“特征信息”的捕捉与解题的最优化

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丁保荣在文［1］中，提出了一个十分重要的问题：通过捕捉题设（或结论）中的“特征信息”，优化解题思路．罗增儒教授在他的许多文章中也有精辟的论述，尤其是在解题分析中，非常重视解题速度、解题的最优化问题．［2］［3］

文［1］的例1、例2的“特征信息”，其实都可以联系到一个重要不等式：

定理若a，b∈R，则（a＋b）2≥4ab．

文［1］的例1尽管给出了三种解题思路，但是却有美中不足：尚未揭示出其最优解题思路；例2虽巧妙地构造出二次方程，但仍然缺乏最优化思考．

本文旨在展示平凡的定理（a＋b）2≥4ab在“特征信息”聚焦时的最优化解题特征．

首先，通过“等导不等”来证明这个定理：

（a＋b）2＝4ab＋（a－b）2≥4ab，

当且仅当a＝b时，等号成立．

下面列举一系列数学问题，其“特征信息”均可或显或隐地聚焦于定理（a＋b）2≥4ab．限于篇幅，解题时不作一一分析，只展现定理的最优化解题思路．

例1已知实数a，b，c满足等式a＝6－b，c2＝ab－9，求证：a＝b．（文［1］例1）

证明：依定理（a＋b）2≥4ab，即62≥4（c2＋9），得c＝0，从而a＝6－b，ab－9＝0，解得a＝b＝3，故证毕．

例2若（z－x）2－4（x－y）（y－z）＝0，则x，y，z成等差数列．（1979年全国高考题）

证明：由题设知（z－x）2＝4（x－y）（y－z），而依本文定理，则有（z－x）2＝（x－z）2＝［（x－y）＋（y－z）］2≥4（x－y）（y－z），可见x－y＝y－z，从而x，y，z成等差数列．

例3方程组x＋y＝2，的实数解的组数是（）．

xy－z2＝1

A．1B．2C．3D．无穷多（1987年上海市初中数学竞赛试题）

解：依定理知，（x＋y）2≥4xy，则22≥4（z2＋1），得z＝0，原方程组化为

x＋y＝2，显然只有一解x＝y＝1，故选A．

xy＝1，

例4已知a，b，c都是实数，且a＋b＋c＝0，abc＝1，求证：a，b，c中必有一个大于3／2．（1991年“曙光杯”初中数学竞赛试题）

证明：由题知，a，b，c中必有一个是正数，不妨设c为正数．依定理（a＋b）2≥4ab，得（－c）2≥4·（1／c），或c3≥4，于是c≥＞＝3／2，故得证．

注意：此处还有意外收获，原题结论还可改进为：求证：a，b，c中必有一个不小于．

例5a，b，c，d都是小于1的正数，求证：在4a（1－b），4b（1－c），4c（1－d），4d（1－a）中，不可能都大于1．（1962年美国数学竞赛试题）

证明：巧妙地逆用定理，注意4a（1－b）·4b（1－c）·4c（1－d）·4d（1－a）＝4a（1－a）·4b（1－b）·4c（1－c）·4d（1－d）≤［a＋（1－a）］2·［b＋（1－b）］2·［c＋（1－c）］2·［d＋（1－d）］2＝12·12·12·12＝1，由此可见，4a（1－b），4b（1－c），4c（1－d），4d（1－a）中不可能都大于1．

例6已知x＞0，y＞0，且x＋y＝4，S＝（6－x）·（5－y），求S的最大值．

解：依定理，知4S＝4（6－x）（5－y）≤［（6－x）＋（5－y）］2＝［11－（x＋y）］2＝（11－4）2＝49，S≤49／4，当x＝21／2，y＝11／2时，Smax＝49／4．

当然，定理最主要还是应用于巧证不等式方面．

例7已知y－2x＝z，求证：y2≥4xz．（文［1］例2）

证明：由题设，知y＝2x＋z．依定理，知（y）2≥4·2x·z，或2y2≥8xz，即y2≥4xz，证毕．

纵观以上各例，依定理解题，显得规律有序，思路清晰，方法简便，且显然优于原来的方法．

例8正数x，y，z，a，b，c满足条件a＋x＝b＋y＝c＋z＝k．求证：ax＋by＋cz＜k2．（1987年（前）苏联数学奥林匹克试题）

证明：传统证法大半是构造正三角形或正方形，利用面积关系证之．今依定理，即刻知4ax＋4by＋4cz≤（a＋x）2＋（b＋y）2＋（c＋z）2＝k2＋k2＋k2＝3k2，

于是，ax＋by＋cz≤（3／4）k2＜k2，故证毕．

可见，依定理还有意外收获，得到原式的一个加强式：ax＋by＋cz≤（3／4）k2．而这一加强难在传统证法中体现出来．

例9已知a＞1，b＞1，c＞1，求证：

（a2／（b－1））＋（b2／（c－1））＋（c2／（a－1））≥12．

证明：依定题，知a2＝［（a－1）＋1］2≥4（a－1）·1＝4（a－1）．同理b2≥4（b－1），c2≥4（c－1），于是，（a2／（b－1））＋（b2／（c－1））＋（c2／（a－1））≥

4（（（a－1）／（b－1））＋（（b－1）／（c－1））＋（（c－1）／（a－1）））≥4·3＝12，证毕．

例10设x，y为非负数，且满足x＋y＝1，求证：

1＋≤＋≤2．

证明：考虑（＋）2＝2（x＋y）＋2＋2＝4＋2，或＋＝，依题知及定理，有0≤4xy≤（x＋y）2＝1，故≤＋≤．

于是1＋≤＋≤2，证毕．

定理（a＋b）2≥4ab的优化解题功效远不止这些，只要留心些，读者必定还会有所发现和创新．令人振奋的是，从基本不等式a＋b≥2，平方即可得（a＋b）2≥4ab；但令人遗憾的是，a＋b≥2的应用，已是老生常谈，而（a＋b）2≥4ab却少见报道．笔者试图通过本文，借以引为重视!

参考文献

1丁保荣．信息与解题．中学数学教学参考，2001，5

2罗增儒．看透本质，优化过程．中学数学教学参考，2001，6

3罗增儒．数学解题学引论．西安：陕西师范大学出版社，1997