数学思想范文

导语：如何才能写好一篇数学思想，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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一、“数学广角”的教育价值

数学思想方法是对数学规律的理性认识。如在二年级上学期和三年级上学期都安排排列与组，但它们的教学要求是不同的。在二年级上册教材中，学生已经接触了一点排列与组合知识，学生通过观察、猜测以及实验的方法可以找出最简单的事物的排列数和组合数。如用两个数字卡片组成两位数的排列数，三个小朋友两两握手的组合数等。《标准》中指出：在三年级上册教材中继续学习排列与组合的内容。三年级上册教材就是在学生已有知识和经验的基础上，继续让学生通过观察、猜测、实验等活动找出事物的排列数和组合数。与二年级上册教材相比，三年级下册教材的内容更加系统和全面，分别介绍了排列以及组合。教材重在向学生渗透这些数学思想。并初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识，这也是《标准》中提出的要求：“在解决问题的过程中，使学生能进行简单地、有条理地思考。

二、“数学广角”的教学原则

1.联系实际，体验数学的价值。数学广角”就是体现数学生活化的一个很好例子。教材以学生熟悉而又感兴趣的生活场景为依托，重在向学生渗透这些数学思想方法，将学习活动置于生活情境中。给学生提供操作和活动的机会。穿衣、饮食、照相等都是生活，这些素材就比枯燥的数字要亲切可爱得多。数学来自于生活并应用于生活，把数学生活化。让学生感受数学就在身边，学习有用的数学。这不但巩固了学生所学的知识，而且联系生活实际。解决实际问题，使学生体会学习数学的意义，体现了数学的应用价值。

2.创设情境，提供铺垫。例如第三册“数学广角”这一课，主要内容有衣服(早餐)搭配，数字排列和球队比赛等，渗透了排列和组合的数学思想。教师可以设计明明一家“某地一日游”的情境，通过明明选择服饰、点心搭配、选择游览路线、参观拍照、巧记车牌(或电话号码)等这些具体的生活情境，培养学生有序思考的方法，体现数学学科特点。这样设计，比单纯利用教材所给的素材更能吸引学生的注意，引发学生的思考，帮助学生体验生活中的数学。

3.主动参与，探索新知。对于学习者来说，很重要的一种学习方式是主动参与、自主发现。如，在教学“鸡兔同笼”时，教师指导学生动手画一画，在画的过程中引导学生发现问题，并就此展开讨论、交流。这比光靠教师讲授的效果要好得多。学生在参与的过程中体验到解决问题方法的多样性，并根据自己的实际选择不同的方法。突出了学生的主体地位。在此过程中，学生收获的不仅是知识。更多的是能力、情感态度得到了发展。

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《义务教育数学课程标准》（2011版）指出：“数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。”在小学数学课堂教学中，教师不仅要重视知识的传授，还要挖掘知识背后蕴含的数学思想，提升学生的思维品质。有些老师把学生当作储存知识的容器，灌输知识，忽略数学思想的培养。因此，在教学中，教师只有做到传授知识与渗透数学思想并重，才能为学生终生学习打下坚实的基础。

一、渗透转化思想，让思维更灵活

数学是一门系统性很强的学科，前后知识有着密切的联系，转化思想是小学数学一个重要的思想，它是数学思想的灵魂。在课堂教学中，教师要有机地渗透转化思想，将陌生的问题转化为熟悉的问题，通过有效迁移，达到内化新知的目的，完善学生的知识体系。

在教学《圆的面积》时，教师借助多媒体呈现了平行四边形、三角形、梯形和圆形，教师引导学生回顾平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导过程，并提问这些图形的面积公式推导过程，有什么相同点？“都运用了转化的策略。”学生们异口同声地说。“那么圆可以转化成什么图形呢？”学生们纷纷猜想，有的学生猜想可以转化为平行四边形，也有学生猜想可以转化为梯形……于是教师引导学生拿出将圆等分的学具进行验证，通过拼一拼、看一看、比一比等活动，学生们发现，可以拼成近似的平行四边形。由于圆是曲线图形，不能通过简单的几次拼接，就可以转化成标准的已学图形，于是教师借助多媒体进行演示，将圆平均分成32份、64份、128份……把圆分成的份数越多，学生直观地感受到拼成的平面图形就越接近长方形，引导学生思考拼成的长方形与原来的圆有什么关系，推导出了圆的面积计算公式S=πr2。

二、渗透数形结合思想，降低问题难度

华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合是重要的数学思想之一，以形解数，可以降低思维难度，达到化难为易、化繁为简的目的。在课堂教学中，教师捕捉时机，渗透数形结合的思想，可以开阔解题思路，提升学生的思维能力。

教学《分数应用题》时，教师出示了这样一道题目：果园里有梨树180棵，梨树的棵数比桃树多 ，果园里有桃树多少棵？这道题学生通过阅读文字，就能理清题目中的数量关系，对很多学生而言，这是有难度的。因此，在做题时，教师可以引导学生画出线段图，借助线段图分析题目中的数量关系：学生借助所画的线段图，就可以很轻松地理清题目中的数量关系，很容易地找出桃树的棵数是“单位1”， 指的是梨树比桃树多的棵数，要求出桃树有多少棵，首先要求出梨树是桃树的几分之几。这样做，有效地降低了问题的难度。

上述案例，在面对复杂的数学问题时，教师有效地运用了数形结合的思想，借助线段图，变“看不见”为“看得见”，帮助学生理清了各个量之间的关系，明确了解题思路。这不仅让学生获得了知识，而且使学生的思维得到多元的发展。

三、渗透模型思想，化抽象为直观

《义务教育数学课程标准》（2011版）指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”数学模型思想是帮助学生用数学知识解决实际问题的桥梁，这就要求教师在课堂教学中，不仅要重视知识的传授，还要帮助学生在学习中建立数学的模型，提升学生解决实际问题的能力。

在教学《长方形和正方形的面积》时，教师设计了动手拼一拼的活动：用12个1平方厘米的正方形拼成长方形，可以拼出几种不同形状的长方形？学生通过摆一摆，发现可以摆出3种不同形状的长方形：⑴长12厘米，宽1厘米；⑵长6厘米，宽2厘米；⑶长4厘米，宽3厘米。通过摆的活动，学生明白长方形里面含有多少个这样的面积单位，它的面积就是多少平方厘米。然后让学生根据操作，将探究的数据填到表格中，教师紧接着让学生观察表格中“每行摆的个数”“摆的行数”“所拼长方形的长和宽”，说一说长方形的面积跟什么有关，有什么样的关系。学生通过观察、比较、思考、交流，归纳出了长方形的面积计算公式=长×宽。这一新知探索的过程让学生充分体验了数学模型的形成过程。

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【关键字】数学思想；数学思维；渗透；培养

数学学习的过程也是培养数学思维的过程，数学思维能力的高低关系到数学水平的高低，因此，在数学教学中应该注重培养学生的数学思维，在传授知识的同时揭示数学思维过程，把数学知识的积累和数学思维的培养统一结合起来。

一、在概念教学中渗透数学思想

数学概念是构成数学学科知识理论体系的基础，是反映数量关系和空间形式本质属性的思维形式，对数学知识的学习起到基础性作用，也是数学课堂教学中首先学习的内容。有些数学教师受传统教学方式的影响，只注重学生对概念的理解和应用，对概念产生的原因、背景、条件和形成过程不关心，这样使数学概念成为了静止孤立的定义，学生无法了解概念背后的精神和丰富的内容，不利于数学知识体系的形成。“函数”是数学教学的重点和难点，在学习“函数”的概念时，我们往往只学习函数的古典定义，即“变量说”定义，而对“函数”概念产生和发展的背景和过程不够了解。自从笛卡尔创立《解析几何学》开始，数学家们对“函数”的研究就一直在进行，代表人物欧拉，就给“函数”下过三次定义，直到迪里赫勒提出了我们现在使用的函数定义，实际上，函数的定义还有“关系说”和“对应说”，在课堂上，教师在介绍数学概念时可以只做一点引申，在课程讲解完或者课余时间，教师再对概念的背景进行讲授，在对数学概念形成背景的讲授中，可以让学生明白一个道理，那就是任何数学概念的形成都是有科学根据的，并且是数学家反复推理、实践得出的结论，在实践中不断完善和发展。

二、采用问题教学法培养学生的数学思维

学习和思考是相互促进、相互依存的关系，要想让学生积极主动的去思考，教师可以根据教学内容，合理设置问题，采用问题教学法来激发学生的思维，促使学生思考。教师设置的问题要贴近教学内容和学生的日常生活，并且要合理协调问题的难易程度，教师提出了问题，就会使学生产生解决问题的愿望，从而促进了学生的思维活动。教师设置了问题，使学生处在问题情境之中，从而集中了学生的注意力，提高了学生课堂学习的效率。根据创设问题的内容，可以把问题教学方法分为故事法、实验法、生活实例法、联系旧知识法等，研究表明，学生是否愿意主动的进行思维活动，不仅在于他们对这门学科的兴趣性和目的性，更在于这门学科能否帮助学生解决实际问题，也就是说学生是否感觉这门学科有实用性。在教师创设的问题情景下，带着问题思考，学生对教师传授的知识和理论更容易接受，并且经过思考后转化成自己的知识，培养了学生的数学思维能力。

三、激发学生学习数学的兴趣

兴趣是学生最好的教师，由于数学学科的理论性强、难度大、推理复杂，很多学生对数学望而生畏，觉得数学是一门及其枯燥的学科，在这种的心态下，学生不可能积极主动的去学习，也感受不了学习带来的乐趣。教师在课堂教学中，可以利用教具进行演示和操作，对于无法动手演示的推理，还可以借助多媒体教学，吸引学生的注意力，尽量把知识简单化，让学生树立学好数学的信心，同时，还要鼓励学生自己提出问题，提出问题比解决问题更能锻炼学生的思维能力，因为解决问题只是进行机械定式的思考，而提出问题可以培养学生的观察能力和创新思维能力。教师要创造一个轻松、愉快、活跃的课堂环境，在这样的环境下，学生能够大胆发言，敢于提出自己的问题，不至于使问题越积越多，也缓解了紧张的教学气氛。教师可以尝试新的教学方法，在数学教学中渗透数学思想，提高学生学习的主动性。例如在学习数列时，教师可以从生活中常玩的游戏――象棋入手，很多学生都会象棋都兴趣，教师在指出象棋和数学学习有联系后，学生会产生极大的好奇心，想去探求联系，在探求中学习了知识。

四、利用数学思想指导解题与复习

在对已学知识进行复习时，教师要结合知识形成发展的过程，揭示知识中蕴含的数学思想，比如在学习直线和圆锥曲线的位置关系时，可以采用数形结合的数学方法，使知识变的简单明了，同时要注重知识的内在联系，比如函数、方程、不等式的关系，运用数形结合和等价转换的数学思想把数学知识联系起来。利用数学思想解题，在解题的过程中培养学生独立运用数学思想解题的意识，解题的过程就是数学思想运用的过程，比如求二面角的大小，就是运用把立体问题转化为平面问题的数学思想，三垂线定理的运用也体现了数学思想。运用数学思想培养学生一题多解的能力，可以培养学生的发散性思维，使思维变得更加灵活、敏捷，学生采用多种数学方法，是对数学知识灵活运用的一种表现，提高了学生的数学能力。

五、利用数学思维的特征培养学生能力

数学思维的最基本特征就是概括性，对数学知识的学习和运用实际上就是概括的过程。数学概念的形成需要概括，有了概括，学生才能真正理解数学概念，并学会运用数学知识解决问题；学生对数学认知结构的形成需要概括，有了概括，学生才能形成数学能力，因为，概括的能力是数学能力的基础，数学能力提高的表现就是把生活中的问题概括成数学问题，继而概括出数量关系，再到数学模式、数学公式上去，从而使问题得到解决。要培养学生的概括能力，教师应该设置教学情境，明确概括的方法，引导学生通过自己的思考进行概括，教师在分析新旧知识联系的基础上，围绕知识的联系对学生加以引导，让学生自己发现内在规律，可以采用多种启发方法，让学生锻炼概括思维的能力，提高解决问题的效率。

数学思想是数学学科的灵魂，是对数学知识本质的认识，是形成学生正确的认识结构的纽带，是把数学知识转化为数学能力的桥梁，是培养学生数学思维的根基，因此，在数学教学中，教师应该注重在知识的传授中渗透数学思想，培养学生的思维能力，提高学生的数学素养。

参考文献：

[1]朱孟伟，马士杰．数学教学中培养学生思维能力训练尝试．数理化解题研究，2005，8

[2]吴新建，《高中数学问题情境教学中的几个误区》[J]，《数学教学通讯》，2008(1)

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[关键词]数学思想 渗透 思维能力 感悟 反思 整理 复习

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）33-020

随着课程改革的不断深入，数学教师越来越注重在教学中渗透数学思想。正所谓：“授人以鱼，不如授人以渔。”因此，在数学教学中，教师不仅要让学生掌握解决问题的方法，鼓励学生自主探索问题背后的规律，还要加强数学思想的渗透，提高学生的数学思维能力，以期收到更理想的教学效果。

一、强调知识的形成过程，感悟数学思想

数学教学主要有两条主线，即数学知识与数学思想。数学知识和数学思想是紧密联系的，没有不包括数学思想的数学知识，也没有脱离数学知识的数学思想；数学知识的产生与发展过程，也是数学思想的形成与运用过程。因此，数学教学中强调知识的形成过程和渗透数学思想，关键是让学生在获取数学知识的过程中经历与体验，感悟其中的数学思想。具体来说，不管是数学概念的形成与概括，还是规律、公式等数学结论的产生与推导，教师均不得直接将结果传授给学生，需通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，让学生多联系现实生活，通过观察、分析、总结等手段，亲身经历数学知识的形成过程，加深对数学知识的理解与掌握，有效提高自己的数学学习水平。

例如，在小数乘法教学中，教师可先通过生活情境引入计算问题，让学生根据实际问题的数量关系列出乘法算式，然后根据小数点位置移动导致小数大小变化的情况，把小数乘法转变为整数乘法计算，最后引导学生总结小数乘法的计算方法。这样教学，不仅可以让学生掌握小数乘法的计算方法，培养学生的思维能力与应用能力，还可以引导学生感悟数学的建模思想、归纳思想、转化思想等，对提高学生的数学成绩有着十分重要的作用。

二、反思知识的学习过程，明晰数学思想

反思作为一种高级认知活动，不仅要了解自己的心理感受与思想认知，还要深入理解自己曾经历过的事情。在数学学习过程中，学生进行反思就是对学习内容、认知策略、学习方法等予以深入的理解与再次认知。因此，教师在学生反思学习过程中需注意以下几点：一是要想取得好的反思效果，就要让学生养成良好的反思习惯，提高学生反思的自主性；二是要让学生掌握反思的方法，更好的分析与解决实际问题，使学生更深入的感悟数学思想；三是及时引导学生进行交流与总结，让学生明确数学思想的运用，提高教学效果。

例如，在三角形分类教学中，教师可先让学生对不同的三角形进行观察，明晰三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，然后引导学生交流三角形的分类方法，并且说明分类的原因。通过这样的反思，不仅可以加深学生对三角形分类的认知，还可以深化学生对数学知识与数学思想的理解，从而取得好的教学效果。

三、加强知识的整理和复习，总结数学思想

在数学教学中，教师不仅要重视知识形成过程的再现，引导学生回忆相关的数学知识，还要加强数学知识的整理与复习，突出数学知识形成的共性，使学生明确各知识点之间的联系，深入理解、体验数学思想的运用与实用性，从而有效总结数学思想。

例如，在平面图形面积计算的整理与复习中，教师可先让学生对面积的定义进行回忆，说说自己会计算的图形，然后让学生交流正方形、长方形、三角形等图形的面积计算方式，明确其推导过程。通过这样的反思，不仅可以加深学生对有关面积计算公式的理解与记忆，形成良好的认知结构，还可以深化学生对转化思想的理解，使学生充分认识到数学思想的重要性，从而加以全面运用，有效提高数学学习成绩。

综上所述，在数学教学过程中，为了取得理想的教学效果，教师一定要有目的、有意识地渗透数学思想，最大限度地提高学生学习的兴趣与热情，调动学生学习的积极性与主动性，发展学生的学习能力与思维能力。

[1] 张晓宾.加强数学思想渗透 发展数学思维能力――对人教版小学数学教材“数学广角”修订的几点思考[J].课程教育研究（新教师教学），2015（21）.

[2] 窦林.数学思维在教学中的体现――苏教版小学数学教学中渗透数学思想的方法研究[J].新课程导学，2016（2）.

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关键词：渗透；数学思想；提高；数学素养

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）09-0058

问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂。不管是数学概念的建立，数学规律的发现，还是数学问题的解决，乃至整个“数学大厦”的构建，核心问题在于数学思想方法的培养和建立。教师对数学思想没有清晰的认识。在我们平时的考试中，几乎不涉及数学思想的考试，所以教师们对数学思想停留在口头上。数学基本思想是一种隐性的东西，这些体现的是数学素养。我们知道，数学思想是学生认识事物、学习数学的基本依据，是学生数学素养的核心。数学思想是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学学习的灵魂。数学思想方法是伴随学生知识、思维的发展逐渐被理解的，数学思想方法的感悟是在学生数学活动中积累的。教学中渗透数学思想方法可以使学生自觉地将数学知识转化为数学能力，最终通过自身的学习转化为创造能力。

虽然数学基本思想已经成熟，但是数学课程中的基本思想初出茅庐，需要教师分析、研究、尝试、探求的空间很大。以前的教学是按照知识确定教学思路的，如导入、新授、巩固、拓展、提升。其核心是知识的掌握和技能的训练。当我们的视角转向数学基本思想的时候，更多地考虑如何抽象、推理、建模和应用了。要落实到这些点上，我们就要聚焦过程，聚焦学生，聚焦如何将思想蕴含在教学内容之中，这是一个需要探究、值得探究、必须探究的领域。

那么，如何引导学生在数学学习中渗透数学基本思想呢？

数学思想的准则包括两条：一是数学的产生和发展所必须依赖的那些思想，二是学习过数学的人和没有学过数学的人思维的差异。这样数学思想归纳为：抽象、推理、模型。

在新修订的课标中，数学的基本思想有抽象的思想、推理的思想、模型的思想。那么如何在教学中渗透这样的基本思想，笔者认为让学生能够在数学学习中浸润数学思想，感受数学思想，可以以这样的方式进行：

首先，逐渐抽象。在我们的数学教材中，经常会出现主题图，主题图的情境很多是生活化的一些问题，这些问题中的表象容易被学生关注，而内部的规律性的问题不会被学生意识到。所以教师在处理这类型教材的时候一定要从具体到抽象，从无序到有序，逐步感受到生活中隐含的规律。课堂教学中学生用生活化的语言回答，一般离不开情境图的具体情境，会有具体、直观的方式描述，教师要引导学生去掉具体的情境化的东西，保留事物必要的元素，用简洁的语言或者符号去表示，这样就实现了由具体到抽象的过度。

其次，归纳推理。在实现了具体到抽象的过度之后，教师要有推理的意识，将这种意识转化为学生的意识，不仅仅猜想结果，而且要进行不同层次的验证。学生有一定的经验，学生有建立在这种经验基础上的相对抽象的经验，教师的作用是在这样经验的基础上，让学生认识到这种直观经验的局限性，推动抽象思维的发展。对于学生来说，归纳的思想不仅重要，而且是必须掌握的。教师的作用就在于让学生从具体的特例中像非本质的广泛中推广，要归纳出更一般化的用字母和符号来表示，广泛地运用在其他方面。

第三，模型应用。情境图中的是一种生活现象，但是可以通过抽象和推理变成数学上的一些原理和方法，成为一种广泛应用的数学模型，而要真正地成为学生意识中可以自由、灵活应用的模型，还需要对模型应用的条件、范围和方向等做进一步的研究。模型建立的初期，缺乏变式，学生只是机械地运用，教师要适时引导和指导，不断反思，体会阶段性的成果，也感受阶段性的局限性，感悟模型思想的规律性、必要性和简洁性，促进学生的模型思想的建立，整体认识数学模型。

淡化模式，凸显思想。教学中体现先进的教学思想和教育理念，蕴含教师对课程标准下教材的理解，蕴含学生的学习和教师的指导，看不到什么模式，也看不到什么程序，课堂中更多的是有合作，课堂上很多时候是我来说，别人来补充，没有固定的程序，没有程序化的语言，都是鲜活的生成。这才是生命的火花，这才是真实的课堂。

学生在学习过程中能够习得的数学思想，即学生在数学学习过程中“再发现”的数学思想。这个是数学的教育领域而言。真正的思想一定是朴实、自然，提法不那么刁钻和华丽；思想的形成需要氛围，对思想的追求不能太过刻意，要注意营造有助于思想生长的情景和环境。对思想的泛化的处理，搞出五花八门的思想类型，可能是无用功。

数学基本思想本身反映了数学作为成长载体的教育价值，以它为目标，有可能使那些可以普遍迁移的，如兴趣、好奇心、洞察力、质疑能力、探究能力、反思精神、合作精神、创新精神的养成成为现实。把数学的基本思想作为课程目标，使得学生有可能通过自己的发现习得新的数学知识内容，在探究过程中领悟数学概念和方法的来龙去脉及用途。关注数学基本思想，有助于促进教学方式的改革，有助于改变只听不想、只学不问、只知不识的教学状态；有助于促进教师重新审视“教什么？怎么教？教得怎么样？学什么？怎么学？学得怎么样？”这些带有根本性的问题，为转变教学模式、教学观念、教学行为提供重要的支撑。

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1．数形结合思想

数和式是问题的抽象和概括，图形和图像是问题的具体和直观的反映。华罗庚先生说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好。”这句话阐明了数形结合思想的重要意义。学生掌握了这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值，对解决问题更具有指导意义。比如在讲“圆与圆的位置关系”时，我让学生自制圆形纸板，进行运动实验，让学生首先从形的角度认识圆与圆的位置关系，然后可激发学生积极主动探索两圆的位置关系反映到数上有何特征。这种借助于形通过数的运算推理研究问题的数形结合思想，在教学中要不失时机地渗透。这样不仅可提高学生的迁移思维能力，还可培养学生的数形转换能力和多角度思考问题的习惯。

2．化归思想

化归思想是数学思想方法体系主梁之一。在实数的运算、解方程(组)、多边形的内角和、几何证明等的教学中都有让学生对化归思想方法的认识，学生有意无意接受到了化归思想。如已知(x+y)2＝11，xy＝1求x2+y2的值，显然直接代入无法求解，若先把所求的式子化归到有已知形式的式子(x+y)2－2xy，则易得：原式＝9；又如“多边形的内角和”问题通过分解多边形为三角形来解决，这都是化归思想在实际问题中的具体体现。化归思想是解决数学问题的一种重要思想方法。化归的手段是多种多样的，其最终目的是将未知的问题转化为已知问题来解。实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。

3．方程思想

众所周知，方程思想是初等代数思想方法的主体，应用十分广泛，可谓数学大厦基石之一，在众多的数学思想中显得十分重要。所谓方程思想，主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法。教材中大量出现这种思想方法。如列方程解应用题，求函数解析式，利用根的判别式、根与系数关系求字母系数的值等。教学时，可有意识的引导学生发现等量关系从而建立方程。如我讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时，就启发学生去发现确定解析式的关键是求出各项系数，可把他们看成三个“未知量”，告诉学生利用方程思想来解决，那学生就会自觉的去找三个等量关系建立方程组。在这里如果单讲解题步骤，就会显得呆板、僵硬，学生只知其然，不知其所以然。与此同时，还要注意渗透其他与方程思想有密切关系的数学思想，诸如换元，消元、降次、函数、化归、整体、分类等思想，这样可起到“拨亮一盏灯，照亮一大片”的作用。

4．整体思想

整体思想在初中教材中体现突出，如在实数运算中，常把数字与前面的“+，－”符号看成一个整体进行处理；又如用字母表示数就充分体现了整体思想，即一个字母不仅代表一个数，而且能代表一系列的数或由许多字母构成的式子等；再如整式运算中往往可以把某一个式子看作一个整体来处理，如：(a+b+c)2＝[(a+b)+c] 2视(a+b)为一个整体展开等等，这些对培养学生良好的思维品质，提高解题效率是一个极好的机会。

5．分类讨论思想

分类讨论即根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段。在教学中，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。例如，对三角形全等判别方法的探索，教材中的思考题：如果两个三角形有三个部分(边或角)分别对应相等，那么有哪几种可能的情况？同时，教材中对处理几种识别方法时也采用分类讨论，由简到繁，一步步得出，教学时要让学生体验这种思想方法。

6．变换思想

变换思想是由一种形式转变为另一种形式的思想。解方程中的同解变换，定律、公式中的命题等价变换，几何图形中的等积变换等等都包含了变换思想。具有优秀思维品质的一个重要特征，就是善于变换，从正反、互逆等进行变换考虑问题，但很多学生又恰恰常忽略从这方面考虑问题，因此变换思想是学生学好数学的一个重要武器。例：四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA，E、F是AC上的两点，且AE＝CF。求证：DE＝BF。这道题若是由已知向后推理较难把握方向，但用变换方法寻找证法比较容易：要证DE＝BF，只要证ADE≌CBF(证ABF≌CDE也可)；要证ADE≌CBF，因题目已知BC＝DA，AE＝CF，只要证∠DAE＝∠BCF；要证∠DAE＝∠BCF，可由ABC≌CDA得到，而由已知条件AB＝CD，BC＝DA，AE＝CF不难得到ABC≌CDA。这样问题就解决了。

7．辩证思想

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一、数形结合思想

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体。通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题。关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：（1）要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；（2）恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；（3）正确确定参数的取值范围。我们以函数与图象解题为例：

注：利用函数图象不仅可以直观地讨论函数的性质，而且可以解决与函数有关的问题，如，它在解不等式、方程中的应用显然体现的是一种创新意识，同时也体会到了数学的简明性，这正如庞加莱所说的“数学的优美感，不过是问题的解答适合我们的心灵需要而产生的一种满足感”。

例2.解不等式x2-x-6>0。

分析：求一元二次不等式的解集，只要联想对应的二次函数的图象，确定抛物线的开口方向和与x轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式的解集。我们可先联想对应的二次函数y=x2-x-6的图象（如右图），从x2-x-6=0解得：x1=-2，x2=3，知该抛物线与x轴交点坐标为（-2，3），当x取交点两侧的值时，即x3时，y>0，即x2-x-6>0，故可得原不等式的解集为{x|x3} 。

注：以“形”代算，技巧性很强，通过图形的直观显现，答案直接跃然纸上。

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合是数学中的一种基本思维方法，要养成从数、形两个方面去思考问题的习惯，这对数学的学习是极为有益的。

二、函数与方程思想

函数思想就是利用运动与变化的观点，分析研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来，从而达到解决问题的目的。若把表示函数关系的解析式看作方程，通过解方程的手段或对方程的研究，使问题得以解决，这便是方程思想。

在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

三、分类讨论思想

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的思想方法，同时也是一种重要的解题策略，就是当问题不能进行统一研究时，我们就需要对研究的对象按照某种标准进行分类，然后对每种分类研究得出每一类的结论，进而综合各种结论得到整个问题的解答。实质上分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”，下面我们以解不等式为例：

例4.解关于x的不等式：ax2-（a+1）x+1

分析：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a≠0；（2）a=0，对于（2）的不等式易解；对于（1）又需再次分类：a>0或a

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在数学中占有重要的位置。

四、换元思想

换元法又称变量替换法，即根据所要求解的式子的结构特征，巧妙地设置新的变量来替代原来表达式中的某些式子或变量，对新的变量求出结果后，返回去再求出原变量的结果。换元的目的是为了化繁为简、变未知为已知，使目标更加具体明确，继而解决问题。

五、转化与化归思想

所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将那些待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归纳为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解决。

转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法。数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化。以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现，各种变换法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段，所以说转化与化归是数学思想方法的灵魂。

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一、重过程，萌发数学思想

数学思想方法与数学知识的教学是统一的，在教学中不能也不应该将两者割裂开来，否则既浪费时间，又降低效率。在数学概念、知识等教学过程中，渗透适当的数学方法指导，让学生们在分析问题、解决问题中，感受内在的方法，把握内在的思想，既能让学生易于接受，也能大大提高效率。

例如，在学习《分数乘法》的内容时，我通过学生们动手实践活动，在折纸的过程中，感知分数相乘的结果。然后引导学生们摆出乘法算式，比较乘数各因素的分子、分母与积的分子分母之间的关系，在观察、猜测、验证、归纳的过程中，推导出分数乘法的法则。在这样的过程中，学生懂得了公式推导的方法，掌握了乘法公式。新课程非常强调学生通过操作过程获得知识的教学方法，这样的方法，也有利于学生掌握必要的数学思想方法。在教学中，教师要注意为学生创设有效的活动，提高教学效率。

二、反复化，巩固数学思想

一种能力、方法、思想的养成不可能是一蹴而就的，通过一次的强化就实现教育的目的，基本上是不可能的。在数学思想方法的教学中，既要在合适的时机中反复落实，也要通过学生的自主练习反复强化和巩固。

例如，小孩子都有想知道结局的思想，为此，在教学中我渗透数的极限思想，告诉他们有很多东西都是无限的。在学习自然数时，我通过数的不断增加，让他们体验自然数的无穷无尽，由于自然数的无限性，也让学生们感受到了奇数、偶数的无限性。在学习小数时，通过在小数点后不断增加数字，让他们又感知了小数点后数字的无限性，在学习循环小数时，学生又懂得了循环小数和无限不循环小数的无限性。这样的无限思想，在学习梯形面积公式推导时，我让学生们把梯形的上底看作无限小，约等于零，这样梯形与三角形又具有了相似性。……通过这样的反复渗透，学生理解了自然界中无限存在的客观性，拓展了学生的思维。

三、系统化，深化数学思想

教育是一个系统工程，如同数学知识是系统地存在的和系统地落实的，数学思想方法也具有系统性，需要教师立足学生发展的整个过程，至少是立足于小学六年的时间，系统化地渗透和贯彻，实现由浅到深、循序渐进的培养，形成系统的方法。

例如，函数的概念在小学还没有涉及，但是函数的思想已经存在，在教学中，是这样贯彻的。在低学段，出现了数字填空的内容，其实就是函数思想的启蒙。如，8-（ ）=（ ），10-（ ）=（ ），（ ）-=（ ），在教学中，我使用相应的数字卡片，让学生们去填，感受填进的两个数字之间的关系及变化规律。到了中学段，学生已经学习了一些字母表达的公式，如面积公式S三角形=（底×高）÷2，这其实就是一个函数，在教学中，就需要渗透函数的思想，让学生懂得用函数的眼光去看待。到高学段，学习比例知识时，就包含着函数的知识，比例的连量之间其实就是一种函数，通过生活中的比例现象，让学生感知变量之间的关系，就是为将来的函数学习打下基础。在这样系统化的学习后，学生将来进入初中，学习函数知识也就水到渠成了。

四、显性化，催化数学思想

数学思想方法就是数学学习的规律，是本质性的东西，如果通过抽象的方法去讲解，学生很难理解。因此，通过一定的数学载体，直观化地表达出数学思想方法，能让学生们有一个显性的认识，有利于实现教学的目的。

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数学教材就像是土地孕育着一棵双生树，一株是数学知识，一株是数学思想方法，它们并蒂生长。在小学阶段数学思想方法有，但是数学思想往往蕴藏在数学知识中，数学知识也因数学思想更显生命。在实施教学活动之前需要教师对教材进行认真钻研，挖掘隐藏在数学知识内容背后的数学思想，找到数学知识与思想、方法的结合点，为渗透数学思想方法做准备。因为数学思想方法可以帮助学生理解题目要求、理清数量关系、理解概念等数学知识；另外，在解决问题中，数学思想方法也是学生解题的一种方法，是学生解决问题的策略。例如分数、百分数的认识、因数和倍数、半径和直径等一些数学概念的学习与概念本质的辨析中，可以运用类比思想方法、数形结合思想方法、归纳思想方法等有效地帮助学生理解概念及辨析其本质。又如在《稍复杂分数乘法应用题》教学过程中通过线段图的直观展现，把数与形有机结合，有效地化抽象为具体，化难为易，帮助学生理解分数间复杂的数量关系，数形结合思想方法是解决分数问题的有效方法，可提高课堂教学的有效性。因此教师挖掘出数学知识背后的数学思想，找出知识与思想方法的结合点，让知识与思想方法一体化，构建模式，为数学课堂提供丰富的元素，让学生体会数学思想方法能帮助学生理解掌握数学知识、有效提高解决问题的效率，培养学生数学思想意识。

二、在教学活动中渗透数学思想，促进学生运用数学思想方法

新课程标准提倡在课堂教学活动中要充分发挥学生的主体性，教师的主导性。因而在小学数学课堂教学中，教师需要为学生创造出更多的时间和空间，引导学生经历自主实践探索的过程，并在此过程中发现运用数学思想方法能有效快速解决问题，培养学生运用数学思想方法的意识。例如在教学《平行四边形面积公式》时，教师可以先通过引导学生自己动手操作、实践探索发现运用转化思想方法能很快地解决平行四边形面积公式的推导；在教学过程中需要教师引导学生体验转化思想方法解决问题的过程，针对性地让学生认识转化数学思想方法，进而理解掌握转化数学思想方法；同时，教师要记得适时地介绍转化数学思想方法是今后解决其它平面图形面积和立体图形体积计算的主要方法，提高学生运用转化思想的意识。到了六年级教学《圆柱体积公式》时，学生已有了之前的知识经验基础，体验过转化数学思想方法的应用，理解掌握了转化数学思想方法，在教学推导圆柱体积公式时，学生能有意识或无意识的运用转化数学思想方法解决问题，推导出圆柱的体积公式。学生有经历，体验才深刻，运用意识才强烈，在教学活动中，教师应多提供给学生探索、发现的机会，让学生体验数学思想，深刻感受数学思想方法的魅力，并能够理解、学会并加以运用。

三、在解决问题中综合运用数学思想，提高学生灵活思维的能力

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关键词：数学 教学 转化

就解题的本质而言，解题既意味着转化，即把生疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把高次问题转化为底次问题，把未知条件转化为已知条件，把一个综合问题转化为几个基本问题，把顺向思维转化为逆向思维。因此，我们在小学数学教学中，应当结合具体的教学内容，渗透数学转化思想，有意识地培养学生学会用“转化”思想解决问题，从而提高数学能力。

一、从转化的角度来分析小学数学知识结构

转化思想是小学数学思想方法中的最基本方法之一。深入地分析小学数学教材中的转化思想，可以更好地把握教材的知识结构，有利于提高课堂教学效率。下面结合自己的教学实践，从转化的角度来分析小学数学内容：

（一）计算。

1、计算的纵向转化。加减计算：20以内数的加减100以内数的加减多位数的加减小数加减分数加减。其中 20以内数的加减计算是基础。如23+15可以转化成2+1和3+5两道十以内数的计算，64-38 可以转化成14-8和5-3两道计算。多位数计算也同样。分数加减计算如 7/8+3/8 就是 7个1/8 加3个1/8 ，就是（7+3）个1/8 ，最后也可以看作是20以内数的计算。乘除计算：一位数乘法多位数乘法小数乘法。一位数乘法口诀是基础，多位数乘法都可以把它归结到一位数乘法。除数是一位数的除法多位数除法小数除法。除法中除数是一位数除法的计算方法是基础，多位数除法都可以把它归结到一位数除法。

2、计算的横向转化。加法与减法之间可以转化，乘法与除法之间可以转化。几个相同加数连加的和，可以转化成乘法来计算。被减数连续减去几个相同的减数，差为零，可以转化成除法来表示。

（二）综合应用。

首先十一类简单应用题是复杂应用题的基础。十一类简单应用题可以归结为四大类数量关系，即部总关系、相差关系、倍数关系、总份关系。每一类数量关系的三道基本应用题可以通过条件与问题的交换进行相互转化，其它的稍复杂的整数和小数应用题可以把一步计算应用题通过改变条件转化成复杂应用题。

（三）空间图形。

面积计算公式的推导可以把长方形面积公式作为基础，其它图形面积公式都可以通过转化变成长方形或平行四边形后得出公式。体积计算公式以长方体的体积计算公式为基础，圆柱体的体积公式的推导也是通过转化为长方体来得出。

二、用转化的思想来指导教学

数学思想方法是学习数学知识，解决数学问题的根本策略和程序。教会学生数学的思想方法不仅是小学生掌握数学知识所必须的，而且是进一步学习数学、解决问题的基础。

小学数学任何一点数学知识总是处在与其他知识纵横联系的网络中。在处理教材过程中，把某一知识点与它前后知识之间的关系联系起来进行考虑，从而有机地组合教材，不拘一格地进行教学。让学生把某一知识及时地纳入到该知识的结构中，使学生对这个知识有全面的理解。这样使学生对知识理解得更快，更加深刻，掌握得更加扎实。

下面谈一谈如何用转化的思想来指导学生解决实际问题：

1.以旧引新。即根据学生已有的新旧知识的联系，将新知识转化为已有的知识来解决。例如，学习平行四边形的面积计算，学生通过自己操作，剪一剪，拼一拼，接一接，转化为一个长方形，这样，使旧知识、旧技能、旧的思考方法，逐步过渡到新知识、新技能、新的思考方法，从而扩展原有的认知结构。

2.由繁化简。即指导学生尽可能想办法，使其要解决的具体问题变得简单一些。例如：1200米长的公路，工程队6天修了3/8，还要几天才可以修完？ 这道题如果按一般应用题常规的解法，1200×（1-3/8）÷（1200×3/8÷6）会很繁琐，而换一个角度思考，把它转化为工程问题则非常容易，6÷3×（8-3）。

3.以生引熟。即学生碰到较难的题目时，要另外择路，化陌生为熟悉。例如：一路汽车每15分钟发一班车，三路汽车每20分钟发一班车，五路汽车每30分钟发一班车，如果三种车同时发车，第二次同时发车是在几分钟后？学生看到题目后，可能与所学数学知识很难结合起来，老师就要引导学生联想旧知识与此题的联系，让学生用求最小公倍数的方法解题。

4.由曲找直。圆的面积公式的推导，就要用到化曲为直的思考方法，通过将圆分割成若干等份，拼成近似的长方形，由圆的半径与面积的关系转化为长方形的长宽与面积的关系，由长方形的面积公式，推导出圆的面积的公式。这里，就是将长方形的面积公式转化为圆的面积公式。在学习圆柱的体积计算时，学生也能很快悟到立体图形之间的联系，感悟到圆柱体积的计算公式。

三、渗透后的效果与体会