柔性机械臂逆动力学探究论文

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1动力学和逆动力学模型

一般情况下，柔性机械臂的两根连杆横向弹性变形(弯曲)较小，则忽略机械臂的径向变形；假定关节及臂端负载均为集中质量，则忽略其大小。同时，暂不考虑电机转子的转动惯量和电机的阻尼。

图1是一双连杆柔性机械臂，两臂间关节电机质量为，上臂端部集中质量为，两连杆质量和抗弯刚度分别为和，和，两连杆的长度分别为和，和为两关节电机提供的力矩。

连杆变形很小，对每根连杆建立一个运动坐标系，使得连杆在其中的相对运动很小。机械臂的整体运动则可由这两个动坐标系的方位角来描述。于是，在动力学模型中将有两类变量，一类是幅值很小但变化迅速的弹性坐标，另一类是变化范围较大的方位角。本文采用端点连线坐标系，即将连杆两端点的连线作为动坐标系的x轴（见图1）。描述整体运动的是两个角度和，而连杆相对于动坐标系的运动则可视为简支梁的振动。这样，动力学模型刚度阵的弹性坐标互相不耦合，臂端的位置可由和确定，其期望运动形式（或数值解）：

(1)

如采用其他形式的动坐标系，两杆的弹性坐标将耦合在一起，而且在逆动力学求解时，将不得不处理微分方程与代数方程组合的方程组。

对每个机械臂取两阶模态坐标来描述，应用拉格朗日方法得到动力学方程：

(2)

式中。为6×6质量阵；为速度的二次项；为6×6刚度阵；为重力的广义力向量；为驱动力矩的广义力向量；，其中和、和分别是两个机械臂的一阶和二阶弹性坐标。

柔性臂系统的逆动力学问题，是指在已知期望末端操作器运动轨迹的情况下，结合逆运动学与动力学方程对关节力矩进行求解。如果直接进行逆动力学求解，即把式(1)代入动力学方程式(2)中，对方程中的弹性坐标和力矩进行求解，一般情况下，其数值解将很快发散。

表达系统运动状态的坐标可以看成有两部分组成：大范围的相对缓慢的运动（慢变）部分和小范围的振动（快变）部分。本文试图将这两部分分离，分别讨论它们的逆动力学特性，并以此来分析整体系统的逆动力学问题。

2快变部分的逆动力学问题

首先，寻求两个关节力矩使端点保持不动，先不考虑大范围的运动。此时，重力只起了一个改变平衡点的作用，在方程中把与它相关的部分略去，在动力学方程(2)中令，得：

(3)

式中

在方程(3)中消去和得：

(4)

式中：

，,

,,,

,,,

,,,

,

对式(4)降阶：

(5)

式中

其中，

I是四阶单位阵。方程(5)可化为下列形式：

(6)

式中。求出的特征值分别为

式中。

因的特征值存在正实部，则方程(3)所表示的系统不稳定，其解发散，即双连杆柔性臂在这种情况下，其振动问题的精确逆动力学解是发散的。

的各特征值在复空间分布关于虚轴对称，必然会出现正实部，如选取更多阶模态函数离散时，会出现同样的情况。因此，选取更多阶模态函数离散时，其振动问题的逆动力学解是发散的。

如应用应用文献[10]中给出的迭代法进行逆动力学求解，当积分步长很小时，其解是发散的；当积分步长较大时，便可得到较好的结果。其原因是因为快变部分的逆动力学解发散，当步长较大时相当滤掉了快变部分，便可得到较好的结果。

3慢变意义上的逆动力学

在进行慢变意义上的逆动力学求解时，应试图将弹性坐标中的振动部分滤掉，弹性坐标中不应含有振动部分，再结合期望的、求得力矩。

如图1所示，机械臂的各参数：L1=0.87m,L2=0.77m,M1=1.9kg,M2=0.8kg,m1=12.75kg,m2=2.4kg,=602.5,=218。期望运动轨迹：机械臂端点绕以(0.8,0)为圆心，做半径为0.5m,以每周1s作匀速圆周运动。

由机械臂的动力学仿真结果可以看到，弹性坐标的一阶、二阶时间导数项振动幅值很大，但它们都在零值附近振动，即其慢变部分很小。因此，在式(2)中去掉弹性坐标的一阶、二阶时间导数项，相当于滤掉了弹性坐标中的振动部分，经过整理得到如下形式：

(7)

式中，、、中含、及其一阶时间导数项。

将式(1)代入式(7)中，再对方程求解，可以得到弹性坐标和力矩，弹性坐标见图2（图中不含振动的曲线）。为了考察得到的力矩，将力矩代入动力学方程式(2)中，得到的各弹性坐标见图2（图中含振动的曲线），轨迹跟踪曲线、端点坐标与期望运动相比较的误差曲线分别见图3和图4。

Fig.4theerrorsofcoordinatesinxandyDirectionsfortheendmovement

由图2中可以看出，由式(7)得到的弹性坐标（不含振动）与机械臂的动力学仿真得到的弹性坐标（含振动）的慢变部分十分相似，所以在式(2)中去掉弹性坐标的一阶、二阶时间导数项相当于滤掉了弹性坐标中的振动部分，说明这种方法是合理的。

由图3与图4给出的仿真结果可以看出，轨迹跟踪很好，由此可见，得到的力矩精度很高.

4结束语

由图2可以看到，机械臂在运动过程中，其弹性坐标由两方面组成，一方面是振动部分（快变部分），另一方面是与载荷、惯性力有关的慢变部分。而弹性坐标速度、加速度的慢变部分很小，在逆动力学求解中将其略去是合理的，由式(7)得到了比较准确的弹性坐标慢变部分并非偶然。

由以上分析可以看出，对于柔性机械臂系统，振动部分的精确逆动力学解是发散的，进行逆动力学求解时，应滤掉振动部分，在慢变的意义上进行，才能得到比较好的前馈力矩。

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摘要：采用割线坐标系对机械臂的运动进行了描述，并分快变（振动）和慢变两方面进行逆动力学问题的分析与求解。在对快变部分逆动力学性质的分析中发现，快变部分精确的逆动力学解是发散的。在进行柔性机械臂逆动力学求解时，应在慢变的意义上进行。文中给出了一种去掉系统快变部分的简单方法，并进行了逆动力学求解。数值仿真结果表明，该处理方法是合理的。

关键词：柔性机械臂；动力学；逆动力学；振动；大范围运动