参数估计范文

导语：如何才能写好一篇参数估计，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

关键词：规划模型；资产负债管理；随机情景生成；参数估计

中图分类号：F810文献标识码：A文章编号：1001-6260（2008）02-0093-06

一、引言

随着计算能力的显著提升和算法研究的巨大进步，随机规划正在成为一个强有力的工具，在金融机构和个人长期资产负债管理中发挥着越来越重要的作用，并已取得了巨大的经济效益。一个比较著名的案例是Mulvey等（2000）为Towers PerrinTillinghast公司开发的一套随机资产负债管理系统，自1991年以来已在欧洲、北美、亚洲等地区的19个国家（地区）里为数千家养老金公司及保险公司提供决策咨询服务。US WEST养老基金因此节约了4.5亿～10亿美元的机会成本。

于立勇（2004）认为，与其它金融资产负债管理（ALM）模型相比，随机规划模型的主要优点是：问题刻画方便，可以把来自资产负债中的多种风险源整合在一个框架中进行考量；具有长期视野、可适应不同水平的风险规避条件且能把交易费用、市场的不完备性、税收、交易费用和管理规则等因素纳入考虑范围，具有较大的灵活性。此外，它易于求出数值解，便于给出可操作性投资策略建议。

ALM的随机规划模型是Mulvey等人于1998年提出的，它一般都是围绕着一个称为情景生成器的随机预测系统及一个资产负债决策优化模型进行设计，模型各模块之间的关系如图1所示。随机预测系统用来产生大量具有代表性的情景元素以模拟未来的不确定性，每个情景描绘了一个多阶段规划期间内模型经济变量的演变路径。把这些情景输入资产负债决策优化模型并求出模型的全局最优解，以此给资产负债管理提供决策建议。

由于所有的决策建议都是基于生成的情景加以优化得到的，因此情景质量的高低自然决定决策建议的质量。所生成的情景在多大程度上体现了未来的不确定性是个非常重要的问题。目前，在学术界和实务界主要有以下几种情景生成的方法：历史数据重构法、Russell的向量自回归模型、ORTEC的带有均衡条件的向量自回归模型VaR法及随机微分方程法。前几种方法主要借助历史数据，研究各变量的时间序列特点生成情景。而随机微分方程法则是系统考量经济因素之间内在逻辑关系，在一个统一的框架下，用一系列的随机微分方程刻画各变量发展演变特征。相对而言，这种方法产生的情景自然比仅仅借助历史数据产生的情景更准确，更有代表性。

Towers Perrin公司所用的随机预测系统CAP：Link堪称这方面的典范，它由一套包含关键经济变量的随机微分方程构成，这些经济变量包括价格、工资、通货膨胀率、不同久期的利率、股票的红利收益和红利增长率等。用微分方程刻画各变量演变进程，并产生有代表性的情景元素，且这些情景包含的经济变量在全球多个国家内同步确定。为了保证情景生成的质量，这些随机微分方程的参数估计要尽可能地准确。

二、参数估计的方法

目前，随机微分方程常用的参数估计方法主要有：极大似然估计法（maximum likelihood，ML）、广义矩方法（generalized method of moments，GMM）和模拟矩估计法（simulated moment estimation，SME）。三种方法中，模拟矩估计法不需要参数向量与模型变量间具备明显的关系，而只需将它们用模拟值代替即可，故其能广泛地应用到资产定价模型参数估计中。

（一）极大似然估计法（ML）

极大似然估计法最初于1912年由英国统计学家R.A.费希尔提出，它利用样本分布密度构造似然函数来求出参数的最大似然估计。下面以一个短期利率的随机微分方程的参数估计为例，对极大似然估计法的应用进行简要的介绍。利率方程如下：

广义矩方法(generalized method of moments,GMM)是关于参数估计的又一种方法。GMM的一般表述是由Hansen (1982)提出的。GMM最大的优点是仅需要一些矩条件而不是整个密度。很多的估计量都可以视为GMM 的特例，如普通最小二乘估计量、工具变量法估计量、两阶段最小二乘估计量、非线性联立方程系统的估计量以及动态理性预期模型的估计量等，在很多情况下极大似然估计量也可看作是 GMM 的一个特例。许多计量经济学模型不是通过完全的分布假设而是通过矩条件来设定，例如带有不可观测的个体影响的动态平面数据模型和含有理性预期的微观经济模型，这些模型通常是使用GMM方法来估计的。

一般地，GMM估计方法就是极小化下式：

ML、GMM及SME都是利用极小化误差来估计参数值的，虽然广泛应用于经济模型的参数估计中，但他们本身还存在着一些不足之处。首先，它们对历史数据的依赖过于严重。因为经济形势往往瞬息万变，产生的情景一般要能代表未来的一种趋势。当形势变化较大时，ML估计便会产生较大误差。此外，ML估计需要有最大似然函数，当模型比较复杂时，这点往往难以满足。GMM模型和SME方法需要把模拟的矩代替模型自身矩，但如果矩本身是不够稳定的，估计必然会产生问题。

一般来讲，优良的参数估计模型应具备如下特点：满足误差最小原则、保证出自模型的样本概率最大，以及产生与真实描述统计一致的样本。针对这些特点，Mulvey等（1999）提出一个更为有效的估计方法综合参数估计（integrated parameter estimation，IPE）模型。它不仅能较好地满足上述三个特征，同时可以应用目标规划的权重来控制各种目标的相对重要性。

三、 综合参数估计法（IPE）

综合参数估计法（integrated parameter estimation,IPE）是在模拟矩估计法的基础上发展起来的。它在两个方面对SME方法进行了改善：首先，增大了目标函数集，它的目标函数集中不仅包括矩向量，还包括相关描述统计量，如自相关、分布百分位模型等。其次，目标函数的适应类型广，使IPE方法具备较大的灵活性。

测度、可行域没有限制且Ψ仅包括矩统计量时，IPE等价于SME，这说明SME法仅仅是IPE的一种特殊形式。

IPE的目标函数集不仅包括低阶矩向量，还包括高阶矩向量，如峰度和偏度等。此外，还包含相关的描述统计量，如均值、方差、自相关、分布百分位模型等。一般来讲，90th和10th的百分位统计量就已经足够，当然也可以把两个百分位之间的距离纳入统计目标。总之，IPE的目标函数可以包括任何性质，只要他们能表示为参数集的函数就可以。

IPE要求随机模型产生的样本满足给定的描述统计量，要求以这些描述统计量作为目标，并用式（11）对样本偏离区间进行限制。参数的可行域由使用者直接设限，也可以通过约束施加限制。

IPE的目标函数值是各个单独目标函数值的加权平均，每个目标函数根据其自身相对重要性赋予相应的惩罚权重。权重的选择需要慎重，要充分考虑投资者所处的经济环境。例如，风险中性的投资者重视短期资产价格，因而比风险规避者重视长期资产配置，他们的目标函数的权重必然不同。此外，通过历史数据预测将来情景在一般情况下是可以接受的，但是未来毕竟不是过去的重复，在某些时候，政策变化带来的经济趋势的变动是很剧烈的，这就需要对模型进行及时调整，以反映变化中的情况，IPE方法可以加以适当的调整来适应这种情况。

Hull（1993）提出一种类似的调整方法。首先估计参数，然后基于估计出的参数对资产集进行定价，对其用市场价格进行评估。如果偏差较大，就需要继续改进参数估计，直至满足一定的条件。这种方法能保证得到符合市场波动的一套参数。比如，在给定的利率期限结构下，这种方法用来定价是必要和足够的，但用来预测长期经济环境时，就略显不足了。

下面用例子具体介绍IPE的使用方法。对于方程（7），传统的统计方法由于其含有一个随机波动项，难以估计。用IPE方法来估计参数，首先设置目标函数集Ψ，取Ψ={均值、方差、自回归、90th、75th、25th，和10th百分位}对于i∈Ψ，让Si和Ti表示第i个模型及目标统计量。相应的IPE模型具有以下结构：

其中，^Wi是对应的目标规划的权重。采用二次误差函数，在给定的点，用根据方程（7）模拟出的Si值来算出函数值。问题的求解难度取决于决策变量的数目和类型以及目标函数的类型。

IPE参数估计问题是一个非凸规划问题，Mulley等（1999）提出了一个适应性记忆规划（adaptive memory programming，AMP）方法，取得了较好的效果。具体过程为：首先找出局部最优解，然后利用拓扑法扩大寻找范围，试图找到全局最优解。与其他全局求解算子相比，其有以下优点：（1）对目标函数要求不高，可以通过短期或长期记忆来加速搜索过程；（2）通过拓扑法可以很方便地从当前局部最优点向潜在更优点移动，便于找到潜在的最优解，且可以很方便地处理多目标函数。

四、对三种参数估计方法的比较

参数 MLGMMIPE α0.19170.27050.21 β-0.0235-0.0312-0.02 r0.73880.32150.29 σ0.12400.32720.35分别用ML、GMM和IPE方法对模型（1）的参数进行估计。所用数据为英国1980年1月―1995年3月债券月收益数据。参数估计结果见表1。

IPE的目标函数是一个包括均值、方差、1，2，3阶自相关及90th-10th百分位及75th-25th区间函数集合。函数值是二次惩罚项的线性组合，所有的统计量赋予相同权重。方差的权重由于不稳定降为0.5。目标统计量设为英国的债券票面利率的历史数据（1980.1―1995.12）。结果如表2所示。

五、小结

本文介绍了用于随机情景生成系统的参数估计方法。试验表明，IPE方法比ML法和GMM方法具备较大的优势，表现出更大的灵活性和更小的偏差，而且适应面也更广泛，可广泛用在一些比较复杂的模型参数估算中。此外， IPE权重及惩罚函数的选择也较为灵活。

在以往的多阶段随机规划中，随机模型参数的估计和决策模型的优化是各自独立的两个部分。但这些问题往往是紧密联系在一起的，因为估计和抽样带来的误差同样会导致次优的决策建议。因此，把IPE参数估计和优化决策结合起来是一个需要进一步研究的方向。

参考文献：

于立勇. 2004. 基于随机规划的动态投资组合选择［D］. 北京：中国科学院数学与系统科学研究院博士学位论文:6.

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MERTON R. 1973. An intertemporal capital asset pricing model ［J］. Econometrica, 41:867-887.

MULVEY J M, RUSH R, SWEENEY J. 1998. Generating scenarios for global financial planning systems ［J］. International Journal of Forecasting, 14:291-298

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MURTAGH B A, SAUNDER M A. 1982. A projected lagrange algorithm and its implementation for sparse nonlinear constraints ［J］ . Mathematical Programming, 14: 41-72.

The Parameter Estimation of Stochastic Scenario Generation Model

WEI Faming LIANG Dan CHEN Weizhong

(Institute of Modern Finance, Tongji University, Shanghai 200092)

Abstract：Stochastic programming model (SPM) is widely used in asset and liability management by many financial institutions and individual investors for its special merits. It's an essential step to describe future uncertainty (often named scenario generation) accurately to ensure its successful utilization. Stochastic differential equation is an important way to generate scenarios. Model parameters need to be estimated accurately for getting more representative scenarios. This paper briefly introduces some usual ways for estimating parameters and offers a better method named integrated parameter estimation (IPE) in detail. Then it empirically compares the effects of ML, GMM and IPE and offers the direction for further study of parameter estimation.

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关键词： 粒子群优化算法； 非线性系统； 参数估计； 优化

中国分类号：TP301.6 文献标志码：A 文章编号：1006-8228（2012）04-34-02

An algorithm of parameter estimation of nonlinear system model

Wei Zhengfang, Qi Mingjun

（Hebi Occupation Technology College， Hebi， Henan 458030， China）

Abstract： Aiming at the diversity of nonlinear system model, it is proposed in this article a parameter estimation method based on particle group optimization algorithm that is applicable to a variety of nonlinear models. The result shows that the particle group optimization algorithm for parameter estimation of nonlinear system model is an effective tool.

Key words： particle group optimization algorithm； nonlinear system； parameter estimation； optimization

0 引言

非线性系统广泛地存在于人们的生产生活中，但是，目前我们对非线性系统的认识还不够深入，不能像线性系统那样，把所涉及的模型全部规范化，从而使辩识方法也规范化。非线性模型的表达方式相对比较复杂，目前还很少有人研究各种表达方式是否存在等效关系，因此，暂时还没有找到对所有非线性模型都适用的参数模型估计方法[1]。如果能找到一种不依赖于非线性模型的表达方式的参数估计方法，那么，也就找到了对一般非线性模型系统进行参数估计的方法[2]。

粒子群优化算法[3](Particle Swarm Optimaziton，简称PSO)是由Kennedy博士和Eberhart博士于1995年提出的一种基于群体智能的优化算法，它源于对鸟群群体运动行为的研究，即粒子群优化算法模拟鸟群的捕食行为。设想这样一个场景：一群鸟在随机搜索食物，在这个区域里只有一块食物，所有的鸟都不知道食物在那里，但是他们知道当前的位置离食物还有多远，那么找到食物的最优策略是什么呢？最简单有效的方法就是搜寻目前离食物最近的鸟的周围区域。粒子群优化算法从这种模型中得到启示并用于解决一些优化问题。粒子群优化算法中，每个优化问题的解都是搜索空间中的一只鸟，我们称之为“粒子”。所有的粒子都有一个由被优化的函数决定的适应值(fitness value)，每个粒子还有一个速度决定他们飞翔的方向和距离。然后粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索。粒子群优化算法将粒子解初始化为一群随机粒子(随机解)，然后通过迭代找到最优解。在每一次迭代中，粒子通过跟踪两个"极值"来更新自己，第一个就是粒子本身所找到的最优解，这个解叫做个体极值pBest，另一个极值是整个种群目前找到的最优解，这个极值是全局极值gBest。另外也可以不用整个种群而只是用其中一部分作为粒子的邻居，那么在所有邻居中的极值就是局部极值。其基本思想[4]是模拟自然界生物的群体行为来构造解的随机优化算法，即从一组初始解群开始迭代，逐步淘汰较差的解，产生更好的解，直到满足某种收敛指标，即得到了问题的最优解。假设在一个n维的目标搜索空间中，有m个粒子组成一个群落，其中第i个粒子在n维搜索空间中的位置表示为一个n维向量，每个粒子的位置代表一个潜在的解。设为粒子i的当前位置；为粒子i当前飞行的速度；为粒子i所经历的最好位置，也就是粒子i所经历过的具有最好适应值的位置，称为个体最优位置；为整个粒子群直至当前时刻搜索到的最优位置，称为全局最优位置。将带入目标函数计算出其适应值，根据适应值的大小可以衡量的优劣。每个粒子的位置和速度按下文中式⑶和⑷两个公式迭代求得。用j 表示粒子的第j维(j=1，2，…，n)，i表示第i个粒子(i=1,2，…，m)，t表示第t代，c1、c2为加速度常数，通常在0～2间取值，c1调节粒子向自身最优位置飞行的步长，c2调节粒子向全局最优位置飞行的步长。，为两个相互独立的随机函数。为了减小在进化过程中粒子离开搜索空间的可能性，vij通常限定于一定范围内，即。如果问题的搜索空间限定在内，则可设定。迭代中若粒子的位置和速度超出了限定范围，则取边界值。代表第i个粒子在t时刻位置到直至t时刻搜索到的最优位置的距离，代表第i个粒子在t时刻位置到整个粒子群直至t时刻搜索到的最优位置的距离。公式⑵用于计算粒子的速度，如当前是t时刻，则粒子在t+1时刻速度是由当前时刻的速度、当前位置与该粒子的局部最优位置的距离、当前位置与全局最优位置的距离共同决定的；公式⑶用于计算粒子速度更新后的位置，它由粒子当前位置和粒子更新后的速度决定。所有粒子的初始位置和速度随机产生，然后根据上述两个公式进行迭代，不断变化它们的速度和位置，直到找到满意解或达到最大的迭代次数为止(粒子的位置即是要寻找的解)。因此，粒子群优化算法具有多点寻优、并行处理等特点。而且粒子群优化算法的搜索过程是从初始解群开始，以模型对应的适应函数作为寻优判据，从而直接对解群进行操作，而与模型的具体表达方式无关。这就决定了粒子群优化算法可适用于一般非线性系统模型的参数估计。

1 基于粒子群优化算法的非线性系统模型参数估计方法

1.1 问题的提出

一般非线性系统模型可用式⑴表示。

⑴

式中，y(t)为系统输出向量；u(t')为系统输入向量，0≤t'≤t；，θ为待定参数向量。f的形式已知，且u(t')已知。现已知y(t)的一组实际测量的离散数据y0(t)，t=1,2，…，n。要求根据已知的y0(t)的值估计出θ的值。

为了能够进行辩识，式⑴所代表的非线性系统模型还必须满足以下假设：①y必须可测；② 每个参数必须与输出y有关，即参数可估计；③系统的信噪比足够大，以至噪声可忽略不计；④ 只要参数确定，通过系统仿真可得到确定的输出值；⑤系统在有限时间t内不发散，即y值不趋于无穷大。

1.2 基于粒子群优化算法的参数估计方法

本文用一种改进粒子群优化算法自动寻找θ。具体步骤如下。

⑴确定适应函数：在已知各参数值的基础上，基于式⑴，可通过仿真实验求得各个时间的系统输出数值y(t)。辨识的目的是要使求得的系统输出数值y(t)尽量接近已知的系统输出数值，越接近说明仿真的效果越好，也就证明仿真所用的一组参数更接近实际参数值，因此应使这组参数对应的粒子群个体具有更小的适应值。所以，我们取y(t)曲线与y0(t)曲线之间距离的为适应值，

即： ⑵

⑵随机产生n个θ。

⑶计算适应值fi，再根据式⑵中确定的适应函数计算出各个θ对应的适应值fi。

⑷计算每个粒子的适应值。

⑸对于每个粒子，将其适应值与所经历过的最优位置的适应值进行比较，若较好，则将其作为当前的最优位置。

⑹对于每个粒子，将其适应值与全局所经历的最优位置的适应值进行比较，若较好，则将其作为当前的全局最优位置。

⑺根据下面2个公式对粒子的速度和位置进行更新；

⑶

⑷ ⑻如未达到结束条件（通常为足够好的适应值）或达到一个预设最大代数Gmax，则返回步骤2 直至算法收敛，即所有个体基本相同，适应值很难进一步提高为止。

2 仿真研究

为了体现粒子群算法能适用于多种非线性系统模型的优点，我们分别以非线性系统的传递函数模型[5]，非线性系统的状态空间模型及在非线性系统研究中应用较为广泛的Hammerstein 模型[6]为例进行仿真研究。

传递函数模型的形式如下：

可以看出，这是一个惯性环节加纯时滞模型，待估计的参数是比例系数K，惯性系数T 和时滞系数τ。在仿真实验中， 参数设置如下：学习因子c1=1.5，c2=2.5，惯性权重,T为最大代数,t为当前进化代数，在这里w将随着迭代次数的增加而逐渐减小，当w小于0.4时，将令w=0.4，即不再减小，以保证迭代后期粒子能够在一定空间探索更好的解。它们的群体规模是100，其他参数不变。在搜索过程中，以100代为上限(实际上，迭代50～80次即可得到满意结果)。仿真结果如表1所示。

表1 例1 参数估计结果

[[\&K\&T\&τ\&真实值\&10\&5\&9\&估计值\&10\&511\&9\&]]

在例1的仿真实验中，因为模型结构简单，待定参数较少，应用粒子群算法搜索较为容易，所以为了提高运算速度，参数精度定得较底，仅为小数点后一位，但从搜索结果来看，参数估计是令人满意的。实验说明了以下几点：①用粒子群优化算法进行参数估计是有效的；②在模型较简单，需要估计的参数较少时，用粒子群优化算法进行参数估计可达到比较满意的精度。

3 结束语

本文在利用粒子群优化算法对非线性系统模型参数估计方面作了一些尝试，得到了比较满意的结果。仿真实验结果表明，粒子群优化算法切实可行，对非线性系统模型参数估计具有一定的实际价值和理论意义。

参考文献：

[1] 徐南荣,宋文忠, 夏安邦. 系统辨识[M].1991.

[2] Goldberg D E Genetic Algorithms In Search ,Optimization [M] and Machine Learning[M] . Reading ,MA :Addison2Wesley,1989.

[3] Kennedy J, Eberhart R C.Particle swarm optimization[C].In: IEEE

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[4] 张鸿宾,郭建军, 遗传算法在曲线多边形近似中的应用[J].计算机学报,1999.10:1100~1104

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关键词：LFM信号 Holder系数 参数估计 调频斜率

1 概述

LFM信号[1]作为大时宽带宽积信号被广泛地应用于雷达和通信等领域，采用这种信号的雷达可以同时获得远的作用距离和高的距离分辨率。并且，线性调频信号具有抗背景杂波和抗干扰能力强的特点，对于这种信号的研究是当前的热点。其中，起始频率和调频斜率包含了重要信息，是表征LFM信号频率特性的基本特性参数，因此，如何在复杂密集的信号环境中，精确估计多分量线性调频信号的参数具有重要的实际意义。目前的估计算法有短时Fourier变换[2]、Wigner-Ville变换[3]、分数阶Fourier变换[4]等，但都存在分辨率不够高，交叉项严重或者运算量太大的问题。

针对当前LFM信号参数估计算法中繁琐的搜索和计算问题，提出了一种基于Holder系数[5]的线性调频信号参数估计算法，该算法计算简单，复杂度低，易于理解应用，对于实时性估计具有较好的应用价值。

2 Holder系数基本理论

对于信号序列{xi，i=1，2，…，N}，{yi，i=1，2…，N}，Holder不等式[6]的定义描述如下：

其中，p，q>1，且■+■=1。

由此，定义两信号序列的Holder系数为：

由Holder不等式的定义可知，0≤Hc≤1。特殊的，当p=q=2时，定义为相像系数。由定义可知，相像系数是Holder系数的一种特例。

3 基于Holder系数的LFM信号参数估计算法实现

由Holder系数的定义可知，Holder系数特征可以表征两离散信号的关联程度，利用Holder系数特征的这一特点，文中通过计算不同信噪比下，不同调频斜率的LFM信号与矩形信号的Holder系数关联曲线，通过计算不同信噪比下的关联曲线的拟合表达式，进而对LFM信号的调频斜率进行估计，估计算法的具体流程如下：

设LFM信号的复数形式表达式为：

其中，A（t）为信号包络函数，f0为中心频率，k0=B/T为调频斜率，B为调频带宽，T为信号持续时间。算法的主要工作，就是对调频斜率k0进行估计。

首先对待估计LFM信号s进行采样，再对信号进行傅里叶变换，将信号从时域转化到频域，对处理后的LFM信号与矩形信号进行Holder系数值计算，设矩形脉冲序列为：

S1（f）=s，1≤f≤N0，其它

傅里叶变换后的信号表达式为S（f），则Holder系数值可表示为：

由于不同的LFM信号的调频斜率不同，因此，绘制不同调频斜率的LFM信号随Holder系数值的变化曲线，拟合曲线表达式，通过Holder系数值的大小利用曲线表达式对LFM信号的调频斜率进行估计，由此实现了基于Holder系数值的LFM信号参数估计。

计算不同信噪比下的Holder系数值，由此得到了不同信噪比下的估计曲线，实现不同信噪比下的估计算法。

4 仿真结果与分析

由理论分析可知，计算不同调频斜率的LFM信号的Holder特征曲线，绘制调频斜率，Holder系数关系曲线图，不同信噪比下的仿真结果如图1～图4所示。

从仿真结果中可以看出，信噪比较高时，拟合曲线较为平滑，当信噪比降低时，拟合曲线所对应的点具有一定的波动性，因此，会存在一定的误差，此时，取波动中心作为最终拟合曲线的位置，拟合曲线表达式如表1所示。

从误差计算结果中可以看出，信噪比较高时，具有很好的估计效果，当信噪比较低时，如果对估计结果没有太高的要求，也具有很好的应用价值。

5 结论

文中提出了一种基于Holder系数的线性调频信号参数估计算法。该估计算法通过计算不同调频斜率的LFM信号与Holder系数值在不同信噪比下的关系，来实现不同信噪比下的LFM信号参数估计。仿真结果表明，利用Holder系数理论对LFM信号的参数估计，计算简单，易于实现，在不同的信噪比下具有较好的估计效果。

参考文献：

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[4]Christian Hoffmann， Thao Dang. Cheap Joint Probabilistic Data Association filters in an Interacting Multiple Model design[J].Robotics and Autonomous Systems.2009，57（3）：268-278.

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【关键字】人脸识别，光照估计，三维特征脸，模板匹配

引言

不同光照下的人脸识别或表情识别是极具挑战性的任务。有很多相关研究都采用了基于3维重建的方法[1]解决光照问题，但这存在两个不足：1.计算法杂度很高 ─ O(M×N)，其中M光照条件数，N训练集中的3维人脸数；2.难以做到与识别者身份无关，即对于训练集中不存在输入图像中的人的情况效果不理想。

既然我们要消除光照影响，首先必须估计它的相关参数，因而本文以估计正面人脸图像中不同的光照条件为目标并提出了一种无需三维重建的基于三维特征脸模型的光照估计方法。首先计算出C组平均三维脸作为代表此C组的三维特征脸模型；而后通过向它们施加不同的光照，并将其与输入二维人脸图像进行基于米字特征的匹配同时结合投票策略确定该输入图像的光照。结果表明上述方法可在较准确地估计光照的同时降低计算复杂度 ─ O(C×N)，其中C为常数，并且在识别训练集中未曾出现的图像时仍取得了不错的效果。

本文后面内容安排如下：2.数据集简介；3.计算三维特征脸模型与样本生成；4.特征提取；5.分类器；6.实验结果；7.总结与展望。

数据集简介

实验采用北京工业大学BJUT-3D Face Database [4]，我们分别利用[2]和[3]中的方法实现网格简化和稠密对应。从而将所有三维人脸表示为统一的向量形式:

S =(X ,Y ,Z ,...,X ,Y ,Z )，i=1,2,...,N

T =(R ,G ,B ,...,R ,G ,B )，i=1,2,...,N

其中S 是第i个人脸的点坐标组成的几何形状向量, 是对应于形状向量中点的RGB值组成的纹理向量,N是人脸个数,m是规格化后人脸的点数。

计算三维特征脸模型与样本生成

计算三维特征脸模型

本文基于如下考虑分别以每组的平均脸作为代表该组的三维特征脸模型：平均脸代表了隐藏在各个个体脸背后的一种人脸三维稳定结构，对于光照估计来说，它足够稳定和具有代表性，可用来近似属于该组中的不同个体三维脸。设三维平均脸模型为avgFace，则：

avgFace.Shape =

avgFace.Texture =

样本生成

对8个三维特征脸模型分别施加如图1所示的13种光照条件后投影到2维（图2），生成了104张二维光照人脸图像作为光照识别的比对样本库。

图1. 13 个光源位置

图2. 13种光照下的某一组样本的三维特征脸模型 图3. 米字特征

特征提取

本文选择了4个最能反映光照变化的线上的像素灰度作为特征，构成一个米字形像素线特征（图3）。由于不同图像中脸部区域大小不一，故对不同图像对应位置的像素线重采样到统一的维数，最后再连接成一个特征向量。

分类器

本文光照估计的基本思想是将待定光照图像和比对库中不同光照条件下的2维图像做基于米字特征的比较，与之最接近的比对库图像的光照条件就被认为是输入图像的光照类别。这是一个典型的模板匹配方法，简单并符合某些生物学有效性。但一般认为基于模板匹配的最近邻分类器的识别能力是有限的，这主要是由于在模板化的过程中很多具有分类能力的重要的个体信息被平滑掉了。因此，本文并没有单纯采用每类一个模板的做法，而是提出了一种基于模板匹配的投票策略来确定类别：首先生成了 个三维特征脸模型，这 个平均脸模型彼此之间都有所不同，而又分别代表了各自组内的样本脸的三维结构和纹理特征。这样，我们用 表示从待定光照输入图像中提取的米字特征向量，则在每次光照估计时，将 分别与这 个三维特征脸模型 到 进行匹配，设模型 生成的13张二维比对图像的米字特征向量用 到 表示，针对模型 的匹配结果为 ，（ ），则最终的输出类别 由这 个 投票决定。

实验中 值确定为8，主要是因为当 从1变化到8的过程中，识别率的提高相对比较明显，之后则趋于平缓。可以说取 = 8是一个识别率与复杂度的折衷。

实验结果

实验中我们从BJUT三维人脸数据库中随机取出了100个三维个体脸作为训练集，将它们分为 =8组，计算出代表每个组的三维特征脸模型 到 。

首先对参与三维特征脸计算的训练集中的二维比对图像进行了光照估计，将这组样本称为Group-I。为了进一步测试推广能力，又从三维人脸数据库中拿出了50个新的三维脸，对它们也施加13种光照条件生成二维投影图像作为独立的测试集Group-II。采用第5节中介绍的基于模板匹配的投票策略进行分类,对应于一些不同C值的实验结果如下表1所示。

总结与展望

本文提出了一种基于三维特征脸模型的光照估计方法，相比其它相关算法，它具有计算复杂度低的优势，同时从实验结果看，当与模板匹配的投票策略结合时，系统对于独立测试集合Group-II同样取得了令人满意的结果，这无疑为实现独立于人身份的光照检测给出了一种解决方案。但实验数据集过于理想，系统健壮性有待在接近实际的数据集上接受考验。

致谢

作者感谢北京工业大学为我们的实验提供了BJUT-3D 人脸数据库。 Portions of the research in this paper use the BJUT-3D Face Database collected under the joint sponsor of National Natural Science Foundation of China, Beijing Natural Science Foundation Program, Beijing Science and Educational Committee Program.

【参考文献】

[1] 柴秀娟，山世光，卿来云，陈熙霖，高文. 基于3D人脸重建的光照、姿态不变人脸识别. 软件学报，17卷，第3期，2006.3 9:525-534

[2] Garland M, Heckbert PS. Surface simplification using quadric error metrics，In:Proc. of the SIGGRAPH'97. New York: ACM Press, 1997: 209-216

篇5

关键词:蚁群算法；软件可靠性模型；参数估计

中图分类号: TP311文献标志码:A

Estimating parameters of software reliability models by ant colony algorithm

ZHENG Chang.you1*, LIU Xiao.ming1, HUANG Song2

1.Institute of Command Automation, PLA University of Science and Technology, Nanjing Jiangsu 210007, China;

2.Engineering Institute of Corps of Engineers, PLA University of Science and Technology, Nanjing Jiangsu 210007, ChinaAbstract:

Software reliability modeling is one of the basements of software reliability engineering. Most software reliability models’ parameters are hard to estimate, as they are nonlinear functions. The most widely used methods for parameters estimating of software reliability models have been summarized, and a new approach based on Ant Colony Algorithm is proposed in this paper. Experiments with three typical models－G.O model, Weibull model and M.O model－show that this algorithm demonstrates good applicability. And the results demonstrate that the proposed method has solved the nonconvergent problem resulted from traditional methods. Comparing with Particle Swarm Optimization, the method given in this paper shows up to two times faster convergence rate, and for some subjects, the new method shows ten times higher precision.

It is difficult to estimate the parameters of software reliability models, since most of them are non.linear models. The most widely used methods for parameters estimating of software reliability models have been summarized, and a new approach based on ant colony algorithm was proposed. The experiments with three typical models, G.O model, Weibull model and M.O model, show that this algorithm demonstrates good applicability. And the results demonstrate that the proposed method has solved the nonconvergent problem that resulted from traditional methods. Compared with Particle Swarm Optimization (PSO), the method given in this paper shows up to two times faster convergence rate, and for some subjects, the new method shows ten times higher precision.

Key words:

ant colony algorithm; software reliability models; parameters estimating

0 引言

随着计算机技术的发展，各种各样高度复杂的软件系统正逐步渗透到航空航天、工业过程控制、交通运输、金融、医疗卫生等关键领域，并发挥着越来越大的作用。运用于这些领域的软件一旦失效，将会给人类的生命、财产造成重大乃至灾难性的损失。因此，软件可靠性越来越受到研究者的重视。IEEE计算机学会对软件可靠性做出如下的定义［1］：1)在规定的条件下，在规定的时间内，软件不引起系统失效的概率；2)在规定的时间周期内，在所述条件下程序执行所要求的功能的能力。软件可靠性建模是针对软件可靠性的理论研究和工程实践的重要领域之一［2］。到目前为止，已经发表了近百种软件可靠性模型。这些模型大多是非线性函数模型，其参数难于估计。蚁群算法最初由Dorigo等于1991年提出［3-4］，本质是一种基于种群的模拟进化算法。该算法采用正反馈并行自催化机制，具有鲁棒性强、计算机制优越、易于与其方法结合等优点。蚁群算法最初用于解决旅行商问题（Traveling Saleman Problem，TSP）问题［5］，经过多年的发展，已经陆续渗透到其他领域中，如图着色问题、大规模集成电路设计以及负载平衡问题、车辆调度问题等。近年来，在求解通信网络中的组播路由问题［6-7］和网络服务发现［8-9］方面，蚁群算法也得到了较好的应用。同时，它对一般函数的优化问题也有较好的性能［10］，能够克服传统优化方法的许多不足和缺陷，操作和实现简单，解的全局性好，收敛速度快，因而适用于可靠性模型参数的最优估计。

1 相关工作

传统上两种最常用的参数估计方法是极大似然法和最小二乘法。极大似然法在处理大规模样本数据时较为常用，最小二乘法主要适合于样本数据较小的情况［11］。由于极大似然法和最小二乘法都包含了概率论与数理统计方面的特性，因此可能破坏软件可靠性模型参数估计的约束条件［12-13］。当可靠性模型较为复杂或者软件失效数据规模较为庞大时，这两种方法通常无法找到参数估计的最优解，此时大多转而采用数值计算方法［14］。而传统数值方法常常需要面临不能收敛或迭代过程过分依赖初值等问题，因此需要寻找更好的模型参数估计方法。

篇6

关键词：农业保险；小波分析；非参数核密度估计；费率厘定

中图分类号：F840 文献标识码：A 文章编号：1003-5192(2011)04-0055-05

Wheat Insurance Rate Estimation: Based on Wavelet and Non-parameterKernel Density Approaches

LI Yong, SUN Yue-qin, XIA Min

(School of Economics and Management, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract:Determining accurately the premium rate is an important prerequisite for agricultural insurance. Which could be also a reference for government’s supporting policies(e.g. agricultural insurance subsidy etc.)related agriculture. By sampling wheat yield in Beijing, this paper combines wavelet analysis with non-parameter estimation approaches to improve the rationality and accuracy of pure premium crop insurance rating. Namely, with wavelet analysis to determine the trend of crop yield, the paper combines with non-parametric Gaussian kernel density function andSilverman’s “rule of thumb” to estimate the probability distribution of crop yield losses, And finally, accomplishing the empirical study on the estimation of wheat insurance rate pricing in Beijing.

Key words:crop insurance; wavelet analysis; non-parameter kernel density estimation; insurance rate

1 引言

农作物保险体现了政策性保险在农业中的防灾减损作用，是农业保险的核心内容和重要组成。合理厘定保险费率是农作物保险开展的重要前提,可为政府保费补贴等政策的制定提供依据。但由于农业风险通常具有非可保性特征，因此农作物保险费率厘定一直是理论与实践中的重点与难点。这一过程通常可以概括为：（1）样本选择;（2）数据的收集和检验；（3）单产趋势和波动估计；（4）单产波动概率分布模型确定［1］四步骤。显然研究焦点集中于后两项。

在农作物单产趋势和波动估计方面的研究。农作物生产受农业技术进步、基本建设投资和劳动者素质提高等因素影响,单产呈逐年递增趋势，具有非平稳性特征。传统方法ARIMA模型需忽略数据的趋势项和周期项等信息［2］，而其他诸如滑动平均模拟法、直线滑动平均法等由于主观性强、精确性差已较少采用。小波分析法具有逐级观察数字信号、充分体现多分辨率、有效检测并处理瞬态或奇异点等特点，越来越多地应用于农作物产量估计与预测上。国外学者Bartosz［3］在多种统计方法比较分析基础上，通过设定指标，认为小波分析在农产品产量的趋势拟合、预测方面的效果最好。Si等［4］利用农作物产量、湿度指数和上坡长度的横截面数据，采用小波分析方法探讨了三者之间的关系，发现数据信息量越大时，小波分析的效果越明显。Pringle等［5］运用小波变换与地理统计的方法验证了若干预测小麦产量模型的有效性，指出小波分析在验证空间分布模型上是有效的。国内学者刘会玉等［6］利用Morlet小波变换方法来研究粮食产量变化特征的时间尺度和周期性特征, 预测了江苏省粮食产量的走势。张月丛等［7］采用河北省1949～2006年统计数据,对耕地数量、GDP、人口和粮食产量逐年变化率进行Morlet小波多尺度分解，发现这些变量间存在多尺度波动周期。谷政等［8］提出了非平稳时间序列分析的WAVELET-ARMA 组合方法，运用db正交小波对江苏粮食产量的变化情况进行研究,结果表明该方法比直接二次多项式拟合预测的精确性更高。

在农作物单产波动的概率分布方面的研究。非参数方法因其具有无需要事先假定作物单产分布模型而根据数据特征确定分布形类型、对函数假设要求宽松、受样本观测错误影响小、计算准确、适用于任意分布Octravio等［9,10］等优点，而被广泛应用。近些年，非参数核密度估计理论研究文献较丰富。该理论由Rosenblatt［11］首次提出，随后由Parzene［12］和Cacoullos［13］进行了详细论证。Turvey等［14］对农作物产量的保险费率进行了估计，但由于样本过小限制了核密度估计的效果。Goodwin和Ker［15,16］计算了农作物产量保险费率，并提出了适应性核密度算法，优化了估算效果。国内学者谭英平［17］探讨了非参数核密度估计的方法中带宽(组间参数) 的确定方法。钟甫宁等［18］采用正态分布函数作为核函数对各地区农作物受灾率进行了估计。梁来存

［19］以高斯函数作为核函数，结合Silverman“经验法则”确定的带宽数值，厘定了我国粮食单产保险的纯费率。

综上，近年研究中鲜见上述方法在农作物保险费率厘定中的综合应用。为此，本文试图弥补以上不足，初步构建了更为合理、准确的农作物保险费率厘定模型，并据此应用于农作物保险纯费率估计中。具体思路：以北京1979～2009年小麦产量为样本数据，结合小波分析与非参数高斯核函数，利用Silverman的“经验法则”计算带宽、期望损失，通过保障水平差异化设定分别估计得到多种纯保险费率。

2 模型构建与方法

2.1 小波分析

小波分析是把原数据信号f(t)转化到“时间―频率”域上，包括小波分解与小波重构过程。小波分解方法多采用多分辨率分析, 在此基础上产生了小波分解的Mallat算法［20］。Mallat算法可以将数据信号层层分解, 每一层分解的结果是将上次分解得到的低频数字信号再分解成低频和高频两部分(见图1)。

图1中，空间C0的频率范围从“中心”被分成两部分，一部分是由C1表现出的低频部分，另一部分D1表现出的高频部分，且这两部分所占频带在统计上是互不重叠的。继续分解C1为C2和D2部分 ，同样C2也可以继续分解为C3与D3直至最大尺度。此时，数据信号可以重新表示为：C0＝C3+D3+D2+D1，该等式左右变量互换，对小波分解过程做逆运算，即小波重构。

2.2 非参数核密度估计函数

设X1,X2,…，Xn是取自一元连续总体的样本，在任意点x处的核密度函数f(x)为

其中h为窗宽，是与n有关的、适当选定的常数；K(x)被称为核函数，须满足：K(x)≥0,∫+∞-∞K(x)dx=1，即核函数K(x)是某个分布的密度函数。

常用的核函数包括Uniform, Triangle, Quaritic, Gaussian, Cosinus等，各自对核密度估计精确性影响差别有限，但fh(x)中的窗宽h值则对估计结果影响较大，决定了fh(x)的光滑性特征。最佳窗宽h的确定的常用方法是求窗宽函数MISE(fh)(MISE,Mean Integrated Squared Error)最小值点，即可得到最佳窗宽h估计值。如下

2.3 农作物单产保险费率厘定方法

假设农民对粮食单产投保，保障程度为λ，投保年份的趋势单产为Yt，则该年粮食单产保险合同的保障水平λYt。粮食保险费率厘定的基本思想与一般的财产保险在本质上是相似的，即以粮食作物产量的平均损失率作为纯费率。所以，粮食单产保险的纯费率计算公示表示为

3 实证过程

3.1 趋势单产的估计

选取北京市1979～2009年冬小麦产量为样本，对数据进行小波变换，最大尺度分解小麦产量而后重构其低频部分，即趋势单产，借助Matlab编程预测投保年份的趋势单产量。

时间序列数据通常含有趋势项、周期项和随机项。其中，趋势项是非平稳时间序列变化的主体部分, 可以借助小波分析法得到，即：将原时间序列最大尺度分解成趋势项与波动项两部分，再用小波重构趋势项。利用常见小波函数如Harr小波、Daubechies小波、Sym小波、Meyer 小波等分别对样本数据拟合，通过消失矩、正则性、支撑长度等参数比较后发现，SymN系列小波整体拟合效果较好，尤以Sym8小波拟合效果最好（见图2）。因此，选择最能接近波动趋势的Sym8小波估算趋势单产Yt。

3.3 保险费率厘定

（1）带宽hn的计算

样本JB统计量判断结果表明，在α=0.01的显著性水平上，样本数据服从正态分布，具备了应用Silverman的“经验法则”计算带宽的前提。样本标准差s和四分位数间距Q计算公式为

4 主要结论与改进方向

本文采用了当前农作物保险定价领域较新的估算理论与方法，实现了小波分析和非参数方法的有效结合，改进了传统农作物保险纯保险费率的厘定方法，使估计过程与结果更为合理和精确。通过小波分析更精确地拟合了农作物产量变化趋势，为预测小麦所保年份的趋势产量的准确性提供了保证；非参数方法拟合小麦产量损失分布，克服了参数方法的局限性，较准确地反映了小麦的损失分布特征。需要注意的是，在实际应用中为尽可能消除基差风险，必须对农作物保险进行分区厘定，对不同区域的历史数据进行统计处理，分别计算保险费率，进而为政府依据地区差异性农业补贴提供依据。当然，影响农作物保险费率厘定的因素还有很多，需要综合考虑后最终决定。

本研究仍然存在一些问题需进一步研究解决。第一，粮食受灾损失率的模拟与计算方法较多，农作物种类繁多，数据构成差异较大，需要注意定价方法选择的灵活性；由于造成农作物风险的因素很多，而且责任难以理清，需要清晰界定，本文采取了承保一切险的模糊处理；等。第二，小波分析较好拟合了北京冬小麦的趋势产量变动，但从后期趋势图上看，两者还是有偏差的，故预测趋势产量仍需要从数据的类型出发，寻找更切合实际的更精确的预测模型。第三，为了更精确厘定区域的农作物保险费率，本文尝试用县一级数据来做实证研究，然而由于数据不可得等原因无法完成。此外，农险的发行对象是收入较低的农民群众，即使在国家不断加大补贴力度政策的推动下，仍然显得杯水车薪。所以，可以考虑保险风险证券化产品的引入（例如农业巨灾债券），并借鉴本文的方法，完成产品的设计与定价。

参 考 文 献：

［1］张峭,王克.农作物生产风险分析的方法和模型［J］.农业展望，2007,(8):7-10.

［2］马社祥，刘贵忠，曾召华.基于小波分析的非平稳时间序列分析与预测［J］.系统工程学报，2000,(12):305-309.

［3］Bartosz K. Weather indicators and crop yields analysis with wavelets interim［R］ . Report on Work of The International Institute for Applied Systems Analysis, Laxenburg, Austria, 2005. 5-19.

［4］Si B C, Farrell R E. Scale-dependent relationship between wheat yield and topographic indicies: a wavelet approach［J］. The Journal of Soil Science Society, 2004, 68: 577-587.

［5］Pringle M J, Marchant B P, Lark R M.Analysis of two variants of a spatially distributed crop model, using wavelet transforms and geostatistics［J］. Agricultural Systems, 2008, 98: 135-146.

［6］刘会玉，林振山，张明阳.近50年江苏省粮食产量变化的小波分析［J］.长江流域资源与环境,2004,13(5):460-464．

［7］张月丛，孟宪锋.基于Morlet小波的河北省耕地数量动态分析［J］.安徽农业科学，2008,36(19):113-115．

［8］谷政,褚保金,江惠坤.非平稳时间序列分析的WAVELET-ARMA 组合方法及其应用［J］.系统工程，2010,(1):73-77．

［9］Octravio A R, Amirez, et al.. Crop-yield distributions revisited［J］. American Journal of Agricultural Econnomics, 2003, 85(1): 108-120.

［10］Octavio A R, Tanya M. Ranking crop yield models: a comment［J］. American Journal of. Agricultural. Economics, 2006, 88(4): 1105-1110.

［11］Rosenblatt M. Remarks on some nonparametric estimates of a density function［J］. Annuals ofMathematical Statistics, 1956, 27(3): 832-837.

［12］Parzene. On estimation of a probability density function and mode［J］. Annuals of Mathematical Statistics, 1962, 33(3): 1065-1076.

［13］Cacoullos T. Estimation of a multi-variety density［J］. Annuals of Mathematical Statistics, 1966, 18(2): 179-189.

［14］Turvey C G, Zhao C C. Parametric and nonparametric crop yield distributions and their effects on all-risk crop insurance premiums［R］. Working Paper, University of Guelph, 1993.

［15］Goodwin B K, Ker A P. Nonparametric estimation of crop yield distributions: implications for rating grouplications［J］. American Journal of Agricultural Economics, 1998, 80: 139-153.

［16］Ker A P, Goodwin B K. Nonparametric estimation of crop insurance rates revisited［J］. American Journal of

Agricultural Economics, 2000, 83: 463-478.

［17］谭英平.非参数密度估计在个体损失分布中的应用［J］.统计研究,2003,(8):40-44.

［18］钟甫宁,邢鹂.粮食单产波动的地区性差异及对策研究［J］.中国农业资源与区划,2004,25(3):16-19.

［19］梁来存.核密度法厘定我国粮食保险纯费率的实证研究［J］.南京农业大学学报(社会科学版)，2009，9(4):28-34.

篇7

【关键词】系统误差； 半参数平差模型

【 abstract 】 how to build a more accord with the objective reality of the mathematical model is to improve the accuracy of the results adjustment with main content, the author in the existing based on the study of the theory, this paper puts forward the system error for half parameters adjustment with model, and attend to the system error half parameters adjustment with further expansion of the model.

【 keywords 】 system error; Half parameters adjustment with model

中图分类号： Q141 文献标识码：A 文章编号：

1引言

在高精度测量中，目前通常采用的平差方法是将系统误差视为平差模型的模型误差，利用函数模型或随机模型设法予以补偿，从整体上减弱和消除其影响，以保证平差结果的高精度，并对其进行分析和研究，然后对模型进行调整，使模型更加精确，这也就是平差处理系统所要达到的目的[1] 。笔者将半参数回归模型的思想应用到文中，提出了顾及系统误差的混合模型半参数法。

2顾及系统误差的半参数平差模型

半参数回归模型既含有参数分量，又含有非参数分量，融合了参数线性模型和非参数回归模型的方法，其复杂度和难度，都超过了单一性质的回归模型，具有较强的解释能力；更接近于实际问题，更能充分利用数据所提供的信息，极大地促进了数据处理理论的发展[3]。

测量问题中的系统参数，只有少部分为随机量，大部分为具有先验特性的随机量。在模型中考虑系统参数的先验特性，既可以消除模型中可能存在的不精确性，又可以提高平差结果的精度[4]，事实上这一点很难做到。而半参数模型中的信号可以是随机量、部分随机量、非随机量，且不需要考虑其统计性质，只需利用参数估计的方法就可以将信号估计出来。因此笔者将半参数回归模型的思想引入，构造出新的模型，即同时含有非随机系统参数和随机系统参数的平差模型，其函数模型为：

(1)

式中,为观测值，为系数阵，为平差主参数向量，为信号，可以是随机量、部分随机量、非随机量，为躁声，，；

同文献[2]，作如下分解：，，为非随机的顾及系统误差向量，为随机的顾及系统误差向量, 与统计相关， ；，和分别为和的系数阵。

则式（1）可表示如下： (2)

其相对应的误差方程为： (3)

2.1 半参数回归模型的估计解

我们可以用半参数模型的思想，将式（3）中的作为非参数分量，对其求解，按照补偿最小二乘原理估计的准则构造函数：

(4)

式中：是一个适当给定的正规化矩阵，是一个给定的平滑因子，是拉格朗日常数。

由(2)式求导，并令。可得如下方程：

(5)

(6)

(7)

联合(3) 、(5) 、(6) 、(7)四式，得半参数模型的估计解：

(8)

则观测值的估值:

(9)

其中，， 为帽子矩阵。

改正值:

(10)

这样就可以根据实际情况，选取适当的，求得的唯一解，然后求出值；当正规化矩阵正定时，可以把非参数分量和参数分量从观测值中分离出来，提高了模型的精度。

3顾及系统误差的半参数回归模型的扩展

对模型(2)进行分析，可以得出与文献[2]相同的结论，

1）当，即模型中只含有随机系统参数时，模型就成为拟合推估模型，

拟合推估模型的平差原则为： ，当平滑因子时，半参数模型等价于拟合推估模型，可见半参数模型包括了拟合推估模型。

2）当，且不能在函数模型中表达出来，或当、或，函数模型变为：，平差原则为。

4结论

笔者将半参数回归模型的思想引入，对顾及系统误差的混合模型进行新解，推导出了模型正则化矩阵时参数平差的计算方法，求出了参数、非参数的估计量及模型的精度评定公式，通过算例证明了半参数估计法的有效性；并从理论上对顾及系统误差的半参数模型做了进一步的扩展。可以说明半参数回归模型在很多方面可以与文献[2]提出的混合模型有同样的结果。

参考文献

[1] 陶本藻，等.顾及系统误差的平差模型的研究[J].测绘学院学报,2002,19(2):41-45

[2] 柴根象，洪圣岩.半参数回归模型[M].合肥：安徽教育出版社，1995．

[3] 崔希璋，等.广义测量平差（新版）.武汉：武汉测绘科技大学出版社，2001.

[4] 潘雄.半参数模型的估计理论及应用研究[D]，武汉，武汉大学，2005.

篇8

论文关键词：核密度,积分变换

0引言

近年来，Copula理论是研究金融变量相依结构非常有力的一种工具，已经被广泛应用到金融投资组合风险领域；由于Copula函数不同于传统的线性相依分析,它能够更多的捕捉到金融资产非正态、非对称分布等有关信息，大大提高了金融风险管理能力。然而众所周知，金融资产的相依关系是时刻变化，不局限于某一模式，股票市场处于牛市或熊市的时候，股票价格同时暴涨或暴跌，股票市场之间的协同运动就会显著增强且这种运动通常又是非对称的，从而单一Copula函数未能全面刻画金融资产相依结构。因此，本文基于现有文献的基础上，运用核密度估计M-Copula模型，对沪深股市之间的相依性进行了实证分析。

1M-Copula模型

金融分析活动中，ArchimedeanCopula是分析金融资产相依结构最为广泛的Copula函数。Valdez(1998)等人曾经对ArchimedeanCopula做了精辟的总结，指出ClaytonCopula具有非对称性，对变量分布下尾部变化十分敏感，能更多捕捉到金融资产之间下尾相关的变化；而GumbelCopula函数则相反，对变量分布上尾部变化也十分敏感，能捕捉到金融资产之间上尾相关变化；FrankCopula对变量的分布具有对称性，无法捕捉到随机变量间非对称的相关关系。通过分析发现，Gumble、Clayton和Frank的Copula的分布特性与金融市场之间牛市、熊市或多头、空头等特征恰好相符。为了更好的描述金融资产的相依结构，本文采用文献的方法，将具有不同特点的Gumble、Clayton和Frank函数通过线性方式组合构成一个M-Copula函数，其表达式为：

其中，，相关参数向量度量了变量之间的相关模式；权重系数向量反映了变量间的相关模式。由三个Copula函数线性组合而成的混合M-Copula函数不仅可以描述金融市场之间上尾相关、下尾相关及尾部对称相关三种相关模式，还可以选取不同的系数向量描述金融市场之间上尾、下尾相关并存的非对称模式(张世英，2008)。因此，可以用一个M-Copula函数描述我国沪深股市间的相依关系。

2M-Copula函数的核密度估计

M-Copula函数中的未知参数需要通过样本进行估计；在研究M-Copula函数分析金融资产相关性时，已有文献都假定金融资产收益率服从某分布，然后采用ClaudioRomano(2002)等人提出的经验分布或ML、IML以及CML估计参数。参数估计法要求金融资产具有严格的相关结构和分布状态，多变量金融资产具有相同参数表达式；然而在国家宏观经济政策和人们心理预期的影响下，金融资产的分布具有时变性，其分布函数通常是未知的，对于这个未知函数的估计，非参数核估计方法具有独特的优势。

近年来，非参数核估计是计量经济学发展的一个新方向，叶阿忠（2003）详细论证了核密度估计在经济分析中可行性和有效性。核密度估计改变了传统的参数估计方法，为金融资产未知边缘分布函数提供了一种新的统计分析手段。核密度估计金融资产的边缘分布时，不事先设置任何参数，也无需考虑研究样本分布的类型，函数形式完全由样本的数据确定，因而具有较大的适应性。

利用核密度估计M-Copula中的参数主要有以下两个步骤：

Step1:假定资产组合包含金融资产，两种资产收益率样本观测序列为，,其密度函数和分布函数分别为、0，、；则利用核密度函数得到两种资产的非参数核密度估计为：；

其中为核函数，为光滑参数；根据密度函数得到在分布函数的估计也即Copula中的均匀分布变量为、，此时资产组合收益率序列转化为新的序列；Deveroye(1983)证明了是依概率收敛的，即

Step2由序列的估计值，利用极大似然估计方法即可估计M-Copula中的未知参数：()。

3沪深股票市场相依结构的实证分析

3.1样本数据的整理及初步分析

本文选取代表沪深股市上证综合指数(SH)和深证综合指数(ZH)的日收盘价为样本。由于我国1996年12月16日实行涨停板限价交易制度，因此本文选取样本时间段为1996年12月16日至2010年6月3日，共得到3258个日数据，数据来源于大智慧软件。两市每日收益率为相邻交易日收盘价对数一阶差分，，本文通过Eviews和S-Plus完成图形和参数估计。

表3.1上证综指和深证综指收益率序列统计指标

指数名称

均值

标准差

偏度

峰度

JB统计量

上证综指

0.00029

0.01879

-0.09837

7.09742

2282.93600

深证综指

0.00029

0.01905

-0.54715

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关键词： 强跟踪滤波； 故障参数； 平方根无迹卡尔曼滤波； 非线性系统

中图分类号： TN713?34； TP273 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2016）20?0015?05

Abstract： To solve the problem of nonlinear system fault parameter estimation， the multiple fading factors strong tracking square root unscented Kalman filter （MST?SRUKF） algorithm is proposed. The multiple fading factors are introduced into covariance matrix square root by means of MST?SRUKF. Then the fading factor computational formula suitable for square root unscented Kalman filter （SRUKF） is deduced to adjust the gain matrix in SRUKF in real time to ensure filter accuracy when the model has big error or changes abruptly. The experiment result shows that， compared with SRUKF and strong tracking unscented Kalman filter （STUKF）， the MST?SRUKF has higher estimation accuracy of fault parameter.

Keywords： strong tracking filter； fault parameter； square root unscented kalman filter； nonlinear system

0 引 言

一般情况下，系统的参数不能被直接测量，卡尔曼滤波算法能够根据系统的输出，间接估计出现故障的参数，被广泛应用于故障参数辨识领域[1?3]。实际中大部分系统具有一定的非线性[4]，因此需要采用非线性滤波算法实现故障参数估计[5]。扩展卡尔曼滤波（EKF）作为一种常用的非线性滤波算法[6?7]，方法简单且易于实现，但是当系统的非线性较强时，EKF的估计精度较差，甚至可能滤波发散。为了解决这个问题，有学者提出了无迹卡尔曼滤波（UKF）算法[8?9]，文献[10]根据不同UKF的残差实现故障诊断，但是UKF在数值计算过程中存在着舍入误差，随着滤波的进行，累积的舍入误差可能会导致滤波协方差矩阵不再保持正定性，造成滤波过程的不稳定。平方根UKF（SRUKF）能够有效地解决舍入误差引起的不稳定问题[11?12]，文献[13]利用SRUKF对涡扇发动机进行故障诊断，实验结果表明SRUKF的估计误差小于EKF算法和UKF算法。但是，当系统模型的不确定性较大或者系统出现突变故障时，普通的SRUKF对故障参数的估计精度不高，甚至可能出现滤波失效。文献[14]提出了带多重渐消因子的强跟踪滤波算法，其通过在预测误差方差阵中引入渐消因子，增强滤波算法对模型存在较大误差情况下的鲁棒性。文献[15]将强跟踪滤波应用于电路参数跟踪问题，实时诊断电路的元件故障。文献[16]提出强跟踪UKF（STUKF）算法，但是与普通UKF相似，STUKF存在着滤波不稳定问题。

文献[14]提出的强跟踪滤波算法在求得渐消因子时，需要计算状态方程和量测方程的一阶偏导矩阵，但是SRUKF在本质上属于非偏导矩阵计算的滤波算法，为此，本文推导出适用于SRUKF的多重渐消因子计算公式，使其适应SRUKF的本质特性，提出带多重渐消因子的强跟踪SRUKF（MST?SRUKF），并通过实验证明了MST?SRUKF方法的有效性。

1 SRUKF多重渐消因子计算

式中：[λk]表示多重渐消因子矩阵；[λik≥1]为第i个状态变量对应的渐消因子； [αi≥1]为第i个渐消因子的比例系数，如果某个状态变量对应的状态方程的误差较大，则选择一个较大的值，以增强滤波算法对该状态变量的强跟踪程度。

上面计算多重渐消因子公式需要计算状态方程和量测方程的偏导矩阵。而SRUKF算法本质上为不需要计算偏导矩阵的滤波算法，为了保证多重渐消因子强跟踪SRUKF的这一特点，下面推导SRUKF中基于非偏导矩阵计算的渐消因子计算公式。

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[关键词]参考点 故障诊断 超程报警

中图分类号：TM725 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2016）01-0002-01

一、 数控机床返回参考点的过程

在数控系统中，机床参考点是指为建立机床坐标系而在机床上专门设置的固定点。机床参考点与机床原点的相对位置是固定的，在机床出厂前由机床制造厂家经精密测量确定，并通过机床参数予以设置。机床执行返回参考点的运动是建立坐标系的唯一方法，即在任何情况下，通过进行返回参考点运动，都可以使机床坐标轴运动到参考点并定位，系统自动以参考点为基准建立机床坐标系。

机床返回参考点的移动速度和过程用图1来表示：

二、数控机床返回参考点具体故障情况

1：轴回零时不减速并伴有超程报警

产生故障可能原因：减速开关损坏；I/O接口板或输入模块损

具体诊断步骤：在FANUC数控系统中，减速开关的地址有固定的X地址，即X9.0-X9.3（*DEC1-DEC4，第一到第四轴返回参考点减速信号），通过PMC诊断地址画面，观察X9.0-X9.3位的变化。正常情况下，PMC诊断地址状态为：“1”（撞块开始压上减速开关前）“0”（已压上减速开关）“1”（脱开减速开关），若信号无变化，说明减速开关信号未输入，现场检查减速开关、I/O接口板及输入模块减速开关接入点。

2：能返回参考点，但有偏差

参考点有偏差有两种情况，一是参考点位置存在一个栅格的系统性偏差，二是存在随机偏差。

（1）系统性偏差

产生故障原因：由于档块偏移，在减速开关从“0”到“1”变化瞬间，正好存在一个临界状态，编码器一转信号刚过，必须等第二个一转脉冲产生才能回参考点，这样，参考点的位置就产生了一个栅格偏差。若滚珠丝杠和伺服电动机直联，则一个栅格偏差就是一个螺距。

具体诊断步骤：借助诊断号302（参考点偏移）显示的数据，微调减速挡块的安装位置，使显示数据等于参考计数器容量（参数1821）设定值的一半。

（2）随机性偏差

每次进行返回参考点操作后偏移的距离不等，数控车床采用增量回零的方式，X轴每次回零后均产生随机误差，每次开机后都需要采用刀补校正工件零点，在不关机的情况下，加工尺寸准确。

具体诊断步骤：从检查，有关干扰，编码器电源电压低，编码器故障及机械连接松动等因素均排除。最后怀疑参考计数器容量设置有误，依据为回零时，当减速开关信号由“0”变为“1”后，系统找到增量编码器发出的一转脉冲，轴再移动一个栅格偏移量后停止，该停止点为参考点。因为栅格信号是由系统中的参考计数器产生的，当参考计数器容量设置错误，栅格信号输出就没有规律，从而造成每次回零产生随机性偏差。

基于上述考虑，做出以下判断：

1） 检查参数1821，记录当前参考计数器容量设置值为4000；

2） 查阅有关机床机械结构说明资料，X轴丝杠螺距俄日10mm，X轴伺服电动机与滚珠丝杠通过联轴器相连；

3） 位置半闭环控制，系统检测单位为1um，则参考计数器容量=栅格间隔（电机一转工作台移动量）/检测单位=10mm/1um=10000

即，参数1821应设置为10000。由此表明，原来参数1821设置错误，导致故障产生。重新设置后，X轴回零正常。

三、总结

数控机床在使用的过程中，总是避免不了进行返回参考点的操作，所以一旦