函数概念范文

导语：如何才能写好一篇函数概念，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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1、函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

2、函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

（来源：文章屋网 ）

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关键词 函数 概念

回顾函数概念的历史发展，函数概念是不断被精炼，深化，丰富的。初中时函数的定义是一个变量对另一个变量的一种依赖关系。在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。高中时，是用集合与对应的语言描述了函数概念。函数是一种对应关系，是函数概念的近代定义。

设A，B是非空数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。函数近代定义与传统定义在实质上是一致的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发。

函数的概念这一节课，内容比较抽象，概念性强，思维量大，为了充分调动学生的积极性和主动性，教学中通过典型实例来启发和帮助学生分析，比较，以达到建构概念之目的。

引出函数的概念，先是举出了生活中的三个实例。第一个实例是关于物体做斜抛运动的，和初中学习过的二次函数相联系。第二个实例是关于臭氧空洞的问题，给出了函数的图像，按照图中曲线，发现了两个集合之间的一种特殊的对应关系。第三个实例是关于恩格尔系数的经济实例。列表给出了恩格尔系数和时间（年）的关系。三个实例共同反映了变量之间的相互依赖的关系，同时反映出两个非空集合之间的一种特殊的对应关系。这样，自然而然地给出了函数的概念，并且这三个实例中的函数恰好是用了三种表示方法：解析法，图像法，列表法。

以实际问题为载体，以信息技术的作图功能为辅助。通过三个实例的教学，师生共同发现了函数概念中的对应关系。教师在归纳出函数定义后，可以在全班进行交流。结合初中函数的定义，指出两个定义的区别和联系。关于“y=f(x)”这一个函数符号的理解，教师可以提问：y=f(x)一定是函数的解析式吗？回答是不一定，可以举出实例二和实例三。函数的解析式，图像，表格都是函数的表示方法。即：y=f(x)表示y是x的函数，但f(x)不一定是解析式。当f(x)是一个解析式时，如果把x，y看作是并列的未知量或者点的坐标，那么y=f(x)也可以看做是一个方程。

函数的核心是对应法则，通常用记号f表示函数的对应法则，在不同的函数中，f的具体含义不一样。函数记号y=f(x)表明，对于定义域A的任意一个x在“对应法则f”的作用下，即在B中可得唯一的y.当x在定义域中取一个确定的a，对应的函数值即为f(a).集合B中并非所有的元素在定义域A中都有元素和它对应；值域 。教师引导学生归纳并总结，函数的三要素是定义域，值域和对应法则。

然后，教师给出同学们所熟悉的三种函数，一次函数y=ax+b(a≠0)，反比例函数 ，以及二次函数 。教师演示动画，用几何画板显示这三种函数的动态图像，启发学生观察，分析，并请学生们思考之后，填写对应关系，定义域和值域。通过三个熟悉的函数加深学生对函数近代定义的理解。教师引导学生归纳总结出：函数的三要素是定义域、值域及对应法则。在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，则第三个要素也就随之确定了。如果函数的定义域，对应法则已确定，则函数的值域也就确定了。

连续的实数集合可以用集合表示，也可以用区间表示。利用多媒体课件展示怎样用区间表示集合。区间可以分为闭区间，开区间，半开半闭区间。特别地，实数集R记作(-∞，+∞)， ∞ 读作无穷大；-∞ 读作负无穷大；+∞ 读作正无穷大;“∞”不是一个数，表示无限大的变化趋势，因此作为端点，不用方括号。

例1和例2的编排，是为了进一步地加深理解函数的三要素。函数的定义域通常由问题的实际背景确定.对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合。在例1中，要注意f(a)与f(x)的联系与区别：f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值，它是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量。f(a)是f(x)的一个特殊值。例2是来判断两个函数是否相等的。如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，这两个函数就是相等的。

数学概念是构建数学理论大厦的基石；是导出数学定理和数学法则的逻辑基础；是提高解题能力的前提；是数学学科的灵魂和精髓。因此，数学概念教学是高中数学教学的一项重要任务，是“双基”教学的核心、是数学教学的重要组成部分，应引起足够重视。正确理解概念是学好数学的基础，概念不清往往是导致学生数学成绩差的最直接的原因。

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17世纪初期，笛卡尔在引入变量概念之后，就有了函数的思想，把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹，欧拉在1734年首次用f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说”、“对应说”、“集合说”等。变量说的定义是：设x、y是两个变量，如果当变量x在实数的某一范围内变化时，变量y按一定规律随x的变化而变化。我们称x为自变量，变量y叫变量x的函数，记作y=f(x)。初中教材中的定义为：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫函数的定义域，和x的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化，它致命的弊端就是对函数的实质——对应缺少充分地刻画，以致不能明确函数是x、y双方变化的总体，却把y定义成x的函数，这与函数是反映变量间的关系相悖，究竟函数是指f，还是f(x)，还是y=f(x)?使学生不易区别三者的关系。

迪里赫莱（P.G.Dirichlet）注意到了“对应关系”，于1837年提出：对于在某一区间上的每一确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫x的一个函数。19世纪70年代集合论问世后，明确把集合到集合的单值对应称为映射，并把：“一切非空集合到数集的映射称为函数”，函数是映射概念的推广。对应说的优点有：①它抓住了函数的实质——对应，是一种对应法则。②它以集合为基础，更具普遍性。③它将抽像的知识以模型并赋予生活化，比如：某班每一位同学与身高（实数）的对应；某班同学在某次测试的成绩的对应；全校学生与某天早上吃的馒头数的对应等都是函数。函数由定义域、值域、对应法则共同刻划，它们相互独立，缺一不可。这样很明确的指出了函数的实质。

对于集合说是考虑到集合是数学中一个最原始的概念，而函数的定义里的“对应”却是一个外加的形式似乎不是集合语言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了纯集合论形式的定义：如果集合fС{(x，y)|x∈A，y∈B}且满足条件，对于每一个x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，则y1=y2，这时就称集合f为A到B的一个函数。这里f为直积A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一个特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定义的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定义过于形式化，它舍弃了函数关系生动的直观，既看不出对应法则的形式，更没有解析式，不但不易为中学生理解，而且在推导中也不便使用，如此完全化的数学语言只能在计算机中应用。

2加强数形结合

数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在7—12年级所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，对每一类函数都是利用其图像来研究其性质的，作图在教学中显得无比重要。我认为这一部分的教学要做到学生心中有形，函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像，只要心中有形，函数性质就比较直观，处理问题时就会得心应手。函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。如函数y=log0.5|x2-x-12|单调区间，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0时，x=-3或x=4，知t函数的图像是变形后的抛物线，其对称轴为x=?与x轴的交点是x=-3或x=4并开口向上，其x∈(-3，4)的部分由x轴下方翻转到x轴上方，再考虑对数函数性质即可。又如：判定方程3x2+6x=1x的实数根的个数，该方程实根个数就是两个函数y=3x2+6x与y=1／x图像的交点个数，作出图像交点个数便一目了然。

3将映射概念下放

就前面三种函数概念而言，能提示函数实质的只有“对应说”，如果在初中阶段把“变量说”的定义替换成“对应说”的定义，可有以下优点：⑴体现数学知识的系统性，也显示出时代信息，为学生今后的学习作准备。⑵凸显数学内容的生活化和现实性，函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。⑶变抽像内容形像化，替换后学生会感到函数概念不再那么抽像难懂，好像伸手会触摸到一样，身边到处都有函数。学生就会感到函数不再那么可怕，它无非是一种映射。只需将集合论的初步知识下放一些即可，学生完全能够接受，因为从小学第一学段就已接触到集合的表示方法，第二学段已接触到集合的运算，没有必要作过多担心。以前有人提出将概率知识下放的观点，当时不也有人得出反对意见吗？可现在不也下放到了小学吗？如果能下放到初中，就使得知识体系更完备，衔接更自然，学生易于接受，学生就不会提出“到底什么是函数？”这样的问题。

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一、教材分析

1、教材的地位和作用：

函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。

2、教学目标及确立的依据：

教学目标：

（1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。

（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。

（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。

教学目标确立的依据：

函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。

3、教学重点难点及确立的依据：

教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。

教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。

重点难点确立的依据：

映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。

二、教材的处理：

将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。

三、教学方法和学法

教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。

依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。

学法：四、教学程序

一、课程导入

通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。

例1：把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？

二.新课讲授：

（1）接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：ab，及原像和像的定义。强调指出非空集合a到非空集合b的映射包括三部分即非空集合a、b和a到b的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从a到b的对应是否为映射的关键是看a中的任意一个元素通过对应法则f在b中是否有唯一确定的元素与之对应。

（2）巩固练习课本52页第八题。

此练习能让学生更深刻的认识到映射可以“一对多，多对一”但不能是“一对多”。

例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的近代定义（设a、b是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得a中的任何一个元素在集合b中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合a到集合b的映射，它包括非空集合a和b以及从a到b的对应法则f），并说明把函f：ab记为y=f（x），其中自变量x的取值范围a叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f（x））值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈a}叫做函数的值域。

并把函数的近代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系。（函数是非空数集到非空数集的映射）。

再以让学生判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项：

2.函数是非空数集到非空数集的映射。

3.f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。

4.f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。

5.集合a中的数的任意性，集合b中数的唯一性。

6.“f：ab”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域a（要优先），值域c（上函数值的集合且c∈b）。

三.讲解例题

例1.问y=1（x∈a）是不是函数？

解：y=1可以化为y=0*x+1

画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。

[注]：引导学生从集合，映射的观点认识函数的定义。

四.课时小结：

1.映射的定义。

2.函数的近代定义。

3.函数的三要素及符号的正确理解和应用。

4.函数近代定义的五大注意点。

五.课后作业及板书设计

书本p51习题2.1的1、2写在书上3、4、5上交。

预习函数三要素的定义域，并能求简单函数的定义域。

函数（一）

一、映射：2.函数近代定义：例题练习

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笔者主要从以下几点作好函数概念的教学：

一、深刻认识函数在中学数学教学中经历的三个阶段

第一阶段：在初中初步讨论函数概念、函数的表示方法以及函数图像的绘制等等，并具体地讨论正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数。研究这些函数的概念、性质，用描点法作相应图像。

第二阶段：新教材第二章“函数”和第四章“三角函数”的内容的教学。也就是函数概念的再认识阶段即用集合、映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，并进一步研究函数的性质。在此基础上研究指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的概念、图像、性质，从而使学生获得较系统的函数知识，同时进一步加强培养学生对函数的应用意识。

第三阶段：高中三年级数学选修Ⅰ中的极限、导数或选修Ⅱ中的极限、导数、积分，这些内容是函数及其应用研究的深化和提高，为大学学习做好预备。

二、采用适当的方法激发学生的学习兴趣

教学中，笔者首先从学生熟悉的函数入手，引出函数传统定义，然后引导学生利用映射给出函数现代定义。尽量不让学生由于陌生而产生对新概念的恐惧。接着在进行两个概念的比较的时候又依托具体例子，化抽象为具体，较好地解决了这一问题。

教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，笔者采用如下的教学方法：

（1）比较法：通过初中的函数的概念和高中阶段的函数的概念进行比较，初中的概念是强调了两个变量之间的对应关系，而高中的概念强调了函数的三要素构成了函数这个整体，深入地理解函数概念的本质；其次是比较映射的概念和函数的概念，其中的区别：函数强调“变量的值”。映射中的A与B在集合中被强调是数集，其中的联系：“对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应”与“对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应”具有类似的结构。比较f(x)与f(a)之间的区别，f(x)是变量，而f(a)是常量。

（2）列举法：对函数内容的学习是初中函数内容的深化和延伸．深化首先体现在函数的定义更具一般性。故教学中可以让学生举出自己熟悉的函数例子，并用变量观点加以解释，如给出： 是不是函数的问题，用变量定义解释显得很勉强，而如果从集合与映射的观点来解释就十分自然，所以有重新认识函数的必要。

三、把握好函数的教学要求避免难偏怪

学习是一个不断深化的过程，作为高一上期学习的内容，函数的概念要理解透彻并非一朝一夕的事，要充分考虑到学生从初中进入高中不久的事实，设计函数课的教学过程必须由浅入深，学生在不断地学习中加深对函数概念的理解，跨度不能太大，应着力于打好基础，并进行逐步的综合训练，在后继学习中，通过对函数的应用来获得巩固和提高，逐步提高数学能力。知识可以一步到位，能力是逐步到位。

例如：在引进集合和映射等概念后，我们就可明确给学生定义什么是函数了。并由此定义函数的定义域、值域等概念，其中定义域、对应关系、值域是函数三大要素。如何求函数定义域（重点）？如何求函数值域（难点、非重点）？如何判定两个函数是相同函数（重点）？等大量问题对学生是一新的问题。如果这里多讲、重讲如何求函数值域，就是偏难。这就需要我们在实际教学中把握一个“度”。

函数通常用符号y=f(x)表示，由于这个符号较为抽象，在初中讲函数时未出现这个符号，在讲函数的符号表示时，应说明几点：

y=f(x)是表示y是x的函数，不是表示y等于f与x的乘积；

f(x)不一定是一个解析式；

f(x)与f(a)是不同的。

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函数y等于tanx，x属于负二分之π到二分之一π之间，其反函数记作y等于arctanx，叫做反正切函数。

1、反正切函数是反三角函数的一种。

2、由于正切函数y=tanx在定义域上不具有一一对应的关系，所以不存在反函数。

（来源：文章屋网 ）

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【关键词】变量 函数概念 概念内涵 对应法则

【中图分类号】 G 【文献标识码】 A

【文章编号】0450-9889（2015）03B-0109-02

要提高数学教学质量，必须加强基础知识、基本方法和基本技能的教学，而概念教学是这“三基”教学的核心。函数是中学数学的主干内容，与中学数学的大部分内容都有密切的联系。鉴于此，函数概念最早出现在初二下学期的课本，而且在此之前的幼儿园、小学阶段都已经渗透了有关函数概念的集合和对应的方法。到了高中，进一步深化函数概念，成为贯穿中学数学知识的一条主线。因此，历届数学教育家想方设法编出了循序渐进、螺旋上升、科学合理的函数内容教材，努力提高学生的数学文化知识。可是，教学效果仍然不尽人意，特别是在普通中学，许多学生读到了高三，还说不清楚什么是函数。在此，笔者想与同行们共同探讨如何进行初、高中数学函数概念的教学。

一、如何进行初中函数概念的教学

学生理解数学概念，一般是从感性开始的。采取从感性到理性，又从理性到实践的过程进行教学，是符合学生认识规律的。课本准备了一些感性材料，让学生经历从典型、丰富的具体事例中概括概念本质的活动。初中课本准备了4个不同类型的实际问题：（1）画出了表示某地某天内的气温随时间变化而变化的图形曲线。（2）绘出了2006年8月中国人民银行公布的“整存整取”年利率表，表中显示了年利率 y 随着存期 x 的增长而增高。（3）给出了收音机刻度盘上的波长 λ（m）和频率 f（kHZ） 的对应值表。（4）让学生根据圆面积公式 S=πr2，填圆半径 r 与面积 S 的对应值表。在上面的每一个问题中，先后出现了两个相互依赖、相互制约、相互影响大小的变量，不妨分别用字母 x 和 y 来表示，引导学生发现：先出现的变量 x ，在允许的范围内每取一个值，都会得出另一个变量 y 的一个值，或者说另一个变量 y 随之就会只有一个值和它对应。由此概括抽象出初中函数定义：如果在一个变化过程中，有两个变量，例如 x 和 y ，对于 x 的每一个值， y都有唯一的值与之对应，我们就说 x 是自变量， y 是因变量，此时也称 y 是 x 的函数。可见，函数 y 是一个变量，但它不是独立变化的变量，而是由自变量自变引起因变量因变的这样一个变量，于是，把因变量 y 称作是自变量 x 的函数。学生学习了定义之后，还要让学生回到实践，知道在客观世界中，广泛存在着函数的事例。比如，正方形的面积 S 是边长 a 的函数；物体作匀速直线运动的路程 S 是时间 t 的函数等事例。当学生知道函数自变量 x 可以表示时间、长度、路程、电流等变量，知道因变量 y 可以表示温度、利率、频率、面积、电压等变量。知道函数研究的对象是两个有着主从依赖、互相制约的确定关系的变量，这两个变量的值存在着一种特殊的对应关系时，学生就理解了初中的函数概念。至于两个变量之间的主导与从属关系，在一定条件下可以互相转化，只能放在高中学习反函数时再去研究。

二、如何进行高中函数概念的教学

高中阶段函数的教学是初中阶段函数教学的延续，要求学生在集合与对应等思想的基础上深刻理解函数概念。现行的高中教材类似于初中教材的设计，从函数具有丰富的实际背景出发，准备了三个不同类型的实际问题。问题（1）给出了炮弹距地面的高度 h（m） 随时间 t （S）变化的规律 h=130t―5t2。问题（2）中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞面积从1979～2001年的变化情况。问题（3）给出了“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况表。每个问题都给出了两个变量各自的变化范围，教材的意图是要让学生知道或发现这两个变量之间对应关系的共同点，于是让学生先回答课本 P16 的思考题：分析、归纳以上三个实例，变量之间的关系有什么共同点？

共同点：（1）两个变量都有各自所属于的非空数集；（2）这两个非空数集之间的元素都有一种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应。

不同点：两个变量的对应关系表现形式不相同，实例（1）是解析式，实例（2）是一条曲线，实例（3）是数据表格。

于是，每个实例中的两个变量之间的关系都可以描述为：对于数集 A 中的每一个 x ，按照某种对应关系 f ，在数集 B中都有唯一确定的 y 和它对应，并且把这种对应关系记作 f：AB，从而得到了突出“对应关系”的高中函数定义：

设 A ， B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：AB为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f（x）， x∈A。其中， x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f（x）│x∈A} 叫做函数的值域。这样引入函数概念虽然自然，但是，学生知其然而不知其所以然。过去学习了“因变量 y叫做自变量 x 的函数”，现在为什么要把“数集 A 与 B 之间元素的这种对应关系 f：AB叫做从集合 A 到集合 B 的一个函数呢？”过去讲的函数是一个变量，现在讲的函数是一种对应关系，学生误以为有两个完全不同的函数定义。

任何一个概念都反映事物的一定范围（即事物的集合）和这个范围内的事物的共同本质。概念所反映事物的范围（或集合）叫做这个概念的外延，这些事物的本质属性的总和（或集合）叫做这个概念的内涵。概念的外延和内涵分别描述了事物集合的量和质。定义概念就是准确地揭示它的内涵和外延。在中学进行新概念教学时，既要从学生接触过的具体内容引入，也要从数学内部问题提出，这是比较好的一种教学方法。

既然学生过去学习了“ y 是 x 的函数”定义，就要从学生的认识水平出发，只要把初中函数定义进一步抽象一点点，把不是最基本的本质属性“变化过程”和“变量”弃掉，只保留最基本的本质属性，就会得出高中的函数定义。

现行高中教材准备的三个实际问题，仍然可以作为引入函数概念的具体事例。不过，先要根据这些具体事例，引导学生回忆、回答出初中的函数定义“y是 x 的函数”之后，提问：

一个函数的自变量 x 总有取值范围吗？因变量即函数 y 总有变化范围吗？

答：都有。

把自变量 x 的取值范围记作 A ，因变量 y 的变化范围记作 B 。再提问：

初中函数的最基本的特征是什么？

答：v1w自变量 x 有一个取值范围 A ，因变量 y 有一个变化范围 B 。

（2）对于数集 A 中的每一个数 x ，按照某个确定的对应法则 f ，都对应着数集 B 中唯一确定的数 y （把这个 y 记作 f（x））。我们把这种对应关系，称之为从数集 A 到数集 B 的单值对应，记作f：AB。

我们把从数集 A 到数集 B 的单值对应 f：AB，叫做从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y= f（x），x∈A。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值（f（x））叫做函数值，函数值的集合{f（x）│x∈A}叫做函数的值域。

这样，只保留初中函数最基本的两个特征，就轻松地得出了高中函数定义。

三、初、高中函数定义的实质是一样的

通过保留初中函数最基本的两个特征，得出高中函数定义，学生容易知道初、高中函数定义的实质一样：都是指两个数集之间的元素单值对应，只不过初中函数定义侧重于表达变量变化的结果，而高中函数定义侧重于整体表达变量之间的全部对应和变化。初、高中函数定义的这种相同本质，可以用如下的简易图形示意：

四、解决初中函数不能解决的一些问题

通过减少初中函数概念的内涵，得到的高中函数概念的外延就会扩大，所以初中函数定义中的每一个函数，即初中讲的“ y 是 x 的函数”，都是高中函数定义中的函数，都可以写成“从集合 A 到集合 B 的一个函数”，但是，反之不成立。这样，高中函数研究的范围已经扩大，就能解决初中函数不能解决的一些问题，这就是发展概念的动机和原因。例如：

（1）y=sin2x+cos2x=1（x∈R）是函数吗？

（2）y=与 y=x 是同一个函数吗？等等，这些问题如果用初中函数定义就无法回答，但是，用高中函数定义就很容易解决。

五、反思高中函数定义

讲授完高中函数定义之后，可让学生反思：（1）定义中的“……，称 f：AB为从集合 A 到集合 B 的一个函数”。难道从集合 A 到集合 B 还会有另一个函数？比如，已知y=sin x，x∈[0，]是从集合[0，]到集合[0，1]的一个函数，让学生找一找从集合[0，]到集合[0，1]的另一个函数，有y=cos x，x∈[0，]，等等。（2）除了高中学的函数之外，还会有别的函数吗？

例如，设立方体长、宽、高、体积分别为x，y，z，V，则V=xyz，其中x，y，z都是自变量，这是一个有三个自变量的多元函数，不是中学的一元函数。

再如，y=±是函数吗？

因为它不符合中学函数定义的“单值对应”，所以不是中学的函数，而是中学函数之外的多值函数。

通过反思高中函数定义，就不会书云亦云，师云亦云了。

六、巩固、发展函数概念

函数概念的形成，不是一二节课就能完成的，学生学习了概念之后，还需要采取一些巩固、发展概念的措施，罗列一些似是而非、容易产生错误的对象让学生辨析，来促进学生认识概念的本质，确定概念外延的有效手段。例如（选自2011年湖北黄石必修1检测题）：

在下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中，不能确定 y 是 x 的函数是（ ）

（1）A={x│x∈Z}，B={y│y∈Z}，对应法则 f：xy=；

（2）A={x│x>0，x∈R}，B={y│y∈R}，对应法则 f：xy2=3x；

（3）A={x│x∈R}，B={y│y∈R}，对应法则 f：xy：x2+y2=25；

（4）A=R，B=R，对应法则 f：xy=x2；

（5）A={（x，y）│x∈R，y∈R}，B=R，对应法则f：（x，y）S=x+y；

（6）A={x│-1≤x≤1，x∈R}，B={0}，对应法则 f：xy=0。

解析：在对应法则 f 下，（1）A 中不能被 3 整除的数在 B 中没有象。（2）A 中的数在 B 中有两个数与之对应。（3）A 中的数（除去±5）在 B 中有两个数与之对应。（5） A 不是数集。所以（1）（2）（3）（5）都不能确定 y 是 x 的函数。（4）（6）显然满足函数的特征， y 是 x 的函数。

一个概念即是对前面知识的总结，又是新知识的出发点，函数研究的是变量间的依赖关系，对应关系，因而讨论函数的性质时，还是要突出一个“变”字，围绕自变量，因变量的变化特征来界定。比如，当自变量 x 在定义域 A 中由小变大时，根据 y=f（x） 的变化特点，提出了函数的“增减性”“奇偶性”和“周期性”等概念。用这样的思路来进行函数概念和性质的教学，能把概念教活，使学生获取的知识成为一个有机的整体。

【参考文献】

[1]陈森林.中学代数教学法[M].武汉：湖北人民出版社，1981.8

[2]苏天辅.形式逻辑学[M].成都：四川人民出版社，1981

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    ,性质

    首先是初等函数相关问题分析:

    1.绝对值函数的概念及性质

    绝对值函数是个很广的概念,可分为两大部分,一部分是绝对值施加在X上的,另一部分是绝对值号施加在Y上的,如y=|x| |y|=x 就记住绝对值号在谁上头就把原图像根据哪一个轴做轴对称变换,记住这一点,不管多复杂的解析式都可以照此办理.绝对值函数可以看作初等函数。

    1.1绝对值函数的定义域,值域,单调性

    例如f(x)=a|x|+b是

    定义域:即x的取值集合,为全体实数;

    值域: 不小于b的全体实数

    单调性:当x<0,a>0时,单调减函数;

    > > 增 ;

    < < 增 ;

    < < 减 ;

    1.2绝对值函数图象规律:

    |f(x)|将f(x)在y轴负半轴的图像关于x轴翻折一下即可,在y轴正半轴的图像不变。

    f(|x|)将f(x)在x轴负半轴的图像关于y轴翻折一下即可,在x轴正半轴的图像不变。。

    1.3带绝对值的函数求导,即将函数分段。

    2.取整函数的概念与性质

    2.1取整函数是:设x∈R , 用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数,并用"{x}"表示x的非负纯小数,则 y= [x] 称为取整函数,也叫高斯函数。任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和,即:x= [x] + {x},其中{x}∈[0,+∞)称为小数部分函数。

    2.2取整函数的性质:a 对任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.b对任意x∈R,函数y={x}的值域为[0,1).c 取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意x1,x2∈R,若x1≤x2,则[x1]≤[x2].d 若n∈Z,x∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.e若x,y∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.f 若n∈N+,x∈R,则[nx]≥n[x]. g 若n∈N+,x∈R+,则在区间[1,x]内,恰好有[x/n]个整数是n的倍数.h 设p为质数,n∈N+,则p在n!的质因数分解式中的幂次为p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+…

    3.导数的概念与性质

    3.1导数,是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。导数另一个定义:当x=x0时,f‘(x0)是一个确定的数。这样,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们称他为f(x)的导函数(简称导数)。

    3.2求导数的方法

    (1)求函数y=f(x)在x0处导数的步骤:① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);② 求平均变化率;③ 取极限,得导数.

    (2)几种常见函数的导数公式: ① C'=0(C为常数函数);② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q); ③ (sinx)' = cosx;④ (cosx)' = - sinx;⑤ (e^x)' = e^x;⑥ (a^x)' = a^xlna (ln为自然对数);⑦ (Inx)' = 1/x(ln为自然对数;⑧ (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1).

    补充:上面的公式是不可以代常数进去的,只能代函数,新学导数的人往往忽略这一点,造成歧义,要多加注意。

    (3)导数的四则运算法则: ①(u±v)'=u'±v'; ②(uv)'=u'v+uv'; ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2.

    (4)复合函数的导数

    复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。

    4.高等函数的概念以及含义问题

    4.1一元微分

    1)一元微分是设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) ?f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依赖于Δx的常数),而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx。

    通常把自变量x的增量 Δ

    x称为自变量的微分,记作dx,即dx = x。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。 当自变量X改变为X+X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X+X),如果存在一个与X无关的常数A,使f(X+X)-f(X)和AX之差是X0关于X

    的高阶无穷小量,则称A·X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微。一元微积分中,可微可导等价。记A·X=dy,则dy=f′(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。

    2)其几何意义为:设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

    4.2多元微分

    1)多元微分的概念:与一元微分同理,当自变量为多个时,可得出多元微分的定义。

    2)多元微分的运算法则

    dy=f'(x)dx

    d(u+v)=du+dv

    d(u-v)=du-dv

    d(uv)=du·v+dv·u

    d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2

    3)微分表

    d(x^3/3)=x^2dx

    d(-1/x)=1/x^2dx

    d(lnx)=1/xdx

    d(-cosx)=sinxdx

    d(e^(x^2)/2)=xe^(x^2)dx

    高等函数中还有值定理与导数应用、泰勒中值定理、曲率、方程的近似解、不定积分、定积分、平面曲线的弧长、、可降阶的高阶微分方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、向量代数与空间解析几何、重积分及曲线积分以及无穷级数等,本文就简单的函数问题做一总结。

    【参考资料】

    1.复变函数论.高等教育出版社,2004,01.

    2.实变函数简明教程.高等教育出版社 2005,5,.

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关键词： 反函数 概念 教学设计

学生普遍对反函数一节的理解和灵活运用上存在一定困难，根据学生反映出的情况，我对反函数一节中的教学内容提出一些建议.

我认为教学重点应该放在：反函数概念、求法、图像关系，并基于图像来理解.教学难点主要有：①f（a）=b?圳f（b）=a的应用；②复合函数的有关问题.

一、定义的内涵

1.定义讲完后，提出问题“任何函数都存在反函数吗？”进而启发、诱导学生得出反函数存在的条件：确定函数的映射f:AB是从定义域A到值域B的一一映射，则函数f（x）存在反函数.

逆映射：f:AB所确定的函数y=f（x），x∈B，y∈A，叫y=f（x）的反函数，f（a）=b?圳f（b）=a.

2.进一步提供了反函数存在性的判断方法：

①代数法：x≠x?圯y≠y即≠0（x≠x）.

②几何法：图像上任两点连线不平行于x轴，也不与x轴重合.

例如：y=，y=，y=x+，y=+x等.

（反函数的常规解法及步骤，重要条件在此不述了.）

二、互为反函数的两个函数y=f（x）与y=f（x）的关系

在这里要让学生搞清x=f（x），y=f（x），y=f（x）三者之间函数图像关系.

三、特例

反函数图像自身关于直线y=x对称，函数自身定义域等于值域，在解一些有关此类函数题时，可以应用.（如下表）

例1.若函数y=（a≠）的图像关于直线y=x对称，则a=?摇?摇?摇?摇.

解：依题意，y=（a≠）的反函数是其本身，则定义域A与值域C相同.

A={x|x≠-}，C={y|y≠}且A=C,

-=,得a=-5.

四、复合函数的反函数

y=f（ax+b）的反函数y=；

y=f（ax+b）的反函数y=.

例3.设函数f（x）=，函数g（x）的图像与y=f（x+1）的图像关于直线y=x对称，则g（1）=?摇?摇?摇?摇.

五、常用结论

1.一个函数y=f（x）在定义域A上存在反函数是这个函数在A上单调的必要非充分条件.

2.若函数y=f（x）在定义域A上单调，则y=f（x）一定存在反函数y=f（x），且y=f（x）在其定义域B上具有相同单调性.（A、B不一定相同）

3.f［f（x）］=x（x∈C）； f［f（x）］=x（x∈A）.

4.若一个奇函数存在反函数，则反函数也是奇函数.（若补充了“奇偶性”，可讲此点.）

5.若函数y=f（x）与其反函数y=f（x）的公共点不一定都在y=x直线上.

六、补充练习

1.函数y=f（x）的反函数y=f（x）的图像与y轴交点于P（0,2），则方程f（x）=0在［1，4］上的根是x=?摇?摇?摇?摇.

2．函数f（x）=log（x+b）（a＞1,a≠1）的图像过点（2,1），其反函数的图像过点（2,8），则a+b等于?摇?摇?摇?摇.

3.函数f（x）=x-2ax-3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（）

A.a∈（-∞，1］B.a∈（2,+∞）

C.a∈［1，2］ D.a∈（-∞,1］∪［2,+∞）

4.已知函数y=f（x）是奇函数，当x≥0，f（x）=3-1，设f（x）的反函数是y=g（x），则g（-8）=?摇?摇?摇?摇.

5.f（x）是函数f（x）=（a-a）（a＞1）的反函数，则使f（x）＞1成立的x的取值范围是（）

A.,+∞ B.-∞,C.,aD.［a,+∞）

补充练习答案：

1.x=2

2.a+b=4

3.D

4.x=-2

5.A

参考文献：

［1］乔治.波利亚.数学的发现.科学出版社，2006.7，第一版.

［2］张雄等.数学方法论与解题学研究.高等教育出版社，2003.8，第一版.

［3］余元希等.初等代数研究.高等教育出版社,1988年版1999年12次印刷.

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关键词：初中数学；函数概念；三种关系

初中阶段的函数教学具有承上启下的作用，是高中函数学习的基础，如果教学失败，直接对学生今后在高中阶段的函数学习产生负页影响，甚至影响到今后的进一步学习。所以，初中阶段的函数教学不可松懈，一定要慎重对待。就实际教学而言，初中阶段的函数教学一定要处理好几个概念关系，具体如下。

一、具体与抽象的关系

人认识事物都是从感性认知开始的，然后逐步升华到理性认知，理性的认知过程才是把握事物本质的过程。数学概念就是人们长期以来对事物现象形成的高度抽象认知的结果，函数更是如此。所以，函数的学习需要高度抽象的理性逻辑思维，这对理性思维尚不很发达的初中生来说，的确是有一些难度的。但一般而言，初中阶段的函数是基础性的，并不太难，并且考虑了与小学数学知识的衔接，所以，只要教师稍加引导，就会使问题迎刃而解的。

根据初中教材的一般编排规律，在引入函数知识前，已经作了许多函数知识铺垫，比如关于量与量之间的依存关系，学习函数前学生应当已有所认知并且可能很熟悉。初中数学教师完全可以在学生已有的有关量的知识基础之上，引导学生建构关于函数的知识结构，使学生在已有的数量关系知识基础上理解新的函数知识。

一般而言，在具体教学中，教师不宜直接向学生抛出抽象的函数定义，而要从具体的函数实例说起，引导学生从函数实例中抽象离析出变量、常量等，进而寻找各变量常量之间存在的数学关系，再根据关系建立数学表达式，进而使学生理解相关概念。最终学生会理解，对于一个变量X，含有X的代数式，如3X就是关于X的函数。

一切抽象的知识都是从具体的直观的感性经验开始的，因此，初中数学教师在教学抽象的函数概念时，也要尽可能引导学生从感性经验入手，从具体的实例如下，引导其一步步深入理解，最终完全掌握抽象的函数概念。

二、准确性与通俗性的关系

函数本来是高度抽象的概念，其定义应当时具有严密逻辑性的表达。但考虑到初中学生本身的认知水平，一般初中教材都采取描述法来界定，也主张教师用描述性的表达来界定函数之类的抽象概念。描述法界定的好处是通俗易懂，但也容易失去准确性。这就要求初中数学教师在界定概念时，必须力图做到通俗性的同时确保准确性。现行九年义务教育初中阶段某数学教材中这样定义函数：“设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，Y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。”该定义突出了“对应”二字，体现了准确性；不把对应关系看作函数，而把变量y看成一个函数，这恰好是为了便于学生理解而所作的处理，因为变是y是具体的，而对应关系是抽象的，前者易理解，后者难消化。

有的老师在教学函数概念时，过于强调函数三要素，即“定义域、对应法则、值域”三要素。不过事实上，这三要素虽然是函数确实该具备的，但并不能揭示函数的本质。要想使学生准确理解，还必须揭示其本质属性。这需要从定义中析取。“在一个变化过程中”，强调函数的动态存在性；“有两个变量”强调函数体现的是两个变量之间的依存关系；“对于x的每一个值，Y都有唯一的值与它对应”强调两个变量之间的对应关系。从这三个方面的分析来看，函数本质上不是什么具体的变量，而是变量之间存在的一种对应关系。这样的抽象性的概念，要想理解准确，还真得从通俗性入手。

三、历史性与逻辑性的关系

一般而言，概念教学都有必要讲清概念的来龙去脉，这是历史性的体现。函数概念教学也如此，应当让学生了解函数概念的产生和发展的大致过程，使知识具有历史感，并有助于学生深化理解。逻辑性主要指共时平面上对函数概念的抽象界定，这样的逻辑性界定很直接地抛出概念定义，很省事儿，但不省力。因为直接面对抽象的函数概念，学生一时半会儿并不能理解。如果从此前的代数知识讲起，引导学生步步深入，体验函数关系如何从代数中生成并发展起来，体验完毕后，对函数就会有一个较为深刻的认知体会。这样以旧知识促进新知识的理解消化，也很符合建构主义理论。建构主义认为，人的大脑是建构性的，而不是直接的接收器或刺激反应器。人在接受信息过程中，会有主观能动性的参与，即人会对所接收到的信息进行加工，进而创造出新的信息体系。这个加工过程是复杂的，往往是新信息和旧信息均有涉及的一种建构性处理，经过这种加工，大脑中会建构起新的认知体系来。所以，人的学习应当是建构的，而不是接受的。函数概念教学中，教师也不能忽略大脑认知上的这种特点，所以也要根据建构的特性来组织教学。因此，逻辑性的函数定义固然省事儿，可以直截了当地告诉学生所学的内容，但由于缺乏既有知识作为基础，大脑中很难真正建构。只有从代数开始，以代数的知识作为基础，逐步引入函数，学生才可能在代数知识基础之上建构函数知识，实现对函数概念的准确理解。

综上，初中函数概念教学要处理好三种关系，一是抽象与具体的关系，即要从具体实例出发而理解抽象概念；二是准确性与通俗性的关系，即要以通俗的语言引导学生准确理解高度抽象的概念；三是历史性与逻辑性的关系，即要尽可能以历史的方法，讲明函数的来龙去脉，使学生建构性地理解逻辑层面的函数概念。处理好了这三种关系，初中函数教学就能化难为易，化繁为简，使学生学得有味，教师教得有劲。函数问题概念如能迎刃而解，其他数学问题的解决也就不再是什么难题。因此，初中数学教师一定要在函数概念教学上多下功夫，多结合实际认真探索，积极大胆地创新，在处理好以上三个关系的前提下，寻找最适切的教学方法，推动教学的良性发展。

参考文献：

[1]任子朝.数学思维结构的成分、建构与发展（续）.数学通讯，1993，8

[2]严成志.理科教学中培养学生形象思维能力的研究.中学教研，1993.7