解方程应用题范文

导语：如何才能写好一篇解方程应用题，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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【关键词】一元一次方程负数未知数解方程

【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1674－4810（2012）08－0156－01

初中数学是一门重要学科，是将来发展的基础学科，尤其对物理和化学起到深远的影响。而初一数学是数学学习的基础，是掌握必要的代数、几何的基础知识和基本技能的关键。为了让学生能从小学的学习模式更好地过渡至初中的学习模式，针对应用题的特点和方程的合理运用笔者提出以下策略。

一 重拾小学知识，增强学生信心

初中数学是小学数学的延伸与高度的运用，但小学的学习速度相对较慢，因此知识的熟练程度有更足够的时间，而初中数学更注重让学生自主探索，让学生有更多的时间去思考问题、解决问题。

对于大部分小学生，在解应用题时会遇到的审题归类不清，目标不明确；设未知数不准确，加大列方程的难度；解方程后，对结果分析未有结合实际背景问题。

二 明确初中数学应用题的作用及要求

初中数学引入了更多的解题方法，如归纳法、演绎法、反证法、数形结合法、类比法等，这为解题提供了更多元化的途径。对于运算能力，与小学的运算相比，初中数学更注重根据运算法则、公式等正确进行运算，理解运算的道理，能根据题目的条件寻求合理简便的运算途径。

例如，在“一元一次方程”教学中，要求学生能把实际问题抽象为数学问题，从而建立一元一次方程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。并根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性，在解决问题的活动中经历“建模”①的过程。

三 熟练理解负数的实际意义

虽然学生在小学时已经初步认识了负数、数轴，并且能够利用数轴来比较大小，但缺乏实际背景支持，学生只能够从形式上直观地去理解负数，因此在解题过程中，对方程的解的理解不到位。在“有理数及其运算”的教学中，教师应强调正数与负数是表示一些相反的量。通过生活中的各种现象进行理解。

四 加强对一元一次方程的求解练习

在北师大版《数学》（七年级上）中，是这样描述解一元一次方程的：一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程“转化”成x＝a的形式。因此，在学习这部分内容之前，应该对学生在求最小公倍数、合并同类项②等知识点作一次强化练习或快速练习，在激发学生的学习动力时，也让学生有充分的准备应对解方程。为了强化学生解方程的信心和积极性，可采取由浅入深、由易及难的层推式练习。

五 扩充应用题类型，丰富学生的思维方式

以北师大版《数学》（七年级上）中的行程问题为例，追及问题可先以相遇问题作为铺垫，让学生能够有充分的时间联想运动情景，到追及问题时就能比较出速度和时间对运动情境的影响，为日后学习物理中的运动学做好准备。但是，有所不足的地方是欠缺工程问题和水流问题，教学中可以适当补充这一类型的题目，丰富学生的知识面。

1．工程问题

例1：一项工程，甲单独完成需要15天，而甲乙合作完成需要6天即可完成，问乙单独完成需要多少天？

分析：从题目中可以判断这是属于工程问题，但对于工程问题中涉及的工作效率、工作时间、工作总量三个量中，工作总量没有明确给出，因此借助单位“1”的思路。这里分别介绍普通与利用方程求解两种计算方法。

2．水流问题

生活在城市中的学生，可能会较少接触到水流、风向等情况，但不得不提的是，这方面的知识对日后学习物理的运动学有着基础的作用，同时，可以发展学生的逻辑思维能力。

例2：一只小船顺流航行一段距离用了2小时，沿线返回时用了3小时，已知水流的速度是5千米/小时，求小船在静水中的速度是多少千米/小时？

分析：学生不难判断这是属于行程问题，涉及速度、时间、行程等量，如果用列方程解应用题，就要考虑寻找等量关系和如何设未知数的问题。根据不同的等量关系可以列出不同的方程，但关键是未知数的设置要符合题意。

此外，对于行程问题中涉及运动学的内容，也可以利用不同的教学课件，让学生对行程问题产生更多兴趣，如同向追及、异向相遇，环形同向追及，异地同时追及等问题，进一步丰富学生的想象空间。

注 释

①建立系统模型的过程，又称模型化。建模是研究系统的重要手段和前提。凡是用模型描述系统的因果关系或相互关系的过程都属于建模。

②把多项式中的同类项合并成一项，叫做同类项的合并（或合并同类项）。同类项的合并应遵照法则进行：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

参考文献

［1］马复.数学七年级（上）［M］.北京：北京师范大学出版社，2007

［2］卢江、杨刚.数学五年级（上）［M］.北京：人民教育出版社，2005

［3］教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［S］.北京：北京师范大学出版社，2001

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找准题目中的数量关系是列方程解应用题的关键。在列方程之前先熟悉日常生活中常见的几种数量关系，一来是铺垫，二来是让学生更体会到数学中文字蕴含的等量关系其实都来源于我们生活的一些常识，没什么特别和难明白的，多结合生活实例想想就很容易理解了。而只要找准等量关系，方程就能列出来了

1.如有一个上下两层的书架一共放了240书，上层放的书是下层的2倍，两层书架各放书多 少本？2，图书馆买来文艺科技书共 235 本，文艺书的本数比科技书的2倍多25本，两种书各买 了多少本？3，甲、乙、丙三人为灾区捐款共270元，甲捐的是乙捐的3倍，乙是丙的两倍，三人各捐多少元？4 ，A、B两个码头相距379.4千米，甲船比乙船每小时快3.6千米，两船同时在这两个码头 相向而行，出发后经过三小时两船 还相距48.2千米，求两船的速度各是多少？

以相差数为等量关系建立方程 例题：化肥厂三月份用水420吨，四月份用水 380 吨，四月份比三月份节约水费60元，这 两个月各付水费多少元？ 解设：每吨水费X元 三月份的水费一四月份的水费=节约的水费 420X 一 380X=60 40X=60 X=1.5三月份付水费1.5×420=630（元） 四月份付水费 1.5×380=570（元） 答：三月份付水费 630元，四月份付水费570元。 练一练： ① 新华书店发售甲种书90包， 乙种书68包， 甲种书比乙种书多1100本， 每包有多少本？ ②一篮苹果比一篮梨子重30千克，苹果的千克数是梨子的 2.5 倍，求苹果和梨子各多少 千克？ ③两块正方形的地，第一块地的边长比第二块地的边长的2倍多2米，而它们的周长相差56厘米，两块地边长是多少？ ④ 小亮购买每支0.5元和每支1.2元的笔共20支，付20元找回404元，两种笔各买了多 少支？ ⑤ 甲、乙两数之差为 100，甲数比乙数的3倍还多 4，求甲、乙两数？⑥ 两个水池共贮水60吨，甲池用去6吨，乙池又注入8吨水后，乙池的水比甲池的水少 4 吨，原来两池各贮水多少吨？

以题中的等量为等量关系建立方程。例题： 例题： 有两桶油，甲桶油重量是乙桶油的 2 倍，现在从甲桶中取出 25.8 千克，从乙桶中 取出剩下的两桶油重量相等，两桶油原来各有多少千克？ 解设：乙桶油为 X 千克，那么甲桶油为 2X 千克 甲桶剩下的油=乙桶剩下的油 2X 一 25.8=X 一 5.2 2X 一 X=25.8 一 5.2 X=20.6 2X=20.6×2=41.2 答：甲桶油重 4102 千克，乙桶油重 20.6 千克， 练一练： ① 甲厂有钢材 148 吨，乙厂有 112 吨，如果甲厂每天用 18 吨，乙厂每天用 12 吨，多少天 后两厂剩下的钢材相等？ ② 一个两层的书架，上层放的书是下层的 3 倍，如果把上层的书放 90 本到下层，则两层 的书相等，原来上下层各有书多少本？③甲车间有54人，乙车间有 48 人，在式作时，为了使两车间人数相等，甲车间应调多少 人去乙车间？ ④ 超市存有大米的袋数是面粉的 3 倍，大米买掉 180 袋，面粉买掉 50 袋后，大米、面粉 剩下的袋数相等，大米、面粉原各多少袋？ ⑤ 某校有苦于人住校。若每一间宿舍住 6 人，则多出 34 人；若每一间宿舍住 7 人，则多 出 4 间宿舍。问有多少人住校？有几间宿舍？

利用方程解应用题，让我们从纷繁复杂的数量关系中走了出来，又重新体会了一把走出“迷宫”的，让我们离中学的解方程更近了一步，感受了数学的代换之美，但重要的事要求学生严谨计算，做对才是最美。

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列方程解应用题是运用中学数学理论知识解决实际问题的一个重要方面，也是学生初步接触数学模型化方法，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力的一个开端。因此，应该引起教师的高度重视。

初中生初学列方程解应用题时存在一定的困难。

首先，由于算术解法的定势影响，建立代数解法需要一个心理适应过程。

例如，已知一个数的7倍与6的差等于22求这个数

小学学过的算术解法是：

所求数=（22?+6）÷7

初中的代数解法是：

设所求数为x据题意得：7x-6=22解得x=（22?+6）÷7

又如：铜、铁总重46千克，又铁的与铜之和为12千克，求铜与铁各多少千克？

算术解法：铜重=（12-46×）÷（-）（千克）

代数解法：设铜重为x千克，根据题意得：

x+（46-x）×=12解得：x=（12-46×）÷（-）

比较两种解法可以发现，算术解法仅由已知数用运算符号连接成的算式直接表示所求量。代数解法则是通过审题找出已知量与未知量之间的等量关系列出方程，然后解出结果的表达式（不求出中间运算结果）恰好是算术解法中的表达式。两种解法的思路互逆。

这样由“算术解法”思路改变为“代数解法”思路，需要对原有认知结构进行调整、改造，才能构建新的认知结构。

其次，一些学生在用算术解法解应用题时，就存在如下一些问题：由于语文水平差，理解能力弱，因而弄不清某些关键词语的意义；没有仔细审题的习惯，不会审题，一看完题就急于动手列式等等。这些问题在初学列方程解应用题时依然存在，是造成学习困难的原因之一，此外，学生在遇到较复杂的应用题时，不善于分析问题中的等量关系，这一方面是由于对某些数量的基本关系不熟悉，如行程问题：基本量包括：路程、速度、时间，基本量的关系为：速度=，求解思路，常从时间上寻找等量关系；另一方面则主要是对问题中隐含的等量关系未引起注意。

为了使学生顺利地掌握列方程解应用题，提出下列几点需要注意的事项：

一、重视列方程的预备知识和技能的教学

列方程需要用到代数运算、比例的性质、分数的基本性质、几何形体的面积、体积计算方法等知识和技能。因此在学习解应用题之前必须让学生熟练地掌握这些知识和技能。

布列方程前，学生还需熟悉常见的数量以及物理量之间的关系；如物品单价、件数与物品总价的关系；速度、时间与距离的关系；体积、比重与重量的关系；增长数、计划数与增长率的关系等。此外，对于一些基本单位（如长度、质量、时间等）和导出单位（如速度、密度、面积、体积等）的用法和单位换算也必须弄清楚。

把普通语言（自然语言）准确地写成数学式子是布列方程的一项基本功。平时教学中注意经常进行这项训练，将有助于解应用题的教学。

二、抓准列方程的关键

解应用题的重点都在于列出方程，列方程解应用题的一般步骤是：审题，弄清题中已知、未知，需求的量各是什么，分析各量之间的关系；设基本未知量X（Y……，Z）把其他未知量用未知量的解析式表达出来；找出等量关系，把相等的量（含已知量和未知量的解析式）用等号表达出来，列出方程。其中审题是设未知量和找等量关系的依据，而其中的已知量和未知量之间的等量关系是依据。因此，列方程首先要集中精力找出这种等量关系。

找等量关系的主要方法是抓住题中的关健语句和关键的量。此外，还可通过画图、列表等辅助手段帮助发现隐含的等量关系。

例：某人从A地到B地，第1时间走了3千米。若以这速度前进，将要比预定时间迟到40分钟，改以每小时4千米的速度前进则早到45分钟。问A、B之间的距离是多少？

解法一：如图

（一）题设条件：

（1）以3千米/小时的速度走完AB的时间（t1）=预定时间小时（t）+小时

（2）1小时+以4千米/小时的速度走完CB的时间（t2）

（二）预定时间（t）-小时

基本关系：路程=速度×时间

未知量：距离AB、CB；时间t1、t2、t

选基本未知量AB=x千米，则CB=（x-3）千米，t1=t2=

由等量关系（1）得t=-

由等量关系（2）得方程：-=1++（解方程略，以下解法都只列出方程）

解法二：分析，如解法一。选预定时间为基本未知量x，于是距离AB有两种表示法：

AB=3（x+）；AB=3+4（x-1-）

因而得方程：3（x+）=3+4（x-1-）

解法三：分析如解法一。若同时选距离AB（x）和预定时间（y）都为基本未知量，则由（1）、（2）两个等量关系得二元方程组：

以上三种解法说明在列方程中要处理好三个选择：

（1）等量关系的选择。即选择哪个等量关系列方程。

（2）直接未知数与间接未知数的选择。即直接选择需要的未知量为基本未知数还是选择另外的未知量为基本未知数。

（3）列方程与列方程组的选择。这实质上是一步走还是分两步走的问题。列方程组用代入法解变为一元方程；列方程就是将这两步――“列方程组”和“代入”―并为一步完成。

三、在布列方程时，还应使学生明确所列的方程必须满足一些基本要求

这些基本要求就是：方程两边所表示的实际意义必须相同，两边的单位必须一致，两边的数量必须相等。要防止学生犯类似下列的错误。

例有含盐12%盐水4升。问需加入多少克的盐就得到含盐20%的盐水？

有学生这样解：

设加入x克盐，由题意得方程：4×12%+x=（4+x）20%

这是学生不明确布列的方程应满足的基本要求的典型表现。在这个方程里，单位不同的两个量居然可以相加，本来不相等的两个量也成了相等的量。像这类错误，一旦发现应应抓住机会，引导学生分析，究竟错在哪里？原因何在？让学生及时纠正错误。

参考文献

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关键词： 初一代数教学 列方程 解应用题 解题策略

在初一代数教学中，列方程解应用题是代数教学联系实际的重要课题。它对于培养学生分析问题、解决问题的能力，及逻辑思维能力具有重要的意义，因此它是初一代数教学的重点，由于学生第一次接触用代数法来处理实际问题，因此它又是一个难点。这主要表现在以下几点。

1.受小学算术法思维定势的影响，不习惯于用代数法来分析和处理问题，且分析能力较弱。

2.不知道怎样寻找相等关系，或者有时虽然找到了相等关系，但仍列不出方程。

3.在一个问题里含有两个或两个以上未知数时，不知道该怎样选择一个未知数来设元，审题、分析能力较差。

为了突破上述难点，在实际教学中，我们要不断探索，改革教学方法，把数学教育与素质教育有机结合起来，挖掘学生的潜力，激发学生学习的积极性和兴趣性。我在教学中作了如下安排。

一、通过对比让学生认识到代数法的优越性

初学列方程解应用题时，学生对应用题仍习惯于用算术法，而对用代数法来分析和解决应用题感觉很不适应。因此在实际教学中，我首先通过选择典型的例题分别用算术法和代数法解答，然后指出两种方法的特点，并让学生进行比较，在对比中让学生自己认识到代数法的优越性。

例如：甲乙两列火车从相距350千米的两地同时出发相向而行，甲列车每小时行30千米，乙列车每小时行40千米，问几小时后两列火车相遇?

用算术法解：

①求出两列火车的速度和为每小时（30+40）千米；

②再求出两列火车一共行驶的路程350千米；

⑧根据公式求出火车行驶的时间为350／（30+40）=5（小时）。

用代数法解，按列方程解应用题的一般步骤讲解：

（1）仔细审题，理解题意，找出相等关系。

两列火车出发时的距离及它们的速度，用字母X表示两火车相遇时所用的时间。

（2）正确找出能表示题目的相等关系：甲火车行驶的路程+乙火车行驶的路程=两火车出发时的距离。

（3）根据相等关系，列出必要的代数式：甲火车行驶的路程为30X千米，乙火车行驶的路程为40X千米，即列出方程30X+40X=350。

（4）解这个方程：X=5。

（5）写出答案（略）。

事实上，（1）与（2）式是相同的，但（1）式是从要求的数值反推回去，是由因导果的综合法，它要求找出一个能用四则运算符号把已知数联系起来的综合运算式子，这样难于思考，而且一次性地计算出问题的结果来，学生也难以做到。而（2）式是利用未知数X，将有关的量用含未知数的代数式表示出来，然后依题意列出方程，最后将未知数求出来，这是执果索因的分析法，便于思考，易于列式，且将列方程与解方程分开进行，可以分散难点，化难为易，从而体现出代数法的优越性，促使学生迅速适应并掌握代数法，顺利地实现从算术法到代数法的飞跃。

二、教会学生寻找出相等关系的方法

仔细分析一个列方程解应用题的一般步骤可以发现，列方程中最关键的是怎样在题目中正确“找出相等关系”来。相等关系有两类：一类是题目中给出的条件等量关系，这类关系对应问题中的主要量在一般情况下是变化的，属于“动态”问题，另一类表示各种量之间内存规律固有的等量关系。这类关系对应的问题中主要量在一般情况下处于稳定状态，属于“静态”问题。因此，寻找相等关系的一般方法有如下两种。

1.对于“动态”问题中的相等关系，可在发生变化的事物中找，对于发生量变的事物，可以从“量”的方面来找，也可以从“质”的方面来找。如应用题中的和、差、倍、分问题，等积变形问题，追及问题，相遇问题，货物调配问题,等等,都可以从量的方面按发展的顺序找到相等关系。

例如：有含盐15％的盐水20千克，要使盐水含盐10％，要加水多少千克?

分析：这是一个溶液稀释问题。在这个题目中，由于原来的盐水中只加入了水，没有加盐，因此盐水所含盐的重量在加水前后是没有变化的，这就是说该应用题中含有下面的一个相等关系：加水前含盐重量=加水后含盐重量。

2.对于“静态”问题中的相等关系，可在事物之间的内在联系中找到相等关系，因为处在“静态”问题中的几个事物之间，必然存在着一种数量上的联系，我们要根据这种数量上的联系找到相等关系。

例如：一个两位数，十位数上的数比个位上的数小1，十位与个位上的数的和是这个两位数的1／5，求这个两位数。

分析：这道题中含有这样的一个相等关系：十位上的数+个位上的数=（1／5）×两位数。

三、使学生掌握解应用题常用的分析方法

1.代数式法。在正确分析题意的基础上，将题目中的数量关系，各数量之间的关系，用代数式依次表示出来，再根据各代数式之间的内存联系，找到相连关系，列出方程。此法常用于工程问题、比例调配问题、数字问题等。

2.示意图法。对于一些较直观的问题，可将题目中的条件之间的关系，用简单明了的示意图表示出来，然后根据图示中有关的数量的内存联系，找到相等关系，列出方程。

3.表格法。将题目中的有关数量及其关系填在事先设计的一个表格内。然后再根据表格逐层分析，找到各量之间的内存联系。从而找到相等关系，列出方程。

对以上三种常用的分析方法。在教学时，要通过具体题目教给学生具体的分析方法。通过训练，要求学生能对具体问题作具体的分析，并能灵活运用，不要死记硬背。

四、通过典型例题，引导学生逐步掌握设未知数的技巧

设未知数是列方程解应用题的第一步，也是至关重要的一步。在一个题目中，如果含有多个未知数而又只允许设一个未知数时，到底选哪个未知数来设元，初学者往往难以掌握，教师应利用一些典型例题教会学生设元的方法。一般来讲，设未知数有以下两种方法。

1.直接设元法。即在题目里问什么，就设什么为未知数。这样设元后，只要能求出所列方程的解，就可以直接得题目所求。在多数情况下，都可以采用直接设元法来设元。

2.间接设元法。有些问题中，若采用直接设元法，则不易列出方程。这里可考虑采取间接设元法，即通过间接的桥梁作用，来达到求解的目的。例如，按比例分配问题，和、差、倍、分问题，整数的组成问题，等等，均可用间接设元法来解元。

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弄清题意找出量，

各量关系弄清爽.

选择适当未知数，

可由x、y来担当.

相等关系列方程，

解方程时不要慌.

未知求完再检验，

最后写“答”不要忘.

（杨春）

二元一次方程组的解法步骤

首先化成标准形，

消元变一元方程.

求得未知再代入，

二解联立才完成.

（杨春）

G＝mg

物体的重力和质量的关系式G=mg，可用谐音记忆：大鸡（G）等鱼（＝）爱摸（m）小鸡（g）．

（戴 军）

G＝ρVg

计算重力的公式G＝ρVg，其中大写的G可记为“大鸡”， ρ像一个弯腰的人，V读作“喂”，小写的g可记为“小鸡”．公式可记作：大鸡（G）等着（＝）那个弯腰的人（ρ）去喂（V）它的小鸡（g）.

（张铭华）

二力平衡条件

二力平衡应满足“一物二力同直线，大小相等方向反”的条件.其中一物指二力作用在同一物体上，这是最容易忽略的.

（东义民）

串联电路解题步骤

串联电路很重要，

电阻相加先算好，

电流一路全相等，

电压随着电阻找.

即先求总电阻，再根据总电压和总电阻用欧姆定律求电流.欲求某个电阻上的电压，可用电流乘以该电阻.这里要特别注意电阻、电压一一对应.

（张彰）

标准状况与通常状况

化学中的标准状况与通常状况，除了都有“一个标准大气压”外，还有温度限制，一个是0℃，一个是20℃。为防止记混，可用下面一句话帮助记忆：耳痛（谐音“零标贰通”）。意为0℃是标准状况，20℃是通常状况。

（杜崇飞）

“辨”、“辩”、“瓣”、“辫”字辨

中间点撇仔细辨，中间有言来争辩，

中间种瓜长花瓣，中间青丝扎成辫。

（卜 楠）

常见古代时间词歌诀

时间不大叫做“旋”，

“俄尔”表示忽然间。

“俄倾”、“倾之”是一会儿，

“食倾”工夫吃顿饭。

“斯须”、“倏忽”和“须臾”，

都表瞬间时间短。

“少倾”、“未几”和“逾时”，

也是片刻短时间。

黎明时分称“质明”，

早晨一般称为“旦”。

“侵晨”是指天将亮，

“中夜”时分夜已半。

“旦日”明日第二天，

“兼旬”即为二十天。

“朔”为初一“望”十五，

“晦”为月底那一天。

每月十六称“既望”，

这段时间称“居有间”，

“方”即正当某时候，

“日”字用来表每天。

“期月”表示一整月，

“期年”表示一周年。

“来年”即为第二年，

表示年年用“累年”。

一年将尽称“岁暮”，

也称“岁晏”或“岁阑”。

要记诗文时间词，

正确理解是关键。

口诀帮你记牢固，

理解运用多方便。

（雨 文）

英语单词重读有规律

双名复名重在前；

双动重音在后边；

单音节后缀成双节，

重音仍然在前面；

双节加上前后缀，

读原词根就算对；

若问多节重读谁，

不前不后倒三位；

词尾tion（sion或ic），

重读倒二你准会。

（张浩）

巧变英语的人称

把直接引语变为间接引语时，主语的人称要发生变化，其变化规律是：一随主，二随宾，三自身。

直接引语的主语是第一人称，变为间接引语时，该人称应与主句主语在人称方面保持一致。如：

“I am a teacher,” she said. She said she was a teacher.

直接引语的主语是第二人称，变为间接引语时，该人称应与主句宾语在人称方面保持一致。如：

I said to him, “What are you doing?” I asked him what he was doing.

直接引语的主语是第三人称，变为间接引语时，该人称不变。如：

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关键词：波利亚；解题思想；解题表；一元一次方程

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）09-0007

一、波利亚的数学解题思想简介

波利亚认为：“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传授知识。”在数学学科中，波利亚认为能力就是指学生解决问题的才智，这里所指的问题，不仅仅是寻常的，它还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性的创造精神。他发现，在数学上要想获得重大的成就或发现，就应该注重平时的解题。因此，波利亚曾指出：“中学数学教学的首要任务就是要加强解题的训练。”而这种“解题”并不同于“题海战术”，波利亚主张在解题教学中要善于选择一道有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入挖掘题目的各个侧面，使学生通过这一道题，就如同通过一道大门进入一个暂新的天地。他所提出的“怎样解题”表只是“题海游泳术”的纲领，他认为解题应该作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。

二、波利亚解题表简介

波利亚的解题思想集中体现在解题表上，该解题表主要分为四个部分，分别为理解题目、拟定方案、执行方案、回顾反思。具体的步骤及问题如下表：

三、一元一次方程实际问题教学的重要性

方程是贯穿中学数学教学的一条重要纽带，而一元一次方程作为最基础的方程，是教学的重点，也是教学的难点。掌握一元一次方程应用题解题方法是中学生学好方程的关键，也是学好数学的一个关键环节，能使学生在更深层次上理解数学，进而学好数学。刚刚从小学升入初中的学生，通过对应用题的学习，对数学概念的形成，数学命题的掌握，数学方法和技能的获得都将起到重大的作用。一元一次方程的应用是让学生通过审题，根据应用题的现实意义，找出等量关系，列出有关方程。一元一次方程的应用题，为学生初中阶段学好必备的代数、几何的基础知识与基本技能，解决实际问题起到启蒙作用，对其他学科的学习也将起到积极的促进作用。在提高学生解决问题能力，培养学生对数学的兴趣等方面有独特的意义。

如何能让学生对一元一次方程实际问题形成一种规范的解题思路，培养学生良好的解题习惯，拓展学生的解题思维呢？本文以实例为载体，以波利亚的解题思想为理论基础对该问题进行了研究。

四、波利亚解题表在求解一元一次方程实际问题中的应用

在接下来的研究中，本文选择了一道一元一次方程中常见的“相遇问题”作为研究的载体，希望对一元一次方程实际问题的解题教学起到“抛砖引玉”的作用。

例：甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经3小时两人相遇。已知在相遇时乙比甲多行驶了90千米，相遇后乙经1小时到达A地。问甲、乙行驶的速度分别是多少？

1. 理解题目

理解题目就相当于我们平时所说的审题，它是成功解决问题的前提。研究表明，善于解题的人用一半的时间来理解题目。因此，在解题中善于理解题目显得尤为重要。而理解题目包括对题目的表层理解和深层理解。表层理解表现为对问题的字面含义进行解释。而深层理解则要在此基础上抓住题目的关键信息，并能用自己的话解释题目的已知条件、分析出题目隐含条件、探索出从已知到未知的可能途径。那么，如何达到深层理解呢？可以根据波利亚解题表进行自我提示实现。

以上面的例题来看，在理解该题时，我们可以自我提问：这是一个什么类型的问题？题设是什么？结论是什么？题设与结论有什么联系？关键信息在哪里？我可以通过画图描绘题设与结论吗？

自我提示可以诱导我们发现这是一道和一元一次方程有关的“行程问题”，本题涉及路程、速度、时间三个基本量，它们之间有如下关系：速度=■。题目主要告诉了我们甲乙相遇的时间及相遇时二者所行驶的路程之间的大小关系，结论要求我们求甲乙的速度。可以画出草图帮助分析：

通过图1我们可以看出，甲乙分别从A、B出发，经过3小时在C点相遇，且有数量关系BC=AC+90。如果设其中一个的速度为x，则可以利用该数量关系结合速度=■求出另一个的速度，所以只需要设其中一个未知数即可。

此外，通过进一步挖掘题目信息，题目还有一个非常关键的信息就是相遇后乙经1小时到达A地，从图1来看就是乙从C到A所需时间为1小时，而乙从B到C的时间是3小时且匀速行驶，则说明BC=3AC。

2. 拟定方案

理解题目后，接下来要确定解决问题的策略，即拟定方案，它决定着问题解决的方向与成败。波利亚建议分两步走：第一，努力在已知与未知之间找出直接联系；第二，如果找不出直接的联系，就对原来的问题做出某些必要的变更或修改，如引进辅助元素。这两步可以通过自我提示实现。譬如，看着未知数、回到定义去、重新表述问题、考虑相关问题、分解或重新组合、特殊化、一般化、类比等，积极诱发念头、努力变化问题。

对于上面的例子，关键是寻找等量关系，如果设甲的速度为x千米/时，可以自我提问：可以通过哪一个关系建立等量关系？不难发现，根据理解题目得到的信息，可以得出AC=3x，BC=3x+90，而乙行驶BC这段距离所用时间为3小时，可以得出乙的速度为 ■千米/时。而乙从C到A所用的时间为1小时，故AC的距离用乙的速度和行驶时间可表示为：AC=■・1=■，从而可以建立等量关系3x=■，如下图2所示：

此外，根据理解题目得出的结果，发现BC=3AC，从而可以通过BC建立等量关系，可以得出等式3x+9=3・3x如下图3所示：

本题分别从AC和BC建立了等量关系，那么进一步自我提问：还可以从哪一段建立等量关系呢？不难发现还可以从AB建立等量关系，从而得到等式：■（3x+9）+3・3x=3x+（3x+9）

综合以上的分析，本题共得到了三种基本解题方案，分别为：

方案一：通过AC建立等量关系，3x=■

方案二：通过BC建立等量关系，（3x+9）=3・3x

方案三：通过AB建立等量关系，■（3x+9）+3・3x=3x+（3x+9）

对比三种方案，可以发现方案二最简单，故教师在进行解题教学的时候要善于引导学生挖掘题目中的隐含条件，发散学生的思维，寻求最简便的解决方案。

3. 执行方案

方案拟定之后，相当于解题已经完成了一大半，但是往往要检验这个方案是否是清晰合理及最简便的。不加以判断地执行这样的方案是愚蠢的，所以我们为了使自己确信每一个细节都符合这个框架，不得不细心检查，对每一步演算和推理进行检验，直到每一点都非常清晰，不再有任何可能隐藏的错误或含糊之处。诸如以下这些自我提示是有帮助的：解题的每一步理由充分吗？解题过程是否遵循数学原理或规律？解题的结果是否符合实际或原来想法？等。

以上例来说，往往很多学生容易得到方案一，这时大多数学生就开始解方程得到答案，忽略了检验和进一步思考这一步。这样，学生的思维得不到进一步的发展，题目如果稍加变化可能又不会做。这时候可以进一步自我提问，如：我得到的方案一的方程是最简单的吗？还有其他的方法吗？刚才是利用AC建立的等量关系，还可以通过其他的线段建立等量关系吗？BC和AC之间又有怎样的关系呢？通过这样不断的自我提问，就很容易得到方案二，而且发现方案二的方程更简单。

确定方案之后，下一步就是解方程，根据解出的结果就可以求出甲、乙的速度，这一步是比较容易的。

4. 回顾反思

对于解题来说，完成了解题过程，并不意味着一次“解题学习”活动的结束，对解题的真正学习是“解题回顾”。这好比采蘑菇，在你找到第一朵蘑菇后，要环顾四周，因为它们总是成堆生长的，用推广题的方法，可以解决更多的问题。众多研究表明，回顾与反思是数学思维活动的核心。但目前的普遍情况是，与前面解题步骤相比，“解题回顾”是最容易被忽视的阶段。

所谓解题回顾，不仅要回顾有关知识、解题方法以及理解题意的过程，而且更要回顾：一开始是怎样探索的，走过哪些弯路，产生过哪些错误，为什么会出现这些弯路和错误；是否还有其他解题策略；改变部分条件，会得出什么结论；这些结论或解题策略对于另外一些问题有什么意义等等。这些回顾能引领我们反思、评价整个解题结果与过程，能促使我们一题多解、举一反三，能启发我们总结归纳相关知识、解题策略等，并形成解题经验。

波利亚的解题思想启示我们，解题的关键在于理解题目，要学会深度挖掘题目的条件。此外，还要学会反思，真正做到“做一题，会一类”。

解题的目标不仅在于解题结果，解题本身是一个有意义的学习过程，深入挖掘波利亚解题表中蕴含的解题思想，在解题中学习解题，能促使我们学会解题，并最终解放题海战术。

参考文献：

[1] G・波利亚著，涂泓，冯承天译.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

[2] 涂荣豹.数学解题的有意义学习[J].数学教育学报，2001（4）.

[3] 欧慧谋、黄红梅、欧贻丽.用波利亚解题表在解题中学解题[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2011（10）.

篇7

1、行程问题中，路程，时间都可以作为等量关系的思考方向。

2、工程问题，跟行程问题很相似，工程量和时间是等量关系的方向。

3、购物问题，钱数往往是等量关系的关键。

4、利润问题，钱数是等量关系。认真读题，把题目翻译成数学语言，变通一下，有的等量关系需要变形。

（来源：文章屋网 ）

篇8

关键词：小学数学；应用题教学；解题方法

应用题教学应在理解题意的基础上，抓住重点语句进行分析，把握数量之间的等量关系，学生才能真正掌握解题方法。根据我多年的教学经验，浅谈以下几点做法：

一、抓住单位“1”，判断题型

判断题型是解题的第一步。我通过“一找，二看，三判断”的方法教给学生如何判断乘除法。找：找单位“1”；看：看单位“1”是已知还是未知；判断：已知用乘法，未知用除法。其中找单位“1”是重点。一些较复杂的分数应用题单位“1”往往不统一，需要我们统一单位“1”。

例1：养殖场养鸡2000只，鹅的只数是鸡的■，鸭的只数是鹅的■，鸭有多少只？把鸡的只数看做单位“1”，鸭的只数就是鸡的（■×■），那么鸭的只数就是2000×（■×■）。

二、探究解题思路

教学较复杂的分数应用题时，我采用了以下方法：

1.Y合题意，创设教学情境

例2：实验小学六年级原有学生240人，男生有110人，后来转来几位男生，这时男生占全班人数的■，转来男生多少人？由于条件的变化，造成学生理解困难，这时教师可以让本班的部分学生根据题目内容模仿角色的变化，在模拟中让学生理解男生转入前后，女生人数不变，即240-110=130（人），转来几位男生后，男生占全班人数■，说明女生也占全班人数的■，求转来男生多少人就是130÷■-240。这样的过程对学生真正理解题意、正确解题、降低难度起着一定的作用，还能让学生记忆犹新。

2.充分利用线段图的优势

线段图能帮助学生把部分与整体的关系、具体数量与分率的对应关系表示出来，同时还能引导学生认真看图分析思考。在应用题教学实践中我认识到，不仅要让学生根据题意自己动手画出线段图，还要让学生根据题意分析画出的线段图，这样有利于学生更好地培养提炼概括题意的能力。

例3：某学校2016年招收学生1100人，比原计划多招收了■，学校原计划招收多少人？让学生在已学过的例题的基础上自己动手画线段图。通过线段图学生很容易就能得出此题的数量关系，降低了题目的难度。

3.选准对应量和对应分率。

分数应用题中有一个“量率对应”的明显特点，对一个单位“1”来说，每个分率都对应着一个具体的数量，而每一个具体的数量，也同样对应着一个分率，因此，正确确定“量率对应”是解题的关键。我们要引导学生学会和掌握“明确对应，找准对应分率”的解题方法。

例4：一堆煤第一天运走了■，第二天运走了第一天的■，还剩50吨。这堆煤一共有多少吨？这道题的解题关键是找出具体数量50吨所对应的分率。从题中可以看出这道题的单位“1”是不统一的，所以我们首先要统一单位“1”。“第二天运走了第一天的■”，第二天运走的就是这堆煤的■的■，也就是这堆煤的■，那么50吨所对应的分率就是（1-■-■），这道题也就迎刃而解了。

4.抓住关键语句

例5：甲筐里的苹果比乙筐里的苹果多8.4千克，如果从两筐中各取3.6千克，甲筐里所余的■等于乙筐里所余的■。原来两筐各有多少苹果？题中告诉我们甲筐苹果比乙筐苹果多8.4千克。我们可以从“两筐中各取3.6千克，甲筐里所余的■等于乙筐里所余的■”这句话入手。这是个关键句，要很好地领会和理解。①甲筐里所余的重量仍然比乙筐里所余下的重量多8.4千克。②甲筐苹果里所余的■的意思是把甲筐苹果所余下的当作标准量，即单位“1”。如今我们只要找出8.4千克所对应的分率，即8.4千克是这个标准量的几分之几就可以了。看图可推出8.4千克所对应的分率是（1-■÷■）或（1-■×4）。那么甲筐所余下的苹果重量是8.4÷（1-■÷1/4）=50.4（千克），或8.4÷（1-5/24×4）=50.4（千克）。再根据题意：甲筐苹果的总重量是甲筐苹果余下的重量+取出的重量3.6千克，原甲筐苹果的重量是：50.4+3.6=54（千克），原乙筐苹果的重量是：54-8.4=45.6（千克），原甲筐苹果的重量-原乙筐苹果的重量=54-45.6=8.4（千克）。答：原来甲筐有苹果54千克，原来乙筐有苹果45.6千克。

总之，学习分数乘除法应用题，应让学生找准分率对应的单位“1”以及分率对应的量，正确判断用乘法还是除法，注意知识的迁移，突破难点和重点，让他们学会正确解答分数乘除法应用题的方法。

参考文献：

篇9

〔关键词〕解应用题 二元一次方程组解应用题 已知量 未知 量 相等关系 图解法 图表法

作为一名数学双语教师，在过去的12年的授课过程中，每次遇到应用题的讲解时，发现无论是自己的讲解还是学生的理解掌握都是个难点。因为即使在平时的授课过程中已将应用题的题目分析的很彻底，讲解的很明白，学生也在学习过程中掌握了应用题的题型，问题，解决的对象，但是在实际解题过程中还是无法从中提取有效信息，不知道解题的切入点，总觉得把数字加减乘除就好，在解题过程中陷入了单一的误区，没能形成清晰的解题思路，不知道用什么方法来解决，最终无法达到真正的应用目的。此外还和学生在学习应用题过程中遇到瓶颈有关，很多学生对应用题本身就有恐惧，本能的认为自己不会做，题目好复杂，基本不做应用题要不然就只列个式子，也不算，也不管，或者同类型的问题只要改变一些条件，学生就开始犯迷糊，认为自己没有做过，不会做。

因此，二元一次方程组解应用题时，学生如何在教师教授中利用正确的方式来帮助学生有合理的解决方向，培养学生分析问题能力，在学生学习过程中如何树立信心，如何提高解决能力，了解数学应用的趣味，培养实际应用生活的自信心才是重中之重。

在七年级数学教学中，列方程解应用题对培养学生分析问题、解决问题的能力具有重要意义。要列方程解应用题，找出题目中的等量关系是关键。下面讲解一下寻找等量关系的三种方法：

1.图示法：

对于一些直观的问题可将题目中的条件以及它们之间的关系，用简明的示意图表示出来。这样便于分析，然后根据图示中的有关数量的内在联系，列出方程组。例如常用线段表示距离，箭头表示前进方向等，此法多用于行程问题、劳动力调配问题、面积、体积问题等。

例：据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2.现要在一块长200m，宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物。怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4？

分析：如图所示（图略），一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE。设AE=xm，BE=ym，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组

甲种作物的总产量=甲的单位面积产量×甲的种植面积

由这道题我们可以看出，在审题过程中，如果能把文字语言变成图形语言――线段图，即可使问题更加直观，等量关系更加清晰。我们只要设出未知数，并用代数式表示出来，便可得到方程。

2.代数式法：

在正确分析题意的基础上，将题目中的数量及各种数量之间的关系，用代数式依次表示出来，再根据各代数式之间的内在联系，找出等量关系，列出方程组。此法多用于工程问题、按比例分配问题、数字问题、社会热点问题等。

例：2台大收割机和5台小收割机同时工作2h共收割小麦3.6hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5h共收割8hm2。1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？

分析：如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦xhm2和yhm2，那么2台大收割机和5台小收割机同时工作1h共收割小麦2x+5yhm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作1h共收割小麦3x+2yhm2。

由这道题我们可以体会出，只要熟记工作效率、工作时间、工作量之间的等量关系，然后根据题目的表述，把各部分工作量用代数式表示出来，找到各部分工作量与总工作量之间的等量关系列出方程即可。一般等量关系为：各部分工作量之和等于总工作量。

3.表格法：

将题目中的数量及其关系填写在事先设计好的一张表格内，然后根据表格逐层分析，找到各量之间的内在联系，列出二元一次方程组。此法多用于溶液浓度问题、以及其他条件、关系较复杂的题目。

例：如图（图略）长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连。这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地。公路运价为1.5元/（吨・千米），铁路运价为1.2元/（吨・千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元。这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？

分析：问题普及的量比较多，数量关系也比较复杂，可以让学生尝试用列表的方法将数量关系梳理清楚。

附：实际问题中常见的类型及数量关系。

⑴工作量问题

工作量=工作效率×工作时间

⑵行程问题

路程=速度×时间

顺风（水）速度=航速+风速（水速）

逆风（水）速度=航速C风速（水速）

①相遇问题：两者路程之和=总路程

②追及问题：两者路程之差=总路程

（3）利润问题

利润=售价-进价

利润率=利润/进价×100%

折率=售价/标价

篇10

，所以对角线总数为n(n-3)，但其有一半是重复的，所以就再除以2得：

n（n-3） 2 ，所以n边形的边数与对角线总数的和为n+

n（n-3） 2 = n（n-1） 2 .九年级“实际问题与一元二次方程”中，有一种题型人们称其为“握手问题”，我们把n个人握手可以看成是n边形的各个顶点连成的n边形各边与对角线总数的和形成的图形，这样就能够做到不重不漏，也就完成了数学建模.因为 n(n-1) 2 表示多边形边数与对角线总数的和是“单层的”，但有时会出现诸如“赠送照片互赠一张”的多边形边数与对角线总数的和是“双层的”的问题，学生在什么时候除以2、什么时候不除以2容易混淆，究其原因还是没有深刻的理解题意造成的.先请看课本原题.

例1 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？

（人民教育出版社九年级数学上册29页习题）

评析 ：根据求多边形边数与对角线总数的和的原理，这个数学模型的

总数 n(n-1) 2 是“单层的”，即甲向乙握手一次，乙就不必再同甲再握手一次.

解 ：设有x人参加聚会.

根据题意列方程为： x(x-1) 2 =10，

解得：x1=-4（不合题意，舍去），x2 =5.

例2 要组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？（人民教育出版社九年级数学上册25页例题）

评析： 此题还可以这样分析：每两队之间只进行一场比赛，设邀请x个队参赛，每个队都要与其他（x-1）个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以要把x（x-1）这个比赛的总场次除以2，由全部比赛的场数为4×7=28场来列方程求解即可.

解 ：设邀请x个队参赛，每个队要与其他（x-1）个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛共 1 2x（x-1）场.

列方程 1 2 x（x-1）= 28.

解得x1 = -7（不合题意，舍去），x2 = 8.

例3 参加一次足球联赛的每两队之间要进行两次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？（人民教育出版社九年级数学上册48页习题）

评析 ：同样是球类比赛，此题与例2的不同之处在于“每两队之间要进行两次比赛”，如果设共有x个队参赛，则每个队都要与其他（x-1）个队各赛2场，由于甲队对乙队的比赛一次，乙队还要同甲队进行一场比赛，因此x（x-1）这个比赛的总场次就不除以2，

根据已知条件共要比赛90场列方程即可.

解： 设共有x个队参赛，每个队要与其他（x-1）个队各赛2场，由此列方程：

x（x-1）=90，

解得x1 = -9（不合题意，舍去），x2=10.

例4 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？（人民教育出版社数学九年级上册43页习题）

评析 ：本题要深刻理解“每两家公司之间都签订了一份合同”这一已知条件，即甲公司向乙公司签订的合同与乙公司向甲公司签订是同一份合同，因此n(n-1)要除以2，根据求多边形边数与对角线总数的和的这个数学模型，列方程解应用题即可.

解 ：设共有x家公司参加商品交易会，依题意列方程为：

1 2x（x-1）=45，

解得x1=-9（不合题意，舍去），x2=10.

练习：

1. 为庆贺新年，某宿舍的所有成员都互赠贺卡各一张，一共送出贺卡56张，则这个宿舍共有多少人？