函数思想范文

导语：如何才能写好一篇函数思想，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

1　对应思想

同学们可能对初中函数定义的“变量说”情有独钟，觉得容易理解.但请看下面的问题：已知x=2，3，4，5，y=1，能建立y关于x的函数关系吗？类似的问题还有很多.这里的y是常数，不符合初中“变量”的概念，但是能建立y关于x的函数.

高中采用“对应说”，第一突破了“变量说”中对变量概念的限制，解决了上面的例子提出的问题；第二可以将函数运用于各种不同的研究对象.初中定义中的“变量”将研究范围限制在实数集，“对应说”研究的范围更宽泛，如实数与数轴上的点之间的对应关系，各种几何图形的周长、面积、体积与几何图形的大小之间的对应关系等，这些对应关系都可以归结为函数关系.

对应是人的思维对两个集合之间联系的把握.中学数学中的各种表示、运算、函数及变换等都是对应.　通过对应关系，我们可以由此及彼去认识事物，如对应关系：t　s=vt，　当速度v已知时，　可以通过测量时间t计算路程s；对于普通温度计，人们通过温度与水银柱高度的对应关系，可以从水银柱的高度得知温度的高低，因此，对应思想的建立是人的认识能力的突出表现.　对应也可以看成是一种特殊的“关系”，其实函数概念的第三次扩张就是“关系说”.法国数学家柯西（Cauchy，1789～1857）在1821年的《解析教程》中这样定义函数：在某些变量之间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变量的值，其他变量的值也可随之确定，则将最初的变量称为自变量，其他各个变量为函数.这个定义中，函数表达了变量之间的“关系”，而不关心用什么字母，是否用式子，或用一个式子还是多个式子来表示的问题，它朴素地反映了函数中的辩证因素.

2　等价变换的思想

变形、代换、转化等是化简数学问题的常见手段.但是在化简过程中必须保持问题的等价性.很多同学常常缺乏这样的意识，对初始问题“大刀阔斧”地处理后，改变了问题的等价性，而使得问题的解决出现了漏洞.那么如何提高化简问题的等价意识呢？函数的定义域意识就是一个有效的方法.在函数的定义中，集合M称为函数y=f（x）的定义域，它是f作用对象的集合，可以说是f生长的“土壤”，函数的一切性质都是在这个基础上演变的.同学们在研究函数性质时，应树立“定义域优先”的意识.例如在判断函数奇偶性时，首先要判断函数定义域是否关于原点对称，函数的单调区间应是函数的子集等.

例如，已知函数f（x）的定义域是0，1，求函数f（2x）的定义域.

所谓函数f（x）的定义域是0，1，就是指f的作用对象必须在区间0，1内，或者说只有在区间0，1上，f才有意义.因此要使函数f（2x）有意义，2x必须在区间0，1内，即0≤2x≤1，0≤x≤12，则函数f（2x）的定义域为0，12.同学们今后在解决数学问题时，首先要思考研究对象存在的条件或范围是什么，而且这个条件随着对象的转换相应变化，这样才能保持问题的等价性.

篇2

例1：已知0＜a＜1，x≠x且x、x∈（，∞），试比较+与的大小，并说明你的理由。

分析：若本题用作差的方法来比较大小，则通分后分子、分母的结构都非常复杂，并且分子分母的取值符号不易确定。细心观察式子：、与=2•，显然它们都与函数f（x）=相关，因此问题转化为比较f（x）+f（x）与2f（）的大小，联想函数图像就可解决。

解：设f（x）=，对y=变形得y=•即y-=，令x′=x-，y′=y-，则y′=（反比例函数）（如图），由于y=f（x）在x∈（，∞）上的图像是向下凸的，所以对于x≠x且x、x∈（，∞），函数图像上两点A（x，f（x））、B（x，f（x））连结弦AB的中点M（，），若过M作x轴的垂线交曲线弧于点N（，f（）），则N总在M的下方，所以＞f（），即f（x）+f（x）＞2•f（），当0＜a＜1，x≠x且x、x∈（，∞）时必有+＞。

例2：已知椭圆C：+=1，P（a，0）是X轴上的动点，求点P到椭圆C上动点Q的最近距离g（a），并就g（a）=4时求a的值。

分析：动点P（a，0）到椭圆C：+=1上的动点Q（x，y）的距离是关于x、y的二元函数，欲求二元函数的最值，须将多元函数一元化，因此可以用椭圆的参数方程解之。

解：设Q（5cosθ，3sinθ）是椭圆C：+=1上的动点，则 |PQ|=（5cosθ-a）+（3sinθ）=16cosθ-10acosθ+（a+9）。若令t=cosθ，f（t）=16t-10at+（a+9），t∈［-1，1］，则问题转化为求二次型函数f（t）=16t-10at+（a+9），t∈［-1，1］的最小值。数形结合易得：当a＜-1，即a＜-时，y=f（-1）=（a+5）；当-1≤a≤1时，即-≤a≤时，y=f（a）=（16-a）；当a＞1，即a＞时，y=f（1）=（a-5）。

注意到|PQ|=，得g（a）=|a+5|（a＜-）（-≤a≤）|a-5|（a＞），即为所求。

若g（a）=4，则易得a=±9。

例3：已知实系数一元二次方程ax+bx+c=0，若ax+bx+c+t（x-k）=0对于一切实数t都有实数根，试求实数k与方程ax+bx+c=0的根的关系。

解：联想到函数f（x）=ax+bx+c，由条件f（x）+t（x-k）=0对于一切实数t都有实数根，当然对t=0该方程也有实数根，即方程ax+bx+c=0有实数根x≤x。而ax+bx+c+t（x-k）=0，即ax+bx+c=-t（x-k），由条件f（x）+t（x-k）=0对于一切实数t都有实数根，即两曲线y=ax+bx+c与y=-t（x-k）对于t为任何实数都有交点。数形结合（如图）便知x≤k≤x为所求。

另解：对于一切实数t，方程ax+bx+c+t（x-k）=0都有实数根，=（b+t）-4a（c-kt）≥0对于一切t∈R都成立，从而得到t+（2b+4ak）t+（b-4ac）≥0的解是R，=（2b+4ak）-4（b-4ac）≤0，即a（ak+bk+c）≤0。

例4：当a为何值时不等式log（x-2x+a）+3＞0存在正数解？

解：log（x-2x+a）+3＞0?圳0＜x-2x+a＜8?圳-x+2x＜a＜-x+2x+8，联想到函数f（x）=-x+2x、φ（x）=-x+2x+8、ψ（x）=a，则原题题意即：存在x＞0，使f（x）＜ψ（x）＜φ（x），数形结合便得a∈（-∞，9）。

的方程；（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：-a＜b＜f（a）。

解（1）：f′（x）=3x-1，曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线的方程为y-（t-t）=（3t-1）（x-t），即y=（3t-1）x-2t为所求。

证明（2）：过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，存在实数a、b使关于t的方程2t-3at+（a+b）=0有三个不相等的实数根。

令g（t）=2t-3at+（a+b），则g′（t）=6t（t-a）（注意到条件a＞0）。

当t∈（-∞，0）或t∈（a，+∞）时g′（t）＞0，当t∈（0，a）时g′（t）＜0，

函数g（t）在t∈（-∞，0）是增函数，在t∈（0，a）是减函数，在t∈（a，+∞）上是增函数，函数g（t）在t=0处取得极大值g（0）=（a+b），在t=a处取得极小值g（a）=b-（a-a）=b-f（a）。

2t-3at+（a+b）=0有三个不相等的实数根，

必须极大值（a+b）＞0且极小值b-f（a）＜0，即-a＜b＜f（a）。

例题6：（2008理科卷Ⅱ22题）设函数f（x）=，（1）求函数f（x）的单调区间；（2）如果对于任何x≥0，都有f（x）≤ax，求实数a的取值范围。

解（1）：f′（x）==，显然f′（x）=0，得cos=-，即x=2kπ+，k∈Z或x=2kπ+，k∈Z，

当f′（x）＜0时，x∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z，

当f′（x）＞0时，x∈（2kπ-，2kπ+），k∈Z，

函数f（x）的单调递减区间是x∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z，

函数f（x）的单调递增区间是x∈（2kπ-，2kπ+），k∈Z。

解（2）：若令g（x）=ax-f（x）=ax-，则g′（x）=a-=a-=-+a=3（-）+a-。

显然当a≥时g′（x）≥0，即g（x）在x∈［0，+∞）是增函数，得g（x）≥g（0）=0，

所以当a∈[，+∞)时对于一切x≥0都有f（x）≤ax。

当0＜a＜时，令φ（x）=sinx-3ax，则φ′（x）=cosx-3a。当x∈［0，arccos3a）时得φ′（x）＞0，因此φ（x）在x∈［0，arccos3a）上单调递增，有φ（x）＞φ（0）=0，这时ax＜，而当x∈［0，arccos3a）时f（x）=＞＞ax，不合题设。

当a＜0时存在x=使f（）=＞•a，即a＜0时存在x=使f（x）＞ax不合题设。

综上所述，a∈[，+∞)即为所求。

例题7：（2008全国卷Ⅰ理科19题）已知函数f（x）=x+ax+x+1，a∈R，（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）设函数f（x）在区间（-，-）内是减函数，求a的取值范围。

解（1）：f′（x）=3x+2ax+1，令=4a-12=4（a+）（a-），

显然，当-≤a≤时≤0，此时f′（x）≥0对于一切实数x成立，

当a∈［-，］时f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数。

当a∈（-∞，-）∪（，+∞）时＞0，这时f′（x）=0有两个不等实数根：

x=--，x=-+，

因此，f′（x）＞0得x∈（-∞，-），x∈（-，+∞）时f（x）单调递增，

f′（x）＜0得x∈（-，-）时f（x）单调递减。

解（2）：若函数f（x）在区间（-，-）内是减函数，

则（-，-）?哿（-，-），

-≥-，并且-≤-，

即2-a≤，并且≥a-1，解之得a∈［2，+∞）。

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关键词：建模思想；反比例函数；人教版；研究方法；函数

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）07-205-01

一、在对反比例函数的学习认识中，要首先研究了解其概念

就反比例函数概念而言，通俗来讲，一般而言，如果说两个变量的每一组对应值的乘积都是一个不为0的常数，则可以就说这两个变量成反比例。其形式可以写为y=k/x（k为常数，k≠0，x≠0），当这个函数关系成立时，该函数就叫做反比例函数。相比较一次函数，二次函数，反函数有它自己的特征和概念，二次函数的函数是二次的，而反比例函数的函数是一次的，一次函数是另外的一种函数。

在教学过程中，把建模思想运用到教学过程中，对学生的教育可以对比记忆、绘图记忆，努力融入数学思想，这样可以更好的把握反比例函数的概念，理解的也可以更深刻。

二、利用数学的建模思想，研究反比例函数的图像，然后再根据图像判断其性质，这对数学的学习和研究使很有必要的

研究反比例函数，来研究其性质和图像的特征和函数的单调性，根据反比例函数的概念和函数的表达式来研究其单调性。

根据反比例函数的表达式，描点来画其图像，可以看出反函数的图像是一条双曲线，从图像上来看，可以发现它是关于原点对称，由奇偶函数的概念可知反函数是奇函数。

而一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一条抛物线，根据每个函数的表达式的不同，每种函数的图像也不相同，当然，其性质也不可能相同。反比例函数是九年义务教育中学的最后一种函数，同学们通过对其他函数的学习，对这一类函数多少已经有些了解，了解如何去研究这一类函数的性质，去研究这一类函数的图像，在教学过程中，融入数学中的建模思想，亲手自己画图像，并且研究图像，通过与一二此函数的对比研究和反复记忆，来更深刻的理解和明白反比例函数，加深对反比例函数的进一步的研究，更深刻地理解和记忆反比例函数。

三、在反比例函数的学习过程中，要充分将建模思想融入进去，并且能够根据实际情况来举例研究，这样对反比例函数本身的学习会有很大的帮助，对理解也会有很大的帮助

建模思想是数学研究中一个很重要的思想，也是在学习中对学习和知识的研究和掌握很有帮助的一种思想，学习反函数的过程中，充分运用建模思想，在学习完其基本知识后，再出一些相关的题目，或者根据生活中的一些情况进行讲解，这对反函数的认知有很大的帮助。

实时的针对反比例函数出一些题目，例如，根据性质如何来判断它是哪一种函数，或者，告诉学生们某一函数的表达式，让他们来判断是什么函数，说明其性质，并且能够准确的画出图像。性质、图像、表达式之间能够灵活的转换是学习函数、弄明白函数的一个重要的方法，一个重要的要求，这也是在数学中建模思想的要求，是数学建模思想中一项很重要的思想，即建模思想中的模型分析和模型检验。

四、数学学习中，还有很重要的一项要求即要列出重点，强调重点，这是一项很重要的工作。当然，对于反比例函数的研究与学习，也是一样的

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象，简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。所以在学习中要强调一些很重要的东西，比如说函数性质等，在反比例函数中，要突出强调其表达式，反比例函数的性质，关于原点对称，是奇数函数，并且重点研究一下它的图像，让同学们可以明白哪部分是重点，如何学习，并且要好好的学习记忆。建模思想本身就是数学类的思想，强调重点、重点记忆更是学习的一个重要手段。所以，在研究中，要把建模思想很好的融入进来。

总之，当今时代的发展，建模思想早已是数学中很重要的思想，对于九年义务的教育，对于反比例函数的学习，要掌握其概念、表达式、性质和特点，数学本身就是一门很枯燥的学科，过多的都是理论化的东西，将建模思想融入学习，对掌握反比例函数是很有帮助的，也是很有必要、很重要的。

参考文献：

[1] 朱宸材；3.4 反比例函数[J]；中学生数理化（初中版）（中考版）；2014年01期

[2] 刘玉红；反比例函数图像的一个结论及其应用[J]；中学数学杂志；2014年02期

[3] 王建霞；反比例函数的图像和性质（第二课时）[A]；河北省教师教育学会第一届教学设计创新论坛论文集[C]；2011年

[4] 刘 军；从反比例函数的易错题谈函数的学习[J]；数理化解题研究（初中版）；2014年05期

篇4

高考对函数与方程思想的考查，通常以选择题和填空题的形式考查函数与方程思想的简单应用，而在解答题中，则从更深层次，在知识网络的交汇处，从思想与相关能力综合的角度进行考查．

1．函数与方程思想在解析几何中的应用

例1 直线y=kx+1和双曲线x2－y2=1的左支交于两点，求k的取值范围．

分析：本题题意简单明了，是将解析几何问题转化为代数问题解决．

解：将直线方程代入双曲线方程得到(1－k2)x2－2kx－2=0 （*），

在(－∞,－1］上有两相异实数根，即得到1－k2≠0Δ=4(2－k2)>0(x1+1)+(x2+1)

1

这种方法固然可行，但如果我们注意到一个逻辑关系，方程（*）如果有负根，则必定在(－∞,－1］内（这是因为直线和双曲线的左支交于两点），因此就只需方程（*）有两负根即可．

则有1－k2≠0Δ=4(2－k2)>0x1+x2=2k1－k20 ，

而以上四个不等式则可以通过观察得到解，则有1

点评：解析几何的本质就是用方程来研究曲线，理所当然就应该运用方程思想来解决解析几何问题.

2．函数与方程思想在数列中的应用

例2 已知数列{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，使得Sn达到最大值的n是 ．

分析：可先求出通项公式，并得到Sn是关于n的一元二次函数表达式，结合二次函数求解．

解：先求通项公式，由a1+a3+a5=105，得到a3=35，由a2+a4+a6=99，得a4=33．

故an=a4+(n－4)(－2)=41－2n，

Sn=－n2+40n，Sn是一个关于n的二次函数，当n=20时，取得最大值．

点评：数列本质上是函数.

本题在求出通项公式的基础上，构建了Sn关于n的函数．函数思想不仅仅是使用函数的方法研究和解决函数问题，更重要的是构建函数关系，用函数的方法，

解决与函数有关的其它问题．

3．函数与方程思想在不等式中的应用

例3 若关于x的方程4x+a•2x+a+1=0有实数解，求实数a的取值范围．

分析：本题是关于x的方程，若把2x看作一个变量，则问题变为二次方程在某区间上有解，即根的分布问题，为求a的范围，可以根据二次方程根的分布，解不等式组，也可以分离参数．

解法1：令t=2x(t>0)，则原方程化为t2+at+a+1=0，问题转化为方程在(0,+∞)上有实数解，求a的取值范围．

则有由a2－4(a+1)≥0－a+Δ2>0 ，解得a≤2-22，

解法2：令t=2x(t>0)，则原方程化为t2+at+a+1=0，变形得

a=-1+t21+t

=-(t2－1)+2t+1

=-［（t-1）+2t+1］

=［（t+1）+2t+1-2］

≤-（22-2）=2-22．

点评：解法1的思路是换元后转化为一元二次方程在区间(0,+∞)上有实数解，求参数a的取值范围；

解法2是换元后运用分离参数法把参数a作为t的函数，求函数的值域，这种方法的实质都是解不等式，求参数范围．

4．函数与方程思想在立体几何中的应用

例4 正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a(0

分析：由于点M、N分别在异面直线AC和BF上移动，MN的最小值则可以理解为AC、BF之间的距离，当然也要注意到AC和BF是线段而不是直线，MN的最小值未必是异面直线AC和BF之间的距离．

解：构建MN的目标函数，用代数方法解决如下：

过M作MOAB于O点，连结ON，由题设可得到，

则由MOBC=AMAC=AOAB=2－a2，

所以MO=2－a2，

又FNFB=2－a2=AOAB，

ON∥AF，则ON=a2，

则在直角三角形MON中，

MN=（2-a2）2+（a2）2

=(a－22)2+12，

当且仅当a=22时，

线段MN取到最小值为22．

点评：求立体几何中的最值问题，不妨将该问题转化为函数求最值问题．

5．函数与方程思想在三角中的应用

例5 求函数y=(sinx+a)(cosx+a)的最值(0

分析：遇到sinx+cosx与sinxcosx相关的问题，常采用换元法，再将问题转化为二次函数问题，用sinx+cosx表示sinxcosx．

解：令sinx+cosx=t，则有t∈［－2，2］，

sinxcosx=t2－12，

则y=12(t+a)2+a2－12，

由0

知道－2≤－a

当t=－a时，ymin=a2－12，

当t=2时，ymax=a2+2a+12．

点评：本题的关键是抓住sinx+cosx与sinxcosx的联系，转化为一元二次函数问题．

6．函数与方程思想在二项式定理中的应用

例6 设(2－x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a3+a5= ．

分析：本式为二项展开式的偶数项系数之和，而不是偶数项二项式系数之和，可通过赋值法求解．

解：令f(x)=(2－x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，

则令x=1可以得到f(1)=(2－1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=1

令x=－1可以得到f(-1)=(2+1)5=a0－a1+a2－a3+a4－a5=35

两式相减再除以2得到a1+a3+a5=－121．

点评：通过赋值法解决方程问题，则赋予了二项式更丰富的内涵．

7．函数与方程思想在概率统计中的应用

例7 某电器商经过多年的经验发现，本店每个月售出的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列如下：

ξ123……12

P112112112……112

设每售出一台冰箱，电器商获利300元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保管费用100元.

（1）若电器商月初购入x台电冰箱，则其月收益的期望值是多少？

（2）电器商每月初购多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？

分析：本题是利用概率的知识来解决的实际问题，同样可转化为函数的问题求解．

解：（1）设x为月初电器商购进的冰箱台数，只需考虑1≤x≤12的情形，

此时电器商每月的收益

y=300x(ξ≥x)300ξ－100(x－ξ)（ξ

则Eξ=300x(px+px+1+…+p12)+［300－100(x－1)］p1+［2×300－100(x－2)］p2 +…+［300(x－1)－100］px－1

=300x(12－x+1)•112+112［300×x(x－1)2－100×(x－1)x2］

=253(－2x2+38x)．

（2）x∈N，

x=9或10时收益最大．

点评：概率中的很多问题可以结合函数与方程思想解决．

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一、运用函数的有关概念研究数列

数列的通项公式an以及前n项和Sn均是关于变量n的表达式，因此在解题过程中,尤其是遇到等差、等比这两类特殊的数列时,可以将它们看成函数,运用函数的性质和特点来解决问题.对于等差数列｛an｝，它的通项公式an=a1+(n-1)?d，可以写成an=dn+(a1-d)，它是n的一次函数(特殊地,当公差为0时是常数函数)，对应的函数为an=f(n)＝An+B（A,B为常数）；等差数列前n项和Sn=na1+n(n-1)2?d ,可以写成Sn=d2n2+(a1-d2)n ，Sn是n的二次函数（缺常数项）,对应的函数为Sn=f(n)=An2+Bn（A,B为常数）.对于等比数列{an}，它的通项公式an=a1?qn-1，可化为an=(a1q )?qn，对应的函数为an=A?qn（A为常数）, 前n项和公式Sn=a1?(1-qn)1-q(q≠1) ，可化为Sn=a1q-1?qn-a1q-1 ，对应的函数为Sn=K?qn-K(K是常数且q≠0,q≠1)，运用这些特殊函数，可以快速找到解决数列问题的突破口.

【例1】 设等差数列{an}与{bn},它们的前n项和分别为Sn和Tn,若SnTn=2n3n+1

，求anbn .

思路导引：等差数列前n项和Sn对应的函数为:Sn=An2+Bn （A,B为常数），

由SnTn=2n3n+1

，设Sn=K?2n2,Tn=K?(3n+1)?n ，其中K≠0.

当n=1时，anbn=S1T1 =12 ；

当n≥2时，anbn =Sn-Sn-1Tn-Tn-1 =

K?2n2-K?2(n-1)2K?(3n+1)?n-K?［3(n-1)+1］?(n-1) =2n-13n-1 ；

综上所述：anbn =2n-13n-1 (n∈N*).

【例2】 在等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S2=3,S4=15,求Sn.

思路导引：由题设知，公比q≠1考虑到等比数列前n项和对应的函数为：Sn=K?qn-K(K是常数且q≠0,q≠1,则有：

K?q2-K=3，K?q4-K=4

K=1，q=2

或K=1，q=-2

所以，Sn=2n-1或Sn=(-2)n-1.

二、以函数图象为工具，直观简化数列问题

函数图象是函数特征的直观体现，利用函数图象解决数学问题（以形助数）是我们解决问题中经常采用的手段.等差、等比数列的通项及求和公式与一次函数、二次函数、指数函数都有联系，应用相应函数的图象能直观有效地简化某些数列问题.

【例3】 在等差数列{an}中,若a1＜0,且S3=S15,试问这数列的前几项之和最小?

思路导引:Sn对应的函数为f(n)=An2+Bn（A,B为常数）,因为a1＜0所以对应的二次函数图象为开口向上且过原点的抛物线, 由f(3)=f(15)知抛物线最低点的横坐标为n=3+152=9（如图1所示），即n=9时, Sn最小.

图1

变式题：（1992年全国高考试题）设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12,S12＞0,S13＜0,指出S1,S2,S3，…,Sn中哪一个最大?

思路导引: 由S12＞0,S13＜0知Sn对应二次函数的图象为开口向下且过原点的抛物线（如图2）,与横轴的一个交点的横坐标为0,另一个交点的横坐标在区间（12，13）内,可见其顶点横坐标在区间（6，6.5）内,离对称轴最近的整数为6，

所以当n=6时,Sn 最大.

图2

评述:本题的一般解法是利用S12=12(a1+a12）2=6(a6+a7)＞0 ,

S13=12(a1+a13)2 =12a7＜0，

得a1＞a2…＞a6＞0＞a7＞…,故当n=6时,Sn最大.

而利用函数图象，解法直观,简单快捷.

三、利用函数的性质化解数列问题

数列的通项公式及前n项和公式均是变量n的函数，深入挖掘并利用函数的性质可以大大简化解题过程，函数的单调性、最值性、周期性等性质在数列中应用广泛.

【例4】 已知数列{an}的通项an=(n+1)?(1011)n(n∈N*) ，试问该数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项的项数；若没有，说明理由.

思路导引: 由于该数列不是直接与等差、等比数列相关的数列,形式看起来比较复杂,但若从函数角度，可利用单调性来研究：an+1-an=(n+2)?(1011 )n+1-(n+1)?(1011 )n=(1011 )n?9-n11

当n＜9时, an+1-an＞0，即an+1＞an；

当n=9时,an+1-an=0 ,即an+1=an;

当n＞9时, an+1-an＜0,即an+1＜an；

故a1＜a2＜a3＜…＜a9=a10＞a11＞a12…,这说明数列{an}中存在最大项,为第9项或第10项.

评述:本题也可以化归为解不等式组an≥an-1an≥an+1

来解决,但计算繁杂，而利用函数的单调性更能发现数列的变化趋势，显得更简捷.

【例5】 已知函数f(x)=a?bx的图象过点A(4,14 )和点B(5,1),记an=logf(n)2，Sn是数列{an}的前n项和，整数104是否为数列{anSn}中的项？若是，求出相应的项；若不是，则说明理由.

思路导引：易求出an=2n-10,Sn=n(n-9),an?Sn=2n3-28n2+90n,观察an?Sn的形式特点，建立函数f(n)=an?Sn=2n3-28n2+90n，由函数的导数易求得该函数的极大值与极小值. 由f′(n)=6n2-56n+90＞0n＜2或n＞8,则,所以f(n)极大=f(2)=84,f(n)极小=f(8)=-48，所以数列{an}前8项不含104；

因为数列{an}从第8项起是递增数列，且f(22)=9724＜104,f(23)=11592＞104.

所以，104不是数列{anSn}中的项.

篇6

由于小学生年龄的限制，他们对具体的、静止的、常量的事物容易理解，对动态的、变化的、运动的现象难于把握，学生对函数概念的理解有一个过程。但作为教师我们不能无视函数思想的重要性，还应该着眼于学生的长远发展及终身发展。因此，我们在小学数学教学中应针对小学生的特点，将函数思想进行适度的渗透，突出本质，主要在以下两个层次的渗透：

层次一：函数概念的渗透

函数思想在人教版一年级上册教材中就有渗透。如让学生观察《20以内进位加法表》，发现加数的变化引起的和的变化的规律等，都较好地渗透了函数的思想，其目的都在于帮助学生形成初步的函数概念。

层次二：函数表示法的渗透

要想把函数思想融入课堂教学成就要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行函数思想方法渗透的各种因素。如：小学数学中几何图形的周长，面积和体积公式，实际上就是用解析法来表示变量之间关系的函数关系式。如圆面积公式S=πr2，圆面积随着半径的变化而变化。

结合自己的实践和思考，笔者认为小学阶段函数思想的渗透主要有以下几个关键点：

一、在名数向常数的过渡过程中渗透函数思想

小学低年级学生所学习的数的概念是在熟悉具体事物的基础上逐渐建立起来的。低年级数数、比较数的大小等知识的学习，可以看作是学生对量的认识由名数向常数的过渡过程。如通过3本书、2支笔等来认识3和2，前者我们称之为名数，后者称之为常数。显然后者脱离了具体的事物，具有了数所特有的抽象性。由此可见，常量的概念不是一下子就建立起来的，对常量的概念的建立，首先必须通过由名数向常数的过渡。正如同怀特海所说：“人类认识到7条鱼和7天之间的共同点，才使思想史前进了一大步，才具有了‘纯数学观念’。”而实物与常数之间的过渡过程，恰恰可以渗透一一对应的函数思想。

二、在数的计算中渗透函数思想

一方面可在四则运算意义中渗透函数思想。四则运算是小学数学的重要内容，而当我们用函数的观点看这些运算意义时，对这些运算就有了新的认识。我们可结合不同形式的计算练习，丰富对函数思想的渗透。如填一填、连一连的题目蕴含着函数的对应关系、等量关系及变量的渗透等丰富的代数思想。四则运算中的和、差、积、商的变化规律是进一步学习数学知识的基础。但由于变化规律比较复杂，考虑到儿童的接受能力，在通用教材中除了对商不变规律作了明确的阐述以外，对其他的一些规律只是作了一些渗透。我在计算教学中，紧紧抓住教材中的某些练习题，适当渗透一些和、差、积、商的变化规律，让学生积累一些感性的认识而并不作为教学要求。这样，一方面可以培养学生初步的函数观念，另一方面又可以发展学生的思维，提高学生的计算能力。

三、在规律的探寻中渗透函数思想

现行《数学课程标准》把“探索规律”作为渗透函数思想的一个重要内容，“探索规律”实际上就是培养学生的“模式化”思想，发现规律就是发现一个“模式”，并能够用多种方法表达“模式”的特点。让学生通过观察数列、图形等变化的规律，探索模式，合理推测发展趋势，都可以适时地渗透函数思想。

四、在公式教学中渗透函数思想

学生在小学阶段学习了一些速度、时间、路程这样的数量关系，从变化的观点看，它们都反映了一定的函数思想。如：三年级学习长方形的周长计算时，介绍了字母公式，这就为形成表达式减小了困难。教师可以以此为渗透点，在学生已知面积、体积计算公式的基础上，使几何图形或几何体的边长（或半径、高）发生变化，从而引起面积或体积也发生变化。通过改变看问题的角度，从变化的观点看待边长（或半径、高）与面积或体积的关系，并由此引出变量之间关系的第二种表示方法――代数式。

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【关键词】二次函数 数形结合

数学思想 初中数学

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）11A-0084-02

数学新课程标准明确提出，数学教学应注重渗透数学思想，提升学生的数学素养。数形结合思想是指导学生数学学习的重要数学思想之一，掌握数形结合的方法，可以极大地提高学生的数学学习效果，训练学生的数学思维，让学生终身受益。二次函数作为初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，是训练数形结合方法的良好载体。结合初中数学二次函数教学，探寻渗透数形结合思想的有效策略，是一项值得教师研究的课题。

一、解析二次函数的学习内容，阐释数形结合思想

数学知识是数学思想的直接呈现。很多教师为了应对考试，在日常教学中偏重于数学知识的传授，而忽略了数学思想的教育，制约了学生的全面发展。二次函数在初中数学课程中占有十分重要的地位，是函数与方程、数形结合、转化、类比等数学思想的良好载体。教师应认真地研读教材，阐释其中包含的数形结合思想，促使学生对数形结合思想形成直观的认知。

在学次函数之前，学生已经具备了一次函数、反比例函数的学习经验，也初步了解数形结合思想在函数学习中的应用。因此，在学次函数知识时，教师可以引导学生借鉴前面的学习方法，从掌握图象和性质出发展开教学。在学习这些知识时，教师要适时向学生渗透：不论是[y=ax2]型的图象特征，还是[y=ax2]、[y=a（x+m）2]和[y=a（x+m）2+k]三种二次函数的图象之间的关系，以及一般二次函数[y=ax2+bx2+c]的图象与[y=ax2]的图象之间的关系，都不可避免地需要对函数关系式和图象进行研究，这些内容的学习必然会涉及函数表达式与图形的结合，需要通过观察图象找出其中的变化规律。同时，这部分内容还需要学生能够运用二次函数解决实际生活中的求“最值”的问题，这类问题也可以通过对函数关系式的化简，作图解答，进一步体现了数形结合的思想。

二、分析二次函数的图象性质，渗透数形结合思想

在初中数学教学中，二次函数的图象和性质是重点也是难点，是数形结合思想的集中体现。教师组织学生学习这一部分知识时，通过指导学生运用正确的作图方法，按照列表、描点、连线的作图步骤，正确地作出二次函数的图象之后，引导学生认真观察图象，积极思考，进行判断和归纳，发现二次函数图象变化的规律，得到二次函数的性质，有效地渗透数形结合思想。

在学习“二次函数[y=ax2]（a不等于0）的图象和性质”时，教师引导学生通过对函数关系式的解析，确定了自变量的取值范围，根据函数关系式，用表格的形式列出随着自变量[x]的变化相应的[y]值，然后，按照表格列出的每组数据在坐标系内描点，再把描出的点连接起来，得到二次函数[y=ax2]的图象，再指导学生观察图象，包括图象的形状、开口方向、顶点坐标、函数增减性的变化趋势等。通过这种由“数”与“形”结合的方法，学生发现二次函数[y=ax2]的图象是抛物线，这个抛物线的顶点坐标为（0，0），对称轴是[y]轴，当[a]>0时，二次函数[y=ax2]图象开口向上;当[a]<0时，二次函数[y=ax2]图象开口向下。在分析二次函数[y=ax2]的性质时，学生亲身体验了“数”与“形”之间的转换，对数形结合思想有了比较具体的认知。

由上例可知，二次函数的图象和性质本身就是数形结合思想的良好载体，也是对学生进行数形结合思想教育的有效方式。教师在引导学生作图、观察、推理的过程中，直接向学生渗透了数形结合思想，给学生留下深刻的印象。

三、借助二次函数的研究方法，理解数形结合思想

数学思想指导数学学习方法，数学知识的研究方法恰好也可以体现数学思想。在学次函数的内容时，教师在数形结合思想的指导下，按照探讨函数知识的常用步骤和方法，帮助学生分析研究二次函数性质的思路，明确研究步骤，让学生学会应用数形结合思想探究数学知识的一般方法，掌握解决数学问题的具体步骤，加深学生对数形结合思想的理解。

在学习“二次函数”的内容时，教师为了激发学生的学习兴趣，渗透数形结合的思想，在上课伊始，就结合实际生活问题创设学习情境：拟建设一个是长方形的温室，周长是120米，温室内部有通道，分别与长方形的两边相隔2米和1米，那么，设温室的种植面为[y]，其中一条边长是[x]，两者之间的关系式是什么？这种实际问题的解答需要学生灵活应用数学知识。学生在理解题意时存在困难，教师提示学生可以先根据题目画图，能比较直观地呈现出等量关系，进而列出y与x之间的关系式。学生通过画图，对于长方形的长和宽一目了然，顺利地列出[y=（60-x-4）][（x-2）=-x2+58-112]的函数解析式。最后，直接引出了二次函数的定义，以及二次函数相关的“二次项系数”“一次项系数”和“常数项”的概念。这样的引入方法，也是运用了数形结合思想方法，促使学生深入理解数形结合思想，训练学生的数学思维。

由上例来看，通过利用数形结合的方法，按照“先画出图象，再总结性质，最后运用数学语言进行描述”的三个步骤，分析二次函数的研究方法，让学生深入理解数形结合思想。

四、通过二次函数的习题解答，应用数形结合思想

数学思想的学习不能通过简单机械的记忆来完成，而是要通过实际应用把数学思想内化，成为学生数学思维的习惯。练习题的解答是渗透数学思想的重要方式。在完成了二次函数知识的学习后，教师可以选择一些典型的练习题目，引导学生应用数形结合的思想、方法，形成独特的应用体验，从而使数形结合思想在学生的头脑中扎根，自觉地指导学生的解题过程，提高学生的解题能力。

在学习“二次函数[y=ax2+bx+c]（[a≠0]）的图象和性质”的知识后，教师结合本节内容的教学目标，出示练习题：抛物线y=x2-3x+2不经过（ ）。A. 第一象限;B. 第二象限;C. 第三象限;D第四象限。判断抛物线所在的象限是学次函数的内容后需要掌握的知识点。本题具有一定的典型性，教师先让学生自己解答，有学生很快就给出了C答案。“为什么呢？请说说你的解题方法。”教师提出问题，引发学生深入思考。学生说：“我选取了这条抛物线的顶点、与x轴的交点三个点，并且判断了抛物线的开口方向是向上，画了个简图，通过看图发现抛物线不过第三象限。”教师肯定了学生的回答，并进一步强调：“通过画图解决二次函数问题是一种快速准确的方法。同学们要学会应用数形结合的解题方法，把抽象的数学问题转化为形象直观的图形，提高解题效率。”学生在解题中应用数形结合的解题方法，使数形结合思想内化到学生的知识能力结构中，更好地指导数学学习。

借助典型的二次函数练习题，让学生在解题过程中体会数形结合思想，升华对数形结合思想的认识，获得应用数形结合思想方法解题的亲身体验，强化学生自觉应用数形结合方法解题的行为，增强学生的数学素养。

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一次函数反映的是数量关系与变化规律，是最基本的函数，学好一次函数是学好函数的基础。对于学生而言，一次函数学好了，真正做到数形结合，再学习后面的反比例函数和二次函数便会容易得多。本文结合教学实践，对一次函数中“数形结合”的思想进行探讨，以指导学生更好地理解函数的精髓，掌握解题方法。

一、从数到形，以形助数

例1　一个沙漏中有100g沙子，沙子以每秒钟10g的速度漏出。沙漏中余下的沙子y（单位g）与沙漏时间x（单位s）之间的函数图象是（）。

解析：y为余下的沙子，随着沙漏时间的增长，剩余的沙子y必然减少，因此，该函数一定是减函数，由此可以排除A和C选项。沙子最多时候为20g，漏完之后为0g，因此y的区间一定是0～20，由此可以排除D选项，因此本题正确答案应为B。

二、从形到数，量化入微

例2　有一种玩具小汽车的车速可以在1分钟之内加速到10m/s，之后以每秒5米的速度提高车速，最高车速为每秒40m，达到40秒之后便保持40m/s的速度行驶。假设时间为x（单位：s），车速为y（单位：m），则y与x的函数图象如下图所示。

（1）根据图象，写出当1≤x≤7时，y与x的函数关系式。

（2）计算车速要想达到35m/s时，需要多长时间。

（3）求出在多长时间之后，小汽车的速度就不再提高。写出小汽车车速达到40　m/s之后，y与x的函数关系式。

解析：（1）根据题意可知，此玩具汽车的速度分为三个部分，首先是第1秒内提高到10　m/s，之后以5　m/s的速度提速，在提到40　m/s的速度后便匀速行驶。当1≤x≤7时，小汽车是在10　m/s的基础上，以5m/s的速度加速。因此可以得出y与x的函数关系式为y=10+5（x-1）。

（2）车速达到35m/s，代入函数式，35=10+5（x-1）。经计算得出，x=6。即在6秒时，小汽车的车速可以达到35m/s。

（3）由题意可知，小汽车车速在达到40m/s之后，便不再加速，即y≤40。经计算可以得出，x=7时车速可以达到40　m/s，此时车速不再提高。在x≥7时，y与x的函数关系式为y=40。

在解答此类题目时，首先应充分理解题意。应注意观察分段函数图象的形状特征，从而确定函数解析式，然后再利用函数图象的性质来解答题目。

三、数形结合，复杂变简单，抽象化具象

例3　在某工厂中，有一批圆珠笔需要组装。工人甲和乙各每分钟组装10支。后来工人甲因身体不舒服回家休息，剩余的全部由工人乙独自组装。剩余圆珠笔数量y（支），组装时间为x（分钟），y与x的函数图象如下图。

请结合图象回答下列问题：

（1）根据图中信息，工人甲一共组装了多长时间，工作量是多少？

（2）写出y与x的函数关系式。

（3）组装完所有圆珠笔一共工作了多长时间？工作量是多少？

解析：（1）根据图象中提供的信息可知，需要组装的圆珠笔共400支，在组装完200支以后，剩余圆珠笔数量的组装速度开始减缓。由此可知，甲乙共一起组装了200支。由此可以得出甲乙共同工作时间为10分钟，甲组装的圆珠笔为100支。

（2）根据函数图象可知，当0≤x≤10时，y=400-（10+10）x=400-20x；当10≤x≤30时，y=200-10（x-10）=300-10x。

篇9

【关键词】变量 函数 规律

近年来全国各地的中考填空题最后一题常以找规律题压轴，考查学生的各种综合能力，进行人才选拔。因此，找规律题的找规律引起了数学教师们的高度重视。 本人在数学教学和探索过程中也得出了几点感悟。

一、找规律题考查的是学生的形式抽象逻辑思维和归纳推理能力

初中数学找规律问题是考查的啊学生的形式抽象逻辑思维及归纳推理能力，很抽象，是由个别到一般的推理问题。初一的学生已具备了抽象逻辑思维和各种推理能力，并随着年龄的增长而提高。初中数学找规律问题正好符合这个阶段学生的认知发展。学生通过找规律问题的探究可以发展以下几种能力：1.阅读能力，特别是符号语言、图形语言。2.观察能力：观察数和图形的变化。3.综合分析能力。4.归纳总结能力。5.发散思维和创造性思维。

二、找规律与函数的关系（本文中n均为正整数）

观察下列各组数据，找出规律，并分别求出第n个数的表达式。

例1：4、7、10、13…… 第n个数是（ ）

例2：1、3、9、27…… 第n个数是（ ）

例3：1、3、7、13…… 第n个数是（ ）

例4：1、3、7、15…… 第n个数是 （ ）

例1、2题直接根据序号n和对应的数字很容易找出规律，但是例3、4题直接根据序号n和对应的数字很难找出规律。有没有一种通用的办法可以解决以上四种数字找规律问题呢？本人经过长期的探索和验证，发现找规律就是找序号和对应数字之间函数关系的过程，且根据相邻两数差或商的情况可以确定规律与哪种函数有关。

函数的定义是：在一个变化过程中，存在两个变量x、y，若x有一个值，y唯一的值与它对应，那么y与x是函数关系，其中x是自变量，y是x的函数。在找规律题中 ，也存在两个变量：序号n和对应的数y，且它们之间是一一对应的，所以数y是序号n的函数。因此找规律题的探索其实就是发现规律、写出函数关系式的过程。初中的数字找规律题的函数关系主要是和一次函数、二次函数、指数函数有密切关系。

（一）等差

观察一次函数y=kx+b，当x1=n时，y1= kn+b，当x2=n时，y2= k（n+1）+b，则y2―y1= k（n+1）+b―kn+b= k，发现一个数减去相邻的前一个数差为常数k。

发现相邻两数差分别为：6、18、54…… 差中等商，商为3，即y=ax+k中底数a=3。

n 1 2 3 4

例13：1、3、7、15…… 第n个数是

分析：先在对应的数字上方写出序号1、2、3、4……相邻两数差分别为：2、4、8，差中等商，商为2。第n个数是2n-1。

试一试：

例14：2、5、14、41…… 第n个数是

注意：对于等差和等商这两种类型可以只列出三个数即可，但为了区别差中等差还是差中等商，应列出四个数来分析，比如例11和例14题。

三、掌握好以上四种类型可以解决更多的找规律问题

1.图形找规律问题：只要把图形问题转化为数字问题即可

例15：平面内的一条直线可以将平面分成两个部分，两条直线最多可以将平面分成四个部分，三条直线最多可以将平面分成七个部分……

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课前思考

“成正比例的量”是人教版六年级下册第三单元教学的内容，这节课是在学生已经认识了比和比例的知识、常见的数量关系的基础上进行编排的。这是一节概念课，通过本节课的学习，帮助学生理解正比例的意义，能找出生活中成正比例量的实例，并能应用知识解决一些实际问题，同时初步渗透函数思想。

本人曾多次执教过这节课，但每次总觉得课堂气氛沉闷，学生的学习积极性不高，学生只是机械的跟着老师完成下面的教学环节：

教师出示例题中的表格，引导学生观察并回答下列问题。

表中有哪两种量？它们是相关联的量吗？

写出几组这两种量中相对应的两个数的比，并比较比值的大小。

这两种量成正比例吗？为什么？

思考一

“为什么？”——为什么要学习“正、反比例这部分的知识”？在六年级的教学内容中正比例和反比例一直是一个重要的内容，这部分内容肩负了帮助学生完成一次认识上飞跃的重要任务。学生将从大量对“常量”的认识经验中逐步过渡到认识“变量”，这是函数思想渗透的重要契机。即“学习这部分的知识有助于逐步培养学生的代数思维，更好的实现小学与中学数学学习上的衔接”。

思考二

“是什么？”——这一知识的本质是什么？教材中用了一大段语言（共65个字）描述了成正比例的量和正比例关系，其实它就是学生今后要继续学习的正比例函数的雏形，是研究两个相关联的变量之间的一种数学模型。说到函数，老师们可能并不陌生，虽然小学阶段不出现函数这一概念，但在小学阶段始终都渗透着函数思想，因为有变化的地方都蕴含着函数思想。

思考三

“怎么学?”——抓住本质，激活元认知，渗透函数思想。

函数的核心是“把握并刻画变化中的不变，其中变化的是‘过程’，不变的是‘规律’（关系）。”因此要为学生提供熟悉的、直观的情境让学生感悟生活中存在许多变化的量，而这些变化的量又有一定的联系，如一个量的变化会引起另一个量的变化，而我们要探究的是相关联的量的“变化规律”。

教学实践：

（一）认识生活中变化的量，初步感知相关联的量。

（1）师：同学们，在今年的春晚中有一个节目感动了全国许多的观众，它就是“时间都去哪儿了”。现在让我们随着音乐，再来欣赏一下这个节目。在欣赏的同时，请认真观察，看看你能发现哪些数学信息。(课件出示5张大萌子成长的照片)

（2）学生观察图片并发现变化的量（年龄、身高）。

（3）把这些数据整理成表格，请看。

观察表格，说说小女孩的身高是怎样变化的？

师：（小结）身高随着年龄的变化而变化，像这样一种量的变化会引起另一种量的变化，在数学上我们把这样的两种量叫做相关联的量。

（二）自主探究，学习新知。

1.联系生活，进一步感知相关联的量。

（1）在生活中，你还知道哪些两种相关联的量，能举些例子吗？

（2）老师也为大家提供了一些例子，你们能从中找到两种相关联的量吗？

情境1：（图片形式呈现）

师：看完了春晚，小明领到了1000元压岁钱，正在计划着怎么用。

计划用去100元，还剩下900元。

计划用去200元，他还剩下800元。

计划用去300元，他还剩下700元。

情境2：圆的半径和周长（课件动态呈现画圆的过程）

情境3：行驶的汽车的视频。

师：（小结）只要仔细观察，生活中有很多像这样相关联的量，也就是一个量总是随着另一个量的变化而变化。那么在变化的过程中他们有什么规律吗？

2.探索相关联的量，研究变化规律。

情境4：书本情境图。

师：请同学们拿出答题卡1（例1），按照要求，填写表格，并回答问题。

例1：

（1）请同学们根据图中的信息填表格。

（2）观察表格，说说你有什么发现？

师：现在，谁来说说你有什么发现？

师：是的，总价随着本数的变化而变化，在这变化的过程中有什么是不变的吗？

生：单价。

师：单价真的是不变的吗？谁会用数据来说明？

生：15÷1=15（元），30÷2=15（元），

师： 这个比值15实际上表示什么？（单价）

师：他们的比值都是15，所以说比值相等，也可以说单价是一定的。

师：（小结）现在咱们来回顾一下，刚才是怎样研究这道题的？

（1）通过观察我们发现，总价和本数是两种相关联的量，总价随着本数的变化而变化。（2）通过计算我们还发现，总价和本数的比值（单价）是一定的，也就是不管本数与总价怎样变，但单价始终不变。

3.进一步探究，感悟成正比例的量。

（1）同桌合作探究。

师：你会用刚才这样的方法来研究这些例子吗？（有困难的同学，可以借助以下的问题进行研究？）

①表格中，有哪两种量？它们是不是相关联的量？

②写出几组这两种量对应的两个数的比？算一算他们的比值相等吗？

（2）汇报交流（略）

（3）观察比较，揭示规律。（课件：出示下面三个表格）

师：现在老师把刚才咱们研究的三件事放在一起，你有什么发现吗？

生：事情不一样，但它们的意思都一样。

生：都是相关联的两个量，一个量变化，另一个量也随着变化。

生：他们的比值是一定的。

师：说得真好，事情不一样，但它们却有共同的地方？

看！两种相关联的量，一种量变化另一种量也随着变化，当他们相对应的比值一定时，我们就把这两种量叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。（板书课题：成正比例的量）

4.归纳概括成正比例量。

（1）结合以上3个例子说一说谁和谁是成正比例的量，为什么？

（2）不用例子，你会用自己的语言说说什么是成正比例的量吗？

（3）请翻开书P39页，读一读书上的概念并会用字母表示。

5.用图像表示成正比例的量。

（1）师：（课件出示坐标图）你知道横轴表示什么？纵轴表示什么吗？

师：如果把这些点描在图中，并把它们连起来，想象一下会是怎样的一条线呢？

（2）师：仔细观察，老师画的跟同学们的有什么不一样？（从零开始）

师：是啊，成正比例的图像是经过原点的一条直线。

师：想象一下，如果这辆车一直开下去，会是怎样的情形？

（3）师：不用计算，根据图像判断，如果汽车行驶2.5小时，路程是多少千米？

如果汽车行驶了360千米，用了多少时间？

小结：这条直线上的每一个点，都有一对数字与它一一对应。

三、巩固应用，判断成正比例的两个量。（略）

教后反思

本节课学生对正比例关系的理解有了质的突破，关键是教师抓住了知识的核心，设计了有价值的探究活动，让学生在观察、比较、分析、抽象、概括的数学活动中建构知识体系，感悟函数思想方法。

1.激活经验，直观感知。

激活生活经验，让学生充分感知相关联的量。学生举例后，教师又提供了4组的例子，这些例子的呈现方式有静态的图片、动感的视频等，从不同的视觉感官上激活学生的生活经验，帮助学生直观的感知一种量的变化会引起另一种量的变化。

2.自主探究，积累数学活动经验。

“数学基本活动经验”的内涵是“指学习主体通过亲身经历数学活动过程所获得的具有个性特征的学习策略与方法。”本节课为学生提供了2次自主探究的机会，首先在例题的教学中，教师让学生根据购买图书的直观图和数据填表格，然后同桌交流“你能结合数据说说书的总价与数量是怎样变化的吗？”从学生的表现来看他们习惯比较两个量的增减变化，习惯把两个量进行四则计算。怎样把学生的思维引到比较“比值”上呢？教师适时的追问很重要，如“在这变化的过程中有什么是不变的吗？”“谁会用数据来说明”。通过追问，让学生在思维的冲突中思考，不管数量与总价如何变，单价始终不变，并通过小结帮助学生完善探究的策略和方法。“你能用刚才的方法研究下面的题目吗？”接着教师再次给足时间让学生探究，学生在探究中进一步感悟相关联的两个量在“变化中的不变关系”，通过观察、比较，突出了“成正比例的量”的本质特征，让学生经历了自主构建知识的过程，体会到数学知识是怎样从具体的事物中抽象、概括出来的，做到知其然更知其所以然，而且积累了数学活动经验。

3.数形结合，渗透函数思想方法。

本节课除了从“数”的角度引导学生感悟变量之间的相互依存关系；还从“形”的角度丰富学生的学习体验，渗透函数思想方法。这是学生第一次接触函数图像，在此之前他们甚至都没有见过图像，不知道图像是什么样的，因此教师在这部分内容的教学中，大胆地为学生设计猜想、探究、实验和验证的活动，如：“如果把这些点描在图中，并把它们连起来，想象一下会是怎样的一条线呢？”“你们画的图与老师画的有什么不同？”“如果这辆车一直行驶下去，会是怎样的情形呢？”教师通过这些问题让学生认识到正比例关系的图像是一条经过原点的直线，它可以延伸，即不断的运动、发展、变化。接着又通过一组的问题，如：“不计算，你能知道这辆汽车4.5小时行驶多少千米吗？”“行400千米呢？”引导学生观察发现，在这条直线上的每一个点都有一对数字与它一一对应。在图像的观察、绘制和分析中丰富对变化的认识，让零散的连起来，让静止的动起来，让变量之间的抽象关系显得更加形象、直观，这个过程就是函数思想方法渗透的过程。

参考文献

[1]人教版数学六年级下册《教师教学用书》

[2]刘加霞.《小学数学课堂的有效教学》

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