优化计算数字水印容量论文

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编者按：本文主要从引言；信道容量的数学分析；信道容量计算公式的简化；模型的约束性优化和扩展；结果分析进行论述。其中，主要包括：数字水印可视为通信理论的一种应用、数字水印系统分为水印嵌入编码，攻击信道，和水印译码三个模块、数字水印的实施过程、水印的信道容量是所有可达速率的上限、对于公开水印和私有水印，其信道容量均不超过、引入加性噪声信道的概念、目前关于信息论的许多研究都从加性噪声信道分析入手、可将水印理解成一种带有边信息的通信博弈、当失真测量为简单的差度量度时，该失真度由加在上的干扰限制决定、满足零均值，方差为的高斯分布等，具体请详见。

论文摘要：从信息论的角度，针对基于高斯噪声信道的数字水印容量作了初步探索。在详细阐述图像数字水印基本原理和水印信道的构造及生成方式的基础上，针对高斯信源分布具有最大的不确定性、能够在所有的二阶随机分布中提供最大信息熵的特点，重点分析了在高斯分布情况下的整个水印信道通信过程；并引入平均互信息理论，给出了基于高斯的水印信道容量的最大通信速率；同时分析了加性噪声信道下的容量问题，将高斯分布扩展到了非高斯分布，给出并优化了容量计算表达式，同时利用MATLAB软件工具给出了非高斯信源水印容量与受限失真度的二维和三维关系仿真曲线；最后结合实际给出了结果分析。

论文关键词：数字水印；信道容量；高斯噪声信道;攻击信道；信息论；

0引言

数字水印可视为通信理论的一种应用[2]。随着对数字水印算法可靠性要求的提高，目前的数字水印不论在数学理论上和技术上均不成熟，对数字水印系统的公式描述仍然没有统一的定论，在数字水印系统最终性能方面存在较多的不确定性[1,7,8]。这些均可以从信息论的角度上寻求解决出路。

数字水印系统分为水印嵌入编码，攻击信道，和水印译码三个模块。这里，我们对一般数字水印模型提出了改进，在水印嵌入之前加入待嵌入信号预处理，给出了对于水印通信模型的更加恰当的描述，如图1。

根据改进系统框图，数字水印的实施过程可分为如下步（只考虑图像水印）：

（1）密钥生成：在进行水印处理之前，随机密钥经伪随机信号发生器生成，并在编码和译码端可知；该密钥与待嵌入消息M和原始载体信宿相互独立。

（2）形成水印信号：通过一预处理器对消息M作压缩或编码预处理，同时还可利用原始载体信宿提供的边信息进行预编码，保证水印的唯一性，改善误码率，提高通信容量。

（3）水印嵌入：待嵌入消息水印信号M通过某种算法，与密钥进行相关处理，被嵌入长为N的载体序列中，生成的图像水印可表示为，且。

（4）攻击信道：该生成水印在传输过程中将会受到恶意攻击导致其中的W信号被去除而生成被修改的信号。

（5）提取或检测水印：借助原始载体图像（私有水印或非盲水印），或不依赖原是图像（公开水印或盲水印），利用相关接收机、匹配滤波器、最大后验概率译码规则（MAP）来提取或检测水印。1、信道容量的数学分析

水印的信道容量是所有可达速率的上限。根据理论分析表明[1,7,8]，它由如下三个参量决定：嵌入失真,攻击失真，以及载体信宿的概率分布函数{PS}。

可以证明：当原始载体信源的功率（方差）为，那么对于公开水印和私有水印，其信道容量均不超过。其中：首先定义区间：

，(10)

通过计算，当时，可以得到区间为空域。当区域非空时，定义水印容量

＝(11)

特别的，当载体信源S满足零均值，方差为且独立同分布的高斯分布时，公开水印与私有水印具有相同的水印信道容量，且该容量正好等于上限。

2、信道容量计算公式的简化

上述容量计算公式过于复杂，可进行如下化简，根据水印的信道容量公式(11)，我们有

＝

＝＝

=（12）

而前面(10)已经定义区间：

，

根据上面的推导，可把暂看作常量，那么容量C决定于中间变量的取值，即根据适当的选取值得到最大化的C；但实际上由(10)式我们可以看到的取值范围又由决定。经过适当的约束和简化，最终我们可以得到

(13)

但考虑到，当时，实际上这种攻击对水印是完全无效的[5];因而攻击者不会采用。所以进一步给出攻击失真的取值范。在小范围失真下，即，有，所以可得到小范围失真条件下的容量近似公式：

(14)

根据上式，我们可以看到在小范围失真情况下，容量与载体信源的统计概率分布无关。当时，根据上式，可以得到容量C=0.5bit/Symbol。

3、模型的约束性优化和扩展

为了更好的理解水印系统，简化分析，可引入加性噪声信道的概念。对比乘性信道，加性噪声信道具有统计分布参数（如方差）简单加的特点，这对模型的分析十分有利。实际上，目前关于信息论的许多研究都从加性噪声信道分析入手[1，5]。

可以将经攻击伪造后的消息Y写成如下形式：

其中，，。(15)

图2数字水印博弈模型

根据上式，可将水印理解成一种带有边信息的通信博弈[2]。将理解为被传输的信号，同时受到加性噪声S的破坏（这里将载体信源看作相对于的加性噪声）；S在传输端可知。而可以理解成一种可加性干扰信号，该信号由决定。那么，当失真测量为简单的差度量度时，该失真度由加在上的干扰限制决定。特别的，在本例中，因，系统失真由加在被传输的上的总干扰功率决定，即功率受限。同样的，如果，那么可加性干扰信号也是功率受限信号。

考虑信道的输出为，其中输入的功率受限为；S为任意的功率受限且各态历经的过程，并假设S仅在编码的时候是可知的，而在解码是是未知的。为一稳态高斯过程，对编码和译码均不可知。假设S和相互独立，其联合概率分布与独立。

考虑S和均为满足独立等同概率分布的随机变量；特别的，S任意分布（可以为非高斯分布），而满足零均值，方差为的高斯分布。也为满零均值，方差为的高斯分布，并且与S和的联合概率独立。同时设辅助随机变量。那么，有

,(16)

可以证明，在条件下，随机变量和不相关，且相互独立。因和均为高斯分布，那么也满足高斯分布。又因S和相互独立，所以随机变量与也相互独立。这样，可以推出如下结论：

(17)

同时，与独立表明：

(18)

所以，综合上述两式，可以得出：

(19)

上式最后一等号的成立是因为满足零均值，方差为的高斯分布；满足零均值，方差为的高斯分布；同时考虑的是加性噪声，因此两个，联合分布的方差即为两者方差的简单和。根据高斯分布的熵公式[6]很容易得出上述结论。

4、结果分析

根据我们的简化结论：，图3借助Matlab工具软件仿真给出了基于典型图像信源{}数字水印所获得的容量分析。在本试验仿真中，先取＝0.5,对应可臆定的刚可区分失真度；然后设取在0.5和5之间，最后采用上一节中推导出的数学公式来计算容量。