函数值域范文
时间：2023-03-18 08:43:25
导语：如何才能写好一篇函数值域，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。
篇1
函数是数学学习中的一个重要内容，它与日常生活有着密切的联系。而值域在函数的应用中具有重要地位，它贯穿于整个高中数学的始终。求函数值域的方法比较灵活，它所涉及的知识面较广，用到的数学思想方法较多，是数学考查的基本内容。研究函数值域，必须仔细观察函数解析式的结构特征，采取相应的解法，灵活机动地“变通”。以下通过几个例子说明常见函数值域的几种常规求法。
一、配方法
点评：单调性在此类问题中的比重较大，也比较灵活，可以和其他函数性质综合来考察，因此此类型需要重点关注
总结上面介绍了求函数值域的几种方法，可以让人更清晰明了地了解各种方法.但是了解方法与掌握方法是不同层次的要求。要掌握一种方法，一定要熟悉这一方法运用的全过程。要掌握求函数值域的方法，就要反复地练习、使用，学会如何避免使用一些方法时可能产生的错误。并且要多动脑，多思考钻研，擅于从解题中总结经验.其次，要熟悉一些关于初等函数值域的结论，因为它是求复杂函数的基础。必要时，可以将较复杂的函数分解、转化为基本初等函数来求值域。总之，求函数值域的方法多样，很多题目解题方法不唯一。关键是要正确选用合适的求值域的方法，根据函数的结构，特点以及类型等选择合适的方法。这就要求我们要灵活变通，才能找到简便巧妙的方法。而且，函数值域跟定义域和对应法则相关，不仅要重视对应法则的作用而且要特别注意定义域的约束作用，以免错解。这样，做到了对求函数值域的各种方法有一定的透切的了解，并且能够清楚每个需要注意的问题之后，我们就会“心中有数”。
参考文献：
[1]求函数值域的方法简介-中国基础教育研究 - 赵建新 2007年1月第1期
篇2
一、1.直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b（a 0）的定义域为R，值域为R；
反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；
二次函数 的定义域为R，
当a>0时，值域为{ }；当a
例1：求函数 的值域。
解： ， ，
函数 的值域为 。
例2：求函数 的值域。
（注意：开口方向；区间与对称轴的关系）
解 顶点横坐标2 [3，4]，
当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；
在[3，4]上， =-2， =1；值域为[-2，1].
三、中间变量法：函数式中含有可以确定范围的代数式。
例3：求函数 的值域。
解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为 （定义域优先原则），对函数进行变形可得
，
，（特殊情况优先原则） （ ， ），
， ，
函数 的值域为
例4：求y= （1≤X≤3）的值域。
解：y= ? x=
1≤X≤3 1≤ ≤3 ? y∈[ ， ]
四、分离常数法：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
例5：求函数 的值域。
解：（此处要先求定义域） ，
， ，函数 的值域为 。
五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如 （ 、 、 、 均为常数，且 ）的函数常用此法求解。
例6：求函数 的值域。
解：（求值域先求定义域）令 （ ）（引入新元要标注范围），则 ，
（ ）（你看：没有标注范围的话这里就会出错）（再利用数形结合法）
当 ，即 时， ，无最小值。
函数 的值域为 。
点评：对于形如 （ 、 、 、 为常数， ）的函数，我们可以利用换元法求其值域，同时还利用了图像法。特别注意：引入新的变量时要标注其范围。
六、判别式法：把函数转化成关于 的二次方程 ；通过方程有实数根，判别式 ，从而求得原函数的值域，形如 （ 、 不同时为零且定义域为 ）的函数的值域，常用此方法求解。
例7：求函数 的值域。
解：定义域为：
由 变形得 ，
当 时，此方程无解；（特殊情况优先）
当 时， 说明方程至少有解， ，
解得 ，又 ，
函数 的值域为
点评：（1）此法适用 ≠0）型的函数；
（2）在解题过程中注意对二次项系数是否零的讨论；
（3）有两种情况不采用此法。（一是X有限制；二是分子分母有公因式）
七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。
例8：求函数 的值域。
解：（求值域先求定义域）当 增大时， 随 的增大而减少， 随 的增大而增大，函数 在定义域 上是增函数。
，
函数 的值域为 。
八、数形结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。
例9：求函数 的值域。
解： ，
篇3
第一，为什么判别式法能求形如函数y=■的值域？
在课堂上，我是这样引导和启发的：
师：最近，我们学习了哪些求函数值域的方法？
生：数形结合法，单调性法，反函数法……
师：能否用上述方法求函数y=■的值域？
生（思考）：……不能用……
师：因此，我们要探索一个新的方法，来解决这个问题。
函数y=■的定义域为R，不妨设值域为C。
根据函数的定义知，函数y=■是定义域R到值域C上的映射，容易看出：这个映射中，有“一对一”、“二对一”；（如图1）反过来，在值域C中，任意给定一个y的值，通过方程yx2-2x+y=0，总能得到一个或两个x的值（如图2）。
■
再次提问：
师：若关于x的方程yx2-2x+y=0存在一个或两个根，则需满足什么条件？
生甲：当方程有两个根时，Δ≥0；当方程有一个根时，y=0。
师：在C中，是否存在y的值，使方程yx2-2x+y=0没有实数根？
生乙：不存在，因为C是函数y=■的值域。
师：非常好！根据函数的定义知，在定义域内的任意x的值，在值域内都会有唯一确定的y值与之相对应，因此，反过来，在值域内给出任意的y的值，通过方程就一定能解出一个或两个x的值，即Δ≥0。
……
师：通过上面的分析，请同学们总结一下，求这种类型函数值域的步骤？
生丙：先将函数化成关于x的方程；再令Δ≥0，解此不等式即可求得函数的值域。
师：棒极了！（掌声）…
（然后再引导学生对方程yx2-2x+y=0的二次项系数进行分析）
当y≠0时，令Δ≥0，得-1≤y≤1；
当y=0时，得x=0，符合题意。
综上可知，函数y=■值域是 ［-1，1］。
不难看出，用映射的观点去揭示判别式的解题原理，学生比较容易理解和接受。
第二，当x在某个限定的区间上取值时，判别式法为什么就不适用了？
下面以函数y=■（x>0）为例，来探讨这个问题。
首先，让我们来看看其正确的解法：
解析：由y=■（x>0），得yx2-2x+y=0（x>0）。
上面的问题就转化为：y取什么值时，方程yx2-2x+y=0在（0，+∞）有实数根？
设f（x）=yx2-2x+y（很明显y≠0）。
情况（1）：
方程yx2-2x+y=0只有一个根，
即y・f（0）
情况（2）：
方程yx2-2x+y=0有两个正根，根据题意知，Δ≥0，且x1+x2>0且x1・x2>0。
解之，得0
在本例中，如果直接运用Δ≥0求解，由上文知，得到的结果是［-1，1］，而不是（0，1］。其错误的原因是：函数转化为方程后，方程yx2-2x+y=0在（0，+∞）有实根，扩大到在R上有实根，从而导致值域扩大。
由此，我们看出：当x在某个限定的区间内时，求函数y=■的值域，可以转化为一元二次方程在该范围内存在实数根的问题，再运用根的分布的理论进行求解。基于这一点，我认为：当x在某个限定的区间内时，判别式法虽然失去了作用，但是，判别式仍然是一个不容忽略的条件。
篇4
1.形如“y=cx+d1ax+b（a≠0）”的函数，特征：一次函数与一次函数商的形式
例求函数y=-3x+112x-3的值域.
解y=-3x+212x-1=-312（2x-1）+11212x-1=-312+11212x-1，因为11212x-1≠0，所以y≠-312.
故函数值域为-∞，-312∪-312，+∞.
说明此法称为分离常数法，能针对一切两个一次的商形式的函数值域，对于一般形式y=cx+d1ax+b（a≠0）的值域为-∞，c1a∪c1a，+∞，即y≠c1a.当然这种形式的函数还可以用反函数法，原函数的值域就是反函数的定义域，不过计算过于复杂.
2.形如“y=ax2+bx+c1dx2+ex+f（a2+d2≠0，e2-4df
例求函数y=2x2+4x-71x2+2x+3的值域.
解原函数可变形为（y-2）x2+2（y-2）x+3y+7=0，当y=2时，13=0不成立，所以y≠2.因为x∈R，所以上述关于x的一元二次方程有实数根，则有Δ=[2（y-2）]2-4（y-2）（3y+7）≥0，解得-912≤y≤2，而y≠2.故函数值域为-912，2.
说明此方法称为判别式法，尤其要注意的是：①函数的定义域应为R；②分子、分母没有公因式；③二次方程中只有二次项系数非零时，才能使用判别式.
3.形如“y=mx+n±ax+b”的函数，特征：一次函数与 “根号下为一次函数”的和差形式
例求函数y=2x+13-4x-3的值域.
解令13-4x=t，则t≥0且x=114（13-t2），原函数变为y=-112t2+t+712=-112（t-1）2+4.当t=1时，ymax=4，当t+∞时，y-∞.故函数值域为（-∞，4].
说明此法适用于根号内外自变量的次数为一次（甚至次数相同）的无理函数，一般令ax+b=t，将原函数转化为t的二次函数.此方法称为换元法，其实质在于将不熟悉的函数形式转化为熟悉的函数形式.就像人换了不同的衣服，但身高没变一样.
4.形如“y=af2（x）+bf（x）+c（a≠0）”的函数，特征：二次函数与函数f（x）复合的形式
例求函数y=sin2x-sinx+2的值域.
解令sinx=t，则-1≤t≤1，于是原函数变为y=t2-t+2=t-1122+714.因为-1≤t≤1，所以当t=112时，ymin=714；当t=-1时，ymax=4.故函数值域为714，4.
说明此方法是简单换元与二次函数性质的综合应用，特别注意找到作为一个整体的f（x），以及当令f（x）=t时t的范围.又如y=4x-3·2x+1中应令2x=t，此时t>0.
5.形如“y=f（x）+k1f（x）（f（x）∈R，f（x）≠0）”的函数，特征：函数与k倍倒数的和的形式
例求函数y=lgx+11lgx-1的值域.
解当0
说明此方法称为基本不等式法，原理为a+b≥2ab（a，b>0）.要注意的是f（x）必须取得除零以外的所有实数，并且f（x）的正负性明确，必须满足均值不等式的一正二定三相等的条件.
6.形如“y=a-x+x-b（a+b>0）”的函数，特征：函数x的系数为±1
例求函数y=1-x+x+3的值域.
解由题知-3≤x≤1时，令u=1-x，v=x+3.
则u2+v2=4
0≤u≤2
0≤v≤2，且y=u+v，在平面直角坐标系uOv中，作出圆弧u2+v2=4和直线y=u+v，如图所示，由图可知：2≤y≤22.
篇5
【关键词】定义域；值域；对数函数
一、简单对数函数的定义域和值域的实用判别法则
设y=logax(a>0,a≠1)为简单对数函数，则有如下判别法则：
（1）当a>1，函数y=logax在定义域(0,+∞)单调增加，没有最大值，也没有最小值，函数值域为(-∞,+∞)；在定义域［x1,x2］(0
（2）当0
二、对数复合函数的定义域和值域的实用判别法则
设y=logau=logag(x)。(a>0,a≠1)是对数复合函数，其中中间变量u=g(x)叫内函数，y=logag(x)叫外函数，则对数复合函数的定义域是{x|g(x)>0}，在这个定义域内，先确定内函数u=g(x)的值域，然后再在u的值域范围内讨论对数复合函数的单调性与最值，从而得到对数复合函数的值域。
（1）当a>1，如果u=g(x)的取值范围是(-∞,+∞)，没有最大值，也没有最小值，则对数复合函数y=logag(x)在(-∞,+∞)内也是单调增加，没有最值，值域为(-∞,+∞)；如果u=g(x)在取值［u1,u2］单调增加，则对数复合函数在［u1,u2］也单调增加，有最小值y1=logau1=logag(x1)，有最大值y2=logau2=logag(x2)，这时，复合对数函数的值域为［y1,y2］；如果u=g(x)在［u1,u2］单调减少，则对数复合函数在［u1,u2］也单调减少，有最大值y1=logau1=logag(x1)，有最小值y2=logau2=logag(x2)，这时，复合对数函数的值域为［y2,y1］。
（2）当0
例1 求函数y=log2(x2+2x+5)的定义域和值域。
解 要使函数有意义，则需x2+2x+5>0。
Δ=b2-4ac=22-4×1×5=-16
对于任意的实数x，恒有x2+2x+5>0，
故对数复合函数y=log2(x2+2x+5)的定义域是(-∞,+∞)。
x0=-b2a=-22×1=-1∈(-∞,+∞)，y0=4ac-b24a=4×1×5-224×1=4，
函数u=x2+2x+5，当x=-1时，有最小值y0=4。
即函数u=x2+2x+5的值域是［4,+∞）。
函数y=log2u在［4,+∞）是单调增函数，且当u=4时，y=log24=2，故对数复合函数y=log2(x2+2x+5)的值域是［2,+∞)。
例2 求函数y=log12(-x2+4x-3)的定义域和值域。
解 设u=-x2+4x-3是内函数，
要使函数有意义，则需-x2+4x-3>0，
解之得1
故函数y=log12(-x2+4x-3)的定义域是［1,3］。
x0=-42×(-1)=2∈［1,3］，
y0=4×(-1)×(-3)-424×(-1)=1。
内函数u=-x2+4x-3在x0=2时，有最大值u=1，当x=1或者x=3时，有最小值u=0。
内函数u=-x2+4x-3的值域是［0,1］,函数值单调增加，
对数复合函数y=log12(-x2+4x-3)在定义域内是单调减少，但当u=1时，y=log12u=0，当u=0时，y-∞。
篇6
关键词：二次函数；区间二次函数；值域；值域求法
所谓的区间二次函数就是其函数表达式是某个二次函数，但其定义域不再是一般二次函数定义域R，而只是其一个子区间，其根据定义域区间的类型可分为“单界型”和“双界型”.
一、双界型区间二次函数及值域求法
1.概念
定义域区间既有上界又有下界的形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c为常数，a≠0）的函数，称为双界型区间二次函数.
2.值域的求法
例1.求函数y=x2-4x+1，x∈[0，5]的值域.
解法1.对称轴为x=-■=2∈[0，5]，且有当x=2时，y=-3；当x=0时，y=1；当x=5时，y=6；
ymin=-3，ymax=6.
原函数的值域为[-3，6].
点评：当对称轴在定义区间上时，函数有三个关键点，即顶点和两个区间端点，这三个关键点的函数值中最大者一定是函数的最大值，最小者一定是函数的最小值，因此，可以利用已知函数的解析式直接求出三个关键点的函数值，然后比较大小，求出两个极值（最大值和最小值），进而确定值域，此种方法可称为比较大小法，是求双界型区间二次函数值域的有效通法。
解法2.对称轴为x=-■=2∈[0，5]，
原函数在[0，5]上的值域和在[2，5]上的值域是相同的.
又a=1>0，
y在[2，5]上为单调递增函数.
当x=2时，ymin=-3；当x=5时，ymax=6.
原函数的值域为[-3，6].
点评：一般来说，若二次函数的对称轴x0∈[a，b]，此时函数在定义区间不是单调函数，但其值域等价于在单调区间[x0，c]（其中c为a、b中的较大者）上的值域，于是可利用函数的单调性来求解问题，这种办法不妨称之为“单调性法”，也是求双界型区间二次函数值域的一种有效方法.
解法3：对称轴为x=-■=2，
5-2>2-0>2-2.
当x=2时，ymin=-3；当x=5时，ymax=6.
原函数的值域为[-3，6].
点评：一般的，对于二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）而言，有当a>0时，离对称轴越远函数值越大；当a
例2.求函数y=-t2+4t+2的值域，其中t∈[-1，1].
解法1.对称轴t=-■=2■[-1，1]，且a=-1
y在[-1，1]上单调递增.
当t=-1时，ymin=-3；当t=1时，ymax=5.
原函数的值域为[-3，5].
点评：这里用了“单调性法”，但是直接使用而不需要先等价转化.
解法2.对称轴t=-■=2■[-1，1]，且当t=-1时，y=-3；当t=1时，y=5.
ymin=-3，ymax=5.
原函数的值域为[-3，5].
点评：这里用了“比较大小法”，但无需顶点参与.
解法3.对称轴t=-■=2■[-1，1]，且-1-2>1-2，
当t=-1时，ymin=-3；当t=1时，ymax=5.
原函数的值域为[-3，5].
点评：这里用了“对称距法”，但无需顶点参与.
小结：
（1）双界型区间二次函数的值域问题可分为两种类型：一种是对称轴属于定义区间，另一种是对称轴不属于定义区间.
（2）双界型区间二次函数值域的求解有三种通法，分别是“单调性法”“对称距法”“比较大小法”.但不管哪一种方法都是从求对称轴和判断对称轴与定义区间的关系入手，以便确定顶点是否参与比较.
（3）双界型区间二次函数的值域也一定是双界型区间.
二、单界型区间二次函数及值域求法
1.概念
定义域区间只有上界或下界的形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c为常数，a≠0）的函数，称为单界型区间二次函数.
2.值域的求法
例3.求函数y=x2-2x-3，x∈（-∞，-1]的值域.
解：对称轴x=-■=1■（-∞，-1]，且a=1>0，
y在（-∞，-1]上为单调递减函数.
y≥（-1）2-2・（-1）-3=0.
函数值域为[0，+∞）.
点评：一般来说，若二次函数对称轴x0■[a，+∞）（或（-∞，a]）时，此时函数在定义区间是单调函数，于是可直接用“单调性法”来求解问题.
例4.求函数y=3+2x-x2，x∈（-∞，3]的值域.
解：对称轴=-■=1∈（-1，3]，
原函数在（-∞，3]上的值域和在（-∞，1]上的值域是相同的.
a=-1
y在（-∞，1]上为单调递增函数.
y≤3+2・1-12=4.
函数值域为（-∞，4].
点评：一般来说，若二次函数对称轴x0∈[a，+∞）（或（-∞，a]）时，此时函数在定义区间不是单调函数，但其值域等价于在单调区间[x0，+∞）（或（-∞，x0]）上的值域，于是可用“单调性法”来求解问题.
小结：
（1）单界型区间二次函数值域问题可分为两种类型：一种是对称轴属于定义区间，另一种是对称轴不属于定义区间.
（2）单界型区间二次函数值域的求法，只有“单调性法”，同样必须从求对称轴和判断对称轴与定义区间的关系入手，以便确定是直接使用单调性求解，还是等价转化后再利用单调性求解.
篇7
基本函数可以通过观察范围直接推出函数值域，往往需要结合函数的单调性。
例题：求值域（1）y=■-2
（2）y=■+■，（x≥1）
二、二次类型
形如y=ax2+bx+c（a≠0）或F(x)=a[f(x)]2+bf(x)+c（a≠0））类的值域问题，用配方法求解。
例题：求值域（1）y-■ （2）y=3x4-2x2+1
三、分式类型
1.分子、分母都是一次函数的有理函数，形如函数y=■的，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反解法。
例题：求值域（1）y=■ （2）y=■ （3）y=■
2.分子、分母都是二次函数的有理函数，形如函数y=
■(其中a1，a2不全为0)，可以用判别式法求解。
例题：求函数y=■的值域
3.分子、分母分别是一次函数和二次函数的有理函数，可以用均值不等式或对勾函数图像求解。
利用均值不等式求值域,要满足：一正、二定、三相等。若不满足条件的，就得利用对勾函数y=x+■(k>0)在（-∞,-■）和[■，+∞]上单调递增，在[-■，0]和（0，■）上递减来求解。
例题：（1）求函数y=■（x>y=■）的值域
（2）变式：y=■
4.形如y=■的函数，可以通过反解后利用有界性求解。此外，还有一个更重要的方法——几何意义法，即理解为单位圆上的动点（cosx,sinx）和定点（-1，-1）两点间连线的斜率的取值范围。
四、根式类型
1.形如y=ax+b±■（a，b，c，d均为常数，ac≠0）的函数有两类，一类直接观察,利用单调性求值域;另一类利用代数换元，将所给函数转换成二次函数。
例题：（1）求函数y=x-■的值域，很容易判断出函数在定义域上（-∞，■）是增函数。
（2）y=x+4■，设t=■≥0，可化为y=1-t2+4t=-（t-2）2+5（t≥0）求解。
2.含■的结构的函数，可利用三角代换，令x=acosθ，
θ∈[0，π]，或令x=asinθ，θ∈[-■，■]求解。
例题：求值域（1）y=x+■
（2）y=x+■
（3）y=■-■的值域（y=■，x≥1）
4.形如y=■±■，可利用几何意义转化为一个动点和两个定点之间距离的和与差的最值问题。
例题：求y=■+■的值域。
解析：原函数可转化为动点P(x，0)与定点A(-2,1)和B(2,2)间距离之和，即求|PA|+|PB|的最值。
变式：求函数y=■-■的值域。
五、绝对值类型
形如y=|ax+b|±|cx+d|类型的函数,通常采取零点区间讨论的方法和几何意义的方法.
例题：（1）求y=|x+3|+|x-5|的值域。
解析：一是去绝对值零点讨论，二是可以理解为数轴上的点x与-3和5的距离之和问题。
篇8
（1）了解任意角的概念、弧度的意义.
（2）能够正确换算弧度与角度.
题型：以选择题或填空题为主，考查弧度、角度的定义和相互换算.
注意：（1）终边相同的角的集合的表示方法，蕴含顺、逆时针旋转整数圈的意义.
（2）弄清各三角函数在每个象限中的符号，互为倒数的三组要分别记忆，口诀为“一全二正（弦）三切四余（弦）”.
（1）掌握同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差公式、二倍角公式以及辅助角公式等.
（2）会运用公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式的证明；能结合三角形的性质，利用相关的三角函数公式证明三角形的边角关系式.
（3）合理选择正弦、余弦定理，并结合三角形的性质解斜三角形问题和实际应用问题.
题型：各题型都可能出现.
注意：（1）三角函数化简求值题目中最常用的公式是sin2θ＋cos2θ＝1.
（2）在用诱导公式求三角函数值之前，应考虑周期性和奇偶性等性质，并化简所求角的形式. 熟记口诀“奇变偶不变，符号看象限”，把所有角的三角函数值换算到锐角所对应的函数值中，特别注意特殊锐角（如30°，60°等）的各三角函数值.
（3）掌握公式的变形应用和角的灵活拆分，如tanα±tanβ＝tan（α±β）（1∓tanαtanβ），2α＝（α＋β）＋（α－β），α＝（α＋β）－β等.
（4）通过全等三角形判定定理，理解斜三角形“边边角”型的问题可能有两解、一解和无解三种情况. 根据已知条件判定解的情形，是难点之一.
（1）掌握正弦、余弦、正切函数的图象特征和各种性质（特别是周期性）.
（2）理解函数y＝Asin（ωx＋φ）中A，ω，φ的物理意义，掌握函数的图象及其变换.
题型：仍以选择、填空题为主，有时也会出现以函数性质为主，并结合图象的综合性解答题.
注意：（1）所有函数图象的变化都是针对单独的“x”而言. 特别注意伸缩变换中，横坐标的变换系数跟解析式的系数刚好成倒数.
（2）y＝sinx与y＝Asin（ωx＋φ）的图象之间的互相转换有两种方式，即先平移后伸缩、先伸缩后平移.
（3）y＝Atan（ωx＋φ）型函数的周期为T＝.
（4）在求y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间时，要先把x的系数ω调整为正值，才不会出错.
（5）两个相邻对称轴或对称中心之间的距离为周期的一半，相邻对称轴和对称中心的距离为周期的四分之一.
（6）求值域的常用方法，即先将所给的三角函数转化为二次函数，再通过配方法求值域，如对y＝asin2x＋bsinx＋c型函数，应利用sinx，cosx的有界性求值域.
（1）掌握向量的基本概念、几何表示以及各种运算（如加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积以及对应的坐标运算等）.
（2）理解两个向量共线的充要条件和平面向量的基本定理.
题型：对基础知识的考查一般以客观题为主；对数量积的重点考查则以解答题的形式出现，综合性强，难度大.
注意：（1）两个向量的模长可以比较大小，但方向则没有大小，因此“大于”和“小于”的概念对于向量无意义.
（2）清楚零向量的特殊性（如方向不确定等）.
（3）同一个向量有模长为1且方向相同或相反的两个单位向量.
（4）相等向量必须是模长相等且方向相同的向量，两个条件缺一不可.
（5）两向量平行即两向量共线.
（6）运用三角形法则时应注意加法是“首尾相连”，减法是“首相连”.
中，等号成立的条件可以解决许多相关问题.
（8）A，B，C三点共线⇔＝t＋k（其中O为平面中任意一点，t＋k＝1）. 任意交换A，B，C的位置，该充要条件仍然成立.
（9）特别注意数量积的运算. ①结合律对数量积不成立，即（a・b）・c≠a・（b・c）；②由a・b＝b・c，不能推出a＝c，因为前者是实数等式，后者是向量等式，二者不能等价；③当a≠0时，a・b＝0不能推出b一定是零向量，因为还有非零向量与a垂直的情况.
（1）熟记定比分点公式，中点、重心坐标公式.
（2）熟练运用平移公式.
题型：以客观题为主，考查向量的应用.
注意：（1）定比分点公式可证明三点共线的问题.
篇9
由于函数性质是高考命题的主线索，函数图象是函数形的体现，所以在近几年各地的高考数学试题中都有与函数图象相关的试题，有的是“显性”考查函数与图象问题，即直接考查相关函数的图象；有的是“隐性”考查函数的图象与性质，即在题干中虽然没有明确提到函数的图象，但在解决问题的过程中又必然要用到相关函数的图象. 从近几年的试题来看，一般以中等难度、题型新颖的综合试题出现.
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（1）在复习和应试中，要努力提高利用函数的图象解决问题的意识.
（2）熟悉基本函数的图象，掌握函数图象的平移变换、对称变换、伸缩变换是迅速准确地作出函数图象的基础.
（3）注意图象的几何特征与函数性质的数量特征之间的关系（如函数的定义域、值域、零点、单调性、奇偶性、周期性等性质在对应图象中的体现）.
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■ 设函数集合P={f（x）=log■（x+a）+ba=-■，0，■，1；b=-1， 0，1}，平面上的点集Q={（x，y）x=-■，0，■，1；y=-1，0，1}，则在同一直角坐标系中，P中的函数f（x）的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
破解思路 由于Q是由12个确定的点组成的集合，而集合P是由12个确定的函数组成的集合，所以可对这12个函数逐个进行验证，确定满足条件的函数的个数，在操作时以分类讨论的思想为指导，可简化验算的过程.
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图1
经典答案 如图1，集合Q共有12个元素（点），集合P中的元素均可通过把函数y=log■x的图象进行平移而得到. 其中只通过左右平移就能得到的函数有：①y=log■（x+1）；②y=log■x+■；③y=log■x；④y=log■x-■.满足条件的函数可通过对函数图象①、②、③、④再作上下平移就可得到，其中①、②、③依次可分别得到两个满足条件的函数，而对④作上下平移后的函数至多经过Q中的一个点.故满足条件的函数的个数为6个.
评注 这是一道有关函数图象的计数问题，而分类讨论思想是解决较复杂的计数问题最常用的手段，因此在解决本题时，在明确集合P中的任意一个元素（函数）的图象均与函数y=log■x的图象全等的基础上，还需注意分类讨论思想的运用.
■ 若设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2-x）=f（2+x），当x∈[-2，0]时， f（x）=■■-1，记g（x）=f（x）-loga（x+2）（其中a>0，a≠1），试讨论函数g（x）在区间（-2，6）上零点的个数.
破解思路 注意到g（x）的零点个数即为函数y=f（x）与函数y=loga（x+2）的图象公共点的个数，不难发现函数y=f（x）唯一确定，因此可先作出其图象，再利用a的值的大小与函数y=loga（x+2）图象之间的关系讨论它们公共点的个数.
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图2
经典答案 由f（2-x）=f（2+x）可知f（4+x）=f（-x），又因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x），由此可得f（4+x）=f（x）. 当x∈[-2，0]时， f（x）=■■-1，作出函数y=f（x）的图象（如图2），其中A（2，1），B（6，1）. 当a=4时，y=loga（x+2）的图象过点A（2，1），当a=8时，y=loga（x+2）的图象过点B（6，1）.
由图象可知：①当08时，g（x）在区间（-2，6）上有且仅有4个零点.
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篇10
关键词：定语后置；类别；功能
中图分类号：H14 文献标识码：A 文章编号：1005-5312（2012）33-0118-01
1956年，杨伯峻先生在《文言语法》中提出了“定语后置”一说。此后，汉语研究者对此进行了认真的讨论。二十世纪八十年代前后，“定语后置”作为古代汉语的一种语言现象，基本定论。二十世纪八十年代前后，“定语后置”被纳人中学语文教材。溯其理论根源应该是《马氏文通》的“加语”，滥觞于黎锦熙《比较文法》的“后附的形容词附加语”。近二三十年现代汉语定语后置问题也受到重视，研究也有所突破。
一、定语后置理论是否成立
无论是古代汉语还是现代汉语，定语一般都位于中心语之前，这是一条公认的语法规则。但是定语是否可以易位？更进一步，定语是否可以后置，学者们众说纷纭。所以，定语后置这一理论能否够成立，语法学界至今争议颇大。汉语中究竟是否存在“定语后置”现象呢？有完全相反的两种看法。一种认为有，一种认为无，长期以来相持不下。
定语后置的问题可以从古代汉语和现代汉语两个角度去考察。
从古代汉语角度来看。20世纪70年代编撰的全日制十年制高中语文课本第四册有《文言句法的一些特点》一文，文章根据已有的研究成果概括说：“文言里定语一般放在中心词的前面……有时也放在中心词的后面。” 王瑛（2004）认为，定语后置的现象在古汉语中确实不多，但却是不可否认的客观存在，并推测这是原始汉藏语在汉语中留下的残迹。梓宜承认汉语中名词定语、形容词定语和数词定语确实存在后置现象，但是对“者”字结构定语后置的说法提出了质疑。张其昀（1981）完全支持定语后置说。李金（1997）认为，定语和中心语的组合结构的表达重点必须是中心语，无论是现代汉语还是古代汉语定语都是在中心语之前的，由此二因他认定定语后置说是不能成立的。但是他也承认数量词作定语可以后置。徐光烈（1993）撰文《对文言“定语后置”说的质疑与检讨》反对定语后置说。
从现代汉语角度看，以黎锦熙为代表的一批学者认为汉语的定语可以后置。黎锦熙（1982）认为，凡实体词用作形容附加语，常常在实体前面，但因修辞上的必要，也可改附后面。这里的后附形容附加语就是后来的定语后置。符达维（1984）通过对名词作主语或宾语时定语位置的考察，认为在“俺租种地主魏同昌的地十三亩”、“我买了一个本子三十二页”、“她有希望成为音乐家”这三类语言结构中存在后置定语。邵敬敏（1987）认为真正的后置定语很少，主要出现在书面语中，只能由“的”构成的一部分具有“排谓性”语法特点的典型体词性结构充当。范晓（1996）认为定语后置在静态短语中不存在，但在动态句子中，特别是口语句子中，定语后置现象是客观存在的。邢福义（1998）也认为定语可后置，不过只限于数量定语用于宾语部分时，且后置定语可以自由地恢复成前置定语。温锁林（2000）认为定语后移要严格遵守“可复位性”和“唯定性”的标准。崔应贤（2002）认为后置定语多是宾语的定语，且应直接附着在中心语的后面，与中心语之间有标点符号（多为逗号）隔开；在后置定语后面，仍附着有助词“的”字；在不增加任何别的词语的情况下，可恢复到中心语前面的位置上。
综上，汉语中确实存在定语后置的现象，这一点各家基本都承认。其实，有争论的实际上是可以后置的有哪些定语。
二、“定语后置”的类别
“定语后置”首先分为有标记和无标记两大类，即隐性结构和显性结构两种。
（一）隐性结构关系，指没有任何标记的定语后置情况，中心语和定语结合得很紧密。比较典型的莫属“大名冠小名”和数词定语后置两种。
首先，关于“大名冠小名”结构。王兴业的《古汉语定语后置探源》列举了大量材料进行了详细的论述。王瑛在《古汉语定语后置问题的再讨论》也从构词法角度进行了深入讨论。为古代汉语的定语后置这一语法理论提供了不可撼动的语源基础。
其次，关于数词定语。李金（1997）质疑汉语定语后置说的合理性，但是他在文章最后，还是承认数词定语确实是存在后置情况的。梓宜排除了“者”字结构定语后置的情况，对数词定语后置没有任何疑问。
总的来说，对于“大名冠小名”和数词定语后置的情况各家都是持有肯定的态度的。
（二）显性结构关系，指中心语和定语带有标志的定语后置情况，中心语和定语结合得不是很紧密，不容易被察觉。这种情况是定语后置说最有争议的地方。符达维认为“她有个儿子在朝鲜”中的“在朝鲜”是“儿子”的定语，“她又希望成为音乐家”中的“成为音乐家”是“希望”的定语。而否定“农民们，老的、少的、愁眉不展地清理着破烂的东西”、“她一手提着竹篮，内中一个破碗，空的”、和“多次奋斗，包括那样的全国规模的运动，都失败了”三种情况。张其昀（1981）认为“马之千里者”和“人有卖骏马者”都是定语后置式。李金（1997）认为“马之千里者”的表达重点是“千里者”，所以中心语应该是“千里者”而非“马”。庞玉奇在《古汉语定语后置例谈》中认为应该从语意目的出发去研究定语后置现象。是否后置，二者的重心不同，“定语后置的重心在后，即在定语方面。为突出定语所修饰、描绘的部分，突出其特殊性。使陈述的中心词的内涵和外延更加清晰、确切。”
总的来说，从定语后置说提出至今，无论是支持还是反对这一说法的学者，对于结合较紧密的“大名冠小名”和数词定语中存在的定语后置现象基本无异议。而对有标记的定语后置情况反倒争议很大。对此，还期待专家学者们再继续深入研究，早日解决这些争议。
三、“定语后置”的功能
偏正关系，不是位置先后决定的，是由定语和中心词所表达的内容和意义决定的。汉语定语后置，构成了正偏关系，但是定语对中心词的限制、修饰、描绘作用并没有改变，反而更加突出了定语的作用。所以定语后置，并未改变定语的作用，只是语序的变更、位移，有时还突出中心词的作用。
定语后置归根到底是属于语序的范围，而语序问题是一个复杂的问题，制约语序的因素更是复杂多样，反观学界对定语语序的研究，可以将制约定语语序的因素归纳为内部因素和外部因素两类。制约定语语序的内部因素也可称为是语言因素，包括语义因素、语用因素、语音因素和语法因素。刘宁生（1995）认为，汉语中修饰语位于中心语之前，是由汉语中“参照物先于目的物”的认知原则决定的。马洪海（1997）提出了质疑，认为这种排列顺序，是由汉民族“从外到内”的思维模式或认知方式决定的。那么定语后置又是出于何因呢？
关于定语后置的作用问题，纵观诸家之说，大致可以分为以下几类：
首先，“有时为突出和强调定语，常把定语移到中心语后面。”（许威汉《古汉语语法十讲》）
其次，文言的特点是简洁流畅，较长的定语加在中心语之上是不习惯的。杨伯峻《文言语法》提出两点：一是使文句简洁流畅， 二是古人不习惯。冗长的定语修饰仅由一个名词充当中心语，头重脚轻，念起来颇拗口。作为人类交际工具的语言，约定俗成，从古汉语史的角度观察，古人是不习惯的。
再次，定语后置带有补充说明陈述性质，上例三个动词性词组本身即带有浓厚的陈述性质， 再加上助词“者”，用以煞尾， 更强化了陈述语意。
最后，增强语势，使其波澜壮阔。马建忠在《马氏丈通》中谈到句法成分移位的作用时指出“夫华文之点画结构，视西学之切音虽难，而华文之字法句法，视西学之部分类别，且可以先后倒置以达其意度波澜者则易” 。句成分倒置就在于使句势意度波澜起伏，避免平铺直叙，同时亦相应地调整了音节，便于诵读，给读者以清晰深刻之印象。
整体看来，均属于说话者使用语言的艺术所造成的结果，故定语后置隶属语用平面。说话者有意峰句成分移位，变换语序，造成重点转移到后置的定语上来，使文句的风格色彩起了变化。而深层语义关系不变，又是保证定语后移的前提。
参考文献：
[1]刑公畹.诗经“木”字说[J].中国语文，1991（6）.
[2]俞樾.古书疑义举例[M].上海：上海世纪集出版集团，2007.
[3]王念孙.读书杂志[J].江苏古籍出版社，2000.
[4]王引之.经传释词[J].中华书局，1956.
