数学证明的教育价值

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目前，数学教育界都在关注《国家数学课程标准(初稿)－－目标体系》的研讨，其中一个热门的话题是如何处理中学几何课程的改革。争论焦点之一是如何看待几何中逻辑推理的教育价值。为此，笔者认为首先应该探讨一下数学证明的教育价值。

一、问题的提出

从一组原始概念和命题(即公理)出发，经过逻辑推理得到一系列的定理和证明，这就是几千年来数学学科所遵循的研究模式。但随着数学的发展，特别是电子计算机的出现，人们对上述研究模式产生了怀疑。其中最典型的一个例子就是所谓“四色问题”的证明。下面详细谈一下由“四色问题”所引起的争论。

1852年，英国数学家F.Guthrie(格思里)在给他弟弟的一封信中说：“看来每幅地图若用不同颜色标出邻国，只要用四种颜色就够了。”这就是“四色问题”的由来。一百多年来数学家们不断努力企图用数学方法来证明这个结论。直至1970年左右，问题归结为计算几千个不可约构形的问题〔1〕，但其计算量之大是难以想像的，因此人们望而生畏。1976年美国两位计算机专家K.Appel(阿佩尔)和W.Haken(哈肯)找到了一种新的计算方法。他们用了三台IBM计算机经过1000多个小时(约52天)的运算，“证明”了格思里提出的结论是正确的。因此，“四色问题”得到了“证明”。

阿佩尔和哈肯的“证明”引起了人们的争论。首先，他们的“证明”，其计算机程序就达400多页，要用人工去检验其程序有无问题是十分吃力的。因此，似乎无人愿意再去重复阿－哈的“证明”。其次，能否保证计算机在计算过程中绝对不出错误？第三，人们无法确定计算出现错误是计算机本身的机械或电子方面的毛病，还是“证明”过程本身逻辑有问题。

于是就引起了什么是“数学证明”的争论。

有些数学家认为数学证明只能是以人工可重复检验的逻辑演绎(计算也是一种演绎)过程，否则只能称为计算机证明，二者不能混为一谈。因此，按这种观点，“四色问题”只能称已得到了计算机证明，而不能称已得到了数学证明。

但是，另一些数学家反驳说，用人工来检验也可能产生错误。例如，数学史上曾有不少数学家(如意大利的Saccheri，法国的Legendre)声称他们已“证明”了欧几里得第五公设(即欧氏平行公理)。但后来发现他们的“证明”均有问题，其主要错误在于他们利用了与第五公设等价的命题，因此从逻辑上说他们都犯了循环论证的错误。

另外人工逻辑演绎证明可以重复吗?

众所周知，群论中有一个著名的所谓有限单群的分类定理，单群的概念是由Galois(伽罗华)在1830年最初给出的。一百多年来数学家企图对单群进行分类。直至20世纪80年代，由100多位数学家组成的非正规“队伍”，他们共同努力列出所有的单群并证明这样的列举是完全的。在花费了成千上万个小时以及发表了几百篇论文之后，这项工作才得以完成，证明长达15000多页!〔2〕试问谁还愿意(或说可能)去重复他们长达15000多页的证明?(恐怕连读一遍都不愿意。)

于是问题就不集中在“证明”是否可检验的问题上了，而在于人们如何来理解“证明”的真正含义。数学证明的功能到底是什么?

二、数学家们对数学证明的看法

国际数学教育委员会(ICMI)在《计算机对数学和数学教学的影响》报告中指出：“借助于计算机的证明不应该比人工证明加以更多的怀疑……，我们不能认为计算机将增加错误证明的数目，恰恰相反对计算机证明的批评，例如四色问题的证明，主要集中在它仅依靠蛮力和缺乏思考的洞察力。……计算机证明会给人们带来一些新启示，会激励人们去寻找更好的、更短的、更富有说服力的证明，会鼓励数学家去更准确地把握形式化的想法。”

英国数学家Atiyah(阿蒂亚)在评论“四色问题”的证明时说：“这证明是一大成功，但在美学观点上看极令人失望。完全不靠心智创造，全靠机械的蛮力。科学活动的目的是理解客观世界并进而驾驭客观世界，然而我们能说‘理解’了四色问题的证明了吗?”“数学是一种艺术，一种使人摆脱蛮力计算，而且成熟概念和技巧，使人更轻松地漫游。”〔3〕

Bourbaki(布尔巴基)在《数学的建筑》一书中说：“单是验证了一个数学证明的逐步逻辑推导，都没有试图洞察获得这一连串推导的背后的意念，并不算理解了那个数学证明。”“电子计算机证明不满意者并非它没有核实命题，难道用人工花几个月检验几百页证明便更可靠了吗?而是它没有使我们通过证明获得理解。”

C.Hanna说：“证明是一种透明的辩论，其中用到的论据、推理过程……都清楚地展示给读者，任由人们公开批评，不必向权威低头。”

J.Horgen在《科学的美国》杂志上发表一篇题为《证明的死亡》中指出：“用计算机作实验，来证明建立定理，如四色问题，任何人不能执行如此长的计算，也不能指望用其他办法验证它。……因此这就突破了传统证明的观念，所以，不能再以逻辑推理作为证明数学命题的惟一手段。”

R.Wilder(怀特)说：“我们不要忘记，所谓证明不只在不同的文化有不同的含义，就连在不同的时代也有不同的含义。”“很明显，我们不会拥有而且极可能永远不会有一个这样的证明标准独立于时代，独立于所要证明的东西，并且独立于使用它的个人或某个思想学派。”

更有甚者，英国数学家哈代(G.H.Hardy)说：“严格说起来根本没有所谓数学证明……，归根到底我们只是指出一些要点，……李特伍德(是和哈代长期合作的一位数学家棗笔者注)和我都把证明称之为废话，它是为打动某些人而编造的一堆华丽辞藻，是讲演时来演示的图片，是激发小学生想像力的工具。”〔4〕

从以上一些数学家对“证明”的看法，我们可以得出这样的结论：证明的真正含义并不在于检验核实命题，而在于理解命题，启迪思维，交流思想，导致发现。

很明显，如果你能给出某一命题的一个证明，那么你可以说你理解了(或说你懂了)这个命题。如果你能用这个命题的证法去解决另一个问题，例如，学生用一个定理的证法去做一道习题，那么，你在解决这个问题的思维过程中必然是受到原来命题证法的启发。为了你和其他人交流对某一命题的理解，最好的办法就是你们共同商讨对此命题的证明。下面我们再来较详细地讨论一下证明能够导致发现的功能。

前面已经说过，意大利数学家Saccheri和法国数学家Legendre对第五公设的“证明”，显然他们都没能证明欧氏平行公理，但是通过他们的证明使后来的数学家对欧氏平行公理有了更为深刻、更为清楚的理解，并最后导致了非欧几何的发现。因此，Saccheri和Legendre等人被公认为发现非欧几何的先驱者。事实上，Saccheri和Legendre等人的思想方法已经打开了一条通向非欧几何的大门。因为他们从第五公设不成立这一假定下推出的许多事实，恰恰就是非欧几何中的定理。

计算机证明同样有导致发现的功能，其中一个较为典型的例子是分形几何的创立。早在20世纪20年代，法国数学家Julia就开始着手研究分形几何，但是由于这种几何图形的惊人复杂性，Julia的研究沉寂了几十年。直到60年代以后，美国数学家B.Mandelbrot(曼德勃罗)开始用计算机来画图，才使分形几何得到了真正的发展。因此人们普遍认为分形几何是由曼德勃罗创始的。〔5〕

由于计算机的介入，新一代的数学家已经开始在计算机上实验自己的各种思想。甚至他们宣布自己是实验数学家，着手建立数学实验室，创办《实验数学》杂志。同时他们对数学提出了一些新的看法：

1.对数学追求的是理解，而不是证明；

2.重视发现与创造，数学的本质在于思想的充分自由与发挥人的创造能力；

3.追求对解决问题的数学精神，利用数学更好地解决、处理复杂的自然现象。

三、数学证明教学价值的新理解

如前所述数学证明的真谛不在于能证明命题的真假，而在于它能启发人们对命题有更深刻的理解，并能导致发现，因此这就突破了传统教学中对数学证明的观念。特别是由于计算机介入了证明之中，用机器证明产生定理(如四色问题等)，所以人们不再以逻辑推理作为证明数学命题的惟一手段，于是提出“实验证明”的想法，即实验也应该成为判断数学命题真假的一种手段。人们不再一味地追求证明所得出的结论，而在于通过证明的过程去追求对数学知识的真正理解。

另外，从认知理论的观点来看，数学知识不能简单地由教师传递给学生，而应该通过学生自己认知结构的改变去建构学生自己对数学的理解。因此，在数学中如果只重视逻辑演绎式的数学证明将无助于学生真正掌握数学知识，无助于学生形成良好的认知结构。命题教学的目的不应是去核实命题的正确性，而是要让学生通过证明去理解命题，并能重新构建学生自己的新认知结构。 “公务员之家”版权所有

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综合以上观点，我们认为数学证明的教育价值在于：

1.通过证明的教与学，使学生理解相关的数学知识；

2.通过证明，训练和培养学生的思维能力(包括逻辑的和非逻辑的思维)以及数学交流能力；

3.通过证明，帮助学生寻找新旧知识之间的内在联系，使学生获得的知识系统化；

4.通过证明，使学生更牢固地掌握已学到的知识，并尽可能让学生自己去发现新知识。

根据以上观点，我们在数学教学中应该重视非逻辑证明的教学；适当降低和减少逻辑演绎在数学教学中的地位与时间，加强实验、猜测、类比、归纳等合情推理在数学教学中的地位与作用。这里需要注意的是要合理选择学生能够接受的逻辑证明与非逻辑证明的方法，强调一种、排斥另一种证明方法都会妨碍学生对数学的认识与理解。

注：〔1〕K.Devlin著、李文林等译：《数学：新的黄金时代》，上海教育出版社版。

〔2〕申大维等译：《数学的原理与实践》，高等教育出版社1998版。

〔3〕M.阿蒂亚著：《数学的统一性》，江苏教育出版社版。

〔4〕G.H.哈代著：《一个数学家的辩白》，江苏教育出版社版。

〔5〕王健吾著：《数学思维方法引论》，安徽教育出版社版。