三角函数范文

导语：如何才能写好一篇三角函数，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

三角函数与函数交汇的试题是近两年常考题型，主要以选择题形式呈现，用来考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力，难度较大.

■

解答三角函数与函数交汇的试题时，需要充分运用三角函数的奇偶性、周期性和对称性，并结合函数性质的定义进行讨论；要尽量作出所要求函数的示意图，从数形结合的角度考虑问题会更直观.

■

■ 函数y=■的图象大致为（ ）

■

A B

■

C D

破解思路 本题应从奇偶函数图象的对称性和极限思想的角度来排除选项. 由于函数y=■为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A，利用极限思想（如当x0+时，y +∞）可排除B，C，从而得到答案D.

经典答案 令y=f（x）=■，因为f（-x）=■=-■=-f（x），所以函数y=■为奇函数，所以其图象关于原点对称，可排除A；又当x0+时，y+∞，故可排除B；当x +∞时，y0，故可排除C；而D均满足以上分析. 故选D.

■ 设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3. 又已知函数g（x）=xcos（πx），则函数h（x）=g（x）-f（x）在-■，■上的零点个数为（ ）

？摇A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

破解思路 利用函数的奇偶性与函数的解析式，求出x∈0，■，x∈■，■时，g（x）的解析式，推导出f（0）=g（0）， f（1）=g（1），g■=g■=0，画出函数的草图，判断零点的个数即可.

经典答案 因为当x∈[0，1]时，f（x）=x3.又当x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]，所以f（x）= f（2-x）=（2-x）3.当x∈0，■时，g（x）=xcos（πx）；当x∈■，■时，g（x）=-xcos（πx）. 注意到函数f（x），g（x）都是偶函数，且f（0）=g（0）， f（1）=g（1）=1，g■=g■=0，作出函数f（x）和g（x）的草图（如图1），函数h（x）除了0，1这两个零点之外，分别在区间-■，0，0，■，■，1，1，■上各有一个零点，共有6个零点，故选B.

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图1

■

已知函数f（x）=4x3-3x2sinθ+■的极小值大于零，其中x∈R，θ∈[0，π].

篇2

那么，三角函数有没有笔算可以解决的方法呢？带着这样的思考对一些三角函数的算法进行了一些小结，供大家一起研讨：

正弦和余弦的较为精确的算法：

众所周知，在数学里有一个重要的公式：cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB。从这个公式里我们可以看出每个函数值之间都有存在着一定的联系，那么这个联系是什么呢？通过这个联系能否找到笔算解决的办法呢？归根结蒂这个联系就是上面的公式，因为通过此公式可以从一个函数值推出其它三角函数值，也就是所谓的另种笔算解法。

经上面介绍，大家大概可以明白这个解法是利用所推出公式来计算的，但是不是要推出并记住所有的公式呢？大可不必，只需9个就可以了，

即：C2=2C2-1

C3=C（4C2-3）

C4=8C2（C2-1）+1

C5=C（16C4-20C2+5）

C6=2C2（4C2-3）2-1

C7=（1+C）（8C3-4C2-4C+1）2-1

C8=2（8C4-8C2+1）2-1

C9=C（4C2-3）[（4C2-3）2-3]

C10=2C2（164-20C2+5）2-1

（注：C=cosA，C2=cos2A……C10=cos10A）

另外再记住1°，1′角的余弦值就可以使用了，

即：cos1°=0.99984769516

cos1′=0.999999957692807

例如：求cos76°的值？

解：1.通过1°的余弦值利用C6，C7公式求出6°，7°的余弦值。

2.把7°角余弦值代入公式求出70°角的余弦的值。

3.通过cos（A+B）的公式把70°角的余弦值和6°的余弦值相加，即：cos76°的值。

若求正弦，正切，余切的值可通过以下公式：sinA=cos（90°-A），sinA（1- cos2A）-2，taA=sinA/cosA，ctg=cosA/sinA，可以看出，使用这种方法可以求解，但需要太多的公式，且公式中有许多二次，三次，四次方运算，计算的数值也多有重复，运算过程过于繁杂等等，若想来方便的利用它，只有把这些公式编成程序办入到计算机中使用了，那么如何利用它在笔算中简便的使用呢？

正弦和余弦在实际中又有哪些应用呢？我们用一个具体的例子看看。

例：求sin33°33′=？（注：有些数字仍需开平方，大家不妨学一下笔算开平方的方法，具体解法请参考初二代数157页）

解：sin33°=sin（30°+3′）。

=0.5×（1-0.05232）-2+0.8660×0.0523=0.5446

sin33°=sin（30°+33′）。

=0.5446+（1-0.54462）-2×33×2.909×10-4

=0.5526

可以看出，这种方法基本上达到了笔算要求，运算相对也比较简便。

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关键词：三角函数；定义域；性质；周期

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）15-0126

一、关于三角函数的定义域、解析式、值域

由象限角引入的正弦函数，使我们面临两个直角坐标系――象限角所在的直角坐标系与的图象所在的直角坐标系，这两个“系”中，此 x非彼 x，此 y彼 y，此“象限”也非彼“象限”，在教学之初，应明确指出期间的联系与差别，以避免学生混用 。

多对一的（函数）对应关系，学生并不是第一次接触，他们最为熟悉的“多对一”函数模型，是二次函数，但二次函数之“多”，最多为两个，与正弦函数之“无穷多”还是不能同日而语。所以，在最初教师做正弦函数图象时，要多画几个周期，以帮助学生较好的建立“无穷多对一”的直观形象记忆 。

正弦函数的值域为有限区间，我们在处理与值域有关的问题时，要注意引导学生与以前常见的值域有限制的函数（如：反比例函数、（定义域为有限区间的）二次函数、指数函数等等）研究同类问题时的常用方法做比较，以促进前期学习内容的正迁移 。

例：求函数y=sinx+cosx+sin42x的值域。

二、关于三角函数的图象

由于前期学习，在单位圆背景下学生对正弦函数的图象有了初步的认识，所以，与以往用“描点作图”的方法做出函数图象相同的是：我们会根据对定义域、函数性质的分析选点作图；比较特殊的是我们可以利用三角函数线这一数形结合的工具来实现选点、描点、连线等步骤。

与前期学习一样，我们会关注图象的几何特征。特别的，正弦函数的对称点、对称轴、平衡轴等图象特征，将在正弦型函数图象研究中再次起到关键作用，所以，我们可以在研究正弦函数图象性质时为后期的学习做好铺垫。

例：已知函数的部分图象，如图所示。

（1）求ω、φ的值；

（2）求函数的对称轴方程和对称中心坐标。

三、关于三角函数的周期

在三角函数这一章中我们知道y=Asin（ωx+φ）（x∈R，Aω≠0，（A，ω，φ）为常数）与y=Acos（ωx+φ）（x∈R，Aω≠0，A，ω，φ为常数）这些三角函数的周期。那么，三角函数y=Asinn（ωx+φ）与y=Acosn（ωx+φ）（x∈R，Aω≠0，A，ω，φ为常数）的周期又是怎样的呢？

定理1 函数y=sinnx（x∈R）。当n为偶数时的周期为kπ，（k∈Z，k≠0），最小正周期为π；当n为奇数时，周期为2kπ，（k∈Z，k≠0），最小正周期为2π；函数y=cosnx（x∈R）。当n为偶数时的周期为kπ，（k∈Z，k≠0），最小正周期为π；当n为奇数时，周期为2kπ（k∈Z，k≠0），最小正周期为2π。

证：易证y=sinnx（x∈R）是周期函数（显然2π为其一个周期）。

设k（k≠0）为y=sinnx（x∈R）的周期。

由周期定义知sinnx= sinn（x+k）（x∈R）（1）

当n为奇数时，（1）成立的充要条件为sinx= sin（x+k）（x∈R），

即k=2mπ（m∈Z，m≠0）最小正周期为2π。

所以当n为奇数时，函数y=sinnx（x∈R）。的周期为2mπ（m∈Z，m≠0），最小正周期为2π。

当n为偶数时，（1）成立的充要条件为sinx=sin（x+k）（x∈R）。

所以当n为偶数时，y=sinnx（x∈R）。的周期为mπ（m∈Z，m≠0），最小正周期为π。

同理：函数y=cosnx（x∈R）的周期也成立。

当然一些比较简单的我们也可以用降低函数的次数来求函数的周期，不过我们在降低次数的时候千万不能出错，不然就会功亏一篑。

四、关于三角函数的性质

周期性与单调性、奇偶性的不同点在于周期性的概念叙述，是“存在性”命题，一般来说，利用“存在性”来判定给定函数是否具有满足命题的特征时，比较困难。特别的，对学生将要接触的组合或复合型函数，要想利用周期性符号语言的概念来判定、证明其是否满足周期性，是否存在最小正周期，有些问题将相当困难。但是，若能通过图象变换等方法，做出待判定的函数图象，则判断函数是否存在周期性、求出函数的最小正周期往往就比较容易。

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1、高中三角函数公式主要有tana·cota=1sind·cscd=1cosa·seca=1，sind/cosd=tand=secd/csca cosa/sind=cotd=cscd/seca等。

2、三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

（来源：文章屋网 ）

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目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

过程：一、提出课题：“三角函数”

回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。

二、角的概念的推广

1.回忆：初中是任何定义角的?(从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形)这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”

2.讲解：“旋转”形成角(P4)

突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”

“始边”往往合于轴正半轴

3.“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

记法：角或可以简记成4.由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1°角有正负之分如：a=210°b=-150°g=-660°

2°角可以任意大

实例：体操动作：旋转2周(360°×2=720°)3周(360°×3=1080°)

3°还有零角一条射线，没有旋转

三、关于“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限)

例如：30°390°-330°是第Ⅰ象限角300°-60°是第Ⅳ象限角

585°1180°是第Ⅲ象限角-2000°是第Ⅱ象限角等

四、关于终边相同的角

1.观察：390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边相同

2.终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和

390°=30°+360°-330°=30°-360°30°=30°+0×360°1470°=30°+4×360°-1770°=30°-5×360°3.所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合

即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和

4.例一(P5略)

五、小结：1°角的概念的推广

用“旋转”定义角角的范围的扩大

2°“象限角”与“终边相同的角”

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三角函数辅助角公式总结：asinx+bcosx=√(a2+b2)sin[x+arctan(b/a)]。在数学中，辅助角是指三角代换中收缩变换的代表辅助角公式asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+φ)，其中tanφ=b/a。

三角函数是角的函数，它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

（来源：文章屋网 ）

篇7

关键词：几何画板 三角函数 动态演示

在新课程改革的大背景下，如何充分应用信息技术服务教学成为了我们每个教育工作者必须关心的话题。在传统的三角函数教学中，基本上都是使用常规工具（如粉笔，圆规或直尺等）画图，所作的图形是静态的，具有一定的局限性；而在数学中很多关系和规律是在变化中被发现和掌握的，传统的教学没有变化过程，无法展现图形变化的任意性，从而不利于规律的发现。本文将通过三角函数教学中的两个案例，展示几何画板辅助三角函数教学所具有的独特优势，让三角函数教学"动"起来。

案例1：借助几何画板形象说明y=sinx是以2π为周期的周期函数

在人教版数学必修4《第一章三角函数》这一章中，如何理解"三角函数的周期性"是教学的重点，也是教学的难点，正确理解三角函数的周期性对于学生在三角函数的学习中有着举足轻重的地位。数学概念都是死的，是不能再创造的。传统的教学对三角函数的周期性这一概念往往是让学生死记，再机械应用，但随着时间的推移，学生的记忆就会很快的被遗忘。而事实上，对三角函数的周期性这一概念的教学应该关注学生的学习过程，提供足够的材料、时间和空间，让学生通过观察、比较、交流、讨论等活动来完成。几何画板对于达到上述目标具有先天的优势，借助几何画板的"平移图像"功能，通过数形结合很好的向学生展示了三角函数在每个周期上的函数图像是一样的。

下面以y=sinx为例，向学生展示y=sinx是以2π为周期的周期函数，绘图步骤如下：

①建立直角坐标系xOy，执行"图表-定义坐标系"。在直角坐标系xOy中作出函数y=sinx的图像：执行"图表-定义坐标系"，"图表-绘制新函数-函数-sin-x"。

②在画板中任取点P，以点P为

坐标原点建立新的直角坐标系，如

应用1，作出y=sinx在区间[0，2π]

上的函数图像。选中该图像，执行

"编辑-操作类按钮-隐藏/显示"，

生成按钮显示轨迹。图一

③在x轴上绘制点A(-2π，0)、A（2π，0）。依次选中点P、点O，执行"编辑-操作类按钮-移动"，生成按钮还原；依次选中点P、点A，执行"编辑-操作类按钮-移动"，生成按钮周期1；依次选中点P、点B，执行"编辑-操作类按钮-移动"，生成按钮周期2；

④隐藏所有没必要的对象,如图一。

教学时，点击按钮显示轨迹，函数在区间[-2π，2π]上的图像便以粗体的形式出现在学生面前。拉动点P，再次让学生体会y=sinx在区间[-2π，2π]上的图像。点击按钮还原，则该图像会回到原来的位置。点击按钮周期1和周期2，y=sinx在区间[-2π，2π]上的图像就会分别移动到区间[-2π，0]和[2π，4π]上，此时，学生很容易看出在这三个周期上的函数图像是一样的，依此类推，通过图像的移动等动态演示，从而使学生深刻理解三角函数的周期性这一概念。

案例2：借助几何画板探究函数y=Asin(ωx+φ)的图像

人教版数学必修4《1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像》这一章节的教学中，重点是如何让学生认清楚参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)图像的影响。为此，我们借助几何画板分别作出y=sinx与y=sin(x+φ)、y=sinx与y=sinωx、y=sinx与y=Asinx三组图像，通过改变参数φ、ω、A的值，引导学生观察参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)图像的影响。

下面，我以φ对y=sin(x+φ)的图像的影响为例，谈谈如何借助几何画板动态演示y=sinx的图像转换成y=sin(x+φ)（φ∈(-π，π)）的图像，作图步骤如下：

①作y=sinx的图像:建立直角坐标系xOy，执行"图表-定义坐标系"。作函数y=sinx的图像，执行"图表-定义坐标系"，"图表-绘制新函数-函数-sin-x"。

②作y=sin(x+φ)的图像:在x轴上绘制点M(-π，0)、N(π，0)，作线段MN。选中线段MN，执行"作图-线段上的点"，得到点P。依次选中点P与原点O，执行"变换-标记向量"。选中y=sinx的图像，执行"作图-函数图像上的点"，得到点A。选中点

A，执行"变换-平移-标记"，得到点B。

依次选中点A和点B，执行"作图-轨迹"，

得到y=sin(x+φ)的图像。

③依次选中点P、点A和点B，执行

"度量-横坐标"，得到点P、点A和点B

的横坐标xP、xA、xB，则φ=xP。

④隐藏所有没必要的对象,如图二。图二

在教学中，先将点P移至原点。演示的时候，提醒学生观察参数xP、xA、xB的变化，其中φ=xP。若将点P向x轴的负半轴移动时，函数y=sin(x+φ)的图像向右移动，此时φ=xP0。通过以上动态演示，学生不难得出以下结论:当φ0时，y=sin(x+φ)的图像可由y=sinx的图像向左平移|φ|个单位。

运用几何画板辅助三角函数的教学，不仅让三角函数教学"动"起来，而且还增大课堂容量、优化教学结构，增强学生的学习兴趣，激发学生的探究精神。同时，充分体现了"以人为本"的新课程理念，并且拓宽了数学课堂的教学形式，改变以往单一的教学手段，使数学问题更形象化，更贴近生活，为数学教育开辟了更为广阔的天地。

参考文献

篇8

1. [cos23°sin53°-sin23°cos53°]=（ ）

A. [12] B.[-32]

C.[-12] D. [32]

2. 已知[α∈（π2，π），cosα=-45，]则[tan（α+π4）]的值为（ ）

A. [17] B. [7]

C. [-17] D. [-7]

3.[tan20°+tan40°+3tan20°tan40°]=（ ）

A. [-3] B. [3]

C. 3 D. [33]

4. 若[270°

A. [sinα2] B. [-sinα2]

C. [cosα2] D. [-cosα2]

5. 若[A]是[ABC]的内角，当[cosA=725]，则[cosA2=]（ ）

A. [±35] B. [35]

C. [±45] D. [45]

6. 化简[1-sin20°]的结果是（ ）

A. [cos10°] B. [cos10°-sin10°]

C. [sin10°-cos10°] D. [±（cos10°-sin10°）]

7. 设[（2cosx-sinx）（sinx+cosx+3）=0]，则[2cos2x+sin2x1+tanx]的值为（ ）

A. [25] B. [58]

C. [85] D. [52]

8. 已知[cos2x2cos（x+π4）=][15]，[0

A. [-43] B. [-34]

C. [2] D. [-2]

9. 若函数[y=3sin2x+sinx?cosx-32]的图象关于直线[x=φ]对称，则[x=φ]可以为（ ）

A. [π4] B. [π3]

C. [5π12] D. [π2]

10. 设[α，β]都是锐角，且[cosα=55]，[sin（α+β）=35]，则[cosβ]=（ ）

A. [2525] B. [255]

C. [2525]或[255] D. [15]或[2525]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 若[cosα=-45，α]是第三象限的角，则[sin（α-π4）=] .

12. 已知对任意的[α，β]有[cosα+βcosα-β=][cos2β-sin2α]恒成立，则[sin210°+cos70°cos50°]的值等于 .

13. 已知[θ]是三角形的一个内角，且[sinθ]，[cosθ]是关于[x]的方程[2x2+px-1=0]的两根，则[θ]等于 .

14. 若[0

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）已知[cosα=35，cosβ=255]，且[α，β]为锐角，求：

（1）[sin（α-β）]的值；

（2）[tan（2α+β）]的值.

16. （10分）已知向量[a=cosα+2π，1，b=][-2，cosπ2-α]，[α∈π，3π2]，且[ab.]

（1）求[sinα]的值；

（2）求[tan2α+π4]的值.

17. （12分）在平面直角坐标系[xOy]中，以[Ox]轴为始边作两个锐角[α]，[β]，它们的终边分别与单位圆相交于[A，B]两点，已知点[A]的横坐标为[210]，点[B]的纵坐标为[55].

（1）求[tan（α+β）]的值；

（2）求[α+2β]的值.

18. （12分）求证：

篇9

一、 “给角求值”

一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察则非特殊角与特殊角总有一定的关系。解题时，要利用观察得到的关系，结合三角关系转化为特殊角，并且求出特殊角的三角函数而得解。

点评本题中“切化弦”是解题的关键，它为逆用

和角公式铺平了道路，然后通过对角的合理变换，将其转化为特殊角的三角函数值的求解问题。

二、 “给值求值”

给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数式的值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。

点评化未知角为已知角的思考，抓住了问题的本质是函数值与自变量之间的最基本的对应关系，而不是“变角”技巧。同时，在求解三角函数值时，一方面要注意角的取值情况，切勿出现增根，另一方面要关注角与角之间的关系。通过应用整体法来处理各个角，以减少问题的运算量。

三、 “给值求角”

实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含有已知角的式子表示，由所得的函数值结合该自变量的取值范围求得角。

求“动点轨迹的方程”是解析几何部分的重点和难点，我们要求学生在解答时要注意完备性与纯粹性。完备性即轨迹上一个点也不能漏掉；纯粹性即轨迹上一个点也不能增加。让很多学生头疼的是，最后求出来的曲线方程是否符合完备性和纯粹性？方程后面有没有附加条件？怎样做可以避免这类问题的错误？我们就学生作业中出现的问题来谈一谈如何有效地去掉动点轨迹中多余的点。

下面是两道学生作业题中出现的问题：求出一个轨迹方程便结束，以为完成了所有解答，却不知还有多余的点要去除。

例1 苏教版选修2-1第64页第3题：

已知动抛物线的准线为y轴，且经过点A（1，0），求抛物线焦点的轨迹方程。

学生解

设焦点为F（x，y），

由抛物线定义得AF=d=1，

代入坐标得（x-1）2+y2=1。

分析 本题的题设描述的是抛物线的焦点、准线和抛物线上一点的关系，使用定义可以建立几何等式，进一步得到代数等式，但是在使用抛物线定义时，要注意焦点不在准线上，所以本题还需要添加如下过程：

因为焦点F不在准线y轴上，所以x≠0，

所以焦点的轨迹方程为（x-1）2+y2=1，其中x≠0。

例2 苏教版选修2-1第64页第4题：

在求轨迹方程时，很多往往算出一个方程便结束，出现作业题“对而不全”的情况，求动点轨迹如何去掉多余的点，总结起来应注意以下几种情况：

1. 有些题目中含有已知曲线，如椭圆、双曲线、抛物线，它们的定义中都有附加条件，解题时要根据曲线的定义来考虑完备性和纯粹性，如例1；

2. 利用三角形的三点不共线，去掉多余的点，如例2；

篇10

例1.(2009宁夏)如图1、图2,是一款家用的垃圾桶,踏板AB(与地面平行)或绕定点P(固定在垃圾桶底部的某一位置)上下转动(转动过程中始终保持AP=A′P,BP=B′P).通过向下踩踏点A到A′(与地面接触点)使点B上升到点B′,与此同时传动杆BH运动到B′H′的位置,点H绕固定点D旋转(DH为旋转半径)至点H′,从而使桶盖打开一个张角∠HDH′.如图3,桶盖打开后,传动杆H′B′所在的直线分别与水平直线AB、DH垂直,垂足为点M、C,设H′C=B′M.测得AP=6cm,PB=12cm,DH′=8cm.要使桶盖张开的角度∠HDH′不小于60°,那么踏板AB离地面的高度至少等于多少cm?(结果保留两位有效数字)(参考数据:■≈1.41,■≈1.73)

■

图1

■

图2 图3

解:过点A′作A′NAB垂足为N点,

在RtH′CD中,

若∠HDH′不小于60°,

则■≥sin60°=■

■

即H′C≥■H′D=4■

B′M=H′C≥4■

RtA′NP∽RtB′MP

■=■

A′N=■≥■=2■≈3.5cm

踏板AB离地面的高度至少等于3.5cm.

归纳:本题以生活为背景,生活气息比较浓厚,体现了数学源于生活,生活离不开数学。解决此类问题需要正确地理解题意,从实际问题中构建直角三角形模型。

例2.(2009宁德)某大学计划为新生配备如图1所示的折叠椅.图2是折叠椅撑开后的侧面示意图,其中椅腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为使折叠椅既舒适又牢固,厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm,∠DOB=100°,那么椅腿的长AB和篷布面的宽AD各应设计为多少cm?(结果精确到0.1cm)

■

图1 图2

解法1:连接AC,BD

OA=OB=OC=OD

四边形ACBD为矩形

∠DOB=100°, ∠ABC=50°

■

由已知得AC=32在RtABC中,

sin∠ABC=■

AB≈41.8(cm)

tan∠ABC=■

BC≈26.9(cm)

AD=BC=26.9(cm)

答:椅腿AB的长为41.8cm,篷布面的宽AD为26.9cm.

解法2:作OEAD于E.

OA=OB=OC=OD,

∠AOD=∠BOC

AOD≌BOC

∠DOB=100°,

∠OAD=50°

OE=16

■

在RtAOE中,sin∠OAE=■

OA≈20.89

AB=2OA≈41.8(cm)

tan∠OAE=■,AE≈13.43

AD=2AE≈26.9(cm)

答:椅腿AB的长为41.8cm,篷布面的宽AD为26.9cm.

归纳:求椅腿的长AB和篷布面的宽AD,其解题思路是从实际问题中构建直角三角形模型,通过解直角三角形求得相应线段的长度,近而求得线段的长。新课程倡导, 在教学中,应注重所学知识与日常生活的密切联系;应注重数学自身的特点,更应遵循学生学习数学的心理规律,强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。