高中函数范文

导语：如何才能写好一篇高中函数，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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[关键词]变量思想　数形结合　对应说

[中图分类号]G427　[文献标识码]A　[文章编号]1006-5962(2012)02(a)-0044-01

1前言

函数思想是高中数学的最基本思想，它的触角延伸到中学数学各个部分，可以说它是中学各个部分组成有机整体的主线。函数学习有利于培养学生分析问题、解决问题的能力，以适应其他学科的学习和继续深造及将来参加工作的需要。从近几年高考命题我们也看到，只要涉及与“应用”有关的问题，常常需要通过建立函数关系去解决。因此，只有加强函数及相关内容的教学，才能有效提高分析问题、解决问题的能力，从而适应其他学科学习和将来工作的需要。

2高中生的认知特点

从年龄来看，我国高中生的年龄属于其第四阶段形式运算阶段，这一阶段儿童的思维已经超越了对具体的可感知的事物的依赖，使形式从内容中解脱出来，进入形式运算阶段。本阶段儿童的思维是以命题式形式进行的，并能发现命题之间的关系；进入形式运算阶段的儿童能够根据逻辑推理、归纳或演绎的方式来解决问题；能理解符号的意义、隐喻和直喻，能做一定的概括，其思维发展水平已接近成人的水平。

3高中函数的教学策略

3.1课前情景的创设

学生对新知识或者新方法的掌握都是建立在先前知识基础上的，因此，课前情景的创设有利于激发学生的求知欲。如分段函数教学时，先提出y=1×1以及“招手即停”的车票规则，然后提出以下实际问题：出租车计价标准：4km以内8元(包含4km)，超过4km且不超过10km的部分1.7元／km，超过10km的部分2.5元／km.然后设置问题：1.甲乘车行驶了7km，他要付多少钱?2.列出车费和行车里程的函数关系式.3.若乙付了35元，行程为多少?对于第一个问题，学生根据以往的知识很快得出了关系式：y＝8+1.7(7 4)＝13.1(4

3.2课堂中的情景创设

课堂总是在教师的引导和学生的思考下进行的，教师的引导将直接影响着学生学习效果的达成。如在反函数教学中，教师不妨用扑克牌的游戏进行：首先教师准备一副扑克牌(没有大小王)，规定A～K分别用数字1～13代替，让后让学生随意抽出一张牌，并将牌号乘以2加上3后再乘以5，再减去25后告诉老师结果，老师便知道是什么牌.经过几次游戏，学生自然会产生疑问，其中有什么秘诀?教师此时便可引出：若牌号是自变量x，根据对应关系可得：y＝5(2x+3)25，简算后为y=lOx 10，由题干可知定义域为{1，2，3，4，12，13}，值域为0，10，20，30，110，120，反函数为f-1(x)=11Ox+1.在游戏过程中，如果学生给出的结果为110，那么x=12，此牌为Q，以此类推.在此游戏中，学生已经由学习的状态转变到了游戏状态，求知欲和兴趣得到了激发，他们寻找问题的答案是主动的，教师只是一个引导和组织的角色。

3.3课后情景的创设

数学教学是一个循序渐进的过程，教学和学习数学知识(方法)不止在课堂上，它贯穿于整个学习活动中，甚至延伸至课外。

1、课后问题情景

课后的引导对学生不仅能起到巩固旧知识的作用，还能激发学生学习新知的欲望，培养他们的创新能力和自学能力.如在学习正弦、余弦等周期函数的课程之前的课程中，《数学A版必修4》中有这样一个例子：“今天是星期三，7k(k∈z)天之后的那一天是星期几?”我们可以将此问题作为学生课后的思考问题，当学生在寻找答案的过程中，很自然地会根据需要去预习后面的内容，于是对周期函数的学习便起到了一定的促进作用。

2、课后实践情景

数学知识能用于生活，但很多学生在学习中更多地注重抽象的数量分析，而忽视实际的应用，为此，根据所学知识应用于生活实践是数学课中培养学生解决问题能力的一大要求，特别是课后.如在教学函数后，我们可以根据学校的实际情况，将学生分组后去完成以下问题：1.学校水龙头未拧紧，每一秒将流失一滴水，而每滴水的体积为a+1a＝1升，滴水时间为x秒，流失水为y升，求y和x之间的关系式。2.假如学校有2000人，每人每天节约一滴水，将能节约多少水?关系式如何表达?如果是一个市或者是一个省呢?学生利用自己学到的知识解决了生活中的实际问题，不但培养了他们解决问题的能力，同样提高了他们对资源的节约意识.

结语

从以上分析我们不难看出，在高中函数的教学中，情景的创设不但能激发学生学习的积极性，更有利于让学生从具体到抽象的转变，对学生解决问题的能力也起到了很好的促进作用。但我们也应看到，教学是一个有机的过程，情景的创设应贯穿整个教学活动中，将生活和数学练习起来，在教师指导下，引导学生进行探索和求证，最终得到问题的答案，并在过程中掌握解决问题的方法。

参考文献

[1]章建跃.中学数学课改的十个论题[J].中学数学教学参考.2010.4.

[2]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京：人民教育出版社，2003：11，13，99.

[3]陶维林.函数的概念教学设计[J].中小学数学，2009(78)

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关键词：高中数学 函数 函数作图 方法

数形结合是高中数学知识中很重要的一种学习方法，并且很有用，能够灵活地运用数形结合的方法，可以进一步帮助学生掌握数学知识。尤其是在函数和几何中，数形结合能够有效地帮助学生快速的解决问题，甚至省去相对较为复杂的计算，所以，教会学生掌握函数作图的方法是非常重要的。

函数作图是函数学习的重要组成部分，也是辅助学生更好的学习函数的重要方法，因为，从函数图像中，我们可以看出函数的单调性、最大值、最小值、周期、奇偶性等重要性质。

因此，我们可以看出数形结合对于高中函数解题是非常重要的方法，所以，我们需要掌握好函数作图的方法。

一、列表描点法

该作图法是高中函数作图中最基本的，也是最简单的作图方法。列表描点法作图分为三个步骤：

第一步，列表：首先需要确定函数f（x）的定义域，其次在函数定义域内取若干x的值，然后对应x的取值列出相应的函数值表。

第二步，描点：在列出表格之后，再在平面直角坐标系中描出相应的点。

第三步，用光滑的曲线依次连接相应的点，得到的光滑图形便是所求函数的图像。

二、利用图像特征作图

利用图像的特征作图即为简化的描点法，它主要依靠学生对于函数图像的熟悉程度决定的。当我们知道需要作图的函数图像的大概形状和特征时，我们就只需要找到图像关键的点，然后依次连接关键点便也可以得到函数的图像。而没有必要严格的按照描点法画图。

但是，想要利用图像的特征作图，首先就得需要学生对于各种函数图像的特征有着准确的了解和定位，看到函数的解析式便能够明确这是什么函数，这个函数的基本图像大概是什么样子，然后，在此基础上，加上具体函数的具体数字加以计算，得到关键点的数字，再对应坐标描点，才能够得到函数的图像。例如，一次函数的图像就是一条简单的直线，所以，只需要找到任意两个不同的点，链接点便可以得到函数图像;二次函数的图像是一条抛物线，所以在作二次函数图像时需要确定图像的顶点，对称轴，函数图像开口方向，以及函数图像与坐标轴的交点即可，然后链接这些点，就能够画出二次函数的图像。

另一类的图像和英文字母N（a>0）或倒写的N（a<0）相似。所以对于三次函数只要根据首项系数和极值点就可以确定其草图。

四次函数y=ax4+bx3+cx2+dx+e图像也有两种基本类型：一类是抛物线型;另一类的图像和英文字母W（a>0）型或M（a<0）型相似，所以对于四次函数只要根据首项系数确定张口方向，再结合极值点草图立马画出。

利用函数图像特征作图是数学中比较常用的图像作图方法，因为只需要按照熟知的函数图像形状，再确定几个关键点便可以做出函数的草图，节约时间，错误率也相对较少。所以，在教学过程中，教师和学生都多常采用此方法作图。

三、利用基本函数的图像，通过变换作图

利用基本函数的图像，通过变化作图主要就是找到函数的基本函数，然后根据基本函数的图像，再经过解析式所需求的变换，来画出所求图像。例如一次函数的基本函数就是y=x，二次函数的基本函数则是y=x2，所有的二次函数都是在此基本函数的基础上经过平移、对称、伸缩等变换，得到的新的图像。

函数图像的变换主要有：

1.平移变换（1）将y=f（x）的图像向左平移a―个单位可得到y=f（x+a）（a>0）的图像，将y=f（x）的图像向右平移a个单位可得到y=f（x+a）（a0）的图像.（2）将y=f（x）的图像向上平移b个单位可得到y=f（x）（b>0）的图像，将y=f（x）的图像向下平移b个单位可得到y=f（x）+b（b0）的图像.

2.对称变换：（1）将y=f（x）的图像做关于x轴的对称图像可以得到y=-f（x）的图像;（2）将y=f（x）的图像做关于y轴的对称图像可以得到y=f（-x）的图像;（3）将y=f（x）的图像做关于原点的对称图像可以得到y=-f（-x）的图像。

3.翻折变换（1）将y=f（x）的图像在x轴上方的部分保持不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得y=f（x）的图像。（2）将y=f（x）的图像在y轴左侧的部分去除，再做y轴右侧部分的图像关于y轴的对称图像，可得y=f（x）的图像。

4.伸缩变换（1）将y=f（x）的图像上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变可以得到y=f（ax）（a>0）的图像。将y=f（x）的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的b倍可以得到y=bf（x）（b>0）的图像。当a>0或b>0时可以先按对称变换处理后再做伸缩变换。

一般地，利用函数的基本图像通过变化作图需要作图者对于函数的基本图像铭记于心，还需要对于函数变换的技巧熟练掌握，不然很容易在变换的过程中出现错误，从而影响图像的正确度。

四、用多媒体软件做函数图像，高中生可以用的有几何画板和Excel

1、用几何画板做函数图像，从菜单中选择“文件”“新建文件”命令，再从菜单栏中选择“绘图”“定义坐标系”命令，再从菜单栏中选择“绘图”“绘制新函数”命令，弹出以下对话框。然后在对话框里编辑函数如：“f（x）=x3-2x”;或着选择函数如：“f（x）=sinx”，最后点击确定就可以画出所需函数图像。

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【摘 要】在高中数学的教学中，函数是最基础也是最重要的一项学习内容，它对于培养学生的数学思维与提高应用能力来说都有至关重要的作用，因此，函数的教学模式也在一定程度上对学生的学习兴趣与掌握程度都会产生一些影响。在传统的高中函数教学模式中，大部分教师也只是依据死板的教学方法，照本宣科地进行函数教学，这样死板的教学模式既不利于激发学生的学习兴趣，也不利于提高整体的教学效率。因此，为了迎合现如今素质教育的发展趋势，教师必须大力进行函数教学的模式改革，摒弃传统的教学理念，采用多样化的教学方式来吸引学生的学习兴趣，激发学生的探知欲望，进而整体提高函数教学效果。文章就如何在高中函数教学模式中创新进行了探讨。

关键词 高中；函数；教学模式；教学理念；创新

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2014）36-0107-02

随着我国社会教育水平的普遍提高，对教学模式的改革创新也势在必行。尤其是针对于高中函数的教学来说，由于它是承接了初中函数学习的更深入学习，因此对于学生的知识继承与发展来说都有重大意义。但在一般的高中函数教学中，由于教师还未能完全实现创新意识，还是采用传统的教学方式来进行教学，这样死板的教学模式既不利于激发学生的学习兴趣，也不能有效培养学生的思考、创新能力，阻碍学生综合素质的全面提升。因此，进行函数教学模式的改革创新势在必行，在进行函数的教学中，教师应该以实现学生的学习主体为根本目的，将课堂的支配权交到学生手中，引导学生进入探索函数的趣味学习中来。

一、注重初、高中函数知识的衔接

高中函数的作用是引导学生在掌握基本函数知识的基础上，使其从具象思维转变为抽象逻辑思维，完成对于函数的相关概念、应用的理解、掌握能力。因此，高中教师在进行函数的教学活动中，首先就应该注重将初、高中的函数知识有效连接起来，做好两者的过渡。另外，由于函数也存在于高等教育的教学中，所以从全面来考虑，教师也应该为学生今后学习高等函数教学奠定有力的基础，起到承上启下的作用。

二、通过竞赛活动创新函数教学

在传统的函数教学中，高中教师往往比较注重对于学生独立思考能力的培养，虽然说注重学生独立思考能力可以有效激发学生的个人潜力，但也存在一定的弊端。因为高中班级作为一个集体，如果学生都只注重于自身的独立发展，而忽略了对他们竞争意识的培养，那么学生往往会由于没有可追求的目标或者没有对比的对象而导致学习动力不足，容易产生松懈的学习心理，这也不利于学生进行长期学习。所以，针对这一问题来说，教师在进行高中函数教学模式创新的同时，应该注重对学生独立发展与竞争意识的培养，对于培养学生的竞争意识来说，教师可以通过在课堂上组织一系列的竞赛活动来激发学生之间的竞争意识，使学生树立自己的追赶目标，或者通过与其他学生的对比，发现自己的优点与不足，激发自己的学习动力，使每个学生都能获得不同程度的提升。另外，通过举办有趣的竞赛活动这种创新型的教学模式，改变他们对于函数学习枯燥性的理解，吸引学生的学习兴趣。

在进行《指数函数、幂函数、对数函数增长比较》这一节课程的时候，在传统的教学中，教师先引入讲解概念，再画图，最后给予公式讲解这样的顺序，比较死板而且不具有灵活性。如果想要利用这节课加入对学生的竞赛机制，教师就可以先向学生说明本届课程的教学模式，利用教师提问、学生抢答的方式来学习，学生答题次数多、正确率高的学生将会获得一定的奖励。这样在课程开始前，每个学生都会跃跃欲试，想要在竞赛中体现自己的实力。这样，教师就可以先就一些简单的问题进行提问，继而再引入到这三个函数的增长比较中去。在这个过程中，学生在进行对教师提问给予回答的时候，不仅在这种竞赛的氛围中促使自己的大脑快速运转，而且可以有效吸引学生的学习兴趣，参与到课堂的活动中来，在这种竞赛活动中对这一节函数课程进行有效地掌握。

三、注重情境教学，将函数教学生活化

学生学习的最根本目的就是为了在生活中将其实践，尤其是对于数学教学来说，数学本就是一门实践性极强的教学课程，在传统的高中函数教学中，教师也只是将教学局限在对于函数相关概念的分析、应用题的讲解上面，既枯燥又乏味，而且无法凸显出函数在生活中的有效应用。因此，教师对函数教学模式进行创新改革的过程中，完全可以通过使用情境教学，将函数教学在生活中的应用凸显出来，并且适当在课堂中加入实践性的环节。通过对函数教学实施这样的创新改革，加深学生对于函数的理解程度，并且有效掌握其实际的运用，增加学生的学习兴趣。

比如，在进行《三角函数的应用》这一节课程的时候，教师就可以将实践性的活动引入其中，使函数贴近生活。教师可以将学生带到学校的操场上，选取一块半径为10米的圆形空地，另一块为半径10米，圆心角为60度的扇形空地。继而对学生提出实践的要求，如果分别要在这两块空地中放置一块矩形的草皮，使草皮的一边在空地的半径同时内接于此空地，那么应该如何进行设计，才能使这块草皮的面积最大？在提问后，教师就可以引导学生展开实践操作，采用矩形的物品来代替草地进行实地的实践，并且在实践的过程中利用三角函数的有关知识切实进行求解。在这个过程中，由于加入了对于生活性的应用，学生都会积极地探讨多种答案。最后，教师再进行对学生正确答案的引导，实现函数实践性的有效效果。

四、实现学生在教学中的主体地位

新课程标准的要求是在培养学生综合素质的基础上，实现学生作为学习的主体，将课堂还给学生，通过教师的引导作用，激发学生主观能动性的发挥，使学生自主完成教学任务并且实现综合能力的提高。为了在函数教学中实现学生的主体地位，教师可以通过对学生分配教学任务，在讲台上代替教师进行课程的讲解，实现主观能动性的充分发挥。在这个过程中，教师可以在讲台下作为一个观察者，观察学生在讲台上的表现，对其是否把握了教学主旨与教学内容进行监督，并且给予学生一定的意见，帮助其加深对于知识的理解，在这个过程中给予学生一定程度的提高。通过学生试做教师，不仅可以提升学生自身的综合能力，同时通过学生与学生之间的交流，也会使教学模式变得吸引，讲台下的学生通过对于讲台上的“教师”进行内容的监督，及时发现问题，改进问题。

五、有针对性地使用多种教学方式

函数既是高中学习中的一个重点，也是一个难点，因此，能否正确掌握函数的相关知识也直接决定了学生数学学习能力的高低。教师在进行函数教学模式的创新改革时，不能固定采用某一种教学方式实施教学，而是应该针对于学生不同的情况实施不同教学的方法，对于一些基础比较差的学生，应该集中起来加强对于他们函数基础的理论学习，并且对于他们存在的困惑与难点及时进行解答，对于学习成绩比较优异的学生，也应该针对其设计一些比较有难度的问题，加强其挑战性，实现每个学生不同程度的提高。

对高中函数教学模式进行改革创新，不仅适应了社会教育发展的基本趋势，而且也是提高学生综合能力的需求。通过在函数教学模式中，采用多种教学方式，如将竞赛活动的方式引进函数教学，增强函数教学的实践环节等，提升学生对函数的分析问题、解决问题的能力，促使学生数学水平得到综合提升，继而提高整体的函数教学效率。

参考文献：

[1]徐志强.突破难点，多媒体助力高中数学函数教学[J].中国教育技术装备,2013,(17)．

[2]杨美.优化函数教学模式，注重高中数学基础教学[J].语数外学习(数学教育),2013,(1)．

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【关键字】几何画板；函数；整合

【中图分类号】G40-057 【文献标识码】A 【论文编号】1009―8097（2008）13―0083―03

新课程标准强调注重信息技术与学科课程的整合，指出现代信息技术的广泛应用正在对学科课程内容、学科教学、学科学习等方面产生深远的影响。“信息技术与课程的整合”是我国面向21世纪基础教育教学改革的新视点。为适应新教改和“新课标”要求，教师必须更新观念，注重教学过程中角色的转变，在学科教学中充分有效的运用各学科教育技术平台，利用多媒体信息技术来辅助呈现传统教学中不能或难以呈现的课程内容，有利于学生主动地进行培养观察、猜测、交流、实验、验证、推理等自主探究的数学活动。

几何画板是理科教学比较成熟的软件平台，它为老师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境，它能把比较抽象的几何图形形象化，使静态图形动态化、抽象的概念形象化、枯燥的内容趣味化；促进学生提高从学科的角度发现、提出、探究和解决问题的能力,加强学生的表达、交流及使用信息技术的能力，从而提高了课堂教学效率。作为信息时代的教师有必要学会使用现代化的教学工具，在适当的时候充分利用它们来辅助自己的教学过程，为学生创设丰富多彩的教学情境，增设疑问，巧设悬念，激发学生获取知识的求知欲，充分调动学生学习的积极性，使学生由被动接受知识转为主动学习，积极配合课堂教学，主动参与教学过程，弥补传统教学方式在直观感、立体感和动态感等方面的不足，为教师突出教学重点，突破教学难点，提高课堂效率奠定了坚实的基础，从达到课堂教学最优化；几何画板平台正好是能帮助老师有效地达到这一教学效果的课件制作平台之一。

一 函数教学

函数是高中学数学中最基本、最重要的概念，函数的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分，是高中数学课程的知识主线，在学生现有的认知及传统教学环境条件下，学生所接触到的函数一般都是函数解析式固定、函数图像不变的情形，怎么样才能让学生更好的理解和掌握含参变量函数的性质、图像随参数动态变化的过程，以及对函数中抽象数学符号的理解和掌握？这些都是传统教学中难以解决的问题。

函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，即“数”与“形”结合的问题，是中学数学教学的重点内容之一。对于学生来说，函数的解析式，函数的图像和函数的性质之间怎样相互联系，一直是难以理解的问题在传统教学中，由于教学手段的限制，只能画出特定参数下静态的函数图像，不但不能准确反映出解析式、图像和性质三者之间的固有联系，而且还占用了大量的课堂时间。正如华罗庚所说：“数缺形少直观，形缺数难入微。”如何真正实现数形结合的思想，这也是传统教学所面临一个难题。

1 函数教学中存在的问题

在函数教学过程中，教师普遍反映：

（1） 初、高中函数知识跨度大、较抽象，分类讨论的标准很难把握。

（2） 很多函数符号对学生来说是陌生的、抽象的，能否利用已有函数知识来学习新函数，怎样建立起它们之间的联系是一个难点。

（3） 对于连续函数的图像，用传统教学中的描点作图法显得无能为力，怎样来呈现这个连续性是教学中的难点问题。

（4） 分段函数的概念、定义域、图像、以及作图过程是教学中学生难以理解和实现的问题。

（5） 函数图像的各种变换（平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换）是传统教学中老师难以呈现的问题。

（6） 含参数变量函数的图像变换及其性质（由各参数变化引起的函数图像的各种变化）也是教学过程中老师难以实现的问题。

（7） 根据函数导数的性质来研究函数单调性，极值问题属高等数学的内容，用代数与几何的方法(数形结合法)来研究很方便，但教师很难在传统教学中呈现出来。

（8） 数形结合法解题是解决数学问题的一种非常有效的方法，如应用函数图像解不等式问题，但在传统教学中教师却很难准确地将图形画出来。

（9） 在探究学习由函数图像研究函数性质时，往往需要通过观察一些特殊点来猜测某个性质，然后再证明猜测的结论，可是特殊点地寻找是传统教学中的一个难点。

（10） 由图像性质求解析式及轨迹问题是传统教学中难以实现的问题，也是学生难以理解的内容之一。

二 解决问题

面对这一系列传统教学方式难实现及讲清楚的问题，如果利用数形结合的思想，这一个个难题就能迎刃而解。几何画板正是能很好实现数形结合思想的教育软件平台之一，这也正是几何画板与高中函数教学整合的切入点，在高中函数教学中，老师可以充分利用几何画板这一特性来整合自己的教学，真正体现了让数学贴近生活，让学生动手操作的新课程理念，帮助自己化解教学难点，突破教学重点，提高课堂效率，达到最佳的教学效果。

1 利用几何画板整合高中函数教学

案例一：二次函数 的函数图像。

（1） 整合

通过几何画板与二次函数 教学的整合，利用几何画板中二次函数的图像，让二次函数顶点、对称轴、开口方向一目了然，充分呈现二次函数解析式中的二次项系数a、一次项系数b及常数项c之间的联系。

整合后，教师通过改变二次函数 中的参数a、b、c，让其值作相应的变化，从而使二次函数图像也随之作出相应的变化。通过观察这一系列动态演示过程和自己实际动手实验，学生便能轻松得出二次函数 的图像与其参数具有如下的关系：

1） 系数a与二次函数 的图像关系：拖动点a改变a值时可得：

①开口方向。当a >0时，开口向上；当a

②对称轴和顶点的位置会发生变化。

③与y轴的交点不变化。

2） 系数b与二次函数 的图像关系：拖动点b改变b值时可得：

①开口大小、方向不发生变化；

②对称轴、顶点的位置发生了变化；

③与y轴的交点不发生变化。

3） 系数c与二次函数 的图像关系：拖动点c改变c值时可得：

①开口大小、方向不发生变化；

②对称轴、顶点的位置不发生变化；

③与y轴的交点发生了变化。

（2） 知识点

二次函数 图像中，a决定开口方向和大小；a、b共同决定对称轴 ；a、b、c共同决定顶点 。

（3） 整合案例分析

1） 传统教学中手工绘制函数图像不但费时、费力、效益低，而且很难实现函数解析式中的系数改变时函数图像的变化过程。通过几何画板，不但可以快捷精确地绘制出各种函数图像，而且呈现出函数图像真正“动”起来的过程，让传统教学中只能用语言描述的情景变成了具体的、动态的图像；更重要的是可以让学生自己亲手做，亲身体验、观察，真正实现了“在做中学”，“玩中学”，在动手做的过程中发现解析式系数的变化对函数图像的影响及相互之间的联系；在这个学习过程中，既培养了学生的探索精神，又提高了学生的动手实践能力，为下一步继续学习奠定坚实的基础。

2） 通过利用几何画板来对函数教学进行有机整合，突破了以前黑板加粉笔所不能达到的动态图象变化，使学生直观感受到数形结合在学习及解题中的运用。

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3） 通过整合，学生不但可以使用几何画板来进行探究和验证性学习，而且还可能产生生成性知识。这正与布鲁纳的发现式教学理论不谋而合。

4） 通过整合，也可轻松完成诸如：三角函数、对数函数及指数学函数的各种性质的教学。

2 利用几何画板整合高中函数教学案例二

函数 到函数 的图像变化。

（1） 整合

通过几何画板与函数 教学的整合，可以形象直观得到由函数 的图像依次经变换得到的、 、的函数图像。

整合后，教师可以通过改变A、 、 、c的值，让学生观察函数图像变化，根据函数关系式，研究函数的性质，画出函数图像，再由函数图像解决求函数关系式等问题，利用这一典型的数形结合思想，学生就可以得出：

①A 改变的是图像的振幅;

② 改变的是图像的周期;

③ 改变的是图像的左右平移;

④c 改变的是图像的上下平移，以及01， 和 对应的是伸长还是缩短的关系； 对应的是左还是右，是上还是下的关系。

（2） 整合案例分析

1） 无论使用哪种方法手工绘制三角函数图像都是费时且低效的，而利用几何画板，则可以比较便捷地绘制出各种三角函数图像，并且让三角函数图像真正“动”起来，让学生通过实践观察，发现解析式系数的变化对函数图像的影响及相互之间的联系。

2） 用几何画板来讲解和研究三角函数，既突破了传统教学不能呈现三角函数图像的动态图变化过程，又克服老师只能讲一讲，学生只能想一想的机械式教学，使学生直观感受到数形结合在学习及解题中的运用。

3） 利用几何画板学生也可以亲手去绘制各种三角函数的图像，并完成其动态效果，最终实现在玩中学数学。

三 结语

通过几何画板与函数教学的整合，为教师的教和学生的学构建起了一个做数学的实验平台，利用此平台可以便捷地构造几何模型、绘制函数的图像，使学生能清晰发现数学的规律，既突出了函数教学的重点，又突破了函数教学的难点，使得一些说不清、道不明的问题迎刃而解；同时还可以用它来演示、验证学生的发现和猜测，加深学生对数学概念和内涵的理解，激起学生对数学知识和数学规律学习和探索的欲望，提高他们学习的积极性和自主性，强调了发现式学习，提高了学生的感性认识，并使之上升为理性认识，达到了新课程下研究性学习的目的，最终提高了教与学的双重效率。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.数学课程标准[M].北京:人民教育出版社,2003,5.

[2] 刘胜利.几何画板课件制作教程[M].北京:科学出版社,2004.

[3] 李庆锁,侯小华.《几何画板》在“做数学”中的应用[J],上海中学数学,2007,(7):28-29.

[4] 吴 华,胡 宁.多媒体与数学实验教学整合的探索与思考[J],电化教育,2007,(12):83-85.

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一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念.二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f:AB，使得集合B中的元素y=ax+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为f（x）=ax+bx+c（a≠0）.这里ax+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题.

类型Ⅰ：已知f（x）=2x+x+2，求f（x+1）.

这里不能把f（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值.

类型Ⅱ：设f（x+1）=x-4x+1，求f（x）.

这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x-4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则.

一般有两种方法：

（1）把所给表达式表示成x+1的多项式.

f（x+1）=x-4x+1=（x+1）-6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x-6x+6.

（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用.

令t=x+1，则x=t-1，（t）=（t-1）-4（t-1）+1=t-6t+6，从而f（x）=x-6x+6.

二、二次函数的单调性、最值与图像

在高中阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax+bx+c在区间（-∞，-］及［-，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上.与此同时，进一步充分利用函数图像的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图像学次函数有关的一些函数单调性.

类型Ⅲ：画出下列函数的图像，并通过图像研究其单调性.

（1）y=x+2|x-1|-1

（2）y=|x-1|

（3）=x+2|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系.掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图像.

类型Ⅳ：设f（x）=x-2x-1在区间［t，t+1］上的最小值是g（t），

求g（t）并画出y=g（t）的图像.

解：f（x）=x-2x-1=（x-1）-2，在x=1时取最小值-2.

当1∈［t，t+1］即0≤t≤1时，g（t）=-2；

当t＞1时，g（t）=f（t）=t-2t-1；

当t＜0时，g（t）=f（t+1）=t-2.

g（t）=t-2 （t＜0）-2 （0≤t≤1）t-2t-1 （t＞1）.

首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以给学生补充一些练习.

如：y=3x-5x+6（-3≤x≤-1），求该函数的值域.

三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维

类型Ⅴ：设二次函数f（x）=ax+bx+c（a＞0）方程f（x）-x=0的两个根x，x满足0＜x＜x＜.

（Ⅰ）当X∈（0，x）时，证明：X＜f（x）＜x.

（Ⅱ）设函数f（x）的图像关于直线x=x对称，证明：x＜.

解题思路：

本题要证明的是X＜f（x），f（x）＜x和x＜，由题中所提供的信息可以联想到：①f（x）=x，说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点；②方程f（x）-x=0可变为ax+（b-1）x+1=0，它的两根为x，x，可得到x，x与a，b，c之间的关系式，因此解题思路明显有三条：①图像法；②利用一元二次方程根与系数关系；③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导.现以思路②为例解决这道题.

（Ⅰ）先证明X＜f（x），令f（x）=f（x）-X，因为x，x是方程f（x）-x=0的根，f（x）=ax+bx+c，所以有f（x）=a（x-x）（x-x）.

因为0＜x＜x，所以，当X∈（0，x）时，X-x＜0，X-x＜0得（X-x）（X-x）＞0，又a＞0，因此f（x）＞0，即f（x）-X＞0.至此，证得X＜f（x）.

根据韦达定理，有xx=.0＜x＜x＜，c=axx＜x=f（x），又c=f（0），f（0）＜f（x），根据二次函数的性质，曲线y=f（x）是开口向上的抛物线，因此，函数y=f（x）在闭区间［0，x］上的最大值在边界点x=0或x=x处达到，而且不可能在区间的内部达到，由于f（x）＞f（0），因此当x∈（0，x）时f（x）＜f（x）=x，即x＜f（x）＜x.

（Ⅱ）f（x）=ax+bx+c=a（x+）+（c-）（a＞0）

函数f（x）的图像的对称轴为直线x=-，且是唯一的一条对称轴，因此，依题意得x=-，因为x，x是二次方程ax+（b-1）x+c=0的根，根据韦达定理得，x+x=-，x-＜0，x=-=（x+x-）＜，即x=.

二次函数有丰富的内涵和外延.作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力.

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1.对于高中函数的认识误区仍旧存在

高中函数是基于初中函数知识上的延伸和拓展，它主要针对的两个变量不再是x与y之间的简单关系了，而是演变成了在一定的变换法则f的作用下两个集合之间的对应关系，这是对于函数知识的扩展，是囊括了除去空集之外的一种集合的对应关系.这种对应关系在特定的f法则下由两个变量的相互对应表现出来，比如：f（x）=log2（x2-1）的形式.想要正确的认识和把握函数，并且做到能够熟练的运用函数的知识来解决实际的问题，就必须正确的认识函数的概念，把握函数中两个变量的相互作用的关系.但是不可否认的是，在实际的学习过程中，仍旧存在相当数量的学生无法独立的认识和掌握到函数的概念，最简单的例子就是，在解决函数的实际应用问题的过程中，学生的解题思路总是会忽略到两个变量集合的限制条件，由于无法准确的把握变量本身的取值范围，最后导致了解题答案的不准确.

2.对于高中函数的认识片面化与表面化

在高中数学函数的学习中，对于理论知识的学习和掌握是深入学习函数知识的阶梯，一般情况下是在文字的叙述后会利用公式的方式表现出来的，比如说：f（-x）=-f（x）和f（-x）=f（x）就是奇函数和偶函数关系的表达方式.但是现在的学生对于概念的认知只是停留在公式的表面，无法真切的理解到其中的本质涵义.对于奇函数和偶函数来说，公式的涵义就是奇偶函数对称性的象征.

二、正确把握高中数学中函数的解题技巧的重要性和必要性

数学不仅仅是学校设置的一门课程，它与人们的日常生活更是息息相关，甚至于在整个经济社会中都是基于数学问题的缩影，一个简单的社会现象就可能蕴含着无尽的、严谨的数学知识.比如：卡迪尔坐标理论的提出，将变量这个名词引入到了数学领域中，创造性的完成了几何问题与代数问题之间的转换，为微积分的出现奠定的辩证性的理论基础.同时，应用性强是数学的另外一个特性，而且数学与其他学科之间的密切联系更是方便了我们的生活.卡迪尔的理论由数学领域延伸到了其他的各个学科，为它们的发展创新提供了理论的支撑.对于数学知识的学习来说，高中数学是培养学生数学思维，提高数学解题能力的关键阶段.函数作为贯穿高中数学知识的重点和难点来说，培养函数的解题思路，提高函数的解题能力，充分的发挥学生的数形结合分析问题的水平，准确把握高中数学中函数的解题技巧，在解决相关的函数问题中具有重要的作用和意义.

1.正确把握高中数学中函数的解题思路是培养学生数学思维方法的途径

学习和把握高中数学中函数的解题技巧并不是以得到最终的函数问题的答案为目的的，而是以达到培养学生数学思维方法，形成对于数学问题思考的一种发散性、创新性思维方式为主要引导的方式.对于函数问题的解决，注重的并不是最终的结果，而是培养在解题的过程中独立思考的能力，把所学到的知识能够吃透，掌握必要的解题方法至关重要，做到灵活的运用，起到举一反三的作用，掌握一道函数题的解题思路就意味着类似的数学函数题目我们都了然于心，是我们学习函数知识的科学方法.波利亚曾经说过，加强解题能力的训练，解题的思路和过程尤为的重要，解题的价值不是答案本身，而是在于弄清怎样想到这个解法的；是什么促使你这样想、这样做的.例如：设f（x）=x/2+A，函数f（x）的反函数f-1（x）=Bx-5，那么A、B的值是多少？针对于这类问题，我们的解题思路首先需要明白的是函数和反函数之间的相互关系，这就需要我们准确的把握和理解函数和反函数的概念，就本例来说，f（x）=x/2+A的反函数就是f-1（x）=2x-2A，由此我们不难得出A与B之间的关系，最后即可得出A为5/2，B为2.这就是函数的技巧在解题过程中的实际应用.

2.正确的把握高中数学中函数的解题思路是提高数学应用能力的保证

著名数学教授严士健指出，培养学生的数学应用意识是应用数学知识，解决实际问题的关键.数学的价值就是在实际的应用中体现出来的.在高中数学函数的学习中，解题思路是提高数学应用能力的保证，在学习过程中我们要注意函数思想的转换，方程f（x）=x2-1的涵义即为y=f（x）在运动中的所呈现出来的点的集合.

提高数学应用能力还表现在高中数学中函数的解题思路中，利用数形结合的方法提升学生自主分析问题和解决问题的能力，培养善于观察和转化思想的意识，把所学到的知识融会贯通.比如：函数f（x）=1-1x-1的图象是（ ）.很明显这是对于关于f（x）=1/x的图象的考查，我们可以理解为将函数f（x）=1/x的图象向右平移一个单位之后，关于x轴进行翻转，再上移一个单位，我们在推敲之后，答案很容易就会得出.

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摘 要： 抽象函数集函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、对称性、周期性和图像等性质于一身，题型丰富多样，方法灵活巧妙，是高考的常客.学生在解决这类问题时，往往会感觉无从下手，思路受阻，尤其是高一新生，答题正确率很低.作者就抽象函数这类问题，根据高一学生的学习情况和学习特点，谈谈对抽象函数的看法.

关键词： 抽象函数 高一新生 函数性质

对于刚刚步入高中的新生而言，在各科学习中，以数学学习为最难，而数学中又以函数为最难，而函数中又以抽象函数最为难.学生普遍感觉抽象函数实在是太“抽象”了，无法捕捉住它的性质和特点规律，解题是往往会感觉无从下手，障碍重重.本文将从七个方面对抽象函数进行分析，概括高一阶段对常考的抽象函数的一些基本性质和基本题型.

一、定义域

解决抽象函数的定义域问题，一定要明确定义域的含义，通常采用等价转换的方法予以解决.

例1：若函数f（x）的定义域为（0，1），则函数f（x+1）的定义域为？摇？摇？摇 ？摇？摇？摇？摇.

分析：因为f（x）的定义域为（0，1），所以x+1整体的范围也为（0，1），从而x∈（-1，0），所以函数f（x++1）的定义域为（-1，0）.

例2：若函数f（x+1）的定义域为（0，1），则函数f（x）的定义域为？摇？摇？摇？摇 ？摇？摇？摇.

分析：因为f（x+1）的定义域为（0，1），所以x+1整体的范围也为（1，2），所以函数f（x）的定义域为（1，2）.

二、值域

解决抽象函数的值域问题，通常抓住函数的定义域和对应法则，进而确定值域，有时也可借助图像的平行移动进行分析.

例3：若函数f（x）的值域为（0，1），则函数f（x+1）的值域为？摇？摇？摇 ？摇？摇？摇？摇.

分析：（法1）因为函数f（x）的x与函数f（x+1）的x+1的范围是一样的，且对应法则也相同，所以函数f（x+1）的值域也是（0，1）.

（法2）将f（x）的函数图像水平向左移动1个单位，会得到函数f（x+1）的图像，因此函数的值域相同.

三、解析式

观察条件中变量的形式，寻找关联性，采用赋值等形式建立方程组，从而解出解析式.

例4：若函数f（x）满足：f（x）+2f（■）=x，则函数f（x）的解析式为？摇？摇？摇？摇？摇 ？摇？摇.

分析：在f（x）+2f（■）=x中，以■代替x，得到f（■）+2f（x）=■，建立方程组

f（x）+2f（■）=xf（■）+2f（x）=■，解得f（x）=■-■.

四、利用某些函数为背景，类比迁移

某些抽象函数可以寻找出相应的初等函数作为背景，从而起到启发思维的作用，进而成功地解决函数的单调性、奇偶性等性质.

幂函数：f（xy）=f（x）f（y） 正比例函数：f（x+y）=f（x）+f（y）

指数函数：f（x+y）=f（x）+f（y） 对数函数：f（xy）=f（x）+f（y）

例5：若函数f（x）满足以下条件：①当x>0时，f（x）>0；②对任意的x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，试判断函数f（x）的单调性.

分析：（这类抽象函数，可以用正比例函数为背景，如f（x）=x，启发思维.）

任取x■，x■∈R，且x■

因为x■-x■>0，所以f（x■-x■）>0，故-f（x■-x■）

五、对称性、周期性

1.对称性重要结论

（1）y=f（-x）与y=f（x）的图像关于y轴对称；

（2）y=-f（x）与y=f（x）的图像关于x轴对称；

（3）y=-f（-x）与y=f（x）的图像关于原点对称；

（4）若f（m+x）=f（m-x）恒成立，则y=f（x）的图像关于直线x=m对称；

（5）若f（a+x）=f（b-x），对任意x∈R恒成立，则y=f（x）的图像关于x=■对称.

2.周期性重要结论

（1）对于非零常数A，若函数y=f（x）满足f（x+A）=-f（x），则函数y=f（x）必有一个周期为2A；

（2）对于非零常数A，函数y=f（x）满足f（x+A）=±■，则函数y=f（x）的一个周期为2A；

（3）函数y=f（x）有两根对称轴x=a，x=b时，那么该函数必是周期函数，T=2|a-b|.

高一数学教材知识量比起初中明显增加，理论性明显增强，尤其是抽象函数内容，对理解要求很高，不动一番脑子，就难以掌握知识间的内在联系和区别.所以，对于高一新生而言，在学习这一块内容时，一定要多学多练多想多问，这样，才能更好地掌握抽象函数的常见性质及基本解题思路和方法.

参考文献：

[1]蔡亲鹏.数学教育学.浙江：浙江大学出版社，2008.10.01.

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一、正切函数在物体平衡问题中的应用

例1一块长木板倾斜放置，与水平面间的倾角为θ.当一个质量为m的木块沿着长木板匀速下滑时，试求：木块与长木板间的动摩擦因数μ多大？

分析与解木块沿着长木板匀速下滑时受力如图1所示，且三力的合力为零，则有

N=mgcosθ，f=μN=mgsinθ.

因此有mgsinθ=μmgcosθ,得μ=tanθ.

点评当物体沿斜面下滑时，比较μ和tanθ的大小关系就可以判别物体运动情况.例如：假设斜面的倾角θ＝37°，当μ=tan37°=0.75时，物体就沿斜面匀速下滑；当μ=0.5tan37°=0.75时，物体就沿斜面向下匀减速下滑直至停止.另外，我们也可以利用上述现象来测定两物体间的动摩擦因数：只要通过调节斜面的倾角θ，恰好做到使物体沿斜面匀速下滑，测出其倾角θ，即得到动摩擦因数为：μ=tanθ.我们把此时斜面的倾角θ又称之为“摩擦角”.

二、正切函数在临界问题中的应用

例2有一质量为m的物体静止放在水平地面上，物体与水平地面间的动摩擦因数为μ.现用一个与竖直方向成θ角的推力F去推物体，如图2所示.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.试讨论当θ角满足什么条件时，无论用多大的推力F都不能推动物体？

分析与解物体受力如图3所示，要推不动物体，有：Fx≤fmax，即Fsinθ≤μN=μ(mg+Fcosθ),得到 F(sinθ-μcosθ)≤μmg.

无论推力F多大，要使此式成立，必须有：sinθ-μcosθ≤0, 即 tanθ≤μ.

点评由此可见，无论推力F多大，要使物体都处在静止状态，即物体不会被推动，也就是发生“自锁”现象.因此发生“自锁”现象的条件是：推力与竖直方向的夹角满足tanθ≤μ.

三、正切函数在动力学问题中的应用

例3如图4，一个质量为m的小球用细线悬挂于车厢顶板上，当车厢以加速度a向右做匀加速运动时，则细线偏离竖直方向的角度θ为多大？

分析小球受力如图5所示，由牛顿第二定律得mgtanθ=ma,则tanθ=ag.

四、正切函数在平抛运动中的应用

例4一个质量为m的小球以水平初速度v0抛出，不计空气阻力，最后垂直撞在倾角为θ的斜面上，求小球在空中飞行的时间为多少？

分析小球做平抛运动，其轨迹如图6，最后小球垂直撞在斜面上，即其速度方向与斜面垂直，而速度v是由水平速度vx和竖直速度vy组成，则有tanθ=vyvx=gtv0,所以小球在空中飞行的时间为t=v0tanθg.

点评对于平抛运动，首先想到将运动分解到水平方向和竖直方向来研究.而最后小球垂直撞在斜面上，则表明了运动的速度方向与斜面垂直，由图可以发现其三角形中的两个分速度与角θ的关系，利用正切函数得解.

五、正切函数在偏转电场中的应用

例5两块长度为L的金属板水平、平行相对放置，相距为d，如图7所示，两金属板与一个电源相连，使两板带上等量异种电荷，在板间形成一个沿竖直方向的匀强电场，其电场强度大小为E.有一带电量为q、质量为m的带正电的粒子，以水平速度v0从左侧垂直电场方向射入两板之间，不计带电粒子的重力，试求

（1）带电粒子离开电场时的偏转距离为多大？（2）带电粒子离开电场时的偏转角为多大？

分析与解带电粒子在电场中只受到电场力作用，因而做类平抛运动，故将运动分解到：沿垂直于电场方向做匀速运动，速度为v0.

沿电场方向做匀加速直线运动，加速度为a=Fm=qEm.

所以有L=v0t,vx=v0,y=12at2,vy=at.

带电粒子离开电场时的偏转距离为y=qEL22mv20.

带电粒子离开电场时的偏转角为tanθ=vyvx=qELmv20.

点评带电粒子在电场中做类平抛运动，其分析、处理问题的方法与平抛运动的研究方法相似，都采用运动的分解方法.带电粒子在电场中发生偏转，对于所发生偏转距离以及偏转角的问题，经常涉及到正切函数.并且由上述两个结论我们进一步发现，带电粒子离开电场时的偏转距离与偏转角之间的关系有y=L2tanθ，即：带电粒子离开电场时速度的反向延长线与初速度的交点位于板长的中点.对于一些特殊的结论，我们如果能熟练地掌握并加以适当地利用，对我们解决有关物理问题，提高解题的速度，增强解题能力会大有帮助.

六、正切函数在图象问题中的应用

物理图象具有形象、直观、简洁明了的特点，它能形象直观地展示出物理情景以及各物理量间的函数关系.应用物理图象来解题可以起到简便快捷，使较为复杂的问题变得形象易懂.通过理解、分析图像能帮助我们弄清具体的物理过程，构建物理情景，探寻物理量之间的函数关系，达到数与形相结合.物理图象不仅是分析、计算的工具，而且对于物理概念和规律的形成以及运用物理知识来解决实际问题.同时，图像问题也是当前高考热点和重点.在许多情况下，由于物理量间是线性函数关系，其物理图象往往可用一条直线来表示，解题时经常涉及到直线倾角的正切函数（即直线的斜率）.

例如，物体做匀速直线运动时我们会用到位移-时间的图象（x-t图象）如图8所示，反映物体的位移随时间的变化关系，其斜率表示物体运动的速度，tanθ=ΔxΔt=v；物体做匀加速直线运动时，用到速度－时间的图象（v-t图象）如图9所示，反映物体运动的速度随时间的变化关系，则斜率表示物体运动的加速度，tanθ=ΔvΔt=a.

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关键词：函数；抽象；思维；策略

中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2012）13-070-1

一、高中生陷入函数学习困境的原因

1.函数知识体系的复杂。函数概念包含两个本质属性（变量和对应法则）及一些非本质属性（如集合、定义域、值域等），还有函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。中学数学的函数又包含：对数函数、指数函数、幂函数、三角函数、导函数和函数列（离散型函数）等多种类型。同时函数还涉及到很多的子概念，如映射、非空数集、变量（包括自变量、因变量）、定义域、值域、象、原象、对应、对应法则等。这些构成了函数的复杂知识体系。

2.“变量”概念的复杂性和辩证性。“变量”是函数概念的本质属性。“变量”的关键在于“变”，而“变”在现实中与时、空相关联，但在数学中对时、空是没有界定的。另外，数学中的“变量”是变化的、不确定的，而数学中的变量则包括常量，是确定的。由于日常的变量概念对学生的干扰，使很多学生认为“Y=3中，Y的值不会随X的变化而变化，它不是函数”。函数概念中变量的意义具有一般性，它可以是数、点、有形之物，甚至也可以是无形的。在教学实践中，教师往往没有把“变量概念的理解”作为教学难点，课堂上只是给出变量（自变量、因变量）这个词，而没有关注学生是否真正理解了变量的内涵。如果不能够理解好变量的概念，必会影响学生对函数概念的理解。

3.函数的表征形式丰富多样。函数主要的七种表征类型有：①解析式；②图像式；③表格式；④集合箭图式；⑤函数机器式；⑥序偶式；⑦通俗语言式。这七种类型还有很多变式，在解题过程中，要求学生在这几种类型间能灵活地转换，需要把抽象思维和形象思维结合起来，这对高中生而言，无疑是一种思维上的挑战。

4.函数符号的抽象性。函数概念的符号化是函数学习的难点，y=f(x)表示了一种即是广义的又是特殊的对应关系。例如，f表示任意一个函数，但又是一个确定的函数。这种含义，学生仅从字母表面是很难理解的。另外，学生也很难通过“x”或者“y”在头脑中形成定义域，值域的概念。“f”的抽象性和隐蔽性，对学生的思维能力提出了新的高水平的要求，这也大大增加了函数学习的难度。

5.学生的思维发展。初中生以形式逻辑思维水平为主；刚进入高中学习的学生，思维刚脱离了经验型的逻辑思维，学会了对一些事物进行浅层次的抽象思考，但仍然无法上升到辩证思维阶段。这是认知发展的阶段性客观特点，这一特点限制了学生对于抽象的函数概念的理解和把握，导致在学习函数时，对函数对应变化的相依关系无法理解，进而成为高中函数学习的软肋。

二、促进函数学习的几点策略

1.着眼大局，注重早期渗透。像函数这种的核心概念，它的学习需要学生对一些相关内容有初步的认知和理解，比如：数学符号、变量的认识、变量的认识、变量间的制约关系等。因此在教学中，虽然不属于函数教学的内容，但教师应着眼于整个数学课程，有意识地逐步渗透给学生一些关于函数的视角和想法。比如：引导学生比较二元一次方程的区别。设计系列问题引导学生思考，获得变量的认识。

2.循序渐进，注意适时适度。教学中应避免急于求成，否则不仅不能帮助学生理解函数符号，反而会干扰学生起初建立起的初步认识。应着眼于整个数学课程，逐层深入，甚至于还需要循环递进。函数知识体系虽复杂，但是它们之间环环相扣，有很强的逻辑联系，例如函数单调性，函数奇偶性都是有助于函数结构属性的认识的。函数学习的早期尤其要注意循序渐进，使学生把函数的基础知识掌握好。若妄图“一口吃成个胖子”，就会像一座基石不稳的大厦，面临倒塌的危险。

3.促进概念的理解。首先，好的问题解决过程，能有效地促进学生对概念的理解，数学的学习很大程度上是在做题的过程中得以完成的。在讲解解题过程的时候，要注意渗透到函数概念的理解，淡化解题程序，这不仅有助于学生弄懂函数的基本概念，更有助于学生形成函数概念与问题解决策略之间的关联。其次，是知识网络图的建立。通过建立数学概念的知识网络图，便于学生在旧的概念基础上接受新的概念，形成新旧知识的整合，不仅有利于记忆，也利于知识的应用。

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关键词：高中数学函数；数形结合；思想渗透；教学；原则；方法策略

所谓数学思想就是对数学理论与数学事实的本质认识及融合，它具有高度的抽象性与整合概括性。可以说，数学概念体现数学思想，数学思想概括数学概念，二者相辅相成。有学者就认为，数学思想就是一种理性认识，它是对数学知识及方法的本质阐述，属于基于数学规律阐述的理性认知范畴。在高中函数教学中，教师应该渗透更多数学思想，而不是单纯教学数学方法，这对学生更深层次掌握并灵活运用函数知识非常重要。

一、关于“数形结合”的应用原则

数形结合拥有自己独立的思考体系，它除遵循最基本的数学教学思想原则外，还遵循以下两点原则：首先就是等价性原则，它表示数的代数性质应该与形之间形成几何直观间转化，二者应该呈现等价关系，换言之问题中所反映的数与形必须拥有一致性。举例来说：问在方程[x13=2sinx]中有多少个实根？在做该题目前学生需要制作函数[y=x13、y=2sinx]的函数图，由于两个函数都属于奇函数，所以学生只需要做[x≥0]的函数图部分即可。这就是数形结合思想渗透给学生的学习意识，学生必须明确函数学习中各个函数的基本性质、特征，然后根据题目所提出的条件来作出回应，节省解题时间，这也是对学生函数基础知识的一次考察，是对等价性原则的最好诠释。

其次是简单性原则，它代表了学生所必须学会的数形转换能力，即学生在转换函数曲线与数学方程时要尽量让几何图形清晰美观，而让代数计算更加简单明了。再举例来说，假如有函数[fx=ax-x-a（a>0且a≠1）]，函数中有两个零点，求a的取值范围。

该题目在解答时应该给出条件[gx=ax（a>0且a≠1）hx=x+a]，然后给出[a>1]和[0

[O][x][y][1][01]

图 [01]时函数图像（右）

由于函数方程中具有两个零点，所以这就说明在函数[gx、hx]中就有对应的两个不同交点。从对图1的观察中可以发现，当[a>1]时是符合题目要求的，所以实数[a]的取值范围应该是[a>1]。

通过对此题的解析可以发现，自变量x应该在指数位置，如果运用一般代数方法可能无法解题，如果采用数形结合思想解题，就可以将题目简单化，将抽象的代数形式转化为直观的函数曲线图形，这就遵循了数形结合所倡导的简单性原则，利用几何图形解释了函数代数运算中的深刻规律。

二、在高中函数数学教学中渗透数形结合思想的教学策略

函数教学具有一定复杂性和系统性，利用数形结合思想渗透方法是希望将教学过程简易化，进而加深学生对学习内容及过程的认识，体现数形结合渗透思想的有效性。为此，本文希望给出两点教学策略，希望帮助高中生更好学习函数知识。

（一）强化高中数学函数的多种表征方式与转换

传统高中函数教学中，数与形的教学学习过程与理解过程都是分开的，并没有实现有机结合，但实际上其教学过程中是存在函数文字、图形及符号的三语言转换过程的。因此如果仅以概念中的数形分离理解来教导学生必然会让他们对函数性质及解题方法产生歧义，难以深刻并全面理解知识内涵。基于此就必须帮助学生真正掌握有关函数的基本性质，特别是培养他们实现函数中3种语言有效转换的解题能力。举例来说，在“函数的单调性”一课教学过程中，教师就可以首先提出定义“如果对于区间I内的任意两个函数值[y1、y2]，当[y1

（二）重视函数模型之于教学的重要作用

如何将函数知识留在学生脑海里，教师可以采用函数模型来实现这一教学思路，这也是一种典型的数形结合方法。为学生树立模型概念，一方面可以将函数中许多抽象的思维概念具象化，一方面也能帮助学生记住函数模型，让他们每当解题时就将模型与题目联系起来，形成良好的解题思路，例如从几何直观角度来把握函数，激发学生对函数学习的兴趣，同时也鼓励学生自己画简单的函数模型，将数形结合思想切实反映到函数学习当中，观察函数的变化过程。

比如说，高中所学习的“双勾函数”[y=x+ax]中，许多学生都不知道该函数的来历，此时教师可以引导学生画出[y=x+1x]函数的图像，再配合几何直观角度来理解该函数，最后研究双勾函数的相关图像。另外，也可以根据D像观察来让学生明白双勾函数的基本变化状况与性质，再引导他们通过代数角度来验证函数。如此方法教学可以让学生深刻记住双勾函数及其它的函数模型，进而逐步实现对函数本质的深层次理解，在潜移默化中培养学生数形结合的能力，也体现了渗透数学思想对于高中函数教学的重要性。

三、总结

本文简单描述了有关高中数学函数教学中的数形结合数学思想渗透方法，并阐述了它对于提高函数教学质量的重要作用。作为教师应该明确突出“数形对应、数形转化以及数形分工”在教学过程中的应用和衔接过程，以全局着眼来提高函数教学层次水平，为学生深层次理解函数知识提供了优良条件。

参考文献：