最适钢筋裁切疑问之研讨

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摘要:传统对於钢筋材料损耗常以假设值表示材料损耗，其中钢筋搭接可视為基本损耗，唯残料的损耗却常被忽视，虽然钢筋裁切过程一定会有残料產生（定尺料除外），但如何控制残料的成本确是一项难题。由工程实例中，发现钢筋过磅的吨数，往往比料单计算吨数超出许多，此主要受到需求尺寸及供给尺寸问题效应影响，而此复杂的交互关系，往往超过一般人力所能处理。為此，本研究将钢筋裁切问题公式化為线性规划数学模式，并以单形法（Simplexmethod）辅助选择最这钢筋切料组合。应用上，本文以台湾省公路局悬臂式挡土墙设计标準图主筋裁切為例，尝试建立不同挡土墙高度之主筋裁切最这钢筋需求配置，试想若能透过这当钢筋裁切计画使残料数量降低，其间的效益不可忽视。

关键字：钢筋裁切问题、管理科学、线性规划、单形法、挡土墙

Thestudyfortheoptimaltrimlossproblemofsteelbar

-usingretainingwallasanexample

ABSTRACT

Thetraditionalviewfortreatingtrimlossproblemofsteelbaralwaysassigndefaultvalueasconstructionconsumptionloss,andoneoftheseissteelbarslappingthatisregardedasfundamentalloss.Althoughitwouldgeneratescrapduringtrimprocessofsteelbar,scraplossisfrequentlyneglectedandcontrolofscrapcosthasbeenadifficultproblem.Inpracticalconstructioncase,itisfoundthatactualhappenedtonsoftenexceedcalculatedquantitiesofbillofmaterialscausedbytheproblemofrequiredsizeandsuppliedsize.Becauseofcomplicatedinter-relationship,itisbeyondmanualcalculation.Thisstudywouldformulatetheproblemintolinearmathematicsmodelandcombinesimplexmethodtoassistchoosingtheoptimaltrimcombinationofsteelbar.Inapplication,itwouldusetrimproblemofcantileverwallforTaiwanHighwayBureauasanexampletoestablishtheoptimalrequirementlayoutofsteelbarbydifferentretainingwallheight.Itwoulddecreasescrapthroughappropriatetrimplanofsteelbarandtheefficiencyisobvious.

Keywords:trimlossproblem,sciencemanagement,linearplan,simplexmethod,retainingwall

一、前言

营建工程传统上，常被视為主导国家发展的火车头工业；近年来，营建景气不佳，使营建厂商的生存受到考验，根据行政院主计处85年工商普查资料，国内营造业五年的存活率约為八成左右，而营造业对於国家整体经济成长的贡献度，也由民国八十一年的+0.84%，降至民国八十九年-0.15%，这显示营造业面临的困境。根据内政部营建署「八十八年台闽地区营造业经济概况调查」统计资料得到，营造业之营建材料耗用价值约佔营业支出43.6%较劳动支出19.7%高出许多，因此若能有效控制材料成本支出，对於企业工程获利会有一定程度的助益。以民国八十七年台湾地区建筑工程钢筋钢骨使用量7,887,000吨计算（不含土木工程），每年营建工程钢筋材料支出费用之鉅大，可想而知。由此瞭解，营建工程若要透过材料来降低工程成本，可由钢筋工程材料控制著手。一般营建工程钢筋材料，除钢筋本身具有的需求重量外，尚需纳入钢筋搭接重量及钢筋裁切后的残料重量。其中，钢筋搭接部分，受限钢筋供给尺寸长度及施工上的限制，所以若要控制钢筋搭接部分，则须配合其它施工技术改良，不过此过程可能涉及劳动型态改变，整体效益未必能有效提昇；若由钢筋残料控制的话，由於分析过程钢筋料单的号数及长度皆為已知资料，加上外在因素影响受限较少，所以透过钢筋残料控制，為可尝试採行的方法。

钢筋工程对於钢筋需求尺寸裁切，主要是依据钢筋施工拣料图（施工图），整理得到的料单需求尺寸及数量进行钢筋裁切，不过如何在钢筋供给尺寸限制的情形下，将有限的钢筋供给尺寸裁切成需要的尺寸，并使钢筋裁切后的钢筋残料為最少，并不是一件间单的事；其中，钢筋裁切组合率计算问题，将使人力无法有效克服。而传统使用的钢筋裁切原则，应用上，未必能获得满意的解答，对於钢筋裁切的原则，可归纳目前钢筋裁切的几种做法：

1.订购较长的钢筋供给尺寸或增加钢筋供给尺寸的种类：此类做法能有效取得较多钢筋裁切组合，以提高取得较短残料长度的机会，不过在钢筋裁切组合增加时，会面临总体裁切组合运算时间问题，有时问题总体裁切组合高达数亿种，这非人力所能处理。

2.订购定尺钢筋：此举对於採购大量单一尺寸的钢筋，是一可行的方法，不过定尺钢筋单一尺寸重量小於25T~50T，钢筋材料製造商会要求每吨钢筋加收200元~500元不等价钱，因此未必能实质获得利益，更况且部分业主（如军方、国宅处、公路局等）為节省材料费用，以大宗採购的方式处理，藉以降低钢筋单价成本，如此钢筋供给尺寸更无从选择。

3.钢筋需求尺寸由长至短进行裁切：此法处理原则在於较长的需求尺寸优先处理后，较短的钢筋需求尺寸将更容易处理，此种做法只能视為邻近搜索的程序。根据作者的实作分析资料发现，钢筋裁切组合的复杂度与需求及供给钢筋的尺寸及数量有密切的关系，因此上述做法对於钢筋残料的控制，实质助益并不大。

上述说明目前专业分包商对於钢筋裁切问题处理的原则，不过根据作者实际访谈钢筋专业分包商，得到目前营建工程钢筋裁切后的钢筋总重量，会较钢筋料单的重量约增加5%~15%（以足量钢筋為主），此部份大多由钢筋残料產生的重量构成。以民国八十七年建筑工程钢筋材料為例，整年钢筋残料损耗可能高达拾数亿元，这对於业主及钢筋专业分包商是不利的；就业主而言，必须额外增加钢筋材料成本支出，额外支付材料费用；就钢筋专业分包商而言，除降低分包商的竞争优势；另外，残料重量百分率超过业主要求时，多出部分必须自行吸收，降低工程获利，假若能有效控制钢筋残料，则可创造双赢的结果。

為此本研究将钢筋裁切问题公式化為线性规划数学模型，加以处理。以线性规划技术处理钢筋裁切问题，首先必须瞭解问题型态；就钢筋材料问题而言，由於问题抉策变数单位為根数，因此问题数学模型属於整数规划问题，不过以整数规划分析问题时，若问题抉策变数较多时，分析过程会浪费过多电脑运算时间，使其分析效益降低；為有效降低问题计算时间，得建立线性数学模式处理，并将分析所得结果，属於非整数的抉策变数进行整数调整，其结果会与整数规划结果接近，唯此做法可使问题变得更易处理，问题分析时间复杂度也将大為缩减。

二、有效钢筋裁切组合

在钢筋供给（或需求）尺寸与数量确定后，未进行问题分析前，应就钢筋供给尺寸及钢筋需求尺寸，建立满足问题需求的钢筋裁料组合，此过程通常必须经过钢筋总体裁切组合计算及有效钢筋裁切组合计算两个步骤，才算是完成问题裁料组合计算；其中，钢筋总体裁切组合计算，最需要控制的是避免钢筋供给尺寸对应钢筋需求尺寸时，產生过多钢筋总体裁切组合，此现象在钢筋供给及需求尺寸数目过多或钢筋供给尺寸与需求尺寸长度差异过大时，较易產生，而钢筋总体裁切组合仅能以穷尽搜索方式求得，因此需特别注意钢筋供给尺寸及需求尺寸两者间的关系，以避免大幅增加钢筋总体裁切组合计算时间。由於钢筋总体裁切组合包含有效及无效的钢筋裁料组合，假若能将问题无效的钢筋裁料组合剔除，将能大幅降低钢筋裁切组合数，如此将能大大降低问题数学模式的复杂度，亦能有效降低演算工具的求解时间；由此得知，问题数学模型建立之前，必须先建立钢筋有效裁切组合。钢筋有效裁切组合定义：「系指钢筋供给尺寸减去该钢筋裁切组合剩餘钢筋长度，即為钢筋裁切残料长度，当裁切残料长度大於等於零，并小於钢筋最小需求尺寸时，此钢筋裁切组合称為有效钢筋裁切组合」。判断有效钢筋裁切组合的判别式為Lmin?TL?0（Lmin：钢筋最小需求尺寸，TL：裁切残料长度）。虽然钢筋有效裁切组合与数学演算工具有关，不过要取得有效裁切组合，仍必须计算总体裁切组合部分，假若计算所得钢筋总体裁切组合过多时，仍需将问题分段处理，以降低问题复杂度。

三、钢筋裁切问题数学模式

以下分别说明线性规划的发展与基本假设及钢筋裁切问题数学模型建构。

3.1线性规划的发展与基本假设

规划问题的应用最早為经济学家所提出，诸如VonNeumannLeontief等人贡献良多，惟线性规划型式之问题，最早於1941年由Hitchcock解出运输问题。1942年苏俄Kantorovitch亦列出运输问题，但并未获得解答。1945年经济学家stigler解出最经济的食谱，但并未应用线性规划解法，直到以MarshallK.Wood為首的小组，為美国空军解抉分配的问题（Allocationproblems），GeorgeB.Dantzig於1947年列出一般线性规划问题，并以单形法求得解答后，线性规划问题正式為各界所承认及应用。1951年后，线性规划问题之理论与应用进步甚為神速，DavidGale,H.W.Kuhn,A.W.Tucker,A.Charnes,W.W.Cooper等人贡献良多，使得线性规划问题成為各界应用最為广泛的工具[1,2]。

一般建构线性规划数学模型时，必须具备三个条件：（1）目标函数及限制条件均為线性函数；（2）限制条件為等式或不等式；（3）所有抉策变数的值必须大於等於零。以线性规划表达一个实际的问题时，必须符合线性规划四点基本假设（1）比例性（Proportionally）：（2）可加性（Additivity）；（3）可分性（Divisibility）；（4）确定性（Certainty）。由於钢筋裁切问题求解的困难度，在於问题抉策变数（有效裁切组合）及问题限制条件的多寡，通常钢筋抉策变数较少时，以人脑判断尚可获得不错的解答，惟实务应用上，钢筋裁切问题供应与需求之间的关系甚為复杂，因此產生的抉策变数数量也相当多，此时人力将无法有效处理，必须藉助数学演算工具处理问题。以线性数学模型描述钢筋裁切问题，有下列几项优点：

1.钢筋裁切问题这合以数学模型之数学符号表达，把复杂的钢筋裁切问题具体化表达，并透过符号定义问题抉策变数及限制条件的关系。

2.透过数学模型建构，将复杂实际现象藉由这当模式间化，以利运算分析。

3.以数学模式分析，相较於经验分析，可以套用於任何近似钢筋裁切问题，如此可节省大量分析时间及成本。

3.2钢筋裁切问题数学模型建构

钢筋裁切问题之数学模型，如下所示：

MinZ=c1X+c2X+??+cnX（1）

s.t.

a11X+a21X+?????+an1X?b

a12X+a22X+?????+an2X?b

a1mX+a2mX+??????+anmX?b（2）

?X?0（i=1~m）

符号意义：

Z：问题目标函数。以钢筋残料重量最小化為目标。

X：问题抉策变数。表示钢筋裁切组合i的配置根数。

cn：残料长度。表示第n种钢筋裁切组合之钢筋残料长度。

anm：常数。表示第n种钢筋裁切组合对应至第m种钢筋需求尺寸之裁切段数。

bm：右手系数，表示第m种钢筋需求尺寸数量。

i：表示钢筋裁料组合编号（i=1~n）。

j：表示钢筋供给长度编号。

问题公式化為数学模型后，须选择这当的演算工具求解问题。一般线性规划问题的可行域是有界的，并且為凸集合，因此端点的个数為有限个，再加上端点通常為基本可行解，所以问题最佳解必然发生於可行域的端点上，虽然端点的个数為有限个（基本可行解的计算，=(n+m)!/(n!m!)，（n=抉策变数，m=限制条件），理论上应可採”穷尽搜索”找出所有端点基本可行解，再将这些基本可行解代入目标函数后加以比较，即可求出最这解答，然在n及m的数目很大时，问题基本可行解将会变得很大，例如n=100、m=50，此时=?1029种可行解计算组合，因此穷尽搜索的方式似乎不太可行，故处理线性规划数学模型时，需借助有效的演算工具处理，一般处理线性规划的方法，有图解法（GraphicMethod）、人工基底法（ArtificialBasisMethod）、对偶问题（DualProblem）及单形法（SimplexMethod）；其中，以单形法最广為应用。

四、个案应用

国内悬壁式钢筋混凝土挡土墙设计，若土壤基本惨数条件，符合台湾省政府交通处公路局道路工程标準图之钢筋混凝土悬壁式挡土墙标準图资料[3]，则可採用该标準图资料进行挡土墙设计及施工，应用上，相当便利。此标準图不仅提供不同高度的挡土墙设计断面尺寸，并提供钢筋配置所需号数、尺寸及间距，这对钢筋工程而言，可省去钢筋料单製作的程序，不过该标準图并无标示钢筋裁切计画；因此工程在同洋的钢筋供给尺寸下，不同钢筋裁切规划人员，可能会分析出不同的钢筋组合，相对主筋残料的形成，亦会有所不同，这对於承包商的工程成本会產生影响。以台湾省交通处公路局八十六年版的公路工程施工说明书之施工说明书总则对於局供钢筋材料明定，钢筋损耗依尺寸而分，13mm（#4）径以下者為5%，16mm（#5）径至22mm（#7）径者為8%，25mm（#8）径以上者為10%，且上列损耗率均已包含钢筋之搭接、裁切零头及為弯扎设计图尺寸而所号之一切损失；表面上，主办单位似乎已将不同的钢筋损耗列入考量，不过不同钢筋需求尺寸及钢筋供给尺寸，其產生的钢筋残料比率是不稳定的，因此需要这当的辅助工具协助工程人员处理此一复杂问题。

由於挡土墙属於线性结构工程，因此分析上，可以单位长度进行分析；在此，以1公里為其单位长度。公路局悬壁式钢筋混凝土挡土墙设计标準图，依挡土墙高度区分，计有11种标準设计范例，分别為高度4.35、4.85、5.40、5.95、6.50、7.05、7.60、8.20、8.80、9.40及10.00等11种。悬壁式钢筋混凝土挡土墙主筋配置示意图，如图1所示；挡土墙各部尺寸及材料数量，如表1所示；挡土墙主筋间距及尺寸表，如表2所示。由於挡土墙属於线性结构，因此钢筋裁切计画进行分析时，横向副筋部分（温度钢筋）并不需进行钢筋裁切计画，其钢筋订料策略為方便施工原则下，採购较长钢筋尺寸或配合伸缩缝设置长度，以降低钢筋搭接长度造成的材料浪费。因此挡土墙钢筋裁切计画，仅针对纵向主筋部分即可，如此可使问题复杂度降低，因此问题分析重点可著力於挡土墙主筋裁切，使得分析结果在满足钢筋供给限制条件下，不同高度挡土墙的钢筋裁切残料损耗為最少。

图1挡土墙主筋配置示意图

问题分析上，本文分别以11、12、13、14、15、16及11M~16M等七种钢筋供给尺寸组合，进行钢筋裁切分析，表3為单位长度不同高度挡土墙单位长度钢筋需求根数。本文採用的线性规划演算工具為单形法，由图2得到钢筋供给尺寸為11M~16M综合供给尺寸可获得最少钢筋残料，在11种不同高度的挡土墙，获得最这钢筋残料重量百分率介於0.453%~2.612%（以定尺料為基準）之间；由此结果，验证了上述制式钢筋残料损耗比率是不理想，且不经济的，假若工程主办单位能供应分析所得乱尺尺寸及数量，则工程承包商在主筋重量上，相对可节省一定比率钢筋材料费用；相对工程主办单位若无法提供分析所需乱尺料钢筋，则承包商可能会面临局供钢筋材料不足的现象，因而降低工程获利；為使工程双方达到双赢的境界，最这当的方法，即是工程发包单位应先进行钢筋裁切分析，由承包商依分析结果进行钢筋裁切加工，如此双方均能有所获利，以避免资源浪费的现象，一再重演。表4為不同高度挡土墙最这钢筋裁切组合，由该表得到最这钢筋裁切组合，均由不同的钢筋供给尺寸构成，这意味供给尺寸种类越多，相对钢筋裁切组合也会增加，而钢筋残料降低的机率，亦会相对增加，不过问题分析复杂度也会明显增加；另外，由最这裁切组合发现，并无任一种钢筋供给尺寸具裁切的优势，不过较长供给尺寸的钢筋，似乎有较高的竞争优势。表5及6分别為乱尺钢筋及定尺钢筋成本差异分析的成本关系式，由於两者成本差异不含钢筋弯曲加工及邦扎施工，因此钢筋弯扎费用，可不计入计算。

五、结论与建议

1.本文将钢筋裁切问题公式化為线性数学模式，并透过有效的规划求解程序，藉以辅助工程管理人员分析之用。

2.由个案分析结果，得到钢筋供给尺寸总类多寡，对解答有一定程度的影响，当钢筋供给尺寸总类越多时，钢筋残料降低的机率相对会提高。

3.由於钢筋裁切问题之数学模式建立与实际状况接近，因此受限不确定性因素的影响较小，所以分析结果较符合实际需求。

4.上述说明如何处理钢筋材料的问题，不过应用上，钢筋裁切问题并非想像中间单，所以正确方式是积极培养营建管理科学分析师，如此方能使得量化管理技术更上一层楼。

六、惨考文献

[1]叶若春，线性规划（增订本）-理论与应用，中兴管理顾问公司(1986)。

[2]黄锦川，朱美珍。管理数学。五南图书出版公司：459-461(1999)。

[3]台湾省政府交通处公路局，道路工程之钢筋混凝土悬壁式挡土墙标準图(1990)。