浅谈高中数学应用问题的教学

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摘要：培养和提高学生的数学应用意识，是中学数学教学的迫切要求，在中学数学教学的始终都应注重学生应用意识的培养。高中数学新教材在每章开头的序言，问题引入，例、习题，“实习作业”和“研究性课题”中都编排了大量的应用问题，应根据高中学生的认知规律和思维特点进行应用问题的教学，培养学生的应用意识和应用能力。

关键词：数学课程应用意识实践

培养和提高中学生的数学应用意识，使学生掌握提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科，生产、生活中的数学问题，准确而灵活地运用数学语言研究和表述问题，是中学数学教育教学的迫切要求，在中学数学教学过程的始终都应注重学生应用意识的培养，加大应用问题的教学力度。

一、高中数学新教材中的应用问题

传统教材对知识的来龙去脉和数学的应用重视不够，不重视引导学生运用所学知识解决日常生活、生产中遇到的实际问题，学生学数学用数学的意识不够，解决实际问题的能力脆弱。新教材对此做了大的调整，增加了具有广泛应用性、实践性的教学内容，重视数学知识的运用，增强数学应用意识，提高学生分析问题，解决问题的能力，把培养学生运用数学的意识贯穿在教材的各个方面。

1、每一章的序言，都编排了一个现实中的应用问题，引入该章的知识内容，以突出知识的实际背景。如在第三章《数列》以趣味话题：“国王对国际象棋棋盘发明者奖励的麦粒数”的计算作为章头序言，激发学习欲望，增加教材内容的趣味性。

在教材的编排上，既用通俗易懂的语言，陈述问题，又附以插图增强直观形象性、趣味性。

2、在研究“具体问题”时以实际例子引入课题

高中数学的十章内容中，分别就概念引入、实例说明、数学表示等方面有三十一处都恰当的运用了实际问题和具体情景。如用“不同重量信件的邮资问题”表示分段函数，用功和位移的关系引入向量数量积的概念等。实例引入增强了问题的实际背景，为顺利解决问题作了铺垫。

3、例题中的应用问题

例题中安排应用问题，一方面可以培养学生阅读能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，而且通过范例讲解，使学生掌握解决应用问题的一般思想和方法。新教材的十章内容中共有41个例题是涉及数学应用的，占例题总数的14.6%，它们都非常接近学生的生活实际和所学知识，难易适中，示范性强。

4、练习、习题、复习题中增加了应用问题的分量

为使学生巩固所学知识，逐步提高分析问题、解决问题的能力，新教材在练习题，习题，复习题中增加了大量的应用问题，其中练习题有45题，占总数的12.4%；习题有105题，占总数的18.15%；复习题有50题，占总数的14.91%。分别涉及增长率、行程问题、物理、化学、生物问题，储蓄等各个方面，量大面宽，情景新颖，融知识性，趣味性，自主实践性于一体。

5、阅读材料

问题生动有趣，贴近学生生活，扩大学生阅读面的阅读材料，新教材中共安排了15个，其中：

（1）历史故事方面的，如第二章《函数》的“对数和指数发展简史”，第五章《平面向量》中的“人们早期是怎么样测量地球的半径的？”

（2）介绍数学应用方面，如第八章《圆锥曲线的光学性质及应用》，第十章《抽签有先后，对各人公平吗？》。

（3）扩充知识方面，有第五章《平面向量》中的“向量的三种类型”等。

6、新增了“实习作业”和“研究性课题”。

为了使学生亲自体验数学知识的应用，灵活运用数学知识解决实际问题，加强学生学习的自主活动性，培养综合运用知识的能力。新教材安排了三次实习作业，一是“函数关系的实习作业”，让学生调查研究附近商店、工厂、学校潜在的函数问题；二是利用“平面向量”知识解决不能直接测量的距离、方向问题。三是“线性规划的实际应用”。

研究性课题是培养学生应用意识和创新能力的重要内容，新教材分别在第三、五、七、九章中安排了四个研究性课题：“分期付款中的有关计算”、“向量在物理学中的应用”、“线性规划的实际应用”、“多面体欧拉定理的发现”，让学生动手操作，选择优化方案、归纳概括，恰当建模，运用理论指导实践。

二、高中数学应用题问题的教学实践

高中学生年龄一般在15—17周岁，他们认识过程的各种心理成份虽已接近成人的水平，但智力活动带有明显的随意性，其抽象思维从“经验型”向“理论型”急剧转化。能够逐步的摆脱具体形象和直接经验的限制，借助于概念进行合乎逻辑的抽象思维活动，开始在教师帮助下独立地搜集事实材料，进行分析综合，抽象概括事物的本质属性。因此，应结合学生的心理特点和思维规律，进行应用问题的教学。

1、重视基本方法和基本解题思想的渗透与训练

为培养学生的应用意识，提高学生分析问题解决问题的能力，教学中首先应结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模过程，建模思想。

教学应用题的常规思路是：将实际问题抽象、概括、转化--à数学问题à解决数学问题à回答实际问题。具体可按以下程序进行：

（1）审题：由于数学应用的广泛性及实际问题非数学情景的多样性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的问题，舍弃与数学无关的因素，抽象转化成数学问题，分清条件和结论，理顺数量关系。为此，引导学生从粗读到细研，冷静、慎密的阅读题目，明确问题中所含的量及相关量的数学关系。对学生生疏情景、名词、概念作必要的解释和提示，以帮助学生将实际问题数学化。

（2）建模：明白题意后，再进一步引导学生分析题目中各量的特点，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代数式表示，它们之间存在着怎样的联系？将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建成数学模型。

（3）求解数学问题，得出数学结论

（4）还原：将得到的结论，根据实际意义适当增删，还原为实际问题。

例：某城市现有人口总数100万人，如果年自然增长率为1.2％，写出该城市人口总数y(人)与年份x(年)的函数关系式

这是一道人口增长率问题，教学时为帮助学生审题，我在指导学生阅读题时，提出以下要求：

——粗读，题目中涉及到哪些关键语句，哪些有用信息？解释“年自然增长率”的词义，指出：城市现有人口、年份、增长率，城市变化后的人口数等关键量。

——细想，问题中各量哪些是已知的，那些是未知的，存在怎样的关系？

——建模，启发学生分析这道题与学过的、见过的哪些问题有联系，它们是如何解决的？对此有何帮助？

学生讨论后，从特殊的1年、2年…抽象归纳，寻找规律，探讨x年的城市总人口问题：y=100(1+1.2%)x.

2、引导学生将应用问题进行归类

为了增强学生的建模能力，在应用问题的教学中，及时结合所学章节，引导学生将应用问题进行归类使学生掌握熟悉的实际原型，发挥“定势思维”的积极作用，可顺利解决数学建模的困难，如将高中的应用题归为：①增长率（或减少率）问题②行程问题③合力的问题④排列组合问题⑤最值问题⑥概率问题等。这样，学生遇到应用问题时，针对问题情景，就可以，通过类比寻找记忆中与题目相类似的实际事件，利用联想，建立数学模型。

3、针对不同内容采取不同教法

高中新教材的数学应用问题遍及教材的各个方面，教学时针对不同内容，有的放矢，各有侧重，就会取得较好的效果。

（1）章头序言，指导阅读，留下悬念

对图文并茂的章头序言，由教师简单提出或由学生阅读，使学生稍作碰壁，留下解题悬念，增强解决问题的欲望。

（2）重视例题的示范作用

例题是连接理论知识，与问题之间的桥梁，示范性强。因此在讲解例题时应在分析题目各个量的特点关系，建模，解决数学问题、还原为实际问题诸环节都应很好的起示范作用，教师应重视例题的分析与讲解，积极进行启发式教学，培养学生分析问题，解决问题、寻求基本实际模型的能力，重视数学理论知识与实际应用的联系。

（3）指导练习，巩固方法

充分运用课本的练习题、习题、复习题，让学生自己动手、动脑，应用所学的知识解决实际问题。练习题位于具体的理论知识后面，建模方向性强，教师只需稍作指导；而习题则更多利用教师批改作业的机会，主要纠正数学语言转化过程，及解题的规范过程；复习题由于综合性强，学生解决有困难，教师要给予必要的指导、提示。

（4）课外阅读，补充提高

对于不作教学要求的阅读材料，根据教学进度提出阅读要求，布置学生进行课外阅读，培养学生的阅读能力，扩大知识面，激发学生的学习兴趣。

（5）实习作业，重视实际操作与团结协作

完成实习作业，可以打破单一沉寂的课堂教学氛围，激发学生的探索精神，培养学生的实践能力，进一步培养学生应用数学的意识和创新能力。但实际问题的因素是错综复杂的，这就要求学生在调查、分析、研究的基础上，抓住本质，通过筛选，去粗取精，结合数学知识，进行建模解决实际问题。如第五章《三角函数》中的实习作业，对不能直接测量的两点的距离，教师选定符合要求的地点，组织学生实际测量，通过计算器进行计算，学生兴致很高，特别是对“已知两边和一对角”解三角形的三种情况，通过动手操作，实地测量，加深影响，激发了学生的探索精神，增强了学生的感性认识。

（6）研究性课题，重视自主探究

“研究性课题”是新教材中的一个专题性栏目，具有探究性和应用性的特点，它既是所学内容的实际综合应用，又对学生探究和解决问题具有较好的训练价值。

§3.6的“研究性课题”，一个有关分期付款的问题，因为很多人一次性地支付售价较高的商品款额有一定困难，另一方面不少商家也不断改进营销策略，方便顾客购物和付款，它与每个家庭的日常生活密切相关，在今天的商业活动中应用日益广泛。对它的探究将会引起学生极大的兴趣，教学这一课题时，应突出以学生探究为主，教师点拔、介绍为辅，教师不断提出问题，介绍情况、启发诱导。鼓励学生研究和探索。

第一步，让学生阅读教材P134的方案表，明确每个付款方案的次数、方式。

第二步，引导学生探究第二种方案，即分6次付清，购买后第2个月第一次付款，再过2个月第2次付款，…购买后12个月第6次付款，月利率为0.89％，每月利息按复数计算。

首先，学生根据要求试做，不少学生得出每期付款元，也有学生得出每期付款元。这时教师不必指出对错，进一步分析、调整学生思维，这两种方式对谁有利？学生计算后，自然得出前者对顾客有利，商家吃亏，而后者对商家有利，顾客吃亏，都不符合买卖公平的原则。

然后，教师适时的指出分期付款的条件，引导学生将原问题进行以下分解：

①商品售价时的货款到全部付清时增值到多少？

②各期所付款额到贷款全部付清时分别增值到多少？

③利用付款中的有关规定列出方程：

最后，引导深化——研究不同方案及一般结论，让学生计算方案1、3，教师巡视指导，再由学生分组交流、比较结果，选择最优方案，得出一般结论。

三、对高中数学应用问题的教学建议

1、在数学应用问题的教学和对学生学习的指导中，应重视介绍数学知识的来龙去脉。

一般情况下，数学知识的产生不外乎实际的需要和数学内部的需要，高中阶段所学的知识大都是来源于实际生活，许多的数学知识都有具体直接的应用，如高二运用不等式的性质计算最值，线性规划，高三的概率统计等。应该让学生充分实践和体验这些知识是如何使用的，在此基础上让学生感受和体验数学的应用价值。

2、学会运用数学语言描述周围世界中出现的数学现象

数学语言可以清楚、简洁、准确地描述日常生活中的许多现象，让学生养成乐意运用数学语言进行交流的习惯，既可以增强学生应用数学的意识，也可以提高学生运用数学的能力。在教学中，需帮助学生形成一个开阔的视野，了解数学对于人类发展的应用价值。在知识实践，能力培养的基础上，教师应主动地向学生展示现实生活中的数学信息和数学的广泛应用，向学生提供丰富的阅读材料，让学生感受到现实生活与数学知识是密切相关，处处联系的。

3、关于应用问题中的算法问题

新教材要求用科学计算器，处理、计算数值，在例题、习题中给出的数据都比较复杂，我认为高中数学应用题的重点是数学建模，所以正确建模，明白算法、算理应占主流，一味追求“实际”，多次出现一些复杂数据，会冲淡主要问题的解决。事实上，每节中只要有一两道实际数据的题目，其他的可选择特殊数据或干脆用字母表示，不仅可突出算理，而且会加强应用问题的分析，节省时间，体现字母代数的优越性。

参考书目：

1、全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学第一册［M］．北京：人民教育出版社．2000年

2、王尚志．培养学生的应用意识是数学课程的重要目标［J］．数学教育学报．2002，（2）

3、方明一．积极稳妥地进行数学课程改革［J］．高中数学课程教材讲习班专家讲课讲稿．2001年7月．昆明