初中数学教案：用公式解一元二次方程（三）

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初中数学教案

一、素质教育目标

（一）知识教学点：1．正确理解并会运用配方法将形如x2＋px＋q＝0方程变形为（x＋m）2＝n（n≥0）类型．2．会用配方法解形如ax2＋bx＋c=0（a≠0）中的数字系数的一元二次方程．3．了解新、旧知识的内在联系及彼此的作用．

（二）能力训练点：培养学生准确、快速的计算能力，严谨的逻辑推理能力以及观察、比较、分析问题的能力．

（三）德育渗透点：通过本节课，继续体会由未知向已知转化的思想方法，渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法．

二、教学重点、难点和疑点

1．教学重点：用配方法解一元二次方程．

2．教学难点：正确理解把x2＋ax型的代数式配成完全平方式——将代数式x2＋ax加上一次项系数一半的平方转化成完全平方式．

3．教学疑点：配方法可以解决许多代数问题，例如：因式分解，将一个代数式配成完全平方式等等，本节课传授的是用配方法解一元二次方程．

三、教学步骤

（一）明确目标

学习了直接开平方法解一元二次方程，对形如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）的一元二次方程便会求解．如果给出一元二次方程x2＋2x＝3，那么怎样求解呢？这就是我们本节课所要研究的问题．将x2＋2x＝3转化为（ax＋b）2＝c型是我们本节课一个重要的突破点，攻克此难关，方程的求解问题便迎刃而解了．

（二）整体感知

本节课在直接开平方法的基础上引进了配方法，实现由未知向已知的转化．直接开平方法在本节课中起到了一个承上启下的作用．它为配方法的引入做了很好的铺垫．如果说平方根的概念为一元二次方程解法的引进立下了汗马功劳，那么可以说直接开平方法为其他方法的引进作了坚实的铺垫．

配方法是初中代数中解决某些代数问题的一个常用方法，方法的实质是将代数式x2＋ax配成一个完全平方式，它的理论依据是完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2．

（三）重点、难点的学习及目标完成过程

1．复习提问

（1）完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2．

（2）填空：

1）x2-2x+（）＝[x＋（）]2

2）x2＋6x＋（）＝[x-（）]2

2．引例：将方程x2-2x-3=0化为（x-m）2=n的形式，指出m，n分别是多少？

解：移项，得x2－2x＝3．

配方，得x2-2x＋12＝3＋12．

∴（x-1）2＝4．

∴m＝-1，n＝4．

对于x2+ax型的代数式，只需再加上一次项系数一半的平方即可完成上述转化工作．

练习：把下列方程化为（x＋m）2＝n的形式

上述练习，深化配方的过程，为配方法的引入作铺垫．

3．例1解方程x2－4x－2＝0．

解：移项，得x2－4x＝2……第一步

配方，得x2－4x＋（-2）2＝2＋（-2）2……第二步

∴（x－2）2＝6．

教师引导、板演，学生回答．分析解方程的步骤，第一步是移项，将含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到方程的另一边．第二步是配方，方程的两边同时加上二次项系数一半的平方，进行这一步的理论依据是等式的基本性质和完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2，第三步是用直接开平方法求解．此时，向学生点明：这种解一元二次方程的方法称为配方法．

学生练习、板演、评价，深刻体会配方法的步骤，通过配方，方程进行了形式上的转化，并且体会为什么先学直接开平方法，它是配方法的基础，要注意体会推理的严谨性、步骤的完整性，刚开始配方的过程要细，不要跳步，避免出错．

例2解方程：2x2＋3＝5x．

解：移项，得：2x2-5x＋3＝0，

例2中方程的特点和例1不同的是，例2的二次项系数不是1．因此要想配方，必须化二次项系数为1．对一元二次方程ax2＋bx＋c＝0用配方法求解的步骤是：

第一步：化二次项系数为1；

第二步：移项；

第三步：配方；

第四步：用直接开平方法求解．

练习：1．P．12中2（3）（4）．

2．解方程（1）6x－x2＝63（2）9x2－6x＋1＝0．

学生练习板演，师生共同评价．对于练习2（2）解方程9x2＋6x＋1＝0．

解法（二）原方程可整理为（3x－1）2＝0．

∴3x－1＝0．

比较上面两种方法，让学生体会方法（一）是通法，有时用起来麻烦．方法（二）是据方程的特点所采用的特殊的方法，较方法（一）简捷，明快．可告诫学生学习不要机械死板，在熟练掌握通法的基础上，据方程的结构特点灵活地选择简单的方法，培养学生灵活运用的能力．

通过以上练习，让学生能悟出配方法可以解任意结构特点的一元二次方程，它是解一元二次方程的通法．

（四）总结、扩展

引导学生从所学知识、方法上进行小结．

1．本节课学习用配方法解一元二次方程，其步骤如下：

（1）化二次项系数为1．

（2）移项，使方程左边为二次项，一次项，右边为常数项．

（3）配方．依据等式的基本性质和完全平方公式，在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方．

（4）用直接开平方法求解．

配方法的关键步骤是配方．配方法是解一元二次方程的通法．

2．配方法的理论依据是完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2，配方法以直接开平方法为基础．

3．要学会通过观察、比较、分析去发现新旧知识的联系，以旧引新，学会化未知为已知的转化思想方法，增强学生的创新意识．

四、布置作业

教材P．15中3．

五、板书设计

12．1用公式解一元二次方程（三）

1．配方法的理论依据例1解方程x2-4x-2＝0

a2±2ab＋b2＝（a±b）2解：……

2．配方法的步骤……

（1）……例2解方程2x2-3＝5x

（2）……解：……

（3）…………

（4）……练习1……

练习2……

六、作业参考答案

教材P．15中3．

（1）x1=-2，x2＝-4

（2）x1＝-6，x2＝2

（3）x1＝4，x2＝6

（4）x1＝3，x2＝5

（5）x1＝-11，x2＝9