小议我国人口增长预测

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摘要：通过对本题数据以及网上我国近三十年实际人口的研究和分析，发现我国当前的人口形势和发展规律呈现出新的特点，据此将题目划分为三个问题：（1）我国人口数量的中短期和长期变化趋势；（2）乡村人口城镇化程度；（3）人口老龄化问题。针对问题（1），得出结论：我国在未来10年内人口增长较快，在2015年左右达到峰值，此后增长速度减慢甚至出现负增长。针对问题（2），选择一个具有代表性的城市--成都市为例来说明问题。数据表明，成都市未来流入人口呈不断增加趋势，流入人口规模继续扩大，从而反映出我国的乡村人口城镇化程度在不断加深。针对问题（3），把全国人口划分成少年、中年、老年三个年龄段，并定义人口老龄化指数η来衡量我国的人口老龄化程度。

关键词：灰色系统GM(1,1)模型；Logistic模型；混沌理论重构相空间方法；最大Lyapunov指数预测；等维灰数递补动态预测模型；人口老龄化指数

1模型假设

（1）假设各年的人口数均为当年年末人口数。

（2）假设人口数量足够大,为时间的连续可微函数。

（3）假设人口不流动，即不考虑迁入或迁出对全国总人口的影响。

（4）假设生存空间等自然资源无限，不考虑自然资源对人口变化的影响。

（5）不考虑大规模疾病等意外灾难因素对人口变化的影响。

（6）不考虑同一时间间隔（例如每一年）内人口数量的变化。

（7）假设成都市人口的老龄化趋势与全国基本保持一直。

（8）假设我国的政治体制对人口状态变化的影响保持不变，如计划生育政策的稳定不变。

2符号说明

：模型（1）中表示第t年的实际人口数；：模型（1）中表示第t年的预测人口数；：模型（2）中表示内禀增长率；：模型（2）中表示初始年份；：模型（2）中表示环境条件所能容许的最大人口数；：模型（2）中表示第t年的人口数；：模型（3）中表示嵌入维数；：模型（3）中表示时间延迟；：模型（3）中表示重构相空间；：模型（3）中表示m维相空间的嵌入点数；：模型（3）中表示最大Lyapunov指数；：模型（3）中表示最长预测时间；：模型（4）中表示第k年的实际人口数；：模型（4）中表示第k年的预测人口数；：模型（5）中表示人口老龄化指数；：模型（5）中表示第i个年龄段的人数；：模型（5）中表示第i个年龄段的人数占总人数的比例。

3模型建立

3.1针对问题（1），我们建立了三个模型：

模型（1）：灰色系统模型

模型（2）：Logistic人口模型

模型（3）：最大Lyapunov指数预测模型

3.2针对问题（2）,我们建立了等维灰数递补动态预测模型：

模型（4）：

3.3针对问题（3）,我们定义了老龄化指数

模型（5）：

4模型求解

4.1问题（1）：我国人口数量的变化趋势

4.1.1模型（1）

在模型（1）中包含两个参数：和，首先需要估计出这两个参数。我们把方程（1）改写为

然后把换为并与原式作算术平均，得

求得时间函数的估计值：

我们把上述方程作为我们的人口预测方程。

根据我们上网查到的1981年~2005年的全国人口统计数据，得到如下的原始数据序列：

X(0)＝（100072101654103008104357105851107507109300111026112704114333115823117171118517119850121121122589123626124761125786126743127627128453129207129735130137）

得人口预测方程：

将各个年份分别代入上面的方程即得各个年份的人口数据预测值，然后将其分别与实际值比较，并计算出其误差。

实际值与预测值的比较图[1]

该模型对于中短期的人口预测，所得结果较为准确，大部分预测数据与实际数据的误差率都在2%以内，较好地估计出了最近几十年的人口数量。

根据我们的模型所预测出的结果，到本世纪中叶我国的人口数量将超过15亿，但是根据国内的本课题专家研究，随着我国经济社会发展和计划生育工作加强，可以预测我国的总人口将于2010年、2020年分别达到13.6亿人和14.5亿人，2033年前后达到峰值15亿人左右，即我国人口的上限不会超过15亿人。这一结论与我们的模型所得到的数据有所出入。

于是我们将模型进行改进,选择在长期预测方面比较精准的模型（2）Logistic人口模型来求解.

4.1.2模型（2）

这个问题是典型的伯努利方程初值问题，其解为：

分析上式可知：

（1）当时，，即无论人口初值如何随着时间推移而变化，人口总数总是趋向于一个确定的值；

（2），所以当人口达到极限值的一半时，属于加速增长，超过一半属于减速增长，但是增长率仍为正的，并且其增长率随时间的增加而减少。

根据1981年~2005年的全国人口统计数据，利用计算机Matlab编程得，

从而得到全国总人口数的Logistic模型方程为：

利用该模型对1981年~2005年的人口数据进行检验并对2006年~2050年的人口数据进行预测。

实际值与预测值的比较图[2]

将该模型所得结果与国内本课题专家研究组得到的数据进行比较，发现二者拟合的很好，从而保证了该模型在长期人口预测方面的可靠性。

4.1.3模型（3）

（1）重构相空间

单变量时间序列是许多物理因子相互作用的综合反映，它蕴涵参与运动的全部变量的痕迹。为此，需要把此时间序列扩展到三维甚至更高维的相空间中去，才能将时间序列中的信息充分显露出来，这就是时间序列的重构相空间。

设人口的混沌时间序列为，嵌入维数，时间延迟，则重构相空间

其中表示维相空间的嵌入点数。嵌入维数m和时间延迟可由C—C方法计算得到。

（2）最大Lyapunov指数算法

1〉时间序列｛,i=1,2,…,N｝进行FFT变换，计算平均周期P；

2〉用C—C方法同时计算出嵌入维数m和时间延迟τ；

3〉根据时间延迟和嵌入维数重构相空间；

4〉找相空间中每个点的最近邻点，并限制短暂分离，即

,，

5〉对相空间中每个，计算出该邻点对应的个离散时间步的距离；

6〉对每个，求出所有的平均,即：

其中q是非零的数目，并用最小二乘法作回归直线，该直线的斜率就是最大Lyapunov指数。

（3）最大Lyapunov指数预测模型

Lyapunov指数作为量化对初始轨道的指数发散和估计系统的混沌量，是系统的一个很好的预报参数，在很多领域有着相当广泛的应用前景。设为预测的中心点，相空间中的最近的邻点为，其距离为，最大Lyapunov指数为，即

其中点只有最后一个分量未知，故是可以预测的。上式就是基于最大Lyapunov指数的预测模型。实际表明：此预测方法具有较高的预测精度。

已知把1949年到2006年的人口数据看作时间序列，重构相空间，把人口的时间序列扩展到的相空间中去，充分显示出人口时间序列的信息，按照最大lyapunov指数算法，MATLAB编程实现，求的最大Lyapunov指数,表明人口数量为混沌时间序列。

实际值与预测值的比较图[3]

在用最大Lyapunov指数预测2001到2030年的人口，并用前五年的真实数据进行检验最大Lyapunov指数的倒数为混沌系统确定性预测的时间上界，即最长预测时间

说明该模型对我国未来34年的人口预测所得结果比较精确，较好地达到了我们的预期目标。基于最大Lyapunov指数方法不但能够充分利用时间序列资料信息，而且可以克服以往人为选择模型的缺陷，计算相对误差较小，提高了预测精度，预测效果较好。

4.2问题（2）：乡村人口城镇化程度

4.2.1模型（4）：

（1)给定原始数据序列（1）

分别从序列中，选取不同长度的连续数据作为子序列，确定任一子数据序列：（2）

（2）对子数据序列作一次累加生成记为：（3）

（3）构造矩阵与向量（4）（5）

（4）用最小二乘法求解系数（6）

（5）建立模型（7）

（6)将还原，得到流入人口预测模型方程（8）

（7)数据修正。为削弱数据列的波动变化，减少其随机性和调整数据列原有的变化态势，以符合或接近预测的需要，对预测的原始数据进行了数据三点平滑，公式为：（9）

两端点分别为：(10)(11)

平滑后数据见下表：（单位：万人）

年份20002001200220032004

统计数据217463361668391205415802419940

平滑数据253514.25333001389970410687.25418905.5

（8）构建等维灰数递补动态流动人口预测模型。根据前文所述等维灰数递补动态模型的建模方法，我们使用compaqvisualfortran6.0编制了等维灰数递补动态流入人口预测模型计算机程序。

（9）预测。应用等维灰数递补动态模型，得到成都市2005年至2030年流入人口预测数据。将该数据在坐标图中描点作图，如图[4]：

图[4]：成都市流入人口趋势图

经过残差检验，可以看出，在对我国城市流动人口的预测方面，本模型的预测误差较小，变动均匀，平均误差仅为，预测精度较高。

4.3问题（3）：人口老龄化问题

首先，把全国人口划分成少年、中年、老年三个年龄段，将年龄段划为少年段，处在该年龄段的人数记为，年龄段划为中年段，处在该年龄段的人数记为，年龄段在61以上为老年段，处在该年龄段的人数记为。

然后定义人口老龄化指数，因为人口老龄化是指总人口中老年人所占比重上升，所以我们用老年段中的人口数量与总人口数量的比值来表示人口老龄化指数，即

记各个年龄段的人口数量占总人口数量的比值为，全国人口总数为，则易得，从而有

以2001年为例，将年龄段在0~15岁的城、镇、乡中男、女人口占总人口的比值全部相加，即得到少年段人数占总人数的比值，

按照同样的方法，可以求出2002年~2005年各年的人口老龄化指数，如下：

然后以这5个数据为已知数据，来预测未来5年的人口老龄化指数，进而分析我国今后短期内的人口结构变化情况。我们采用二次拟合的方法，用抛物线对已知数据进行拟合，并对未来5年的人口老龄化指数进行预测，得到结果如下表：

年份20062007200820092010

老龄化指数11.97%12.16%12.31%12.42%12.47%

将2001年~2010年各个年份的人口老龄化指数在坐标图中描出，如图[5]：

图[5]：未来5年的人口老龄化指数

我国《国家人口发展战略研究•人口发展预测》课题研究小组针对中国老龄化日益加重的现象，收集了中国历年60岁和65岁以上的老年人口数据，并利用相关模型进行预测，得到中国未来45年老年人口变化趋势图,如图[6]

图[6]：中国未来45年老年人口变化趋势图

该变化趋势图与我们所得的各年份人口老龄化指数变化趋势图在相应年份的变化趋势吻合的相当好,较好地验证了我们的结论。

5结果分析

5.1问题（1）：我国人口数量的变化趋势

通过三个模型对中国过去人口数据的分析检验,以及对未来总人口的预测分析，我们可以得到如下结论：

（1）“八五”期间中国人口年平均自然增长率为11.60‰，“九五”期间已降为9.11‰，“十五”期间则降至5.93‰，到2010年中国人口自然增长率将下降到3.3‰左右。

（2）2003年~2010年，中国每年净增人口数将由750万逐步下降到430万左右；到2030年，年净增人口数为70~90万；而到2050年，年净增人口数将不足20万。到那时，中国人口将基本实现零增长。

（3）到2010年底，中国人口将达到13.31亿，《中国21世纪初可持续发展行动纲要》的目标完全可以实现；到2020年底将达到13.60亿；到2030年将达到13.73亿左右；而到2050年最多达13.90亿。如果中国政府继续坚定而有效贯彻计划生育方针，在社会经济极大发展、人民精神文明和整体素质显著提高的前提下，中国总人口的极限值将不会超过14.5亿。

5.2问题（2）：乡村人口城镇化程度

由图[4]可知，成都市未来流动人口呈不断增加趋势，流动人口规模将继续扩大，流动人口将由2005年的45．85万人增加到2030年的70．37万人，年均增加0．98万人。这就从另一个方面说明我国的乡村人口城镇化程度在不断加强。

5.3问题（3）：人口老龄化问题

在未来的5年中，我国人口的老龄化问题仍然存在并且会逐年加剧，这势必会导致我国的抚养比不断提高，对社会保障体系和公共服务体系的压力加大，并影响到社会人际关系的和谐发展。就该人口老龄化问题，我们在此给政府提出了几点建议，希望对解决该问题能有所帮助。具体建议是：

第一，提高对老龄化问题的认识。要加强舆论宣传和引导，强调我国人口老龄化趋势加快的严峻性，对社会经济发展影响的紧迫性，以及实施健康老龄化战略的重要性，提高各级政府和领导的思想认识，增强全社会的老龄意识。

第二，明确国家老龄工作的方向。将实施健康老龄化战略纳入国家"十五"计划和中长期发展规划中，结合经济发展进程和城乡不同情况，精心设计和构筑我国老龄的工作体系，明确提出目标要求、工作重点、投入力度、检查标准。

第三，落实到各地的发展计划中。要求各级政府高度重视，把本地区老龄工作列入议事日程，根据国家的要求，结合自己的实际，纳入当地的经济和社会发展计划中，采取分工负责和齐抓共管方式，对老龄工作有管理、有服务、有措施、有检查。