周期函数范文

导语：如何才能写好一篇周期函数，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

关键词 重复出现；周期函数；定义；周期求解

一、周期函数的引入

众所周知，世界上的万事万物都在不停地运动、变化，其中又有很多事物都按照一定规律运动、变化。“离离原上草，一岁一枯荣”，即描写了因地球的自转、公转而引起的寒暑易节重复出现的规律。与此类似，有些函数也有这种现象，起函数值按照一定规律不断重复出现，如函数y=sinx、y=cosx等。周期函数就是研究这种函数按照一定规律不断重复出现的。

二、周期函数定义剖析

人教版高中教材对周期函数的定义是：一般地，对于函数y=f（x），如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把这个函数y=f（x）叫做周期函数，不为0的常数T叫做这个函数的周期。

（1）定义中的“每一个x”即函数定义域内的所有x都有f（x+T）=f（x）成立才行。这里只要有一个x不能使该关系成立，则T就不是f（x）的周期。如函数y=sinx（x≠0），由于f（2π）=0， f（0）没有意义，f（2π+0）≠f（0），T=2π就不是函数y=sinx（x≠0）的周期。事实上，由于f（0）没有意义，所以就不存在这样的常数T≠0，使得f（0+T）=f（0）成立，所以函数y=sinx（x≠0）就不是周期函数。

（2）关系式f（x+T）=f（x）隐含这样一个事实：若x是f（x）定义域内的任一个值，则x+T一定是该定义域中的一个值，同时（x+T）+T还是该定义域中的一个值。以次类推，x+nT是定义域中的一个值……，所以周期函数的定义域一定是“无限的”，象函数y=sinx，x∈（-4π，4π）就不是周期函数。

（3）周期函数的定义域是“无限的”，不是说其定义域一定是一切实数，只是说其定义域不能受某一数“限制”。有些周期函数的定义域就是无数个区间的并，如y=tgx的定义域就不是一切实数；又有些周期函数的定义域为无数个零点，如y=的定义域为x=kπ（k∈Z）。

（4）若有f（x+T）=f（x），用x-T代换x 得f（x）= f（x-T），用用x-T代换x 得f[（x+T）+T]=f（x）f（x+T）=f（x）成立，即f（x+2T）=f（x）；同理还可得f（x+3T）=f（x），以次类推，并依定义可知：若f（x）的周期为T，则-2T，-T，T，2T，3T，…，nT，…全部是f（x）的周期，即周期函数的周期应为无数多个，如y=sinx的周期有：…，-4π，-2π，2π，4π，6π，…

（5）在周期函数f（x）的无数个周期中，若有最小的正数，则称该周期为最小正周期。我们通常所指的周期为最小正周期。但有些周期函数就没有最小正周期，如f（x）=sin2x+cos2x，因为对于任意不为0的常数T，都有f（x+T）=f（x）=1，所以该函数没有最小正周期。

篇2

[关键词]周期函数 周期性判别法 最小正数

一、周期函数的基本概念

函数是高等数学的研究对象，也是学好微积分的重要基础。函数的基本特性主要包括五种，一是函数的单值性与多值性，二是奇（偶）性，三是单调性，四是有界性，五是周期性。现行高等数学教材中，很少甚至没有对函数周期性的判别展开研讨。为了较为详细地研讨函数周期性的判别，我们首先必须明确什么叫做周期函数？怎样求出周期函数的周期？然后再结合实例进一步讨论函数周期性的几个判定方法。

定义：设函数y=f（x），如果有一正数ι存在，对属于定义域的任意x，x+ι，x-ι总有等式：

f（x）=f（±ι） … （1）

成立，则称f（x）为周期函数。

等式（1）要是成立，容易推知，不论x是属于定义域的什么值，x+kι也都属于定义域，且有f（x）=f（x±ι）=f[（x+ι） ±ι]=f（x±2ι）

=…=f（x±kι）

其中k为任意整数。可见满足（1）式的正数ι有无穷多个，在这无穷多个ι中的一个最小的正数T，就称为周期函数y=f（x）的周期。例如，正弦函数y=sinx是周期为2π的周期函数，因为sin（2π+x）=sinx；正切函数y=tanx是周期为π的周期函数，因为tan（π+x）=tanx。又例如，函数f（x）=sin2x是周期为π的周期函数，因为

。

二、函数周期性的判别法

定理1：若f（x）是周期为T的周期函数，则f（ax+b）是周期为T/a的周期函数，其中a与b为常数且a>0。

证：根据周期函数的定义f（x+T）=f（x），只要证明等式

成立就可以了。

因此f（ax）是周期为T/a的周期函数。

例1.求函数f（x）=sin4x+cos4x的最小周期。

解：

因为余弦函数cosx是周期为2π的周期函数，由定理1可知函数f（x）的最小周期为

T=2π/4=π/2。

在电子技术中，最为常见的正弦函数f（t）=Asin（ωt+ ）是周期为2π/ω的周期函数，其中A，ω， 为常数且ω≠0。

定理2：设f1（x）与f2（x）设是定义在同一数集上且周期分别为T1与T2（T1与T2是可通约的）的两个周期函数，则

（1）两函数之和f1（x）±f2（x）也是周期函数，周期为T是T1与T2的最小公倍数。

（2）两函数之积f1（x）・f2（x）也是周期函数，周期为T是T1与T2的最小公倍数。

证（1）：因为T1与T2是可通约的，即T1/T2=m/n，于是有nT1=Mt2=T，其中n，m∈N且互质，设F（x）=f1（x）±f1（x），则

故两个函数之和f1（x）±f2（x）是一个周期为T的周期函数，且T是T1与T2的最小公倍数，记作T=[T1，T2]。

故两个函数之积f1（x）・f2（x）是一个周期为T的周期函数，且T是T1与T2的最小公倍数。

定理3：设f（x）在任一有限区间上都是有界的，且存在一点列{xn}，使 ，则f（x）不是周期函数。

定理4：若f（x）≠a（a为常数），且 ，则f（x）不是周期函数。

如函数 且 不是周期函数。

判定函数f（x）不是周期函数还有其它一些方法，这里不再一一举例。

例2.判别下列函数的周期性并求其周期。

（1）

（2）

解（1）：由定义可知，正切函数tanx的周期是π，由定理1可知函数 的周期是 ；函数

的周期是 。由定理2可知，函数

也是周期函数，且周期T是4π与6π的最小公倍数12π。即T=[4π，6π]。

解（2）：由定义可知，函数 与函数

都是最小周期为2π的周期函数，而

由定理1可知这两函数之积的最小周期是T=2π/2=π。

例3.试证f（x）=sinx2不是周期函数。

证明：用反证法证明。假设f（x）=sinx2是周期函数，则应存在与x无关的正数T，使下式成立：sin（x+T）2=sinx2。则当x=0时，有sinT2=0，

得到

（k，n均为正整数），因为k/n是有理数，而 不是有理数，这与假设矛盾，所以f（x）=sinx2不是周期函数。

三、结束语

要判别一个函数是不是周期函数，关键在于要找到不为零的常数T。现将求解或判别已给函数周期性的方法归之如下：

一是根据周期函数的定义判别，即若存在不为零的常数T，使f（x）=f（x+T）成立，则f（x）就是周期函数，而且最小正数T 就是它的周期。

二是根据定理1来判别，即若....的周期为T，则f（ax+b） 的周期为π/|a| （a，b均为常数且a≠0）。

三是根据定理2来判别，即若f1（x）与f2（x）的周期分别为T1与T2（T1≠T2），则和的函数f（x）=f1（x）±f2（x）或积的函数 的周期T是T1与T2的最小公倍数。

四是根据定理3和定理4来判别。

我们看到，具有相同周期T的两个函数f1（x）与f2（x），它们之和f1（x）±f2（x）或之积f1（x）・f2（x）仍以T为周期的周期函数，但当T是两个已给周期函数的最小周期时，它们的和或积其T可能不再是新周期函数的最小周期了。例如f1（x）=3sinx+2，f2（x）=2-3sinx，它们都是最小周期为2π的周期函数，但其和f1（x）+f2（x）=4却没有最小周期。又例如

也都是最小周期为2π的周期函数，但其积

根据定理1，它的最小周期是π。

值得注意的是，并非每一个周期函数都有最小周期。例如，任何实数都是f（x）=C（C为常数）的周期，所以它没有最小周期。另外，在几何上，周期函数的图形是关于y轴及其与之平行的另一直线对称的。

[参考文献]

[1]朱有清.高等数学复习[M].上海：上海交大出版社，1986： 20―22.

[2]许康.高等数学学习指导[M]. 长沙：湖南科技出版社，1981：21―22.

篇3

一、 奇偶性、对称性与周期性

定理1 ： 设y=

f (x)是定义在

R上的奇函数，它的图象关于直线x=a对称（a为不等于零的常数）.那么

（Ⅰ）y=f (x)是周期函数；

（Ⅱ）若y=f (x)的图象在

x=-a和

x=a之间无对称轴，则y=f (x)的最小正周期T=4|a|.

证明 ：（Ⅰ）因y=f (x)是定义在

R上的奇函数，所以对于任意的x∈

R都有

f (-x)=-f (x).所以f (4a+x)=f ［2a-(-2a-x)］

=f (-2a-x)=

-f (2a+x)=-f ［2a-(-x)］=-f (-x)=f (x).

即

y=f (x)是以4a为一个周期的周期函数.

（Ⅱ）假设T0是

y=f (x)的最小正周期，且T0

1° 当a>0时，由T0

T0

所以-a

因为T0是y=f (x)的最小正周期，

所以-T0也是y=f (x)的一个周期.

由f (-T0+x)=f (x),f (2a-x)=f (x),

得f (-T0+x)=f (2a-x).

所以x=2a-T0 2是y=f （x）图象的一条对称轴，与已知

y=

f（x）图象在x=-a和x=a之间无对称轴矛盾.

2° 当a

由f (T0+x)=f (x)，f (2a-x)=f (x)，

得f (T0+x)=f (2a-x).

所以x=2a+T0 2是

y=f (x)图象的一条对称轴，与已知

y=f (x)图象在

x=-a和x=a之间无对称轴矛盾.

综合1°、2°可知，

y=f (x)的最小正周期T=4|a|.

定理2 ：设

y=f (x)是定义在

R上的偶函数，它的图象关于直线x=a对称（a是不等于零的常数）.那么

（Ⅰ）y=f（x）是周期函数；

（Ⅱ）若y=f（x）的图象在x=0和x=a之间无对称轴，则y=f（x）的最小正周期T=2|a|.

定理3 ：设y=f（x）是定义在

R上的函数，f（a+x）=f（a-x）和f（b+x）=f（b-x）

对于x∈

R恒成立（a、b为常数，且b>a）.那么

（Ⅰ）y=f (x)是周期函数；

（Ⅱ）若y=f (x)的图象在x=a和x=b之间无对称轴，则y=f (x)的最小正周期T=2（b-a）.

注:这三个定理证法类似，故只证定理1.

二、奇偶性、周期性与对称性

定理4 ：如果y=f (x)是定义在

R上的偶函数，且是以a为最小正周期的周期函数，那么

y=f (x)图象的所有对称轴方程是

x=ka 2(k∈

Z).

证明 ：因为y=f (x)是定义在

R上的偶函数.

所以f (-x)=f (x).

又y=f x)是以a为最小正周期的周期函数.

所以ka (k∈Z且k≠0)也是

y=f (x)的周期.

有f (ka+x)=f (x),f (ka+x)=f (-x).

则x=ka 2是y=f (x)图象的对称轴方程，

又x=0也是y=f (x)图象的对称轴方程,

所以x=ka 2(k∈

Z)是

y=f (x)图象的对称轴方程.

假设y=f (x)图象在x=0和

x=a 2之间还有一条对称轴

x=x0且0

那么T=2(a 2-x0)=a-2x0,是y=f (x)的一个周期.

而0

a是y=f (x)的最小正周期相矛盾.

所以y=f (x)图象的所有对称轴的方程是

x=ka 2(k∈

Z).

定理5 ：设

y=f (x)

是定义在

R上的奇函数，且是以a为最小正周期的周期函数.如果

y=f (x)的图象关于直线

x=a 4对称，那么

y=f (x)图象的所有对称轴方程是

x=ka 2

+a 2(k∈

Z).

注: 定理 5与定理4的证法类似故从略.

三、奇偶性、对称性、周期性的应用

例1 （1996年高考题）设f（x）是（

-∞,+∞）上的奇函数，

f (x+2)=-f (x).当0≤x≤1时， f（x）=x.则f（7.5）等于（ ）

(A) 0.5 (B) -0.5(C) 1.5(D) -1.5

分析 ：y=f (x)的对称轴是x=1，根据定理1可知

y=f (x)是以4为周期的周期函数，不难作出选择(B).

例2 （2001年高考题）设f (x)是定义在

R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，证明f(x)是周期函数.

分析 ：这是2001年高考文理科压轴题，主要是考查函数的概念、图象，函数的奇偶性、对称性和周期性的相互关系.解题的突破口是找出满足该函数的一个周期.根据定理2，不难找出它的一个周期是2 .此时，由题设条件和周期函数的定义，就很容易证明了.

例3 函数y=f (x)定义在

R上，对于任何x∈

R都有

f (2+x)=f (2-x)和f (7+x)=f (7-x)成立.若

x=0是方程

f (x)=0的一个根，求方程f (x)=0在闭区间［-1000,1000］上至少有几个根.

解 :根据定理3，

f (10+x)= ［14-(4-x)］=f (4-x)=f (x)

所以，y=f (x)是以10为周期的周期函数.

由

f (10+x)=f (x)

得f (10)=f (0)=0.又

f (4)=f (0)=0.

所以f (x)=0在一个周期内至少有两个根.

所以，方程f (x)=0在闭区间［-1000,1000］上至少有

［(1000+1000)÷10］×2+1=401

（个根）.

例4 （1991年高考题）函数

y=sin(2x+5π 2)的图象的一条对称轴方程是( )

(A) x=-π 2 (B)

x=-π 4

(C) x=π 6〖DW〗(D)

x=5π 4

解 :根据定理5，函数的所有对称轴方程是：

2x+5π 2

=kπ+π 2,

篇4

【关键词】函数奇偶性;周期性;图象的对称性;关系分析

在函数的学习中，其奇偶性、周期性及图象的对称性是非常重要的性质，解题中有着广泛的应用。笔者在此想从函数的奇偶性、周期性定义出发进行类比、联想，再结合函数性质探讨它们之间及图象的对称性之间的相互联系及应用。

（一）首先奇偶函数及周期函数的定义及定义式：f（-x）=f（x）;f（-x）=-f（x）;f（x+T）=f（x）函数的奇偶性定义中涉及两个方面关系，f（-x）与f（x），f（-x）与-f（x）。有理由问一下周期函数定义中若考虑两方面关系又会怎样呢？即有问题：f（x+T）=-f（x）时，f（x）的周期性怎样呢？不难证明，此时2T为f（x）的周期;其次，再对比f（-x）.f（x）。把f（x+T）=f（x）与f（x+T）=-f（x）中f（x）用f（-x）代换，则又将有什么结论呢？同样不难证明：若f（x+T）=f（-x），则f（x）为偶函数时，T为f（x）的周期;f（x）为奇函数时，2T为f（x）的周期.若f（x+T）=-f（-x），则f（x）为偶函数时，2T为f（x）的周期;f（x）为奇函数时，T为f（x）的周期。但事实上此时f（x）不一定是偶函数或奇函数，那么单从f（x+T）=f（-x）或f（x+T）=-f（-x）就不一定：若f（x+T）=f（-x）能推出f（x）的周期，可以证明：若f（x+T）=f（-x），则f（x+T）为偶函数;若f（x+T）=-f（-x），则f（x+T）为奇函数。

至此，小结前面结果即有下面结论。

定理1：若f（x+T）=f（x），则f（x）是周期函数，且T为f（x）的周期;若f（x+T）=-f（x），则f（x）是周期函数，且2T为f（x）的周期;定理2：若f（x+T）=f（-x），则f（x）为偶函数时，T为f（x）的周期;f（x）为奇函数时，2T为f（x）的周期.定理3：若f（x+T）=-f（-x），则f（x）为偶函数时，2T为f（x）的周期;f（x）为奇函数时，T为f（x）的周期。定理4：若f（x+T）=f（-x），则对定义域内任意x都成立;若f（x+T）=-f（-x），则f（x+T）为奇函数。（以上定理中函数定义域假定为R，同时等式对定义域内任意x都成立，且T≠0）

把定理2，3结合起来，即有f（x+T）为偶函数且f（x）为偶函数，则f（x）是周期函数，且T为f（x）的周期;f（x+T）为奇函数且f（x）为奇函数，则f（x）是周期函数，且2T为f（x）的周期;从而可得下列定理;定理5：给出三个判断：（1）f（x+T）为偶函数。（2）f（x）为偶函数，（3）f（x）是周期函数，且T为f（x）的周期;则以其中任两个为条件，第三个为结论可得三个真命题。定理6：给出三个判断：（1） f（x+T）为奇函数。（2）f（x）为奇函数，（3）f（x）是周期函数，且2T为f（x）的周期;则以其中任两个为条件，第三个为结论可得三个真命题。

（二）另一方面，从奇函数与偶函数函数图象的对称性方面联想f（x+T）的奇偶性与f（x）函数图象的对称性又有：定理7：f（x+T）为偶函数。f（x）的图象关于直线x=T对称;f（x+ T） 为奇函数。f（x） 的图象关于点（ T ，0）对称。

至此，再结合对称性与奇偶性的等价关系及定理4.5 又有定理8：给出三个判断：（1） f（x） 图象关于直线x=0 对称。（2） f（x） 的图象关于直线x= T对称。（3）f（x） 是周期函数，且T为f（x）的周期;则以其中任两个为条件，第三个为结论可得三个真命题。定理9：给出三个判断：（1） f（x） 图象关于点（0，0）对称（2） f（x） 的图象关于点（ T ，0） 对称（3）f（x） 是周期函数，且2T为f（x）的周期;则以其中任两个为条件，第三个为结论可得三个真命题。推论1： f（x） 为偶函数且图象关于直线x= T 对称，则f（x） 是周期函数，且T为f（x）的周期;推论2： f（x） 为奇函数且图象关于直线x= T 对称，则f（x） 是周期函数，且2T为f（x）的周期。

（三）最后考虑对称的一般性

f（x） 的图象关于直线x= a 对称且关于直线x= b 对称。同样可得到。定理10：给出三个判断：（1） f（x） 图象关于直线x=a 对称。（2） f（x） 的图象关于直线x=b对称。（3）f（x） 是周期函数，且2（a-b）为f（x）的周期;则以其中任两个为条件，第三个为结论可得三个真命题。定理11：给出三个判断：（1） f（x） 图象关于点（a，0）对称（2） f（x） 的图象关于点（b，0） 对称（3）f（x）是周期函数，且4（b-a）为f（x）的周期;则以其中任两个为条件，第三个为结论可得三个真命题。

以上结论从一定成度上反映了函数的奇偶性，周期性与图象的对称性的内在联系，利用这些结论不难解决一些相关问题。

总之，函数的奇偶性周期性及其图象的有机结合在解一些综合的函数问题是非常有用的，具备这些知识，在作题时会起到事半功倍的作用。

【参考文献】

[1]刘伟佳.关于函数奇偶性的一点注记――兼对一道习题的建议[J].数学教学通讯，2013年05期

[2]段小龙.多项式函数奇偶性定理的证明和应用[J].中学数学，2014年12期

篇5

1. 已知[f（x）]是奇函数，[g（x）]是偶函数，且[f（-1）+g（1）=2]，[f（1）+g（-1）=4]，则[g（1）]等于（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

2. 已知[f（x）]是定义在R上的奇函数，当[x≥0]时，[f（x）=3x+m]（[m]为常数），则[f（-log35）]的值为（ ）

A. 4 B. -4 C. 6 D. -6

3. 已知[f（x）]是定义在R上的奇函数，若对于[x≥0]，都有[f（x+2）=f（x）]，且当[x∈[0，2]]时，[f（x）=ex-1，][f（2013）+f（-2014）=]（ ）

A. [1-e] B. [e-1]

C. [-1-e] D. [e+1]

4. 已知函数[f（x）]的定义域为[（3-2a，a+1）]，且[f（x+1）]为偶函数，则实数[a]的值可以是（ ）

A. [23] B. 2 C. 4 D. 6

5. 已知奇函数[f（x）=3x+a（x≥0），g（x）（x

A. -6 B. -8 C. 4 D. 6

6. 定义运算[ab=a2-b2，][ab=][（a-b）2]，则[f（x）=2x（x2）-2]为（ ）

A. 奇函数 B. 偶函数

C. 常函数 D. 非奇非偶函数

7. 已知函数[f（x）=12（ex-e-x）]，则[f（x）]的图象（ ）

A. 关于原点对称 B. 关于[y]轴对称

C. 关于[x]轴对称 D. 关于直线[y=x]对称

8. 函数[f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1-x），]则[f（x）-g（x）]是（ ）

A. 奇函数

B. 偶函数

C. 既不是奇函数又不是偶函数

D. 既是奇函数又是偶函数

9. 已知定义在[R]上的函数[f（x）]，对任意[x∈R]，都有[f（x+6）=f（x）+f（3）]成立，若函数[y=f（x+1）]的图象关于直线[x=-1]对称，则[f（2013）=]（ ）

A. 0 B. 2013 C. 3 D. -2013

10. 已知定义在[R]上的函数[y=f（x）]满足以下三个条件：①对于任意的[x∈R]，都有[f（x+4）=f（x）]；②对于任意的[x1，x2∈R]且[0≤x1

A. [f（4.5）

B. [f（7）

C. [f（7）

D. [f（4.5）

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 若函数[fx=ax2+bx+3a+b][（a-1≤x≤][2a）]是偶函数，则点[a，b]的坐标是 .

12. 已知函数[f（x）]是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且[x∈（-32，0）]时，[f（x）=] [log2（-3x+1）]，则[f（2014）]= .

13. 定义在[[-2，2]]上的奇函数[f（x）]在[（0，2]]上的图象如图所示，则不等式[f（x）>x]的解集为 .

14. 给出定义：若[m-12

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）设[a]为实数，函数[f（x）=x2+|x-a|][+1]，[x∈R].

（1）讨论[f（x）]的奇偶性；

（2）求[f（x）]的最小值.

16. （12分）已知函数[f（x）=-x2+2x，x>0，0，x=0，x2+mx，x

（1）求实数[m]的值；

（2）若函数[f（x）]在区间[[-1，a-2]]上单调递增，求实数[a]的取值范围.

17. （10分）已知函数[f（x）]的定义域是（[0，+∞）]，且满足[f（xy）=f（x）+f（y），f（12）=1]，对于[0

（1）求[f（1）]；

（2）解不等式[f（-x）+f（3-x）]≥-2.

18. （12分）设函数[f（x）=ax-（k-1）a-x（a>0][且a≠1）]是定义域为[R]的奇函数.

（1）求[k]值；

篇6

【关键词】昌吉州；防控；鼠疫

【中图分类号】R378 【文献标识码】A 【文章编号】1004-7484（2013）03-0757-01

昌吉州是新疆维吾尔自治区历史鼠疫流行较严重的地州之一，解放前共发生人间鼠疫三起，其中：呼图壁县2起，分别为1914年，死亡9人；1918年，亡37人。玛纳斯县1起，为1938年，死亡80人。解放后我州积极开展了人、动物间鼠疫防治工作，系统地开展监测及预警预报工作，取得显著成效，保障了公众健康与生命安全。本文探讨新疆昌吉州灰旱獭鼠疫防控及其对策。

1.鼠疫防治

1.1 鼠疫应急演练

呼图壁县、玛纳斯县和昌吉市3个监测县每年均开展鼠疫防控应急演练，提高了专业人员应急反应能力和实战技能，较好地锻炼了队伍，使其在鼠疫防治中发挥积极作用。10年间，参加演练人数达367人次。

1.2 认真开展培训，提高专业人员专业技能

组织县、乡、村、“三级监测网”相关人员、疫源县医疗机构的急诊、门诊、传染科医师，乡镇卫生院院长、防疫专干及村医等专业技术人员参加的专业知识和技术培训，10年共培训3877人次，提高医疗卫生专业人员对鼠疫的诊断和应急处置能力。

1.3 积极开展鼠疫防治知识宣传，落实“三报三不”制度

1.2.1 在鼠疫流行季节，定期在辖区内组织开展以“三报三不”为主要内容的鼠疫防治知识的宣传教育，10年共发放鼠疫防治宣传单、宣传挂历134355份，同时在监测点周围、交通要道刷写永久性墙体标语和设置宣传牌、张贴宣传画、宣传标语等，对疫区游客和群众进行警示性宣传教育，增强了疫区群众防病与自我保护意识。

2.北天山灰旱獭鼠疫疫源地监测：

该疫源地我州设立3个鼠疫固定监测点，分别是呼图壁县、玛纳斯县、昌吉市，其中呼图壁县为国家级鼠疫监测点，玛纳斯县、昌吉市为新疆自治区鼠疫监测点。

10年间，3个鼠疫监测县用鼠疫间接血凝试验检测灰旱獭血清10060份，检出阳性27份，阳性率为0.27%，其中呼图壁县和玛纳斯县阳性率分别为0.77%和0.08%，以2007年呼图壁县检出率较高，达4.04%；见表3。检测牧犬血清753份，结果均为阴性，未检出鼠疫F1抗体。

3 昌吉州灰旱獭鼠疫疫源地今后防控工作重点

监测结果显示，2001～2010年昌吉州山地灰旱獭鼠疫疫源地病原学和血清学均有检出阳性材料，表明动物间存在流行迹象，虽然未波及到人间，必须引起高度重视，要继续加强监测，积极做好防控工作，密切注视动物间疫情动态，防止动物鼠疫波及人间。

3.1 积极开展灭獭拔源工作

10年间，3个鼠疫监测县宿主动物密度保持较高状态，每年灰旱獭密度（定点法）保持在0.38～3.2只/hm2，平均密度为2.42只/hm2，远高于远超过“灭源达标”0.06～0.1只/hm2，而昌吉市灰旱獭密度每年均保持在很高的水平，1.6～3.2只/hm2，这就为动物间鼠疫流行提供宿主的条件，对旱獭密度高于1只/hm2地区，建议开展灭獭工作，降低獭密度，以消灭传染源，巩固防治成果。

3.2 加强监测，密切注视动物间疫情

进一步加强鼠疫病原学和血清学监测，尤其是自毙獭的病原检测，同时对高抗动物牧犬的血清学检测，以及时发现区域间的鼠疫疫情动态，尽早消灭在萌芽状态，防止动物间鼠疫波及人间。

3.3 加强宣传，提高人群自我防病意识：

随着昌吉州的经济不断发展，旅游业也获得快速发发展，每年游客也在不断增加，昌吉州南山是我州旅游景点，这就为鼠疫防控工作带来新的课题与挑战，防控工作任重而道远，因此，应由政府牵头，多部门参与，积极地在人群间开展鼠疫防治知识的宣传教育工作，提高群众及游客对鼠疫防治的知晓率，防止人间鼠疫的发生与流行。

参考文献：

[1] 中华人民共和国卫生部疾病控制司 鼠疫血清学检验 鼠疫防治手册 2001年10月，147-151

[2] 中华人民共和国卫生部疾病控制司 鼠疫细菌检验 鼠疫防治手册 2001年10月，127-135

作者简介：

白克重（1955.10.17），男，地方病副主任医师，新疆昌吉人，研究方向：地方病。

篇7

关键词：信号；时域；频域；抽样；周期性；Matlab仿真

0 引言

现实中的信号非常复杂，连续信号经过"抽样"，再对得到的抽样信号量化、编码变成数字信号。信号的抽样是对信号的初步处理，同时也是对具体信号性质正确分析的前提和基础。信号的"抽样[1]"是抽样定理的基础。正确理解和应用信号的时域和频域"抽样"过程，并且理清并学会应用他们之间的复杂的周期关系，对今后的学习和研究大有裨益。

1 抽样过程

本文所要讨论的问题都是在"抽样"的基础上进行的，首先给出下面"抽样"的定义：

"抽样"就是利用抽样脉冲序列p（t）从连续信号f（t）中"抽取"一系列的离散样值，这种离散信号通常称为"抽样信号"，并且以fs（t）表示。

2 连续信号的时域抽样[2，3]

抽样脉冲序列p（t）的傅里叶变换为p（w）=F[p（t）]；

抽样后信号fs（t）的傅里叶变换为Fs（w）=F[fs（t）]

本节我们将给出连续信号的时域抽样的具体过程。如下：

为了简化过程采用均匀抽样，并且抽样周期为Ts，对f（t）的时域抽样即为：

fs（t）=f（t）p（t）

由于p（t）是周期信号，根据周期信号傅里叶变换可以得到它的傅里叶变换为：

P？棕=2π■P■？啄？棕-n？棕■

其中P■=■■pte■dt

由频域卷积定理得到

F■w=■P■Fw-nw■ （1）

从（1）式中我们可以发现：信号在时域被抽样后，它的频谱 F■w是连续信号频谱Fw的形状以抽样频率w■为间隔周期地重复而得到，在重复的过程中幅度被p（t）的傅里叶系数pn所加权.因为pn只是n的函数，所以Fw在重复过程中不会使形状发生变化。

3 单脉冲信号的频域抽样

由于单脉冲信号的频域是连续函数，为了与前面的连续信号的时域抽样进行对照，在这一节我们给出单脉冲信号的频域抽样的过程。

假设有一连续频谱函数F？棕，它对应的时间函数为Ft。如果F？棕在频域中被间隔为？棕1的周期序列？啄■？棕抽样.同时域抽样相同，F？棕的抽样也满足

F1？棕=F？棕？啄■？棕

周期序列？啄■？棕的逆变换为：

. F■[？啄■？棕]=■■？啄t-nT■=■？啄■t

再由时域卷积定理得到f1t=ft*■■？啄t-nT■，这样

f1t=■■？啄t-nT■

上式表明如果ft单脉冲信号的频谱被间隔为？棕■的冲激序列抽样，则在时域中相当于ft以T■为周期进行周期延拓，信号强度为原来信号的■倍。

4 离散时间信号的频域采样[4，5]

序列 的傅里叶正变换为：Xe■=■xne■

现在以■为采样间隔，对Xe■进行等间隔采样，得到：■■k=Xe■|■=■xne■

由上得知■■k是以N为周期的频域函数。

根据离散傅里叶级数理论，■■k必然是一个周期序列■■n的DFS系数。所以■■k的IDFS为：

■■n=IDFS[■■k]=■xm■■e■

由于■■e■=1，m=n+iN，i为整数0，m为其他值，所以

■■n=IDFS[■■K]=■xn+iN（2）

由（2）式说明频域采样■■k所对应的时域周期序列■■n是原序列x（n）的周期延拓序列，并且延拓周期为N。

5 结论

本文重点讨论了时域抽样和频域抽样的详细过程和信号的时域和频域函数采样后，所对应的频域函数和时域函数与原信号的周期关系。最终我们得到了对模拟信号进行时域等间隔采样，频域采样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓函数。对连续频谱函数在频域等间隔采样，则采样得到的频谱对应的时域序列必然是原序列的周期延拓序列的结论。类似的结论对离散时间信号也有同样适用。综合以上，得到的最终结论为：时域采样，频域周期延拓，频域采样，时域周期延拓。

参考文献：

[1]郑君里.信号与系统[M].北京北京：高等教育出版社.2011.

[2]贾中云.李秀梅，等.数字信号处理[J].中采样定理的探索.中国电力教育.2012.

[3]验证时域采样定理和频域采样定理[J].西京学院课程设计报告.2012.

篇8

题目：设函数f（x）= sin3x+ |sin3x|，则f（x）为 （ ）

A周期函数，最小正周期为 ？仔/3。

B周期函数，最小正周期为2？仔/3。

C周期函数，最小正周期为2？仔。

D非周期函数。

解法一：验证法

分析：由于本题为选择题，所以可将备选项代入验证求解。

解：f（x+？仔/3）= sin（3x+？仔）+ |sin（3x+？仔）|

= - sin3x+|sin3x|≠f（x）

排除A；

f（x+2？仔/3）= sin（3x+2？仔）+ |sin（3x+2？仔）|= sin3x+ |sin3x|= f（x）

2？仔/3为函数f（x）的周期

同理，可得2？仔也是函数f（x）的周期。

综上，可知函数f（x）的最小正周期为2？仔/3，故选B。

评注：采用验证法来解决这类问题，为我们节省了大量宝贵的时间，今后当遇到求解三角函数最小正周期的选择题，直接求解化简困难时，可采用这种方法。

解法二：转化法

分析：由于本题为含有绝对值的函数，故可去掉绝对值转化为分段函数求解。

解：

f（x）=2sin3x，2k？仔/3

函数f（x）的最小正周期T=2？仔/3，故选B。

解法三：最小公倍数法

分析：对于此类的正弦、余弦的和组成的三角函数式，可以先求出各个函数的最小正周期，然后求出所有最小正周期的最小公倍数即可。

解：设f1（x）= sin3x，f2（x）=|sin3x|

易知f1（x）是周期函数，且最小正周期T1=2？仔/3；f2（x）是周期函数，且最小正周期T2=？仔/3。由于2？仔/3和 ？仔/3的最小公倍数是2？仔/3，可知函数f（x）=sin3x+|sin3x|的最小正周期为2？仔/3，故选B。

解法四：图象法

分析：做出函数f（x） =sin3x+|sin3x|的图象，可由图象直观得出其最小正周期。

解：做出函数f（x） =sin3x+|sin3x|的图象，如右图，由图象可知其最小正周期T=2？仔/3，故选B。

■

评注：实现数与形转化的关键是准确做出函数的图象，将数的问题在图形中直观地表示出来。

篇9

关键词：数学教学 中学生 发展思维 探索

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2016）02-0100-02

函数是中学数学的重点内容，而抽象函数因其解析式的不具体而成为函数内容的难点之一，但因其又能很好地考查学生对函数概念的理解与抽象思维能力，因而在进几年的高考和各类竞赛中经常出现抽象函数方面的题目，本文就抽象函数的周期存在条件作一点探讨，从而得出一种简捷的求抽象函数周期的方法，以期能在这方面给大家一点启示。

定义：对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一值时，都有f（x+T）=f（x）成立，那么函数f（x）是周期函数，并且周期为T。

定理1.对于函数f（x），如果存在一个非零的常数a，使得当x取定义域内的每一值时，都有下列条件之一成立时，那么f（x）是周期函数，并且周期为2a，即：

条件1：f（x+a）= -f（x）

条件2：f（x+a）=f（x-a）

条件3：f（a+x）=f（a-x）且f（x）是偶函数

条件4：f（a+x）=

证明：①由条件1及已知，对函数f（x）定义域内的任意x都有f（x+a）= -f（x）

所以f[（x+a）+a]= -f（x+a） =f（x） 即f（x+2a）=f（x）

所以函数f（x）的一个周期为2a

②由条件2 及已知，对函数f（x）定上域内的任意x都有f（x+a）=f（x-a）

所以f[（x+a）+a]=f[（x+a）-a]=f（x） 即f（x+2a）=f（x）

所以函数f（x）的一个周期为2a

③由条件3及已知，对函数f（x）定义域内的任意x都有f（a+x）=f（a-x），且f（x）是偶数

所以f[a+（x+a）]=f[a-（x+a）]=f（-x）=f（x）

即f（x+2a）=f（x） 所以函数f（x）的一个周期为2a

④由4可知，对f（x）定义域内的任意x都有f（a+x）=

所以f（x+2a）=f[（a+x）+a]= =f （x）

即f（x+2a）=f（x） 所以函数f（x）的一个周期为2a

定理2.对于函数f（x），若存在一个非零常数a，使得当x取定义域内的每一值时都有下列条件之一成立时，函数f（x）是周期函数，并且周期为4a。即：

条件5：f（x+a）= -f（x-a）

条件6：f（a+x）= -f（a-x）且f（x）为偶函数

证明：⑤由条件5及已知

因为f（x+a）= -f（x-a）

所以f（x+2a）=f[（x+a）+a]= -f[（x+a）-a]= -f（x）

所以f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]= -f[（x+2a）= f（x）

所以函数f（x）的一个周期为4a

⑥由条件6及已知

因为f（a+x）= -f（a-x）且f（x）为偶函数

所以f（2a+x）=f[a+（a+x）]= - f[a-（a+x）]= -f（-x）= -f（x）

所以f（4a+x）=f[2a+（2a+x）]= - f（2a+x）= f（x）

所以函数f（x）的一个周期为4a

推论1.对于函数f（x），若存在两个非零常数a，b（a≠b）使得当x取定义域内的每一个值时，都有下列条件之一成立时，那么函数f（x）是以2（a-b）为周期的函数，即：

条件7：f（a+x）=f（a-x）且f（b+x）=f（b-x）

条件8：f（a+x）= -f（a-x）且f（b+x）= -f（b-x）

简证：⑦由条件7及已知

f[x+（a-b）]=f[a+（x-b）]=f[a-（x-b）]=f[b+（a-x）]=f[b-（a-x）]=f[x-（a-b）]

由定理1的条件2知，f（x）是以2（a-b）为周期的函数

⑧由条件8及已知

f[x+（a-b）=f[a+（x-b）]= -f[a-（x-b）]= -f[b+（a-x）=f[b-（a-x）]=f[x-（a-b）]

由定理1条件2知，f（x）是以2（a-b）为周期的函数

推论2对于函数f（x），若存在两个非零常数a，b（b≠a）使得当x取定义域内的每一值时，都有下列条件之一成立时，则f（x）是以4（a-b）为周期的函数，即：

条件9.f（a+x）=f（a-x）且f（b+x）= -f（b-x）

条件10.f（x+a）=f（x-a）且f（x+b）= -f（x-b）

间证：⑨由条件9及已知

f[x+（a-b）]=f[a+（x-b）=f[a-（x-b）]=f[b-（x-a）] Cf[b+（x-a）]= -f[x-（a-b）]

由定理2条件5知，f（x）是以4（a-b）为周期的函数

⑩由条件10及已知

f[x+（a-b）]=f[（x+a）-b]= -f[（x+a）+b]= -f[（x+b）-a]= -f[（x+b）-a]= -f[x-（a-b）]

由定理2条件5知，f（x）是以4（a-b）为周期的函数。

例1.设f（x）是R上的奇函数，且f（x+3）= -f（x）求f（2016）

解：由定理1的条件1知函数f（x）的周期

为T=2×3=6 所以有f（6k+x）=f（x） （k为非零整数）

又f（x）为R上的奇函数 所以f（0）=0

所以f（2016）=f（6×336）=f（0）=0

例2.设f（x）是实数集R为定义域的函数且满足：

f（x+10）=f（10-x） f（20-x）=-f（20+x）

则f（x）是（ ） （1992年全国高考中联赛题）

A.偶函数又是周期函数 B.偶函数不是周期函数

C.奇函数又是周期函数 D.奇函数不是周期函数

解：由推论2条件9可知，函数f（x）的周期为

T=4×（20-10）=40

又f（20-x）=-f（20+x）

所以f（-x）=f[20-（x+20）]=-f[20+（x+20）]=-f（40+x）=-f（x）

即：f（-x）=-f（x），所以函数f（x）是奇函数 故选（C）

例3：设f（x）是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意x1、x2：∈[0， ]都有f（x1+ x2）=f（x1）・f（x2）且f（1）=a>0

（1）、求f（ ）及f（ ）

（2）、证明f（x）是周期函数（2001年全国高考题）

解（1）（略）

（2）依题设y=f（x）关于直线x=1对称

由定义的条件3可知：f（1+x）=f（1-x）

用x-1代x得：f（x）=f[1-（x-1）]

故 f（x）=f（1+1-x） 即f（x）=f（2-x）， x∈R

由f（x）是偶函数知f（-x）= f（x） x∈R

f（-x）=f（2-x） x∈R

篇10

【关键词】函数 ； 图象 ； 性质

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2014）27-0284-01

函数y= （ac≠0）是经常遇到的一类函数，它的图象有什么特点，有哪些重要性质？下面就这个问题做一简单的探讨。

为了探讨方便起见，将函数y= （ac≠0）分离常数，即

y= + 。为了叙述方便起见，记y= （ac≠0）为函数（1）。

1.ad=bc时的图象和性质

1.1当ad=bc且b=d=0时的图象和性质

当ad=bc且b=d=0时，函数（1）可化简为y= （x≠0），它的图象是一条过点（0， ），与x轴平行且不包含点（0， ）的直线（图1）。

它有如下性质：

（1）定义域：{x∈R|x≠0}。

（2）值域：{ }。

（3）奇偶性：因为函数（1）的定义域是{x∈R|x≠0}，关于原点对称，且对于定义域内的任一自变量x都有f（-x）= =f（x），所以函数（1）是偶函数。

（4）周期性：因为对任意非零实数T，当x=-T时，函数（1）都有f（x+T）≠f（0）

而f（0）不存在，即存在x=-T，使f=（x+T）≠f（x）

所以，函数（1）不是周期函数。

（5）单调性：因为对于函数（1）定义域内的任意两个自变量x1，x2，当x1

1.2当ad-bc=0且bd≠0时的图像和性质

当ad-bc=0且bd≠0时，函数（1）可化简为y= （x≠- ），它的图象是一条过点（0， ），与x轴平行且不包含点（- ， ）的直线（图2）。

它有如下性质：

（1）定义域：{x∈R|x≠- }。

（2）值域：{ }。

（3）奇偶性：因为函数（1）的定义域是{x∈R|x≠- }，不关于原点对称， 所以函数（1）是非奇非偶函数。

（4）周期性：因为对任意非零实数T，当x=-T- 时，函数（1）都有f（x+T）=f（- ）

而f（- ）不存在，即存在x=-T- ，使f（x+T）≠f（x）

所以，函数（1）不是周期函数。

（5）单调性：因为对于函数（1）定义域内的任意两个自变量x1，x2，当x1

2.ad≠bc时的图象和性质

当ad≠bc时，把反比例函数y= 的图象向左或向右平移| |个单位，再向上或向下平移| |个单位，就得到函数（1）的图象，它是以点（- ， ）为对称中心，以直线y=±（x+ ）+ 为对称轴的双曲线（图3）。

它有如下性质：

（1）定义域：{x∈R|x≠- }。

（2）值域：当ab≠bc时，因为 ≠0，所以y= + ≠ ，因此函数（1）的值域是{x∈R|x≠ }。

（3）奇偶性：因为函数（1）的定义域是{x∈R|x≠- }，不关于原点对称， 所以函数（1）是非奇非偶函数。

（4）周期性：假设函数（1）是周期函数，T（T≠0）是它的周期，则对于函数（1）定义域内的任意自变量都有f=（x+T）=f（x）

即 + = +

化简，得 =

即x+T+ = x+

所以，T=0

这个结论与T≠0矛盾，说明假设错误，即函数（1）不是周期函数。

（5）单调性：利用函数单调性的定义，容易证明：