大学线性代数知识点总结范文

导语：如何才能写好一篇大学线性代数知识点总结，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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【关键词】微课；线性代数

一、背景介绍

线性代数是高校中一门重要的数学类基础课，具有广泛的应用.线性代数是学习理、工、农、医、经管类等专业知识的一个基本工具.由于一般民办高校将线性代数课时安排较少，加上学生数学基础较薄弱，使得学生们在学习过程中感到不易理解和掌握.随着计算机技术在内的现代科学技术的迅速发展，知识的传授和接收不再受时间和空间的限制，这冲击着原来的线性代数课程教学模式.如何利用现代信息化的社会环境，改善和提高课堂教学质量和效率，是当前教育改革的主要研究方向.本文将以线性代数课程教学为研究对象，探讨民办高校如何应用微课去提高课堂教学质量和效率.

微课的概念是由美国新墨西哥州圣胡安学院的高级教学设计师DavidPenrose在2008年提出的.他录制了1～3分钟的教学视频，并将视频与课程任务上传到课程管理系统，供学生课外观看和学习.国内微课最早的雏形是微型教学视频，李玉平老师在2010年以PPT数字化的方法将课堂的小现象、小问题和小策略呈现在视频中，并称其为微课程.在2011年佛山市的胡铁生老师将过去的教育资源影像整理成碎片并将其命名为微课.2013年以来，微课在国内开始迅速升温.

线性代数这门课程相对于高等数学和概率论与数理统计来说，学生刚接触时，对其内容及包含的数学思维会比较陌生.学生们需要花一段时间去接受和适应.特别是民办高校的学生，在数学基础、学习能力等方面相对一本、二本学生来说较差，不少学生在学习线性代数时感到有难度，或有跟不上教师的节奏等问题.微课短小精悍，具有教学时间短、教学内容较少、资源容量较小等特点，费时不多就可以学习一个知识点，方便学习者利用碎片化时间来学习，能够实现随时随地学习，对网上、课前、课后学习都有帮助.因此，应用微课去提高民办本科院校线性代数课程的教学质量和效率是可行的.

二、微课的应用

微课视频制作的好坏直接影响微课应用的效果.应用微课去提高教学质量和效率，首先，要有适合学生实际的微课视频.因此，制作微课时一定要根据学生接受能力来对课程内容进行选取和设计.在通过课外看微课视频进行自主学习的过程中，不仅要求学生对概念和性质有一定理解，还需要他们对概念、性质、相关计算和应用有一定掌握.因此，教师在制作微课视频的过程中要把握好条理，突出重点，列出明确的课程目标和要求.结合我校线性代数教学实际，我们将线性代数的微课设计分为“概念与性质”“基本计算方法介绍”“总结与习题讲解”“拓展应用”四部分f推式的教学视频.

第一部分制作，可以以PPT的形式展现给学生.对于重要的内容可以通过教师书写进行展示，以逐步讲解的方式来呈现.先介绍概念，然后将新概念与已有知识结合自然得到相关性质.对于一些较为复杂的性质证明过程，我们不用在这一部分微课中体现，结合一些简单的例子进行解释说明，加深印象即可.至于严格的证明，将在第四部分微课视频中进行展示.比如，在讲解行列式性质这一知识点时，我们用二阶、三阶行列式说明即可.例如，

第三部分制作时，我们将知识点进行归纳总结.在归纳总结时，我们可以采取先以教师提问，后面再作答的形式呈现，给学生们思考的时间，并且在归纳总结时要突出教学重点，注意叙述条理性.对于学生作业中的问题进行讲解，我们可以将学生们作业中出现的典型问题进行展示和讨论.在这一部分中，我们也可以给出引例，提出问题，引出下一个知识点.

第四部分制作时，我们可以展示一些需要技巧和解题思路较为复杂的题目.例如，可以展示一些考研真题，供有需求的学生们进行学习.或者展示一些短小的应用实例，让学生们知道相关知识点的实际用处.或者展示理论推导进行相关拓展，供有兴趣的学生学习.还可以讲解一些数学史或者有趣的数学问题，来丰富学生们的数学文化知识，激发学生们探索数学知识的兴趣.我们在这一部分还可以加入数学实验.通过运用各种计算机系统及软件等，积极寻找解决问题的办法.通过开展数学实验部分，使学生们对所学数学知识理解更加透彻和深入，使学生们能够及时巩固所学知识，并有利于刺激学生的思维能力.当然，这一部分作为拓展，对学习的学生在数学基础和学习能力方面有较高的要求.

基于以上四点制作出来的微课视频可以供学生们进行课外学习.其中，第一、二和三部分作为课前预习，通过学习这三部分，让学生们对本节知识点的重点和教学目标有了一定的了解.然后，再结合课堂教学，学生们能更好地掌握知识，课堂上就能跟上教师的节奏.同时，这三部分放在课后学习，也会有很好的复习效果，让学生们对所学知识了然于心.第四部分可以作为选学部分，供有兴趣的学生作为拓展，这一部分不做硬性要求.

运用微课可以逐步实现线性代数课程翻转课堂的教学模式，打破传统的教学模式.学生们课前学习了微课视频，在课堂上教师可以采取更灵活和开放的教学方式来组织教学.教师可以在课堂教学开始时给出本次课的知识点提纲，列出教学目标和重难点内容，然后，让学生们交流讨论学习微课时存在的问题，对于难理解的知识点，教师进行统一讲解.若学生们觉得没有问题，教师则可以通过提问和出题的方式来考查学生们掌握知识点的情况，如果发现问题则可以及时地解决.

三、结束语

通过微课教学的开展，改变目前民办本科院校线性代数课程的教学现状，让学生作为教学的主体主动参与到教学活动中，并且逐渐建立起适合民办应用型本科院校学生学习的多元化教学模式.运用微课可以逐步实现线性代数课程翻转课堂的教学模式，提高学生自主学习能力.应用微课将是促进民办本科院校大学数学有效教学的一次重大契机，也是民办本科院校线性代数课程教学中的一次全新尝试和改革.

【参考文献】

[1]胡铁生.建构中国特色的“微课程教学法”[J].中国信息技术教育，2013（12）：33-38.

[2]胡铁生，周晓清.高校微课建设的现状分析与发展对策研究[J].现代教育技术，2013（12）：33-38.

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关键词：《高等数学》；《线性代数》；相通性

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）32-0196-02

随着科学技术的发展和计算机的广泛应用，《高等数学》和《线性代数》的作用越来越重要，它们是高等院校培养应用型人才重要的数学基础课。《高等数学》主要学习的是微积分方面的知识，《线性代数》主要学习的是几何方面的知识。由于课程内容的不同，部分高校在课程安排上往往一个教师要么只教《高等数学》，要么只教《线性代数》，从而在教学时往往忽略了引导学生去思考这两门课程中的一些相通性。实际上，看似两门完全不同的课程之间实有许多相通之处，而让学生了解和掌握这些相通性不但有利于更好地掌握这两门课程，而且还可以培养学生发现、思考和总结的能力，所学知识真正做到融会贯通。

几年来，笔者一直在教学一线，既承担《高等数学》的教学，也承担《线性代数》的教学。在教学实践中，笔者发现和总结了一些这两门课程的相通性，下面介绍几点。

一、《高等数学》和《线性代数》课程中部分定义和结论的相通性

4.方程解的结构。在《线性代数》中，当非齐次线性方程组Ax=b有无穷解时，其解可以表示为对应齐次方程组Ax=0的通解加上非齐次线性方程组Ax=b的一个特解。在《高等数学》中，非齐次线性微分方程的通解也有类似的结构，即也可表示成对应齐次微分方程的通解加上非齐次微分方程的特解。线性方程组和线性微分方程除了解结构类似外，解的性质也完全一样。

二、《高等数学》和《线性代数》课程中部分量运算的相通性

在《线性代数》中有一个重要的量――矩阵，故对矩阵的运算作了大量的介绍，有矩阵的加法、矩阵的减法、矩阵的乘法，但是没有矩阵的除法这一说法。在《高等数学》中，极限部分有个关键量无穷小，两个无穷小相加、相减、相乘仍然是无穷小，但是两个无穷小相除不一定是无穷小。这个特点和矩阵的运算特点类似，即对除法运算的特殊性。矩阵无除法运算，无穷小相除不一定为无穷小，它们虽然没有除法运算或性质对除法运算的不成立性，但是它们都有特殊的运算来代替，矩阵有矩阵的逆运算，无穷小可以通过相除来比较无穷小的阶数。

三、《高等数学》和《线性代数》课程对学生逆向思维培养的相通性

逆向思维是从原问题的相反方向、否定方向或已有思路的相反方向进行思考的一种思维。它反映了思维过程的间断性、突变性和多向性，有利于培养思维的灵活性，常常可以帮助学生寻找新的思路、新的方法，开拓新的知识领域。在《高等数学》和《线性代数》课程中，都大量存在对定理、结论的逆否命题的采用，因而两门课程在培养学生的逆向思维能力方面具有相通性。我们来看几个例子。

命题1：如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则齐次线性方程组只有零解。而在实际的解题过程中，往往用其逆否命题：如果齐次线性方程组有非零解，则齐次线性方程组的系数行列式等于0。

命题2：如果向量组中有一部分向量（部分组）线性相关，则整个向量组线性相关。在向量组中相关性判断中，也常常用到其逆否命题形式。线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关。再比如，若向量组线性无关，则其升维组也线性无关。其逆否命题：若一个向量组线性相关，则其降维组也线性相关。这些结论在线性代数学习中是比较难以区分的，若弄清楚两两之间的关系，不但有利于逆向思维的培养，而且学习起来也会事半功倍。

上面只是列举了这两门课程中的几个例子，实际这种逆向思维的训练在两门课程中还有很多。文献[1]中还介绍了利用反例、反问题等来培养学生的逆向思维。

线性代数与高等数学是大学数学的两门重要基础课，虽然这两门课解题方法有些差异，却密切相关。除了上面介绍的几个方面外，还在很多方面都有内在的渗透[2-7]。例如二次型在函数极值、不等式中有着重要的应用，线性空间理论也可用于数列极限的求解，矩阵、行列式在高等数学中的向量积、混合积、旋度、Stokes公式等知识点中都有具体的应用。而另一方面，高等数学中的许多内容，譬如函数的连续性、导数等都可广泛地应用于线性代数众多章节之中。教师在教学过程中应该抓住这些相通性及相互渗透的知识点，将这两门课的内容更好地交叉、融合。

参考文献：

[1]袁秀萍.线性代数教学中逆向思维能力的培养[J].科教文汇，2014，（294）：42-44.

[2]桑旦多吉.线性代数方法在高等数学解题中的应用[J].求知导刊，2015，（7）：126-127.

[3]米永生，梁静.线性代数方法在高等数学中的渗透[J].石家庄学院学报，2007，9（6）：17-21.

[4]董晓妃.线性代数方法在搞定数学解题中的应用思考[J].科技创新导报，2015，（19）：155-157.

[5]李明泉.线性代数在高等数学中的一些应用[J].长春师范学院学报（自然科学版），2007，26（4）：27-30.

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线性代数作为一门基础数学课程，课程内容具有很强的抽象性，是高等学校基础数学教学的难点之一；同时，又具有很强的应用性，广泛地应用于工程技术、物理、化学、经济及其他领域，是高等学校基础数学教学的重点。因此，在线性代数教学中，高校教师应注重大学生的学习兴趣的培养，注重知识结构和获取知识的过程，注重大学生主动建构知识、探索知识的能力培养。

一、当前高校线性代数教学特点与存在的问题

目前线性代数课程教学主要是在课堂上实现，而课堂教学大多采用“以教师为中心”的教学模式，达不到理想的教学效果，也无法适应大学生的发展要求。本文作者多年来从事线性代数的教学，通过调查，发现大学生学不好这门课的原因大致有以下几个方面。其一，概念比较抽象，大学生难以理解。其二，中学数学基础知识不牢，还有一部分文科生，学习这门课思想上不重视，导致学习这门课程信心不足。其三，教师把教学过程看成是数学知识的单向传递，普遍存在着思想上忽略大学生主体地位，教学方式机械单调等现象。第四，课时数严重不足。大多数教材需要64 学时，若每周3 学时，一学期实际上课周数为16 周，不到48 学时，而且还不包括习题课等其他的相关内容的讲解。基于以上种种原因，为了使大学生在有限的课时内更好地学习掌握线性代数课程内容，“以学生为中心”的教学理念应运而生。因此，合理安排讲授内容，营造宽松、愉悦的学习环境，运用多种学习方法和手段，通过增强大学生学习的自信心，来有效地提高线性代数课堂教学质量，已经是每个任课教师不得不着手研究的重要问题。

二、提高高校线性代数课堂教学效果的主要策略

1. 重视课堂教学的几个因素

（1）预习。为了培养大学生学习的主动性，可以把班级学生划分为几个学习小组，并明确学习任务。例如，在讲向量组的线性相关性的内容时，由于这部分内容理论性强，比较抽象，大学生学起来难以理解，所以，教师可以在课前指导学生先预习课本内容。让学生以小组为单位，讨论并列出向量组线性相关和线性无关的定义及判定方法（只含一个向量的向量组如何判定、只含两个向量的向量组如何判定、含有两个以上向量的向量组如何判定），让大学生充分进行预习，思考并写出在预习过程中遇到的问题和难以理解的地方，并在下次授课时进行课堂提问或者让学生讲解，把课堂交给学生，充分尊重学生的主体地位。在课堂上让大学生进行充分交流，老师引导重点讲解，既提高了学生的学习热情，同时不需要花费大量的时间从头至尾来讲所有的内容，节省了许多时间，也提高了教学效率。可见，让学生带着问题学习，养成良好的学习习惯，掌握驾驭知识的方式，教学效果较好。

（2）讨论。在认真预习的基础上，先由一个小组分享本组的学习成果，并由此引出存在的问题和大家不理解的地方以及感兴趣的知识点，所有学生参与讨论、答疑，促使每个学生都进行充分预习，最后由老师总结并清楚、准确地讲授概念及定理等疑难问题和重点问题。这样，可以尽可能使每个学生的问题都能得到解决，人人都有收获。例如，在讲授第五章“矩阵对角化”第一节“特征值与特征向量”时，首先由学生分享自己小组的讨论成果：相关概念及其理解；接着，教师根据课堂情况提出相关问题。比如，如果x是A的属于λ的特征向量，那么kx是否也是A的特征向量呢？如果x1，x2是A的属于λ的特征向量，那么x1+x2是否也是A的特征向量呢？需要满足什么条件呢？那么k1x1+k2x2是否也是A的特征向量呢？所有的这些特征向量该怎么求出呢？这一系列问题，课堂上可以通过师生互动、讨论得以解决。这样，学生体验到了成功的快乐，既活跃了课堂气氛，又激发学生的学习兴趣和学习潜能，培养了学生的数学能力和探索习惯，为下一环节的学习提供了基础和方法，从而获取较好的学习效果。

（3）练习。由于线性代数课时少、内容多，如果不重视练习和习题课的教学，教学效果往往会大打折扣的。而且对学生进行严格认真的学习训练，学生不仅可以形成明确的数量关系，提高逻辑思维能力，而且有助于培养学生认真、严谨、踏实、一丝不苟的作风，养成精益求精的学习风格。因此，高校线性代数教学中要注重练习这个教学环节。通常是在学生课下对前面学习内容进行整理总结基础上，精选典型习题进行分析、讨论，交流总结。例如，在学习向量的线性相关性一节之后，学生总结向量的线性相关的判定方法，针对不同类型的习题给出各种相应的解法。这样有利于学生对单元知识进行总结，并进行综合运用。如已知向量组a1，a2，a3 线性无关，b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证向量组b1，b2，b3 也线性无关。对于这个问题，在学生充分讨论、交流的基础上，总结出三种证法，即通过克莱姆法则、线性无关定义、矩阵的秩的性质，三种方法就是三种途径，这有利于学生掌握逻辑推理的技巧。因此，通过这个教学环节，学生对所学概念、性质和公式等知识点进一步理解、深化、巩固，从而提高学生综合解题的能力，并学会用数学的思维方式思考和处理问题。

2. 重视课后作业教学环节

在课堂上完成各项教学、学习任务之后，完成课后作业是高校线性代数教学中一个必不可少的重要环节。通过完成课后作业，使学生进一步复习、巩固学过的知识，也便于教师从作业中发现、了解学生对这部分知识的掌握情况。因此，课后作业要求学生认真完成，并以小组为单位，轮流先进行批改，每次都要写出批改记录单上交老师，教师再进行二次批改。这样通过批改作业，可以使大学生开阔思路，提高自己的学习能力；同时也有利于教师了解大学生对知识点的掌握情况和理解能力，了解大学生对问题的判断能力。针对作业解答和批改中存在的问题，个别问题个别解决，对普遍存在的问题，在课堂上详细讲解，尽可能不留遗憾地解决学生的疑难问题。因此，通过这个环节的教学，可以使大学生的学习能力得到更大的提高。

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【关键词】翻转课堂;线性代数;教学模式;教学设计

【中图分类号】G642.4 【文献标识码】A

【基金项目】北京市属高等学校高层次人才引进与培养计划项目（IDHT 201304089）;北京联合大学通识教育必修课程教育教学研究与改革项目“线性代数课程翻转课堂教学研究”（京联教〔2014〕18号）.

一、引 言

《线性代数》是高等学校的一门重要的数学基础课.随着现代信息技术的发展，网络学堂在教学中的广泛应用.将翻转课堂的理念融入到线性代数课程教学中，能够有效改善学生学习数学的被动状态，提高课程的课堂教学效果，学生从被动学习走向了主动思考，课堂学习从讲授转向了讨论与互动.本文结合网络学堂的教学功能，针对线性代数课程的教学目标、形式、方法、内容、评价进行优化设计，研究翻转课堂的教学模式与设计，从教学方法和模式上尝试全新的能引发学生互动、共同学习.

二、翻转课堂

翻转课堂是教师创建视频，学生在家中或课外观看视频中教师的讲解，回到课堂上师生面对面交流和完成作业的这样一种教学模式.翻转课堂包括三个方面的内容：一、以学习音像资料代替教师课堂上面对面的授课;二是学生与教师在课堂上对于关键的学习内容进行讨论、答疑、探究等自主学习和辅导;三是“翻转”指的是传统课堂讲授内容根据教师提供的视频资料在课外完成学习.这与传统教学模式遵循着由问题或案例导入新课启发式讲授小结课堂练习课外作业的教学过程正好相反.课前通过观看教学视频音频等资料完成知识的传授，在课堂上通过小组讨论、作业、提问答疑等教学形式，完成知识的内化[1].

图1 翻转课堂的教学结构模型

三、线性代数翻转课堂教学模型

对于线性代数课程来说，教学知识点明确，教学内容的核心思想可以通过讲授一个基本概念、一个计算公式、一道典型例题解释清楚.线性代数的这种便于总结和归纳的课程特点更有利于翻转课堂的实施.

我们要建立线性代数翻转课堂教学模型，分为以下三个步骤：第一，将课程的知识结构细化，分成若干个微知识点，对每个知识点进行教学设计，制作ppt课件，录制教学视频，扩展阅读等;第二，建立和完善网络学堂，课程基本资料、课程简介、课程进度、章节练习、章节课件、微知识点视频、小测验、教学交流、留言板、社区互动等;第三，利用网络信息技术，将课堂、网络学堂和学生的学习有效的结合，相互配合，做好课堂上的互动和知识的内化，并及时反馈交流教学效果，提高课堂教与学的效率.

1.微知识包重构课堂教学设计

斯坦福大学的教学实验研究表明，网上看教学视频也是很枯燥乏味的活动，因此大约每隔15分钟左右，在线视频会弹出一个小测验检验学生的学习效果，另外实验还增加了学生之间的提问、交流等共同学习的模式，收到很好的教学效果.实践表明教学视频的时间长度、互动性、视觉效果等对学生自主学习效果有着重要影响.因此，教师在制作教学视频时需要重视主题要点、设计10分钟以内的微课程或微知识点，切忌平淡冗长.基于以上分析，我们将线性代数课堂教学转化为若干个以知识点为核心的微知识包，每个知识点的教学视频长度尽量控制在10分钟以内，重构课堂教学设计，实现网络课程与传统课堂教学相结合.根据学生的学习情况，在传统课堂教学中加入翻转教与学的方式，微课程不一定要在课外看，能够及时解决教学难点的微课程也可在课堂中观看.我们对于线性代数课程的教学大纲与教学内容进行深入研究，得到课程的微知识包结构.课程围绕着行列式、矩阵、线性方程组这三大知识块，展开分析和讨论，对于不同专业、不同学校或学生的理解力等教学要求，可以灵活的添加或删减学习内容的微知识包.

2.翻转课堂教学模型设计

翻转课堂的教学内容在课外传递给了学生，课堂内让学生有机会在具体环境中应用其所学内容.这种教学模式包含了多种教育理念.如以人为本、创造性、主体性、个性化、开放性理念等.翻转课堂教学模型的优势在于：课堂和老师的角色则发生了变化.老师更多的责任是去理解学生的问题和引导学生去运用知识.当教师成为指导者而非内容的传递者时，就有机会观察到学生之间的互动，相互协作、学习和借鉴;教师教学的成就感有很大的提升.

具体实践方法：

（1）课堂.由教师事先将课程内容放入网络学堂，学生于课前上网收看预习，学生进入课堂后教师直接提问与讨论.在教室中，引导学生进行课本重点的深度讨论、援引课本以外更多实例进行分析、从事操作性或合作性学习活动、甚至直接进行作业的讨论与实作.采取学生分组坐在一排或者是前后桌，对于一段教学内容（微课形式，一个概念或者是一两个性质、一个计算方法等）让学生相互讨论、互相讲解、做练习、提出问题、解决问题.

（2）测验.学习完成一个单元时，学生分组的形式做练习（小测、例题等），相互研讨分工完成.

（3）目标与过程结合.强化教学过程的细节管理，注重以平时的笔记、小报告、章节总结、网络学堂的课外学习等来提高学生的积极性.对于平时作业，强调学生学的情况，可以用补交作业、修改作业、修改试卷、补充笔记等方式鼓励学生，提高学生的学习兴趣和学习的动力.

教学实践表明：这样讨论式的学习和互助式的学习能有效地控制课堂纪律，教师很明显的能感觉学生的课堂效果有了明显提高.利用翻转课堂的教学模型，以优化教学形式和方法、目标、内容和评价为手段，应用网络教学平台对课外教学与课堂教学进行有效支撑，达到优化教学的目的.

四、结 语

翻转课堂是学生在课外先通过视频、课件等自学知识点，到了课堂上，学生用学到的知识解决问题、做实际操作的任务和练习，学生遇到困惑时教师进行指导答疑.这样，课堂教师的主要任务不是讲授，而是充分针对不同学生进行区别化指导和项目式学习.

线性代数课程应用翻转课堂教学模式，收到了很好的教学效果.从教学内容的优化，微知识包的设计，网络学堂的辅助教学，教学模式优化等方面探究了翻转课堂的实施.

【参考文献】

[1]张金磊.“翻转课堂”教学模式的关键因素探析[J].中国远程教育，2013（10）：59-64.

[2]刘 震，曹泽熙“翻转课堂”教学模式在思想政治理论课上的实践与思考[J].现代教育技术，2013（8）：17-20.

[3]张金磊，王颖，张宝辉.翻转课堂教学模式研究[J].远程教育杂志，2012（4）：46-51.

[4]黄 琰，蒋 玲，黄 磊.翻转课堂在“现代教育技术”实验教学中的应用研究[J].中国电化教育，2014（4）：110-115.

[5]郭绍青，杨滨.高校微课“趋同进化”教学设计促进翻转课堂教学策略研究[J].中国电化教育，2014（4）：98-103.

[6]屈艳丽，杨成.基于Blackboard网络教学平台的协作学习研究[J].软件导刊・教育技术，2010（5）：49-51.

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1.1线性代数教学现状分析

首先，分别从教材、课堂、学生和教师四个方面对工科类院校线性代数教学现状进行详细的分析。教材方面，全国各大院校所用的教材不尽相同，多数工科院校使用同济大学编写的线性代数教材，一部分使用其他类型统编教材，还有一部分院校结合自己学校情况自编教材。因此，不同类型学校选用的教材可能会有难易程度、理论深度及内容覆盖广度等方面的差异，但就基本内容而言是大同小异的，重理论轻应用的特点一目了然，工科专业学生必须掌握的理论知识内容基本都覆盖到位，只是不同学校对各知识点要求掌握的程度不同罢了。课堂方面，如今的课堂教学模式较之以前有了一定程度的改观，不仅仅只是传统的板书教学，还有丰富多彩的多媒体教学模式。二者结合得好，能够大大提高课堂教学的质量，结合得不好，往往会把两种教学模式的优势都丢失，反而又得不偿失。线性代数作为一门理论性较强的数学课程，传统的板书教学往往会拖延课程的进度，使得任课教师往往为了赶进度而不能把每个知识点讲得过于透彻，而采用多媒体教学也并不容易。因此，需要每一位任课教师花大力气去研究课堂教学。学生方面，学生是课堂教学的主题，学生对课堂的接受程度直接决定了一堂课的成功与否。笔者的经验是，同学们对线性代数前半阶段的课都精神饱满，情绪高涨且充满期待，但是进入理论性较强的后半阶段时，一部分同学开始失去原有的学习兴趣，再往后学习，有的同学开始掉队甚至放弃继续学习这门课程。值得一提的是，这种现象在一些班级有时不止是一小部分同学。还有一个有趣的现象，学生课堂讲授知识反应良好，课下提问和作业反馈的却不尽如人意。教师方面，教师的作用体现在传道授业解惑，如何让学生轻轻松松掌握所要学习的课程知识，如何将学到的知识应用于解决实际问题，都是一名教师经常要琢磨的问题。教师的现状往往是如何在学校规定的时间内把规定的知识讲完，每个课堂上都是老师把本堂课的理论知识和盘托出，经过无数次讲述的理论肯定是再熟悉不过，然而学生却未必能欣然接受，往往一堂课下来可能收获甚微，教师或许还欣喜自己赶上了教学进度。

1.2线性代数教学中存在的问题和不足

基于对上述线性代数教学现状的详细分析，可以对当前线性代数教学中存在的问题做一个总结。课堂教学仍然偏重传统的教学方法，偏重系统理论的讲解，对线性代数在其他领域的应用重视不够，现行的教材重理论，轻应用，重公式推导，轻数值计算，教材大多忽略了概念、原理和模型的实际意义。每学期开始都有同学问起学习线性代数的作用，老师的回答总是很笼统。往往学生学完线性代数这门课程后，只会套用解题，并不知道线性代数在哪些领域应用，如何应用，导致学生学习目的不明确，为了应付考试而学习，这不利于激发学生的学习兴趣，不利于培养学生的创新能力和实践能力，而这些又恰恰又是工科专业学生必须具备的素质。

2线性代数案例教学的重要性和必要性

针对工科专业线性代数教学中存在的主要问题，我们提出一个行之有效的解决办法，即是案例教学。工科专业的学生强调学以致用，即是学到的东西有什么用，如何加以应用。目前线性代数的教材和教学仍然侧重理论，没有将其中的理论和实际应用结合起来，难免让老师讲起课来枯燥无味，学生听起来也觉得晦涩难懂，一堂课下来双方都感觉相当辛苦，实际效果又不理想。因此，我们迫切需要采取有效措施改变这个现状，那就需要实施案例教学。在工科专业线性代数课程教学中实施案例教学非常重要且很有必要，主要体现在以下几个方面。

1）工科专业应用型的特点要求学生不仅要学会其中的理论知识，还要将学到的知识与实际应用结合起来，学会应用或许更重要。

2）将晦涩难懂的抽象理论融入丰富多彩的理论知识中加以讲解，让学生在实际生活中体验抽象知识的来源，又将学到的知识应用到实际生活，能达到寓教于乐的效果。

3）与工科专业实例相结合的线性代数课程教学，将尽可能地调动学生的学习积极性，提高学生的学习兴趣，达到良好的教学效果。

4）对于开阔学生的视野，培养学生的应用能力，提高学生的建模能力，为数学建模人才的培养提供了很好的平台。总之，在线性代数教学中实施案例教学，可以很好解决教学过程中存在的枯燥乏味、动力不足及缺乏应用实例等方面的问题，活跃教学氛围，提高教学质量。

3线性代数案例教学的实施方法

仅仅认识到实施案例教学的重要性和必要性是远远不够的，关键还在于如何实行案例教学，这里根据笔者的经验，介绍一些行之有效的办法。首先，我们需要了解和搜集实施案例教学的材料，也即是与线性代数相关的工科各专业应用案例。其次，需要详细的归类整理，也即是决定搜集来的材料打算以什么样的面目呈现给学生。这一步非常重要，没有整理的材料可能会白费心血。最后，整理好的材料如何应用于教学，也即是怎样做才能很好地为线性代数课程教学服务。这一步是最重要的一环，接下来提供几个可供参考的办法。

1）最有效的办法是自编教材，将实际案例融入到各个章节的理论教学当中去。学生对教材的依赖程度和信任度比较强，编入教材的要比没有编入教材的被重视程度高得多，因此将实际应用案例编入教材，体现出理论和应用具有同等的重要性，不仅能提高学生的学习兴趣，还方便学生随时参考。但是这种方法可能会存在经费不足、课时不够等方面的问题需要克服。

2）将归类整理后的案例教学材料融入到电子课件当中去，多媒体教学过程中展示给学生。具体方法：可以在第一次上课前集中展示说明线性代数在各领域中的应用，也可以每次理论课上展示相关知识点的应用实例。但是这种方法可能存在覆盖面窄、学时不足等问题。

3）将归类整理后的案例材料装订成册，给学生每人一册，方便学生自学。缺点是课堂操作不便，并且会给学生增加经济负担。

4）将归类整理后的案例材料通过邮箱发给学生，包括Word格式的案例材料和Powerpoint格式的课件材料，同时鼓励学生在各自专业课程的学习过程中为案例教学搜集更多材料，充实案例教学材料的内容。但是这种方法可能不具有纸质材料的优势。

5）“因专施教”，根据专业分类整理材料，针对不同的工科专业实施相应的案例教学。简言之，以上方法可以在具体的教学过程中根据实际情况结合进行，取长补短，以便达到最优的教学效果，提高线性代数的教学质量。

4案例教学效果反馈与分析

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关键词：高职院校 线性代数 教学

中图分类号： G642 文献标识码： A 文章编号：1672-1578（2014）11-0039-01

线性代数（工科类）是一门应用十分广泛的数学学科，是高职院校工科类专业一门重要的基础理论课程。学习本课程，不仅可以掌握本课程的基本理论和方法，为学习后续课程提供必需的基础知识，而且可以使同学养成善于抽象思维和逻辑思维的推理习惯，从而提高分析和解决实际问题的能力。

由于高职院校学生的文化水平和知识层次参差不齐，大多数处于中偏下的水平，又没有良好的学习习惯。而线性代数是一门比较抽象，逻辑性较强的学科，课程中的概念、性质、定理、运算法则较多，比较零散，对高职学生来说，学习难度很大，不容易把握知识结构和各部分内容的内在联系。本文结合线性代数课程内容的特点和教学实践，对线性代数的教学内容进行整合，在抽象的理论教学中体现实用性，以达到良好的教学效果。

1 抓住本课程的中心，理清各章之间的关系

线性代数的主要内容包括行列式、矩阵、向量空间、线性方程组、特征值与特征向量、二次型六大板块。线性方程组几乎是作为一条主线贯穿于始终，线性代数课程的几乎所有内容都与线性方程组相关，如：

（1）行列式、Cramer法则：用于解特殊的线性方程组及研究线性方程组解的结构；

（2）矩阵：抽去线性方程组中的未知量与运算符号，即为矩阵；

（3）向量组的线性相关性：从解线性方程组的角度来看，背景是去掉多余的方程；

（4）特征值与特征向量：用线性方程组来求属于某一特征值的特征向量；

（5）二次型：利用线性变换化二次型为标准型。

因此在教学中，可以以线性方程组作为引入。比如，学阶行列式的定义时，用加减消元法解二元一次线性方程组11x1+12x2=b121x1+22x2=b2，从而引出二阶行列式的定义，同时给出用克莱姆法则求线性方程组的方法。再比如，学习矩阵初等变换的定义时，以高斯消元法解线性方程组为例，引出矩阵的初等行变换的定义，通过这种方式学习的定义，既自然又容易理解，便于记忆。

线性代数前四章内容关系紧密，是一个整体，是本门课程的重点，也是高职线性代数课程的主要内容。第六章，解析几何中为了能够更清楚地分析二次曲线和二次曲面的几何性质，常常需要把二次曲线和二次曲面的一般形式化为标准性，二次型理论正源于此，第五章是第六章的理论基础，而前四章又是研究这两章内容的基本工具。所以高职院校线性代数课程对这两章的要求只局限于知道基本概念，掌握基本运算，比如会求方阵的特征值和特征向量，用配方法和正交变换化二次型为标准型等。

2 明确重难点，重视基础，提高学生的基本运算能力

从职业教育的培养目标出发，线性代数的教学要以应用为目的，以够用为度，把培养学生应用相关知识解决实际问题的能力放在首位，不必过分强调“数学的纯理论性”。因此，在安排教学内容时要使学生学好职业岗位中所必要的知识。重点掌握基本概念，性质，基本计算，一些繁琐的证明，纯理论性的推导，抽象的概念及其应用都可以省略不讲。比如：n阶行列式定义的应用，克莱姆法则的证明，齐次线性方程组基础解系解向量个数的推导等。在教学中还要注重每章、每节知识点的连贯性和相关性，比如向量空间的基和维数，类似于向量组的极大无关组和向量组的秩，因此向量空间维数的求法类似于向量组秩的求法。

要让学生重点掌握使用行列式、矩阵、向量等常用工具的能力，掌握本课程解决问题的常用方法。例如矩阵的初等行变换，就是在求逆矩阵、求向量组的极大无关组和向量组的秩、求解线性方程组等问题中的一个基本方法，应该熟练掌握。通过做相当数量的习题，帮助理解、消化和巩固所学的知识，提高运算能力。做题要计算准确，步骤要清晰，书写要规范，要算出最后的结果。还要适当做一些简单的证明题，掌握一些简单的证明方法。

3 评价方式要起到激励作用

考核方式应多样化。期末考试要反映学生的专业特点，考试的内容除了注重基本知识、基本理论、基本运算，还应重视学生对应用数学知识分析问题和解决问题能力的考核。由于线性代数包含着大量繁杂的计算，有时一步错，步步错，无法得到正确的结果，因此试题中要适当减少计算量。平时考核和期末考核并重，平时考核可通过作业的质量、课堂活动的参与情况、数学实验报告等多种方式。并以期末考试60%，平时考核40%的比例计入期末总成绩。

教师要从教学内容，教学方法，考核方式等各方面进行认真的总结，不断完善线性代数课程教学。

参考文献：

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【关键词】翻转课堂 大学数学 微课 分析

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）31-0139-02

一、翻转课堂教学与微课

翻转课堂的概念最初来自美国一所中学，翻转课堂指的是颠倒传统教学模式，提供视频教学供学生自主选择和学习。翻转课堂坚持以人为本的原则，注重学生的自主性和学习的创新性，翻转课堂中教师主要负责对学生的引导和解疑。从某种角度而言，翻转课堂教学新形势是对教师的一大挑战。翻转课堂教学还主要出于探索前进的阶段，教育工作者还需要不断努力，思考如何进行知识的有效衔接以及如何在翻转课堂教学下实现微课的有效利用。如今，翻转课堂与微课结合，借助微课的精简特性，大大提高了学生的吸收和理解质量。微课比传统教学方式更具优势，微课短小精悍，十分便于教学的展开。这种教学被越来越广泛地应用到各所学校中去，在教育行业中引起了巨大反响。

二、微课对课堂教学的作用

顾名思义，微课指的是通过小规模的视频为主的载体，对教师在课堂上具体针对某个知识点展开的精彩教学活动的一个真实的记录。微课能够很好的把教学亮点整合起来，把知识点完整地传授给学生。

微课具有微小灵活的特点，这一特点主要是从微课学习时间角度上来考虑的，在信息快速发展的时代，如何更快更方便的学习成为每一个学习者关心的话题。微课紧跟时代需求，保证了学习者可以自主选择学习时间。相比传统学习方式而言，微课的灵活性解决了很多学者时间限制的困扰，也提供了获取知识的新途径。微课教学效率高，这一特点主要是从学生学习效果角度上来考虑的，微课突破传统的冗长单调的教学模式，改变以教师为中心的教学模式。把学习效果和学习者作为教育的中心，是教育创新的体现也是教育可持续发展的体现。通过这样的灵活学习，学生的学习过程更有自主性、创新性、独特性，每个学生根据自己的实际情况来选择微课学习课程，学习效率和质量同时都能得到提高。微课能够从学生的需求出发来制定多样化的教学活动。微课一般不会超过20分钟，微课的针对性强，能够提高教学效率减轻学生的学习负担。值得注意的是微课不是课堂教学的浓缩，微课主要是一段小型的教学呈现，目的是辅助数学课堂教学，解决学生某个知识点的困惑。微课更多的作用是辅助、补充、提升，让学生学会自主学习。微课的内容多是学生难以理解的知识点，通过这种短小简洁的吸引学生注意力，让学生逐个突破重难点。教师通常会在微课的设计中用一些精致的图、短小视频、丰富多样的活动来调动学生的积极性。微课能够给学生带了全新视野，有助于学生数学学习能力的提高。可以说，微课既是一种教学资源也是一种学习资源。

三、线性代数微课分析

大学的数学教学形式灵活多样，大学教师可以根据某个知识点自主选择恰当的微课形式来展开翻转课堂教学。笔者以大学的线性代数这个学习内容为主，制作了一个微课教学视频。首先，线性代数“排列与逆序数”教学的背景是求解线性方程组需要掌握排列的知识；本次教学目标主要是实现阶行列式的定义；本次的教学方法主要是举例和类推这两种。通过多媒体的方法让学生充分理解该知识点。此次教学具有很清晰的目标，借助行列式来让学生明白三阶行列式到阶行列式的定义推广从而完成方程组求解。

教学时，通过微视频的形式数学教师首先在视频中展示一个乘积的代数和例子，并由此引出核心内容，接着进行简短的概念讲解，让学生明白对换、排列和逆序数基本含义。随着讲解进行到对换性质时，就采用案例式教学法来说明对换与排列奇偶性的紧密关系。接着通过案例呈现让学生明白一般对换对排列奇偶性的影响。最后在微课视频即将结束的时候，教师应将整个流程的关键知识点进行一个总结。有关排列与逆序数的学习上，教师就可以通过一个短小精悍的微课让学生做好课前预习和准备，在课堂上与老师互动交流从而实现高质量的教学。

四、结论

大学数学的微课建设是提高教学质量的重要途径。在人们实现教学目标的活动中，我们还能够通过微课独有的特点来提高教师和学生双方的素质。另外，传统教学模式在很多方面不太适应时代的发展需求，低效率的教学活动难以产生高质量的学习效果。微课与翻转课堂的有效结合加快了我国的教育改革。把讲课过程录制成微小的视频课程，学生还可以课后通过视频来巩固知识。因此，大学数学教学可以考虑让学生课前看教学视频，在课堂上提出自己的疑问，真正落实翻转课堂教学。尽管微课还有很多不足之处，例如缺乏系统整体性等，但是作为新时代的大学教师，我们应该敢于尝试，不断探索，只有这样才能促进教学改革的顺利进行。

参考文献：

[1]徐永贵，刘成新.翻转课堂教学实践探索研究[J].曲阜师范大学学报（自然科学版）.2015（01）

[2]田小梅，胡灿.全国高职院校微课教学现状与思考[J].衡阳师范学院学报.2014（06）

[3]王玉华，张敏惠.浅谈微课、慕课和精品课程以及对教学的作用[J].内蒙古医科大学学报.2014（S2）

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关键词： 独立学院 《线性代数》 教学研究

独立学院是我国高等教育史上一种全新的办学模式。独立学院应定位于培养应用型的本科人才已成为一种共识，在教学中，这是首先应该把握的一条基本原则。独立学院的生源素质与母体高校相比存在较大差距，学生普遍存在以下几个问题：基础比较薄弱，理解能力相对较差，自学能力不强，对教师的依赖性较强等。

《线性代数》是数学基础课中应用性较强且与现代经济、金融、统计、管理密切相关的一门课程，它对于培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、解决实际问题的能力有着重要意义，所以提高《线性代数》课程的教学质量显得尤为重要。《线性代数》这门课程对于抽象性和逻辑性有较高的要求，学生需要改变以往的思维方式，需要有很强的理解能力与分析能力，因此很多学生觉得这门课程难学，难以应用。另外，我国《线性代数》教学体系所讲授的内容都是非常经典的理论，但随着科学技术的发展和社会的不断进步，其重理论、轻应用的弊端突现，已不能很好地适应现代社会发展的需要。针对这些情况，结合这几年在独立学院的教学研究，我谈谈一些体会和建议。

一、简化教学内容

《线性代数》的传统教学，在教学内容方面，内容抽象、概念多，学生不易接受；定理多、集中，方法独特，学生理解困难。根据独立学院培养应用型的本科人才的定位，针对独立学院学生的基础，应适当简化、浅化教学内容，充分体现“以应用为目的，以必需够用为度”的原则，把培养学生应用线性代数解决实际问题的能力与素养放在首位，体现“联系实际，深化概念，注重应用，重视创新，提高素质”的特色。

比如，行列式的计算可以简化只讲授5阶以下行列式的计算。行列式的计算方法可以只讲授对角线法则（适用于二阶、三阶行列式），利用行列式的性质化为上三角形行列式进行计算，利用行列展开定理计算三种方法。计算n阶行列式的递归算法等可以不予讲解。针对独立学院的学生特点浅化以后，关于行列式的计算，就可以归纳为四种类型：特殊行列式的计算（如各行各列之和相等的行列式，范德蒙行列式等）、一般行列式的计算、含有未知数的行列式|A-λE|计算、特征值已知时行列式的计算。

二、增强应用性，调动学生积极性

传统的教学过程中，《线性代数》作为数学工具的应用性体现不强，导致学生学习兴趣不足，这也违背了独立学院培养应用型本科人才的原则。因此教师在讲授抽象概念之前，应尽可能地介绍它们的应用背景或简单例子，启发学生思维从具体到抽象升华。

比如，讲授行列式的定义时，要根据独立学院生源的特点，精练、准确地揭示出定义的产生背景、出处和实质。可以首先由消元法求解二元线性方程组的解，来引入二阶行列式的定义，从而揭示行列式引入的目的，以及方程组的解与行列式的关系。

再如，在讲授矩阵的定义和乘法运算时，可以介绍某厂向三个商店发送四种产品这一实际例子，送货的数量和产品的价格、重量都可以排成一个矩阵，计算向各商店所送产品的价格和重量又可引入矩阵的乘法运算。

三、采用案例式教学

以我们的课堂教学感受和经验而言，独立学院的学生，基础比较薄弱，对长篇大论的说教式课堂教学不感兴趣。这就要求在《线性代数》教学过程中，理论方面尽量通俗易懂，尽量采用案例式教学，以调动学生的学习积极性。

例如，在讲解n阶线性方程组Ax=b解的情况时，很多教材都是从增广矩阵B=（A，b）的行最简形

出发，根据b ，d 值的情况，最后得出方程组有解或无解的充要条件。这种方法太抽象，而且须对行最简形的化简和初等行变化与解的关系非常了解。按这种方式讲解，独立学院的许多学生听不懂。而具体举个例子就非常好理解。如求解方程组Ax=b，其中

这是一个矛盾方程组，无解，原因在A出现阶梯形后，右边常数列b的下方又出现了非零数，这个非零数的出现使得R（A）=2，R（B）=3。而初等行变换不会改变方程组的解，所以Ax=b亦无解。从而可以理解，当R（A）＜R（B）时，线性方程组Ax=b无解。

四、重视类推的应用

《线性代数》的教学中，概念、定理很多，在学习的时候要强调对比、类推的作用。

比如，在讲行列式的定义时，可以由二阶行列式和三阶行列式的定义，通过对二阶、三阶行列式的展开式的归纳总结，最后得出n阶行列式的定义，揭示其实质是位于不同行不同列的元素乘积的代数和。

五、加强教学管理，提出互动教学法

独立学院的大部分学生学习自觉性不强，有不少学生对学习缺乏热情，经常迟到、旷课，对此，我除了不定时点名，抓好学生到课率外，还制定了有奖机制，主要方法就是鼓励并要求学生主动回答问题。比如在一个学期的《线性代数》教学中，在第三个星期的时候我发现其中一个班的学生的学习兴趣普遍下降，课后没有复习，所以上课的时候学生思维跟不上，我决定在每堂课开始的10分钟复习中采取“奖励与惩罚措施”，即随机提问，答对了平时成绩加2分，答错了扣2分。推行以后，效果显著，学生在有了压力的情况下主动复习，慢慢跟上了我的教学步伐。当时另一个班的学生情况好些，所以在他们班我并没有推行开这种措施，但是到了后半段他们班的情况就比不上前一个班了。说明这种“压力式”的教学方法对独立学院的学生还是非常有用的，读者可借鉴使用。

在平时的教学过程中经常出现这种情况：两节课90分钟，学生很难一直保持注意力集中，可能会出现走神、讲小话、睡觉等现象。这时候老师要把学生的注意力拉回来，可以通过眼神交流、提高声音等办法去提醒学生。

六、多媒体教学

在教学手段现代化的今天，独立学院的数学课在条件允许的情况下应采用多媒体教学。《线性代数》课程课时少，内容多，习题很多，而且都比较长，每堂课的知识点含量都比较大，使用多媒体将显著节约很多板书定义、题目的时间，从而可以对知识点进行更好的讲解。所以如能将传统的教学方式与现代的多媒体教学方式有机结合起来，以多媒体技术作为一种辅助教学的手段，将能达到更好的教学效果。

对于独立学院理工类与经济类专业学生来讲，线性代数是一门基础课程和核心课程，其教学质量的提高对于学生掌握更多专业知识具有重要意义，希望本文的研究能对线性代数教学质量的提高有所帮助。

参考文献：

［1］姜晓明.浅谈线性代数的教学［J］.职业圈，2007，（08）.

［2］张月兰，师丽雅.浅谈独立学院中线性代数的教学［J］.湖南科技学院学报，2007，（11）.

［3］付立志，王新年.高职线性代数的教学改革与实践［J］.学科教育，2007，（6）.

此文为中国林业科技大学涉外学院2008年度教学研究立项项目论文。

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关键词：矩阵的秩 教学难点 教学设计

中图分类号：O151. 21 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）10（b）-0118-02

矩阵的秩是线性代数课程中的重点概念，并且是教学上的难点。在当前课程学时不断减少，学生入学基础相对弱化的形势下，改良传统教学方式，优化教学设计，切实化解教学y点显得十分必要。

矩阵的秩的概念引入，传统上有典型的几个方式：一是通过用矩阵的子式来刻画；二是通过矩阵的行或列向量组的秩（行秩或列秩）来定义；三是通过与矩阵等价的行阶梯形矩阵的非零行个数来定义。经典教材文献[1]采用的是第一种方式。

对数学教学中的概念，特别是难点概念的引入方式不宜采用直接给定义的方法。而应当认真规划引入其概念的教学设计。对于矩阵的秩这一概念，多数教材（包括使用广泛的同济版）在引入时不够重视定义概念前的准备工作，有的更是直接定义概念。这样的方式对学生来说显得突兀，不利于对概念的理解和把握。实际上这种引入概念的方式也是造成学生学习困难的一个原因。在教学实践中教师通过具体问题引入矩阵秩的概念，注重说明其概念来源的具体背景和产生此概念的动机，并借助Mathematica软件强化对概念的认识与理解，取得了较好的效果。

1 矩阵秩概念的引入

考虑问题：求解线性方程组，其矩阵形式为。

用高斯消元法对线性方程组进行一系列等价（同解）变换，相当于对增广矩阵进行对应的初等行变换，将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，即

由此得到与原方程组等价的保留方程组为，该保留方程组中所含线性方程的的个数是3，其中各方程间彼此独立，注意一个方程组的保留方程组不唯一，但不同的保留方程组所含方程的个数不变，这个数叫作方程组的秩。相应地，将这个数也叫作（增广）矩阵的秩。线性方程组的秩实际上就是方程组中所含独立方程的个数。

实际上，一般方程组（包括有非线性方程）也有所谓“秩”的概念，其意义就是一般方程组所含独立条件（即保留方程组所含方程）的个数。

这样就可以定义矩阵的秩这个概念了。可以用矩阵的初等变换来定义矩阵的秩。也可以利用矩阵的子式来定义矩阵的秩――即矩阵中不等于0的子式的最高阶数。经过了前面引入矩阵的秩背景的介绍，我们给出矩阵秩的定义就显得比较自然，易于接受。

评点：联系了以前学过的解方程组知识，容易切入问题。不但介绍了矩阵的秩，还给出了方程组的秩的概念。通过例子还可以说明利用系数矩阵的秩与增广矩阵的秩的关系解决线性方程组解存在的判别定理。这样引入矩阵秩概念时有背景，引入秩概念后，还知道该概念有重要应用前景。这样的教学设计，易于为学生接受，既扩展了教学内容，又能帮助学生将课程前后内容联系起来，强化对秩这一概念的理解。

2 利用Mathematica软件计算矩阵秩以增强教学效果

利用矩阵的子式求矩阵的秩的缺点就是计算量大、比较繁琐。传统的纸笔手工运算，只能求行数、列数不大的矩阵的秩。若是对行数、列数较大的矩阵在课堂上就难于具体计算了。但对例子不具体计算，只是泛泛提及，就难于让学生印象深刻。借助Mathematica（也可采用其它软件），就能解决这个问题。例如，在教学中可以考虑计算下列矩阵的秩：

；

计算方法一，利用矩阵秩的子式定义方法求解。

（1）显然B有不等于0的二阶子式，因此rank（B）2，再计算3阶子式（是B的最高阶子式，共有4个），利用Mathematica进行计算，在软件环境下，输入程序行：

Clear[b]

b={{1，7，5，1}，{2，3，1，2}，{3，5，8，3}}

Minors[b，3]

得到结果是：{{67，0，0，67}}，即4个3阶子式的值，可见有3阶子式不等于0，因此rank（B）=3.

（2）矩阵C的最高阶子式是4阶的，若有一个不等于0，则可知rank（C）=4，若4阶子式全为0，则rank（C）

Clear[c]

c={{1，1，2，2，1}，{0，2，1，5，-1}，{2，0，3，-1，3}，{1，1，0，4，-1}}

Minors[c，4]

得到结果是：{{0，0，0，0，0}}，即说明所有的4阶子式（共有5个）都等于0。

再输入：Minors[c，3]，计算3阶子式（共有40个），结果是：

{{0，0，0，0，0，0，0，0，0，0}，{-4，4，-4，12，-4，-8，-4，0，4，4}，{4，-4，4，-12，4，8，4，0，-4，-4}，{8，-8，8，-24，8，16，8，0，-8，-8}}，有不等于0的3阶子式，所以rank（C）=3.

方法二，利用初等行变换求秩。

输入：RowReduce[C]//MatrixForm

输出：，非零行的个数是3，所以可知rank（C）=3。

方法三，直接使用命令：MatrixRank[C].输出结果是：3.即得rank（C）=3.

若矩阵行数、列数越大，则越能显示利用软件计算的便捷性。

评点：3种方法，第三种方法是软件直接给出结论。第二种方法化矩阵为行阶梯形，与我们手工计算的方法一致，不过软件实际给出的结果是行最简形，手工计算时变换到行阶梯形就可以了。第一种方法，可以帮助我们熟悉矩阵秩的定义。Mathematica充当了课堂上教师、学生之外的第3个教学角色，这样既可以提高学生的学习兴趣又教给了他们可以在实际工作中使用的计算方法。在同样的课时内提高了教与学的效率。

3 用矩阵的秩将线性代数课程不同部分内容串联起来

尤其在复结阶段，可以用矩阵的秩作为一条线索将矩阵、行列式、线性方程组、向量组的线性相关性等知识点串联起来，这样可以在有限课时内显著提高线性代数课程的教学效果。

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Abstract： This paper puts forward the requirements of the experimental course in the teaching reform of the mathematics curriculum of minority nationality preparatory course， expounds the concrete contents of the experiment course， analyzes the feasibility of the curriculum practice， and gives the evaluation of the curriculum system.

关键词：民族预科；教学改革；实验课程

Key words： ethnic preparatory education；teaching reform；mathematical experience course

中图分类号：G622.3 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）35-0214-03

0 引言

民族预科数学课程的教学现状：民族教育是少数民族预科生由中学教育向高等教育的过渡，通过“预”与“补”的结合，一方面需要提高民族学生文化基础知识，加强基本技能的训练，另一方面需要拓宽民族学生的专业知识，把握科学前沿，提高专业的兴趣，为他们今后本科阶段的专业学习打下扎实基础。

宁夏大学民族预科教育学院的数学课程包括“初等数学”和“高等数学”，教学内容包含初等数学、一元函数微分与积分学、概率论基础及线性代数初步和解析几何等。多年来，该院课程教学沿用传统的老师讲授为主，课后作业为辅的教学模式，比较注重数学知识的传授、计算能力的提高、逻辑思维能力的培养。

少数民族预科生通过一年的数学学习，数学基础知识比较扎实，运算能力有一定提高，但是学生任然停留在“学”数学而不是“用”数学，缺乏应用和解决问题的实践能力。近十年来，教育部和全国非数学类专业基础课程指导委员会一直强调数学课程中实践性教学的重要性，特别指出要注重大学生数学素质教育，加强实践教学环节，培养创新能力。对即将进入本科阶段学习的预科生来说，不仅要夯实基础知识，而且要把握专业知识前沿。如何从“学数学”转变为“用数学”，如何提高预科生的科学计算能力、科学创新能力、如何激发他们数学的学习兴趣？面对预科数学教学的新问题，笔者认为数学课程的改革的问题突出而必要，并且改革的方式既要遵循数学课程学习的规律性，又要符合现阶段预科生的学习现状。

1 开设数学实验课程的目的和意义

随着计算机的日益普及和各种数学软件的出现，数学计算工具为数学教育改革提供了新的机会，当然也给数学教育改革提出了许多值得深入思考和研究的问题。在大学数学教学中，如何把握好基本的数学理论和计算工具之间的关系，是否应该以及如何适量引入和利用计算机技术和数学软件，成为了数学教育界争论的焦点之一。数学实验正是在这种背景下经过反复研究、多次论证后创立的一门新的大学数学课程。

数学试验就是利用计算机和数学软件平台，一方面，对学习知识过程中的某些问题进行实验探究、发现规律；另一方面，结合已掌握的数学（微积分、代数与几何，概率等）知识，去探究、解决一些简单实际问题，熟练从数学建模、解决问题到实验分析的科学研究的方法。近十年来，国内不少高校相继开设了数学实验课，该课程涉及数值运算、优化运筹、概率统计等多个领域。虽然本科数学和非数学专业实验课程的目的和要求不同，但对开设这门课程的必要性、重要性的认识，大体上是一致的，即通过学生借助计算机和数学软件观察数学现象和解决实际问题，一方面能让学生亲身体会验证、解释和发现数学规律的乐趣，另一方面也能培养学生高效率地学习数学知识和有意识地应用数学技术的能力。本着预科数学教学改革发展的要求，本文提出开设数学实验课的认识与实践。民族预科开设数学实验课的目的是搭建高等数学、概率论和线性代数三大基础课程和数学建模的桥梁，通过掌握数学实验的基本思想和方法，培养学生动手能力，从实验中学习、探索、发现数学规律，提高学生对现代数学的兴趣，增强学生应用计算机和数学软件等数学工具进行科学计算和解决实际问题的能力。

2 数学实验课程要求与实践

从推动民族预科数学教改和培养本科创新人才出发，更好地完成民族学生预科与本科的对接，数学实验课应该强调以学生动手为主，在教师指导下用学到的数学知识和计算机技术，选择合适的数学软件，分析、解决一些实际问题。

2.1 数学实验课侧重于在计算机的帮助下学习数学知识

数学实验内容既有经典的数学、物理、力学问题，也有经济、管理、金融等现代领域的实例，甚至包括仿真、小波分析、人工智能等数学新技术，既有基础理论问题，也有科学研究等实际问题。宁夏大学民族预科教育学院80%以上的预科生都未确定专业，在预科学习期间可以以解决微积分、线性代数、线性规划、概率统计等典型例题的计算为主，充分利用数学软件工具提供的计算模块进行数值计算，让学生在学习理论、理解定义、定理严密逻辑思维和正确推导方法的同时体会数学软件提供解题运算的高效性和便捷性，并能充分调动学生数学学习的积极性。

2.2 该课程强调以学生动手为主

在教师指导下用学到的数学知识和计算机技术，选择合适的数学软件如matlab用于数学实验课，可以使学生更直观的理解高等数学中深奥、难懂、抽象的概念；可以利用数学软件二维、三维可视化的图像处理更直接的呈现所求解的如柱面、旋转面、旋转体、曲面等数学问题，培养学生空间想象能力；可以利用上百个工程问题中遇到的运算函数更快捷的验证和实现用户所需运算结果的准确性和计算功能。

2.3 通过数学实验过程培养学生独立思考、自主学习的能力并能分析、解决一些实际问题

可以以物理、力学、经济等经典例题，熟悉所运用的数学理论和方法，以实际问题为载体，以数学软件为工具，以解决问题为目的，掌握matlab基本编写程序，实现知识点的巩固与知识面的拓宽，独立自主的编写和调试程序，把要解决的实际问题转化为数学问题，即数学建模能力的培养，培养学生定量观察、综合归纳、把握现象的能力，为本科阶段的专业课程学习和科研工作奠定基础。

3 开设数学实验课程可能遇到的困难

①数学软件工具如matlab是一个高级矩阵/阵列语言，它包含控制语句、函数、数据结构、输入和输出以及面向对象编程特点。新版本的matlab语言是基于最为流行的 C++语言基础上的，因此语法特征与C++语言极为相似，而且更加简单，更加符合科技人员对数学表达式的书写格式。可实现数值计算、符号运算、建模仿真、科学工程绘图等功能。强大的编程模块和运算功能需要扎实的计算机程序设计课程的基础，对于刚接触程序设计语言这门课程的预科生来说，学习专业数学软件的难度偏大；

②matlab软件提供了上百种函数的运算，但在实际问题建模中的数学函数不能直接调用matlab软件中的函数运算功能，而只能用插值算法，但这种运算的方法需要本科阶段系统的专业数学课程的学习才能理解，而对未接触专业课程的预科生来说，理解数学插值、函数逼近、优化算法等专业知识有一定困难。诸如此类的问题使得预科生在进行实验的过程中难以把握和进行，实验不一定能收到好的效果。

4 数学实验课程教学内容设计

从预科学生设置实验课程的目的出发，对于如何设置这门课程和选用合适的实验教材？如何分配理论课程与实验课程的周学时数？如何选取有针对性的实验内容？如何达到实验课程目的？这一系列问题，需要结合预科生的特点和培养方向有针对性地给出解决方案。

民族预科生学制一年，有限的时间里授课内容较多（概率论、线性代数、高等数学），考虑到预科学生的知识结构和学习程度，开展实验课程的对象是程度相对较好的985、211重点委培院校的理科生。以计算机和数学软件辅助理论课程教学，且根据课程进度合理安排实验内容。因此，数学实验课程的内容设计如下：

①针对预科生选择合适的实验教材。教材可选用科学出版社的《数学实验与数学建模》和机械工业出版社的《matlab数值分析与应用》。实验内容要同步当前所学理论知识，理论课与实验的学时比例为3：1。实验授课内容包括实验与建模思想、matlab软件基础、上机实践。上机实践以matlab在概率论、线性代数、微积分计算的运用为主。

②以理论知识为主横向安排课程内容，以数学实验为纵向引入问题。开设实验课程的班级理论课每周周5学时，上机实验课周2学时。可利用matlab熟悉函数极限、导数、不定积分和定积分运算的方法和技巧；学习线性代数课程，可利用matlab实现矩阵的四则运算，逆矩阵的求解和线性方程组的求解等。引入的实例通过数学建模确定函数求解问题，尽量选取mantlab软件已有的函数模块，直接调用所需函数。实验过程要针对教材选取实验内容，且实验难度要适中。若实验课的内容牵涉和涉及到一些后续课程，如数值计算、优化方法、数学建模等，教师可以重点辅导实验进程，以把握实验目的和建模思想为主，只要求学生了解软件环境的实现，让学生体会数学工具在交叉学科中的应用，可不涉及这些课程的理论体系和结构。

5 数学实验课程开展与评价

在实验课硬件设施（机房、多媒体及相关数学软件等辅助教学设备）保证的前提下，实验课程要求学生做实验报告。实验报告按照“实验基本原理实验目的与要求实验内容与数据来源实验操作指导实验结论”的过程开展实验项目。实验课程在明确实验目标及内容的前提下，对学生实验实施过程给出准确评价，以达到课程教学目标。

①实验目标：让预科学生运用数学理论，利用数学软件，通过自己的上机编程而获得对数学知识的深刻理解，强化数学思想方法，领悟数学的本质，使理论学习与实践认知融会贯通。实验内容：利用计算机及数学软件，由易到难、由简单到复杂，实现已有例题的算法及熟悉函数的调用；涉及面积和体积问题可通过软件图形更直观的展示。

②实验实施：教师给出实验要求、恰当的操作步骤提示，并在某些操作步骤之前说明目的，与当前所学知识紧密结合，验证已有结论、探究易于归纳结论的问题等等。

③实验评价：应当与解答常规数学题有区别，在关注“实验”结论的同时，重视形成结论的过程以蕴涵的数学思想，锻炼学生动手能力，实验过程要学习、探索、发现数学规律，提高学生对现代数学的兴趣，增强学生应用数学工具解决实际问题的能力。

6 结束语

多年来少数民族预科数学理论课程强调夯实理论知识、培养缜密的逻辑思维、提高运算能力和计算效率等，但学生的自主创新和动手能力普遍偏低。在对近三年预科理科生的问卷调查中，有85%以上的学生愿意增设数学实验课程，有70%以上的学生希望利用软件平台学习数学并了解数学建模思想，有80%以上的学生想了解数学在其他学科中的应用并把握学科前沿。少数民族预科开设数学实验课的构想正是近几年结合预科教育自身的发展规律和特点提出来的，从课程的指导思想、内容安排、教学方法都在试验和讨论之中。只要把握好预科教育教学规律和特点，明确民族预科教育的培养目标，预科生通过数学实验进行观察、验证、归纳、总结等过程对主动挖掘和探索数学知识、理解数学理论和促进学习的积极性有很大提高。但针对基础不够扎实、理论知识结构不够完善的预科生来说，开展数学实验的难点在于实验内容难度和深度的把握、matlab数学软件的学习与上机实践等，尤其预科生在预科阶段学习时间有限。针对这些问题，本文提出以下解决方案：数学实验内容要同步理论课程；熟练matlab常用调用函数，重点掌握matlab在概率论、线性代数、微积分计算中的运用；教师对数值计算、优化方法、数学建模等数学后续专业课程的指导。

希望在实践过程中实验课程可以更好地辅助理论课程教学，使学生从被动接受数学知识转变为在教师指导下主动挖掘和探索数学知识，通过从感觉到理解，从具体到抽象，从说明到证明，培养严谨的科学态度、提高学习主动性，为他们本科阶段专业课程的学习和数学工具的应用打下扎实的基础。

参考文献：

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