三角函数值范文

导语：如何才能写好一篇三角函数值，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

教学重点:掌握用反三角函数值表示给定区间上的角

教学难点:反三角函数的定义

教学过程:

一.问题的提出：

在我们的学习中常遇到知三角函数值求角的情况，如果是特殊值，我们可以立即求出所有的角，如果不是特殊值()，我们如何表示呢?相当于中如何用来表示，这是一个反解的过程，由此想到求反函数。但三角函数由于有周期性，它们不存在反函数，这就要求我们把它们的定义域缩小，并且这个区间满足：

(1)包含锐角;(2)具有单调性;(3)能取得三角函数值域上的所有值。

显然对，这样的区间是;对，这样的区间是;对，这样的区间是;

二.新课的引入：

1.反正弦定义：

反正弦函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：.

对于注意：

(1)(相当于原来函数的值域);

(2)(相当于原来函数的定义域);

(3);

即：相当于内的一个角，这个角的正弦值为。

反正弦：符合条件()的角，叫做实数的反正弦，记作：。其中，。

例如：，，，

由此可见：书上的反正弦与反正弦函数是一致的，当然理解了反正弦函数，能使大家更加系统地掌握这部分知识。

2.反余弦定义：

反余弦函数：函数，的反函数叫做反余弦函数，记作：.

对于注意：

(1)(相当于原来函数的值域);

(2)(相当于原来函数的定义域);

(3);

即：相当于内的一个角，这个角的余弦值为。

反余弦：符合条件()的角，叫做实数的反正弦，记作：。其中，。

例如：，，由于，故为负值时，表示的是钝角。

3.反正切定义：

反正切函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：.

对于注意：

(1)(相当于原来函数的值域);

(2)(相当于原来函数的定义域);

(3);

即：相当于内的一个角，这个角的正切值为。

反正切：符合条件()的角，叫做实数的反正切，记作：。其中，。

例如：，，，

对于反三角函数，大家切记：它们不是三角函数的反函数，需要对定义域加以改进后才能出现反函数。反三角函数的性质，有兴趣的同学可根据互为反函数的函数的图象关于对称这一特性，得到反三角函数的性质。根据新教材的要求，这里就不再讲了。

练习：

三.课堂练习：

例1.请说明下列各式的含义：

(1);(2);(3);(4)。

解：(1)表示之间的一个角，这个角的正弦值为，这个角是;

(2)表示之间的一个角，这个角的正弦值为，这个角不存在，即的写法没有意义，与，矛盾;

(3)表示之间的一个角，这个角的余弦值为，这个角是;

(4)表示之间的一个角，这个角的正切值为。这个角是一个锐角。

例2.比较大小：(1)与;(2)与。

解：(1)设：，;，，

则，，

在上是增函数，，

，即。

(2)中小于零，表示负锐角，

中虽然小于零，但表示钝角。

即：。

例3.已知：，，求：的值。

解：正弦值为的角只有一个，即：，

在中正弦值为的角还有一个，为钝角，即：，

所求的集合为：。

注意：如果题目没有特别说明，结果应为准确值，而不应是近似值，书上均为近似值。

例4.已知：，，求：的值。

解：余弦值为的角只有一个，即：，

在中余弦值为的角还有一个，为第三象限角，即：，

所求的集合为：。

例5.求证：()。

证明：，，设，，

则，即：，即：，

，，

，，即：。

例6.求证：()。

证明：，，设，，

则，即：，即：(*)，

，，

，，即：。

注意：(*)中不能用来替换，虽然符号相同，但，不能用反余弦表示。

篇2

例2已知1+tanα1-tanα=5+26求1-sin2αcos2α的值

策略：要求1-sin2αcos2α的值，条件1+tanα1-tanα=5+26是非常重要的，要从这一条件出发，将α的某一三角函数值求出，即可获解。

解析：1+tanα1-tanα=tan45°+tanα1-tan45°tanα=tan(45°+α)=5+26

cos2α1-sin2α=sin(90°+2α)1+cos(90°+2α)=tan(45°+α)

1-sin2α1cos2α=1tan(45°+α)=15+26=5-26

2.给角求值要求熟练掌握两角和与差的三角函数的基本公式、二倍角公式，特别要注意逆向使用和差角公式与二倍角公式，以此将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。

例1

求值：sec50°+tan10°

解析：sec50°+tan10°

=1cos50°+cos10°sin10°=1sin40°+cos80°sin80°

=2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos40°+cos80°sin80°

=cos40°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)cos10°

=cos40°+cos20°cos10°=2cos30°cos10°cos10°=3

总结评述：本题的解题思路是：变角切割化弦化异角为同角转化为特殊角约去非特殊角的三角函数。

解此类问题的方法是，转化为特殊角，同时能消去非特殊角的三角函数。

3.给值求角

给出三角函数值求角的关键有二：

（1）求出要求角的某一三角函数值（通常以正弦或余弦为目标函数）。

（2）确定所求角在（已求该角的函数值）相应函数的哪一个单调区间上（注意已知条件和中间所求函数值的正负符号）。

例3若α、β∈（0，π），cosα=－750,tanβ=－13求α+2β的值。

解析：由已知不难求出tanα与tan2β的值，这就可求出tan（α+2β）的值，所以要求α+2β的值，关键是准确判断α+2β的范围。

cosα=－750且α∈（0，π）

sinα=150,tanα=－17

又tanβ=－13,tan2β=2tanβ1-tan2β=－34

tan（α+2β）=tanα+tan2β1-tan2βtanα

=－17-341-(-17)(-17)(-34)=-1α∈（0，π），tanα=－17<0,α∈(π2,π)

β∈（0，π），tanβ=－13<0,β∈(π2,π)

2β∈（π,2π），tan2β=－34<0

3π2<2β<2π

α+2β∈（2π，3π）.

而在（2π，3π）上正切值等于－1的角只有11π4

篇3

计划二：从函数关系中寻求突破.三角函数中，基本的两类为“切”和“弦”，解题时注意“化弦”和“化切”思想的运用.

计划三：从结构特征寻求突破.观察题目条件与待求的式子的结构特征，或角的结构特征，从这些特征中寻求突破口，进行三角恒等变换，再进行求值.

在三角函数求值题中我们应该注意以下几点：

1. 利用同角三角函数关系及诱导公式进行化简、求值.证明时，要细心观察题目的特征，注意培养观察，分析问题的能力，并注意解题后的总结，如“切割化弦”、“1的巧代”、sinx+cosx、sinx-cosx、sinxcosx这三个式子间的关系等.

2. 要重视对遇到问题中的角，函数名称及其整体结构的分析，注意到公式选择的恰当性，有利于缩短运算程序，提高解题效率.

3. 在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限分别求出相应的值.

篇4

关键词：待定系数法；三角函数；最值求解

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）14-274-02

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，其解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程，转化为方程组来解决。使用待定系数法解题的基本步骤是：

第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；

第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.

如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：

1、利用对应系数相等列方程；

2、由恒等的概念用数值代入法列方程；

3、利用定义本身的属性列方程；

4、利用几何条件列方程.

要判断一个问题是否可用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达式，所以都可以用待定系数法求解，在此不一一列举说明。下面主要谈一下待定系数法在求三角函数最值中的一种应用。

求三角函数的最值方法众多，常用的方法有：

1、配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；

2、化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；

3、数形结合法（常用到直线斜率关系）；

4、换元法（如万能公式，将三角函数问题转化为代数问题）；

5、均值不等式法.

在用均值不等式求三角函数最值时，“各数相等”及“和（或积）为定值”是两个需要刻意凑出的条件.从何处入手，怎样拆项，如何凑出定值且使等号成立，又能使解答过程简捷明快，这确实是既“活”又“巧”的问题。对此问题，现举几例来探析利用待定系数法求三角函数的最值。

例1：设x∈（0，π），求函数 的最小值.

解析：拿到此题，很容易想到下面的解法.因为sinx>0，所以 ≥ = ，故ymin= 。显然，这种解法是错误的！错误的原因是没有考虑“=”号成立的条件.由 得sinx= ，这样的x不存在，故为错解。

事实上，此题是可以用均值不等式来解答的，但需要拆项，如何拆，既能使其积为定值，又能使“=”号成立，这确实是一个难点，笔者认为，待定系数法就能很好地解决这个问题，为此，先引入一个待定系数λ（0

将λ=1代入，得ymin=3.

例2：求函数 的最小值.

解析：易得 由均值不等式得 但 ，故上式不能取等号.

于是引入待定正实数 ，则有 当且仅当 且sin22x=1时等号同时成立，此时 ，所以当sin22x=1时，y有最小值为 .

例3：当x∈（0， ）时，求函数 的最小值。

解析：因为x∈（0， ），所以sinx>0，cosx>0，引入大于零的待定系数k，

则函数 可变形为

+kcos2x-k≥3 + -k=12 ，

等号成立当且仅当 ，时成立。

由sin2x+cos2x=1，。得 ，即k2=64，又k>0，所以k=8。

故函数y的最小值为 ，此时x= 。

例4：设x∈（0， ），求函数y=sinx+ 的最小值。

解析：因为x∈（0， ），所以sinx>0，y=sinx+ 可变形为 。由均值不等式得 。但 ，故上式不能取等号。下面引入待定系数k进行配凑解之。

因为x∈（0， ），

所以sinx>0。

因为

故 ≥ ，

等号当且仅当 且sinx=1，

即k= 时等号同时成立。从而 ，故函数y=sinx+ 的最小值为2。

三角函数的最值都是在给定区间上的，因而特别要注意题设中所给的区间，同时三角函数求最值时，一般都要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及函数的有界性。下列两题供读者练习：

1、设x∈（- ， ），求函数 的最小值。

2、设x∈（0， ），求函数 的最小值。

（上接第270页）定要争气》后，学生质疑：谁要争气？为什么要争气？怎样争气的？

其次是给学生提供独立思考的机会。再次要重视理论与社会、科学和生活实际的联系，用所学的知识去分析解决现实生活中与人类生存密切相关的各个方面的问题，在探究发现新的问题，探究解决的方法，进而达到善问的目的。

四、传授方法，让学生寻疑有方

培养学生质疑能力要教给学生自学的方法，学会质疑的方法。质疑的方法很多，我尝试的是引导学生在阅读过程中对三处、三点进行三个层次质疑。这三处为：⑴不理解、不明白的地方要质疑；⑵似懂非懂的问题要质疑；⑶容易混淆、容易忽略的细节要质疑。这三点为：⑴对题目要质疑；⑵对篇章结构要质疑；⑶对写法要质疑。这三个层次为：设问性质疑、推敲性质疑和疑难性质疑。其中设问性质疑也就是自问自答式质疑，这类疑问实质上是学生自己选定自学的方向，通过自学解决。例如，初读课文时，对字词、课文内容的疏通性质疑。推敲性质疑就是学生对上文所提到的三处、三点的 自学研究，此时学生往往会在所读文章中做出记号，并试图解疑，形成自己的观点，其中有一部分疑问将会因自己无法解答而成为疑难性质疑。需要指出的是，这三次质疑中的前两次提出的疑问并不一定是学生不懂的，而是要求学生自我设疑、存疑，学习在似乎无疑之处产生疑问。经过这一番寻疑之后提出的疑，大多是有价值的、是教师课堂教学的重点和难点。学生找到了这些解不开的疑，心理上就产生了适度的焦虑，上课时就能更好地听老师讲解，这寻疑的过程事实上也就是学生自能读书的实践活动，寻疑有方，无疑是语文学习能力提高的标志。比如：我教《跳水》一课时，安排学生在课堂中进行预习性尝试阅读，学生先后提出下列问题：为什么船长用枪逼着儿子跳水、课文中‘他是船长的儿子’一句，为什么要用括号、文章最后一段‘四十秒钟’后面为什么要用破折号、课文写孩子气急了，为什么一处用‘急’，一处用‘极’、文章为什么以《跳水》为题从这些问题中，我们可以看出学 生的学习水平。其中第一问对于有些语文能力强的同学来说，属于设问性问题，已在自学中能解决了；第四问可归于推敲性疑问，只要稍加点拨学生也能解答；其余几句，则在精读课文时，老师要注意讲解。只要坚持训练学生进行三处、三点、三次质疑，学生定会在实践中学会寻疑的方法，掌握开启知识大门的钥匙。

“学起于思，思源于疑”。质疑最能调动学生读书，思索，答问的积极性，发展学生的创新思维能力，真正使学生成为学习的主人。总之，学生主动质疑问难，是激发学生学习兴趣的良机，是学生探究课文内容的开端，是启迪学生创新思维的一个途径，我在教学中努力地培养学生质疑问难的能力收到了事半功倍的教学效果。

（上接第271页）

冬之色为冷的白，如冰雪，如天云，孕育着新的生命力。

冬之色为死的灰，如草木，如泥土，宣告旧生命的终结。

还可以设计各种形式的小练笔，如《说说你眼中的夏天》，《谈谈你心中的老师》，《我与丑小鸭》，《我与名人同行》等等。通过这样的训练，可以丰富学生语言的感悟及表达，有助于调动学生学习语文的兴趣。

篇5

关键词：教学软件；三角函数；应用

中图分类号：TP311.56文献标识码：A

1 建构的背景

数学，是一种应用广泛的工具，当前有这样一种提法：“高新技术的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学。”它也是提高思维能力的有力手段。当前各种竞争的关键是人才竞争，而人才竞争从某种意义上来讲是思维能力的竞争，思维科学正在迅猛发展。数学的学习本质上是一种思维活动，是培养思维能力的重要途径和手段。数学在锻炼思维、提高思维水平方面发挥着突出的作用。

职高必修文化基础课程《数学》涵盖了职高各专业都必须掌握的数学知识、技能，使学生获得必须的、足够的“基础性数学知识”，并必须树立文化基础课为专业课程服务的理念。在传统的教与学的过程中，学生学习数学的现实情况是：基础差、理解差、能力差；教师单凭教材的图文结构，很难达到理想的教学效果。致使教师难教，学生难学，学生的学习兴趣会严重受挫。为了改变这种现状，教师普遍开动脑筋、查阅资料，并积累了一定量的电子教案、动画素材，试题集等各种教学资源，进行合理的组合调配，创作出合理、科学的教学软件，运用于数学教学。

2 教学软件的开发工具--VB

教学软件的开发采用Visual Basic 6.0中文标准版，具有简单易学的集成开发环境、可视化界面设计与结构化编程和强大的帮助系统。

VB的中心思想就是要便于程序员使用，无论是新手或者专家。VB系统提供丰富的数据类型、众多的内部函数、子程序、事件子程序和自定义函数等模块，各个子程序模块之间可以彼此独立，可以相互联系。形成了结构化程序结构。VB的程序是一种基于窗体的可视化组件安排的联合，并且增加代码来指定组件的属性和方法。因为默认的属性和方法已经有一部分定义在了组件内，所以程序员不用写多少代码就可以完成一个简单的程序，简单易学。

VB6.0窗体控件的增加和改变可以用拖放技术实现。一个排列满控件的工具箱用来显示可用控件（比如文本框或者按钮)。每个控件都有自己的属性和事件。默认的属性值会在控件创建的时候提供，但是程序员也可以进行更改。很多的属性值可以在运行时候随着用户的动作和修改进行改动，这样就形成了一个动态的程序。在文本框中的文字改变事件中加入相应的代码，程序就能够在文字输入的时候自动翻译或者阻止某些字符的输入。

总之一句话，利用开发工具VB能方便有效地实现各菜单功能。

3 创作思路、软件结构和功能简介

3.1 创作思路

软件将职高《数学》“三角函数”知识点进行系统化整合，将课程的①角的概念推广及其度量、②任意角的三角函数、③诱导公式和角公式、④三角函数的图象和性质和⑤三角函数的应用等五节教学内容，利用VB开发工具，设计成软件，进行菜单式管理、演示和考核评价，如图1所示。

3.2软件结构

软件将教学内容剖解成十一大主要板块：电子教案、查阅图表、动画演示、习题汇总、教学视频、三角计算器、生成试卷、在线考核、趣味数学、阅读材料和课间休闲，有利于教师灵活应用此软件进行有效教学，更有利于学生自主学习、自我测试。

3.3功能简介

3.3.1电子教案菜单为PPT文档，配套使用教材内容，可直接用于多媒体教学，也可以修改完善。

3.3.2查阅图表菜单一级子菜单“教材图表”与教材内容吻合，另一级子菜单“分享图表”取材于精品课程的优秀图表素材，可供教学参考作用。

3.3.3动画库菜单为各知识点的动画组合，通过教学演示，可增强学生感性认知能力。

3.3.4教学视频菜单来源于全国优秀教学案例，如全国名校--湖北黄冈中学的，移他山之石，打磨精品教学。

3.3.5习题汇总菜单的二级子目录具备课后训练及单元测试功能。

3.3.6三角计算器为弹出性菜单，可选择角度制或弧度制，任意输入角度，可计算出它们的三角函数值，用计算机信息技术代替原始的查表方式，方便、快捷。

3.3.7生成试卷菜单的二级子目录分为分节试卷和综合试卷，可以从学生实际出发，选择难度比例及题型结构等，随机生成Word文档试卷，同时教师可作修改或调整，对学生进行单元测试和综合测试。如图2所示。

3.3.8 在线考核菜单的二级子目录也分为分节考核和综合考核，具备选择难度比例和调整标准化试卷结构功能，并设立了倒计时功能，在线自动随机生成试卷，自动评分，有利于学生自我测评学习效果。如图3所示。

图3 “在线考核”弹出性菜单

3.3.9趣味数学菜单现分为二级，也可分成多级，学生在学完上堂课后尤其是二节连课时，学生的学习状态普遍不佳，注意力分散，教师可调用该菜单让学生换位思考、愉悦心境。

3.3.10 阅读材料菜单选材于教材读物、课外读物及互联网的海量资源，供学生自主选择读物内容进行课外阅读，让学生拓展视野，丰富知识。

3.3.11 课间休闲菜单提供了课间休息用的影片、视频和音乐等资料，让学生在休息时彻底放松心情。

软件结构框架及菜单功能如图4所示。

注：因图幅限制，三级子目录没有反映在图上。

图4软件结构框架及菜单功能图

4软件特色

4.1适合教学

针对职高《数学》“三角函数”教学单元内容设计开发的完整教学及评价体系，是一种多媒体教学课件和学生自主学习相结合的软件，能够脱离平台运行。教学单元目标、内容及要求准确，符合新大纲要求；教学重点突出，难点突破；单元教学素材齐全，内容表述准确，术语规范；教学策略得当，辅助教学的素材分类合理。新技术运用有效；图、文、音、视、动画等形式运用合理。

4.2人机交互佳

能实现助教、助学功能，有明确的导航，界面统一，支持人机交互、界面操作，包含训练和考核，为单机版，其软件开发平台为WinXP，制作工具为Visual Bascic6.0。软件运行稳定；操作简捷，易于掌握、交互性好；应用菜单管理，导航方便合理，路径可选。

4.3界面清新

界面设计美观，布局合理，导航清晰；色彩搭配合理，风格统一，视觉效果好；符合中职学生的认知特点，利于激发学生学习兴趣。

4.4创新与实用

立意新颖，构思独特，设计巧妙，具有想象力,并填补了中职教学模式的空白；软件结构可以推广到很多学科的多媒体教学。

5结语

此软件创意具有一定特色，对相关内容整合力度大，结构较为完善，但技术难度不高，易于实现开发。以后我的目标是完善软件结构；推广到其他学科；并将着重开发三维仿真功能。

针对软件的应用特色，我创作了如图5软件图标，寓意之一是三角函数，之二是职教课改之路漫长且艰辛，愿我们共同为职教的繁荣继续努力奋斗！

参考文献

[1]教育部办公厅.关于举办2010年全国中等职业学校信息化教学大赛的通知.2010年10月.

[2]Visual Basic.百度百科..

[4]人民教育出版社职业教育中心.职高数学(基础版第二册)[M].2002年5月第1版.

篇6

关键词：教学 数学网络 新课标

传统的教育模式的教学方法、教学手段和教学评价已不能适应社会发展和人们学习的需要，基于网络环境下的学科教学和课堂评价的出现和普及，极大的丰富了教学改革的内容，充分有效的利用了教学资源，基于网络环境下的课堂教学与评价把文本、图像、图形、视频、音频、动画整合在一起，并通过互联网进行处理、控制传播、为学生提供了最理想的学习环境。

一、基于网络环境下的数学教学的含义

基于网络环境下的数学课堂教学，根据新课程标准的教学内容和教学目标需要，继承传统教学的合理成分，打破传统教学模式，全天候，不间断，因材施教的新型教学方法，教学与评价的信息在互联网上传输与反馈，极大的优化了教师群体，极大的丰富了学生的知识能力。

基于网络环境下的教学，可以共享教学资源，传递多媒体信息，适时反馈学生学习情况，刺激学生不同的感官，符合学生的学习认知规律，提高学生的学习兴趣，扩大了信息接受量，增大了课堂教学容量，同时又具有实时性，交互性，直观性的特点大大丰富了课堂教学模式，同时又满足了分层教学，因材施教，远程教学等社会需要，开创了教学的全新局面。

二、基于网络环境下数学教学与评价的应用

基于网络环境下数学教学与评价有两大优点：

1、能做到图文并茂，再现迅速，情境创设，感染力强，能突破时空限制，特别是基于.Net技术的交互式动态网页更能提高学生的多种感官的感知效能，发挥个体的最大潜能和创造力，加快学生对知识的理解、接受和记忆，也最能体现新课标的精神，也极大的满足社会全民教育，终身教育的要求。

2、同时全体老师又能通过网络共享教学资源，适时创新资源，使每一位老师都成为名师，使教学的方法水平永不落后。如在讲授函数这部分内容时，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数的图像以及图像变换是重点内容，关于函数图像的传统画法，是通过师生列表，描点，连线而得，这些工作烦，静止孤立，间断的点和线。教师要自制每一节的课件难度大，时间又有限，而基于网络环境下的数学教学，就可以充分利用网络版课件，进行网上学习，从而化静为动，化繁为简，减轻教师的体力负担，使教师有更多的时间进行创新研究，同时让学生在交互的动态的网络环境下学习，函数值随自变量变化而同步变化以及对应运动的轨迹，从而得到完整精确的函数图像，通过交互学习让学生充分体会同一函数不同参数与图像特征之间的联系，充分掌握函数的性质和抓住图像的平移、反射、压缩、拉伸和对称变换特征。若有疑问或好的见解，还可以通过网络进行远程的交流互动。通过多媒体，交互反馈，使学生深刻理解，不易遗忘。也培养了学生自我学习和终身学习的能力。网络环境下的数学教学，教师教得轻松，也有更多的时间进行个别指导，学生学得愉快。学得有趣，这样数学教学的效率也提高了。

高中数学中有一些知识需要通过抽象思维来解决问题，而这也正是高中数学的难点之一，基于网络环境下的教学可以化抽象为直观，有利于突破难点。

如“二次函数即：y=ax2+bx+c（a≠0）在[m，n]上的最值的探讨，学生对二次函数的开口，对称轴移而区间不动或图像不动而区间变化时函数的最值"不易理解，在网络环境下，学生通过对网络课件的阅读和对a，b，c，m，n的动态控制，能深刻理解数学知识的要点，加上在网上的即时测试和评价，更能有效的掌握它，不再感到难以理解。”

三、基于网络环境下的数学教学与评价形式多样化，即时化

传统的教学形式是教师讲，学生听，这样教学方式课堂容量有限，反馈方式单调，信息交流少，所有的学生步伐相同不利于因材施教，不利于培养学生现代的终身的学习能力，同时不能解放教师，让教师从事更有意义的教育工作。而网络环境下的教学可以同时满足不同用户不同要求，培养活学活用的能力，真正实现教学以学生为中心，教学面向全体通过互联交流互联互动进行分层教学、个别教学实现因材施教，体现新课标的要求。

四、基于网络环境下数学教学应处理好的关系

（1）网络与学生的关系

和谐是教学成功的关键。实践中发现基于网络环境下的学科教学，应加强对互联网海量信息的搜索，筛选，加工，创新。在选好教育资源后，教师要努力探索适时、适用问题，创设学习情境，营造和谐的环境。加上学生对网络应用知识基本掌握，达到网络与人的和谐统一。

（2）网络与教师的关系

基于网络环境下的学科教学优势空前，实践中发现，只有网络环境下的教学与教师灵活生动的讲解和创新的适时评价互相配合，相互促进，协调传递信息，最大限度地发挥网络和教师的优势。

（3）教师与学生的关系

教为主导，学为主体，这是在任何教学模式中都应遵循的原则，要体现学生的主体发展与教师的主导相互作用的关系。专题教学网站和网络教学资源库的形

成，即将教师从繁杂的重复劳动中解放出来了，但教师的主导作用不是减弱了而是加强了，网络环境下的教学，对教师提出了更高的要求，教师必须挤出大量的时间学习Windows，Authorwear，3Dmax，Flash等方面的知识，还要学会搜索，筛选，创新信息的能力，甚至包括各种电教媒体的操作技能和技巧，只有这样，才能使自己在网络环境下的学科教学中获得自由，掌握主动，充分发挥网络教学的优势，提高我国的教育教学质量。

参考文献：

篇7

例1 已知 < β

难度系数 0.80

分析 有些三角函数问题往往要进行角之间的变换，将角进行合理的组合，根据解题的需要“化异为同”，这是解答三角函数问题的一种解题技巧.掌握了这一技巧，可给一些三角函数问题带来比较简捷的解答.

解 由于2α=（α+ β）+（α- β），所以sin 2α=sin（α+ β）cos（α- β）+cos（α+ β）sin（α- β）.

又 < β

由sin（α+ β）=- ，cos（α- β）= ，可以知道cos（α+ β）=- ，sin（α- β）= .

故sin 2α=（- ）× +（- ）× =- .

小结 三角函数式的化简与求值问题主要集中在：已知一个三角函数式的值，求另一个三角函数式的值.解答的思路主要有两种：一是由已知条件求出相关的角，再代式求值；二是解题过程中不求出角，而是寻求已知和结论之间的角的联系，然后借助三角公式求解.

技巧2：三角函数的图像与性质问题――恒等变形转化为y =Asin（ωx+φ）型

例2 设函数 f（x）=sin x+sin（x+ ）.

（1）求函数 f（x）的最小值，并求使 f（x）取得最小值的x的集合；

（2）不画图，说明函数y= f（x）的图像可由y=sin x的图像经过怎样的变化得到.

难度系数 0.60

分析 利用降幂公式、倍角公式或辅助角公式，先合并为同一个角的正弦函数或余弦函数后，再分析其图像和性质.

解 （1）据题意有f（x）=sin x+sin xcos +cos x・sin =sin x+ sin x+ cos x= sin x+ cos x =

sin（x+ ）= sin（x+ ）.当sin（x+ ）=-1时，fmin（x）=- ，此时x+ = +2kπ，k∈Z，解得x= +2kπ，k∈Z.

所以，函数f（x）的最小值为- ，此时x 的集合为{x|x= +2kπ，k∈Z}.

（2）y = sin x的横坐标保持不变，将其纵坐标变为原来的 倍，得y= sin x.然后将y= sin x的图像向左平移 个单位，得f（x）= sin（x+ ）.

小结 这类问题通过三角函数式的化简，着重考查三角函数图像的五点作图法和图像变换法，并综合考查三角函数的周期、最值、单调性、奇偶性和对称性等.

技巧3：三角形中的解三角函数问题――正弦定理和余弦定理的正用与逆用

例3 如图，在平面四边形ABCD中，DAAB，DE=1，EC= ，EA=2，∠ADC= ，∠BEC= .

（1）求sin∠CED的值；

（2）求BE的长.

难度系数 0.65

解 设∠CED=α.

（1）在CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+DE2-2CD・DE・cos∠EDC，于是由题设可知7=CD2+1+CD，即CD2+CD-6=0 ，解得CD=2（CD=-3舍去）.

在CDE中，由正弦定理得 = ，即sin α = = ，所以sin∠CED= .

（2）由0

在RtEAB中，cos∠AEB= = ，解得BE= = 4 .

小结 这类题型在考查解三角形的同时，又考查运用三角公式进行恒等变形的能力，历来备受命题者的青睐.这类问题的主要解法是充分运用三角形的内角和定理、正弦定理和余弦定理，同时结合三角公式进行三角变换，从而使问题得以解决.同学们在解题中要注意方程思想的运用.

技巧4：三角函数与向量的综合问题――向量的概念与运算需牢记

例4 已知向量a=（cos x，- ），b=（ sin x，cos 2x），x∈R ，设函数 f（x）= a・b.

（1）求 f（x）的最小正周期；

（2）求 f（x）在[0， ]上的最大值和最小值.

难度系数 0.65

解 （1）据题意有 f（x）= a・b=cos x・ sin x- cos 2x= sin 2x- cos 2x=sin（2x- ），于是可知 f（x）的最小正周期T= =π.

（2）当x∈[0， ]时，2x- ∈[- ， ]，由标准函数y=sin x在[- ， ]上的图像知， f（x）=sin（2x- ）∈[ f（0），f（ ）] =[- ，1].所以，f（x）在[0， ]上的最大值和最小值分别为1，- .

小结 这类题目常在三角函数与向量的交汇处命制，通过考查向量的概念与运算，同时考查三角恒等变形和求值等问题.同学们在解答这类题目时，一定要熟悉向量的数量积的定义和性质，注意运用方程思想，还要掌握函数图像平移公式的应用.

篇8

关键词：中职数学；函数教学；重要性

函数是中职数学的重中之重，它贯穿于整个数学学习的始终。在入学的第一年，学生就会学到简单的三角函数，然后慢慢接触到指数函数、对数函数以及幂函数，等等。函数始终贯穿于每一个教学环节，例如，解析几何大都需要通过函数来解决问题。所以，教师应该充分的调动学生学习的积极性，优化教学方式，以增强学生的学习效率，提高教师的教学质量。

一、三角函数的概念

三角函数在中职的数学教学中属于初等函数一类，它实质是任意角同一个比值的相关集合之间的映射关系，包括正弦、余弦以及正切等常见的表达方式。学习三角函数有利于解决现实生活中的一些常见问题。例如，根据太阳高度角计算出建筑物的高度，或者是在没有渡河工具的时候，通过尺子以及量角仪器等推算出这条河的宽度等，从这些方面可以看出三角函数的重要性。

二、三角函数教学现状

1.学生的基础较差。三角函数是中职数学的重要组成部分，但是由于中职学生没有经过高中阶段的学习而直接进入中职，初次接触这一内容，学习起来就有些困难，在学习的过程中会出现很多问题，例如把三角函数中的一些概念记混，将它们所在象限的符号弄反等。这样一来，他们就越来越不喜欢数学课程。

2.无数学学习情感。数学情感一般是指学生学习数学时，对这一学科的兴趣、喜爱程度以及在学习过程中所追求的价值等一系列的心理现象。数学情感是学生在数学学习过程中的相关感受，它包括学生的学习态度、兴趣、动机、意志力以及自信心，等等。但是由于中职学生数学基础比较差，所以在学习这一课程时，普遍缺乏相应的情感。这一现象的出现阻碍了他们数学水平的提高，同时教师的教学水平也很难得到提高。

3.时间与内容之间的矛盾。从中职学校的教育现状来看，虽然教职部门已经对专业课程的教学内容、课程设置以及教学方法都进行了相应的改革，但是他们依旧没有充分考虑到各个课程之间的差距，尤其是数学这一学科，课时不仅没有相应地增加，反而在减少。由于数学中的很多专业知识需要经过教师的讲解，所以，在这种情况下减少学时很难满足教学内容的需求。特别是当学生学到三角函数这一章节的时候，各个小节之间的内容是相互联系的，基于课程时间的减少，教师无法进行连贯的讲解，学生就无法将这部分知识进行系统、全面的学习。这样一来，三角函数的学习就更加困难，从而导致学生对数学的学习积极性更加下降。

三、三角函数教学的改进措施

1.培养学生的主观能动性。兴趣是最好的老师，对中职学生进行数学教学应该充分增加学生的学习兴趣，并提高教师的教学质量。教师在数学教学过程中，要对教学方式进行相应的改革，培养学生的学习兴趣，提高学生学习的主观能动性，从而更好地让学生理解以及掌握三角函数的最值问题等。

2.加强学生的基础知识。基于中职学生的数学基础较差的现实问题，教师在教学过程中，应该充分考虑学生自身的实际状况，采取相应的、适合学生的教学方式。例如，在“三角函数的最值”这一章节的讲解中，依据学生所掌握的三角函数的基础知识水平，灵活运用多种教学模式将复杂的、抽象的函数知识简单化、具体化，从而有利于学生更好地接受这一学习内容。

3.优化解题程序、知识点的记忆法，从而提高教学质量。在学习这一模块时，教师应该结合自己多年来的教学经验，进行相应的创新，优化解题的程序以及知识点的记忆法，尽可能增加学生对于这一知识的接受能力，提高教师的教学质量。例如，将三角函数中的概念编成一些有趣的口诀，帮助学生记忆相应的概念；从空间上将函数进行合理的划分，教师对此进行相应的总结，从而使学生更好地学习。

综上所述，针对中职学生的自身情况，教师应该采取相应的措施，选择适合学生学习的方法，来解决学生在函数这一内容学习过程中所遇到的问题，进而增加学生的学习效率，提高教师的教学质量。

参考文献：

[1]孙华.中职数学《正弦函数、余弦函数的图象和性质》的教学[J].语数外学习（数学教育），2012，6（06）：41.

[2]颜旭.中职数学教学现状分析与对策[J].金田（励志），2012，6（08）：129.

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1 平方和公式sin2α+cos2α=1

例1 （2010年全国新课程卷25题）如图1所示，在0≤x≤a。 0≤y≤[SX（]a[]2[SX）]范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于[SX（]a[]2[SX）]到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：（1）速度大小；（2）速度方向与y轴正方向夹角正弦。

解析 设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得qvB=m[SX（]v2[]r[SX）]，解得r=[SX（]mv[]qB[SX）]。

[LL] [TP12GW105。TIF，BP#]

从O点以半径r（[SX（]a[]2[SX）]

设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系得

rsinα=r-[SX（]a[]2[SX）]（1）

rsinα=a-rcosα（2）

将（1）代入（2）得 rcosα=[SX（]3a[]2[SX）]-r（3），

由（1）2+（3）2可得

[JZ]r2（sin2α+cos2α）=（r-[SX（]a[]2[SX）]）2+（[SX（]3a[]2[SX）]-r）2。

分的教师对DIS物理实验比较熟悉。教师对DIS实验教学的认识水平和掌握程度是决定DIS实验教学质量的重要的因素。

题4 对于使用DIS做物理实验，你认为目前最大的障碍是

A。操作复杂 B。学校设备少

C。缺少探究性教学案例 D。开发探究性案例有难度

E。浪费时间 F。对高考帮助不大

G实验过程不能很好的提高学生动手能力

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关键词:三角函数 最值 类型解决方法

最值问题是高中数学的重点和历年高考的热点,它涉及中学数学的各个分支,在一些特定的领域中应用还十分广泛,分清问题

的类型对于最值问题的解决十分有益。本文就三角函数中的最值问题略作介绍。

三角函数是一种函数,因此初等函数中的最值问题的求法对三角函数也适用,但三角函数既然是一种特殊的函数,其最值问题的求法当然也有其独特的地方。

一、配方法

例1.(1997年全国)函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为()

A.2 B.0C.-■D.6

略解:由y=cos2x-3cosx+2=(cosx-■)2-■,cosx∈[-1,1]

利用三角函数的有界性及二次函数在闭区间上求值域可得:0≤y≤6。

答案:B

点评:配方法作为初等函数中极为重要的方法在三角函数中应用仍然十分广泛,但本例运用配方法意在确定对称轴的位置。若将本例变为:函数y=sin2x-cosx+2的最小值为,则需异名化同名(余弦),再由配方法得出答案为1。

二、“合一变形”及有界性法

例2.(2000年春季北京、安徽文)y=sinx+cosx+2的最小值是()

A.2-■ B.2+■

C.0 D.1

略解:根据两角和与差的三角公式作逆运算得,y=■sin(x+■)+2,再利用三角函数的有界性知:y∈[2-■,2+■]。

答案:A

点评:“合一变形”法就是逆用“两角和与差的正余弦公式”对同角异名弦之和与弦之差作“二合一变形”。

变题:函数y=■的值域为

略解:由y=■得,sinθ=■

而sinθ∈[-1,1],故函数的值域为:

[-2,0]

三、“和积不等式”与“勾子函数”法

例3.函数y=sinα+■,α∈(0,π)的最小值为()

A.2■ B.-2■

C.6 D.-6

略解:由α∈(0,π),则sinα∈(0,1)

由“勾子函数y=x+■>0”性质可求y≥6。

答案:C

变题:函数y=5sinα+■,α∈(0,π)的最小值为()

A.2■ B.-2■

C.6 D.-6

略解:由α∈(0,π),则sinα∈(0,1)

由和积不等式知:5sinα+■≥2■,当且仅当sinα=■时取等号

答案:A

点评:“勾子函数”法的本质是函数的单调性,对于勾子函数y=x+■,a>0,当x∈(0,■]时函数单调减,当x∈(■,+∞]函数单调增。而“和积不等式”强调“一正、二定、三等”限制条件。

四、数形结合与换元法

例4.函数y=■的值域为

答案:(-∞,0]

例5.函数y=sinx+cosx+2sinxcosx的值域为

答案:[-■,1+■]

点评:例4可看作是圆:x2+y2=1上点(cosθ,sinθ)与点(-2,1)连线的斜率的取值范围。

例5则可将sinx+cosx整体换元为t∈[-■,■],并将sinxcosx化为t的代数式,进而将原问题化为二次函数在闭区间上求值域。

五、三角函数最值问题的简单应用

例6.(2000年全国,理)已知函数y=■cos2x+■sinxcosx+1,x∈R

当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;

解:y=■cos2x+■sinxcosx+1,x∈R

=■cos2x+■sin2x+■

=■sin(2x+■)+■

y取得最大值必须且只需2x+■=■+2kπ,k∈Z,

即x=■+kπ,k∈Z

所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为{x|x=■+kπ,k∈Z｝

点评:本题的突破口是利用三角函数的降幂公式进行恒等变形,重点考查了三角函数最值所取得的条件。

例7.设向量■=(3cosx,3sinx),■=(3cosx,sinx),■=(2,0),向量■与向量■的夹角为θ,当变量x∈(0,■)时,(1)求证:(■-■)■

(2)求角θ的最大值及相应的x值。

解:(1)■-■=(0,2sinx),而■=(2,0)

( ■ -■ )・ ■=0×2+2sinx×0=0

(■-■)■

(2)cosθ=■=■

=■

又x∈(0,■)

令:■=t,则t∈(1,3)

cosθ=■≥■(当t=■,即cosx=■时取等号)

又θ∈(0,π),cosθ在(0,π)内为减函数

θ≤■

θ的最大值为■,此时相应的x值为■

点评:本例运用了换元法、基本不等式等初等函数最值问题的求法,而其核心是以向量为载体考查三角函数的最值问题。

三角函数最值问题的各种解法之间可以互相渗透,而三角函数的有界性则贯串于三角函数问题的始终。