兼答《关于命题的困惑》一文中的“困惑”

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1关于命题的两个定义

关于命题，初中的定义是：判断一件事情的语句叫命题；高中的定义是可以判断真假的语句叫命题．这两个定义都不严格．两个定义中使用的“判断”一词，与语文中通常的意义不尽相同．在逻辑学上，它的意义是：判断是对客观事物有所肯定或否定的思维形式，判断有真有假．所以，初中和高中的两个定义在意义上是完全相同的：命题是这样一个语句，这个语句能够判断真假．例如语句“4的平方根是2”，作为一个判断，它是错误的，所以它是命题，是假命题．

2关于“或”、“且”的含义

复合命题“p或q”与“p且q”是用逻辑联结词“或”与“且”联结两个命题p与q，既不能用“或”与“且”去联结两个命题的条件，也不能用它们去联结两个命题的结论．

例1（1）已知p：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1；

q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=2，

写出“p或q”．

（2）p：四条边相等的四边形是正方形；

q：四个角相等的四边形是正方形，

写出“p且q”．

错解：（1）p或q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1或x=2；（2）p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．

分析：（1）（2）两题中的p、q都是假命题，所以“p或q”、“p且q”也都是假命题，而上述解答中写出的两个命题却都是真命题．错误的原因是：（1）联结了两命题的结论；（2）联结了两命题的条件．

正确的答案是：

（1）p或q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1或方程（x-1）（x-2）=0的根是x=2．

（2）p且q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．

这两个命题都是假命题．

但是，在不影响命题真值的情况下，又可省略第二个命题的主语，这是符合语言习惯的．

例2已知p：菱形的对角线互相平分；

q：菱形的对角线互相垂直，

写出“p且q”．

解：p且q：菱形的对角线互相平分且（菱形的对角线互相）垂直．

这个命题中括号内的部分可以省略．

文［1］中“4的平方根是2，或4的平方根是-2”，就不能简写成“4的平方根是2或-2”．

3关于“非”的含义

“非”的含义有下列四条：

3．1“非p”只否定p的结论

“非”就是否定，所以“非p”也叫做命题p的否定，但“非p”之“非”只否定命题的结论，不能否定命题的条件，也不能将条件和结论都否定，这也是“非p”与否命题的区别．所以欲写“非p”应先搞清p的条件与结论．

例3p：有些质数是奇数．写出“非p”．

错解：有些质数不是奇数．

分析：因为p是真命题，所以“非p”应为假命题，上述命题不假，故答案错．错误的原因是对p的条件与结论没有搞清楚．这个命题的条件是“质数”，结论是“有些是奇数”，正确的解法：先将p写成等价形式，质数有些是奇数，“非p”：质数无奇数．

不是用“不”否定“是”，而是用“无”否定“有些是”．

例4p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实根．写出“非p”

错解：方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实根．

分析：命题p的条件是“方程x2－5x＋6＝0”，结论是“有两个相等的实根”，所以“非p”应否定“有”，而不能否定“相等”，所以“非p”应为：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实根．

3．2p与“非p”真假必须相反

例5写出例1（2）中命题p的否定“非p”．

错解：非p：四条边都相等的四边形不是正方形．

因为p是假命题，“非p”必须是真命题，而上述命题也是假命题，所以上述命题不是“非p”．

正确答案为

“非p”：四条边都相等的四边形不都是正方形．

“是”的否定有时为“不是”，有时为“不都是”，要视“是”的含义而定，此例的“是”，其含义是“都是”，故其否定为“不都是”．

3．3“非p”必须包含p的所有对立面逻辑联结词“非”相当于集合在全集中的补集．假定p与“非p”的结论所确立的集合分别是A、B，则A、B必须满足A∪B=U（全集），A∩B=Ф．“非p”的结论必须包含p的结论的所有对立面．这一点如果不注意，使用反证法证题时就可能发生错误．因为反证法的理论依据是欲证p为真，可证“非p”为假，如果“非p”不包括p的所有对立面，反证法就站不住脚了．

例6p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实根．写出“非p”．（与例4相同）

正像写一个集合的补集必须先搞清全集一样，这个题目也面临类似的问题．因为实系数一元二次方程的解的情况有三种，任何一种的否定都应该包含另外的两种，所以p的对立面是“方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实根或无实根”．但“非p”不能这样写，而写成等价形式：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实根．

3．4“非p”必须使用否定词语

写“非p”时还要注意，必须使用否定词语对正面叙述的词语进行否定．

例7p：方程x2－5x＋6＝0有实根．写出“非p”．

错解：方程x2－5x＋6＝0有虚根．

尽管“虚”是对“实”的否定，但“虚”不是否定词，“方程x2－5x＋6＝0有虚根”仍是简单命题，正确答案为：方程x2－5x＋6＝0无实根．

4给定一个复合命题，写出构成它的简单命题时应注意的问题

例8指出构成下列复合命题的简单命题：

（1）实数的平方是正数或0；

（2）4的平方根是2或-2；

（3）方程（x－1）（x－2）＝0的根为1或2；

（4）四边相等且四个角相等的四边形是正方形.

解：（1）p：实数的平方可能是正数；

q：实数的平方可能是0．

注：因为实数的平方只有正数或0两种情况，所以由p、q构成的“p或q”中，“可能”一词就可省略而成为“实数的平方是正数或0”，文［1］中认为它是简单命题，这种认识是错误的．同样，后三个小题的答案为：

（2）p：4的平方根可能是2；

q：4的平方根可能是-2

（3）p：方程（x-1）（x-2）=0的一个根是1；

q：方程（x-1）（x-2）=0的一个根是2．

（4）p：四边相等的四边形可能是正方形；

q：四个角相等的四边形可能是正方形．

在由p、q写“p或q”、“p且q”时，有些词语可以省略，反过来由“p或q”、“p且q”写p、q时，省略的词语必须补上．而由“非p”写p时，必须先搞清“非p”的条件和结论．

结束语：命题的结构问题是很复杂的，中学只研究结构简单的命题，本文的一些观点只是笔者的一点教学体会，不当之处，欢迎同行专家指正．

参考文献

1关于命题的困惑，中学数学教学参考，2002，1～2合期

2能力培养与测试，高一数学第一册（上）北京：人民教育出版社