三角函数解题应用分析论文
时间:2022-07-31 03:24:00
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三角函数是学习高等数学的必备基础知识之一,学习时要注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要注重三角知识的工具性,突出三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三角知识的应用意识。
一、知识整合
1.熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等;熟悉三角变换常用的方法——化弦法,降幂法,角的变换法等;并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明;掌握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的公式解决一些实际问题.
2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质;熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点,并会用五点画出函数的图象;理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换研究函数图象的变化.
二、方法技巧
1.三角函数恒等变形的基本策略。
(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角:α=(α+β)-β,β=-等。
(3)降次与升次。(4)化弦(切)法。
(4)引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+),这里辅助角所在象限由a、b的符号确定,角的值由tan=确定。
2.证明三角等式的思路和方法。
(1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。
(2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
(1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。
(2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。
(3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。
四、例题分析
例1.已知,求(1);(2)的值.
解:(1);
(2)
.
说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化。
例2.求函数的值域。
解:设,则原函数可化为
,因为,所以
当时,,当时,,
所以,函数的值域为。
例3.已知函数。
(1)求的最小正周期、的最大值及此时x的集合;
(2)证明:函数的图像关于直线对称。
解:
(1)所以的最小正周期,因为,
所以,当,即时,最大值为;
(2)证明:欲证明函数的图像关于直线对称,只要证明对任意,有成立,
因为,
,
所以成立,从而函数的图像关于直线对称。
例4.已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1(x∈R),
(1)当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;
(2)该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?
解:(1)y=cos2x+sinx·cosx+1=(2cos2x-1)++(2sinx·cosx)+1
=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+
=sin(2x+)+
所以y取最大值时,只需2x+=+2kπ,(k∈Z),即x=+kπ,(k∈Z)。
所以当函数y取最大值时,自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}
(2)将函数y=sinx依次进行如下变换:
(i)把函数y=sinx的图像向左平移,得到函数y=sin(x+)的图像;
(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的图像;
(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的图像;
(iv)把得到的图像向上平移个单位长度,得到函数y=sin(2x+)+的图像。
综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。
说明:本题是2000年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法:一是化成关于sinx,cosx的齐次式,降幂后最终化成y=sin(ωx+)+k的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题(1)还可以解法如下:当cosx=0时,y=1;当cosx≠0时,y=+1=+1
化简得:2(y-1)tan2x-tanx+2y-3=0
∵tanx∈R,∴△=3-8(y-1)(2y-3)≥0,解之得:≤y≤
∴ymax=,此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z}
例5.已知函数
(Ⅰ)将f(x)写成的形式,并求其图象对称中心的横坐标;
(Ⅱ)如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为x,试求x的范围及此时函数f(x)的值域.
解:
(Ⅰ)由=0即
即对称中心的横坐标为
(Ⅱ)由已知b2=ac
即的值域为.
综上所述,,值域为.
说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行整合的能力。
例6.在中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且,
(1)求的值;
(2)若,且a=c,求的面积。
解:(1)由正弦定理及,有,
即,所以,
又因为,,所以,因为,所以,又,所以。
(2)在中,由余弦定理可得,又,
所以有,所以的面积为
。
例7.已知向量
,且,
(1)求函数的表达式;
(2)若,求的最大值与最小值。
解:(1),,,又,
所以,
所以,即;
(2)由(1)可得,令导数,解得,列表如下:
t-1(-1,1)1(1,3)
导数0-0+
极大值递减极小值递增
而所以。
例8.已知向量,
求的值;
(2)若的值。
解:(1)因为
所以
又因为,所以,
即;
(2),
又因为,所以,
,所以,所以
例9.平面直角坐标系有点
求向量和的夹角的余弦用表示的函数;
求的最值.
解:(1),
即
(2),又,
,,.
说明:三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意。
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