高等代数范文

导语：如何才能写好一篇高等代数，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

【关键词】高等代数 习题处理

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2011）07－0015－01

高等代数是大学数学专业的一门重要基础课程，其特点是抽象严谨，解题方法灵活多变。因此，同学普遍感到难学。有些同学反应尽管在课堂上对教学内容已经很清楚，但是到做时仍不知如何下手。

为帮助学生更好的消化课堂内容，加深对基本概念、基本理论的理解，提高解题的技巧和能力，老师还需要上习题课。习题有助于更好地把握教学内容中的概念、方法和技巧，所以应该处理好习题课。习题课的作用：有助于正确理解基本概念和教材所涉及的内容；有助于训练学生的解题技巧，培养解题能力。那么，该如何上好习题课呢？我认为应注意以下几点：

首先，分析常见的错误。主要是将学生常见的错误指出来并加以分析。例如：在多项式的这一章中，很多同学在利用艾森斯坦判别法时出现的常见错误是将它作为必要条件，认为不满足艾森斯坦判别条件的整系数多项式就是可约的。针对这种情况，老师应举例说明艾森斯坦判别法只是整系数多项式不可约的充分条件，并非必要条件，不满足判别条件的整系数多项可能是可约的，也可能是不可约的。

其次，解题的方法和技巧。有一些习题初看好像有些难度，但是只要仔细进行分析，结合所学内容就可以得出不同的解题方法。例如：教材［1］的习题中有如下一道题：设V是n维欧氏空间，α≠0是V中的一个固定向量，证明：V1＝｛x|（x，α）＝0，x∈V｝是V的子空间；V1的维数等于n－1。分析：问题（1）的证明一般情况下就用子空间的定义证明即可，即对数乘和加法运算封闭。但是问题（2）初看觉得不知如何下手，但是我们在所学内容的基础上进行分析就可以得出此题不同的解法。

证法1：为证明结论，首先证明V1是L（α）（表示由向量α生成的子空间）的正交补。事实上，由书上的结论可知：

L（α）＝｛x∈V|（x，β）＝0， β∈L（α）｝

而容易证明：

｛x∈V|（x，β）＝0， β∈L（α）｝＝V1。

从而L（α）＝V1。所以，V＝V1＋L（α）＝V1+L（α）。因此，由直和的判定定理可知：

n＝dimV＝dimV1＋dimL（α）＝dimV1＋1。

这表明dimV1＝n－1。

证法2：由书上结论可知任意欧氏空间必存在标准正交基，故不妨设α1，…αn为V的标准正交基。设α＝k1α1＋…＋knαn，其中k1，…，kn∈R，则对 β＝x1α1＋…＋xnαn∈V1，其中x1，…，xn∈R，由α1，…，αn为V的标准正交基可知（α，β）＝x1k1＋…＋xnkn＝0。因此，线性方程组x1k1＋…＋xnkn＝0的解就是V1中的向量在α1，…，αn下的坐标向量，其解空间的维数就是V1的维数。因为α≠0，故（k1，…，kn）≠0，从而x1k1＋…＋xnkn＝0的解空间的维数为n－1，即dimV1＝n－1。

证法3：考虑实数集R按数的加法和数乘在实数域R上构成的的线性空间，定义映射σ∶VR为σ（x）＝（x，α）， x∈V，则易验证σ是线性映射，σ的核空间就是V1＝｛x|σ（x）＝（x，α）＝0，x∈V｝，σ的像空间为R。由线性映射的维数公式有：σ的核空间的维数+σ的像空间的维数＝dimV＝n，而σ像空间的维数＝dimR＝1，故σ的核空间的维数＝dimV1＝n－1，故结论成立。

以上利用不同的方法给出了一道习题的证明，并且所用到的知识都是高等代数中一些重要的结论。通过不同的方法解题可以让学生了解到一道数学题的证明不止一种方法，只要在做题的过程中联系所学的内容，可以得到许多不同的方法，这也将有助于加深对已学内容的理解。

高等代数这门课是比较难的基础课，如何让学生更好的掌握所学内容是所有老师一直在思考的问题。本文，只从习题处理对高等代数的教学进行了分析。我认为学数学一定要多做题，在做题过程中学生可以更好地掌握所学的抽象概念，由此对所学内容加深理解。在教学实践中，可以发现老师可以通过习题课加深学生对这门课的内容，可以培养学生自觉地上下联系、经常总结，从而对这门课感兴趣，愿意去学习并能学好它。

参考文献

篇2

多项式是一类最常见,最简单的函数,他的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的,也叫做方程论。研究多项式理论,主要在于探讨代数方程的性质,从而寻找简易的解方程的方法。

多项式代数所研究额内容,包括整除性理论,最大公因式,重因式等。这些大体和中学代数里的内容相同。多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。解代数方程无非就是求对应多项式的零点,零点不存在的时候,多对应的代数方程就没有解。

我们把一次方程叫做线性方程,讨论线性方程的代数叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。

行列式的概念最早是由十七世界日本数学家孝和提出来的。他在写了一部叫做《解伏题之法》的著作,标题的意思是"解行列式问题的方法",书里对行列式的概念和他的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。德国数学家雅可比总结并提出了行列式的系统理论。

行列式有一定的计算规则,利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式,因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式,也就是说行列式代表着一个数。

因为行列式要求行数等于列数,排成的表总是正方形的,通过对它的研究又发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表,可是行数和列数相等也可以不相等。

矩阵和行列式是两部完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量,这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在力学,物理,科技等方面都有十分广泛的应用。

高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步扩充,还引入了最基本的集合,向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算特点,不过研究的方法和运算的方法都更加繁琐。

集合是具有某种属性的事物的全体:向量是除了具有数值,同时还具有方向的量,向量空间也叫线性空间,是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的元素已经不只是数,而是向量了,其运算性质也有很大的不同了。

在高等代数的发展过程中,许多数学家都做出了杰出的贡献,伽罗华就是其中一位,伽罗华在临死前预测自己难以摆脱死亡的命运,所以曾连夜给朋友写信,仓促的把自己生平的数学研究心得扼要写出,并附以论文手稿。他在给朋友舍瓦利叶的信中说:"我在分析方法做出了一些新发现,有些是关于方程论的,有些是关于整函数的……,公开请求雅可比或高斯,不是对这些定理的证明的正确定而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现消除所有这些混乱对他们是有益的。

伽罗华死后,按照他的遗愿,舍瓦利把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了14年,才由刘维尔编辑出版了他的部分文章,并向数学界推荐。随着时间的推移,伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们认识。伽罗华虽然十分年经,但他在数学史上作出的贡献,不仅解决了几个世纪以来一直没有解决的代数解问题,更重要的是他在解决这个问题提出了"群"的概念,并由此发展了一系列一整套关于群和域的理论,开辟了代数学的一个崭新的天地,直接影响了代数学研究方法的变革。从此,代数学不再以方程理论为中心内容,而转向对代数结构性质的研究,促进了代数学的进一步发展。

高等代数不是一门孤立的学科,它和几何学,分析数学等有密切联系的同时,又具有独特的方面。

首先,代数运算是有限次的,而且缺乏连续性的概念,也就是说,代数学主要是关于离散性的。尽管在现实中连续性和不连续性是辩证统一的,但是为了认识现实,有时候需要把它分成几个部分,然后分别的研究认识,在综合起来,就得到对现实的总的认识。这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段,也是代数学的基本重要思想和方法。代数学注意到离散关系,并不能说明它的特点,时间已经多次,多方位的证明了代数学的这一特点是有效的。

篇3

关键词： 高等代数 线性相关 多项式

高等代数作为初等代数的发展和提高，是数学专业的一门必修基础课，它所介绍的理论、方法广泛应用于各个学科与实际问题中，其内容较多地体现着数学中严密的逻辑推理方法和计算方法，是现代数学的基础，在培养学生抽象思维和逻辑推理能力等方面发挥着非常重要的作用.但由于高等代数课程概念多，内容抽象，思维方式独特，与初等数学的思维习惯差距较大，刚入学的新生常常不能适应，而且一般的教材中例题较少，初学者常常感到困难，如何提高教师的教学质量和学生的学习效率，成为师生共同探讨的问题.下面我就几年来高等代数的教学谈谈体会.

1.教师应发挥绪论课的重要性

现在的理科生在高中阶段已经接触了高等代数的部分内容，比如二阶行列式和二阶矩阵，联系学生已学知识，教师在高等代数绪论课上介绍行列式和矩阵产生的背景，让学生明白高等代数要解决的问题及其主要的思想方法.初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面研究二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可转化为二次的方程组.沿着这两个方向继续发展，讨论任意多个未知数的一次方程组（即线性方程组）的同时还研究次数更高的一元方程，发展到这个阶段，就叫做高等代数.行列式和矩阵也是在解线性方程组时引入的工具；在绪论课上，教师要向学生介绍高等代数这门课程的性质与后续课程的关系，指出高等代数是有志从事中学数学教学的学生将来胜任中学主干学科――代数课教学的理论基础和指导，也是学生将来参加研究生考试的必考科目.从而使学生认识到：学好高等代数是将来工作和深造的需要，这样可以使学生萌发对高等代数的初级兴趣，进而为提高教学质量打下基础.

2.对于抽象概念的教学，做到深入浅出

线性代数是高等代数中的重点内容之一，而“线性”这个数学名词在中学数学课程中从未出现，学生刚进入大学，对这一词汇的具体内容知之甚少.所以在学习之前，学生必须对什么是“线性”有所了解.首先以线性方程组为例让学生对线性这个词有初步印象，然后从线性运算、线性空间等概念提炼出“线性”的特点，加深学生对“线性”的印象.线性相关性是高等代数的重点和难点，所涉及的内容包括行列式、矩阵、线性方程组，并为向量组的极大无关组及向量组的基和维数、齐次线性方程组的基础解系奠定了基础，也是学习线性空间、线性变换和欧氏空间的一个重要工具.此部分的学习对学生来说内容抽象，是一个难点.根据以前的讲授经验，很多同学对于线性相关性概念中的不全为0理解不清晰，常常与线性组合的概念混淆.事实上，将这两个概念与齐次和非齐次方程组联系，如齐次线性方程组

3.教师充分备课，使课堂教学生动有趣

针对每次课的特点，选取合适的教学方法，在讲授抽象概念时适时引入此概念的研究背景，同时穿插一些名家的数学小故事.很多同学认为理论内容在实际中没有多大应用，因此偶尔引入数学建模思想，让学生感受到数学在生活中有很多应用.例如，在学习了矩阵和线性方程组的有关知识后可以引入简单供求模型、简单国民收入模型等线性经济模型，让学生接触一些简单的实际问题，树立理论联系实际的思想和初步分析解决实际问题的能力，而且让他们切实体会到学习高等代数是有用的，可培养他们在以后的学习和工作中主动应用数学工具分析和解决专业中实际问题的意识和能力.

4.在课堂中让学生充分参与

多年的传统数学教学通常以讲授为主，忽视了学生的主动参与性.鉴于此，教师在讲解高等代数中的概念时，一定要着重揭示其含义和实质，注重联系中学教学实际，使学生掌握基本的系统的高等代数知识和高等代数方法，从而提高学生对高等代数知识的理解.对于相关定理和结论，建议学生多方面考虑，带着问题学习.例如多项式中两个最大公因式的存在性定理：对于任意的，在中一定存在一个最大公因式，且可表示成的一个组合，讲授此定理时，建议学生考虑此定理的逆命题是否成立？若不成立，需要加什么条件才可以成立？

比如在讲授可逆矩阵的定义的时候，因为学生中学里学过此定义：若方阵，则称可逆，又因为矩阵的乘法一般不满换律，建议学生考虑要是这个定义中去掉一半，只有或者，能不能得到可逆呢？再例如矩阵的乘法一般不满换律，建议学生探讨在什么情况下的矩阵是可交换的？帮助学生设问，建议学生在自己学习的时候类似考虑问题，让学生主动参与到学习中，学生是学习的主体，只有充分调动学生的积极性和主动参与性，才能从根本上提高学生的学习效率.

当然，提高高等代数的教学质量和学生的学习效率的方法很多，以上只是一些粗浅的做法，教和学如何适应新时期的要求与时俱进，有待教师和学生不断探索和改进.

参考文献：

[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].5版.北京：高等教育出版社，1988.

[2]王勇.高等代数教学的一些探讨.广西民族大学学报（自然科学版），2007，13（4）：93-95.

篇4

【关键词】高等代数 矩阵 线性方程组 特征值 特征向量 向量空间

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）09-0133-01

1.引言

高等代数是高校数学专业一年级的专业基础课，该学科内容抽象，逻辑严密，它不仅是研究数学其他分支和自然科学的基本工具，而且在经济学、工程力学、管理学科等领域中有着广泛应用。为充分深刻理解代数的价值，须通过教学改革注重理论与实际的联系，课程内容要充实应用实例，尤其是代数与数学其他分支及其他学科相互渗透的例子，与社会密切联系的例子，讲课中可将高等代数的知识与数学建模思想进行融合，如矩阵与密码、特征值问题与动力系统等，引入典型应用性例题既能加深学生对数学概念、公式、定理的理解，又能将数学知识与其他知识有机结合。这种教学方法不仅能提高学生的抽象思维能力、应用能力，而且能激发学生的学习兴趣和创新意识。每个概念的应用实例是比较多的，我们在选择例子的时候要选择简单一点的，学生感兴趣的例子，这样效果好一些。本文具体给出高等代数中的几个重要知识点的学习中实例的引入。

2.几个具体的实例的引入

2.1矩阵概念相关例题的引入

矩阵的概念是高等代数中最基础的一个概念，如果直接给学生讲这个概念，学生会感到抽象，如果我们在讲概念前能够引入一些实例，学生对这个掌握的可能会更好些，其实矩阵在很多领域都有应用，我们可以举下面一个有趣的例子，古罗马时期，凯撒大帝为了避免信使在途中被杀以至于情报被敌军劫走，发明了一种方法，就是把明文中的每一个字母转化成英文字母表中的第四个字母，人们为了纪念凯撒，把这种密码称为凯撒密码。但是凯撒密码有一个致命的缺陷，即每个字母与经过转化后的字母分别在明文和密文出现的频率是相通的。到1929年，HILL提出了克服凯撒密码的缺陷的密码，该密码以矩阵变换的方法建立字母组间的对应关系，下面利用二阶矩阵的例子来说明HILL密码的加密与解密。

2.2线性方程组实例的引入

线性方程组也是一个重要的概念，它的应用是非常广泛的，在讲解这个内容的时候，我们可以引入这样的一个例子。一种在20世纪80年代很流行的食谱，称为剑桥食谱，是博士领导的科学家团队经过8年对过度肥胖病人的临床研究，在剑桥大学完成的。下表是该食谱中的3种食物以及100克每种食物成分含有某些营养素的数量。

如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少才能全面准确地实现这个营养要求。以100克为一个单位，为了保证减肥所需求的每日营养量，设每日需食用的脱脂牛奶x1个单位，大豆面粉x2个单位，乳清x3个单位，由所给的条件得到一个线性方程组36x1+51x2+13x3=3352x1+34x2+74x3=45，7x2+1.1x3=3 其解为x1=0.2772，x2=0.3919，x3=0.2332即为了保证减肥所要求的每日营养量，每日需脱脂牛奶27.72克，大豆面粉39.19克，乳清23.32克。减肥是现在比较流行的一个话题，这个问题也是要转化为数学的线性方程组的问题解决的。这样学生在学习的时候就兴趣很高，效果自然会很好。

2.3 特征值与特征向量的实例的引入

高等代数中的特征值与特征向量这个内容是个重点也是个难点，我们在讲的时候可以引入这样的一个例子，可以帮助学生理解概念，同时学生也知道了怎么将这个知识运用于实际。

在利用或滥用太平洋西北部大面积森林问题上，北方的斑点猫头鹰成为一个争论的焦点，环境保护学家试图说服联邦政府，如果采伐原始森林的行为不遏制的话，猫头鹰将濒临灭绝的危险，而木材行业却争辩说猫头鹰不应被划为濒临灭绝的的动物，并引用一些已经发表的科学报告来支持其观点。数学生态学家要对这个斑点猫头鹰种群进行动力学研究，他们使用动力系统xk+1=Axk为猫头鹰建立种群模型，在该模型中，xk=（jk，sk，ak）的分量分别表示在时间k幼年，半成年和成年的雌性猫头鹰的数量，A为阶段矩阵A=0 0 2.4向量空间实例的引入

向量空间是高等代数中的一个重要的研究对象，那么它有没有在实际中有所应用呢，可以给学生举一个例子， 航天飞机的控制系统对飞机是绝对关键的，由于航天飞机是个不稳定的空中机体，在大气层飞行时它需要不间断的用计算机监控，飞行控制系统不断的向空气动力控制表面和44个小推进器喷口发送命令，从数学的角度看，一个工程学系统输入和输出信号都是函数，这些函数的加法和数量乘法在应用中是重要的，在这节的学习中可以看到，函数的这两个运算既有完全类似于中向量的加法和数量乘法的代数性质，由于这个原因，所有可能输入的集合称为一个向量空间。这样就可以引入向量空间的定义。

3.小结

本文只是就一些概念的学习引入典型的实例，其实高等代数的每一个知识点都可以引入实例。我们在引入实例的时候要注意例子的选择，不要选那些超越我们所学知识的例子，并且学生相对感兴趣的例子，这种教学方法不仅能提高学生的抽象思维能力、应用能力，而且能激发学生的学习兴趣和创新意识，是常规教学方法的一种改进和提高。

参考文献：

[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].高等教育出版社，2003.

[2]张贤科，许甫华.高等代数学[M].清华大学出版社，2004.

篇5

关键词：高等代数；教学；改革

前言

高等代数是高师数学专业的一门重要的基础课，它不仅是中学代数的延拓，也是现代数学的基础。然而由于这课程概念多，定理多，证明多，便构成了高等代数抽象、逻辑性强的特点，因此，也就成了初学者的“老大难”。笔者通过很多年的教学实践经验，对高师高等代数课程教学改革提出几点建议：

1 因材施教，适当调整课程教学。

根据学生实际的专科教育，高等代数的改革目标应当是符合学生实际，且全体学生数学素质都能得到培养和提高。

（1） 强调代数基础知识和基本理论

教学计划和教学方案的改革直接关系到人才培养规格，而代数、分析、几何等重要的基础课应在适当更新内容的基础上得到加强和保证。作为高师数学专业重要基础课程之一的高等代数，它进行的改革必须是突出和保证基础知识和基本理论的教学改革。高师高等代数分二个学期教学，笔者在张禾瑞编著的《高等代数》（第五版）作为教材的基础上，对教材内容和顺序进行了调整，第一学期按照顺序学习行列式、矩阵、线性方程组，把多项式这一章放到第一学期的最后，行列式和矩阵是高等代数的主要内容之一和最基本的研究工具，贯穿着高等代数课程整个内容的始终。第二学期依次学次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间。

（2） 适当融代数应用知识于代数理论

数学的应用已深入到社会生产和生活的各个方面，数学的发展始终没有离开社会生产和科学技术的不断进步，是数学科学的重要组成部分而且还是这门学科存在价值的一个体现，为了在数学教学中体现数学的应用性，也为了适合未来数学教育改革的形式多样化，知识多层次化，思想方法突出化和应用强化，以及素质教育的需要，高等代数的教学改革，必须是适当融代数应用知识于代数理论的教学改革。如在矩阵乘法运算中，笔者引用了这么一个例子：某公司生产的A，B，C三种产品的原料成本、人工成本、管理与其他成本和每种产品在每个季度生产的数量如下表：

生产单位产品的成本（单位：元）

每季度的产量

现用一张表格展示出在每一季度中每一类成本的成本值。

用这么个例题就可以充分展示出矩阵在实际生活当中的利用价值，就是体现了学有所用。

（3） 运用现代化的数学语言

一直以来数学课堂的紧张、严肃、枯燥压抑着学生，教师要上好课，必须讲求课堂教学的语言艺术。这就需要我们在数学语言的严谨性、准确性、精炼性、形象性、幽默性等方面下功夫，让数学语言“与时俱进”，体现数学语言独有的风韵格调。如笔者在多项式互素的充要条件教学中，采取如下形式描述：。这样将普通的文字语言转化为数学语言（即数学化），运用现代化的数学语言，不仅有利于问题的转化和解决，可以把枯燥的数学课堂变得有趣，更能体现数学的思想和内涵，收到更好的教学效果。

2 选择适合学生实际的好的教学方法

在数学概念或命题的教学中，学生心里老是纳闷，这个证明或解法是怎样想出来的？从中可悟出，数学概念或命题的教学过程离不开数学思想方法，离不开处理具体问题的具体方法的体现，更离不开适合学生实际的好的教学方法，因此高等代数的教学改革，必须是体现出代数思想方法和适合学生实际的好的教学方法的教学改革。

（1） 提高学生对代数学的认识，培养学习兴趣

兴趣是学习的一切动力。教师在教学中可展现所教内容的历史背景，穿插些数学史料，使学生沿着数学发展的足迹认识代数学的真谛，发挥学生的主观能动性，从思想上提高对代数意义的认识。高等代数中某些内容的知识背景源于中学的，在教学过程中注意与初等代数的纵横联系，能从较高的层次对中学所学的知识内容给予更科学的解释。如多项式与中学的代数式、方程、因式分解等联系较紧。例如，分解因式（x-y-z）3-（x3-3-z3）在中学是一道比较难的习题，而利用多项式的根与因式分解联系起来可以很容易解决。解法是：因x=-y，x=-z，y=-z均为多项式的根，所以（x-y-z）3-（x3-y3-z3）=m（x+y）（x+z）（x+z）。用待定系数法得m=3。这些活生生的实例，不但使学生增强了解题能力，激发了学习兴趣，也排除了少数学生“当一个中学数学教师，学高等代数有何用”的疑难。

（2） 运用适合学生的好的教学技术手段

由于高等代数教学的许多软件不断出现，迫使我们高等代数教师不得不考虑适当使用先进教学技术、手段和软件，来提高教学效果和学生兴趣，做到使用新技术的教学与好的数学课堂教学的有机结合与统一。笔者在高等代数教学改革中采用了前期开展的数学实验，在行列式、矩阵的教学中，展示数学软件在高等代数中的运用，让学生充分体会先进教学技术的魅力，取得了很好的效果。

（3） 运用启发式的教学

教师要从学生实际情况出发，考虑教学设计，善于设疑诱导，采用启发式教学，教学中要善于体现出各知识点的衔接和相互结合的关系，注意承上启下的关系和不同知识之间的联系。笔者认为，学好高等代数，重点讲清基本概念，让学生真正理解高等代数中的概念和定理。在高等代数教学中为保证教学达到预期的效果，可以同时适当兼顾解决实际问题的“技能”性教学，适当重视解决实际问题能力的训练，培养学生创新能力。

（4） 适当引进一些带有研究性的开放性数学问题

平常在教学过程中可以适时适量的给出一些数学开放性问题，所谓开放性问题，即只提出原则性的要求，对问题所涉及的知识和能力范围有所控制，不对完整解答问题所需要的知识，能力层次作出要求。对开放性问题的教学，可由学生自已作出小结，进行板演，最后由教师进行总结和点评。笔者认为可以充分利用数学建模这个平台，目前我系的数学建模协会正在按计划进行，力求通过对开放性问题的深入研究，提高学生解决问题能力、科研能力及创新能力。

（5） 实施参与式教学，将数学教育与素质教育有机结合

所谓参与式教学，就是要求学生在学习时，要有一种主动参与精神，在学习的同时要敢于去想和说一些自已的思想和观点；而教师应该更注重引导，在引导过程中培养学生具有适应社会，改造社会的素质和能力。参与式教学常见形式为课堂讨论，通过学生相互讨论，锻炼了学生的逻辑思维能力和口头表达能力，强化了学习的效果，增加学生主动学习的自信心。新世纪素质教育的基本要求是“以学生发展为本”。教学有法，教无定法，通过教师的“行动研究”，使数学教育与素质教育有机结合，以期达到提高学生整体素质的目的。

3 结语

现代高等代数课程建设是一项巨大的系统工程，只有在课程教育观念更新、课程内容、教学方式、方法和手段改革、师资队伍建设等方面做大量深入的开创性工作，才能真正建成适应我国现代高层次人才培养目标的高等代数课程体系。

[参考文献]

篇6

关键词：高等代数 解析几何 课程改革 整合

作为高校数学与应用数学专业的重要基础课程，高等代数、解析几何一直备受关注。如何实现包括高等代数、解析几何在内的大学基础课程的改革与发展，是教育工作者一直关注的问题。本文在教学改革实践探索的基础上，分析高等代数、解析几何改革发展的一种可行方案整合及其实践探索。

一、高等代数与解析几何课程整合的可行性分析

（一）改革高等代数与解析几何课程设置是数学教师专业化发展的需要。

当前，教师专业化发展成为推动师范教育走向教师教育的不竭动力，高等师范教育的目的在于培养合格的中小学教师。作为培养中学数学教师必备的高等代数和解析几何课程，面临着中学数学课程内容综合化和现代化的严峻挑战，课程内容的综合化需要高等代数、解析几何走向整合，而课程内容的现代化又要求师范教育必须压缩传统课程的课时，增加反映现代数学基本思想和基本方法的课程内容。压缩课时、整合内容、提高教学效率，成为高等代数、解析几何两门基础课程需要解决的问题。

（二）高等代数与解析几何课程改革是适应高等教育理念变化的需要

众所周知，教学内容受制于一定的教育理念，高等教育理念的变化总会诱发高等教育教学内容的相应变革。近代高等教育初始时的功能比较单一，以传授知识为主，高等教育的主要甚至唯一的基点就是教学。随着社会的发展，高等教育与社会经济的关系日趋紧密，产、学、研三结合日趋密切，高等教育步入了多样化、综合化、个性化和职前职后一体化的终身教育发展进程，高等学校也日益成为科学、文化、社会和经济发展的中心。适应高等教育理念的变革，体现多样化、综合化的特点，高师院校的课程结构必须由线性单向的课程模式向网状多向的课程模式方向发展。关注学科之间的关联、关注不同领域之间的内在联系，是当前教育教学内容改革的整体趋势。

二、高等代数与解析几何课程整合的主要措施

整合教材的编写

1.将高等代数与解析几何的相关内容进行实质性整合。将高等代数与空间解析几何的相关内容进行整合，并不是将二者简单地拼凑，而是将其糅合在一起，形成统一的整体，使得彼此双方的核心内容都得到加强。基于这种考虑，我们的做法是：适当增加与中学数学有联系的数论等内容；适当增加抽象代数的相关内容，将抽象代数与高等代数的内容整合在一起，并用统一的思想方法加以处理；把高等几何的主要内容整合到解析几何中；通过对传统的经典内容的精选、贯通、融合和相互渗透，进一步加强高等代数与解析几何在内容和方法上的紧密联系，即不仅体现高等代数作为解析几何的主要工具作用，而且更要具体地给高等代数提供各种几何背景和几何解释。

2.精选和更新课程内容。高等代数与解析几何毕竟属于基础课，许多基本内容在大学数学课程中居于基础地位，仍需要保留，问题的关键在于如何加以精选，赋予新的意义。

（1）精选好高等代数与解析几何相互融合的结合点，使学生更直观地接受现代数学中的一些重要数学思想方法和思维方式，学会如何寻找事物的内在联系，掌握课程的精华所在，体会数与形的和谐统一。

（2）精选好具有坚实的几何直观背景的有关代数内容。例如，加强二维、三维的线性方程组、线性空间、线性变换等内容。通过数形结合，使学生借助二维、三维的几何直观进一步理解高维的线性方程组、变换、空间等内容，感受立足几何图形把握问题实质的思维方式，进一步认识直觉思维、形象思维在数学演绎中的重要地位，体会数学的抽象美与直观美之间的和谐统一。

3.教材内容的编写注意体现启发式。面向21世纪的大学代数与几何教材，不仅要求内容新、体系新，而且要求方法也要新。所谓方法新，是指采用启发式的教学方法，对既定的教学内容加以组织和表达，使之易教、易学，具有典型的学材风格（而不是专著风格）。

（1）写明主题。在每一章节的开头都简要地写明本章节的主题，让学生能整体了解本章节的内容特点，包括知识的来龙去脉和基本思路，以便于整体把握本章节内容。

（2）突出知识点。突出每一章节的知识点，并冠以小标题，让学生一目了然，同时采用既有分解又有综合，既有特殊到一般，又有一般到特殊的表达和叙述方法，使学生在从具体到抽象的认识过程中，了解知识的来龙去脉。

（3）关注知识的前后联系与对比。对主干知识（基本概念、基本理论和基本方法），力求体现知识发生发展的全过程，体现前后内容的关联，关注数学知识结构体系，以便于学生在体系中掌握数学知识。同时，在内容的展开中，适时地通过分析、脚注等形式，给学生提供思维过程，提出问题，引发学生去思考，给学生留下思考的空间。

（4）精心设计课后习题。除编写一些基本训练题外，还要为不同层次的学生编选一些复习思考题，引导学生对所学的知识加以扩展、延伸和综合运用，留给学生足够的思考空间。努力改变学生只会做题，不会研究的学习方式。

（5）编写小结，引发学生及时回顾、反思。为了加强启发性和研讨性，在每一章的最后，可以编写一些有特色的本章小结，概述本章知识的整体逻辑结构以及贯穿全章的数学基本思想和方法。既包括正文中没有深入阐述的结论，也包括推理过程中没有详细涉及的问题，也涉及已讲授内容的扩展性、延伸性问题。这样做有利于培养学生的综合概括能力，也为学生的创新思维开辟了较大的空间。

（6）在教材中适当增加课外阅读材料。可以介绍有关代数与几何方面的一些史料以及有突出贡献的一些数学家，介绍他们的简要经历、学术成就、治学态度与方法，以此激励学生刻苦钻研、勇于创新。也可以介绍代数与几何在其他领域中的一些应用。

参考文献：

篇7

关键词： 多项式 整数环 整环 素数 不可约多项式

一、引言

高等代数是数学专业学生的专业基础课之一，它强调逻辑的严密性和计算的准确性.正因为如此，它在代数学、数值计算、最优化等学科中有着重要的应用.相对于计算的准确性，逻辑的严密性让刚走进大学校门的新生倍感吃力.造成这一现象的最初原因就是多项式理论太抽象了.学生不知道这些理论从哪里来？为何会有如此多的定理？

注意到高等代数的教材中提到了多项式环的概念，并没有给出相应的解释，这给学生的学习带来一定的困扰.本文将从环论的角度重新解释多项式理论，使该理论更容易被更多学生接受.通过对比的学习，学生将能够更好地掌握多项式的互素，最大公因式，不可约多项式，以及因式分解定理.

本文共分为两部分，在第一部分，我们将回顾环的定义整环的定义及整数环的基本性质.在第二部分，我们将对照第一部分给出的有关整数环的结果给出多项式环的相关结果.

二、整环与整数环

在本节中我们将首先回顾环和整环的定义，然后给出整数环的性质.为了解决教材中的多项式环留下的疑问，我们需要给出以下定义：

定义 2.1 设R为一个非空集合，记RXR={（r，s）|r，s 为R中的元素}，设a： RXR------> R的映射使得a（r，s）=rs，则R被称为群如果a满足

（1）结合律成立，即对于R中任意的r，s，t有（rs）t=r（st）.

（2）左单位元存在，即存在R中的元素e使得对任意的R中的元素r ， er=r.

（3）左逆元存在，即对于R中任何的元素r存在r使得rr=e.

注记：非零有理数关于通常的乘法构成一个群.形如a的映射可以看成集合上的一种运算.

定义2.2 设R，RXR，a同上且b：RXR------> R的映射使得b（r，s）=r+s. R 被称为一个环如果 a，b满足：

（1）R关于加法构成一个ablian 群，也就是说R关于定义的′+′构成一个交换群.

（2）R关于乘法满足结合律，即对于R中任意的r，s，t有（rs）t=r（st）.

（3）分配率成立，（a+b）c=ac+bc； c（a+b）=ca+cb.

注记：整数集关于通常的加法和乘法构成一个环.所有的一元多项式的集合关于多项式的加法和乘法构成一个环.

为了说明我们的主要结果，给出整环的定义.

定义2.3 一个环R成为整环如果它满足：

（1）它的乘法可交换.

（2）它含有一个幺元 I，即Ia=a 对任意的R中的元素a成立.

（3）任意R中的非零元素a，b，ab≠0.

注记： 特别地，如果一个交换有幺元环R中的非零元素关于它的乘法构成一个群，则称R为域.注意域必为整环，实数域，有理数域是域，都也是整环.

为了给出本文的主要结果，下面我们回顾整数环作为整环具有的性质.

定理2.4 设R整数环，则R满足：

（1）对于任意的R中的元素m，n≠0存在q，r∈R使得m=qn+r其中0≤r

（2）对于任意的R中的元素m，n ，它们的最大公因子（m，n）存在且（m，n）=lm+pn，其中l， p 为R中的元素.

（3）对于任意素数p和任意的n， 都有p|n或者（p，n）=1.

三、一元多项式环的性质

本节中我们将研究数域P上的一元多项式环的性质.注意到P上的所有的一元多项式关于多项式的加法和乘法构成一个环P[X].下面证明P[X]是一个整环.

命题3.1 P[x]是一个整环.

证明：由定义2.3，我们只需要证明P[x]中交换有幺元且非零元之积不为零.由多项式的乘法可知，幺元为零次多项式 1且f（x）g（x）=g（x）f（x）.再由多项式乘法的定义可知若f（x），g（x）不为零，则f（x）g（x）≠0.

注意到整数环是整环，自然地问题是整环是否有类似定理2.1的性质呢？此部分近世代数将详细讲解.而多项式环也是特殊的整环，本文将考虑如下问题.

问题3.2 P[x]是否有类似定理2.4的性质？

下面我们给出高等代数第一章的主要定理.但我们不给出定理的证明，只给出如何与定理2.1对比.

定理 3.3 设P为一数域，P[x]为其一元多项式环.

对比说明：

（1）提示学生思考有没有类似定理2.4（1）的结论.然后学生考虑如何改善定理2.4（1）中的余数比较大小的问题.这里要声明多项式是没法比较大小的，但是次数是可以的.

（2）这里要提示学生对比写出类似的结论并用类似的方式证明.需要注意这里的最大公因式并不唯一，因此引进了首1的最大公因式.

（3）结合素数的定义，由学生给出对应的不可约多项式的概念，然后类似地证明相似的性质.

（4）有了（3）的引入，诱导学生自然地思考本命题的表达形式.并参考素数的证明给出证明.

四、结语

通过本文的论述，学生很容易知道这一章的所有结果不是凭空而来的，而是仿照整数环的理论类比而来的，同时学生也知道了环和域的概念.此外，关于整环上的问题3.2，给学生留下了悬念.

参考文献：

[1]北大代数组.高等代数[M].北京：高等教育出版社， 2013，1-50.

篇8

——以《高等代数》为例

朱雅敏

（西安工业大学理学院，陕西西安710021）

【摘要】当前的高校高等数学教育存在很多问题，这些问题体现在：学生对于课程的重要性和实用性了解不够；因为做不到职业规划，认为高等数学对于自己的未来职业意义不大；高等数学的教学和考核方式太过呆板和单一。

关键词 高等代数；实用；职业规划

笔者从教以来，一直从事《高等代数》、《线性代数》等代数类课程的教学工作。在几年的教学过程中，发现学生学习代数学存在很大的问题（应该说不止代数学，在其他高等数学的教学中这些问题也是普遍存在的）。这些问题包括：

（1）学生对于学习高等数学类课程的重要性存在疑问。大多数学生认为自己毕业之后并不会从事数学的研究工作，故此学习这些课程没有太大意义，即对高等数学课程的实用性了解不够，认为这些只是理论基础课。

（2）大学太早划分了专业，很多学生是在对自己专业茫然无知状态下做出的选择，故此对自己所学专业本身谈不上热爱，但是对于专业之外的领域却又一无所知。再加上最近几年就业率下降，导致绝大部分学生在面对自己本该辉煌灿烂的未来时，表现出来的却是茫然和恐惧，很难做到对自己的未来做充足的职业规划，因此在学习数学等相对抽象而短时间之内“貌似”看不到实用价值的课程提不起兴趣。

（3)教学方式和考核方式单一。教学绝大部分高校目前仍然是采取板书为主，只有部分高校引进多媒体，但效果并不理想。考核方式一般都是考试，这就导致了，考试考得好，并不一定会用。考得好也不一定是学得好。

针对以上问题，笔者做了以下思考（以《高等代数》的教学为例）：

针对第一个问题：

高等数学是抽象的，是理论的，但并不代表它们缺乏实用性。事实上，数学是从实践中来，最终所有的数学也都走回到了实践中去，即使曾经号称“数学皇后”“最纯粹的数学”的数论也不例外。在国家和高校都注重培养学生实践能力和职业规划教育的现在，在基础课教学中融入实践教育和职业引导，是顺应时代的大事。

以《高等代数》为例，《高等代数》学中的几乎每个知识点都可以涉及到很多的应用领域：

比如讲到矩阵，可以提到电影《黑客帝国》中无所不能的机器“matrix”，可以提到电视剧《潜伏》中的加密解密等密码学问题，可以提到博弈论中用来分析描述博弈各方得失的“支付矩阵”，可以讲到《图论》中的“邻接矩阵”及其应用，甚至目前最火爆的大数据处理中各个数据特征的存取无一例外都是用到矩阵，机器学习领域的供机器学习和处理的数据也是以矩阵形式存在的…在这些领域矩阵都是必不可少的分析承载工具。

如果课时允许，在教授代数学理论时，能够列举并简单介绍矩阵在这几个领域的应用情况，不仅让学生了解这部分知识并不只是枯燥无味的符号，而是承载了好多学科发展的必不可少的工具，而且让学生了解一些目前科学领域的不同方向，不同的学生会对不同的学科感兴趣，不管他感兴趣的是哪个学科，都起到了激发他学习本门课程的学习兴趣以及根据自己爱好和能力，规划自己未来职业道路的作用。

针对第二个问题：

高等院校是培养人才的摇篮，是直面就业的最后一道堡垒。在这里，我们应该做的是最大的激发每个学生的潜能，照顾到学生兴趣和能力的差异。

在这里，我认为高校不应该入学就设置专业壁垒，而应该至少给学生一个认识自己、发现自己的过渡时期。大一的时候可以设置很多专业基础课，这些专业基础课不应该是按专业来划分班级，而应该是面对所有新生。根据学生的不同能力以及授课的不同侧重点，可以把一门课程按照难度分解为几个不同的课号。以密歇根大学（下文简称密大）的《抽象代数》为例:密大数学系提供了312,412,493三个模块的《抽象代数》课程。这三个课程的教学目的都是：让学生接触严谨的代数语言，培养学生严格的逻辑推理能力。但由于课程的难度和侧重点不同，所以这三门课程的教材，开课时间，教学内容都不尽相同。这很大程度上照顾到了学生的能力不同以及因为个人需要的不同而存在的差别。

以《高等代数》为例，我们的高校也可以采取类似的做法，根据学生需要不同以及能力的差异，对本门课程设置几个模块的教学内容。根据侧重点不同，每个模块的授课方式，授课时间，以及教学内容都不尽相同。针对经济学等文科领域的学生，只教授和他们所学内容相关的知识，并讲授这些知识在经济领域的一些应用案例。而针对喜欢计算机以及偏好其他工科的学生，可以教授和这些领域相关的内容，并讲授这些内容在相关领域的应用案例。针对爱好数学以及上述两个课程学完之后深觉知识信息量不够的学生，可以讲授理论推导逻辑性较强的目前的授课版本。这样即照顾了学生的能力以及因为爱好导致的需求不同，又可以照顾到爱好数学以及学完专业版本代数学之后深感知识量不够的学生的要求。学生带着需求上课的学习效果，与强行灌输的效果必然不可同日而语。

虽然目前各个高校采取了类似的分类，但是分类简单粗暴，只是把数学专业的学生和其他专业的学生做了简单划分，数学专业的学生学习《高等代数》，而其他专业的学生学习《线性代数》，而这种划分，只是名义上的划分，针对各个不同专业以及不同兴趣的学生并无任何更多考虑。

针对第三个问题：

授课方式要多吸取国外高校数学类授课方式的长处。比如美国加州大学富勒顿分校（CSUF）的数学类授课方式大多采用案例式、讨论式、研究式、实践式等授课方法，培养学生发现问题，分析问题，解决问题的实践能力。国外很多大学高等数学课堂人手一个的Graphingcalculator（图形计算器），能够帮助学生形象化的理解抽象的数学知识，但在国内课堂，这些高科技的手段都难觅踪迹。而考核方式，国外与国内更是存在很大的不同，国内一般是期末考试一次定终身，或者加上平时成绩以及期中考试的成绩比例。而在国外，以美国大学数学课程微积分（calculus）为例，课程最终成绩一般由四大块构成（教师可自行调整比例）：家庭作业，每周小测验和期中考试，期末考试，实践环节（用所学知识解决实际问题）。

国内的高等数学教学方式和考核方式改革也迫在眉睫。以《高等代数》为例，在授课过程中可以通过多媒体等教学方式，具体化某些抽象的代数问题或者达到形象生动化一些实用案例的效果。比如多项式在拟合差值方面有重要的地位，在讲多项式时，可以通过多媒体课件展示不同次数多项式的图形效果，并进而可以讲到多项式差值的含义以及在飞机、汽车等工业领域的应用。

而课程的考核方式改革也势在必行。以《高等代数》为例，我们可以仿照美国大学的做法，把最终的考核结果分为更多模块构成，比如课后作业，期末考试，以及实践环节等。而实践环节可以考虑一学期完成一到两个，专门某一节课可以让学生讲解自己的实践作业处理的问题，思路，及求解办法。这样不仅可以学以致用，利用知识的有用性推动和激发学生学习和研究的兴趣，刺激学生展开想象力的翅膀，鼓励各种奇思妙想，展示智慧结晶，并能够带动学生对于一些数学工具软件，比如matlab等的掌握。可谓一举多得。而这样做无非是比现在的考核方式多了两次课的实践展示环节，并不需要对当下的教育模式动太大的手术。

参考文献

［1］余达锦,杨淑玲.创新创业教育背景下高等数学教学方法研究[J].江西财经大学学报,2013(4),122-129.

篇9

数学在我们生活中无处不在，在大学期间，数学学习的难度有所增加，所以高等数学被分为了好多学科，其中就包括线性代数这一重要的学科。线性代数的学习程度对高等数学是有一定的影响的，因为线性代数与高等数学是由相辅相成的作用的，在解决某些问题上，采用其中的一种方法是有可能比较困难的，这个时候就需要转变思维，换一个角度想问题，让自己的学习过程更加顺利，从而提高自己的成绩。

1 线性代数方法学习所需能力

1.1 需要有抽象的思维能力才能使学习更加高效

线性代数是需要学生通过抽象的思维进行想象的，可以说学习的过程中对于向量，矩阵等都需要自己通过抽象想象的。线性代数中这样的学习有很多种，例如矩阵与线性方程组，在矩阵与矩阵，矩阵与向量组，向量组与向量组等等，所以学生要了解他们之间的抽象关系，认真领会其中的知识点，对他们的概念以及性质的学习进行加强。在初中和高中的学习中，学生们已经接触过具有抽象能力的数学知识点了，比如说在向量的学习中，就需要将向量想象成一种抽象的东西，这个时候的数学还是很好学的，但是对于高等数学中的线性代数里面的思维想象能力的要求就相对来说比较高了，所以对于学生在这方面能力的锻炼与培养，需要教师多加引导，让学生养成自己思考，主动学习的好习惯，多做题，逐渐的就会把自己的抽象能力培养出来。

1.2 逻辑推理能力

不仅仅是线性代数需要逻辑推理能力，可以说整个的数学学习就是一个逻辑推理能力的培养从小学时，学生们便开始学习数学，数学的学习一直都在锻炼学生们的是逻辑推理能力。线性代数的各个知识点之间逻辑关系是非常紧密的，逻辑性是非常高的。其实我们在学习很多学科时都有这种体会，知识点不是单独存在的，教材在安排知识点的位置的时候也都会将有联系的知识点放在一起学，这样既对学生学习起来是一个方便，同时教师在教授的过程中也更加容易方便，这在一定程度上考验了学生的逻辑思维能力，所以线性代数在学习过程中一定要上下联系，找出其中关联的地方，把有关联的知识点放在一起仔细研究，找到他们在解题过程中的运用效果，能够在解题过程中显得不那么手足无措，同时要深刻理解其中的每个知识点之间的联系，从而提高学习效率。另一方面学习的过程中需要运用的推理能力不仅仅表现在知识点的上下联系，而且在解题过程中需要在读过题之后快速的找到体重的关键点，找出解题时所要用到的知识点，这也是对逻辑推理能力的一个考验。[1]

2 线性代数核心方法与工具学习

学习过高等数学的人们都知道，在线性代数的学习过程中，线性方程组是一个核心内容，二有关于线性方程组在解题过程中的主要的答题方法和答题依据是矩阵和矩阵的初等变换。有的解题方法例如矩阵的初等变换这一阶梯方法，可以用在特征向量，向量空间的维数和基，还有就是矩阵的逆矩阵这一内容也可以用矩阵的初等变换这一方法。[2]所以，线性代数的学习是融会贯通的，教师在教学过程中和学生在学习的过程中都要注意好矩阵的初等变换这一内容的学习，掌握矩阵这一项主要的学习工具，这样才能在学习过程中可以游刃有余，可以找到解题的思路。

3 注重学生学习能力的培养

前面我们说过了。线性代数的学习需要很多的抽象能力，二线性代数的核心又在于行列式，行列式的学习就需要很高的抽象能力，学生在学习这一内容时，仅仅是凭借着公式死记硬背的套上去是不能够解决问题的，需要手和脑的一起使用，所以学生在进行基础概念的学习时，要灵活运用，注意要和题相结合，在解题的过程中自然而然的就学会了基础概念，才能对所学的知识进行全面深入的了解。因此，学生在对线性代数知识点的掌握时，可以包含以下几个基本点。

3.1 对学生学习和理解基本知识方面的能力进行加强

学生在学习之前必须要搞清楚概念，只有概念问题解决了，在解题过程中才不至于一头雾水，线性代数是一门概念问题非常多的一门学科，里面的解题思路也很复杂，所以要想学好这门学科，必须先要把概念搞清楚，概念不清楚，解题过程中就会一点思路也没有，即使题做出来了，也会事倍功半，达不到自己预期的效果。[3]线性代数里面包含的概念有关于解方阵的幂，有要求解逆矩阵以及解矩阵的秩，还有计算字母型和数字型的行列式等一些概念，这些概念说容易，只要学生搞清楚里面的关系，还有他们之间的逻辑性，按照规律循序渐进就可以很好地掌握，但是在掌握过程中，在一些抽象的地方还需要进一步的想象和理解。

3.2 强调知识点的转换与衔接

线性代数这门课的知识点是比较多的，但是我们上面已经提到，这些知识点与知识点之间的联系是比较紧密的，我们可以把这些知识点联系起来，构成一个知识体系，使知识点之间能够统筹起来，让自己的综合分析能力得到提高，从而提升自己的解题能力。我们在学习的过程中，要把知识点前后连接起来，形成一套完整的知识体系。从内容上看，这些知识点之间的联系是相当紧密的，有时候一个知识点的学习得使用之前的知识点进行连接贯通，，他们之间是相互渗透，纵横交错的，所以在解题的过程中也有很多的方法可以进行选择，这些都是灵活多变的，我们在学习过程中不能够只是用一种方法阶梯，这样会使效率变得很低，达不到自己的要求。尤其是在线性代数这门课的学习中，应该将其中知识点的转换与串联进行灵活掌握，这样才能在做题中快速的想到解题思路，提高做题速度，从而得到高分。[4]

3.3 叙述的表达能力需要锻炼，逻辑思维能力需要提高

学生在线性代数的学习过程中，一定会碰到很多的证明题，这些证明题在证明的过程中一定会遇到语言叙述方面的问题，不要小看这些文字叙述，他们在考察叙述能力和逻辑思维能力方面是很强的。在证明时，首先得把解题的思路想出来，至于怎样想的就需要对逻辑思维进行考察，当把解题思路想出来后，紧接着就是如何把自己的思路用简洁明了的话语叙述出来，这就用到了我们的叙述表达能力了。[5]所以在学习线性代数的时候，对于表达能力和逻辑能力是需要特别的能力的。学生在不断地证明一道题之后对于里面设计到的一些知识和概念也会随着做题量的增加而更加熟练更加游刃有余的。

篇10

关键词：高等代数与解析几何；地方院校；教改

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）37-0164-02

一、背景

本文以笔者所在的民族地区新建本科院校开设的信息与计算科学专业为例，探讨高等代数与解析几何课程的教学改革。信息与计算科学专业培养具有良好的数学基础和思维能力，掌握信息或计算数学的基本理论、方法和技能，接受科学研究初步训练，能从事算法分析与设计、软件开发、数据处理等方面的应用型人才。这是一个交叉专业，不仅要开设大量的数学课程，比如高等代数与解析几何、数学分析、常微分方程、数学模型、复变函数、概率统计等，而且要开设大量的计算机课程和一些信息类的课程。笔者曾经在该专业做过统计，85%的同学报考的时候不知道这个专业需要学量的数学课程，有40%的同学压根就不想学数学，有些同学高考数学科才考60分，大部分同学对数学课不感兴趣。而高等代数与解析几何课程是学生一进入大学就学的一门专业基础课程，学时又长，如果学得不好，影响后续课程的学习，甚至影响整个大学专业课程的积极性。根据该专业的特点和学生的实际情况，笔者对高等代数与解析几何课程进行了一些教学改革。

二、教改内容

高等代数与解析几何原来是该专业的两门基础课程，基于几何为代数提供研究背景、代数为几何提供研究方法的内因和浓缩学时的外因考虑，将两门课程合并教学，现在很多高校也都采用合并教学，诸多学者也对这门课程的合并教学从可行性、内容和教学方法等进行了很多探讨，但大都是以数学师范专业为背景。笔者基于信息与计算科学专业，对该课程教学教学了以下探索。

1.重视概念教学。数学概念的教学关系到学生是否能理解、能应用，可以说是数学教学中最重要的一个环节。而高等代数与解析几何课程是学生从中学到大学学习的第一门基础课程，学生很难一下子就能理解这些抽象概念。对于抽象的概念要注意从一般情况中总结：比如线性空间的概念是这门课的第一个抽象概念，概念的内容又多，要求具有两个运算和满足八条运算规律，如果一下抛出这个概念，学生就懵了，哪里见过这么长的一个概念，往往就会产生抵触心理。如果循序渐进，先引导大家复习在中学熟悉的立体几何知识，把几何空间的一些基本性质逐条展开，再提升到一般情况，如果一个集合中的元素也满足这些条件，将问题一般化得到线性空间的概念，接着多举一些例子，对抽象概念多作铺垫便于理解。有些概念的教学要重视其来源和历史发展，比如围绕解线性方程组这条主线，当方程个数和未知数个数相等时，引入了行列式这个工具来求解，当方程个数不等于未知数个数时，行列式这个工具显然不适用了，进而就引入了矩阵这个工具，这也就是行列式和矩阵概念的由来，交代清楚的目的就是让学生更好地理解概念，有利于学生形成良好的知识框架。有些概念太抽象了，也需要用通俗的例子或者形象的比喻来帮助学生理解，比如线性空间中基的概念，可以用班上学生的姓氏来比方，把班级看成一个线性空间，不同姓氏的同学就线性无关，每个姓氏选一个同学组成一组，这个组本身线性无关，班上的每一个姓都在里面，类似基的概念本身线性无关，线性空间中每个向量都可以由这组向量线性表示，又因为每个姓氏可以选不同的同学，组成一个新的组，选的这个组不是唯一的，对应就是线性空间中基不是唯一的，但全班总共有几个不同的姓氏是唯一的，也就是说每组同学的人数是唯一的，对应在线性空间中就是维数是固定的等。有些例子可能没有那么贴切，但对学生的理解是有好处的。

2.教学内容要优化。信息与计算科学专业学生需要掌握高等代数与解析几何课程的基本思想、基本内容和基本技能，但要与培养数学师范生有一定的区分，针对该专业并不需要每个定理、每个推论都证明，为了保证知识的系统性和达到培养目的，必要的证明也不能省，需要老师在教学中大胆、灵活地对内容进行优化，制定好适合该专业的课程大纲，对有些内容可以简讲，甚至不讲，但要经常对知识进行归纳总结，授课线条要清晰。现在还没有一本高等代数与解析几何的教材完全适合该专业，通用的教材有陈志杰教授的《高等代数与解析几何》、孟道骥教授的《高等代数与解析几何》，这两本都是极好的教材，只需根据实际情况对内容进行优化即可。有些同学觉得高等代数与解析几何教材太难，把线性代数或者线性代数与空间几何作为参考书，认为这样更好理解，易形成知识框架，也不失为一个方法。

3.数学软件在教学中的应用。信息与计算科学专业要培养学生具有较强的数据处理能力，对应用数学软件能力要求比较高，故需要从基础课程就开始有意识地培养学生应用数学软件解决数学问题的能力，比如对一些计算可以通过Matlab来实现，当然也可以用其他软件，这样一方面可以尽早的让学生了解数学与计算机之间紧密的联系，了解专业的特点，也能够激起学生学习的热情。可以用软件来演示计算的内容有：行列式的计算、矩阵的计算、线性方程组的求解、二次型与相似矩阵、特征值的计算等等，在进行了必要的证明和方法介绍下，讲述例题的时候，先用黑板演算，最后留点时间利用计算机软件求解，因为有些计算比较繁琐，学生不感兴趣，采用软件计算可以提高积极性，而且有利于学生了解专业特点，避免了学生到大二下学期还不知道信息与计算科学专业学的是什么，跟数学教育有什么区别。具体做法：在下课前十分钟，教师打开多媒体电脑演示，课后让学生自己练习，不必专门开设数学实验课，一是学时不够，二是该专业到三年级会开设数学实验课程和一些算法类的课程，据笔者了解，一般院校高等代数与解析几何课程开设数学实验课程是不现实的。引导学生将一般的方法提炼成公式，将公式程序化，通过计算机软件快速求解，这充分展示了现代数学的魅力，改变了以往过于枯燥的计算，可以提高学生学习该专业的兴趣。对于这个专业，笔者认为利用讲述数学的基础知识，来传授新的方法和新的知识，不能照搬传统的数学师范专业讲授特点。

4.数学建模思想渗透到教学中，突出应用数学的特色。该专业是一个应用型专业，要求学生应用数学解决问题的能力特别强，而数学建模恰好是一个锻炼应用数学能力的极好途径，高等代数与解析几何课程看似跟实际的问题联系不紧密，但高等代数与解析几何作为一个基础课程，很多定理、推论、例题都是建模的思想，只要教师采用问题驱动，适时地鼓励和引导学生积极探索，把抽象的定理、公式进行结构化和程序化，提高学生的数学思维，具体可以在定理的证明、公式的推导、例题的讲解中渗透，从一般情况提炼出数学模型，鼓励学生思考。这种渗透不是找一个实际问题来解决，况且学生现在所学的知识还不足于解决复杂点的实际问题，那是数学建模课程的任务，高等代数与解析几何是要注重在平时课堂上润物细无声似的渗透，培养模型的思想。比如求平行六面体的体积，通过推导最后得到公式，建立坐标系后，公式可以简单地用行列式来表示，这些简单的问题，教师采用问题驱动，逐步推导，得到的公式简单优美。矩阵的乘法也具有数学建模的思想，比如5个同学参加4门考试，成绩可以用一个5行4列的矩阵来表示，要评两个奖，每科的成绩在每个奖中占的权重不同，可以构造一个4行2列的矩阵，现在要你评奖。这样来引入矩阵的乘法很实际和实用，可能学生就更感兴趣，这其中就是数学建模思想的渗透。

5.重视作业训练。数学课程一定要有适当的作业训练，数学是思维的体操，不做作业不仅思维得不到训练，而且知识极容易遗忘。作业的类型可以多样，也可以留点利用软件来简单计算的操作题，但作业要有梯度，设置一些选做题，让学生有挑战性。教师要确保对作业有答复，可以在习题课上讲解，如果时间不够，也可以利用QQ交流工具解答，比如教师把过程写出来拍照发给学生，这也是笔者答疑的一个方式。

三、结语

信息与计算科学是一个交叉专业，也可以说是一个边缘性的数学专业，高等代数与解析几何作为该专业的一门基础课程，学时长、抽象难学，学生基础不好，要提高该课程的教学，需要从多个方面下功夫。笔者根据这个专业的特点从教学内容到教学方法进行的一些探索，从平时课堂表现和作业情况看，大部分学生学习的积极性有较大提高。

参考文献：

[1]孟道骥.高等代数与解析几何[M].北京：科学出版社，1998.

[2]陈志杰.高等代数与解析几何[M].北京：高等教育出版社，2000.

[3]易忠.高等代数与解析几何[M].北京：清华大学出版社，2007.

[4]郭民，孔凡哲.高等代数与解析几何课程整合的思考[J].内蒙古师范大学学报：教育科学版，2007，20（3）：135-138.

[5]孟道骥.一门“国家级精品课程”的建设―南开大学“高等代数与解析几何”课程[J].高等数学研究，2005，8（3）：2-5.

[6]杨德贵.高等代数与解析几何一体化教学改革的探索[J].贵州师范大学学报：自然科学版，2005，23（4）：97-100.