数值计算范文

导语：如何才能写好一篇数值计算，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

“数值计算”是初中第二册（上）第一章《用电子表格处理数据》的第四课时。本章的学习重点在于使学生理解Excel在处理数据方面的强大功能：自动填充、数值计算、数据统计，并能将这些技能应用于实际生活中。而且，本节课要使学生明白两点：①为什么公式中要使用单元格地址而不能使用具体的数值计算？②函数计算时，注意单元格的范围。

学生的个人文件夹中已经通过自己录入或教师机分发拥有超市采购清单、期中考试成绩表、积分表、河流数据表、降水气温表五个工作簿。因为我校处于城乡接合部，学生家庭条件不等，学生的操作水平有很大差距，几乎每节课都有超额完成任务的，也有少数完成不了任务、需要留到下节课提前来赶进度的。本次课前学习了数据编辑，尤其是自动填充，学生们都掌握得很好，为这节课的顺利开展打下了基础。

教学现场

学生进入微机室，因为上节课任务完成得出色，上课铃响前，播放了一首《嘻唰唰》，学生比较兴奋。

上课铃声响，提醒学生关闭“金山打字通”，打开课本，开始转播教师机的屏幕。屏幕上打开的是本节课的学习要点和操作环节。学生观看，大致了解。

我说：“上节课我们已经亲身体验了Excel智能化的自动填充功能，这节课我们将继续体验它的另一大特色――强大的数值计算功能。”

然后，我打开期中考试成绩表，如下表。

我引导说：“这是初二级部550名同学期中考试的成绩，想要计算每位同学的总分，有什么办法吗？”

“用计算器。”好几名学生一齐喊着。“用算盘。”有一个调皮的男孩小声说，引起了一片哄笑。

“看看老师用什么办法，比比哪种方法更快呢？”

我开始边演示边讲解，在编辑栏中输入“=C2+

D2+E2+F2+G2+H2”，同时，让学生对比着每个单元格里的具体数值是多少，单击“确定”按钮后，拖动填充柄，几秒钟的时间计算出所有学生的总分，只听下面学生都说：“哇，这么快！”

学生着急了，想着自己也亲自试一试，那可不行，我的目的可不仅仅在于此。

“想一想，为什么老师刚才要在公式中用到C2、D2、E2……这些单元格地址，用84、111、83……这些数值计算出来的结果不是一样吗？”

“不一样。”“一样。”学生开始出现了分歧。

我引导说：“干脆自己去试一试，到底用具体的数值进行计算看结果一样不一样？”

这时，我关掉屏幕转播，让学生开始操作。很快就有学生大声告诉我说：“老师，每个人的总分都成一样的了。”

我问：“为什么？”

“因为……”想说又说不出来，看来有的学生有了意识，但是还需要点拨。我说：“好，既然这样不能计算出每个人的总分，那么你再用老师的办法做做看。”

越来越多的学生举手示意自己完成了，我边巡视边接着说：“现在，单击总分I列任一单元格，观察编辑栏中公式有什么变化，再单击另一单元格，看又有什么变化。”

“哦，我明白了。”学生们恍然大悟。为了照顾一部分理解能力稍差些的学生，我又将教师机屏幕进行转播：“瞧，当我单击I6单元格时，我们看到编辑栏中的公式自动调整为‘C6+D6+E6+F6+G6+H6’，单击I12单元格时，公式又自动调整为‘C12+D12+E12+F12+

G12+H12’。大家看教材第27页第二自然段：如果公式中包含单元格地址，我们就说公式引用了单元格，这种引用叫做相对引用。如果公式中使用了相对引用，那么公式就会随着使用公式位置的不同而相对发生变化。这也就是我们在公式中要使用单元格地址而不能使用具体的数值计算的原因。”

为了让学生更进一步理解公式相对引用单元格地址进行计算，将公式计算再提升一个难度，我接着给学生布置一个任务：“快速计算2002年足球甲A比赛各球队积分（胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分），并告诉我哪支球队得到冠军，哪支球队将降入乙级球队（积分最低降级）。”学生们兴致盎然，都觉得易如反掌。的确，很快就有人高喊“大连实德队是冠军”。我过去看了一下，正确！但是很多学生仍然局陷于前面那个练习简单相加求总分的套子里。我再三地将积分规则重复，再加上先做出来的同学的指导，很快学生们都做完了。我当时就想：这样的问题在数学课上是再简单不过的了，小学时就能做出来，但是把数字从纸上搬到屏幕上，我们的学生就解答不出来了，这实在是让人伤心。

下面开始函数计算了，我首先还是从求和函数入手，屏幕转播再次切换到期中考试成绩表。我说：“Excel还提供了多种函数，每种函数都有自己特定的功能。使用函数可以简化我们的计算过程。”

我演示如何打开函数对话框，说：“这么多的函数老师不能一一地讲，只挑选其中几个最常用的在课堂上练一练。其实，你会发现，当选中某一种函数时，在对话框的下方会自动提示此种函数的功能。”我接着说，“就拿计算总分来说吧，除了公式计算外，我还可以通过求和函数来完成。”

我接着问：“注意看这里：SUM（C2：H2），‘：’的作用是从哪到哪，即从C2加到H2。那么同学们想一下，如果说，本次考试地理学科成绩只做参考，不计入总分，那么我应该如何修改？”

学生回答：“把H改成G。”

我接着问：“如果不计政治呢？”

学生又回答：“把C改成D。”

我心中正为学生对于单元格地址的理解透彻而暗自欢喜的时候，有一个孩子在下面嘀咕了一句：“要是不计语文分数怎么办？”

我激灵了一下，当时备课时还真没考虑这个，只是想举几个例子练习一下，仔细一想，这个问题问得还真不错。

我说：“同学们可能还没听清吧，来，你起来大声重复一遍你刚才的问题。”

学生站起来，有些害羞，又讲了一遍。

学生们都听清楚了，都带着一种表情看着我：“是呀，那怎么办呢？”

我回答说：“这个问题问得很好。我觉得这位同学勤于思考、敢于质疑，值得表扬。如果是这种情况，函数也是可以解决的。可以在Number1中输入C2，在Number2中输入E2：H2，我们看到：SUM（C2，E2：H2），这样就可以得到正确的结果。当然，这种情况似乎用公式计算更容易让人理解：C2+E2+F2+G2+H2。总而言之，用函数也好，用公式也好，都是因事而宜、因人而宜的，方便、快捷、准确是进行计算的最终目的。”

课堂重点内容到这里基本结束了。随后，我让学生从个人文件夹中自主选择一个工作簿，进行求平均、求最大、求最小等函数计算，因为有了前面的铺垫，学生很快就完成了任务。有的学生把所有的工作簿都进行了计算。做完的学生我又接着给其布置任务：教材上课后选做分铅笔问题，这道题要求学生自学两个函数，取整函数和求余数函数。这个问题大大地激发了一部分善于思考、乐于挑战、基础好的学生。下课前，我从学生中挑选了一位，请他利用广播系统来演示他是如何解决分铅笔问题的。学生们在挑战中得到了极大的满足。

要下课了，在小结了本节课的收获后，我留下一个悬念：今天我们只是计算了初二级部550名同学的总成绩，怎样才能在最短的时间内知道自己在级部排多少名？下节课将继续这部分内容。

现场点评

教学现场征集活动进行到现在，我们已经看到了许多精彩纷呈的优秀作品，本节课又呈现给大家一节特色鲜明的课。我不想在课堂形式上多作讨论，仍然想从课堂的内容设计角度探讨一二。

第一，本节课很好地体现了技术价值取向的教学目标设计方法。即围绕单元格中应用公式的必要性这个基本的问题进行了逐步化，最终达成公式设计的技能教育。为了化难为易，本节课采取了三个环节来进行。首先，是比较公式计算与数值计算的优势区分，引导学生认识到公式的特点；然后，让学生在“推广”公式应用的填充技术中，观察公式单元格地址的变化，从而探索公式自动化填充的本质意义；最后，为了进一步提升地址引用对公式的作用，引入函数计算，从而对地址范围的定义方法、目的意义进行了功能揭示。这三个环节，层次分明，逐层上升，却都围绕着公式技术的价值来做文章，教学效果得到了深化，脱离了单纯的信息活动层面带来的技术弱化和技术模仿化，避免了失去学习的目的。

第二，本节课由于在设计上的宽泛，从而具有了优势。本节课能够放松学生的学习情绪，减少学习的框架限制，这从时而冒出的“算盘”、“不计算语文成绩”等花絮上都可以看得到。教师没有因为这些变化受到影响，却借势进行了引导。

篇2

Technology Stockholm, Sweden

Ake Bjrck Linkoping University

Linkoping, Sweden

Numerical Methods in

Scientific Computing

vol.1

2008, 717pp.

Hardcover

ISBN 9780898716443

SIAM

G. 达尔奎斯特等著

1974年出版的《数值方法》是当时Prentice-Hall丛书中最成功的经典著作之一,它是在KTH本科教学用书的基础上编写的英文版本,正是这本书使得数值方法在科学研究与工程技术中发挥了越来越重要的作用。它已被翻译成多国文字,1990年出现中文版本。2003年由Dover出版社再版。而这本经典著作正是出自本书的两位作者之手。

本书共分6章。1.基础的思想和概念,包括一些数值算法、求线性方程数值解和最小二乘法问题的基本方法、常微分方程数值解法初值问题的基本方法、矩阵计算等内容,还介绍了Monte Carlo法,包括对方差缩减技术、伪随机数发生器等内容进行了回顾;2.如何获得和评估准确度。包括误差估计的基本概念、计算机的计数系统、准确度与舍入误差、误差传播、精度的自动控制与校验计算;3.级数、算子和连分式。主要讨论了数值计算中无穷幂级数的不同用法,包括病态和半收敛级数;4.插值与近似。介绍了多项式插值的基础知识及相关的插值公式,重点讨论了重心Lagrange插值公式的优点,介绍了在复平面中运用复分析推导多项式插值通用Lagrange-Hermite公式,简单回顾了有理数和多维插值的运算法则。分段多项式在计算机辅助设计与制造中应用越来越广泛,介绍了如何从分段Bern?tein多项式得到参数Bézier曲线;5.数值积分。首先介绍了等距节点Newton-Cotes法则和数值积分Clenshaw-Curtis插入法则,然后讨论了Romberg法和算法外插法。对一些特殊算例中的梯形超法则和用于振荡被积函数的Filon型方法等超收敛方法也进行了介绍;6.标量非线性方程求解。介绍了二分法、不动点迭代、收敛阶等基本概念与方法。

G. 达尔奎斯特教授是瑞典数学家和数值分析学家,1962年创建了皇家科技研究所数值分析系,是数值分析领域的奠基人。1965年被选入瑞典皇家科学院, 1988年受邀参加工业和应用数学学会John von Neumann Lecturer演讲。为了表彰G. 达尔奎斯特教授在数值分析领域的开创性工作,1995年SLAM设立了以G. 达尔奎斯特教授名字命名的国际Germund Dahlquist奖,该奖每两年由工业和应用数学学会颁发一次。1999年由于他在数值分析领域的杰出贡献获得了苏黎世联邦高等工业学院和工业和应用数学学会的Peter Henrici 奖。

ke Bjrck是瑞典Linkping大学数学系教授,曾于1996年出版《最小二乘法问题的数值方法》一书,1993-2003年间是BIT Numerical Mathematics 杂志的常务编辑。研究方向为数值线性代数、最小二乘法问题和稀疏矩阵计算。

本书作者还根据40年的教学经验在书中准备了很多问题和练习题。本书可以作为大学本科数值分析课程的入门教材,也可以作为相关科研人员的参考用书。

论立勇,博士生

(中国科学院理化技术研究所)

篇3

关键词：鼻锥 气动噪声 数值计算

中图分类号：P73 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）04（a）-0025-03

Abstract：In this paper， the analysis theory of fluid dynamics is combined with the acoustic boundary element analysis method， and then the numerical caclculation of aerodynamic noise for different snose cones models in high speed airflow field is realized. Through the compare results of the noise sound pressure level（SPL） of these three models we found that the aerodynamic noise of the nose cone that with a ellipsoid head is lower than the one with a hemispherical head， and the ellipsoid nose cone has lower flow-induced SPL than those two commercial nose cone models at relative high air flow velocities at most frequencies.

Key Words：Nose cone；Aerodynamic noise；Numerical calculation

在声学风洞中进行气动声学实验时，气流产生的噪声是不可忽略的因素。当气流速度达到一定数值时，传声器的自噪声会很大，甚至会掩盖测量的目标信号，使得声学测试受到影响，很大程度上限制了实验的风速[1]。因此，需要在传声器前端装配降噪装置，这种降噪装置就是鼻锥。鼻锥可以将由湍流对传声器的边界层的碰撞造成的传声器薄膜的压力扰动降到最低[2]。有关资料显示，鼻锥表面的流速越大，产生的脉动幅度就越大，各个频率上的噪声声压级也会越大[3]。因此，对高速气流场中鼻锥表面的气釉肷的研究具有重大意义。

该文采取流场分析软件Fluent与声学仿真计算软件Virtual.Lab联合仿真的方法，基于流体力学分析理论和边界元声场分析理论对高速气流场中鼻锥表面的气动噪声进行数值计算。通过对3种不同形状的鼻锥模型的气动噪声进行比较，得出了一些影响鼻锥表面气动噪声的因素，对鼻锥的设计起到了指导性的作用。

1 基本研究方法

1.1 N-S方程

在流体力学中，对流体做以下假设。第一，流体被视为是连续的介质；第二，涉及的流场全部是可微的。基于上述假设可以得到流体的基本控制方程N-S方程的数学描述

其中，ρ是流体密度；x是笛卡尔坐标系中的坐标变量；u是流体在x方向上对应的速度矢量；μ是流体粘度；p是流场中的压力；f是作用在流体上的体积力。

1.2 气动声学声源理论

20世纪50年代，英国学者Lighthill通过严格的流体运动连续方程和动量方程，将N-S方程改写成波动方程的形式，得到反映自由空间中流场声波动和流场参数之间关系的Lighthill波动方程[4]。莱特希尔基本方程如方程（2）所示。

1955年，Curve对lighthill方程进一步发展，得出了考虑固壁因素的Curve方程[5]，如方程（3）所示。

式中，第一项代表由体积源产生的声信号；第二项代表物体表面作用在流体上非定常定力引起的声信号；第三项代表由于物体体积位移引起体积脉动产生的声信号。

1969年，福茨-威廉姆和霍金斯在科尔方程的基础上，将科尔的结果扩展到运动固体边界，提出了Ffowes Williams-Hawkings方程[6]（FW-H方程），如方程（4）所示。

其中，方程右边第一项是Lighthill声源项，是四极子声源；第二项表示由于表面脉动压力引起的声源项，为偶极子声源；第三项表示由于表面加速度引起的声源即流移分布声源，是单极子声源。

对于鼻锥表面的气动噪声而言，单极子声源和四极子声源可以忽略，这是因为：

（1）单极子声源的强度与鼻锥表面的水平方向速度有关，由于鼻锥表面为刚性的，所以水平方向速度接近零，可以忽略单极子声源。

（2）四极子生源的强度和偶极子声源的强度之比与马赫数的平方成正比，我们考虑的情况为低马赫数（低于0.3Ma），因此，四极子声源也可以忽略。

2 鼻锥几何模型的建立

该文在建模软件Pro＼E中对3种鼻锥模型进行建模，在建模过程中保留了鼻锥的结构特性，其中锥体总长为100 mm，锥体直径为40 mm，如图1所示。（从左到右分别编号1#、2#、3#鼻锥）

3 仿真结果比较

该文对3种不同形状的鼻锥分别在50 m/s和100 m/s的流场中进行了仿真，并且对它们在不同流速下的气动噪声进行了对比。

鼻锥模型（以3#鼻锥为例）在50 m/s的气流场中的气动噪声分布云图如图2所示。

从噪声分布云图可以看出，鼻锥的主要气动噪声集中在鼻锥的前端迎风处，在安装传声器的尾端部分，气动噪声大大降低，因此，在传声器上装配鼻锥会达到降低气动噪声的目的。

因为该文关心的是尾部装配传声器位置附近的气动噪声声压级，因此选择尾部的某个点作为接收点，3#鼻锥接收点在50 m/s和100 m/s流场中气动噪声的声压频率曲线如图3所示。

从气动噪声声压级在各个频率上的分布可以看出，鼻锥表面的气动噪声属于宽频谱，没有明显的主频率，但能量主要集中在低频区，并且随着频率的增加，声压级下降，在低频区下降的较快，在1 000 Hz以上衰减幅度较小。

图4是1#鼻锥和2#鼻锥在50 m/s流场中接收点处气动噪声声压值的相互比较，通过对比可以发现，在各个频率上头部为椭球型（2#）鼻锥的噪声值比头部为半球型（1#）鼻锥的噪声值低，最大差值可达30 dB，因此2#鼻锥的降噪性能要优于1#鼻锥。

图5是2#鼻锥和3#鼻锥在50 m/s流场中接收点处气动噪声声压值的相互比较，由图5可以看出，在各个频率上头部长度占总长度比例较大（3#）的鼻锥的噪声值比头部长度占总长度比例比较小（2#）鼻锥的噪声值低，最大差值可达27 dB。

4 结语

该文利用数值仿真的方法，从基础声源理论出发，并且与流体动力学方法结合，对三种不同形状的鼻锥模型在不同速度中的流场中的气动噪声进行了数值计算。仿真结果表明，鼻锥在高速气流场中的气动噪声主要集中在中低频，随着频率的增加，噪声声压级下降，并且在低频下降的比较快。通过对3种鼻锥模型的对比可以看出，椭球状的鼻锥的降噪效果优于半球状的鼻锥，并且头部长度占总长的比例越大，降噪效果越好。

参考文献

[1] 钟芳源，陆桂林.气动声学测量和分析技术[A].叶片机械风机和压气机气动声学译文集[C].北京：机械工业出版社，1987：21-30.

[2] Richard S.Fields Jr.Jin Tso Paul T.Soderman，An experimental investigation of cavity flow oscillations and tones of an in-flow microphone[J].Aeroacoustics，2006，5（2）：173-191.

[3] 乔渭阳.航空发动机气由学[M].北京：北京航空航天大学出版社，2015：240-250.

[4] Lighthill M J.On Sound Generated Aerodynamically[J].Part 1：General Theory，Proceedings of the Royal Society of London，1952（211）：564-587.

篇4

关键词： 多层膜； 生长模型； 功率谱密度； 表面粗糙度； 散射

中图分类号： O 434.1文献标识码： Adoi： 10.3969/j.issn.1005

引言近年来，为了对太阳光谱进行深入的研究，具有高效反射性能的硅基多层膜元件已经在一些近正入射反射系统的装置中得到应用。但是随着衍射极限的减小，光学表面和多层膜膜层界面的微粗糙限制了光学元件的性能，光与元件相互作用时产生的非镜向散射，不仅减小了系统的光通量，而且也降低了像的对比度。随着入射光波长的减小，背向散射强度将以1/λ2的形式增长[1]。散射理论从70年代开始发展至今，人们对散射的理解有了一些进展。早期许多工作者主要针对X射线掠入射式多层膜，研究其界面粗糙度对散射光的影响。而作为EUV光波段光散射研究的先驱，Spiller[2]和Stearns[3]等人研究了正入射时多层膜界面粗糙度对光散射的影响。1992年，Stearns[4]等人基于多层膜的无定形生长过程提出了界面粗糙度动态生长理论。2011年，Marcus Trost[5]等人在EUV光波段对正入射式Mo/Si多层膜反射镜的背向散射作了实验测定，并应用动态生长理论对钼硅多层膜的散射作了比较分析，结果发现理论与测试数据吻合较好。在17～19 nm的极紫外波段，Al/Zr多层膜是具有最高理论反射率的Al基多层膜，因而具有光明的应用前景，并得到了广泛研究[67]。在以前的研究中[8]，发现Al/Zr多层膜的膜层界面粗糙度造成了多层膜反射率的减小，而且界面粗糙度随多层膜的生长而逐渐增大。但是，对于Al/Zr多层膜的膜层界面粗糙度的动态变化规律尚没有开展深入的研究。 本文以Stearns的多层膜界面粗糙度动态生长理论为基础，对EUV光波段近正入射Al/Zr多层膜生长模型作了分析和计算，并通过与实验测量结果的对比，对Stearns粗糙度动态生长理论的适用条件作了补充性讨论，给出了Al/Zr多层膜界面粗糙度基于Stearns动态变化规律的使用范围。1多层膜动态生长理论薄膜的生长过程可用薄膜粗糙表面任意两点间的高度差的h（r）的连续性方程来描述：hrτ=-vph（r）+ητ（1）光学仪器第35卷

第1期杨传春，等：Al/Zr多层膜生长模型和数值计算

其中，r为薄膜表面任意两点间的水平距离，τ为薄膜的厚度，v为描述弛豫过程的独立参数，η表示随机噪声。当v为正值时，右边第一项将使表面粗糙度变小，而第二项将使表面粗糙度增加。弛豫过程的指数p因薄膜生长的机理不同而异，一般情况下，粘性流体：p=1，蒸发和凝结：p=2，体扩散：p=3，表面扩散：p=4[9]。Tong和Willians[10]认为，v取负值，可以适用于描述三维岛状生长的薄膜表面。式（1）表明，薄膜的生长是生长过程与弛豫过程间竞争的结果，生长过程较快时，膜层表面容易表现出粗糙和各向异性；弛豫过程较快时，膜层表面容易表现出平滑和各向同性的特点。应当指出的是，式（1）是表面生长模型中最简单的一种可能。它是对粗糙表面形成过程线性的和局部的处理。Kardar等人[11]首先用一非线性项（ΔH）2对式（1）作了修正，该项表示在各向同性的特定沉积条件下，薄膜将沿着法线方向生长。当沉积角度或表面倾斜较大时，表面粗糙度的形成是局部的这个假设就不再成立了，在这种情况下，表面某点的沉积依赖于表面的遮蔽效应。Karunasiri等人[12]和Tang等人[13]也提出了一个生长模型，实现了局部生长（遮蔽）机理的理论模拟。当生长过程是由非线性和局部性引起时，薄膜将以尖瓣和柱状这种不连续的形状快速生长。这些特征可以在薄膜的形貌中观察到，尤其是低能沉积过程中的薄膜。相比较，本文只考虑粗糙度较小的光学多层膜，这种薄膜可以通过高能生长过程来实现，如低气压下的溅射镀膜过程。保证了表面粗糙度不至于大到影响薄膜的线性或非局部生长模式，这种观点得到了多层膜实验研究的支持[14]。与单层膜生长不同的是，多层膜动态生长理论认为，薄膜各个界面的粗糙度一方面复制于相邻的先期生长的膜层表面粗糙度，另一方面也有不完美生长过程引起的内部固有粗糙度。第i个界面可以用其粗糙度hi（r）的频谱函数来表示[4]：hi（f）=γi（f）+ci（f）hi-1（f）（2）其中γi表示正在生长的膜层内部的固有粗糙度，角标i-1代表相邻的先期生长的膜层，ci（f）=exp[-vi2πfnτi]为界面粗糙度复制因子，它是空间频率f的函数，反映第i个膜层对第i-1个膜层表面的“记忆程度”。复制函数取值介于0～1之间的实数时，表明第i层膜的粗糙度既受第i-1层膜的表面粗糙度影响，又受自身内部固有粗糙度的影响。对于无定形生长的N层多层膜，由于表面粗糙度的功率谱密度（PSD（f）=〈h（f）h*（f）〉）通常便于测量，因此用功率谱密度作为多层膜表面粗糙度的统计表述，更便于与测量结果的对比。若多层膜界面粗糙度结构可以看作是自由分布，粗糙度的功率谱密度反应的是整个界面粗糙度的均值，则功率谱密度的值可以由粗糙度频率谱函数的傅里叶变换来表示，在理论上与粗糙表面结构的描述等价。通过对式（2）进行迭代运算可得多层膜表面粗糙度的功率谱密度函数与界面粗糙度之间的关系为[15]：PSD（f）=∑Ni=1κ2i-1PSDi（f），κi=∏i≤Nj=1cj（3）其中，PSDi为膜层生长过程中因内部缺陷等原因引起的固有粗糙度对应的功率谱密度，在膜层生长过程中没有明显晶向分布时，PSDi由下式确定[4]：PSDi=di2Ωi（1-c2i）/lnci（4）其中，di为第i层膜的厚度，Ωi是多层膜结构中第i层薄膜的膜层材料的原子团簇体积。式（3）是多层膜动态生长理论的公式表述形式，反映了多层膜的复杂生长过程。可以看到，多层膜的表面功率谱密度与膜层的厚度和数目、原子团簇体积、弛豫过程、生长机理等诸多因素相关。通过式（3）的迭代计算，可以将多层膜表面粗糙度和所用基板的表面粗糙度联系起来，从而为表面多层膜界面结构变化情况测量提供了理论依据。计算过程中，只需要先对基板表面粗糙度的测量结果进行傅里叶变换，然后基于功率谱密度函数进行迭代运算，运算过程中避免了相关函数的运算，最后对于多层膜表面的粗糙度功率谱密度再进行一次傅里叶变换，就可以得到多层膜表面粗糙度的理论预期值。2实验在实验中，采用掺氟的二氧化硅作为Al/Zr多层膜样品的基板，采用国产超高真空磁控溅射设备（J GP560C6）实现Al/Zr多层膜样品的制备。制备多层膜的靶材料为美国Kurt J.Lesker公司生产，Al靶材为掺杂了Si（1%wtSi）的合金材料，Zr靶材的纯度为99.95%。在溅射镀膜设备的真空腔内，溅射阴极靶与基板垂直相对，靶在下，基板在上，两者间距离为10cm。在沉积Al/Zr多层膜之前，真空系统的本底真空度低于8×10-5 Pa。溅射工作气体为高纯度的氩气（纯度：99.999 %）。在镀膜过程中，溅射工作气压为0.18 Pa。Al和Zr靶均采用恒功率模式的直流磁控溅射方法，其中，Al靶材的功率为40W，Zr靶材的功率为30W。在多层膜制备过程中，基板一直保持自转，转速为20 r/min。通过步进电机控制基板公转，使其交替停留在Al和Zr靶上方，由基板在靶材上方停留的时间来控制相应膜层的厚度。本文所制备的样品共四个，每个样品的周期厚度设计值为9.0 nm，其中Zr膜层的厚度与周期厚度之比为0.33。四个样品的周期数（N）分别为10，40，60，80。利用原子力显微镜（atomic force microscope，AFM）（生产厂商：Veeco，型号：DI 3100）实现多层膜样品的表面粗糙度度测量，并给出了相应的表面粗糙度的功率谱密度。在合肥国家同步辐射实验室的辐射计量与标准束线的反射率计上实现了Al/Zr多层膜在极紫外波段的反射率测量。3实验结果分析和数值计算图1给出了不同膜对数的Al/Zr多层膜表面原子力显微镜测量结果，其中图1（a）～图1（d）分别对应N=10、40、60和80的Al/Zr多层膜，它们的表面粗糙度的均方根（rootmeansquare，RMS）值分别为0.403 nm（N=10）、0.401 nm（N=40）、0.544 nm（N=60）和0.817 nm（N=80）。测量结果表明，对于Al/Zr多层膜，当膜对数不超过40时，其表面粗糙度基本不随膜对数的增加而变化；当膜对数超过40时，其表面粗糙度随膜对数的增加而逐渐增大。

图1包含不同膜对数的Al/Zr多层膜表面原子力测量结果

Fig.1AFM measurement result of Al/Zr multilayers with variable layer pairs

图2给出了相应多层膜样品表面粗糙度的二维功率谱密度。由图可知，随着空间频率的增大（从中心向四周），多层膜表面粗糙度的功率谱密度不断减小（从亮到暗），表明多层膜的表面粗糙度并无明显的周期性变化。随着膜对数的增加，表面粗糙度的二维表面功率谱密度形状发生了变化，N=10和N=40时，功率谱密度图形呈圆形，表明当膜对数较少时，Al/Zr多层膜的表面粗糙度的分布与方向无关，满足随机分布的特点；N=60和N=80时，功率谱密度图形呈现椭圆形，表明膜对数较多时，Al/Zr多层膜的表面粗糙度沿x方向和y方向的分布有差异，分布具有一定的“方向性”。

篇5

关键词：ABAQUS；位移约束；海底管道

中图分类号：P752 文献标识码：A 文章编号：1007-9599 （2012） 17-0000-02

1 工程概述

海底管道铺设是海洋油气工程建设的一项重要内容。海底管道铺设的方法基本可以分为两类：铺管船法[1，2]和拖管法[3]，其中铺管船法包括S型铺管船法、J 型铺管船法、卷管式铺管船法；根据管道所处位置不同，拖管法分为水面拖、水下拖、近底拖和底拖。对于登陆段海底管道采用底拖法施工更具有可行性。对于底拖法施工可以在陆地焊接后，由陆至海利用绞车、绞盘、拖轮等设备牵引铺设；也可以在铺管船上焊接，由海至陆铺设，其牵引方法有：岸上设置绞车牵引，利用铺管船上的绞车反向牵引。

某登陆段管道采用底拖法铺设，在铺管船上焊接管道，岸上设置定滑轮，由铺管船上的绞车带动管道铺向岸边，见图1。

该方案中，铺管船到海床段的海底管道形成S型，管道受到拖管力、张紧器张力、自重、自身浮力、浮筒浮力、海床支撑力、海床摩擦力等载荷作用，为了底拖施工的安全进行，进行管道强度校核是十分必要的。以下给出了管道强度分析的关键参数：

管材为X65钢，钢管外径为813mm，壁厚22.2mm，钢管外敷防腐涂层，厚度2.8mm，防腐涂层外为混凝土层，厚度为80mm，管道长度总长575m，海床上管道长度为375m；海床摩擦系数为1.0；水深14m；张紧器张力为100kN；拖管力为350kN；由于绑缚浮筒，管道水下重量为540.7N/m。

铺管船各辊轴相对位置：为了考虑边界影响，张紧器前取2个辊轴。根据工程作业的铺管船情况，在张紧器后共8个辊轴，从船艏至托管架方向各个辊抽名称分别为：R1，R2，张紧器，R3，R4，R5，S1，S2，S3，S4，S5。在水平方向和竖直方向上每个辊轴距离辊轴R1的长度见表1，其中R1距离水面的高度为3.9m。

注：托管架上各个辊轴水平向至R1的距离考虑了拖管架角度。

2 ABAQUS数值模拟

以上工程施工中，铺管船到海底段管道形成S型，为大变形问题。ABAQUS[4]软件具有强大的非线性分析功能，在工程中有着广泛的应用。根据以上参数，采用软件ABAQUS模拟管道的底拖过程。铺管船和托管架上面的辊轴和管道的作用，以及管道和海床的相互作用都可以通过接触的方式处理。众所周知，接触为非线性问题，对管道、海床和辊轴的建模有一定的要求，如果处理不当则计算难以收敛。因此，本文通过位移约束的方式模拟了管道和辊轴的接触，通过位移约束和加载的方式模拟了管道和海床的相互作用。以下给出模拟过程及计算结果。

2.1 模拟过程

第一步：建立模型，考虑管道半径，管道竖直向坐标为4.3893m，管道单元B32，见图2。

第二步：根据各辊轴位置给出管道上相应的约束点。通过移动坐标系平面的方式建立新平面，新平面和管道的交点为约束点，见图3。虽然当管道大变形后约束点和相应辊轴位置不一致，但在本文的模拟中，这种不一致对结果的影响可以忽略。着泥点的位置可以根据经验确定，或者通过调试的方法得到：首先给出着泥点初始值，计算出着泥点的支反力，然后调整着泥点的位置，当支反力为零时，对应着泥点位置。

第三步：施加约束。根据各个辊轴相对R1在竖直向的长度得到管道约束点和海床段管道竖直向位移，施加位移约束。在海管铺设中，某些辊轴并不能起到支撑的作用，计算出各约束点的支反力，当其为拉力时，则放松该约束。张紧器的拉力通过简支约束管道端部体现，其他段管道在水平向可以自由移动。见图4。

第四步：施加重力载荷。水面以上和以下管道重力不同，水面与管道交点可以通过经验得到，也可通过迭代的方式求得。

第五步：施加海床摩擦力和拖管力。以均布载荷的形式施加摩擦力，根据管道水下重力和摩擦系数，可知摩擦力为540.7N/m。拖管力取350kN。

2.2 计算结果

按照以上步骤建立模型，计算得到管道应力场，见图5。其中上弯段最大应力为297MPa，下弯段最大应力为290MPa。

3 总结

某登陆段管道采用由海至陆的底拖法铺设，本文采用ABAQUS软件建立数值模型，计算了管道应力。上弯段最大Mises应力为297MPa，下弯段最大Mises应力为290MPa，为管道底拖强度分析奠定了基础。

参考文献：

[1]E Heerema. Recent Advancements and Present Trends in Deepwater Pipe- Lay Systems. OTC 17627， 2005.

[2]Braestrup M， Andersen J， Andersen L， et a1. Design and installation of marine pipelines.Blackwell Science Ltd.， 2005， 210-238.

[3]桑运水，韩清国.海底管道近岸浅水铺设的岸拖与海拖.石油工程建设.2006（4）.

[4]ABAQUS Version 6. 7 Documentation，ABAQUA，Inc.

篇6

关键词：量子力学；数值计算；谐振子

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）32-0278-02

一、引言

量子力学是研究微观粒子运动规律的物理学分支学科，与相对论一起构成了现代物理学的理论基础[1]。对于高等院校物理专业的学生，量子力学在基础课程中占有核心地位。通过学习量子力学，可进一步将学生对客观物质世界的感性认识提升到理性认识。因此，对于高校量子力学教师而言，形象、生动的课堂教学不仅能激发学生的学习兴趣，而且还能完善和拓展学生的物理专业知识，从而提高学生的思维水平和培养他们的科研能力。

对于大部分初学者，除了难以理解量子力学中一些与常理相悖的知识外，烦琐的数学推导使很多同学对量子力学望而生畏。如果高校教师继续沿用传统的解析推演、口述笔写的教学方式，将加大学生学习量子力学的难度。此外，量子力学的授课内容大部分属于理论知识，受条件的限制，许多高校无法为学生开设实验课程，这使得学生对抽象的量子力学现象缺乏客观认识。随着计算机的不断发展，很多教师将一些数值计算引入到了量子力学教学中，不仅有效地规避了烦琐的数学解析推演，而且也能作为量子力学授课的理想实验平台，为学生形象地展示量子力学中的一些抽象且难以理解的量子现象和概念[2，3]。因此，为了降低学生学习量子力学的难度，提高学生对量子力学的学习兴趣，应鼓励高校教师将计算机及数值计算搬进量子力学的教学课堂。本文将通过具体的一些量子力学实例来说明数值计算应用于量子力学教学过程中的优势。

二、数值计算在量子力学教学中的应用实例

我们将以一维势场中单个粒子的定态及含时演化为例来说明数值计算在量子力学教学中的应用。为了简单，我们以Matlab软件作为数值计算的平台。

例1：一维定态薛定谔方程的数值计算

在量子力学中，描述单个粒子在一维势场V（x）中运动的定态薛定谔方程如下：

- +Vxψx=Eψx （1）

这里我们假设m=？攸=1。原则上，通过从定态薛定谔方程中求解出波函数ψ（x），我们可以知道该粒子在势场V（x）中运动的所有信息。然而，方程（1）是否存在解析解，在很大程度上依赖于势场V（x）的具体形式。对于较为简单的势场，例如大家熟知的无限深势阱及谐振子势阱，很容易解析求解方程（1）。相反，如果势场V（x）的形式比较复杂，如周期势或双势阱，则必须借助于数值计算。因此，当学生学会利用数值计算求解无限深势阱或谐振子势阱中的定态薛定谔方程时，则很容易举一反三的将其推广至较为复杂的势场，从而避免了烦琐的数学问题。

以下是基于Maltab软件并利用虚时演化方法所编写的计算定态薛定谔方程的程序：

clearall

N=100；x=linspace（-6，6，N+1）；dx=x（2）-x（1）；dt=0.001；dxdt=dt/dx^2；

V=0.5*x.^2；%谐振子势函数

temp=1+dxdt+dt*V；

psi=rand（1，N+1）；%初始波函数

psi=psi/sqrt（sum（abs（psi）.^2）*dx）；%归一化波函数

psi1=psi；

for k=1：10000000

%---------迭代法求解三对角方程---------

psi2=zeros（1，N+1）；

for m=1：100000000

for j=2：N

psi2（j）=（psi（j）+0.5*dxdt*（psi1（j+1）+psi1（j-1）））/temp（j）；

end

emax=max（abs（psi2-psi1））；psi1=psi2；

ifemax

break

end

end

psi1=psi1/sqrt（sum（abs（psi1）.^2*dx））；emax=max（abs（psi-psi1））；psi=psi1；

ifemax

break

end

end

作为例子，我们利用上述程序分别计算出谐振子和双势阱中的基态解。程图1（a）中展示了谐振子的基态解，从中可以看出，数值计算的结果和精确解一致。对于V （x）= x +ae 的双势阱（这里a为势垒高度，b为势垒宽度），由于波函数满足相同的边界条件ψ（x±∞）=0，则只需要将上述程序中的谐振子换成V （x）即可，其基态波函数展示在图1（b）中。从图1（b）中可以看出，随着势垒高度的增加，粒子穿过势垒的几率越来越低。由此可见，利用数值计算能形象地描述粒子在双势阱中的势垒贯穿效应，这降低了学生对该现象的理解难度，同时提高了教师的授课效率。

例2：一维含时薛定谔方程的数值计算

在量子力学中，描述单个粒子在一维势场V（x）中运动的含时薛定谔方程如下：

i =- +V（x）ψ（x，t） （2）

该方程为二阶偏微分方程，对于一般形式的外势V（x）很难严格求解该方程。因此，我们借助时间劈裂傅立叶谱方法进行数值求解，其Matlab程序代码如下：

clearall

N=200；L=20；dx=L/N；x=（-N/2：N/2-1）*dx；

K=2*pi/L；k=fftshift（-N/2：N/2-1）*K；

V=0.5*3*x.^2；

psi=exp（-（x-2）.^2）；psi=psi/sqrt（sum（abs（psi）.^2）*dx）；%归一化初始波函数

t=linspace（0，10，1001）；dt=t（2）-t（1）；F=exp（-i*0.5*dt*k.^2/2）；

for j=1：length（t）；

%---------时间劈裂谱方法求解---------

psi=ifft（F.*fft（psi））；

psi=exp（-i*V*dt）.*psi；

psi=ifft（F.*fft（psi））；

U（j，：）=psi；

end

作为例子，我们分别选取了谐振子势阱的基态波函数和非基态波函数作为时间演化的初始值。从图2中可以看到，当初始值为基态波函数时，波包的构型并不会随着时间的演化而发生形变，这说明粒子处于动力学稳定的状态。相反，当我们将初始波函数的波包中心稍作挪动，则随着时间的演化，波包将在势阱中做周期性振荡。我们可以让学生利用数值程序证明波包振荡周期等于谐振子的频率。此外，如果我们将初始波函数改为谐振子的激发态，并在初始时刻加上一个较小的扰动项，则可利用时间演化程序证明激发态在外界的一定扰动下而变得动力学不稳定。因此，数值程序为我们提供了验证理论结果的理想实验平台，有利于学生对抽象物理概念的理解。

三、结语

基于Matlab软件，我们以量子力学中的定态和含时薛定谔方程为例来说明数值计算应用于量子力学教学过程中的优势。数值计算不仅有效避免了烦琐的数学公式推导，而且也可当作理想的实验平台来形象地展示量子力学中一些抽象的物理现象。高校教师借助于数值计算能拓展学生的物理专业知识，提高他们对量子力学的学习兴趣，培养他们利用数值计算做一些简单的科学研究。

参考文献：

[1]曾谨言.量子力学卷I[M].第五版.北京：科学出版社，2014.

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关键词：大跨度桥梁 模态分析 数值计算步骤

1、引言

寸滩长江大桥为主跨880m的双塔钢箱梁悬索桥，边缆跨度250m，北塔高199.5m，南塔高194.5m，桥塔梁上部分高度为117m，钢箱梁宽39m，塔宽39m，其他资料详见图纸说明。对此桥进行模态分析，为描述结构振动特性及减小振动对结构的不利影响提供重要参数，如模态频率、模态振型、模态阻尼等。

2、模态分析数值计算的一般步骤

①做好资料准备工作，了解工程概况，研读图纸和设计资料，记下桥梁的各项与模态分析相关的结构尺寸和材料性能；②选定合适软件进行数值分析，一般常用ANSYS等有限元软件；③根据所需结构尺寸和材料性能，通过有限元软件进行数值建模；建模过程一般先进行各部分节段划分，然后确定主梁、桥塔、主墩、悬索或拉索、锚固点等坐标，再计算各划分截面的实常数（需指出，采用不同的模拟单元，实常数的形式不一样），然后通过实常数建立单元，最后再将没有建入模型的部分如横隔板、风嘴、二期等可以通过加质量点的方式考虑进去，以便模拟更精确；④对模型施加约束；塔底、锚固点一般是固结约束，塔梁结合处一般采用CP命令进行耦合，耦合自由度依据设计说明；⑤最后再依次进行恒载静力分析和模态分析，提取各阶振动频率和模态。

3、寸滩长江大桥动力特性分析实例

3.1 动力特性分析资料及采用的模拟单元类型

塔柱、主梁和桥墩等均采用梁单元模拟；主缆和吊索均采用杆单元模拟；二期恒载采用质量单元模拟。所采用的边界约束条件、单元类型如表1、2所示。

表中：x为纵桥向，y为竖向，z为横桥向。0表示自由，1表示主从，d表示固结约束。

3.2 建立有限元模型

3.2.1 节段划分和坐标确定

依据设计和图纸资料，主梁每5m划分一段，桥塔在特殊截面位置（如与横梁、大缆连接等位置）需要单独划分，在一般位置同样每5m划分一段，大缆在吊杆位置划分，然后定出各部分的坐标，坐标原点可以任意选取，本例中坐标原点定在主跨跨中主梁截面底部位置，在建立各部分坐标的时候尤其要考虑主梁的纵向坡度1.5%。

3.2.2 实常数计算

主梁为钢箱梁截面，采用BEAM44单元模拟，需要简化截面，将风嘴、横隔板、二期等部分删除，然后在CAD中建立面域，通过面域massprop查询截面特性找到形心位置，将面域移动到形心位置，然后保存为*.sat文件导入ANSYS中，通过网格划分后，计算截面特性，CAD中查询的截面特性和ANSYS中计算的截面特性主要差别在于ANSYS中能计算出扭转惯性矩这个重要的实常数参数之一。桥塔为空心变截面，桥塔横梁为空心等截面，采用BEAM44单元模拟，在ANSYS中可以通过循环命令来实现截面特性的计算。大缆和吊索采用LINK8单元模拟，实常数形式不一样，其中初应变的确定需要调试，一般使跨中受力最小的初应变较为合适。质量点的实常数计算较为麻烦，需要计算质量惯性矩Im。

3.2.3 模型建立

通过实常数将各坐标点依次连接起来，依次连接北面桥塔、南面桥塔、桥塔横梁、主梁、大缆、吊索等。然后将简化后的二期、横隔板、风嘴等以质量的形式加载到各结点上。再镜像单元，对塔底和锚固点加约束、对塔梁进行耦合，形成完整的有限元模型。

3.2.4 提取模态分析计算结果

最后再依次进行恒载静力分析和模态分析，提取各阶振动频率和模态，提取前10阶结果见表3，并列出第1阶和第2阶频率对应的振型图见图2、3。

图1成桥状态第一阶振型 图2成桥状态第二阶振型

4、结语

通过寸滩长江大桥模态分析的实例可以清楚的了解到模态分析数值计算的一般步骤，掌握了一般步骤，对其他类型的桥梁进行动力特性分析时思路更明确，计算更快捷。同时需要了解模态分析的基本概念，有限元中模态分析的本质是求矩阵的特征值问题，所以“阶数”就是指特征值的个数。将特征值从小到大排列就是阶次。实际的分析对象是无限维的，所以其模态具有无穷阶。但是对于运动起主导作用的只是前面的几阶模态，所以计算时根据需要计算前几阶就能达到要求。

参考文献：

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关键词：隧道风井塔 非静力细网格边界模式 能量闭合 随机游动模拟 风洞模拟

1 引 言

一些具有一定形式和规模的建筑物(如钝体型高楼大厦，城市地下交通隧道排污气的风井塔，核工程设施中的反应堆壳体等等)对其周围地区的气流分布有明显的影响，所以由此而造成的局地空气污染扩散也会由于建筑物所致的空气动力学效应而具有独特性.

建筑物背风侧存在一个尾流区，其主要特征为气流速度的亏损和湍流活动加剧，具有明显非均匀性结构.迄今为止，通常采用在风洞和水槽中进行流体物理模拟实验的途径研究其流场和污染物扩散特征，并在此基础上由经验方法建立修正的高斯模型，分析尾流区污染物的扩散［1］.虽然高斯模型有一定的实用价值，但就湍流及其不均匀性的物理本质和分析精确性而言，却是不可取的.于洪彬、蒋维楣(1996)在风洞试验对风井塔尾流特征分析的基础上，使用Halitsky(1977)［2］的拟合公式，进行修正后，得到塔后尾流区的流场和湍流场，以此作为随机游动扩散模式的输入场，得到塔后尾流区污染物的扩散分布［3］.但是从提高模式的模拟精度而言，使用该模式所得的流场和浓度场还比较粗糙，与实际情况还是有较大的出入.本文建立了一种能较为细致地分析建筑物尾流区气流和污染物扩散特征的数值模拟系统，模拟系统的流场模式采用细网格非静力边界层模式，闭合方案采用工程上实用的能量闭合方法(E—ε闭合)，模拟系统的扩散模式采用随机游动模拟方法.

2 模 式

采用三维非静力边界层模式模拟中性层结情况下建筑物尾流流场，其控制方程组，包括速度u、v、w预报方程和连续方程.闭合方案用E－ε方法，即在上述方程中加入湍能和耗散率的预报方程以及湍流交换系数的诊断方程［4］：

式中，E为湍流动能，ε为湍流耗散率，一些参数如，σE，σs，C1s，C2s，Cμ的取法是比较复杂的，本文中参考Rodi的取法［5］，简单地分别取为：1.00，1.30，1.44，1.92，0.09，C3在中性情况下为0.Kmh和Kmz为水平和垂直方向的湍流交换系数.由于模式的水平网格距和积分时间步长都能取得很小(积分时间步长为0.12 s，建筑物附近的水平网格距为5 m)，所以该模式能以较高的时空分辨率细致模拟出建筑物尾流流场的分布特征.

随机游动模拟是通过施放大量标记粒子来实现的，粒子在流场中按平均风输送，同时又用一系列随机位移来模拟湍流扩散，粒子轨迹方程为：

式中，Δt为时间步长，a=1，2，3，分别代表在x，y，z 3个方向上的量.下标i，i+1分别代表前一时步和后一时步的量.湍流随机脉动速度由Markov Chain关系得到：

这里γ\-a是方差为1.0、均值为0的高斯型随机数，由计算机自动产生.σa为速度方差.R\-aΔt为自相关系数，取为通用的指数形式：

TLa为拉格朗日时间尺度，取Hanna(1982)［6］的拟合公式：

A. 不稳定层结：

B. 稳定层结：

C. 中性层结：

其中，Zi为混合层厚度，Z为垂直高度，f为科氏参数，u*为摩擦速度.

3　建筑物尾流特征模拟分析

某大城市地下交通隧道排气的风井塔的外形轮廓特殊，如图1所示，主体呈圆柱形，高67.0 m，直径29.7 m，排气窗离地面48.0—53.0 m，无烟气抬升，具有1.4 m/s的水平出口速度主塔下方地面上有高度为20.0 m的附属建筑物与主体联成一体［7］.由风洞实验结果分析可知，在风塔排气速度一定的情况下，当环境风速(源高处)大于2.6 m/s时，才会出现明显的烟流下沉现象，并且根据现场实际观测资料和研究问题的需要，我们取风塔上游无穷远处的来流风速(源高处)为3.2 m/s和6.2 m/s两种典型风速，并取工程上实用的指数律，幂指数根据现场实测在中性情况下为0.15.模拟域的范围为74Hb×60Hb×15Hb个网格范围(Hb为风井塔的高度)，水平网格采用在建筑物附近用细网格，至边界处格距逐渐增大的拉伸网格系统.垂直网格从地面向上逐渐增大.边界条件：地面采用无滑脱条件，采用固定的上边界，建筑物表面采用Vn=0作为边界条件，这里V\-n为建筑物表面法线方向的速度分量，处在建筑物内的网格点上令速度为零.侧边界用固定流入、梯度输出的形式.图2给出源高处风速为3.2 m/s时风井塔尾流区流场的数值模拟结果.图2(a)中虚线所围区域为速度亏损大于1的区域，即此区域内水平风速与来流向相反.由图可见风塔的空气动力学效应影响范围在其下游延伸至34Hb，在塔后风速急剧减少，最大速度亏损出现在塔后腔区内，大小为117%.塔前塔后出现回流区，但塔后范围较大.塔后回流区的大致范围在离塔下游5—6Hb左右.湍流动能TKE的大值分布在速度切变较大处，，

这与风洞实验［7］的结果基本吻合.下面我们将使用能量闭合模式的输出结果作为随机游动模式的输入场，来研究尾流区污染物的扩散规律和特征.

尾流区污染物扩散特征模拟

考虑到源的特殊排放形式(见图1)，将源排放简化成平均排放高度为50 m的半圆弧线源，并将线源简化成若干个点源的叠加，每个点源施放的粒子具有相同的水平出口速度(Vs=1.4 m/s)，但其方向因点源位置的不同而不同.风塔实际的CO的排放速度为43725 mg/s.为保证统计结果的稳定性，模拟中施放20000个粒子，时间步长取为Δt=0.1Tlw；假设粒子在边界上为反反射.

图3为风塔下游地面轴线CO的浓度分布，相应的源高处的风速V/Vs=2.3和4.4.由图3(a)可见，模拟系统的预测结果与风洞试验的测量值吻合较好，最大浓度点的大小和位置与测量值较为一致.图3(b)表明，模拟预测的最大浓度点的位置与风洞示踪扩散试验的结果较为吻合，但大小低估10%左右.图4(a)所示随机游动扩散模式预测风塔下游轴线上CO(相对)浓度的垂直分布，其中Cmax为该位置的最大浓度值，图4(b)为风洞示踪扩散试验所测到的相应结果，由图可见，近距离浓度分布基本仍呈高斯型，但出现最大值的高度逐渐降低，到离源距离X=4.0Hb，浓度分布已呈向下逐渐递减型，然后烟流轴线缓慢抬升，直到X=10Hb处，也只抬升了14 m高度.轴线浓度的垂直分布与风洞试验吻合较好，充分反映了风井塔的空气动力学效应.模式预测地面CO的浓度分布与风洞示踪扩散试验的结果也吻合较好.

5　小　结

本文建立了一套分析建筑物尾流和污染物扩散的数值模拟系统，对某城市地下交通隧道废气的风井塔的尾流流场和污染物浓度场进行数值模拟，并与风洞流体物理模拟试验和示踪扩散试验的结果比较.研究结果表明：1.使用非静力细网格能量闭合边界层模式能较好地模拟出风井塔尾流的基本特征，得到的水平风速源不同的下风距离的垂直分布与风洞试验实测到的结果基本吻合.2.就地面轴线污染物浓度分布而言，模拟系统所得的结果与风洞示踪扩散试验的结果较一致，浓度最大值的大小和出现距离较为一致.3.模拟所得的不同下游距离处(相对)浓度的垂直分布，与风洞试验的结果较吻合，充分反映了建筑物的空气动力学效应.

参考文献

［1］Huber A H. Wind tunnel and gaussian plume modeling of building wake dispersion. Atmospheric Environment， 1991，25A(7):1237—1249

［2］Halitsky J. Wake and dispersion models for the EBR-Ⅱ building complex. Atmospheric Environment， 1977，11:577—596

［3］于洪彬，蒋维楣.废气排放塔尾流区随机游动扩散模拟研究.空气动力学学报，1996，14：349—354

［4］王卫国等.山地露天矿自然通风风流与湍流结构的数值模拟.高原气象，1996，15：464—471

［5］Rodi W et al. In turbulence and diffusion in stable environments. England: Oxford University Press， 1985

［6］ Hanna S R. In:Nieuwstadt F T M， Van Dop H， eds. Applications in air pollution modeling in atmospheric tunbulence and air pollution modeling， chapter 7 Reidel， dordrecht. 1982.275—310

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[关键词]数值计算方法；融会式；教学理念；教学实践

[中图分类号]G642.0　[文献标识码]A　[文章编号]1005－4634(2012)02－0053－04

0　引言

随着计算机技术的飞速发展，数学学科的地位发生了巨大的变化，特别是在自然科学的许多分支中，有相当多的研究问题走向定量化和数值化，从而出现了一系列与计算有关系的研究方向，如计算物理、计算力学、计算化学、计算地质学、计算生物学、计算气象学等。目前，科学计算、理论研究、科学实验已经成为当今科学研究的三大方法，而科学计算由于具有研究成本低、周期短、风险少等特点，因而受到广泛的重视。数值计算方法，也称“数值分析”或“计算方法”，是科学计算的重要基础，也是理工科大学生和研究生的核心课程，国内外综合性大学无一例外均开设了本门课程。数值计算方法以采用计算机技术求解工程实践中提炼出的数学问题为主线，既有数学课程理论上的抽象性和严谨性，又有解决实际问题的实用性和实践性。自从教育部分别颁布高等教育“面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”后，很多教学工作者积极探索数值计算方法教学的新模式，并投入到教学实践之中。在教学观念、教学内容、教学方法、教学手段等方面出现了百家争鸣的好局面，开展了多层面多方位的教学改革探索，展现了数值计算方法课程教学在理工科人才培养中的奠基性作用。

鉴于数值计算方法在理工科人才培养课程体系中的重要地位，通过问卷调查及统计分析，分别从教师和学生两个角度剖析课程教学所面临的主要问题，有针对性地提出数值计算的融会式教学理念，从课程体系、教学模式、教学内容、教师队伍等多个方面阐述该理念的内涵，并结合国防科技大学自动化专业本科生《数值计算方法》课程教学任务开展教学实践，检验融会式教学理念的实际效果，为21世纪数值计算方法教学改革提供新的思路和有益借鉴。

1　课程教学的问题分析

数值计算方法在理工科大学生及研究生培养的课程体系中具有显著的桥梁性作用，一方面是对高等数学、线性代数、编程语言(或算法设计)等公共前缘课程的巩固与扩展，另一方面也是力学、计算机科学、自动化、航空航天、土木工程、机械工程、经济管理等专业后续课程的基础和工具。通过问卷调查统计分析，目前数值计算方法课程教学所面临的主要困难可从教师和学生两个方面加以总结。根据数值计算方法授课教师的反映，教学面临的困难主要有以下几个方面。

1)课程信息量大与教学时数少之间的矛盾。课程主要研究数值逼近与曲线拟合、线性方程组求解、非线性方程求根、数值积分与数值微分、常微分方程求解等问题的数值解法，教学内容多，而培养方案又在压缩教学课时，所以出现学时少、内容多的矛盾。

2)课程覆盖面广与教师专业知识受限之间的矛盾。课程涉及的数值方法都有着典型的工程应用背景，涉及的学科领域宽泛，从事教学的教师往往精通于有限的领域，如何充实提高自身素养适应课程教学的要求是任课教师必须面对的问题。

3)实践环节与相应保障之间的矛盾。数值计算方法课程是理论与实践结合的产物，实践性是此课程有别于其它数学课程的一个基本特征。课程教学的实践环节花费时间较多，可能与教学大纲要求的在一定时间需完成的教学任务有冲突。教师在研究情境设置的问题“难易度”的把握尺度上与学生的接受能力也有可能冲突。有些太困难的研究问题难免超出教学大纲的要求，给学生造成额外负担。

根据学生反映的情况，课程学习面临困难主要有：(1)学习兴趣淹没在冗长的公式推导和理论分析之中。课程涉及相当多的理论推导，对于己经复杂冗长的公式，还要进行理论分析，包括算法的收敛性、数值稳定性、误差分析以及好的时间复杂性和好的空间复杂性。这些方法几乎都很复杂，公式冗长，推导繁琐。过多地强调数学理论证明，大多数的学生觉得这门课很难，学得很枯燥，也感觉不到乐趣。(2)课程内容及进度与学生个体差异的矛盾。伴随着高校招生规模的扩大，学生的人数越来越多，生源的个体差异也越来越显著，同样的内容设置和进度安排往往使得人数众多、差异显著的学生群体难以适应，学习效果自然受到严重影响。(3)课程内容难以体现贯通培养课程体系的桥梁性作用。无论是教材还是实际授课，绪论往往将数值计算方法定位为理工科大学生和研究生培养的核心基础课程，但是主体内容讲授时由于课时有限，只能突出理论推导和算法设计，学生只能见到树木，却始终未能见到好奇的森林，严重的话会削弱学生的学习兴趣和热情。(4)实践环节与基础能力的矛盾。数值计算中的问题仅靠课堂教学、理论推导是很难讲明白的，特别是各种算法的收敛性、稳定性等问题。实践环节是学生加深算法理解、学以致用的重要途径。但是，课程实践环节不可避免地涉及到程序编写与调试，很多学生在编程语言或算法设计课程中基本功不够扎实，从而对数值计算方法的实践环节产生畏惧心理，导致课程实践效果不佳。

2　融会式教学理念

针对数值计算方法课程教学的上述问题，教学工作者们主动思考、积极探索，不断实践新的教学理念或教学模式。在现有研究基础之上，本文提出数值计算方法的融会式教学理念，重点探讨如何培养学生的数值思维能力和计算求解能力，使他们通过课程的学习，构建起所学专业课程体系的全貌，领悟课程的基础性、开放性的重要特征，融会贯通数值计算的思想理解、算法设计和工程实践，在碰到新问题时，不是生搬硬套书本公式，而是灵活运用掌握的数值思维方法去分析和求解。

融会式教学理念关键落实在“融会”二字上，它突破传统的课程讲授、课后作业、上机实践、考核结课的授课过程，将其扩充为前缘深入先摸底、备课充实贴前沿、授课生动重启发、习题思考多互动、实践灵活循算法，授课讲座齐并举、考核全面现能力、试后逐一面点评的融会贯通的全过程。

1)前缘深入先摸底。开课之前深入选课学生群体之中进行交流沟通，了解大家对高等数学、线性代数、编程语言(或算法设计)等公共前缘课程的掌握隋况，获取并分析选课学生在前缘课程的成绩分布情况，特别留意个体的差异程度。比如，对于具有畏惧心理的学生，要及时发现，因材施教，可通过课堂简单提问或者通过批改作业留下鼓励性质的评语，帮助其树立自信心。

2)备课充实贴前沿。综合考虑学生对前缘课程的掌握情况和培养计划对课时的规定，合理选择备课内容，不求面面俱到、照本宣科，但求重点突

出、贴近前沿。每个章节精心设计问题导入环节，举例须紧扣技术发展的前沿，避免书本上例子通行天下的现象，充分激发学生的学习热情。比如，插值方法可结合风洞试验数据估算神舟飞船阻力系数的例子。

3)授课生动重启发。授课过程中，可充分利用课程的实用性和实践性，从工程实践中凝炼科学问题，有针对性地启发学生主动思考相应的对策，再跟大师们的计算方法进行比较，分析优劣，进而转入算法的思想、流程和设计，剖析所学计算方法解决工程问题的实际效果及适用范围。另外，还要注重多媒体和板书的有效结合。

4)习题思考多互动。合理安排习题课，精心准备由易而难的例题，既注意问题的工程实践性，也引导学生积极思考，结合前缘课程的了解情况，有针对性地让学生参与分析和计算，采用分组讨论的形式，充分尊重个体差异，尽量让每位学生都有所获益，有所提高。融会式教学在考试之前的复习课中，一方面梳理本门课程内容之间的相互联系，比如插值是数值微积分的基础，样条插值是线形方程组求解之追赶法的典型应用等等。另一方面更要回顾课程与前缘课程的具体关系，比如多项式插值充分利用了线形代数中多项式空间基函数的概念，数值逼近多次引用范数的定义，而且要根据选课学生的专业分布，选取有典型意义的后续课程，比如自动化专业的控制系统原理、信息科学专业的信号与系统等等，讲解课程所学方法将在专业后续课程中发挥重要的作用，同时也是大家学习这些后续课程的重要基础。

5)实践灵活循算法。课程教学的实践环节非常重要，由于学时有限，必须充分利用。建议可分3次上机实践。第一次可以考查编程能力，及时发现情况，及时总结原因，可组织一次集体答疑，为大家编制统一的接口函数，将数据结构定义、数据读入、结果显示等公共环节提取出来统一处理，而引导学生把精力投入到算法思想的理解和算法流程的实现。第二次，直接提供基本程序框架，由学生填充算法流程的主体部分。第三次，则可当作现场模拟上机考试，要求学生在规定时间内提交算法程序和结果。实践环节的合理运用对改善课程教学效果具有极其重要的作用，教师可适当补充编程的基本技能和基本方法，编制易于理解易于运用的程序框架，以便于学生将有限精力投入到算法设计本身，而不是过多地消耗在输入输出等公共环节。特别是，需要关注对编程具有畏惧心理的学生，采取合适而又有效的措施，比如分组合作或者亲手示范等手段，消除畏惧，激发兴趣，以全面提高课程教学质量。

6)授课讲座齐并举。考虑课程覆盖面广与教师专业知识受限之间的矛盾，并不能要求教师同时掌握多门专业知识，而是可以采用授课和讲座相辅相成的方式，邀请其他专业的老师，根据他们从事科学研究过程中运用数值计算方法解决领域问题的具体体会，向学生讲解数值计算方法的实际应用流程和作用。比如，生物信息学中大量应用最小二成、稀疏矩阵求逆等数值方法。讲座往往较为轻松，占用课时少，学生易于接受，既可提高学习兴趣，也可拓宽知识面，对课程的基础性作用不言而喻，从而有效避免了授课教师“王婆卖瓜，自卖自夸”的尴尬。

7)考核全面现能力。课程考核要全面覆盖授课内容，合理制定试题难度，注重综合能力的考查。课程考核重在数值计算方法基本思想的领悟和掌握程度，不苛求公式的背诵记忆，建议设置一定比例的推导题，比如给出数值积分的梯形公式，要求学生推导Simpson公式。

8)试后逐一面点评。不同于以往考试结课的惯例，融会式教学强调全过程的交流沟通，学生一般在考试之前集中复习，考试之后遗忘性衰减现象很普遍。为了巩固教学效果，融会式教学注重考试之后，教师及时批改试卷，总结课程教学效果，与每一位学生进行当面点评，分析丢分的具体原因，加深学生对所学方法的理解和应用。

综合起来，数值计算方法的融会式教学理念重在将授课过程、教学内容、教学方法、教学手段、教师构成、课程考核、试后讲评等多个环节融会贯通。在教学内容上，突出本门课程与前缘、后续课程的内在联系、相互关系及本质特色，让学生既见树木，也见森林；在教学方法上，强调理论与实践并重，紧扣专业特色，无论是课堂举例，还是上机实践，都结合授课对象的专业分布，从实际工程应用提炼科学问题，将算法思想付诸问题求解，激发学生的学习积极性，加深数值方法的理解；在教学手段上，注重现代多媒体技术与板书的合理搭配，多媒体形象生动，结合插值、拟合、方程组迭代求解等数值方法的几何意义、物理意义进行讲解，节省时间提高课堂效率。板书节奏感强，容易引导学生积极思考，也便于开展师生互动，加深学生对算法思想的理解，提高学以致用的实践能力；在授课过程上，更是体现“融会”的特征，从前缘课程摸底、个体差异关注，到跨专业邀请讲座，再到试后当面点评，直至后续课程的展望，都充分注重融会贯通的教学环节，最大程度上提高教学效果。

3　融会式教学实践

与数值计算方法课程的实践性相统一，融会式教学理念同样需要教学实践的不断检验。笔者结合国防科技大学自动化专业本科生《数值计算方法》课程教学任务，遵循融会式教学理念，积极开展包括前缘深入先摸底、备课充实贴前沿、授课生动重启发、习题思考多互动、实践灵活循算法，授课讲座齐并举、考核全面现能力、试后逐一面点评等所有环节的教学实践，检验融会式教学理念的效果。

笔者独立主讲了国防科技大学自动化专业本科生在大三秋季学期设置的32学时《数值计算方法》课程。结合课程的特点，全程采用融会式教学理念，采用“掌握思想、设计算法、上机实践”等多种手段进行全方位教学。根据授课对象前缘课程的掌握情况，选取插值、拟合、数值微积分、线性方程组求解直接法、线性方程组求解迭代法、非线性方程求根、常微分方程数值解等作为主讲内容，课堂26个学时重点开展算法思想的讲授和研讨，实践6个学时则重点考查学员设计算法、解决问题的综合能力。

在学期开课之前深入授课对象所在的学员队，与学员交流本科阶段学习的体会与经验，了解大家对本课程前缘课程(高等数学、线性代数、C语言等)的掌握程度，对微积分、方程组求解、矩阵特征值等相关内容进行复习巩固，同时留意个体差异，及时发现自称“逢数学课必挂”的具有畏惧心理的学生。

备课时，紧密结合科技发展前沿，比如从神舟飞天中根据风洞数据估算阻力系数的实例引入插值方法，同样由加速度计离散测量数据估算飞行速度的问题引出数值积分的问题；在课堂教学中，强调学员主动发现问题、积极参与课堂讨论，在适当的引导中鼓励学员自己得出结论，既提高学习兴趣，也增强自信心。鉴于课程学时受限，全程作业逐本批改，在指定课时之外，采用集体答疑和第二课堂的自由形式，补充8个课时进行课外习题辅导，学生可以根据自身的学习情况自行决定是否参加，加深大家对数值算法的理解和求解过程的联

系。考虑到教师自身专业知识有限，邀请生物信息学、基础物理学的两位跨专业教员分别开展公开讲座，结合具体问题示范如何运用数值计算方法进行解决，加深印象，也激发热情。

三次上机实践按照知识点进行组织，一类算法的授课结束后立即进行编程实践。第一次实践内容为插值和拟合，程序编制相对较为简单，同时也考查学生编程能力的个体差异，及时分析情况，集中组织一次课外答疑，不是简单地准备好例程演示给大家而已，而是与学员一起现场编制程序，依据融会式教学理念，让大家看到如何结合具体求解问题从无到有地编制程序的全过程，加深大家对算法从流程到代码的演化过程，减轻大家对编程实践的畏惧心理，提高动手实践能力。第二次为数值积分的Romberg算法，为大家编制统一的接口函数，将数据结构定义、数据读入、结果显示等公共环节提取出来统一处理，引导学生把精力投入到算法思想的理解和算法流程的实现。第三次为微分方程数值解Runge-Kutta算法，采用限时提交的方式，要求大家按照考核的标准完成二阶、三阶、四阶算法的编程和精度比较。课程实践环节逐次提高要求，让学生在掌握数值计算方法相关算法的同时，也进一步提高编程能力，增强自信心，为后续课程学习奠定基础。

课程考核既测验学员对基本概念、基本原理的掌握程度，也测验学员对课程整体的把握能力以及学以致用的实践能力。考试之后，及时阅卷，并再次深入学员群体之中，进行逐一当面点评，分为未能掌握、粗心大意、时间不够等类型剖析丢分的原因，既是及时巩固课程学习成果，也是锻炼学生素质、提高学习成绩的重要途径。

与传统模式相比，融会式教学理念注重从实际工程应用提炼科学问题，充分激发学生的学习兴趣；强调课程的承上启下的地位，让学生既见树木，也见森林，知晓专业培养的目标与定位；注重数值计算方法的启发和实践并重，通过具体问题的编程实验，既加深理解，也敢于实践。在授课、答疑、批改作业、实验、考试等诸多环节，学生们都充分认可融会式教学理念。综合这次融会式教学实践的实际成效来看，学员们较好地掌握了插值、拟合、数值微积分、线性方程组求解、常微分方程数值解等数值计算方法的思想精髓，并能够活学活用，解决实际问题。特别是，三次上机实践，学员热情逐次提高，主动寻找课外时间开展编程实践，多次改进程序，修订实验报告，达到了非常好的算法实践效果。

在本次融会式教学实践中，学生都能够带着兴趣与热情投入到课程的学习中去，课堂积极思考、踊跃发言，敢于发表自己的见解；课后主动复习、认真完成作业，特别是布置的几次讨论性质的题目(如谈谈对课程的印象、谈谈对迭代法的理解等)锻炼了学员的独立思考能力和语言表达能力；上机实践中能够针对底子薄、能力差、锻炼少的现状，积极主动地进行反复练习，并相互请教，力争得到最大程度的提升。其中，极个别学员存在基础薄弱、前缘课程差、出现多门挂科等问题，自信心不强，甚至出现自暴自弃的现象，经过多次引导与鼓励，也能够积极融入集体，认真对待每次作业和实验，得到了较好的平时成绩，考试也能够积极面对，最终也取得了令自己满意的成绩。

总体而言，《数值计算方法》课程采用融会式教学理念，取得了良好的教学效果，既提高了学生对数值计算方法思想精髓的理解水平和应用能力，也培养了学生的主动学习、独立思考等综合素质，为后续的学习深造打下基础。

4　结束语

篇10

关键词：法向承力锚 极限抗拔力 三维数值分析模型 位移增量

1.引言

法向承力锚（Vertically Loaded Anchor，VLA）是一种新型的拖曳式板锚，出现时间较短，从理论上来讲，法向承力锚在理想的工作状态是法向受力的，然而由于法向承力锚通常工作在1000-3000米水深的海底，考虑到风、浪、流等复杂的海洋条件，加之系泊系统布置等因素的影响，实际工作中的法向承力锚不一定是处于理想工作状态的，即系泊力角度等因素都会对法向承力锚的极限抗拔力产生影响，所以对于这种大都深埋在深海海床土中的VLA，研究VLA的极限抗拔特性就显得尤为重要，目前国内外针对VLA的极限抗拔力研究主要通过拖曳锚的半经验计算方法：

（1）

其中：

――VLA埋深处土的不排水剪切强度指标；

――VLA的锚板面积；

――VLA的承载力系数。

目前还没有一种专门针对VLA而且能够全面的反映VLA的极限抗拔特性的计算方法，在缺少大规模模型实验的情况下，建立数值分析模型不失为一种有效的计算方法。

O’Neill等[1]通过建立拖曳锚的二维有限元数值计算模型得出结论：对于矩形拖曳锚，当锚板埋置角度为与水平线成夹角30°、没有旋转的情况下，当锚板位移大于2%锚板宽度时荷载达到破坏荷载。Merifield等[2]通过下限定理建立三维有限元数值计算模型对法向承力正方形、圆形以及矩形金属锚进行了研究，并得到结论：正方形、圆形和矩形锚的承载力系数大于条状锚，锚表面的粗糙与否对结果影响不大，三维模型计算结果和小型实验室实验所得数据是吻合的。杨晓亮[3]通过平面应变假定对法向承力锚建立了二维有限元数值模型，并对锚板埋深、系泊角度等参数进行了研究并且得出结论：VLA的UPC随着埋深的增大而增大；法向承力锚在法向受力状态（工作状态）的极限抗拔力最大，回收阶段的抗拔力最小。

Merifield等建立的三维模型假设锚板埋置角度对计算结果不产生影响，而且未考虑系泊角度的变化对极限承载力的影响，O’Neill等以及杨晓亮所建立模型均为平面应变基础上的二维数值分析模型，本文针对以上数值分析模型的一些不足，以最为特殊的正方形锚板为例，针对锚板随埋深、系泊角度等参数建立三维数值模型，并对结果做出了分析判断。

2.三维数值模型

本文中所有计算模型都是基于MARC软件平台的，模型完全比照实际工程中的法向承力锚的工作状态，采用土的弹性-理想塑性理论模拟土体的非线性非弹性应力应变行为，并采用Von Mises 屈服准则，通过MARC中的TABLE功能对锚板施加随时间变化的位移约束，从而得到锚板上反力（Reaction Force）随位移的变化情况，当土体进入塑性后，根据土的理想弹塑性理论，锚板上的反力将不会再随着位移的变化发生变化，而是趋于一个定值。

算例中的VLA长、宽均为3.5m，厚0.075m，土体宽度取为15.6m，锚板厚度方向取为6m，按不同的嵌入深度，海床面距锚板中心的距离在3.4～35 m 之间。在建立离散模型时，考虑到远离锚板的土体变形较小，对土体划分网格进行了疏密过渡。

土体为正常固结粘土，假设其不排水剪切强度（kPa） 在海床面处为零且随深度线性增大，本文所进行的分析均为静力分析，土体采用Von Mises准则。

以20m埋深算例举例说明，如图1为锚板中心节点（位移约束施加节点）的位移和反力的关系曲线，可以看到，节点上的总位移为0.2m，从0-0.04m的位移范围内，节点上的反力随着位移的增大，成线性增大的趋势，即弹性阶段；从0.04m-0.1m的位移范围，节点上的反力呈现非线性的增大趋势，即进入塑性阶段；从0.1m-0.2m的位移区域，节点上的反力基本不再变化，而是趋于一个稳定的值，完全进入塑性区的阶段。另外可以看出，随着增量步的增加反力有减小的趋势，所以本章采取变换不同的增量步，如表1所示当两个不同增量步之间的承载力值相对误差小于5‰时，则认为此时的承载力为我们所需要的极限承载力值，计算每个增量步的承载力方法为取进入塑性区域后的反力平均值。

由表1可以看出，对于本计算模型（埋深20m），法向承力锚的极限承载力的计算结果为4024kN，与经验公式计算结果4145.4kN是比较接近的，由此可以看出，三维数值计算模型以及关于收敛性和精度考察的方法是准确的。

图1 位移-反力变化曲线

表1 20m埋深下极限承载力

增量步 极限承载力（kN） 经验解（kN） 相对误差（‰）

1000 4045.130 4145.400

1100 4024.056 4145.400 5.21

1200 4007.760 4145.400 4.05

3.应用

运用基于传统承载力分析理论的经验公式（1）、二维数值模型法[3]以及三维数值模型进行了两类比较研究，其一是通过改变嵌入深度D而保持系缆力角度不变，考察法向承力锚的极限抗拔力随嵌入深度的变化。考虑到深埋和浅埋的不同，选取9个典型的在0.97～10.0 之间变化的量纲一的深度η=D/B ，α和γ分别保持45°和90°不变。其二是通过改变系缆力角度在0°～135°之间变化，保持嵌入深度不变，考察极限抗拔力随系缆力角度的变化。其中嵌入深度η取两个典型值2.17 和10.0，锚板角度取为定值45°。在第三类研究中，由于系缆力角度不是经验公式中的基本变量，因此只有有限元计算的结果。在运用经验公式（1）时， Nc = 12。

（1） 对于埋深的考察

图2为三维数值模型计算得到的量纲一的反力Reaction Force/ASu随无量纲化的位移d/B的响应曲线，其中A为锚板面积，Su表示埋深处土体的不排水剪切强度。图3 为无量纲化的极限抗拔力UPC/ASu 随无量纲化深度η的变化。图4为无量纲化的极限抗拔力UPC/ASu，也即经验公式（1）中的承载力系数，随无量纲化深度η的变化。从图3可以看出，在0.97≤η≤10.0的范围内，由不同方法计算出的锚板极限抗拔力均随嵌入深度的增加而增大，对经验公式来说是线性增大，对三维数值模型来说是近似线性增大，二维数值模 图2 无量纲化反力随位移的变化

型极限抗拔力的增长趋势不是标准的线性变化，尤其对于浅埋情况而言，图6表示承载力系数Nc随嵌入深度的变化，与经验公式中Nc = 12相比，二维有限元计算出的结果在7. 0～13. 0之间变化，三维有限元计算出的结果在10.0～12.0之间变化，并在大于一定深度后趋于稳定。在η取值的范围内，三维有限元计算结果与经验公式吻合较好。在浅埋范围，即η≤3. 0，三种方法均有较好的吻合。从分析问题的可靠性来讲，如果运用经验公式，对于嵌埋和深埋锚板应该采用不同的承载力系数。

图3 无量纲化UPC随埋深的变化趋势图 图4 承载力系数随埋深的变化图

（2）对于系泊角度的考察

图5分别表示在浅埋和深埋下量纲一的极限抗拔力UPC/UPC90°随系缆力角度的变化， 这里UPC90°表示当γ= 90°时锚的极限抗拔力。图6分别表示在浅埋和深埋下量纲一的极限抗拔力UPC/ ASu ，也即承载力系数随系缆力角度在变化。

可以看出，随着系泊力角度在0度到135度之间变化，在浅埋情况下无量纲化的UPC在0.4～1.0之间变化，承载力系数在4.5-11.4之间变化。在深埋情况下无量纲化的UPC在0.4～1.0之间变化，承载力系数在5-12.5之间变化。当系泊力角度为90度时UPC达到峰值，在0度到90度区间上UPC逐渐增大，90度到135度的区间上UPC逐渐减小。在系泊力角度为0度时，为法向承力锚回收情况的模拟，可以看出浅埋和深埋情况下法向承力锚的极限抗拔力均达到了接近于回收荷载的2.5倍。

图5 浅埋及深埋时无量纲化UPC随系泊力角度变化

图6 浅埋及深埋时承载力系数随系泊力角度变化

（4）结论

综合运用三种不同的方法，即二维有限元模型、三维有限元模型以及基于传统承载力分析理论的经验公式法，详细考察了嵌入深度、系缆力角度对法向承力锚极限抗拔力的影响。主要结论包括：

1.基于理想弹塑性理论的数值计算模型为我们提供了一个计算复杂工况条件下法向承力锚承载力的平台，这个平台可以更直观、更真实的反映法向承力锚的抗拔特性。可以看出，基于理想弹塑性理论的数值计算结果主要受到埋置深度、系泊力角度的影响，通过这种方法对系泊力角度的考察比较符合工程中的实际情况。美中不足的是，这种方法没有全面地考虑VLA破坏模式的影响，而且基于理想弹塑性假定，故本文认为这种方法是比较适合模拟深埋情况下法向承力锚极限抗拔状态的一种方法。

2.通过对二维和三维数值计算模型的比较我们发现，三维数值计算模型的计算结果更加接近经验公式的结果，并且在数值上是要小于二维数值计算模型的。

3.基于试验的经验公式作为评估法向承力锚极限抗拔力的一种方法，具有简单、易行的特点，可以看出通过这种方法经过简单计算得到的VLA的UPC，从数值上来讲，和数值计算得到的结果是比较接近的，可见其工程价值是很突出的。但同时，这种方法除了锚板面积之外，只考虑了埋置深度的影响，很多重要参数，如系泊力角度等，都没有反映在计算方法中。故本文认为这种方法可以作为工程中粗略估算法向承力锚极限抗拔力的一种方法。

4.埋深是影响法向承力锚的极限抗拔力的主要因素，VLA的UPC随着埋深的增大而增大，从目前比较的结果来看，浅埋情况下二维和三维数值计算模型的结果是比较接近的，所以考虑到数值计算的时间等问题，在浅埋情况下可以优先考虑二维数值计算模型。

5.从数值计算的结果来看，系泊力的角度变化对法向承力锚极限抗拔力的影响很大，当系泊角为90度，即VLA法向受力，处于理想工作状态时，VLA的极限抗拔力最大。在系泊力角度不等于90度的情况下，系泊力角度越接近90度，则UPC越大。在系泊力为0度时，UPC为最小值。即法向承力锚在法向受力状态（工作状态）的极限抗拔力最大，回收阶段的抗拔力最小。

参考文献：

[1]O’Neill.M.P.，Bransby.M.F. and Randolph.M.F.，Drag Anchor Fluke-Soil Iteraction in Clays， Geomechanics，J.40：78-94，2003

[2]R.S.Merifield，A.V.Lyamin，S.W.Sloan，H.S.Yu，Three-Dimensional Lower Bound Solutions for Stability of Plate Anchors in Clay，Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，Vol.129，No.3，March 1，2003