古怪的定义教案

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“自然数和正偶数，哪一种数更多？”（正偶数是指能被2整除，大于零的自然数。本文中规定0不是自然数。）“自然数和正偶数一样多，因为将n和2n对应就可以得到自然数到正偶数的一个一一对应。既然每一个不同的自然数都对应而且只对应一个不同的正偶数，所以自然数和正偶数一样多。”许多朋友会这样说，这当然是对的；但是也有许多朋友会觉得奇怪，并非所有的自然数都是正偶数，而所有的正偶数却都是自然数，它们怎么会一样多呢？特别是，自然数的个数应该是正偶数的两倍才对！

关于用一一对应的方法来判断两个集合之间的大小关系，已经有许多文章谈过了，我只在这里再简单地重复一遍：

给定两个集合A和B，

1)如果存在A到B的一个单射f:A→B（也就是说A和B的一个子集有一一对应），那么我们称A的“基数”（或“势”）不大于B的“基数”，简称A不大于B，或A中元素个数不多于B中元素；

2)如果存在A到B的一个一一对应f:A→B，那么我们称A和B的“基数”相同，简称A和B一样大，或A中元素个数和B中元素个数相同；

3)（施罗德-伯恩斯坦定理）如果A不大于B，且B不大于A，那么A和B一样大。

由这个定义可以得出一些推论：

1)任何一个无限集都至少和自然数集合一样大；

2)两个集合的并集同这两个集合中比较大的那个一样大，特别地，两个同样大小的集合的并集和它们本身一样大；

3)两个集合的积集同这两个集合中比较大的那个一样大。

但是这种判断集合大小的方法得出的结论，比如说上面所说的“自然数和正偶数一样多”，甚至于“自然数和有理数一样多”，或者“一条直线上的点的个数和一个平面上的点的个数一样多”，总会让不熟悉集合论的人感到很别扭，一个集合的一部分怎么会和自己一样大？欧几里得的第五公理说：“整体大于部分。”在《几何原本》中，公理的地位要高于公设，前者是“放之四海而皆准”的，而后者却只是几何（也就是当时的数学）中的“不证自明”的命题。欧几里得也搞错了？数学家们为什么不按照符合大家直觉的方法来规定集合的大小？他们似乎喜欢故意发明出一些和常识相悖的稀奇古怪的概念和方法，让人上当后自己却在暗地里窃窃偷笑别人的不高明。

这可就冤枉了数学家们，如果有既符合常识和直觉，又严格且有用的关于集合大小的定义，数学家一定是非常乐意接受的。但是如果这种“常识”只是象爱因斯坦所言的，是“十八岁以前所积累的偏见”，那么就不适合于作为严格的数学定义了。我想首先讨论一下数学家被迫采用一一对应的方式来比较集合大小的原因。