求函数值域范文

导语：如何才能写好一篇求函数值域，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

关键词： 函数 函数值域 方法

1.观察法

对于一些简单的函数，可在定义域及函数对应关系基础上确定函数的值域，这叫观察法。

由于函数值域是对应于函数定义域的函数值集合，因此首先要考察函数结构。在此基础上，从定义域出发，逐步推断出函数的值域。

例1：求函数y=（x-3）的值域。

解：函数定义域为-1≤x＜1，又≥0，x-3＜0，y≤0，即函数值域y∈（-∞，0］。

2.反函数法

如果函数在定义域内存在反函数，而求函数值域又不易求解时，可在通过求反函数的定义域的过程中而使问题获解，叫反函数求函数值域的方法。

即由y=f（x），反解出求函数x=f（x），原函数值域包含在f（y）的定义域中。然后分析二者的关系以确定函数值域。此法的成功取决于反解成立，分析正确，并注意在反解过程中保持同解性。

例2：求函数y=+，x∈（0，1］的值域。

错解一：y=+≥2，函数值域y∈［2，+∞）。

剖析：当x=（0，+∞］时，结论x=［2，+∞）才是正确的。但当x∈（0，1），这个结论就不可靠了。

错解二：y=+?圳x-2yx+4=0，

x∈R，4y-16≥0，解得y≤-2或y≥2。

函数值域为（-∞，-2］∪［2，+∞）。

剖析：以上求出的结果，只能是x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时函数的值域，解法二同样忽略了0≤x≤1了这一限制条件，而x∈（0，1］的值域用“判别式法”是无法解决的。

正解：（反函数法）y=+?圳x-2yx+4=0，

x∈（0，1］，y≥2，y+≥2（1），方程（1）的根只能是x=y-，由0＜y-≤1，解得y≥，函数值域为［，+∞）。

3.转化法

利用已知值域的函数或所给函数的定义域，作为“媒介”，将待求值域的函数式变形。通过适当的运算，求得所给函数的值域。将所求函数值域问题转化为熟知的基本初等函数的值域问题，常能化难为易。

例3：求函数y=的值域。

解：由函数表达式得：2sinx+ycosx=3-y?圳sin（x+θ）=3-y，其中θ由sinθ和cosθ=确定。

|sin（x+θ）|≤1，（）≥（3-y）?圳y≥，即原函数值域y∈［，+∞）。

4.不等式法

运用不等式的性质，特别是含等量的不等式，分析等号成立的条件，以确定函数值域，叫不等式求函数值域的方法。

例4：已知α∈（0，π），求函数y=sinα+的值域。

错解：α∈（0，π），sinα＞0，＞0，sinα+≥2=2，函数值域为［2，+∞）。

剖析：由于忽略了“当且仅当sinα+时上式才能取等号”，但因|sinα|≤1故sinα≠，因此上式不能取等号，至少应有y≠2。

正解：α∈（0，π），sinα＞0，＞0，sinα+=sinα++≥3≥3。

当且仅当sinα=，即sinα=1时，上式能全取等号。

小结：用“不等式法”求函数值域，主要是利用“几个正数的算术平均值不小于其几何平均值”，但须注意取等号时条件是否能得到满足。

5.最值法

由于初等函数在其定义域内是连续的，所以我们可以通过求函数在定义区间内的最大值，最小值的办法，并求函数的值域。

例5：求函数y=的值域。

解：由函数定义域知，cosx∈［-1，-）∪（-，1］。

（1）当cosx∈［-1，-）时，y=x+=1-（-1），（）=-1，注意到cosx?邛（-），y?邛-∞-∞＜y≤-1。

（2）当cosx∈（-，1］时，（1+2cosx））=-1，（）=，注意到cosx?邛（-），y?邛+∞，≤y＜+∞。

故函数值域为（-∞，-1］∪［，+∞）.

一般二次函数的值域常用此法求解。有些高次整函数也可用此法。

6.判别式

根据一元二次方程ax+by+c=0有实根时，=b-4ac≥0。的性质，求函数值域的方法叫做判别式法。

例6：求函数y=2x-7x+3的值域。

解：2x-7x+3-y=0，且x∈R，=b-4ac=49-8（3-y）≥0，y≥，该函数值域为［，+∞）.

此法可用于行如：y=（A，P不同时为零，分子分母无公因式）的函数的值域。但必须强调：（1）是既约公式；（2）验证端点值是否能取到；（3）整理成行如一元二次方程的形式后，若平方项系数含字母要讨论；（4）若定义域人为受限，则判别式法失效。

7.换元法

通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数求函数值域的方法叫换元法。

例7：已知函数f（x）的值域是［，］，求y=f（x）+的值域。

解：f（x）∈［，］，≤f（x）≤，故≤≤。令t=，则t∈［，］。有f（x）=（1-t），y=g（t）=（1-t）+t=-（t-1）+1，由于g（t）在t∈［，］时单调递增

当t=，y=，当t=，y=，

y=f（x）+的值域是［，］.

8.图像法（数行结合法）

通过分析函数式的结构、定义域、单调性、奇偶性、极值等。确定若干有代表性的点，勾画出函数的大致图形，从而确定函数的值域。

例8：求函数y=|x-1|+x的值域。

解：原函数可以表达成：当x≤-1或x≥1，y=|x-1|+x=（x+2）-；当-1≤x≤1，y=|x-1|+x=-（x+）+。

作出函数图像（见图1）

由图像知函数值域为［-1，+∞）。

9.单调性法

利用函数单调性，先求出函数的单调区间，再求每个区间上函数的值域，最后取其并集即得函数值域。

例9：求y=x-的值域。

解：y=x和y=-均为单调增函数，

y=y+y=x-为增函数，由定义域x≤知y=，故y≤.

10.配方法

如果给定一个复合函数，y=f［g（x）］，若g（x）或f（x）可以视为一元二次多项式，则要用配方法求其函数值域。

例10：求y=x+的值域。

解：y=x+=1-（-1），在定义域x≤内，显然有（-1）≥0，y≤1，函数值域为（-∞，1］。

本文仅从求函数值域的十种常用方法谈起，在不同的文献中可能会有与本文有出入的其它不同的方法，但解法大致相同，如构造法、极限法、解析法、复数换元法、三角代换法、恒等变换法、有理化法等。当然，本论文求函数值域的方法不是一成不变的，应在多次解题过程中综合并灵活应用这几种方法。

参考文献：

［1］董艳梅，吴武琴.求函数值域的常用方法［J］.昆明冶金高等专科学校学报，1999，15，（2）：19-23.

［2］王英.求函数值域的技巧方法探讨［J］.南都学坛（自然科学报），2001，21，（3）：115-117.

［3］侯剑方.求函数值域的几种方法［J］.中学数学，2002，（3）：28-30.

［4］谭廷经.求函数值域的几种初等方法与常见错误剖析［J］.中学数学教学，1995，（3）：28-30.

［5］张秦.求函数值域的方法与技巧［J］.榆林高等专科学校学报，1997，7，（4）：46-49.

［6］林如恺，江杰.求函数值域的几种方法［J］.乐山师范高等师范专科学校学报，1999，（3）：100-103.

［7］王慧贤，张莉.求函数值域的几种方法［J］.白城师范高等师范专科学校，2001，15，（4）：40-42.

［8］纯刚.求函数值域的方法与技巧［J］.安顺师专学报（自然科学报），1996，（4）：53-60.

［9］赵振威.中学数学方法指导［M］.北京：科学出版社，1999：71-75.

篇2

例1：求函数y=■的值域。

解：原函数变形为关于x的方程得(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0。原函数定域为R。上述方程在x∈R内有实根。

（1）当y-2=0时,方程化为13=0在x∈R内无实根,不合题意，故y≠2；

（2）当y-2≠0时, 上述方程为一元二次方程, 要使该方程在x∈R内有实根, 必须满足?驻=4(y-2)2-4(y-2)（3y+7)≥0，解得－■≤y≤2。

综合(1)(2)，得原函数的值域为[－■,2)。

例2：求函数y=■的值域。

解：原函数变形为关于x的方程得：(y-2)x2+x-y-7=0。又原函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)。 所以上述方程在（-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)上有实根。

（1）若y-2=0，方程化为x-3=0，其在上述区间内有实根，此时y=2；

（2）若y-2≠0，方程为一元二次方程，要使其在上述区间内有实根只须?驻=1+4(y-2)(y+1)≥0，y-2+1-y-1≠0，-2-1-y-1≠0，解得y≤■或y≥■。

综合(1)(2)，得原函数值域为(-∞,■ ]∪[■,+∞)。

例3：已知x＞■，求函数f(x)=■的值域。

解：原函数变形为关于x的一元二次方程得x2-(2y+4)x+5+4y=0。原函数定义域为（■,+∞），上述方程在（■,+∞）上有根，则?驻≥0，（x1-■)(x2-■)≥0，x1+x2＞5，或?驻≥0，（x1-■)(x2-■)

即(2y+4)2-4(5+4y)≥0，5+4y-■(2y+4)+■≥0，2y+4≥5，

或2y+4)2-4(5+4y)≥05+4y-■(2y+4)+■＜0，

解得y≥1。原函数的值域为[1,+∞)。

例4：已知函数f(x) =log3■的定义域为R，值域为(0 , 2)， 求m、n的值。

解：f(x) 的值域为(0,2)，■∈[1,9]，设y=■, 则1≤y≤9, 化为关于x的方程为(y-m)x2-8x-y-n=0，由函数定义域为R知，上述方程在R内有实根。

（1）若y-m=0，则上述方程化为一元一次方程8x+m-n=0在R内有实根，此时y=m，又1≤y≤9，所以1≤m≤9。

（2）若y-m≠0，上述方程为一元二次方程,要使其在R内有实根,则?驻=(-8)2-4(y-m)(y-n)≥0，即y2－（m+n）y+（mn－16）≤0。由1≤y≤9 知，关于y的一元二次方程y2－（m+n）y+（mn－16）=0的两根为1和9。由韦达定理得m+n=1+9，mn－16=1×9，解得■

综合（1）（2），得m=n=5。

注意：（1）“判别式法”的解题思想是：函数在D内有意义等价于方程在D内有实根。（2）用判别式之前，必须先考虑x2的系数是否为0。（3）一元二次方程在D内有实根：若D=R，则只须?驻≥0；若D≠R，则除了?驻≥0外，还须考虑实根在D内的具体分布情况。

篇3

三角函数中的求值问题主要有：已知某三角函数，求另外某些三角函数值或三角式的值；已知某三角函数式的值，求某些三角函数或三角式的值，求某些非特殊角的三角式的值等几类，解决这类问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图像以及三角函数的恒等变化，还常涉及到函数、不等式、方程及几何计算等众多知识，这类问题往往概念性强，具有一定的综合性和灵活性。我以为就三角函数的求值与计算应注重以下问题：

一、三角函数式的化简：

（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数

二、三角函数的求值类型有三类：

（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如 等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；

（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

三、三角等式的证明：

（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；

（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

例题（1）若 ，化简

主要口诀：化异分母为同分母，脱去根式符号化简

解析：由已知可知， 在第Ⅱ象限，所以 在Ⅱ、Ⅲ象限。

原式=

= =

=

例题（2）已知函数f（x）=- sin2x+sinxcosx.

（Ⅰ） 求f（ ）的值；

（Ⅱ） 设 ∈（0， ），f（ ）= - ，求sin 的值.

例题（3）求证：tan x - tan x =

思路分析：本题的关键是角度关系：x= x - x，

右式= =

= tan x - tan x。

=

思路分析：将左式分子中“1”用“sin2α+cos2α”替换，

左边= = = =右边

篇4

一、 忽视负号，生搬硬套

问题1 求函数F（X）=-的值域，函数g（x）=+ 的值域。

问题2 求函数f（x）=x+3-1-x的值域，函数g（x）=x+3+1-x的值域。

简析：教师应重点强调双根式型和双绝对值型函数值域问题求解的基本方法和特殊方法，尤其是易错点。上面两组问题在函数表达式的结构形式上只差一个负号，但在解法上不一样，学生容易类比迁移解题，出现错误，具体解法如下。

问题1：易知函数的定义域{x？誆-3≤x≤1}，由于函数y=为递增函数，函数y=-也为递增函数，根据在公共定义域中，“增函数+增函数=增函数”的单调性质，函数f（x）为递增函数。

f（-3）≤f（x）≤f（1），即-2≤f（x）≤2。

显然函数g（x）不能根据“增+减=增（减）”的单调性进行判断，而采用等价转化的形式来处理，由于+≥0，故g2（x）=4+2。

4≤g2（x）≤4+2=8，且g（x）≥0。

2≤g（x）≤2。

该题另一解法双换元后数型结合处理，令u=，v=，则u2+v2=4（u，v≥0）且直线l∶u+v=y，即直线v在轴上的截距等于y，数型结合易知y∈[2，2]。

问题2：该类双绝对值型解法有三种，在利用绝对值不等式性质解题时易出错。绝对值不等式性质：a-b≤a±b≤a+b，具体解法如下。

x+3-1-x≤（x+3）+（1-x）=4，

-4≤x+3-1-x≤4，即-4≤f（x）≤4，本题易错认为（x+3）-（1-x）≤4。

而x+3+1-x≥（x+3）+（1-x）=4，即g（x）≥4。

另一解法是利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的点到点-3与1距离之差或距离之和，说明 -3与1两点将数轴化分为三段，结合数轴易找出答案。还有一种解法是去掉绝对值，划分为三段的一次分段函数，做出图像，由图像可知。

点评：利用函数的单调性求值域是常见的方法，除导数法处理外，复杂函数的形成大体分两类，第一类由基本初等函数加减乘除四则运算组合而成，另一类由复合而成。但对单调性的处理截然不同，第一类要熟记一些性质，如增+增=增，增—减=增，第二类的处理根据同增异减的法则处理。

二、名称不一，方法有别

问题3 求下列函数的值域：①y=的值域，②y=。

简析：易发现这两个函数的分母只有函数名称不一样，可解法截然不同，同名的可用函数的有界性解决，异名的应用数型结合更方便。

解： ①函数y=的定义域sinx+2≠0，

x∈R，原式可化为sinx=。

由于-1≤sinx≤1，则-1≤≤1，转化为分式不等式组，后解略。

②y==，可看做过定点（-2，1）与动点（cosx，sinx）连线的直线斜率，由于动点是单位圆上的点，

看做过点（-2，1）向单位圆引的两条切线的斜率，由=1解出k=0或k=-，即-≤sinx≤0，

另解也可用有界性，原式可变为： sin（x+θ）= （tanθ=-），由≤1，两边平方可解出，后略。

三、不顾定义，乱用均值

问题4 求下列函数的值域：①y= 的值域，②y=的值域。

简析：上两式分子的常数不一，可利用的思想完全不同，如果不细心函数的定义，通用均值不等式法，有点画蛇添足。两式可化为y=x+（a>0，x>0），使用均值不等式，忽视均值不等式成立的“一正二定三相”等条件，尤其是取最值时，自变量是否在定义域内，否则，利用单调性判断，

错解①原式可化为y=+ ，令t=≥2，

函数y=t+ ≥2 =2，当且仅当t=时，即t=1取等号，显然不在定义域中。

正确解法：函数y=t+（t≥2）在[2，+∞）递增，y≥2+=。

②原式可化为y=+ ，令t=≥2，

函数y=t+≥2=4 ，当且仅当t=时，即t=2取等号，x=0取最小值。

四、次数之分，换元有别

问题5 求下列函数的值域：①f（x）=x+的值域，②f（x）=x+。

简析：运用换元法将所给函数的解析式化为较易求解的函数，上两式根号里有次数之别，全用换元思想，当次数是一次时用代数换元，形如f（x）=ax+b+（c≠0）的用普通换元法，转化为二次函数值域的求解，表达式中含有结构的用三角换元法。

解①f（x）=x+的定义域为{x│x

令t= （t≥0），则x=1-t2，f（x）=-t2+t+1=-（t-）2+，

f（x）≤。

② 令t=sinθ （-≤θ≤） ，f（x）=sinθ+cosθ=sin（θ+），

-≤θ≤，

-≤θ+≤， -≤sin（？渍+）≤1。

-1≤f（x）≤。

篇5

1.含有二次根式的二次型

[分析]观察其中自变量x出现的位置及其指数的情况,可以发现加号前面的有理项中的x的次数是加号后面无理项中的 x 的次数的2倍(前面的 x 是一次的,后面的 x 是二分之一次的),这两项构成了事实上的二次项和一次项的关系,因此可以使用换元法转化成二次函数的值域问题.

说明:使用换元法的时候,无论在什么情况下,都要保证新的变元与换掉的代数结构的取值范围相一致,这围,以防出错.

2.含有指数式的二次型

例2:求函数 y =4 x + 2 x+1 +3的值域.

[分析]根据指数式的运算法则,4 x =(22)x= (2 x)2,2 x+1 = 2 x・2 1 = 2・2 x,因此可考虑把原函数看成是关于 2 x 的二次函数来解决问题.

解: y =(2 x)2 + 2・2 x+3,令2 x=t,则 t >0,且

y = t2 +2 t +3=( t +1)2+2,( t >0).

t >0,y>(0+1)2+2=3.

函数 y = 4 x+2 x+1 +3 的值域为( 3,+∞).

3.含有对数式的二次型

例3:求函数 y =( log 2 x )2+log 2 x2+2 的值域.

[分析]根据对数的运算法则,log 2 x2=2 log 2 x,因此可以把原函数看成是关于 log 2 x 的二次函数.

解:y=( log 2 x )2 +2 log 2 x+2,令log 2 x = t,则 t∈R,且 y = t 2+2 t+2=( t+1 )2+1,( t∈R ).

函数y=(log 2 x)2 + log 2 x2+2 的值域为 [1,+∞).

4.含有特殊三角函数式的二次型

例4:求函数 y = cos2x+4sinx 的值域.

[分析]原函数是由两个不同名也不同角的三角函数相加而成,因此先要根据二倍角公式 cos2 x=1-2sin2 x,将它们化成同角同名的三角函数.这样就可以把原函数看成是关于 sin x 的二次函数了.

解:cos2x=1-2sin2x ,y=1-2sin2x+4sinx.

令sinx= t,则-1≤ t ≤1,

并且 y =-2 t2+4 t+1=-2(t-1)2+3.

-1≤t≤1,

-2(-1-1)2+3≤y≤-2(1-1)2+3,即-5≤y≤3.

篇6

关键词：函数值域解题技巧解题方法

函数是数学学习中的一个重要内容，它与日常生活有着密切的联系。而值域在函数的应用中具有重要地位，它贯穿于整个高中数学的始终。求函数值域的方法比较灵活，它所涉及的知识面较广，用到的数学思想方法较多，是数学考查的基本内容。研究函数值域，必须仔细观察函数解析式的结构特征，采取相应的解法，灵活机动地“变通”。以下通过几个例子说明常见函数值域的几种常规求法。

一、配方法

点评：单调性在此类问题中的比重较大，也比较灵活，可以和其他函数性质综合来考察，因此此类型需要重点关注

总结上面介绍了求函数值域的几种方法，可以让人更清晰明了地了解各种方法.但是了解方法与掌握方法是不同层次的要求。要掌握一种方法，一定要熟悉这一方法运用的全过程。要掌握求函数值域的方法，就要反复地练习、使用，学会如何避免使用一些方法时可能产生的错误。并且要多动脑，多思考钻研，擅于从解题中总结经验.其次，要熟悉一些关于初等函数值域的结论，因为它是求复杂函数的基础。必要时，可以将较复杂的函数分解、转化为基本初等函数来求值域。总之，求函数值域的方法多样，很多题目解题方法不唯一。关键是要正确选用合适的求值域的方法，根据函数的结构，特点以及类型等选择合适的方法。这就要求我们要灵活变通，才能找到简便巧妙的方法。而且，函数值域跟定义域和对应法则相关，不仅要重视对应法则的作用而且要特别注意定义域的约束作用，以免错解。这样，做到了对求函数值域的各种方法有一定的透切的了解，并且能够清楚每个需要注意的问题之后，我们就会“心中有数”。

参考文献：

[1]求函数值域的方法简介-中国基础教育研究 - 赵建新 2007年1月第1期

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关键词：高中数学 函数定义域 思维品质

学生进入高中，学习集合这一基本工具后，就开始了高中函数的学习。用集合的观点定义了函数，进而开始了对函数的研究。然而，不管是求函数解析式、值域，还是研究其性质，都离不开对定义域的研究。

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：用篱笆围一个矩形菜园，现有篱笆总长度为100m，求矩形菜园的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：S=（50-x）

故函数关系式为：S=x（50-x） .

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围： 0

即：函数关系式为：S=x（50-x） （0

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。这体现了思维的严密性，培养学生此项品质是十分必要的。

另外如：y=x和 虽然对应关系相同，但定义域不同，也是不同的函数。

二、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例2：求函数 的值域.

错解：令

故所求的函数值域是 .

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数 在[0，+∞）上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1.

故所求的函数值域是[1， +∞）.

以上例子说明，变量的允许值范围的重要性，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。

求函数值域，往往也会想到函数最值的求解。这里以二次函数

为例举例说明。

例3：求函数 在[1，4]上的最值.

解：

当 时，

初看本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到此题定义域不是R，而是[1，4]。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。学生只知道利用对称轴求二次函数最值。然而，那往往是定义域是R的时候，当条件改变时，需要考虑完善。本题还要继续做下去：

f（4）=42-4x4-5=-5

函数 在[1，4]上的最小值是-9，最大值是―5.

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，应注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，这说明思维的灵活性很重要。

三、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例4：求出函数f（x）=1n（4+3x-x2）的单调区间.

解：先求定义域：

函数定义域为（-1，4）.

令 ，知在 上时，u为减函数，

在 上时， u为增函数。

又

即函数 的单调递增区间 ，单调递减区间是 。

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。此题正解应该是函数 的单调递增区间 ，单调递减区间是 。

四、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

例5：判断函数 的奇偶性.

解： 定义域区间 不关于坐标原点对称

函数 是非奇非偶函数.

若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性可能得出如下错误结论：

函数 是奇函数.

综上所述，在求解函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生辨析理解能力，有利于培养学生的数学思维品质，激发学生的创造力。

参考文献：

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〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2012）24—0090—01

反函数是函数研究中的一个重要内容，是函数教学的一个重点，也是学生学习的难点.在反函数教学中稍有不慎就会走入误区，有些错误观点甚至在一些辅导资料中以谬传谬，造成误导.这里列举出求解反函数相关问题的几种常见错误，并提出相应的对策.

误区之一 求反函数时忽视了原函数的值域

众所周知，两个函数若定义域不同，即使对应法则相同，也不是相同的函数.原函数的值域是反函数的定义域，若忽视了原函数的值域，则解得的结果不一定正确.

例1 求函数y=1-■（-1≤x

错解：由y=1-■得（y-1）2=1-x2， x2=1-（y-1）2.

又-1≤x

剖析： 原函数的值域为（0，1），故反函数的定义域为（0，1），而上述解法所得的反函数的定义域为[0，2]，显然不是原函数的反函数.

误区之二 求反函数时忽视了原函数的定义域

有些函数其本身不存在反函数，但在其单调区间内反函数存在.在求这类函数的反函数时，除注意其值域外，同时也要注意其定义域，根据其定义域对求得的x合理取舍.

例2 求函数y=-x2+4x+2 （0≤x≤2）的反函数.

错解： 函数y=-x2+4x+2 （0≤x≤2）的值域为y∈[2，6]，又y=-（x-2）2+6，即（x-2）2=6-y，x-2=

±■.

所求的反函数为y=2±■ （2≤x≤6）.

剖析： 上述解法中忽视了原函数的定义域 ，没有对x进行合理取舍，从而得出了一个非函数表达式.

误区之三 混淆复合函数的反函数与反函数的复合函数两个不同的概念

函数y=[φ（x）]的反函数指的是复合函数g（x）=[φ（x）]的反函数g-1（x），而函数y=f-1[ φ（x）]指的是y=f（x）的反函数y=f-1（x）中的x用φ（x）代替得到的解析式，即y=f（x）的反函数的复合函数，这两个函数一般是不同的.

例3 已知函数f（x）=2x-1，求f（x+1）的反函数.

错解：由f（x）=2x-1可求得其反函数为f-1（x）=■x+■，从而所求的反函数为f-1（x+1）=■（x+1）+■=■x+1.

剖析：上面解法错误的原因是误认为函数f-1（x+1）是复合函数f（x+1）的反函数.事实上，函数y=f（x+1）的映射法则已不再是“f”了，当然“f-1”不是它的逆映射，正确的解法是：令g（x）=f（x+1）=2（x+1）-1=2x+1，解得g-1（x）=■x-■，即f（x+1）的反函数为g-1（x）=■x-■.

误区之四 盲目利用反函数求函数值域

在反函数存在的前提下， 某些函数运用反函数法求函数的值域的确是一种好方法，但通过反函数的定义域求原函数的值域，逻辑上属于循环解答.习惯上是将反函数的解析式有意义的x的取值范围作为原函数的值域.运用这种方法求函数值域只有在等价变形的前提下才是正确的.

例4 求函数y=■（x>0）的值域.

错解 ： 由函数y=■ 可求得反函数为y=■，其反函数定义域为x∈（-∞，3）∪（3，+∞），从而原函数的值域为{y|y∈R且y≠3}.

剖析： 由于x=■>0，可求得原函数的值域为（■，3），而不是（-∞，3）∪（3，+∞），造成错误的原因是求解x时， 用x≠-2代替了原函数的定义域x>0，这是一种不等价的变形.

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关键词：对数函数；性质；图像

探究一：对数函数有关的定义域、值域

例1.求下列函数的定义域

方法归纳：

1.求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则：分母不能为0，根指数为偶数时，被开方数非负，对数的真数大于0，底数大于0且不为1。

2.求函数定义域的步骤：列出使函数有意义的不等式组，化简并解出自变量的取值范围，确定函数的定义域。

（3）函数y=2+log2x（x≥1）的值域为（C）

A.（2，+∞） B.（-∞，2） C.[2，+∞） D.[3，+∞）

方法点拨：可以直接利用对数函数的单调性求出函数的值域，也可以借助对数函数的图像求出函数的值域，更加直观、形象。

探究二：对数型函数单调性的应用（重点）

例2.比较下列各组对数值的大小

方法归纳：

对数值大小的比较方法有：

1.如果底数相同，真数不同，直接利用同一个对数函数的单调性来比较大小，如果底数为字母，则要分类讨论。

2.如果底数不同，真数相同，可以利用图像的高低与底数的大小关系解决，或利用换底公式化为同底的再进行比较。

3.若底数、真数都不相同，则常借助中间量1，0，-1等进行比较。

例3.复合函数单调性的判断及应用

方法点拨：

求复合函数单调区间的步骤：

1.求出函数的定义域。

2.将复合函数分解为基本初等函数。

3.确定各基本初等函数的单调性及单调区间。

4.根据复合函数单调性的判断方法求原函数的单调区间。

例4.利用函数单调性求函数值域

函数y=logax（a>0，且a≠1）在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值。

方法点拨：

通过对底数a的讨论来确定此对数函数的单调性，进而可以确定究竟在区间的哪个端点处分别取得最大值和最小值，列出关于a的对数方程，求出a值。

例5.利用函数单调性求解对数不等式

已知log0.7（2x）

解题技巧：解对数不等式应根据对数函数的单调性转化为关于真数的不等式，求解时应注意原对数式的真数大于0的条件，常见对数不等式类型如下：

对于函数图像的掌握要求两点：首先要求熟悉掌握各种基本初等函数的图像，复杂函数的图像都是由简单函数的图像通过平移、伸缩、对称等变换而得到的。其次把握函数图像的性质，根据图像的性质去判断，如：过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性等。

探究四：对数型函数性质的综合应用

例7.已知函数f（x）=loga（x+1）-loga（1-x）（a>0，且a≠1）

（1）求f（x）的定义域；

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一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则,所以在求函数的关系式时学生必须考虑所求函数关系式的定义域,否则所求函数关系式可能是错误。如:

例1:某单位计划建筑一矩形围墙,现有材料可筑墙的总长度为100m,求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?

解:设矩形的长为x米,则宽为(50-x)米,由题意得:

S=x(50-x),故函数关系式为:S=x(50-x)。

如果解题到此为止,则本题的函数关系式还欠完整,缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时,S的值是负数,即矩形的面积为负数,这与实际问题相矛盾,所以还应补上自变量的范围:0

即:函数关系式为:S=x(50-x)(0

这个例子说明,在用函数方法解决实际问题时,学生必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响,若考虑不到这一点,就体现出学生思维缺乏严密性;若注意到定义域的变化,就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

二、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合,当定义域和对应法则确定,函数值也随之而定。因此在求函数值域时,学生应注意函数定义域。如:

例2:求函数y=4x-5+的值域。

错解:令t=,则2x=t+3,

y=2(t+3)-5+t=2t+t+1=2(t+)+≥,故所求的函数值域是[,+∞)。

剖析:经换元后,应有t≥0,而函数y=2t+t+1在[0,+∞)上是增函数,

所以当t=0时,y=1。故所求的函数值域是[1,+∞)。

以上例子说明,变量的允许值范围是何等的重要,学生若能发现变量隐含的取值范围,精细地检查解题思维的过程,就可以避免以上错误结果的产生。也就是说,学生若能在解好题目后,检验已经得到的结果,善于找出和改正自己的错误,善于精细地检查思维过程,便体现出良好的思维批判性。

三、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时,函数值随着增减的情况,所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如:

例3:指出函数f(x)=log(x+2x)的单调区间。

解:先求定义域:

x+2x>0,x>0或x

令u=x+2x,知在x∈(-∞,-2)上时,u为减函数;在x∈(0,+∞)上时,u为增函数,

又f(x)=logu在[0,+∞)是增函数。

函数f(x)=log(x+2x)在(-∞,-2)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数。

即函数f(x)=log(x+2x)的单调递增区间(0,+∞),单调递减区间是(-∞,-2)。

如果在做题时,学生没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性,就说明学生对函数单调性的概念一知半解,没有理解。在做练习或作业时,只是对题型、套公式,而不去领会解题方法的实质,也说明学生的思维缺乏深刻性。

四、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性,应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称,如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称,则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如:

例4:判断函数y=x,x∈[-1,3]的奇偶性。

解:2∈[-1,3]而-2[-1,3],

定义域区间[-1,3]关于坐标原点不对称,

函数y=x,x∈[-1,3]是非奇非偶函数。

如果学生像以上这样的过程解完这道题目,就很好地体现出解题思维的敏捷性。

如果学生不注意函数定义域,那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论:

f(-x)=(-x)=-x=-f(x),

函数y=x,x∈[-1,3]是奇函数。

错误剖析:以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成,这是学生极易忽视的步骤,也是造成结论错误的原因。

综上所述,在求解函数关系式、单调性、奇偶性等问题中,如果我们能精细地检查思维过程,思辨函数定义域有无改变(指对定义域为R来说),对解题结果有无影响,就能提高学生质疑辨析能力,有利于培养学生的思维品质,从而不断提高学生思维能力,有利于培养学生思维的创造性。

参考文献:

[1]田万海.数学教育学.浙江教育出版社.

[2]庄亚栋.高中数学教与学.中学数学教与学编辑部出版.