数学竞赛范文

导语：如何才能写好一篇数学竞赛，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

数学竞赛

篇1

该竞赛始于2005年,是由世界各地致力于普及青少年数学教育的机构、团体和个人组成的合作性组织IMC国际数学竞赛,迄今为止已经在新加坡举办了四届,已有来自新加坡、印度、菲律宾、印度尼西亚、泰国、中国等国家的经过选拔的数千名学生参加了竞赛活动。各国按年级竞赛成绩分别评奖,参赛学生根据竞赛排名分获金、银、铜奖。

国际数学奥林匹克竞赛IMO(InternationalMathematicalOlympiad)

国际奥林匹克数学竞赛是国际中学生数学大赛,在世界上影响非常大。这一竞赛1959年由东欧国家发起,得到联合国教科文组织的资助。国际奥林匹克数学竞赛由参赛国轮流主办,参赛选手必须是不超过20岁的中学生,每支代表队有学生6人,另派2名数学家为领队。试题由各参赛国提供,然后由东道国精选后提交给主试委员会表决,产生6道试题。试题确定之后,被翻译成英、法、德、俄文等语言,由领队译成本国文字。考试分两天进行,每天连续进行四个半小时,考3道题目。每道题7分,满分为42分。同一代表队的6名选手被分配到6个不同的考场,独立答题。答卷由本国领队评判,然后与组织者指定的协调员协商,如有分歧,再请主试委员会仲裁。

全国大学生数学建模竞赛CUMCM(ChinaUndergraduateMathematicalContestinModeling)

全国大学生数学建模竞赛是全国高校中规模最大的课外科技活动之一。本竞赛每年9月(一般在中旬某个周末的星期五至下周星期一共3天)举行,竞赛面向全国大专

篇2

竞赛前，选手们都已经做好了充分的准备。每位选手既希望这场数学竞赛早早到来，又希望这场竞赛迟迟不来。走进阶梯教室，我们的心情无比激动。我悄悄地对郝韵和赵大亨说：“《每当我走过老师的窗前》这首歌曲中第三段中有一句是‘肩负祖国希望奔向四方’，我们是‘肩负王老师和同学们的希望来参加数学竞赛’，对吗？”他俩会意地笑了。

竞赛开始了。同学们拿到卷子，便都认真地做了起来，不放过每一题。这时，我们才感到代表班级来参加数学竞赛，责任是多么重大啊！虽然这些题都是星号题、思考题，但对我们来说，那可真是轻而易举呀！卷子我全做出来了，但有三题我怀疑对不对。

考完了，我们怀着沉重和想早点儿得知成绩的心情漫步走回教室。刚一进教室，沉重的心情立刻被嘈杂声打乱了。好多同学问我们“考得怎么样？”“能考多少分？”之类的问题。问我的时候，我要么只回答“还行吧。”要么我就不回答。

第二天上午上数学课的时候，王老师说：“你们也得向三（1）班学学，我很为他们高兴。三（1）班去六名同学参加竞赛，获奖的有五名。第一名和前五名都是他们班的。”教室里立刻鸦雀无声，接着又像炸锅一样向我们6个抱怨，说我们太笨了。我气呼呼地对着他们大声嚷道：“好，就算我们笨。有本事你去考呀，我就不信你们比我们强到哪里。哼！”这时，王老师淡淡地对我们说：“我们班只有沈通和王若诗两位同学获得名次，但也算是一般的。王若诗76分，第六名；沈通71分，第7名。”这时，全班同学都向我们俩投来赞许的目光，李翔说：“祝贺你！”上来就要拥抱我，我一把将他推过去，说：“干什么的，神经病，讨厌！”

回到家，我想：我能得全班第一，为什么不能像三（1）班董文艳那样，得一个全年级第一呢？但愿我能参加下一次数学竞赛，好再和她比个高低。

篇3

【关键词】数学归纳法数学竞赛数学教育

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）32-0159-02

一、数学归纳法在数学竞赛中的价值

一直以来数学归纳法都是我国中学数学教育非常重要的教学内容，而且当学生有效的掌握数学归纳法实际上也就踏入了数学研究的门槛。数学归纳法主要有两个核心的内容，一个是起点验证，而另一个是归纳推理，不过在这两点中，归纳推理的难度相较于起点验证来说要更难一些，这主要是因为归纳推理考验的是学生的思维能力和逻辑能力，在一些数学竞赛中经常会设置一些需要用到数学归纳法的题型来综合性的考验学生的实际能力。而反之学生也可以参照数学竞赛的这种设置来不断的提升自身对数学归纳法应用的熟练度，从而在数学竞赛中脱颖而出。

二、数学归纳法在数学竞赛实题中的应用

数学归纳法在数学竞赛中常被应用，所以以数学竞赛实题来作为本文研究数学归纳法在数学竞赛中的应用是最好不过的例子。

在某年的数学竞赛中有一题是：设正整数n≥6，需要证明单位正方形可以剖分为n个小正方形。其实当看到这道题的时候学生首先就应该对这道题可能的考查点有一个明确的判断，此题除了给出了n的范围之外给出的唯一的条件就是正方形。众所周知正方形的四条边是具有相等的独特性的，所以该题必然是一道考量一般规律的题，也就是说其会用到数学归纳法，所以在这个时候学生就应该从数学归纳法的角度上去看这道数学竞赛题。首先以数学归纳法的第一个条件，起点验证来确定这道题目的正确性，当n分别等于6、7、8的时候，我们发现一个单位正方形是可以利用田字格的方式将其划分为四个小正方形，因此使用跳跃式数学归纳法该命题是成立的。

那么如果该题的n=k是成立的话，那么对于n=k+3也应该成立。在n=k的命题研究中我们将一个小正方形分成了四个小正方形，从而获得了n=k+3个小正方形。

因此从数学归纳法的角度上来说，该题的题目是得到了验证的。其实从本题的本质上来看，这仅仅是一道简单的跳跃式数学归纳法，但是纵观近几年的中学数学竞赛，这种题型屡见不鲜，这也就意味着我国的数学教育正在逐步的提高数学归纳法在其中的占比，希望能够培养出更多的具有专业数学素养，拥有良好思维能力和逻辑能力的高素质人才。本文选择的例子是数学竞赛中比较常用的但是在难度上相对较低的数学归纳法应用题型，还有许多应用到数学归纳法的题型要比上述例题更加的复杂。譬如说设整数n≥4，证明可以将任意一个三角形剖分为n个等腰三角形。虽然乍看上去这道题的题型与上述中的例题非常相似，但是实际上由于等腰三角形具有独特的图形特质，因此尽管同属于数学归纳法应用的题型，但是在验证上，这道题的验证过程要比上一道题的验证过程复杂得多。因为要想验证这道题首先必须要验证任意一个直角三角形是可以剖分为两个等腰三角形的，然后还要验证任意一个三角形是可以剖分为k个直角三角形的，其中k是≥2的，最后还要验证一个等腰三角形可剖分为四个等腰三角形。只有先将这三个引理验证清楚才能够借此回归到原题去证明当n≥4的时候，可以将任意一个三角形剖分为n个等腰三角形。这实际上就是数学归纳法的综合性应用，它需要学生能够考量到的多方面的因素，从而通过数学归纳法去验证自己的想法。

三、结束语

一直以来数学归纳法都是我国数学教育的重中之重，不过在应试教育的压迫下，数学归纳法虽然得到重视，但是学生的自我思考能力也逐渐的被磨灭，所以随着我国新课改进程的逐渐推进，素质教育更多的是强调通过数学归纳法来树立学生的思维逻辑，而不是让他们更多去应付考试，本文觉得这才是数学归纳法存在的意义与价值。

参考文献：

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一、构建方程

构建方程式是在初中数学竞赛解题过程中一个较为基本的方法。在实际的解题过程中我们要善于发现问题、善于与已学过的知识相联系、认真的分析题型，根据问题的结构特征以及题目中的数量关系，来充分的挖掘题目中的有关知识点的联系，从而来构建方程，让解题变得更加的巧妙、合理。其实在面对有些问题时，如果按照常规方法来进行解答会比较的困难，但是如果可以根据实际问题的特征来构造有关的方程式，然后找到解决问题的答案。例如：如果关于x的方程式ax+b=2（2x+7）+1有无数个解，那么a和b分别是多少？

解：将原方程式ax+b=2（2x+7）+1整理可得，（a-4）x=15-b

因为原一元一次方程有无数个解，所以a-4=0，15-b=0，解得a=4，b=15。

二、构建几何图形

在进行几何题的解答时，借助几何图形的性质，通过巧妙的构建，可以很容易找到解题的方法，不仅仅能够让问题快速的解决，而且有利于提高学生的几何能力和思维能力。例如在ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D。求证：AB+BD=AC。

分析：按照一般解答几何题的规律，在遇到三角形的角平分线的时候，可以构造等腰三角形，然后借助等腰三角形的性质，通常可以解决一般的问题。因此，做CB的延长线到F，使三角形BAF为等腰三角形，且角F等于角1，再根据等腰三角形的外角关系，得出角ABD等于角1加上角F，即角ABD等于2倍的角1、又等于2倍的角F，而角ABD等于2倍的角C，所以角C等于角1等于角F，三角形AFC为等腰三角形，所以AF等于AC，最终得出三角形ADF为等腰三角形，因此，AF=DF=DB+BF=DB+AB，即AB+BD=AC。

三、构建函数模型

在解答初中数学竞赛题时，根据数学符号，以及题目中的已知和未知条件的关系，将文字题目转化为数学符号，从而建立函数模型关系式。再利用已经学过的数学基础知识，来解决函数问题。例如，某加工厂现有A种原料290千克，B中原料360千克，计划利用这两种原材料来生产甲乙两种食品，共50件。已知生产一件甲种产品，需要使用A原材料9千克，B原材料3千克，可获得700元的收益，生产一件乙种产品，需要A原材料4千克、B原材料10千克，可获得1200元的收益。求（1）按照甲、乙两种产品的生产件数，设计几中方案；（2）设生产甲乙两种产品的总收益为y元，生产甲种产品x件，试写出总收益与生产甲种产品数量之间的函数关系，并且利用函数的性质来证明（1）中哪种方案收益最大？最大收益是多少？

解析：（1）设需要生产甲种产品x件，那么需要生产乙种产品（50-x）件

由题意可得9x+4（50-x）≤360

3x+10（50-x）≤290，解得：30≤x≤32

因为x为整数，所以x=30、31、32

所以有三种方案：（1）生产甲种产品30件，乙种产品20件；（2）生产甲种产品31件，乙种产品19件；（3）生产甲种产品32件，乙种产品18件。

（2）由题意可以得出：y=700x+1200（50-x）=-500x+60000

由于y随x的增大而减小，所以当x取最小值的时候，利润最大

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1 数学竞赛中出现的不等式问题

1.1 蕴含函数、方程思想的不等式

函数、方程和不等式有着内在的联系,函数性质的研究依赖于不等式及方程的知识.同样在解不等式时,以函数为桥梁和纽带,往往使问题豁然开朗,起到事半功倍的效果.

例1（2005年全国数学联合竞赛题）已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若f(2a2+a+1)

分析：要求a的取值范围,就需得到关于a的不等式,因此本题的关键就是根据函数f(x)的性质将不等式f(2a2+a+1)

解：f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,由题意得

2a2+a+1>03a2-4a+1>0a2+a+1>3a2-4a+1解得0

即为a的取值范围.

观察例1我们不难发现除了蕴含函数思想外,还蕴含着另外一种思想,即等价转化思想.这也是我们下面将要讨论的不等式问题中经常遇到的一类情形.

1.2 蕴含转化思想的不等式

所谓等价转化思想,就是人们在解决问题时,对非规范性的问题做转化,使之逐步转化为规范性（已有方法解决的常规问题）问题,达到化繁为简,化难为易,变“正面强攻”为“侧翼出击”的思维方法.转化可分为等价转化和不等式转化.在解不等式时经常会用到这种转化思想.

例2（2006年全国联赛数学竞赛题）设logx(2x2+x+1)>logx2-1则x的取值范围为（）.

A:1 D:0

解：由题意,可得x>0且x≠12x2+x-1>0

解得x>且x≠1

由logx(2x2+x-1)>logx2-1

可得logx(2x2+x-1)+1>logx2

即logx(2x3+x2+x)>logx2

所以就有

由2x3+x2-x-2

则 2(x-1)(x2+x+1)+x(x+1) =(x-1)(2x2+3x+2)

即x0

得 x>1 所以

即x的取值范围为x>且x≠1,即选项应为B.

在例2中,我们也看到了分类讨论情况,这也是不等式问题中经常遇到的.下面我们就此类问题进行讨论.

1.3 蕴含分类讨论思想的不等式

有些问题,从已有知识经验知道,必须分类讨论方能解决.还有些问题的分类讨论是产生在思维受阻或不畅的时候.分类讨论是数学中一种重要的思想方法和解题策略,当问题所给的对象不易进行统一研究或推理,只有用分组的形式才能方便的表示出来时,就需要对研究的对象进行分类,对每一类分别研究,得出每一类的结果,最后综合各类结果,得到答案.

选择好的思想着眼点,是使思维顺利发展的关键,也是认识为什么分类以及准确恰当分类的前提.

2不等式的证明

弗莱登塔尔这样描述数学的表达形式：“没有一种数学的思想,以它被发现时的那个样子公开发表出来,一个问题被解决后,相应地发展为一种形式化技巧,结果把求解过程丢在一边,使得火热的发明变成冰冷的美丽.”不等式证明问题,还原了数学概念和知识的火热思考过程,突出了数学问题的本质,是考察学生的思维品质和创新精神的好题型.

例3（第20届IMO试题）设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列,求证：++…+≥++…+.

证明：因为a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列

所以(a1+1)(a2+1)…(an-1+1)

=(1+1)(2+1)…(n-1+1)

=2•3…n=1•2•3•…•n

=a1a2…an

所以++…+++++…+

=++…+++++…+

=+++…+

≥n•=n

即++…+≥n-(1++…+)

因为n=(++…+)+(1++…+)

所以++…+≥+…+ .

分析：这个证明很巧,巧在给欲证明的不等式两边同加上1+++…+即++…+然后只需用平均值不等式即可.另外,在使用重要不等式证明时,根据所证明的不等式的结构,常常需要配合一定的变形技巧与转化策略,才可以使用重要不等式最终把问题解决.

2.1 套用

例4（1993年高中联赛题）实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5设S=x2+y2则+的值为（）.

解：因为+≥|xy|

所以-≤xy≤

-≤5xy≤

又因为5xy=4x2+4y2-5

所以4x2+4y2-(x2+y2)≤5≤4x2+4y2+(x2+y2)

S≤5≤S

S≤5≤

所以Smax= Smin=

所以+=+==.

2.2 项的巧拆和巧组

例5（第25届全俄数学奥林匹克试题）已知a,b,c∈R+,求证(a+b+c)2≥a+b+c.

证明：因为a,b,c∈R+

则a2+b2+c2=(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)

≥ab+bc+ca

（a=b=c时取等号）(1)

重复使用不等式 (1),可得

(a+b+c)2=(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca)

≥(ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca)

=ab+bc+ca

≥•+•+•.

2.3 待定常数的巧引

例6（1990年高中联赛题）p为ABC内一点,D,E,F分别为p到BC,CA,AB各边所引垂线的垂足,求所有使++为最小的P点.

解：用S表示ABC的面积,

于是得BC•PD+CA•PE+AB•PF=2S (1)

并设λ>0,则有

+λ2 •BC•PD≥2λ•BC

λ2 •CA•PE≥2λ•CA

λ2 •AB•PE≥2λ•AB

将上面三式相加,并利用(1整理可得

++≥2λ(BC+CA+AB)-2λ2S

易见上式当且仅当PD=PE=PF=,即p为ABC的内心时等号成立,于是λ=,因而使++为最小的点p是ABC的内心,且其最小值为.

2.4 结构的巧变

例7（第6届IMO试题）已知a,b,c为ABC的三条边,求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.

证明：原不等式等价于下面的不等式

a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc≤abc

a2(b+c-a)+b2(c-b)+c2(b-c)+ a2(b2+c2-2bc)≤abc

a2(b+c-a)+(c-b)2(b+c-a)≤abc

(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)≤abc (1)

因为•≤[(b+c-a)+(c+a-b)]=c

同理：•≤b

•≤a

以上三式相乘便得(1),于是原不等式得证.

以上七个例题简单介绍了利用基本不等式解竞赛题的常用的几种处理技巧.关于不等式问题还有其他一些解决方法,比如变量代换,增量代换等.

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小学数学竞赛活动和素质教育本来不是一对矛盾，但随着素质教育的观念不断深入人心，素质教育的活动不断开展，就出现了把小数竞赛活动和素质教育对立起来的倾向，认为既然搞素质教育，就必须面向全体学生，竞赛活动是少数学生参和的活动，小学是打基础的阶段，要面向每一个学生，所以不能再搞面向少数学生的竞赛活动了。我认为这些观点有失偏颇。下面就这个新问题谈点个人肤浅的熟悉。

1 素质教育的深刻内涵到底是什么

勿用置疑，我国由“应试教育”向素质教育转轨肯定是正确的，也是非常及时的，这是提高整个中化民族文化素养的需要。但我们的教育再不能再忽左忽右的错误，一提素质教育，就把它和英才教育对立起来，把全面发展和个性发展对立起来，并把全面发展简单地理解为平均发展，搞教育上的平均主义，没有正确熟悉受教育的机会平等和教育平等的关系，这样做，势必要压制部分学生的才能，不利于学生的个性发展，更谈不上培养跨世纪的创新人才了。大家知道，二十一世纪综合国力的竞争，是科学技术的竞争，是人才的竞争，谁把握了未来世界上最先进的科学技术，谁就拥有了未来世界。由此可见，培养众多具有创新精神的杰出人才，是我国教育的当务之急。所以，我认为，素质教育的深刻内涵，并不是要我们培养一大批乌合之众，而是要我们除了面向全体学生，培养全面发展的学生以外，还要培养出大量的具体有科学精神和创新意识的人才，为我国“实施科教兴国战略奠定坚实的人才和知识基础”。

2 小数竞赛活动的育人功能决定了它在素质教育中的重要地位

数学是一切学科的基础。“数学是科学的大门和钥匙”(培根语)。科技的发展，时代的进步，迫切需要提高全体国民的数学素质。而小学数学竞赛活动在其中能起到积极的推动功能。这是因为这一活动具有以下特征摘要：

2.1 基础性。数学竞赛活动来源于课堂知识，没有超出《大纲》规定的范围，有很强的基础性。一般来讲，竞赛内容都是课本上那些星号题和思索题，是本来就该让那些“吃不饱”的学生把握的知识，这样，竞赛活动不但能促使学生学习课堂知识，还能使教学内容得以引申，从而提高教学效果。

2.2 趣味性。前苏联教育家苏霍姆林斯基曾指出摘要：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、探究者。而在儿童的精神世界中，这种需要则非凡强烈”。小学数学竞赛活动正满足了学生的这种需要。在新奇有趣的这知识和巧妙奇异的解题方法面前，同学们被数学所展示的神奇聪明和艺术般的魅力所吸引，探索、求知的欲望被最大限度地调动起来。在求解数学理论的过程中，既能心得到百思不得其解的困惑和寻求解题方法的艰辛，又能心得灵感突临的惊喜和科学发现的乐趣，从而激发出钻研数学的浓厚喜好和解决疑难新问题的渴望。

2.3 竞争性。未来社会是一个布满竞争的社会，我们的教育必须从小就向学生灌输竞争思想，使竞争意识和儿童的成长同步进行。心理学家托伦斯曾做过竞争条件下学生创造性思维的实验，结果表明，每个年级的学生在思维灵活性、清楚性和流畅性等方面都远远优于非竞争条件下的情况。我们的竞赛活动正为学生提供了一个竞争的机会，它能极大地激发同学们奋发向上的精神，培养他们追求真理和克服困难、百折不挠的思想品质.

2.4 超前性。数学能力是儿童超出各科知识之前首先表现来的能力，并极具发展潜力，数学竞赛活动为他们提供了一个施展才能的舞台，使得他们不拘泥课本，突破思维定势，敢于创新，养成良好的思索新问题的习惯，把数学发展潜力转化为现实的数学能力，使那些天资优异的孩子们的才华得以最充分的开发。

正是由于小数竞赛活动具备如此的育人功能，所以这一活动从开展以来，一直深受广大学生及家长的欢迎，也深受社会各界有识之士的重视

3 数学竞赛活动是数学学科教学体系中的重要一环

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【关键词】高中；数学竞赛；课程化

随着高中新课程的实施，高中课程体系已发生了巨大的变化，在原有课程基础上突出了多元化选修课程的开发和运用。不少学校正在着手进行多个领域选修课程的开发和走班教学的实施。竞赛类辅导恰好适合这一要求，竞赛辅导从选拔到培训与选修课程多元化的分层分类教学实施刚好吻合。深化课程改革为竞赛辅导赢得了一片广阔的天地。

在新形势下，高中数学竞赛辅导势必需要进行相应的改革，而高中数学竞赛课程化必将是这一改革的主要方向。所谓的课程化就是开设一系列高中数学竞赛课程，允许不同层次不同年级的学生选择，以各种形式开展辅导和教学质量考核，使之变成一门学校系统化的课程。它可以使学有余力的同学获得更广泛的空间，使有兴趣的数学爱好者选择到喜欢的选修课，使参加数学竞赛各级赛事的同学有针对性的辅导，使没有得奖的参与者获得课程学分，使更多的学生能对数学学习感兴趣。我们认为，高中数学竞赛课程化必须做好以下四项工作。

一、制定课程教学方案

竞赛辅导工作是中学数学教学的重要组成部分。“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的竞赛原则。在这样的原则指引下，必须通过制定竞赛辅导活动的课程大纲，建立明确的活动目标体系和系统的竞赛辅导规划，使学科竞赛辅导更加科学规范。目前不少中学已经在选修课中实行学分制，可以配备专业指导教师，把竞赛辅导变成既有组织又有开放灵活性的课程活动。通过参加各个层次的数学竞赛，为学生提供展示数学才能的舞台，让学生在竞赛中体验乐趣，数学竞赛活动课程化就是将每一项辅导活动都按照课程实施步骤进行，做到“六个有”，即有规划、主题、有目的、有内容、有实施、有评价。在每学期开学都必须由教研组专人负责或是教学大纲、课程方案等内容上报教务部门。

二、充分挖掘课程资源

建立良好的数学竞赛氛围，才会有广泛的学生基础，也就更能从中选拔出拔尖的数学人才。培养专业化的师资同样需要学校的良好氛围，这些都是课程资源的重要元素。建立数学竞赛辅导专用教室，购置数学竞赛书库，提高竞赛辅导课时津贴等措施，都是对课程开发开设的保障。竞赛辅导教师充分研究竞赛辅导教材，作为最基础的竞赛课程资源，合理科学地使用好辅导教材，能激发学生学习数学的兴趣，拓展思维方式。多挖掘和介绍社会热点资源，激起学生学习热情，使学生产生解决问题的强烈欲望，体现了正面的数学竞赛的教育价值。

三、规范课程教学行为

规范竞赛辅导形式，从一对一到一对多的课程形式都加以明确，参与必须通过一定的基础选拔，人数容量应有一定限制。为了切实达到教学效果和保证教学质量，对于选课人数的限定具有一定的特殊性。原则上每门课的选课人数不应超过40人。可以采取每门课划分AB班的形式来解决。将竞赛辅导分为比赛型和兴趣型，AB班不同难度不同侧重，实行动态管理。比如，对参加比赛实力不足，但对数学学习有兴趣的，编到B班，经过一段时间学习，能力得到较大提高，有一定实力参加区域数学竞赛的，允许换到A班。既可以激发兴趣，也可以有不同的培养侧重。在竞赛辅导中，不仅仅是题海战术的重复训练，应强化学生数学素养的养成，数学能力的提高。让学生在实践中提高，在锻炼中获得成长。允许学生走出教室，在生活中寻找数学问题，拓展学生的视野；在数学学习中提高生活质量，完善人格。

四、完善课程教学评价

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三角恒等式与三角不等式

一、基础知识

定义1

角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

定义2

角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。

弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L

，则其弧度数的绝对值|α|=

,其中r

是圆的半径。

定义3

三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x

轴的正半轴重合，在角的终边上任意取

一个不同于原点的点P

，设它的坐标为（x

），到原点的距离为r,则正弦函数s

α=r

,余弦函数co

α=r

正切函数tan

α=

，余切函数cot

α=y

，正割函数se

α=x

,余割函数c

α=.y

定理1

同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan

α=αcot

1,s

α=αcsc

1，co

α=αsec

；

商数关系：tan

α=α

αααsin

cos

cot

,cos

sin

；

乘积关系：tan

α×co

α=s

α,cot

α×s

α=co

α；

平方关系：s

2α+co

2α=1,

tan

2α+1=se

2α,

cot

2α+1=c

2α.

定理2

诱导公式（Ⅰ）s

(α+π)=-s

α,

s(π+α)=-co

α,

tan

(π+α)=tan

α,

cot

(π+α)=cot

α;

（Ⅱ）s

(-α)=-s

α,

s(-α)=co

α,

tan

(-α)=-tan

α,

cot

(-α)=cot

α;

（Ⅲ）s

(π-α)=s

α,

s(π-α)=-co

α,

tan

=(π-α)=-tan

α,

cot

(π-α)=-cot

α;

（Ⅳ）s

???

??-απ2=co

α,

???

??-απ2=s

α,

tan

???

??-απ2=cot

α（奇变偶不变，符号看象限）。

定理3

正弦函数的性质，根据图象可得y

inx

（x

∈R

）的性质如下。

单调区间：在区间??

22,2

2πππ

πk

上为增函数，在区间??

?++

πππ

π232,22k

上为减函数，

最小正周期：2π.

奇偶性：奇函数

有界性：当且仅当x

=2kx

+2π时，y

取最大值1，当且仅当x

=3k

π-2

时,

取最小值-1，值域为[-1，1]。

对称性：直线x

π+

均为其对称轴，点（k

π,

0）均为其对称中心。这里k

∈Z

定理4

余弦函数的性质，根据图象可得y

=co

∈R

)的性质。

单调区间：在区间[2k

π,

π+π]上单调递减，在区间[2k

π-π,

π]上单调递增。

最小正周期：2π。

奇偶性：偶函数。

有界性：当且仅当x

=2k

π时，y

取最大值1；当且仅当x

=2k

π-π时，y

取最小值-1。值域为[-1，1]。

对称性：直线x

π均为其对称轴，点??

0,2π

πk

均为其对称中心。这里k

∈Z

定理5

正切函数的性质：由图象知奇函数y

=tanx

≠k

π+

2π)在开区间(k

π-2π,

π+2

)上为增函数,

最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k

π，0），（k

π+2

，0）均为其对称中心。

定理6

两角和与差的基本关系式：co

s(α±β)=co

αco

αs

β,

(α±β)=s

αco

β±co

αs

β;

tan

(α±β)=

tan

1()

tan

(tan

βαβα

两角和与差的变式：2222

sin

cos

sin()sin()αββααβαβ-=-=+-

2222

cos

sin

cos

sin

cos()cos()αββααβαβ-=-=+-

三角和的正切公式：tan

tan

tan()1tan

tan

αβγαβγ

αβγαββγγα

++-++=

---

定理7

和差化积与积化和差公式:

α+s

β=2s

???

??+2βαco

???

??-2βα,

α-s

β=2s

???

??+2βαco

???

??-2βα,

α+co

β=2co

???

??+2βαco

???

??-2βα,

α-co

β=-2s

???

??+2βαs

???

??-2βα,

αco

β=21[s

(α+β)+s

(α-β)],

αs

β=21

(α+β)-s

(α-β)],

αco

β=21[co

s(α+β)+co

s(α-β)],

αs

β=-2

[co

s(α+β)-co

s(α-β)].

定理8

二倍角公式：s

2α=2s

αco

α,

s2α=co

2α-s

2α=2co

2α-1=1-2s

2α,

tan

2α=

tan

1(tan

22αα

三倍角公式及变式：3

sin

33sin

4sin

ααα=-，3

cos34cos

3cos

ααα=-

(60)s

34α

ααα-+=，1

cos(60)cos

cos(60)cos34

αααα-+=

定理9

半角公式:

2α=2)cos

1(α-±,

=2)cos

1(α+±,

tan

2α=)cos

1()

cos

1(αα+-±=

.sin

)cos

1()

cos

1(sin

αααα-=+

定理10

万能公式:

??+?

??=

2tan

12tan

2sin

2ααα,

???

??+???

??-=2tan

12tan

1cos

22ααα,.2tan

12tan

2tan

2???

??-???

??=ααα

定理11

辅助角公式：如果a

是实数且a

2+b

2≠0，则取始边在x

轴正半轴，终边经过点(a

)的一个角为β，

则s

β=22b

+,co

β=2

+，对任意的角α.a

α+bco

α=)(22b

(α+β).

定理12

正弦定理：在任意ABC

中有R

2sin

sin

===，

其中a

分别是角A

，B

，C

的对边，R

为ABC

外接圆半径。

定理13

余弦定理：在任意ABC

中有a

2=b

2+c

2-2bco

，其中a

分别是角A

，B

，C

的对边。

定理14

射影定理：在任意ABC

中有cos

cos

=+，cos

cos

=+，cos

cos

定理15

欧拉定理：在任意ABC

中，2

2OI

=-，其中O,I

分别为ABC

的外心和内心。

定理16

面积公式：在任意ABC

中，外接圆半径为R,内切圆半径为r

，半周长2

++=

则211sin

2sin

sin

(sin

sin

)224a

abc

=====++

222

1)(c

==++

定理17

与ABC

三个内角有关的公式：

（1）sin

sin

4cos

cos

;222

++=

（2）cos

cos

14sin

sin

;222

++=+

（3）tan

tan

++=

（4）tan

tan

1;222222

++=

（5）cot

cot

1;A

++=

（6）sin

2sin

24sin

sin

++=

定理18

图象之间的关系：y

inx

的图象经上下平移得y

inx

的图象；经左右平移得y

+?)的图象（相位

变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的

，得到y

ω(0>ω)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A

倍，得到y

inx

的图象（振幅变换）；y

(ωx

+?)(ω>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A

倍，得到y

inx

的图象（振幅变换）；y

(ωx

+?)(ω,

?>0)(|A

叫作振幅)的图象向右平移ω

个单位得到y

ωx

的图象。

定义4

函数y

inx

???-∈2,2ππx

的反函数叫反正弦函数，记作y

inx

∈[-1,

1])，

函数y

=co

∈[0,

π])

的反函数叫反余弦函数，记作y

cco

∈[-1,

1]).

函数y

=tanx

∈2,2ππx

的反函数叫反正切函数。记作y

ctanx

∈[-∞,

+∞]).

函数y

=co

∈[0,

π])的反函数称为反余切函数，记作y

ccotx

∈[-∞,

+∞]).

定理19

三角方程的解集，如果a

∈(-1,1)，方程s

inx

的解集是{x

π+(-1)n

ina

∈Z

}。

方程co

的解集是{x

=2kx

±a

cco

∈Z

如果a

∈R

，方程tanx

的解集是{x

π+a

ctana

∈Z

}。

恒等式：a

ina

cco

2π；a

ctana

ccota

π.

定理20

若干有用的不等式：

（1）若???

?∈2,

0πx

，则s

inx

（2）函数sin

=在(0,)π上为减函数；函数tan

=在(0,)2

上为增函数。

（3）嵌入不等式：设A+B+C=π，则对任意的x,y,z

∈R

，

有2

2cos

++≥++

等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC.

二、方法与例题

1．结合图象解题。

例1

求方程s

inx

=lg

|的解的个数。

【解】在同一坐标系内画出函数y

inx

与y

=lg

|的图象，由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。

2．三角函数性质的应用。

例2

设x

∈(0,

π),

试比较co

s(s

inx

)与s

(co

)的大小。

【解】

若??

??∈ππ,2x

，则-1所以s

(co

)

≤0,又02x

π?

∈

，则因为s

inx

+co

=2s

4π)≤2π，

所以co

s(s

inx

)>co

-co

)=s

(co

综上，当x

∈(0,π)时，总有co

s(s

inx

)3．最小正周期的确定。

例3

求函数y

(2co

s|x

|)的最小正周期。

【解】

因为co

s(-x

)=co

，所以cos

|=co

所以T

=2π是函数的周期；

4．三角最值问题。

例4

已知函数y

inx

2cos

1+，求函数的最大值与最小值。

【解法一】

令s

inx

=???

??≤≤=

+ππ

θθ4304

sin

2cos

1,cos

则有y

=).4

sin(2sin

2cos

2π

θθθ+

因为

ππ

4304≤≤，所以ππθπ≤+≤42，所以)4

sin(0π

θ+≤≤1，

所以当πθ43=，即x

=2k

π-2π(k

∈Z

)时，y

=0，当4πθ=，即x

=2k

π+2

∈Z

)时，y

=2.

【解法二】

因为y

inx

+)cos

1(sin

2cos

1222

++≤

+=2（因为(a

)2≤2(a

2+b

2)），

且|s

inx|≤1≤x

2cos

1+，所以0≤s

inx

2cos

1+≤2，

所以当x

2cos

1+=s

inx

，即x

=2k

π+2

∈Z

)时,

=2，

当x

2cos

1+=-s

inx

，即x

=2k

π-2

∈Z

)时,

=0。

5．换元法的使用。

例5

求x

cos

sin

1cos

sin

++=

的值域。

【解】

设t

inx

+co

=).4sin(2cos

22sin

222π+=???

??+x

因为,1)4

sin(1≤+

≤-π

所以.22≤≤-t

又因为t

=1+2s

inxco

,所以s

inxco

=212-t

，所以2

1121

2-=+-=t

，所以

.212212-≤≤--y

因为t

≠-1，所以121-≠-t

，所以y

≠-1.所以函数值域为.212,11,212??

??--???-+-∈

6．图象变换：y

inx

∈R

)与y

(ωx

+?)(A

ω,

?>0).

例6

已知f

)=s

(ωx

+?)(ω>0,

0≤?≤π)是R

上的偶函数，其图象关于点???

??0,43πM

对称，且在区间??

???2,0π上是单调函数，求?和ω的值。

【解】

由f

)是偶函数，所以f

(-x

)=f

)，所以s

(ωx+?)=s

(-ωx

+?)，

所以co

inx

=0，对任意x

∈R

成立。又0≤?≤π，解得?=2

，

因为f

)图象关于??

??0,43πM

对称，所以)43()43(x

++-ππ=0。

取x

=0，得)4

3(πf

=0，所以sin

.024

3=???

??+πωπ

所以243ππωπ+=k

∈Z

)，即ω=32(2k

+1)

∈Z

又ω>0，取k

=0时，此时f

)=sin

(2x

2π)在[0，2

]上是减函数；

取k

=1时，ω=2，此时f

)=sin

(2x

+2π)在[0，2

]上是减函数；

取k

=2时，ω≥310，此时f

)=sin

(ωx

+2π)在[0，2

]上不是单调函数，

综上，ω=3

或2。

7．三角公式的应用。

例7

已知sin

(α-β)=

135，sin

(α+β)=-

135，且α-β∈???

??ππ,2，α+β∈??

??ππ2,23，求sin

2α,cos

2β的值。

【解】

因为α-β∈??

??ππ,2，所以cos

(α-β)=-.1312)(sin

-=--βα

又因为α+β∈??

??ππ2,23，所以cos

(α+β)=.1312)(sin

12=+-βα

所以sin

2α=sin

[(α+β)+(α-β)]=sin

(α+β)cos

(α-β)+cos

(α+β)sin

(α-β)=169

120

cos

2β=cos

[(α+β)-(α-β)]=cos

(α+β)cos

(α-β)+sin

(α+β)sin

(α-β)=-1.

例8

已知ABC

的三个内角A

，B

，C

成等差数列，且B

cos

2cos

1cos

1-=+，试求2

cos

-的值。

【解】

因为A

=1200-C

，所以cos

-=cos

(600-C

)，

又由于)

120cos(cos

cos

)120cos(cos

1)120cos(1cos

1cos

00C

-+-=+-=+

222

1)2120cos()

60cos(2)]2120cos(120[cos

21)60cos(60cos

2000000-=---=-+-C

，

所以232

cos

22cos

242--+-C

=0。解得222cos

=-C

或8232cos

-=-C

A。

又2

cos

->0，所以222cos

=-C

A。

例9

求证：tan

20?+4cos

70?

【解】

tan

20?+4cos

70?=??20cos

20sin

+4sin

20?

??+=+=20cos

40sin

220sin

20cos

20sin

420sin

???+=++=20

cos

40sin

10cos

30sin

220cos

40sin

20sin

.320cos

20cos

60sin

220cos

40sin

80sin

==+=?

例10

证明：7

cos77cos521cos335cos

64cos

+++=

分析：等号左边涉及角7x

、5x

、3x

、x

右边仅涉及角x

，可将左边各项逐步转化为x

sin

、

cos

的表达式，但相对较繁.

观察到右边的次数较高，可尝试降次.

证明：因为,cos

33cos

cos

4,cos

3cos

43cos

+=-=所以

从而有x

226cos

9cos

3cos

63cos

cos

16++=

)2cos

1(2

)2cos

4(cos

326cos

+++++

cos

20cos

2cos

30cos

4cos

12cos

6cos

2cos

64,

2cos

992cos

64cos

66cos

1cos

327

6+++=+++++=

cos

353cos

215cos

77cos

cos

20cos

153cos

65cos

7cos

+++=++++++=

评述：本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷.

另本题也可利用复数求解.

令

77)1

(cos

128,,1cos

2,sin

cos

+=+=+=αααα从而则，展开即可.

例11

已知.

20012tan

2sec

:,2001tan

1tan

1=+=-+αααα求证

证明：)4tan()22

sin()22cos(12cos

2sin

12tan

2sec

απαπαπ

αααα+=++-=+=+.

2001tan

1tan

1=-+=αα.2001tan

1tan

1=-+=

αα

例12

证明：对任一自然数n

及任意实数m

,,,2,1,0(2

=≠

π为任一整数），

有

.2cot

cot

2sin

14sin

12sin

-=+++

思路分析：本题左边为n

项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多

中间项.

证明：,2cot

cot

2sin

2cos

cos

sin

2cos

22sin

2cos

cos

22sin

122x

-=-=-=

同理

4cot

2cot

4sin

1-=

……

2cot

2sin

11-=-

评述：①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.

②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：

-+++α

ααααααtan

tan

)1tan(3tan

2tan

tan

1cot

1cos

cos

88cos

12cos

1cos

11cos

0cos

2cot

2tan

22tan

2tan

1122=+++-=++++++ααααααn

例13

设ABC

?的内角A

,,所对的边,,a

成等比数列，则

sin

cot

cos

sin

cot

cos

的取值范围是（

）

(0,)+∞

)+∞

[解]

设,,a

的公比为q

，则2,b

==，而sin

cot

cos

sin

cos

sin

cot

cos

sin

cos

sin

++=

sin()sin()sin

ππ+-=

====+-．

因此，只需求q

的取值范围．

因,,a

成等比数列，最大边只能是a

或c

，因此,,a

要构成三角形的三边，必需且只需a

+>且

+>．即有不等式组

22,a

?+>??+>??即22

10,10.q

?--解得q

，因此所求的取值范围是．故选C

例14

ABC

内接于单位圆，三个内角A

、B

、C

的平分线延长后分别交此圆于A

1、B

1、C

1，

则C

sin

2cos

111++?+?+?的值为（

）

．2

．4

．6

．8

解：如图，连BA

1，则AA

1=2sin(B+

2cos(2)222sin(2)2C

-=-+++=

cos(2cos

2cos

)22cos(22cos

-=-++-+=-=π

,sin

sin

)2cos(B

+=-+π

同理,sin

sin

2cos

+=,sin

sin

cos

),sin

sin

(sin

22cos

2cos

111C

++=++原式=.2sin

sin

)

sin

(sin

2=++++C

选A.

例15

若对所有实数x

，均有sin

sin

cos

?+?=，则k

=（

）.

、6；

、5；

、4；

、3．

解：记()s

=?+?

，则由条件，()f

恒为0，取2

=，得

()s

12k

π=-，则k

为奇数，设21k

=-，上式成为sin

12n

ππ?

?-=-

???，因此n

为偶数，令2n

=，则

41k

=-，故选择支中只有3k

=满足题意．故选D

例16

已知()()

2222212f

=++-++-是偶函数，则函数图象与y

轴交点的纵坐标的最大值是

解：由已知条件可知，2

10a

+-=，函数图象与y

轴交点的纵坐标为2

+-。令,s

cos

θθ==

，

则2222

2sin

cos

sin

cos

2sin

θθθθθθ+=+=--+≤

选

A。

例17

已知,R

αβ∈，直线

1sin

sin

cos

αβαβ+=++与1cos

sin

cos

αβαβ

+=++

的交点在直线y

=-上，则cos

sin

ααββ+++=。

解：由已知可知，可设两直线的交点为00(,)x

-，且,in

αα为方程

1sin

cos

ββ

-+=++，

的两个根，即为方程2

0sin

(cos

)sin

(cos

ββββββ-++-=+的两个根。

因此cos

(sin

sin

cos

)ααββ+=-+，即cos

sin

ααββ+++=0。

、＝。

2、已知函数)45

41(2)cos()sin()(≤≤+-=

πx

，则f

)的最小值为_____。

3、已知

3sin

)2sin(=+αβα，且),(2

,21Z

∈+≠+≠π

πβαπβ。则

ββαtan

)tan(+的值是_

__.

4、设函数f

)=3sin

+2cos

+1。若实数a

、b

、c

使得af

)+bf

)=1对任意实数x

恒成立，则a

cos

5、设0)cos

1(2

θθ

+的最大值。

6、求证：.112tan

312tan

18tan

3=++

7、已知a

0=1,

-(n

∈N

+)，求证：a

2+n

8、已知.

cos

sin

)tan(:,1||),sin(sin

-=+>+=ββ

βαβαα求证

9、若A

，B

，C

为ABC

三个内角，试求s

inA

inB

inC

的最大值。

10、证明：.2

sin

21sin

)2sin()sin()2sin()sin(sin

ββαβαβαβαα++

+++++++n

11、已知α，β为锐角，且x

·（α+β-2π

）>0，求证：.2sin

cos

sin

cos

??+?

??x

αββα

12、求证：①16

78cos

66cos

42cos

6cos

②sin1°sin2°sin3°…sin89°=.10641(45?

全国高中数学竞赛专题-三角恒等式与三角不等式

实战演练答案

1、解：根据题意要求，2

605x

+≥+，2

0571x

+≤+≤。于是有2

715x

+=+。因此

cos01==。因此答案为

1。

2、解：实际上)4541(2

)4sin(2)(≤≤+-=x

πx

，设)4541)(4sin(2)(≤≤-=x

ππx

，则g

)≥0，g

)在]43,41[上是增函数，在]4

,43[上是减函数，且y

)的图像关于直线43=x

对称，则对任意]43,41[1∈x

，存在

]45,43[2∈x

，使g

2)=g

1)。于是)(2)(2)(2)()(22

212111x

=+≥+=+=，而f

)在]45,43[上是减

函数，所以554)4

()(=

≥f

，即f

)在]4

,41[上的最小值是554。

3、解：

.213131sin

)2sin(1sin

)2sin(]sin

)2[sin(21]

sin

)2[sin(21

sin

)cos(cos

)sin(tan

)tan(=-+=-+++=-+++=?+?+=+α

βααβααβααβαβββαββαb

4、解：令c=π，则对任意的x

∈R

，都有f

)+f

)=2，于是取2

==b

，c=π，则对任意的x

∈R

，af

)+bf

)=1，

由此得1cos

-=a

b。

一般地，由题设可得1)sin(13)(++=?x

，1)sin(13)(+-+=-c

?，其中20π2

tan

=?，

于是af

)+bf

)=1可化为1)sin(13)sin(13=++-+++b

??，即

0)1()cos(sin

13cos

)sin(13)sin(13=-+++-+++b

???，

所以0)1()cos(sin

13)sin()cos

(13=-+++-++b

??。

由已知条件，上式对任意x

∈R

恒成立，故必有??

??=-+==+)3(01)2(0

sin

)1(0cos

，

若b

=0，则由(1)知a

=0，显然不满足(3)式，故b

≠0。所以，由(2)知sin

=0，故c=2k

π+π或c=2k

π(k

∈Z

)。当

c=2k

π时，cos

=1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2k

π+π(k

∈Z

)，cos

=?1。由(1)、(3)知21

，所以1cos

-=a

b。

5、【解】因为020π

，所以s

2θ>0,

θ>0.

所以s

2θ（1+co

θ）=2s

2θ·co

=2cos

2cos

2sin

22222θθ

θ???

≤3

22232cos

2cos

2sin

22??

???

?θθθ=.9342716=

当且仅当2s

2θ=co

22θ,

即tan

2θ=22,

θ=2a

ctan

22时，s

(1+co

θ)取得最大值934。

6、思路分析：等式左边同时出现

12tan

18tan

、

12tan

18tan

+，联想到公式β

αβ

αβαtan

tan

1tan

tan

)tan(-+=+.

证明：

12tan

312tan

18tan

3++

112tan

18tan

)12tan

18tan

1)(1218tan(312tan

18tan

)12tan

18(tan

3=+-+?=++=

112tan

18tan

)12tan

18tan

1)(1218tan(312tan

18tan

)12tan

18(tan

3=+-+?=++=

18tan(3

18(tan

3=+?=+=

评述：本题方法具有一定的普遍性.

仿此可证)43tan

1()2tan

1)(1tan

+++22

2)44tan

1(=+

等.

7、【证明】

由题设知a

>0，令a

=tana

∈??

??2,

0π，

则a

.tan

2tan

sin

cos

1tan

1sec

tan

1tan

111

1111

12n

==-=-=

-+-------

因为21-n

，a

∈???

??2,0π，所以a

=121-n

，所以a

=.210a

又因为a

0=tana

1=1，所以a

0=4π，所以n

??=21·4π。

又因为当0时，tanx

，所以.2

2tan

22++>=n

ππ

注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x

∈??

??2,

0π时，有tanx

inx

，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。

8、分析：条件涉及到角α、βα+，而结论涉及到角βα+，β.故可利用αβαβββαα-+=-+=)()(或消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A

”入手.

证法1：

),sin(sin

βαα+=A

),sin()sin(βαββα+=-+A

cos(sin

))(cos

sin(),sin(sin

)cos(cos

)sin(βαβββαβαββαββα+=-++=+-+A

cos

sin

)tan(,0)cos(,0cos

,1||A

-=+≠+≠->βββαβαβ从而

cos

sin

)tan(,0)cos(,0cos

,1||A

-=+≠+≠->βββαβαβ从而

cos

sin

)tan(,

0)cos(,

0cos

1||A

-=+≠+≠->βββαβαβ从而

cos

sin

)tan(,0)cos(,0cos

1||A

-=+≠+≠->βββαβαβ从而

证法2：αβαβββαβααββββsin

)sin(cos

sin

)sin()sin(sin

cos

sin

-++=+-=-A

tan(sin

)cos(sin

)sin(])sin[()sin(cos

sin

)sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=).tan(sin

)cos(sin

)sin(])sin[()sin(cos

sin

)sin(βαββαβ

βαββαβαβββα+=++=-+-++=).tan(sin

)cos(sin

)sin(])sin[()sin(cos

sin

)sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=

9、【解】

因为s

inA

inB

=2s

+co

2sin

22B

+≤-,

①

inC

3sin

3cos

3sin

+≤-+=C

②

又因为3

sin

3cos

43sin

3sin

sin

ππ

≤-

-++

++=+++C

，③

由①，②，③得s

inA

inB

inC

3π≤4s

所以s

inA

inB

inC

≤3s

3π=233,当A

时，（s

inA

inB

inC

）m

=233.

注：三角函数的有界性、|s

inx

|≤1、|co

|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调

性等是解三角最值的常用手段。

10、证明：)],2

cos()2[cos(212sin

sin

βαβαβ

α--+-=

)]sin()2sin()sin([sin

sin

)]2

2cos()212[cos(212sin

)sin(,

)]2

cos()25[cos(212sin

)2sin()],2cos()23[cos(212sin

)sin(βαβαβααβ

βαβαββαβαβαββαβ

αβαβ

βαn

+++++++-+-++-=++-+-=++-+-=+

各项相加得类似地

sin

)2sin()]2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--++-=n

1sin

)2sin()]

2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--+

+-=n

所以，.2

sin

)2sin()sin()sin(sin

βββαβαβαα++=+++++n

评述：①类似地，有.2

sin

)2cos(21sin

)cos()cos(cos

βαββαβααn

++=

+++++

②利用上述公式可快速证明下列各式：2sin

cos

2sin

cos

3cos

2cos

cos

θθθθθθ+=++++n

.21

97cos

95cos

93cos

9cos

75cos

73cos

9cos

等=+++=++ππ

πππππ.

2197cos

95cos

93cos

9cos

175cos

73cos

cos

等=+++=++πππππππ

11、【证明】

若α+β>2π，则x

>0，由α>2π-β>0得co

απ-β)=s

β,所以0又s

α>s

(2π-β)=co

β,

所以0β

sin

cos

0,所以βαsin

cos

>1。

又0β

sin

cos

>1，

所以2sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

=???

?+?

??x

，得证。

注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。

12、证明：①cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66°

54cos

78cos

42cos

16154cos

4)183cos(4154cos

478cos

42cos

18cos

=?==

.16154cos

4)183cos(4154cos

478cos

42cos

18cos

=?==

.16

154cos

183cos(4154cos

478cos

42cos

18cos

=?=

②sin1°sin2°sin3°…sin89°

=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60°

387sin

6sin

3sin

)41(29?

60sin

30sin

)87sin

33sin

27(sin

)66sin

54sin

6)(sin

63sin

57sin

3(sin

3)4

(30=

45)54sin

36)(sin

63sin

27)(sin

72sin

18)(sin

18sin

9(sin

3)41(81sin

18sin

9sin

3)41(4040???=??=

45sin

)54sin

36)(sin

63sin

27)(sin

72sin

18)(sin

18sin

9(sin

3)41(81

sin

18sin

9sin

3)41(4040???=??=

又)72cos

1)(36cos

1(41)36sin

18(cos

-+=

165)72cos

36cos

1(4

)72cos

36cos

72cos

36cos

1(41=+=--+=

165)72cos

36cos

1(4

)72cos

36cos

72cos

36cos

1(41=+=--+=

165)72cos

36cos

1(4136cos

72cos

36cos

1(41=+=--+=

即

.45

36sin

18cos

所以

.106)4

(89sin

2sin

1sin

45?=

36sin

18cos

3)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)4(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

篇9

[关键词]数学竞赛高职高专创新能力培训模式

[作者简介]张耘（1964- ），女，北京人，北京联合大学应用科技学院，讲师，研究方向为高等职业教育、数学应用。（北京 102200）

[中图分类号]G712 [文献标识码]A [文章编号]1004-3985（2013）20-0175-01

大学生数学竞赛起源于美国和苏联，莫斯科大学从20世纪70年代开始就一直在举办高等数学竞赛，美国也一直举办大学生数学竞赛，以1938年起美国举办的普特南（Putnam）数学竞赛最具影响力。中国自1981年开始由各省市和各高校每年举办一次高等数学竞赛。自2010年开始经北京市数学学会和北京市数学学会大学委员会研究决定，数学竞赛组委会决定在全国数学竞赛的基础上增设专门面向专科、高职院校学生的丁组比赛，主要面向各专科、高职院校二年级或二年级以上的在校大学生，竞赛内容是高等数学一元微积分。竞赛在每年10月举办一次，至今已成功举办三届。该项赛事是对高职院校非理科专业数学教学水平的很好检验，北京联合大学应用科技学院（以下简称“我院”）作为一所高职高专院校，一直是赛事的积极参与者，旨在以竞赛和竞赛训练为平台，激发高职学生学习数学的积极性，提高数学应用能力，培养和选拔创新人才，促进数学课程改革。

一、数学竞赛是高职生能力培养的平台

教育部《关于加强高职高专教育人才培养工作的意见》（教高[2000]2号）指出：“高职高专教育人才培养模式的基本特征是：以培养高等技术应用性专门人才为根本任务；以适应社会需要为目标、以培养技术应用能力为主线设计学生的知识、能力、素质结构和培养方案，毕业生应具有基础理论知识适度、技术应用能力强、知识面较宽、素质高等特点。”高职高专院校在培养学生时注重从“知识、能力、素质”方面培养。而高等数学竞赛正是为适应高职高专的“技术应用性”人才培养目标应运而生的。

数学竞赛的宗旨是通过数学基础知识和解题能力，训练运用数学知识解决实际问题能力和创新能力。教育工作者应努力培养和提高学生这方面的能力，将我国传统教育中以学科和知识为中心转变到更高层次的智力活动创新上来，在提高学生的应用能力方面下功夫。科学技术的日新月异，社会对人才的评价标准发生了新的变化，要求人才具备迅速掌握新知识的能力。我们提倡的素质教育必须以“创新”为基本培养目标，教育的指导思想要围绕“创新精神”和实践能力进行。数学竞赛是高职生能力培养的平台，学生除了要掌握最基本的数学素养外，还要掌握科学的通用知识的基础，解题技巧和运算能力，创新意识和创新思维，为今后可持续发展创造必要条件。

二、高职生参与数学竞赛的心理分析

针对目前高职学生普遍数学基础薄弱，学习数学积极性和热情不高，缺少学习的动力，甚至对数学产生畏惧心理等现状来看，人们一般会认为，高职学生对数学竞赛的参与意识不强，但从我院三年来组织学生参加数学竞赛的实际经验来看，一些工科类、经济类专业的学生报名参赛的热情和积极性很高，这在一定程度上说明了有大批学生是喜欢数学和热爱数学的，他们想证明自己，展现自己。无疑，数学竞赛无形中成为他们展现自己，重新定位，确立新目标的一个重要平台。教师要抓住这批学生的心理，因势利导，不断地鼓励、激发他们的自信心，使得他们最终能勇敢地参与到数学竞赛这项活动中来，起到以点带面的作用，激发全体学生学习数学的积极性和热情，实现“以赛促教”，通过数学竞赛推动整个高职院校数学基础课程的改革。

三、构建科学合理的培训模式

1.开设数学竞赛选修课。第一阶段是辅导阶段。可以通过“数学竞赛辅导”公共选修课程的形式进行，选修课程学时建议为32学时。开设选修课程的目的是避免以往竞赛培训的松散型管理模式。一方面学生自主选修，目标明确，兴趣点和积极性强，对于最终没有获得参赛资格的学生也能获得学分，学生们不会感觉在浪费时间，培训终有所得。另一方面，教师需按照常规教学方式制定选修课程的教学大纲、安排教学进度、布置批改作业、进行单元测试等，这有利于把握教学环节，掌握学生学习动态，挖掘尖子生。参加培训的学生在一种有计划、有敦促、有指导、有互动的教学环境中得到系统的复习和训练，使之在潜移默化中得到思维的训练和提升。

2.综合测评选拔学生。第二阶段是选拔参赛学生阶段。选修课程结束后学生便进入选拔阶段，选拔模式一般要综合考虑学生的主动参与意识、任课教师的推荐、第一学期微积分数学成绩、选修课考核成绩等。为选拔出真正有实力的学生，选拔模式要引入分段培训、逐轮选拔、综合测评机制，科学评定学生的综合素质和应试能力，最终选拔出具有一定实力的参赛学生。

3.指导学生强化训练。第三阶段是强化训练阶段。对选的学生可以开始进入强化训练阶段，主要任务是进行解题技巧指导与解题能力训练。教师负责指导参赛学生重视基础知识和基本技能的训练，避免眼高手低，不盲目追求难题偏题。学生通过强化训练，做到基本知识和方法娴熟运用，基本运算和推导得心应手，基本知识体系和知识脉络了然于胸等。要注重解题思路的启发，引导学生逐渐学会和掌握解题技巧。

4.网络课堂下载资源。辅助阶段。培训模式中还应包含有一些辅助功能要件，其中最不可或缺的一项就是要配套建设网络课堂，通过在网络课堂中增设“数学竞赛”版块，方便学生利用业余时间，随时随地进行各种相关资源的下载，并通过“师生互动”版块与教师进行即时非即时的交流和探讨。辅导教师在“数学竞赛”版块中根据进度安排，即时每个章节的自测题与配套解题指导等，学生利用业余时间自主复习，独立演练，循序渐进，逐步提升。学生通过多见题多练习，提高解题的熟练程度，进而达到熟能生巧，开阔眼界，培养对题目的理解和解题的感悟力，通过数量上的积累，进而达到质量上的提升。

5.备战比赛模拟演练。冲刺阶段。高等数学竞赛不同于数学建模类的开放性竞赛，是以闭卷形式在规定的时间内由学生独立完成的，对参赛学生的数学基础知识掌握的牢固程度、思维灵活性方面、解题技巧以及心理素质等方面都是很大的考验。在临近比赛时，还要进行一至两次的模拟竞赛，按照以往竞赛真题，由竞赛辅导教师出模拟竞赛试卷，试卷要求把握在“题型和分值”上与真题保持一致，以便学生对数学竞赛提前有个直觉上的认知，使他们在最终进入正式比赛时不会产生畏惧心理，能够得心应手，在竞赛中发挥出应有的水平，力争在竞赛中创出佳绩。

四、数学竞赛对课程建设的意义

针对高职高专数学基础课程改革而言，加强教学方法和教学手段改革是提高教学质量的重要内容。通过组织高职高专学生参加数学竞赛，可以充分提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，培养他们的创新思维，符合高等职业教育中对应用型人才培养的需求，能够实现以赛促教，提高学生的综合素质。同时，通过表彰数学竞赛获奖少部分群体，可以带动整个学校的学风建设。在学科竞赛中获奖的学生，大多是在学生中比较优秀的群体，他们在竞赛获奖表彰中，获得班级乃至全校更大的关注，在学生中必会产生强烈的示范作用和广泛的影响力，有助于优良学风的营造与形成，必将带动全校整体教学水平的提升，学生培养质量也会得到显著提高。因此，有效的数学竞赛对于课程体系建设和教学内容改革有着重要的意义。

数学竞赛是对知识的深入理解、系统归纳和实践运用的过程，竞赛结果集中体现了学生对知识的理解和运用能力，能培养学生对数学的浓厚兴趣，使其具备发展型的知识结构，开拓研究型的学习方法，追求科学发展的心理素质，有着常规教学所不能及的、特殊的创新教育功能。数学竞赛又能检验课程教学计划、教学内容的合理性，发现教与学中存在的问题，为教学改革提供了很好的借鉴作用。综上所述，数学竞赛作为学生能力培养的平台，对培养高职学生的“知识、能力和素质”三个方面发挥着重要的作用，对整个高职数学课程建设具有重要的意义。

[参考文献]

[1]教育部关于加强高职高专教育人才培养工作的意见（教高[2000]2号）[Z]. 2000-01-17.

篇10

关键词：完全平方公式；数学竞赛；推广公式

由两个基本的公式：（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2，我们可以推广得到以下一组公式：

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（1）

（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2=2（a2+b2+c2）+2（ab+bc+ac）（2）

（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=2（a2+b2+c2）-2（ab+bc+ac）（3）

（a2+b2）（c2+d2）=（ac+bd）2+（ad-bc）2=（ac-bd）2+（ad+bc）2（4）

由（1）可得：a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ac）（5）

由（2）-（1）得：a2+b2+c2=（a+b）2+（b-c）2+（a+c）2-（a+b+c）2（6）

由（3）+（1）得：a2+b2+c2=■[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2+（a+b+c）2]（7）

由（2）+（3）得：

a2+b2+c2=■[（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2+（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]（8）

灵活选用以上公式，可以简单、快速地求解一些竞赛题，下面请看一些例子.

例1.有3个正整数a，b，c，且a>b>c，从中任取2个有3种不同的取法，将每种取法取出的2个数分别作和与作差，得到如下6个数：42，45，64，87，109，151，则a2+b2+c2=（）（2013“希望杯”初二第2试）

A.12532 B.12533

C.12534 D.12535

解析：由于本题是求三个整数的平方和，且题目给出了三个数中任意两个的和与差，满足公式（8），直接利用公式（8）可得：

a2+b2+c2=■[（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2+（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]

=■[（422+452+642+872+1092+1512）]

=■（1764+2025+4096+7569+11881+22801）=12534

故正确选项为C.

评注：通过以上解析过程可以发现，此解法根本不需要a，b，c为正整数及a>b>c这两个条件，事实上，只要知道这三个数中任意两个的和与差即可求出它们的平方和。出题者可能是考虑到有些学生可能想不到这个公式，因此加上这两个条件，引导学生从三个整数的大小关系入手，结合作和与作差所得的6个整数进行逻辑分析，求出a，b，c的值，然后代入计算得出答案。虽然也能得到正确解答，但是如果能从整体上把握题目特征，利用变形公式求解，就显得简单、明快.

例2.已知实数a，b，c满足a2+b2+c2=49，a+b+c=a3+b3+c3=7，求a，b，c的值.

分析：由已知条件联想到公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+

2ac，然后获得解题思路.

解：a2+b2+c2=49，a+b+c=7，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac即49=49+2ab+2bc+2ac，

ab+bc+ac=0，从而可得：

a2b+a2c=-abc，ab2+b2c=-abc，ac2+bc2=-abc，

7=a3+b3+c3=（a+b+c）（a2+b2+c2）-（a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2）

=7×49+3abc，

abc=-112.

评注：解答本题的关键在于根据条件联想到公式，然后构造相关代数式求解.把此题稍加改变，就得到下面这道竞赛题：

例3.若实数a，b，c满足a+b+c=2，ab+bc+ac=0，abc=-1，则a3+b3+c3= .（18届“华杯赛”初一）

分析：由已知条件联想到公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，从而求出a2+b2+c2，然后再构造代数式a3+b3+c3求解.

解：a+b+c=2，ab+bc+ac=0，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，

a2+b2+c2=4，

从而a3+b3+c3=（a+b+c）（a2+b2+c2）-（a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2）

由ab+bc+ac=0，abc=-1得：a2b+a2c=1，ab2+b2c=1，ac2+bc2=1

a3+b3+c3=2×4-3=5.

评注：解答本题的关键在于根据题目条件想到推广公式（1），构造出所要求的代数式。以上两例本质上是一样的，事实上，稍加分析以上两题解答过程可得

a3+b3+c3=（a+b+c）（a2+b2+c2）-（a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2）

=（a+b+c）[（a+b+c）2-2（ab+bc+ac）]-（a+b+c）（ab+ac+bc）+3abc

=（a+b+c）[（a+b+c）2-3（ab+bc+ac）]+3abc

因此，四个代数式a+b+c，ab+bc+ac，a3+b3+c3，abc，知其中任意三个的值，可以求出另外一个的值。

例4.已知a+b+c=0，a2+b2+c2=1.（1）求ab+bc+ca的值；（2）求

a4+b4+c4的值（2009年北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛）.

解：（1）由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac得：

ab+bc+ca=■[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]=-■

（2）a4+b4+c4=（a2+b2+c2）2-2（a2b2+b2c2+a2c2）

=1-2[（ab+bc+ca）2-2abc（a+b+c）]=1-2×（-■）2=■.

评注：本题考查对推广公式的灵活运用。

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