够发现相对整性质，否则无从谈起，……。

3、数值逻辑公理系统派生子集合并非一目了然、需要详细说明：

（1）、当选取1时，第一系列：0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，……为分数整，并未派生子集合，是特殊矛盾，则其为特殊系列，特殊矛盾与普遍矛盾务必需要人为加以区分，否则就要导致逻辑悖论，因此，务必把第一系列排斥在公理系统之外，才是科学的、才是适宜的，…。

（2）、数值逻辑系统外部结构形式像“锁链”，因此将其简称为连锁形式，连锁形式非常规则，一环扣一环、环环相扣、无穷无尽（例如）：

[0～1]}1{[1～2]}3{[2～3]}5……，…（此结构式上下交错对应莫散开）

{[0.5～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…

（3）、当系统子系列在偶数范畴内：在第2系列（例如：0/2，1/2，2/2，3/2，4/2，5/2，6/2，……）、第4系列、在第6系列、第8系列、第10系列、……均派生子集合——充分地十足地揭示着小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……拥有相对整性质，连锁形式规则，非常直观，具有典型代表意义。

（4）、当系统子系列在奇数范畴内：在第3系列（例如：0/3，1/3，2/3，3/3，4/3，5/3，6/3，……）、第5系列、第7系列、第9系列、……亦均派子集合（隐形的、非直观的），因为小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……拥有相对整性质，所以纷纷跨跃（飞跃）出来，充当相对整子集，连锁形式规则，十分显然地揭示着小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……拥有相对整性质、自告奋勇、势不可挡，数值逻辑对立统一规律预示着选择公理，在奇数范畴内必有其它基数与其相当，例如第5系列、第2环节：

2（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（2.5/5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+7.5/5）

=（0.5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+1.5）

=（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）

很显然，如果直接用

2（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）=（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）来表达派生子集合，就是隐形的、非直观的，单凭直觉观察不出派生子集合，如果对（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）进行拆分子运算就能得到（必须指出、在公理系统中是运用规律直接观察、归纳出来的）：

（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）

=[（2.5+1.5）/5+(3.5+1.5/5)+(4.5+1.5/5)+(5.5+1.5)/5+(6.5+1.5)/5]

=(2.5/5+3.5+/5+4.5/5)+(5.5)/5+6.5/5+(1.5*5)/5

=（2.5/5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+7.5/5）

=（0.5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+1.5），第2环节体现0.5，1.5拥有相对整性质，其他奇数系列、偶数环节上都是如此,这是规律无需逐一验算，因为0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……拥有相对整性质，所以自告奋勇、会纷纷跨跃出来，势不可挡，…。

（5）、当系统子系列在10，100，1000，10000，……，范畴内，均派生子集合，不仅揭示着小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5……拥有相对整性质，而且在向纵深发展潜无限的过程中有太多太多的基数是超越无理数数值的有限形式、甚至与其相吻合、相当，形成有限不循环小数或潜无限不循环小数（例如31415926/10000000=3.1415926等等），具有十分重要的典型代表意义，在此基础上提出有限不循环小数的概念、数学中客观存在着有限不循环小数为什么不被提出？…。

（6）、很显然，上述数值逻辑系统运算规律，除了第1系列（0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，6/1，……）例外，系统的子系列无论是在奇数系列还是在偶数系列范畴内均派生子集合，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5,……纷纷分化出来、均占据整数位置，揭示着其绝对值比其他普通小数绝对值相对整装，充分地十足地体现其相对整性质（也可理解为哲理整性质），因此，构成相对整子集，譬如{[0.5～1.5]}、、{[1.5～2.5]}等等，存在着完整数值逻辑运算规律与深刻内涵，数值逻辑系统外部结构形式像连锁，因此说系统连锁结构形式规则，蕴涵着极其深刻内涵——数值逻辑对立统一规律，奇数与偶数相反相成、对立统一，为偶数能被2整除、奇数不能被2整除却着实能被2相对整除提供科学依据，具有普遍意义，这是数学自然观的重大认识问题，要做出正确选择，很显然，整数形成了广义整数、数论形成了广义数论、集合论形成了广义集合论、真理形成了广义数学真理，0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……自告奋勇势不可挡、纷纷分化出来担负起“相对整数”的重任，数字简单原理哲理却深刻，同时自然辩证法以对立统一规律为切入点注入初等数学和纯粹数学，…。

二、初等数学深刻内涵：

1、分数整：0/1=0，1/1=1，-1/1=-1，2/1=2，-2/1=-2，3/1=3，-3/1=-3，4/1=4，-4/1=-4，5/1=5，-5/1=-5，6/1=6，-6/1=-6，……尽管是分数形式，数值逻辑系统揭示着依然体现整数性质，因此将其统称为分数整。

2、小数整：无限循环小数0.9˙=1，小数形式依然体现整数性质，将其简称为小数整。

3、素数偶：2既是一个素数又是一个偶数，将其简称为素数偶，具有唯一性，将奇素数3，5，7，11，13，17，19，......统称为素数。

4、分数相对整：分数1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，……既拥有分数性质又具备相对整性质，因此将其统称为分数相对整，分数相对整拥有相互矛盾的双重性质，其一是普通分数性质，其二是相对整性质——因为1/2是最大分数单位，其他普通分数不具备相对整性质——因为普通分数的分数单位均小于1/2，实际上，其他普通分数的分数部分均为分数单位，均小于1/2绝对值更零散，所以一次性彻底排除，以免造成思维混乱，务必需要说明，分数相对整与整数（分数整）是有差异的、是异中之同、差异中有共性，并不等同，既要看到差异又要看到共性、当然是指差异中的共性。

5、相对整性质：其他普通分数的绝对值和1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，……的绝对值相比较更零散，换言之1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，……和其他普通分数相比较绝对值整装（在数值逻辑公理系统中），把(分数相对整)相比较绝对值整装性质统称为相对整性质，为什么拥有相对整性质，因为1/2是最大分数单位，分数单位1/2﹥1/3﹥1/4﹥1/5﹥1/6，……，因为1/2=0.5，1/2是最大分数单位，则0.5是最大小数单位。

6、小数单位：关于分数和小数互相关联着，看到分数要联想到小数，分数单位1/2，1/3，1/4，1/5，1//6，1/7，1/8，1/9，1/10，…对应下的小数就是小数单位，例如：1/2=0.5，1/3=0.333….，1/4=0.25，1/5=0.2，…，1/10=0.1等等，即0.5，0.333…，0.25，0.2，…，0.1等等就是小数单位，很显然，1/2是最大分数单位，0.5是最大小数单位，1/2与0.5看似极其简单的两个数字却是微小微妙的，自古至今，数学只把它们看成普通分数、普通小数，现在来看需要转变思维理念，….。

7、小数相对整：小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......既拥有小数性质又具备相对整性质，将其统称为小数相对整，小数相对整拥有相互矛盾的双重性质，一是普通小数性质，二是相对整性质——因为0.5是最大小数单位，其他普通小数不具备相对整性质——因为普通小数的小数单位均小于0.5，一次性彻底排除，以免造成思维混乱，只接受小数相对整的小数性质是片面的，只接受小数相对整的相对整性质是片面的，需要说明，小数相对整与整数是有差异的、是异中之同、差异中有共性，并非等同，正整数的性质可以理解为绝对整，小数相对整顾名思义性质相对整，这就是二者的差异，同时绝对整与相对整又是异中之同、所谓的共性，…。

8、相对整性质：其他普通小数的绝对值和小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......的绝对值相比较更零散，换言之，小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......和其他普通小数相比较绝对值整装（在数值逻辑公理系统中），把（小数相对整）相比较绝对值整装性质统称为相对整性质，为什么会拥有相对整性质，因为0.5是最大小数单位，...，相对整性质为奇数能被2相对整除提供科学根据，只有在数值逻辑公理系统中，才能够发现相对整性质，否则无从谈起，务必引起高度重视，...。

9、广义整数：将整数和分数相对整统称为广义整数，即本文将0，1/2，-1/2，1，-1，3/2，-3/2，2，-2，5/2，-5/2，3，-3，7/2，-7/2，……，…统称为广义整数；亦可以将整数和小数相对整统称为广义整数，即本文将0，0.5，-0.5，1，-1，1.5，-1.52，-2，2.5，-2.5，3，-3，3.5，-3.5，4，-4，4.5，-4.5，5，-5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，……，…统称为广义整数，蕴涵着绝对整与相对整的意义，...。

10、广义（数学）真理：偶数能被2整除，奇数不能被2整除、却能被2相对整除、潜无限等等内涵的数学真理统称为广义（数学）真理，要探索绝对值1+1=2蕴涵的基本原理、道理、哲理，哲学以对立统一规律为切入点注入初等数学、注入纯粹数学，...。

11、狭义（数学）真理：偶数能被2整除、奇数不能被2整除，...，统称为狭义（数学）真理，非常有必要把数学分为狭义真理和广义真理，小学数学（算术）应为狭义（数学）真理，...。

12、实无限：简言之，理解为经完成的无限，我们的前人将其称之为实无限，...，如自然数的全体、实数全体是指实无限，实无限排斥潜无限，潜无限也排斥实无限，事实上互相排斥，实无限为高等数学、数理逻辑等等方面奠定基础、实无限是被理想化的无限，只有如此理解方能合乎大道理，才有存在的理由、缘由，…。

13、潜无限：简言之，理解为处于不断发展变化中的无限，如像n→∞或n→0的极限过程那样称为潜无限，也可理解成未完成的无限、无穷无尽，数学潜无限与人文无限、哲学无限一脉相承、并不相悖，潜无限依然是初等数学的基础，潜无限依然是广泛意义上的真理、无处不在，承认接受实无限的大家风范不能排斥、丢掉了潜无限数学真理，否则没有错误有失误，因此，潜无限为初等数学数值逻辑奠定基础，潜无限也排斥实无限，事实上互相排斥，...。

14、绝对值1+1=2蕴涵着的基本原理、道理、哲理（为什么1+1=2）：

本文回答既简单又深奥：偶数能被2（绝对）整除，奇数不能被2（绝对）整除却着实能被2相对整除（传统意义的偶数能被2整除、奇数不能被2整除是指奇数与偶数的排斥性对立性，偶数能被2整除、奇数不能被2整除却着实能被2相对整除是指奇数和偶数的异中之同、差异中共性、同一性），因此说，奇数与偶数相反相成对立统一，1+1=2是数学首要公理，或者说2是数学首要公理，1+1=2蕴涵着深刻的数值逻辑对立统一规律——蕴涵着哲学的对立统一规律，哲学（自然辩证法）以对立统一规律为切入点注入数学基础、注入初等数学，哲学的基本原理大可为数学理论作指导，如果有谁再说哲学不能过问、关心数学矛盾和问题，那就站不住脚了，数学既要讲逻辑又要讲基本原理、道理、哲理，自然辩证法为其补充、弥补深刻内涵，...，是啊！它的确既简单又深奥，它简单的表面上看似是小学生的基本知识，其道理却深奥地不可思议、不可理喻、它的“庐山”真面目就是如此、并非本文一派胡言，如此基本原理、道理、哲理并非人人都能够理解与接受，更不是小学生阶段能够理解接受的数学知识，的确需要转变数学思维理念，高度重视、重新认识，...。

15、有必要说明：因为哲理整性质、哲理整小数难以理解接受甚至不被理解与接受，本文将它称之为相对整性质、小数相对整等等，换言之，本文相对整性质，亦可理解为哲理整性质，那么，相对整性质——哲理整性质、奇数能被2相对整除——奇数能被2哲理整除、分数相对整——哲理整分数、小数相对整——哲理整小数等等，内涵大同小异。

16、有限不循环小数：为了便于理解，简言之，我们把无限不循环小数有限数字或者小数点右边至少有两位或两位以上不循环数字的小数统称为有限不循环小数，譬如小数：3.14，3.1415，3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，……等等就是有限不循环小数，有限不循环小数无穷无尽，有无限不循环小数必然存在着有限不循环小数，在数值逻辑中，非常容易发现它们，而且有限不循环小数与潜无限不循环小数拥有替代无理数数值的巨大意义与作用，有限小数中的小数再如此细致地划分出有限不循环小数、有限循环小数、小数整、普通有限小数等等，才更切合实际，这的确是数学的一个重大认识问题，有限不循环小数可表达为分数形式，因此有限不循环小数是有理数，同时还是无理数的有限形式，因此可替代无理数数值（无理数的近似值），只谈无限不循环小数（只谈无理数），没有涉及到有限不循环小数是不切实际的，因为它们客观存在着，有限不循环小数尽管不是无理数却是无理数的化身、拥有无理数的重要因素、成分，尤其是，它实质上真正的起着替代无理数数值巨大的数学实际意义与作用，它真正支撑着数学实无限、实数系的基础，有限不循环小数的概念不被提出是初等数学的最大不足和缺陷，因为它有很高的应用价值，所以说初等数学和纯粹数学没有错误却有失误，…。

17、有限循环小数：为了便于理解，简言之，我们把无限循环小数有限个循环节或者说小数点右边至少有两个或两个以上数字循环节的小数统称为有限循环小数，譬如：0.1616（2个循环节），0.161616（3个循环节），0.666（3个循环节），0.666666（6个循环节），0.787878（3个循环节），0.99999（5个循环节），等等就是有限循环小数，有限循环小数无穷无尽，有无限循环小数必然存在着有限循环小数，有限循环小数客拥有客观存在性，它也可替代无限循环小的数值，这也是一个认识问题，有限循环小数可表达为分数形式，因此有限循环小数是有理数。

18、有理数：将广义整数与分数统称为有理数，广义整数包含着整数、分数整、分数相对整，分数包含着分数整、分数相对整、普通分数，这是因为分数相对整拥有双重性质、分数整拥有双重身份所决定的；也可以将广义整数与小数统称为有理数，广义整数包含着整数与小数相对整、小数包含着小数相对整与普通小数，因为小数相对整拥有双重性质、一是相对整性质、二是普通小数性质。

19、有理数系统——有理数系：本文将有理数数值逻辑公理系统和深刻内涵统称为初等数学有理数系统、简称为有理数系，有理数系是无限开放着的数值逻辑公理体系、永远不会终极、永远不会枯竭的数值逻辑公理体系，正如人文无限和哲学无限的内涵——无穷无尽，它们一脉相承，…。

有理数系并无什么缺憾，因为有理数系蕴涵着有限不循环小数（潜无限不循环小数），尽管有限不循环小数（潜无限不循环小数）不是无理数，它却是无理数的化身、拥有无理数的重要因素和成分，它在数学中实际上真正起着无理数的意义和作用，敬请认真斟酌，这是数学的一个非常非常重大认识问题，无理数的实无限走得太遥远了、有限不循环小数和潜无限不循环小数不被理性认识，这似乎才是初等数学、数学基础的真实现状与真实状况，系统不包含无理数也可以、也是也，只要我们能够构造出潜无限不循环小数与拥有所谓的无理数数值一样的富有，不是有理数系有问题，而是人的认识出了大问题，尤其是先前率先认识数学的，…，本文也深知无理数拥有客观存在性，客观存在着，只是对其实无限的无理数数值有着不尽相同的看法，只是说关于无理数需要具体问题具体分析、具体对待、特别对待，将性质不同的两类数学矛盾人为的加以区分，更合乎逻辑，…。

有理数系统是向纵深发展着的系统、无限开放，有限不循环小数也是向纵深发展变化着的，有限不循环小数形成潜无限不循环小数，按照实无限的数学自然观，这一无限过程如果被理解为完成了，那么潜无限不循环小数与无理数、无理数数值相吻合，无可厚非，在数理逻辑中实无限拥有极大优越性、但实无限也有很大局限性，不能苟同、不能相同，不能投其所好，...，数值逻辑只会潜无限、潜无限更科学、不会实无限、实无限不能为数值逻辑奠定基础，实无限一句话或者寥寥数字就把实数系、实无限集合完成了，实无限和实数系太笼统，当您若要具体展开实数系时，您会发现完全不是那么一码事，一个具体的无理数数值都无法完整地构造出来，发现无理数已有两千多年的历史了，迄今为止，还没有谁能够构造出一个实无限的完整无理数数值，这是事实，扯别的没有意义，字母符号不是无理数、实数系的全部意义、只是一个代号，实无限是理想化的无限，因此说，实无限还是将来十分遥远的可能性，今天还看不到现实性，实无限只能够给高等数学、数理逻辑等等奠定基础，因为它们不需要具体展开实无限、实数系，一句话、几笔就能带过的数学矛盾，换言之，关于无限不需要具体展开的数学矛盾和数学领域实无限大可为其奠定基础、需要具体展开的数学矛盾潜无限为其奠定基础，...。

20、实数：把有理数和无理数统称为实数，是可以理解接受的，无理数客观存在着、拥有客观存在性，如果把实数看作实数系、请您不要说的那么笼统、那种方式也只是承认其客观存在性另一种说法，大家风范，数学迫切需要您的实无限、实数系的具体系统，而不是笼统的，敬请贡献出来，...。

21、关于无理数：无理数客观存在，拥有客观存在性，由于无理数没有公度比，与有理数的规律不一致，无理数排斥有理数、实数系中的无理数把有理数系的运算规律都被排斥掉了，有理数排斥无理数，实数系太笼统太茫然，有理数与无理数不能在一个公理系统中共容，务必把无理数排斥在系统之外，关于无理数只能对无理数、无理数数值具体问题具体分析、具体问题具体对待、特别对待，如果您能够做到了这一点——对无理数具体问题具体分析具体对待，那么它的数值是潜无限还是实无限本文不再干涉。

关于无理数需要严格界定，一是无公度比，二是无限不循环小数、而且其数值（绝对值）无穷无尽、永远不会穷尽、永远不会终结，以防有机可乘、有懈可击，实无限？潜无限？问题就出在界定不严格，数学逻辑十分严密，有些十分重要、十分关键的概念界定很不严格，有空可入，关于数学中存在的一些问题无需争论谁是谁非，而是一部分数学概念需要重新严格界定一下，尤其是无理数，…。

22、自然数与正整数、单位“1”与自然“1”：

绝对值1+1=2是科学抽象的，1+1=2和正整数是相对于广义单位“1”而言，单位“1”的含量绝对统一，1+1=2并非自然“1”的意义，事实上自然数与正整数既有差异又有联系，自然数是相对于自然“1”而言，正整数是相对于广义单位“1”而言，正整数把自然数提升到了抽象的科学高度，由于自然数、时常因单位“1”不统一、“含金量”不一致，如果对自然数直接进行运算是有很大的局限性——有时正确、有时有偏差，换言之不是任何条件下都正确，我们人类是聪明智慧的，有了数学的广义单位“1”、正整数、整数，消除了自然数的局限性，…。

1+1=2是数学公理并无问题、绝对无问题、只是需要探寻它的公理系统，为什么1+1=2？不仅知其然还要知其所以然，而且也涵盖着数论的“1+1”，…，然而，绝对值1+1=2与数论的“1+1”既有差异又有联系，如果把素数2看作偶素数，那么数论的“1+1”是指大于等于6的偶数可表示为两个素数之和——哥德巴赫猜想，本文素数就是指奇素数3，5，7，11，13，17，19，23，……，…，数论的“1+1”它是绝对值的特殊公理，数论的“1+1”与绝对值的1+1=2在数值逻辑公理系统中一脉相承，在绝对值1+1=2数值逻辑公理系统中蕴涵着数论的“1+1”，数论的“1+1”是数值逻辑公理系统偶数环节上的特殊公理，换言之、数论的“1+1”不仅是而且必须首先是绝对值的数学公理（例如：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11，16=5+11，18=5+13，……，无穷无尽）拥有客观存在性，既不肯定也不否定其真实性、模棱两可、这背离了数学（逻辑）排中律，…。

23、普通有限小数、普通分数、普通小数：

a、普通有限小数：不包括小数整、有限不循环小数、有限循环小数在内的小数系列简称为普通有限小数，例如2.6，6.6，7.8，6.8，9.9等等。

b、普通分数：不包括分数整、分数相对整在内的分数，…。

c、普通小数：不包含小数相对整在内的小数，…。

24、双素数：除了能被1和自身整除外，还仅能被2和一个素数互为整除的（正）偶数，我们把具有这样性质的偶数称之为双素数，例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示为两个等值素数之和，即6=3+3，10=5+5，14=7+7，22=11+11，26=13+13，34=17+17，38=19+19，……，双素数星星点点揭示着哥德巴赫猜想拥有客观存在性。

25、关于哥德巴赫猜想、理论如何认识？在数值逻辑公理系统中不可能回避的数学矛盾：

{[0～1]}1↓{[1～2]}3↓{[2～3]}5↓……，…（此结构式上下交错对应不能散开）

｛[0.5～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…

第1环节：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，

第2环节：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，

第3环节：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，

第4环节：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，

第5环节：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，

第6环节：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，

……，……

∑{[0～1]}意指0与1之间的基数之和，它是集合族、有无穷个子集合或有无穷个数组，其他依次类推，符号↓：意指派生子集合，很显然，在系统数值逻辑运算过程中，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……从系统发展变化过程中产生分化出来，占据整数位置，充分体现其相对整性质，即派生子集合，为奇数能被2相对整除提供科学依据，蕴涵着完整的数值运算规律，数论、集论、算术三位一体、辩证统一，揭示着2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…均为数学公理，…，如果将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…展开为数值逻辑公理的另一种表达形式：

第2环节：1+1=2，

第3环节：1+2=3、2+1=3，

第4环节：1+3=4、2+2=4、3+1=4，

第5环节：1+4=5、2+3=5、3+2=5、4+1=5，

第6环节：1+5=6、2+4=6、（3+3）！=6、4+2=6、5+1=6，

第7环节：1+6=7、2+5=7、3+4=7、4+3=7、5+2=7、6+1=7，

第8环节：1+7=8、2+6=8、[3+5]=8、4+4=8、5+3=8、6+2=8、7+1=8，

第9环节：1+8=9、2+7=9、3+6=3+（3+3）！=9、4+5=9、5+4=9、6+3=9、…、8+1=9，

第10环节：1+9=10、2+8=10、[3+7]=10、4+6=10、（5+5）！=10、6+4=10、7+3=10、8+2=10、9+1=10，

第11环节：1+10=11、2+9=11、3+8=11、4+7=11、5+6=5+（3+3）！=11、…、7++4=11、…，

第12环节：1+11=12、2+10=12、3+9=12、4+8=12、[5+7]=12、6+6=12、…、8+4=12、…，

第13环节：1+12=13、2+11=13、3+10=3+（5+5）！=13、…、6+7=（3+3）！+7=13、…，

第14环节：1+13=14、2+12=14、［3+11］=14、4+10=14、5+9=14、6+8=14、（7+7）！=14、…，

第15环节：1+14=15、2+13=15、3+12=15、4+11=15、5+10=5+（5+5）！=15、6+9=15、7+8=15、…，

第16环节：1+15=16、2+14=16、［3+13］=16、4+12=16、［5+11］=16、6+10=16、7+9=16、8+8=16、…，

……，…

在1+k=n（k=1，2，3，4，5，6，……，当k=5，6，7，8，9，…，n=1,2,3,4,5,6,…）向k+1=n的转换过程中总是蕴涵着哥德巴赫猜想，运算规律不仅具有绝对值意义，也蕴涵着经典数论的重大意义，我们无法否定它的客观存在性，绝对值的1+1=2与数论的“1+1”二者相辅相成，一脉相承，一定要在数值逻辑公理系统中辩证地认识、正确地看待它，初等数学不可能回避此问题，…。