概率论范文10篇

摘要:长期以来,概率论一直被认为是从赌博游戏中产生的。论文但事实上,赌博游戏由来已久,而概率论却直到17世纪末才诞生。这说明赌博并不是概率论产生的决定性因素。概率论的形成是多种因素结合的结果。文章的目的即在于对这些产生条件进行分析,从而使人们能够清楚地了解影响概率论产生的各种关键性因素。

关键词:独立随机过程;计数系统;归纳法;保险业

概率论是一门应用非常广泛的学科。在数学史上,它的产生是以帕斯卡和费马在1654年的七封通信为标志的。由于这些信件中所解决的问题多是与赌博有关的点数问题,因此人们总是把概率论的产生归功于赌博这项机遇游戏。但考古学发现告诉我们,赌博游戏早在文明初期就已经存在了,迄今已有几千年的历史,而概率论从诞生至今不过三百余年,这说明赌博并不是概率论产生的决定性条件。在从赌博出现到概率论产生之间的这段“空白”期,必定还有一些十分关键的因素正在孕育之中。那么这些因素是什么?换句话说,需要具备哪些先决条件,概率论才能得以形成?

一独立随机过程的出现

对概率论而言,两个最主要的概念就是独立性和随机性[1]。概率论是从研究古典概型开始的,它所涉及的研究对象是大量的独立随机过程。通过对这些过程中出现的问题的解决,概率理论体系才逐渐地建立起来。因此要考察概率论的产生条件,我们首先应当对独立随机过程的产生有充分的了解。

事实上,这种过程的雏形早在原始社会就已经存在了,那时的占卜师们使用动物的趾骨作为占卜工具,将一个或多个趾骨投掷出去,趾骨落地后的不同形状指示神对人事的不同意见。由于投掷趾骨这个过程所产生的结果具有不可预测性,而每次投掷的结果也互不影响,这与我们今天投掷骰子的基本原理相当,因此趾骨可以被看作是骰子的雏形。但是由于趾骨形状的规则性较差,各种结果出现的机率不完全相同(即不具备等可能性),所以趾骨产生的随机过程还不是我们今天意义上的独立随机过程。加之趾骨作为一种占卜工具,其本身具有神圣的地位,普通人不可能轻易使用,这也在某种程度上阻碍了人们对随机过程的认识。

1实验教学特征及意义

按照应用性为主的教学目的要求，在概率论与数理统计教学过程中，应该以培养学生应用概率论与数理统计方法解决实际问题的能力为出发点，使学生掌握概率论的基本知识和理解统计方法的基本思想，并将理论的学习转化成一定的统计应用能力。随着目前统计工作所面临的数据日益庞大，传统教学中的计算公式已经很难使用手工计算的方式进行求解，因此借助于计算机及统计软件完成统计计算，分析统计结果、做出统计推断便成为统计教学中不可忽视的一个手段。使用软件辅助概率论与数理统计的教学能使课程中的数据处理和数值计算更简易、更精确。伴随着计算机技术及数学软件的发展，使得诸多的统计分析借助数学软件得以实现，如参数估计、假设检验、方差分析和回归分析等计算问题，也无需担心大量的统计数据带来的计算量等问题。同时，在高等教育统计教学中应用统计软件，有利于培养学生学习统计、计算机及软件等专业课的兴趣，提高学生的计算能力和利用专业知识解决实际问题的能力，科学整合统计教学内容，促进统计教学面向社会需要，提升学生的实践能力。在教学中进行软件的训练也能为学生将来的工作打下初步的基础，为了更好进行概率论与数理统计的教学和实践，近年来新编教材也增加了数学软件的内容，在概率论与数理统计课程教学中使用数学软件已成为改革发展的趋势。在课堂教学中，为了让学生加深对理论的理解，实践环节的设置变得非常关键，概率论与数理统计课程中加入数学实验能很好的填补学生在理论和实践之间的空白。数学实验的开展可以在数学教育中体现学生的主体意识，让学生做到边学边用，提高学生学习的趣味性、体现数学教育的时代性。因此，将数学实验融入概率论与数理统计教学，是概率论与数理统计教学改革中非常值得探讨和研究的课题。根据概率论与数理统计课程的特点，数学实验的内容设计可以和案例教学方法进行有机结合。案例式教学能解决概率知识综合运用的问题，能丰富课程内容、加深学生对知识的理解。教学案例能将所学知识有机联系起来，使课程的各部分不再是孤立的，通过对案例设置问题的求解，便能使学生完成由学概率论与数理统计理论到用概率论与数理统计解决问题的转变。在解决实际问题的过程中辅以软件进行数值计算试验，能最大限度发挥软件的优势，使学生学以致用，将理论学习与实际应用有机结合起来。在传统概率论与数理统计教学过程中，概率论与数理统计课程计算量大一直是困扰课堂教学的难点问题，如二项分布，若试验次数较多，其中的具体概率计算将变得十分复杂。复杂的计算往往使得教师的教学重点发生偏移，侧重课后习题计算的处理，使得课程的设计重点偏向排列组合公式的计算。另外在教学过程中，前后知识的联系对初学者也是一个障碍，比如条件概率等基本公式在讨论多元随机变量时还会用到，但在教学实践中我们会发现，由于缺少互相联系的教学实例，学生一般都是将这两部分分开来学习，不习惯将前面的知识和随机变量进行有机结合。因此设计恰当的案例，将知识前后贯通是教师面临的重要任务。

2软件介绍

在强调学生为主体的实践式教学设计中，教师设计案例的求解一般要选择合适的软件进行辅助，当前数学软件众多、功能强大，如综合性软件Mat－lab，统计专业软件SPSS、SAS等。对于专业数学软件一般要先进行软件的学习才能用来解决实际问题，对于概率论与数理统计这样一门独立的课程，显然不宜专门来进行软件的培训，为了应对实践教学课堂应用，简单易学且容易配置的软件能最大限度实现教学任务。在此以Excel为例介绍案例式教学和利用Excel进行软件试验的一点尝试。Excel使用简便，基本不涉及程序的编制，在图形化界面下进行操作，且具备有强大的图形功能，便于概率结果的呈现和分析。Excel有丰富的概率函数，能帮助用户进行各种类型的概率计算，或进行随机模拟来学习概率论与数理统计。Excel可以计算大部分常用理论分布的概率密度函数PDF、累积分布函数CDF以及模拟产生服从常用概率分布的随机数据。如果能够正确使用，Excel可以成为非常强大的学习工具。选用Excel作为概率论与数理统计教学辅助软件的另一个原因是作为微软Office工具之一，大部分学生均了解Excel的使用，因此不用进行软件的教学即可用来解决实际问题，在学习过程中也能进一步促进学生对软件的使用增强他们解决实际问题的能力。下面介绍一个利用Excel辅助的案例式实验教学设计实例。为了使数学实验背景贴近学生的学习生活，以考试中选择题成绩分析为例。背景分析：考试是每个学生都经历的学习过程，其中选择题是经常遇到的类型，选择题的设计与概率知识之间有密切的关系。通过与学生密切相关的问题引入概率教学，能极大激发学生的学习兴趣。问题设计：选择题在解答时不同于填空题或者解答题，因为在完全不会的情况下仍有可能靠猜测得到正确的答案，那如何来评估选择题在考试中的效度，可以使用什么样的概率论与数理统计的基本知识予以研究？

3实验教学案例设计

首先提出基本假设，考试时一个选择题有4个选项，仅有一个选项是正确的，如果不会做就随机作答，因此在不会做题的情况下随机选择答案有25％的可能性得到正确答案，即从卷面上看该题做对了，对于老师来说，按照成绩评价学生实际知识水平非常重要，因此需要评估在答案正确的前提下求学生实际会做该题的概率。图像显示出选择题答案正确而显示被试者会做该题的概率一直大于被试者实际会做该题的概率，说明选择题容易高估被试者的水平，为了有效区分被试者的不同程度，需要适当调节题目的难度来区分被试者是不是真的会做。作为一个例子，若学生会做与不会做的概率相同，取x＝0．5，则容易计算出P（A｜B）＝0．8，即实际会做概率为0．5时，选择题表现出来的得分可能为0．8分。对于数学实验来说，让学生自己对该案例进一步讨论，亲自实践在软件辅助下的概率解题，对促进学生将理论用于实际非常重要。在课堂讲授的基础上，可以将学生自学内容引申到用随机变量的分布律和分布函数来研究在实际考试中选择题得分情况演示，结合二项分布理论研究选择题对学习评价的情况。评价借助于Excel软件设计如下实验。假设某项考试由100道选择题组成，每道题1分，学生会做该题的概率为x（实际问题中相当于难度系数为1－x），当x＝0的时候，被试者对考试内容完全不会，每题都随机选择，可以看成服从参数为（100，0．25）的二项分布，使用Excel中的BINOM－DIST（）函数进行二项分布概率密度值和分布函数值的计算来演示考试结果。函数用法为：BINOM－DIST（k，n，p，FALSE／TRUE），其中k表示回答正确的题目数量，可以使用单元格自动生成，n，p为二项分布的参数。n表示总试验次数，p表示每次试验中事件出现的次数即答对题的概率。后面的参数FALSE／TRUE用来说明是计算概率密度函数和是计算分布函数。如BINOMDIST（A2，100，0．25，FALSE）表示对A2单元格中的自变量计算参数为（100，0．25）的二项分布概率密度函数值。使用Ex－cel的自动填充功能，便可方便生成该二项分布的概率密度表。为方便调节二项分布参数，可以将参数（n，p）用单元格的绝对引用代替，改变参数单元格的数值就能得到不同二项分布的概率密度表格。Excel还可以对概率密度表和分布函数表生成条形图和线图，若试题难度系数0．5，学生事实会做的题目应该有50道，因此会做的题目有50道，另外不会做的随机选择，正确率0．25，因此回答正确的题数为12．5，两者相加可知最终得62．5分的概率最大。

摘要：将数学史引入课堂、在教学中广泛应用案例、积极开展随机试验以及引导学生主动探索等，有助于改进概率论教学方法，解决教学实践问题，提高教学质量．教学手段的多样化以及丰富的教学内容可以加深学生对客观随机现象的理解与认识，并激发学生自主学习和主动探索的精神．

关键词：概率论；教学；思维方法

在数学的历史发展过程中出现了3次重大的飞跃．第一次飞跃是从算数过渡到代数，第二次飞跃是常量数学到变量数学，第三次飞跃就是从确定数学到随机数学．现实世界的随机本质使得各个领域从确定性理论转向随机理论成为自然；而且随机数学的工具、结论与方法为解决确定性数学中的问题开辟了新的途径．因此可以说，随机数学必将成为未来主流数学中的亮点之一．概率论作为随机数学中最基础的部分，已经成为高校中很多专业的学生所必修的一门基础课．但是教学过程中存在的一个主要问题是：学生们往往已经习惯了确定数学的学习思维方式，认为概率中的基本概念抽象难以理解，思维受限难以展开．这些都使得学生对这门课望而却步，因此如何在概率论的教学过程中培养学生学习随机数学的思维方法就显得十分重要．本文拟介绍我们在该课程教学中的改革尝试，当作引玉之砖．

1将数学史融入教学课堂在概率论教学过程当中，介绍相关的数学史可以帮助学生更好地认识到概率论不仅是“阳春白雪”，而且还是一门应用背景很强的学科．比如说概率论中最重要的分布——正态分布，就是在18世纪，为解决天文观测误差而提出的．在17、18世纪，由于不完善的仪器以及观测人员缺乏经验等原因，天文观测误差是一个重要的问题，有许多科学家都进行过研究．1809年，正态分布概念是由德国的数学家和天文学家德莫弗（DeMoivre）于1733年首次提出的，德国数学家高斯（Gauss）率先将正态分布应用于天文学研究，指出正态分布可以很好地“拟合”误差分布，故正态分布又叫高斯分布．如今，正态分布是最重要的一种概率分布，也是应用最广泛的一种连续型分布．在1844年法国征兵时，有许多符合应征年龄的人称自己的身高低于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，这里面一定有人为了躲避兵役而说谎．果然，比利时数学家凯特勒（A.Quetlet，1796—1874）就是利用身高服从正态分布的法则，把应征人的身高的分布与一般男子的身高分布相比较，找出了法国2000个为躲避征兵而假称低于最低身高要求的人[1]．在大学阶段，我们不仅希望通过数学史在教学课堂中的呈现来引起学生学习概率论这门课程的兴趣，更应侧重让学生通过兴趣去深入挖掘数学史，感受随机数学的思想方法[2]．我们知道概率论中的古典概型要求样本空间有限，而几何概型恰好可以消除这一条件，这两种概型学生理解起来都很容易．但是继而出现的概率公理化定义，学生们总认为抽象、不易接受．尤其是概率公理化定义里出现的σ代数[3]

这一概念：设Ω为样本空间，若Ω的一些子集所组成的集合?满足下列条件：（1）Ω∈?；（2）若A∈?，则A∈?；（3）若∈nA?，n=1,2,??，则∈∞=nnA∪1?，则我们称?为Ω的一个σ代数．为了使学生更好的理解这一概念，我们可以引入几何概型的一点历史来介绍为什么要建立概率的公理化定义，为什么需要σ代数．几何概型是19世纪末新发展起来的一种概率的计算方法，是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸．1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”[3]，矛头直指几何概率概念本身．这个悖论是：给定一个半径为1的圆，随机取它的一条弦，问：

弦长不小于3的概率为多大？对于这个问题，如果我们假定端点在圆周上均匀分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中点在直径上均匀分布，所求概率为1/2；又若假定弦的中点在圆内均匀分布，则所求概率又等于1/4．同一个问题竟然会有3种不同的答案，原因在于取弦时采用了不同的等可能性假定！这3种答案针对的是3种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的．因此在使用“随机”、“等可能”、“均匀分布”等术语时，应明确指明其含义，而这又因试验而异．也就是说我们在假定端点在圆周上均匀分布时，就不能考虑弦的中点在直径上均匀分布或弦的中点在圆内均匀分布所对应的事件．换句话讲，我们在假定端点在圆周上均匀分布时，只把端点在圆周上均匀分布所对应的元素看成为事件．现在再来理解σ-代数的概念：对同一个样本空间Ω，?1={?,Ω}为它的一个σ代数；设A为Ω的一子集，则?2={?,A,A,Ω}也为Ω的一个σ代数；设B为Ω中不同于A的另一子集，则?3={?,A,B,A,B,AB,AB,BA,AB,Ω}也为Ω的一个σ代数；Ω的所有子集所组成的集合同样能构成Ω的一个σ代数．当我们考虑?2时，就只把元素?2的元素?，A，A，Ω当作事件，而B或AB就不在考虑范围之内．由此σ代数的定义就较易理解了．2广泛运用案例教学法案例与一般例题不同，它有产生问题的实际背景，并能够为学生所理解．案例教学法是将案例作为一种教学工具，把学生引导到实际问题中去，通过分析和讨论，提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法．我们可以从直观性、趣味性和易于理解的角度把概率论基础知识加以介绍．我们在讲条件概率一节时可以先介绍一个有趣的案例——“玛丽莲问题”：十多年前，美国的“玛利亚幸运抢答”

摘要：将数学史引入课堂、在教学中广泛应用案例、积极开展随机试验以及引导学生主动探索等，有助于改进概率论教学方法，解决教学实践问题，提高教学质量．教学手段的多样化以及丰富的教学内容可以加深学生对客观随机现象的理解与认识，并激发学生自主学习和主动探索的精神．

关键词：概率论；教学；思维方法

在数学的历史发展过程中出现了3次重大的飞跃．第一次飞跃是从算数过渡到代数，第二次飞跃是常量数学到变量数学，第三次飞跃就是从确定数学到随机数学．现实世界的随机本质使得各个领域从确定性理论转向随机理论成为自然；而且随机数学的工具、结论与方法为解决确定性数学中的问题开辟了新的途径．因此可以说，随机数学必将成为未来主流数学中的亮点之一．概率论作为随机数学中最基础的部分，已经成为高校中很多专业的学生所必修的一门基础课．但是教学过程中存在的一个主要问题是：学生们往往已经习惯了确定数学的学习思维方式，认为概率中的基本概念抽象难以理解，思维受限难以展开．这些都使得学生对这门课望而却步，因此如何在概率论的教学过程中培养学生学习随机数学的思维方法就显得十分重要．本文拟介绍我们在该课程教学中的改革尝试，当作引玉之砖．1将数学史融入教学课堂在概率论教学过程当中，介绍相关的数学史可以帮助学生更好地认识到概率论不仅是“阳春白雪”，而且还是一门应用背景很强的学科．比如说概率论中最重要的分布——正态分布，就是在18世纪，为解决天文观测误差而提出的．在17、18世纪，由于不完善的仪器以及观测人员缺乏经验等原因，天文观测误差是一个重要的问题，有许多科学家都进行过研究．1809年，正态分布概念是由德国的数学家和天文学家德莫弗（DeMoivre）于1733年首次提出的，德国数学家高斯（Gauss）率先将正态分布应用于天文学研究，指出正态分布可以很好地“拟合”误差分布，故正态分布又叫高斯分布．如今，正态分布是最重要的一种概率分布，也是应用最广泛的一种连续型分布．在1844年法国征兵时，有许多符合应征年龄的人称自己的身高低于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，这里面一定有人为了躲避兵役而说谎．果然，比利时数学家凯特勒（A.Quetlet，1796—1874）就是利用身高服从正态分布的法则，把应征人的身高的分布与一般男子的身高分布相比较，找出了法国2000个为躲避征兵而假称低于最低身高要求的人[1]．在大学阶段，我们不仅希望通过数学史在教学课堂中的呈现来引起学生学习概率论这门课程的兴趣，更应侧重让学生通过兴趣去深入挖掘数学史，感受随机数学的思想方法[2]．我们知道概率论中的古典概型要求样本空间有限，而几何概型恰好可以消除这一条件，这两种概型学生理解起来都很容易．但是继而出现的概率公理化定义，学生们总认为抽象、不易接受．尤其是概率公理化定义里出现的σ代数[3]

这一概念：设Ω为样本空间，若Ω的一些子集所组成的集合?满足下列条件：（1）Ω∈?；（2）若A∈?，则A∈?；（3）若∈nA?，n=1,2,??，则∈∞=nnA∪1?，则我们称?为Ω的一个σ代数．为了使学生更好的理解这一概念，我们可以引入几何概型的一点历史来介绍为什么要建立概率的公理化定义，为什么需要σ代数．几何概型是19世纪末新发展起来的一种概率的计算方法，是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸．1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”[3]，矛头直指几何概率概念本身．这个悖论是：给定一个半径为1的圆，随机取它的一条弦，问：

弦长不小于3的概率为多大？对于这个问题，如果我们假定端点在圆周上均匀分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中点在直径上均匀分布，所求概率为1/2；又若假定弦的中点在圆内均匀分布，则所求概率又等于1/4．同一个问题竟然会有3种不同的答案，原因在于取弦时采用了不同的等可能性假定！这3种答案针对的是3种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的．因此在使用“随机”、“等可能”、“均匀分布”等术语时，应明确指明其含义，而这又因试验而异．也就是说我们在假定端点在圆周上均匀分布时，就不能考虑弦的中点在直径上均匀分布或弦的中点在圆内均匀分布所对应的事件．换句话讲，我们在假定端点在圆周上均匀分布时，只把端点在圆周上均匀分布所对应的元素看成为事件．现在再来理解σ-代数的概念：对同一个样本空间Ω，?1={?,Ω}为它的一个σ代数；设A为Ω的一子集，则?2={?,A,A,Ω}也为Ω的一个σ代数；设B为Ω中不同于A的另一子集，则?3={?,A,B,A,B,AB,AB,BA,AB,Ω}也为Ω的一个σ代数；Ω的所有子集所组成的集合同样能构成Ω的一个σ代数．当我们考虑?2时，就只把元素?2的元素?，A，A，Ω当作事件，而B或AB就不在考虑范围之内．由此σ代数的定义就较易理解了．2广泛运用案例教学法案例与一般例题不同，它有产生问题的实际背景，并能够为学生所理解．案例教学法是将案例作为一种教学工具，把学生引导到实际问题中去，通过分析和讨论，提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法．我们可以从直观性、趣味性和易于理解的角度把概率论基础知识加以介绍．我们在讲条件概率一节时可以先介绍一个有趣的案例——“玛丽莲问题”：十多年前，美国的“玛利亚幸运抢答”

电台公布了这样一道题：在三扇门的背后（比如说1号、2号及3号）藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，则汽车就是你的．现在先让你选择，比方说你选择了1号门，然后主持人打开了剩余两扇门中的一个，让你看清楚这扇门背后是只羊，接着问你是否应该重新选择，以增大猜对汽车的概率？

摘要:概率论与数理统计是多数大学生本科阶段必修的公共数学课之一。传统的课堂只注重教师的教学，而忽视了学生的课堂参与度和有效反馈的问题。为了解决此问题并有效提高课堂教学效率，将BOPPPS模式引入《概率论与数理统计》课程的教学过程，激发学生学习兴趣，吸引学生自主地参与课堂活动，并运用所学到的知识解决实际问题。以“概率的古典定义”为例，阐述BOPPPS模式的具体实施过程，表明该教学方法可以有效解决传统教学模式中存在的问题，具有良好的现实意义。

关键词:概率论与数理统计;BOPPPS模式;教学;参与式

2019年10月，教育部颁布《关于深化本科教育教学改革全面提高人才培养质量的意见》中提到“积极发展‘互联网+教育’、探索智能教育新形态，推进课堂教学革命”。［1］为了落实教育信息化，加快课堂教学改革，目前众多高等院校纷纷进行教学改革探索。因此，针对我校基础数学课程之一的《概率论与数理统计》，依据该课程的教学现实情况，借鉴国内外的先进教学理念，将BOPPPS教学模式融入《概率论与数理统计》的教学改革中，从而激起学生学习该课程的兴趣和热情，培育学生的综合概括能力、创新能力和应用概率与数学统计方法处理实际问题的能力［2］。

一、BOPPPS有效教学模式

BOPPPS教学模式是加拿大诸多高校中率先普遍使用的新型教学模式。与以往教学模式相比，该模式强调教学效果、课堂效率和教学收益［3］，同时在课堂教学过程中强调师生参与式互动和反馈的有效教学模式。BOPPPS教学模式将教学过程分成课前导入、学习目标、前测、参与式学习、后测、总结六个模块。其六个模块相互独立，前后衔接，有的放矢，共同为实现教学目标而服务。整个教学过程中充分体现了“教学相长”，突出强调了以学生为主体，师生互动参与式学习，具备很强的实践性和适应性。

二、概率论与数理统计教学现状和改革的必要性

摘要：计算机类专业中，《概率论与数理统计》课程是重要的专业基础课程。通过分析目前课程的教学现状，从课程内容选择、案例教学的引入、实验教学的设计以及考核方式的改变等四个方面开展课程改革，是提高教学效果的良好途径。

关键词：概率论与数理统计；实验教学；案例教学

《概率论与数理统计》课程是包括计算机类专业在内的工科专业的必修课程。它的前导课程为《高等数学》及《线性代数》，后续为专业课程提供数学基础。通过该课程的学习，要求学生既能掌握相关的理论基础，也能将其应用到比较复杂的实际问题中，提高学生的实践应用能力。在实际教学过程中，课程内容模块多，数学公式抽象、复杂难以记忆，而相对应的高等学校在设置课程时，课时比较少，且理论知识对学生来说难度比较大，使得课程学习后，学生普遍反映学习比较吃力，获取的知识结构不系统，对相关的实际问题的应用也不熟练。因此，在教学过程中如何兼顾理论知识的学习和实际问题应用能力的培养，是在课程教学改革过程中需要考虑的重要点。

一、《概率论与数理统计》课程教学现状

在计算机类专业人才培养体系中，《概率论与数理统计》作为专业基础课程非常重要。作为一门重要的衔接课程，要求学生具备高等数学中的数学分析及线性代数中的高等代数的知识为基础来进行学习，具有较强的理论性；同时，该课程中的知识内容具有很强的应用性，在数学建模、工程应用、军事技术等领域有着广泛的应用，也为后续的计算机类专业课程，如《程序设计》、《软件工程》以及《项目管理》等提供数学基础。经过几年的教学过程总结，发现在课程教学中，主要存在以下几个方面的问题：（一）学生高等数学、线性代数的基础不牢固。《高等数学》及《线性代数》是本课程的前导课程，学生应该具备数学分析和高等代数的知识，作为本课程的学习基础。但这两门课程理论知识多，计算和证明过程多，学生普遍存在掌握知识不牢固、应付考试的情况，导致在本课程中的数学基础不扎实，教师需要耗费教学时间去巩固学生基础。（二）采用大班上课的方式，课程内容紧凑，学生容易失去兴趣。在人才培养方案实施过程中，《概率论与数理统计》作为专业基础课程，采用了大班教学方式，一个教学班的规模会达到100到120人；而课程课时设定为64学时，课程内容比较多，讲授过程中内容安排很紧凑，从而导致无法兼顾到所有学生并及时跟踪学生的学习情况，使得一部分学生在学习中逐渐失去兴趣，导致学习效率降低，整体教学效果不理想。（三）教学中缺少实践及应用环节，学生创新能力低。在教学过程中，主要是在规定学时内将课程内容完成，使学生掌握相关的知识和方法。且由于教学实训场地的限制，缺少课程的实践环节，学生无法直观地体会到将所学概率论和数理统计知识应用到实际问题中，导致学生虽然掌握了课程内容，却没有掌握应用的方法和手段，教学效果受到影响。

二、教学改革方法及具体措施

摘要：该文阐述了在概率论与数理统计课程教学中引入“雨课堂”的必要性，并给出了雨课堂在该课程中的应用，指出了“雨课堂”在实际应用中存在的问题，并针对问题提出了相应的改进措施，以期能为类似课程教学模式提供必要的参考。

关键词：雨课堂；微信；课程教学；教学模式

随着互联网的发展和移动通信终端的全面普及，新的教学方法和教学模式不断涌现，传统教学模式将面临严峻的挑战。以智能手机为代表的移动通信终端已然成为每一个人的标配，这使得消费者的生活及学习方式发生了巨大的变化。根据中国互联网络信息中心（CNNIC）报告所显示，截至2018年6月，我国手机网民规模达8.02亿，移动互联网的快速发展促使多种信息手段被运用到课程教学中[1-6]，不断挑战传统教学方式。另一方面，大学课堂“低头族”现象日益严重，学校通过设置手机收纳袋等措施将学生的注意力转移到课堂，但收效甚微。为此，如何保障课堂教学效率和提高课堂教学质量已成为日益关注的热点。

1雨课堂主要功能及引入雨课堂的必要性

雨课堂是由学堂在线与清华大学在线教育办公室共同研发的智慧教学工具[4-5]。雨课堂主要包括教师端和学生端，教师端会根据课程大纲对课程进行设置并制定相应的课程计划，利用平台收集与整理课程资源。同时，教师可通过手机对教学进行控制。学生端支持学生在终端登录建立的互动课堂并实现实时接收老师推送的学习资源[6]。概率论与数理统计课程是长江师范学院财经学院开设的一门专业基础课，共64学时，主要针对经济统计、财务管理以及金融工程等专业开设。采用理论授课为主，同时辅以课堂小实验。由于授课章节内容较多，教学课时稍显不足，部分学生基础较差，对数学相关课程学习兴趣不浓厚。为了提高学生学习的积极性，增加师生互动、提高教学质量，学校引入了雨课堂这一智慧教学工具。雨课堂能够将复杂的信息技术手段融入微信和PPT中，让课堂互动通过移动终端等完成且保持在线状态。雨课堂与微信相结合主要基于以下两方面原因：首先，微信拥有庞大的用户群体，受众面广。随着信息技术的发展，网络流量不再是用户担心的问题，微信获取即时通信服务的成本较低，能够快速地发送免费语音、视频图片等信息，因而吸引了大量的消费群体。其次，雨课堂可通过微信公众号与手机绑定，这样教师便可利用手机分享教材内容、PPT等资料，从而实现在线互动，将学生的注意力通过手机转向课堂，发挥了手机在教学中的优势[6]。

2应用：基于雨课堂的教学模式设计借鉴已有研究

在数学的历史发展过程中出现了3次重大的飞跃．第一次飞跃是从算数过渡到代数，第二次飞跃是常量数学到变量数学，第三次飞跃就是从确定数学到随机数学．现实世界的随机本质使得各个领域从确定性理论转向随机理论成为自然；而且随机数学的工具、结论与方法为解决确定性数学中的问题开辟了新的途径．因此可以说，随机数学必将成为未来主流数学中的亮点之一．概率论作为随机数学中最基础的部分，已经成为高校中很多专业的学生所必修的一门基础课．但是教学过程中存在的一个主要问题是：学生们往往已经习惯了确定数学的学习思维方式，认为概率中的基本概念抽象难以理解，思维受限难以展开．这些都使得学生对这门课望而却步，因此如何在概率论的教学过程中培养学生学习随机数学的思维方法就显得十分重要．本文拟介绍我们在该课程教学中的改革尝试，当作引玉之砖。

1将数学史融入教学课堂在概率论教学过程当中，介绍相关的数学史可以帮助学生更好地认识到概率论不仅是“阳春白雪”，而且还是一门应用背景很强的学科．比如说概率论中最重要的分布——正态分布，就是在18世纪，为解决天文观测误差而提出的．在17、18世纪，由于不完善的仪器以及观测人员缺乏经验等原因，天文观测误差是一个重要的问题，有许多科学家都进行过研究．1809年，正态分布概念是由德国的数学家和天文学家德莫弗（DeMoivre）于1733年首次提出的，德国数学家高斯（Gauss）率先将正态分布应用于天文学研究，指出正态分布可以很好地“拟合”误差分布，故正态分布又叫高斯分布．如今，正态分布是最重要的一种概率分布，也是应用最广泛的一种连续型分布．在1844年法国征兵时，有许多符合应征年龄的人称自己的身高低于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，这里面一定有人为了躲避兵役而说谎．果然，比利时数学家凯特勒（A.Quetlet，1796—1874）就是利用身高服从正态分布的法则，把应征人的身高的分布与一般男子的身高分布相比较，找出了法国2000个为躲避征兵而假称低于最低身高要求的人[1]．在大学阶段，我们不仅希望通过数学史在教学课堂中的呈现来引起学生学习概率论这门课程的兴趣，更应侧重让学生通过兴趣去深入挖掘数学史，感受随机数学的思想方法[2]．我们知道概率论中的古典概型要求样本空间有限，而几何概型恰好可以消除这一条件，这两种概型学生理解起来都很容易．但是继而出现的概率公理化定义，学生们总认为抽象、不易接受．尤其是概率公理化定义里出现的σ代数。

这一概念：设Ω为样本空间，若Ω的一些子集所组成的集合?满足下列条件：（1）Ω∈?；（2）若A∈?，则A∈?；（3）若∈nA?，n=1,2,??，则∈∞=nnA∪1?，则我们称?为Ω的一个σ代数．为了使学生更好的理解这一概念，我们可以引入几何概型的一点历史来介绍为什么要建立概率的公理化定义，为什么需要σ代数．几何概型是19世纪末新发展起来的一种概率的计算方法，是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸．1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”[3]，矛头直指几何概率概念本身．这个悖论是：给定一个半径为1的圆，随机取它的一条弦，问：

弦长不小于3的概率为多大？对于这个问题，如果我们假定端点在圆周上均匀分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中点在直径上均匀分布，所求概率为1/2；又若假定弦的中点在圆内均匀分布，则所求概率又等于1/4．同一个问题竟然会有3种不同的答案，原因在于取弦时采用了不同的等可能性假定！这3种答案针对的是3种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的．因此在使用“随机”、“等可能”、“均匀分布”等术语时，应明确指明其含义，而这又因试验而异．也就是说我们在假定端点在圆周上均匀分布时，就不能考虑弦的中点在直径上均匀分布或弦的中点在圆内均匀分布所对应的事件．换句话讲，我们在假定端点在圆周上均匀分布时，只把端点在圆周上均匀分布所对应的元素看成为事件．现在再来理解σ-代数的概念：对同一个样本空间Ω，?1={?,Ω}为它的一个σ代数；设A为Ω的一子集，则?2={?,A,A,Ω}也为Ω的一个σ代数；设B为Ω中不同于A的另一子集，则?3={?,A,B,A,B,AB,AB,BA,AB,Ω}也为Ω的一个σ代数；Ω的所有子集所组成的集合同样能构成Ω的一个σ代数．当我们考虑?2时，就只把元素?2的元素?，A，A，Ω当作事件，而B或AB就不在考虑范围之内．由此σ代数的定义就较易理解了．2广泛运用案例教学法案例与一般例题不同，它有产生问题的实际背景，并能够为学生所理解．案例教学法是将案例作为一种教学工具，把学生引导到实际问题中去，通过分析和讨论，提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法．我们可以从直观性、趣味性和易于理解的角度把概率论基础知识加以介绍．我们在讲条件概率一节时可以先介绍一个有趣的案例——“玛丽莲问题”：十多年前，美国的“玛利亚幸运抢答”

电台公布了这样一道题：在三扇门的背后（比如说1号、2号及3号）藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，则汽车就是你的．现在先让你选择，比方说你选择了1号门，然后主持人打开了剩余两扇门中的一个，让你看清楚这扇门背后是只羊，接着问你是否应该重新选择，以增大猜对汽车的概率？

由于这个问题与当前电视上一些娱乐竞猜节目很相似，学生们就很积极地参与到这个问题的讨论中来．讨论的结果是这个问题的答案与主持人是否知道所有门背后的东西有关，这样就可以很自然的引出条件概率来．在这样热烈的气氛里学习新的概念，一方面使得学生的积极性高涨，另一方面让学生意识到所学的概率论知识与我们的日常生活是息息相关的，可以帮助我们解决很多实际的问题．因此在介绍概率论基础知识时，引进有关经典的案例会取得很好的效果．例如分赌本问题、库存与收益问题、隐私问题的调查、概率与密码问题、17世纪中美洲巫术问题、调查敏感问题、血液检验问题、1992年美国佛蒙特州州务卿竞选的概率决策问题，以及当前流行的福利彩票中奖问题，等等。

1引言

概率论与数理统计作为一门实用性很强的课程，被国内高等院校的数学、统计、经济与管理等院系设置为基础课，并且随着时代的发展越来越受到重视.概率统计涉及的我们生活的许多方面，早在十七世纪概率统计就已经在金融保险业等方面有所应用.随着社会的发展，又在医学、交通、人口统计、金融、微商等方面被频繁应用，并且这些方面有些急需解决的问题也进一步促进了概率统计的发展，使得更多的学者投入到新工具新理论的研究中，让统计学体系更加完善.这门课程虽然比较抽象，但作为老师要做到让这门课具体化、生活化并且与实际相结合.目前，大多院校都比较重视理论的讲授而轻视实际的应用，老师应当做到在让学生对学习概率统计产生浓厚兴趣，掌握其基本概念、理论和方法的同时，又能从实际问题出发借助概率统计方法进行分析和解决.随着科学技术的进步和大数据的出现，数据的结构越来越复杂，数据量越来越庞大，大数据所涉及的各行各业时刻影响着我们的生活、工作与学习.在大数据时代，数据就是价值，因此大数据的研究受到了政府、各大高校科研机构以及企业的高度重视.当前，大数据所涉及的内容和方面过于广泛，具有规模性、多类型性、处理快速性、预测性和潜在性等几个特征，所以必然要求学生需要掌握一定的数据处理能力，其中统计软件的操作是必备的处理数据的技能.因此种种这些现实必将促使概率统计课程需要在教学方式上做一些改变.在大数据时代，灵活学会概率统计课程可以让我们迅速地发现数据内部的规律，可以在大而杂的数据中寻找到需要研究的方向，从而加快对数据的分析处理，进而更快地进入主题[1].在分析大数据时我们总想着找到数据之间的联系，那么如果我们用概率统计中对随机现象统计规律的演绎和归纳思想来处理数据，推演数据的演变趋势会带来很多的好处.在大数据中运用概率统计模型会让理论更结合实际，便于学生更加容易掌握这门课程.在本文中作者根据自己多年的教学经验和对大数据的认识，基于时展和学生自身发展的需要，也促使这门课需要提出一些新的教学方法，提出新的建议.

2对传统的教学模式和考核机制进行调整

2.1把趣味和生活引进课堂教学.概率统计是对随机现象中隐藏的客观规律进行分析研究的学科，相比较其他的数学学科，会更加抽象、更加难以理解.久而久之学生对其学习会失去兴趣，这将不利于后面专业课的学习，因此需要通过有趣的教学方法激发学生的学习动力和兴趣.每一个新知识点讲解的第一节课往往都是学生印象最深的，会对学生以后的学习以及是否能熟练掌握产生极大的影响.教师可以在课程开始前将本节内容的发展史引进课堂，使课堂教学历史化.所谓“磨刀不误砍柴工”，在讲授新内容之前让学生全面了解概率统计的发展史，简要介绍概率统计大家的生平，通过一些趣味故事介绍他们对本节内容的研究过程，让学生在短时间里通晓古今，对概率统计发展史有一定了解，激发学生对知识的探索的认识，开阔学生眼界，对以后的学习有着引导意义[2].比如在讲解概率的定义时，可以告诉学生在概率论的发展历史上，曾有过概率的古典定义、几何定义、频率定义以及主观定义等.借助具体实例展示这些定义各适用于对应的随机现象中的概率，进而引出如何给出适用于一切随机现象的概率的一般性定义的探索性问题.1900年数学家希尔伯特提出要建立概率的公理化定义解决这个问题，1933年苏联科学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定义，这个定义概括了上述几种具体概率定义的共同特性，提炼出概率的基本性质，是概率论发展史上的里程碑[3].学生了解这个发展历史就会对概率的公理化定义容易理解，不会觉得怪异抽象.在大数据时代下学习概率统计应该让课堂更接近实际生活，选取生活中的真实案例和实际生活情景，让学生真实感受到概率统计与我们的生活形影不离，无处不在.解决这些实际问题，可以培养他们的理论应用意识，增强分析处理问题的能力，同时也加强了他们的主动性和自觉性.酒吧街头打赌，运动员射击比赛，彩票销售中心等都可以拿来作为课堂案例.比如随机相遇的两个人的生日在同一天的可能性有多大？我们知道两个人生日的所有的可能性搭配有365×365种，其中生日相同有365种可能性，那么这两个人的生日相同的可能性约为0.0027，这几乎是不可能发生的.但是假如在人数超过50的一次聚会或者一个班级里，存在两个人生日相同的概率又是多少呢？这里可以跟学生讲一个美国数学家伯格米尼在观看世界杯足球赛时在台上随意挑选了22位观众，结果有两位观众的生日相同，通过计算当人数达到64人时，至少有两人生日相同的概率已经达到99.7%，这几乎已经是必然事件了，教师可以在班里现场做一个验证，进一步向学生解释小概率累积效应，带动课堂气氛.2.2改变教学方法和内容.2.2.1教学手段和学习方式比较单一.传统的教学方式比较单一固化，学生的学习处于被动的地位，一支粉笔一块黑板的教学模式已经不能完全满足这门课的需要和社会的发展，课堂需要生动活泼的教学情形.教学过程的枯燥乏味很容易使学生失去学习热情，所以教学方式的改变已迫在眉睫.首先不再让多媒体和计算机只是用来播放视频和课件，要真正的发挥其作用.大数据时代下讲授概率统计内容更多的是理论在实际中如何运用，所以当讲授完理论的证明后要跳脱出来，向学生解释定理揭示了哪些问题，定理在实际中有什么用.数理统计那一部分因为涉及大量数据的计算问题，计算量过于庞大所以无法进行具体计算，所以这一部分的难度在于学生如何通过统计软件得到结果，因此老师应该更多一些的投入时间向学生介绍统计软件的使用.在概率论部分要求学生可以通过统计软件进行一些概率实验，例如用计算机重复实验蒲丰投针问题，去验证π的值，这是个很有趣的实验，相信学生都会在自己动手实验后对事件的概率这一知识点的理解会更加深刻.所以计算机，多媒体带来的图像、模型展示，对实际问题处理的过程会更加易于学生理解、掌握基本知识，同时也提高了学生处理实际问题的能力.2.2.2教学内容过于注重理论.教学内容比较单一，高校里概率论与数理统计这门课主要由概率论基础知识和统计知识两部分组成.在实际教学中，教师往往是只对理论及其证明进行介绍，并未更多的解释理论的实用性，其间虽有部分习题，但也都是把实例简化后很容易就能得到结果的问题.整个课时的安排也是概率论所花时间多，而数理统计只用很少的时间来介绍部分统计内容.这样的教学内容很容易让学生对概率统计这门课产生误解，认为这门课就是在学习公式、定理和证明，从而忽略了概率统计本身的实用性和具体解决实际问题的思想，这是很不合理的，在大数据一年强过一年的趋势下应该提高学生解决实际问题、分析数据的能力.为此应优化教学内容，教师带着学生先浏览涉及概率统计的实际问题的风景，而后再进入概率统计的天堂，就使得各种概念和理论有了有源之水、有本之木.强化概率统计思想与方法的认识，增加统计软件的操作学习，具体体现在以下几方面.①在不影响课程完整性的条件下，可以适当的降低理论的难度，增加趣味性和实用性，便于学生更容易理解基本概念.②为加强学生运用统计知识处理数据的能力，增加描述性统计部分内容，能够进行数据的频数分析、集中趋势分析、离散程度分析、分布以及一些基本的统计图形[4].③融入统计建模思想和数学建模思想，提高学生的团队协作的精神和根据实际问题建模的动手能力，建立概率统计案例库，以案例引入知识点，将统计和数学建模的思想融入概率统计的教学当中，使学生对概率统计知识的运用受到实训和培养.近几年来，全国数学建模比赛试题中频繁出现涉及概率统计知识的题目，统计建模大赛选题形式实行开放性的数据分析模式.例如：2015年的B题“互联网+”时代的出租车资源配置，2013年D题公共自行车服务系统，2011年A题的城市表层土壤重金属污染分析.2018“东证期货杯”全国大学生统计建模大赛初赛通过直接在线发放选题数据撰写初赛论文.这些试题都需要参赛者对数据进行分析，要求参赛者懂得概率统计的知识，所以将统计和数学建模的思想融入概率统计的教学过程当中，有助于提高学生的数据分析和建模能力[5].④开设实验课，将SPSS、SAS、R等统计软件引入到教学中.2.3改变考核内容.除了教学方法、手段、教学内容需要改变外，学生的考核标准是否合理也是需要深思的.传统的方式是通过课后作业情况和最终的考试成绩来判断教学成果和学生的学习情况，由于现在学生作业的抄袭情况严重，老师如果仅通过学生上交的作业完成情况来判断学生的学习情况是不准确的，因此改变考核机制是有必要的.教师应采取更灵活的考核方式，由考试成绩、论文成绩、实践成绩、平时成绩这四部分来确定学生的最终成绩.增加课程论文这一项的好处有很多，它不仅可以促使学生在完成的过程中复习所学知识，而且能够培养学生自己查阅资料和归纳总结的能力、应用分析问题能力、组织和表达能力等.实践成绩包括实验课的表现，参加建模比赛等活动的成绩.平时成绩包括听课效果、作业的完成、课堂的随机性提问、随机小测验等.通过这写灵活多样的考核方式得到最终的成绩就比较全面，可以更好地了解学生的学习情况和教师教学成果，也符合大数据时代背景下应用型人才的培养需求，也最终达到了统计学人才培养的目标.

3结束语

随着科学技术的进步，大数据有着一年强过一年的趋势，深入到各个领域，其分析应用服务于社会越来越多的领域.在此背景下，培养应用型人才是高校非常重要的教学目标.概率论与数理统计的灵活运用将会给大数据的研究带来新的发展和有效的利用.上述是作者结合自身的教学体会与实践所提出的一些建议.总之，教学既包括教也包括学，在教与学的过程中需要根据不同的学生和不同的课程不断地改变教学方式和教学内容，因材施教，激发学生的学习热情.时代的快速发展变化，也必将促使我们在教学过程中要不断地完善教学手段和方法，改进考核方式，致力于提高学生的综合素质.

当今世界几乎找不到不应用概率论(包括数理统计)的实际生活部门和应用领域。正如法国大科学家拉普拉斯(P-SLaplace,1749~1827)早在100多年前所断言的:“生活中绝大多数最重要的问题实质上是概率问题”。而最近十几年来,经济学数学化的最大成就就是金融经济学大量应用概率统计,出现了一个全新的学科———数理金融学,对它的研究方兴未艾,21世纪肯定是它进一步蓬勃发展的时代。

一、数理金融学的发展与现状

所谓“金融经济学”在国际上通常指研究证券交易的经济学,是一个极为引人瞩目的学科。证券交易是市场经济中最重要的交易。现在,人们都知道,经济的晴雨表不再是那些年度的产值、产量之类的统计公报,而是那些每天都出现在报纸、电视广播中的股市行情、期货牌价、证券指数等等。金融经济学所研究的中心问题正是各种有价证券(股票、债券、公债、票据等)及其衍生物(期权、期货等)的定价问题。长期以来,有关有价证券及其衍生物(如期权)的合理定价问题一直悬而未决。对证券内是否有一种内在的定价机制一直是金融经济学界争论的问题。早年在金融经济学中数学的作用也只局限于一些简单的统计分析。60年代数理经济学家的介入,才彻底改变了这种面貌。

现代数理经济学的创始人通常认为是1874年提出一般均衡理论的瓦尔拉斯(Walras.L)。他把亚当•斯密的经济思想具体化为“供需均衡”和“价格体系”。瓦尔拉斯一开始就对他的理论采用了数学形式。但由于当时缺乏合适的数学工具,他未能确立一般经济均衡的存在性。从1874年起,许多数学家和经济学家都对一般均衡存在的严格论证作了不懈的努力。一直到1954年阿罗(Ar-row.K.)和德布鲁(Debreu.C.)采用了彻底的数学公理化方法和凸集理论、不动点定理等数学工具,提出一般均衡的数学模型及其存在证明,这个问题才被认为得到彻底解决。他们两人因此先后获得诺贝尔经济学奖。

70年代,德布鲁又从微分拓扑中的庞加莱—霍普夫(Poincare-Hopf)定理出发,提出了“正则(非病态)经济”的概念,并指出“绝大多数”的经济是正则经济,而正则经济的均衡总存在,且只有有限个。至此,传统的一般均衡理论发展到顶峰。一般均衡的理论框架虽然是强有力的,但它的弱点也是非常明显的。

它把整个经济问题归结为一个均衡价格体系的问题实在是远离了现实。对于金融经济学,首先要解决的是给出证券定价的数学机理理论。60年代末,金融经济学的数学模型在莫迪利亚尼(Modigliani)、米勒(Miller)、马科维茨(Markowitz)、夏普(Shar-pe)等人的研究下形成了良好的基础。这些数理经济学家后来都因此获得了诺贝尔经济学奖。1973年,金融经济学出现了重大突破,那就是布莱克(Black)和斯科尔斯(Scholes)为期权定价(Optionpricing)提出了今天极为著名的布莱克—斯科尔斯公式。期权就是某个时刻以某种确定的价格购买某种证券的权利。如果把期权买卖可能的得益与无风险的短期银行利息作比较,就能将期权定价问题归结为一个随机微分方程的解,从而可导出一个与实际相吻合的计算公式。这项重大的突破激发起无数有关证券定价的新研究,尤其是在数学理论上大大推动了人们对随机控制与最优停止问题的研究兴趣。相当多的研究立即被投入应用,它使人们能通过数学分析来抓住投资时机与不确定性之间错综复杂的关系。这就给金融市场带来了直接而深刻的变化,从而宣告了数理金融学(亦称金融数学)的诞生。