不等式的证明数学教案

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目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

过程：

一、复习：

1.不等式的一个等价命题

2.比较法之一(作差法)步骤：作差——变形——判断——结论

二、作差法：(P13—14)

1.求证：x2+3>3x

证：∵(x2+3)-3x=∴x2+3>3x

2.已知a,b,m都是正数，并且a<b，求证：证：∵a,b,m都是正数，并且a0,b-a>0

∴即：变式：若a>b，结果会怎样?若没有“a<b”这个条件，应如何判断?

3.已知a,b都是正数，并且a¹b，求证：a5+b5>a2b3+a3b2

证：(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)

=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)

=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)

∵a,b都是正数，∴a+b,a2+ab+b2>0

又∵a¹b，∴(a-b)2>0∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0

即：a5+b5>a2b3+a3b2

4.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走;有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m¹n，问：甲乙两人谁先到达指定地点?

解：设从出发地到指定地点的路程为S，

甲乙两人走完全程所需时间分别是t1,t2，

则：可得：∴∵S,m,n都是正数，且m¹n，∴t1-t2<0即：t1<t2

从而：甲先到到达指定地点。

变式：若m=n，结果会怎样?

三、作商法

5.设a,bÎR+，求证：证：作商：当a=b时，当a>b>0时，当b>a>0时，∴(其余部分布置作业)

作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。

四、小结：作差、作商

五、作业：P15练习

P18习题6.31—4