试谈解题思路的发现与范畴间的辩证关系

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众所周知，唯物辩证法的范畴是我们认识事物的科学的思维形式．唯物辩证法的每一对范畴都是对立的统一．它们一方面相互对立，另一方面又相互依存、相互贯通和相互转化．恩格斯指出，数学是辩证的辅助工具和表现形式．数学与唯物辩证法的这种天然联系，使得范畴间的辩证关系成为我们解决数学问题时发现解题思路的主要线索．本文试对解题思路的发现与范畴间辩证关系的联系作一初步探索，希望对教学有所帮助．

一、对偶范畴间相互对立关系的启迪

思维的定势与惯性，是影响解题思路的重要因素．根据问题的具体情况与个人的思维习惯，当我们从某一角度观察问题或从某一角度入手探索问题而陷于困境时，想到对偶范畴间的辩证关系，转而从原来思维的对立方面着手考察、分析，则往往寻找到柳暗花明的新境地．

例1设a＞b＞c．求证：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2．

分析与证明：由不等式两边的特征与联系想到运用比较法．证题的关键在于差式（a2b＋b2c＋c2a）－（ab2＋bc2＋ca2）的变形．

变形1．差式＝（a2b－ca2）＋（b2c－ab2）＋（c2a－bc2）

＝a2（b－c）＋b2（c－a）＋c2（a－b）．

至此，似乎无路可走．

变形2．差式＝（a2b－ab2）＋（b2c－bc2）＋（c2a－ca2）

＝ab（a－b）＋bc（b－c）＋ca（c－a）．

如此，仍然重蹈复辙．

变形3．差式＝（c2a－ab2）＋（a2b－bc2）＋（b2c－ca2）

＝a（c2－b2）＋b（a2－c2）＋c（b2－a2）．

如此，仍未走出“怪圈”．

以上对差式“均匀分组”的尝试均未成功．在反思与寻觅中，受范畴间相互对立关系的启发，想到对差式作“不均匀分组”的变形．

证法1．差式＝a2b＋（b2c＋c2a）－（ab2＋a2c）－bc2

＝b（a2－c2）＋（b2＋ac）（c－a）

＝（a－c）［b（a＋c）－（b2＋ac）］

＝（a－c）（a－b）（b－c）＞0．

∴原不等式成立．

探索初解为什么受阻，可以说过分“对称”组合是解题陷入困境的原因之一．在差式的对称结组中，不对称的条件a＞b＞c难以发挥作用．于是，再由范畴间的相互对立，想到差式的“不对称”结组．

证法2．差式＝（a2b－ab2）＋（b2c－ca2）＋（c2a－bc2）（有意避开对称结组）

＝ab（a－b）＋c（b2－a2）＋c2（a－b）

＝（a－b）［ab－c（a＋b）＋c2］

＝（a－b）（b－c）（a－c）＞0．

∴原不等式成立．

再寻初解受困的缘由，除了对称（均匀）结组的思维习惯，更重要的是自身思维的狭隘--局限于孤立考察各组的表面形式．于是对由范畴间的相互对立，想到寻觅各组之间的内在联系，诸多新解法由此产生．

证法3．由上述变形1得

差式＝a2（b－c）＋b2（c－a）＋c2（a－b）

＝a2（b－c）－b2［（a－b）＋（b－c）］＋c2（a－b）（刻意沟通与前后两组的联系）

＝（b－c）（a2－b2）＋（a－b）（c2－b2）

＝（a－b）［（b－c）（a＋b）＋（c2－b2）］

＝（a－b）（b－c）（a－c）＞0．

∴原不等式成立．

其他证法从略．

二、对偶范畴间相互依存关系的点拨

在数学中，“加”与“减”，“直”与“曲”，特殊与一般，孤立与联系……这每一对范畴的双方相互依存，或明或暗地共处于同一问题的解题过程之中．因此，当我们从范畴的某一方入手问题未能（或取得）突破时，还应想到从范畴的另一方入手再行考察与求索．对范畴双方顾此失彼的思维上的偏颇，是解题陷入困境或出现疏漏的重要原因．

例2过抛物线y＝x2的顶点O任作互相垂直的弦OA、OB，分别以OA、OB为直径作圆，并设两圆的另一交点为C，求C点的轨迹方程．

分析与解答：循着求动直（曲）线交点轨迹方程的一般思路，设A（x1，x12），B（x2，x22），C（x，y），由OA⊥OB得

x1x2＝－1．①

以OA为直径的圆的方程为

x（x－x1）＋y（y－x12）＝0，即

x2＋y2－x1x－x12y＝0．②

同理，以OB为直径的圆的方程为

x2＋y2－x2x－x22y＝0．③

至此，欲消参数x1、x2，探索中容易想到两式相减．

②－③，得x1＋x2＝－x/y．④

下一步如何动作？至此往往陷入困境．此时，循着辩证思维的途径，由加与减的相互依存，想到再考察②、③两式相加，则局面由此打开．

解法1．②＋③，得2（x2＋y2）－（x1＋x2）x－（x12＋x22）y＝0，

2（x2＋y2）－（x1＋x2）x－［（x1＋x2）2－2x1x2］·y＝0．⑤

将①、④代入⑤并整理，得

x2＋y2－y＝0（y≠0）．

故C点的轨迹方程为

x2＋（y－1/2）2＝1/4（y≠0）．

事实上，当我们孤立考察动圆的方程而导出②、③两式后，根据范畴间的相互依存关系，可转而去寻觅两圆方程间的内在联系．这种联系一经发现，新的解法便随之产生．

解法2．注意到这里y≠0，考察②、③两式的联系，知x1、x2是二次方程yt2＋xt－（x2＋y2）＝0的两实根，由韦达定理得x1x2＝－（x2＋y2）/y．⑥

于是由①、⑥得C点的轨迹方程为

x2＋（y－1/2）2＝1/4（y≠0）．

“直”与“曲”是辩证的统一．面对所给的曲线问题，分析问题的特殊性，发掘问题中与曲线相互依存的直线．这样的直线一经揭露，化“曲”为“直”的解法便应运而生．

解法3．由圆的性质知AC⊥OC，BC⊥OC．

∴A、B、C三点共线，且OC⊥AB．

设过点O且垂直AB的直线为l，则C点的轨迹即为动直线AB与l的交点的轨迹（化曲为直）．

kAB＝x1＋x2，直线AB的方程为y－x12＝（x1＋x2）（x－x1）．

以①代入上式得y－1＝（x1＋x2）x，⑦

又直线l的方程为y＝（－1/（x1＋x2））x．⑧

⑦×⑧并整理，得x2＋y2－y＝0（y≠0）．故C点的轨迹方程为

x2＋（y－1/2）2＝1/4（y≠0）．

三、对偶范畴间相互贯通关系的诱导

分析问题是解决问题的前提和基础．分析的方法就是辩证的方法（语）．范畴间相互贯通的辩证关系，为解题思路的发现提供线索，为数学问题的转换变通提供依据．其中，特殊与一般是最为重要的一对范畴．就认识的过程来说，人们总是从事物的特殊性入手去认识事物的一般性，而当人们掌握了事物的一般属性之后，又能以一般性为指导去认识尚未认知的其他特殊性质．人们对事物的认识由此一步步引向纵深．

例3对于二次曲线Ck：x2/（9－k）＋y2/（4－k）＝1，证明：任取平面上一点（a，b）（ab≠0），总有Ck中一个椭圆和一个双曲线通过．

分析（特殊探路）：取点（1，1）代入Ck并整理，得k2－11k＋23＝0，解得

k1＝（11－）/2∈（－∞，4），

k2＝（11＋）/2∈（4，9）．

由此可知，对于k＝k1，Ck表示椭圆；对于k＝k2，Ck表示双曲线．

至此，便探知本题解题思路：

（1）取点（a，b）（ab≠0）代入Ck并整理，得

f（k）＝k2＋（a2＋b2－13）k＋（36－4a2－9b2）＝0；

（2）证明f（k）＝0的一根在（－∞，4）内，而另一根在（4，9）内，即证f（4）＜0，f（9）＞0．（证明从略）

注意到特殊与一般的辩证关系，当由问题本身难以推出所需结论时，不妨主动“升级”，转而研究关于原命题的更具一般性的命题．这样的命题一经解决，便如登高眺远，解题环节与问题本质纵览无余．于是，求解原来的问题便可居高临下，一蹴而就．

例4已知M（x1，y1）、N（x2，y2）为抛物线y2＝2px（p＞0）上两点．设甲：y1y2＝－p2；乙：直线MN经过抛物线的焦点F．那么甲是乙的____条件．

分析：由课本P．101第8题知，甲是乙的必要条件．由于条件的充分性难以判断，故转而考察更为一般的问题：经过抛物线y2＝2px（p＞0）的轴上一点Q（a，0）（a＞0）作抛物线的弦MN，寻找M、N两点纵坐标之间的联系．

设直线MN的方程为y＝k（x－a），①

①代入y2＝2px，得y2－（2p/k）y－2pa＝0．②

由②得y1y2＝－2pa．

此此易见y1y2＝－p2a＝p/2点Q即焦点F．故甲是乙的充分条件．于是可知甲是乙的充要条件．

四、对偶范畴间相互转化关系的运用

解题过程是一系列的转化过程，其中，范畴间由此及彼的相互转化，乃是这一系列转化中的关键环节．有关事物的定义、定理和性质是完成这种转化的桥梁，变量替换则是以量变促发质变的基本手段．循着范畴间的辩证关系思考问题，东方不亮西方亮，南方受阻有北方，使我们得以左右周旋，转换变通，从而避繁就简，化生为熟，发现令人满意的解题思路．

例5已知A（4，0）、B（2，2）是椭圆x2/25＋y2/9＝1内的点．M是椭圆上的点，求｜MA｜＋｜MB｜的最值．

解：这里a＝5，b＝3，c＝4，A（4，0）即椭圆右焦点F2．由于这一和式的最值难以寻觅，考虑将“＋”向“－”转化．

由椭圆定义得｜MF1｜＋｜MF2｜＝10．

∴｜MA｜＝10－｜MF1｜（F1为椭圆左焦点），

∴｜MA｜＋｜MB｜＝10＋（｜MB｜－｜MF1｜），（完成“＋”向“－”的转化）

∵｜MB｜－｜MF1｜≤｜BF1｜＝2，

∴｜MA｜＋｜MB｜≤10＋2（当且仅当M为直线F1B与下半椭圆的交点时等号成立），

∴｜MA｜＋｜MB｜的最大值为10＋2．

同理可得｜MA｜＋｜MB｜的最小值为10－2（当且仅当M为直线F1B与上半椭圆的交点时取得）．

例6已知0＜x，y，z＜1，且x＋y＋z＝2，求证：1＜xy＋yz＋zx≤4/3．

分析与证明：根据题意，设x＝1－a，y＝1－b，z＝1－c，则有a，b，c∈（0，1），且a＋b＋c＝1．

∴xy＋yz＋zx

＝（1－a）（1－b）＋（1－b）（1－c）＋（1－c）（1－a）

＝3－2（a＋b＋c）＋（ab＋bc＋ca）

＝1＋（ab＋bc＋ca）＞1．①

至此，上述问题转化为人们所熟悉的问题：

已知正数a、b、c，且a＋b＋c＝1．求证

ab＋bc＋ca≤1/3．（化生为熟）

此时注意到3（ab＋bc＋ca）－1

＝3（ab＋bc＋ca）－（a＋b＋c）2

＝ab＋bc＋ca－a2－b2－c2

＝－（1/2）［（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2］≤0，

∴ab＋bc＋ca≤1/3．

于是由①得xy＋yz＋zx≤4/3．②

综合①、②便证得1＜xy＋yz＋zx≤4/3．