数学分析范文

导语：如何才能写好一篇数学分析，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

一、他人的经验及方法

把一定数量的物品平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有余（盈）；每人多分，则物品不足（亏）。已知所盈和所亏的数量及两次每人所分的数量，求人数的应用题叫盈亏问题。

盈亏问题的基本解法是：份数=（盈+亏）÷两次分配数的差；

物品总数=每份个数×份数±盈亏数。

解答盈亏问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本公式求出分配人数，进而求出物品的数量。

趣味数学之《木长几何》――《孙子算经》里有这样一道题：今有木，不知长短。引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺。木长几何？（屈绳的意思是把绳子对折，度是量的意思，四尺五是4.5尺）

分析：用绳量木，绳子多出4.5尺，把绳对折再量，绳子又短1尺，可推出单股绳子比对折起来长5.5尺，多出的5.5尺正好是绳子的一半（如图）。

解答：绳子的长度：（4.5+1）×2=11（尺）

木料的长度：11-4.5=6.5（尺）

答：（略）

分析中，“用绳量木，绳子多出4.5尺，把绳对折再量，绳子又短1尺，可推出单股绳子比对折起来长5.5尺。”这里用到了一点点“盈亏问题”。为什么这样说呢？遇到类似问题还能用这种方法解答吗？请关注下面的内容。

二、建立数学模型

他人的方法及经验看似简单易行，可事实并非如此。学生机械地套用公式，并不完全理解解题思路，题目稍加变化，他们又束手无策了。

笔者引导学生先分析并找出“盈亏问题”的特点――它就是两种有余数的除法，再根据有余数除法各部分间的关系，建立“盈亏问题”总的数学模型：

“盈亏问题”总的数学模型中两次被平均分的总数――被除数是一定（不变）的；平均分的标准不同，我们归纳为两种，即除数1和除数2；分得的结果中的份数――商也是一定（不变）的，分得的结果中的余数――盈亏数则不同，我们把它们分别定义为余数1和余数2。当被除数和商不变时，除数变大，余数则会变小，反之。

两次分得的余数之间的差，我们把它定义为“总差”，两次平均分的标准之间的差，我们把它定义为“小差”。正因为有分得的结果之一“商”那么多个“小差”才汇成最后结果之二“余数”间的“总差”，即“小差×商=总差”。于是，关键问题“商”就得到解决：商=总差÷小差。

如“幼儿园买来一些玩具，如果每班分7个玩具，则多出2个玩具；如果每班分10个玩具，则差13个玩具，幼儿园有几个班？这批玩具有多少个？”的数学模型：

三、进行数学分析

根据建好的数学模型，我们进行“盈亏问题”的数学分析：

从上面的模型中可以看出：

第二种分法的总个数比第一种分法的总个数多（2+13）个为“总差”，第二种分法比第一种分法每班多分（10-7）个为“小差”，每班多分的“小差”乘班数就等于最后的“总差”。由此可以求出幼儿园共几班这个关键问题。

这个幼儿园有（2+13）÷（10-7）=5（班）

求出了模型中的商，再根据有余数的除法中“被除数=商×除数+余数”就可求出这批玩具共有多少个了。

这批玩具有7×5+2=37（个）或10×5-13=37（个）

答：（略）

四、适时推广应用

我们通过建立数学模型和进行数学分析，掌握了“盈亏问题”的解题方法，适当增加难度，加以推广应用。

1.用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米，如果绳子三折时，差1米。求绳子长度和井深。（提示：绳子两折即把绳子平均分成两份，三折即三股。）

很明显，该题不能用“他人的经验及方法”之《木长几何》的方法来进行解答。而《木长几何》题目却能用“盈亏问题”的模型来进行分析和解答。

2.小宏从家到校上学，出发时他看看表，发现如果每分钟步行80米，他将迟到5分钟；如果先步行10分钟后，再改成骑车每分钟行200米，他就可以提前1分钟到校。问小宏从家出发时离上学时间有几分钟？

观察分析，这两题都属“盈亏问题”，只是题中的“盈亏（余数）”不是现成的，需要首先求出。

第1题的数学模型及数学分析：

井深：（5×2+1×3）÷（3-2）=13（米）

绳长：2×13+5×2=36（米）或（13+5）×2=36（米）

答：（略）

《木长几何》数学模型及数学分析：

木长：（4.5×1+1×2）÷（2-1）=6.5（尺）

绳长：6.5+4.5=11（尺）或（6.5-1）×2=11（尺）

答：（略）

通过比较《木长几何》的两种方法，我们发现，他人的经验及方法具有局限性，只能用于特例；而我们的“盈亏问题”模型具有通用性，只要是“盈亏问题”都能用它来解答。

第2题的数学模型及数学分析――

“余数1”：80×5=400（米）

求“余数2”步骤多一些。

①10分钟的步行改成骑车要提前：10-80×10÷200=6（分）

②假如他骑车一直骑到上学时间到时会多行：200×（6+1）=1400（米）

“余数2”也可：（200-80）×10+200×1=1400（米）

小宏从家出发时离上学有：（400+1400）÷（200-80）=15（分）

答：（略）

我相信，只要坚持让学生按数学模型来读题、抄题，数学分析就更加容易和明了，他们就会更好地解决各种数学难题。

篇2

【关键词】辅助函数 构造 应用

【基金项目】江西省教育厅（JXJG-12-15-11）。

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）10-0158-02

在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析，综合运用数学基本概念和原理，经过深入的思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造函数法。

构造函数的方法内涵十分丰富，没有固定的模式和方法，构造过程充分体现出了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归等思想。使用构造函数法是一种创造性的思维活动，一般无章可循，它要求既要有深厚坚实的基础知识背景，又要有丰富的想象力和敏锐的洞察力，针对问题的具体特点而采用相应的构造方法，常可使论证过程简洁明了。

1.数学分析中如何构造辅助函数

1.1 辅助函数的基本特点

a.辅助函数题设中没有，结论中也不存在，构造辅助函数仅是解题的一个中间过程，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用，如我们熟悉的拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明。

b.同一个命题可构造不同的辅助函数用于解题（不唯一）。

c.表面上看构造辅助函数的思路较宽广（因为不止一个），实质上，不同的辅助函数直接关系到解题的难易（可比较性），因此，构造最恰当的辅助函数是解题的关键。

1.2 构造辅助函数的基本方法

1.2.1 联想分析

要构造一个与所学结果有关的辅助函数，而后再运用已知条件及有关概念，推理得出所要证明的结果，通常是先从一个愿望出发，联想起某种曾经用过的方法、手段、而后借助于这些方法、手段去接近目标，或者再从这些方法和手段出发又去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直至达到我们能力所及的起点或把问题归结到一个明显成立的结论为止，因此，联想是我们构造辅助函数的关键。

例1 已知x>0，证明x-■x2

这是一个含有变量不等式的证明，可以考虑通过移项将不等式化为大于0（或小于0）的形式，然后直接构造辅助函数F（x）通过F′（x）在（a，b）上恒正（或负），知F（x）>F（a）（或F（x）F（x′）（或F（x）

1.2.2 对比分析

运用所学过的相关知识如定积分的定义；定积分计算中的矩形法、梯形法等，结合具体问题进行分析对比，构造辅助函数。

例2 ■[■+■+…+■]。

这是一个和式的极限，该和式又不能直接求和化简，因而一般方法行不通，由定积分定义求和，定积分也是一个和式的极限，我们将和式的极限与定积分的定义式进行对比：

■f（x）dx=■■f（ξ）xi

■[■+■+…+■]=■■■

=■■■・■

对比后之后我们不难发现需要构造的辅助函数为f（x）=■，[0，1]

解：

■[■+■+…+■]

=■■■=■■■・■=■■dx=ln（1+x）|■■=ln2

1.2.3 综合分析

有些命题通过分析，解题中确需构造辅助函数，但上述两种方法都无从下手，这时就需要逆推分析或双推分析（指由条件和结论同时进行推理分析，以期得出某个相同的中间命题），先得出要构造的辅助函数的一些特征（性质），然后再根据这些性质构造辅助函数，即使较为复杂的问题，同样也能构造出恰当的辅助函数。

例3 设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导（0

此结论中涉及两点，因此需要应用微分中值定理，且只用拉格朗日中值定理还不够，还需要用柯西中值定理，为此只有一个函数f（x）还不行，还需再构造一个函数g（x），假设g（x）已确定，且满足柯西中值定理的条件，则（a，b）在上至少存在一点η，使得

■=■ （1）

又因为f（x）在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，所以在（a，b）上至少存在一点ξ，使得

f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a） （2）

由（1），（2）知：

f′（ξ）=■f′（η），ξ，η∈（a，b）

这与欲证结论进行对照不难发现需构造的函数g（x）需具有如下性质：

g′（x）=x，g（a）=0，g（b）=■（或g（b）-g（a）=■）

如果对变上限的积分较熟悉，自然就会想到：g（x）=■tdt，x∈[a，b]

证：设辅助函数g（x）=■tdt，x∈[a，b]

则g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，且g′（x）=x≠0，g（b）-g（a）=■（b2-a2）

由柯西中值定理知：？埚η∈（a，b），使得■=■=■

所以η（f（b）-f（a））=f′（η）・（g（b）-g（a））=f′（η）・■（b2-a2）

又因为f（x）在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，

所以？埚ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）

代入上式得η・f′（ξ）・（b-a）=f′（η）・■（b2-a2），故f′（ξ）=■f′（η）。

总之，辅助函数离不开分析，推理和联想，恰当的构思、巧妙的假设、充分的推理论证是每个研究数学分析的人们所不可缺少的数学修养和素质。

2.构造辅助函数在数学分析中几个方面的应用

2.1 辅助函数在讨论根的存在性问题中的应用

例4 证明：设函数f（x）在[0，2a]上连续，且f（0）=f（2a），则在[0，a]上至少有一点，使f（x）=f（x+a）。

证：令F（x）=f（x）-f（x+a），则因为f（x）在[0，2a]上连续，f（x+a）在[0，a]上连续，所以f（x）在[0，a]上连续。

由于F（0）=f（0）-f（a），

F（a）=f（a）-f（2a）=-[f（0）-f（a）]，

故若f（0）-f（a）=0，则f（a）=f（0）=f（2a），即当x=a时，有f（x）=f（x+a）。

若f（0）-f（a）≠0，则F（0）F（a）

2.2 辅助函数在应用微分中值定理证题中的应用

微分中值定理主要是指三大微分中值定理，即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。解决这类相关命题的问题，构造恰当的辅助函数是关键。在前面综合分析中的例3，我们已经利用构造辅助函数解决了一些微分中值定理相关的命题。

2.3 辅助函数在不等式证明中的应用

在不等式证明的问题中，构造恰当的辅助函数是关键，可以将不等式通过恒等变形，将结论转化为容易消除导数符号的形式。

作辅助函数的目的是化未知为已知、化难为易、化繁为简。在数学分析的教学过程中，有意识地培养学生掌握构造法并且能够运用构造函数法来解决问题，有助于他们加深和概括所学知识、拓宽视野、培养学生良好的逻辑思维能力。

参考文献：

[1]孙清华等. 工程数学分析习题与例题解析[M]. 武汉：华中科技大学出版社，2002.

[2]陈国干. 高等数学中如何构造辅助函数[J]. 江苏广播电视大学学报，1996，10（2）：27-28.

篇3

关键词：MATLAB；数学分析；绘图

中图分类号：O1-4

在高等学校中，数学分析是数学专业的一门重要基础课，传统的教学模式主要由教师讲解定义、定理、公式，进行计算或证明；造成了在学习过程中被动学习，难以将数学知识理解透彻。而将MATLAB应用在数学分析的教学中，第一可以加强学生对抽象理论的理解，将抽象理论形象化，更深入地理解理论的本质精髓；第二是在实验中可以提高学生的计算速度及能力，将繁难的计算通过计算机简单地求解，节省时间。本文结合数学分析这门课程和MATLAB软件的特点，阐述了MATLAB软件在数学分析教学中的3种运用。

1 MATLAB的绘图功能在数学分析教学中的应用

在数学分析的教学中，经常会碰到空间立体图形（旋转体）的绘制，如果这类图形在传统的教学中的绘制往往复杂，耗时耗力，并难以得到理想的图形和效果。如使用MATLAB 来解决所遇到的这些图形问题，能达到事半功倍的效果。

例1：画出函数z=x2绕z轴旋转所得旋转体图形。

z=f（x）围绕z轴旋转，则将等式改写成z=f（r），x和y则用笛卡尔坐标转换得到：

x=rcos（θ）

y=rsin（θ）

相应的MATLAB程序如下：

s=100；x=linspace（0，5，s）；th=linspace（0，2*pi，s）；

[xx，tth]=meshgrid（x，th）；

subplot（1，2，2）rr=xx；

zz=rr.^2；xx=rr.*cos（tth）；

yy=rr.*sin（tth）；

surf（xx，yy，zz）

相应的旋转体图形如图1所示：

图1 函数z=x2绕z轴旋转所得图形

2 MATLAB在数学分析中插值问题的应用

数学分析中遇到的许多问题是只给出[a，b]上部分变量的函数值，这些数据点反映了一个函数关系y=f（x），然而并不知道f（x）的解析式。数据插值的任务就是根据那些点构造一个函数y=g（x），用g（x）近似f（x）。MATLAB提供了一维、二维、三维及N维数据插值函数。下面以二维数据插值为例。

例2：某实验室对一根长5m的材料进行热源的温度传播测试，x表示测量点距离，h表示时间，t表示测得各点的温度，结果如下：

用3次样条插值求出在60秒钟每个10秒，材料每隔0.5m的温度。相应的MATLAB程序如下：

x=0：2.5：10；h=0：30：60；

t=[85，4，0，0，0；78，38，22，2，0；57，54，44，38，31]；

x1=[0：0.5：60]； h1=[0：10：60]'；

t1=interp2（x，h，t，x1，h1，'spline'）；mesh（x1，h1，t1）

结果如图2所示：

图2 用3次样条插值得到的温度分布图

3 MATLAB在极限中的应用

极限是数学分析的基础，对于初学者来说，极限的概念理解起来很困难，利用MATLAB的作图功能达到几何图形可视化的效果，有助于深刻地把握极限的内涵。

例3 求极限

syms x

f=x^2*sin（1/x）；

y=limit（f，x，0）

得到了函数极限为0。除此之外，利用MATLAB强大的画图功能给出函数的图形，从而直观地观察得出要求解的极限问题。输入如下语句：

subplot（1，2，1）

fplot（'sin（1/x）'，[-0.0001，0.0001]）

subplot（1，2，2）

fplot（'x^2*sin（1/x）'，[-0.0001，0.0001]）

便可以得到以下图形：

图3 图4

当x趋于0时，如图3所示，的值在-1与1之间来回波动有界，但没有极限，x=0是函数的振荡间断点。如图4所示，的值不断振荡，但趋近于0。从而也验证了有界函数与无穷小量的积为无穷小量。

本文利用MATLAB的强大的绘图和数据处理功能，将数学分析教学中遇到的抽象的、难以理解的内容和复杂的运算，尽可能以图形和数据的方式表达出来，这有利于提高学生对学习数学分析的兴趣。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010：145，227.

篇4

数学分析入门教材有许多，如：

1、《数学分析第四版上册》，2010年7月高等教育出版的图书，作者是华东师范大学数学系。普通高等教育“十一五”国家级规划教材。内容包括实数集与函数、数列极限、函数极限、函数的连续性、导数和微分、微分中值定理及其应用、实数的完备性、不定积分、定积分、定积分的应用、反常积分等，附录为微积分学简史、实数理论、积分表；

2、《数学分析原理》，1976年出版的图书，作者是Walter Rudin。涵盖了高等微积分学的丰富内容，精彩的部分集中在基础拓扑结构、

（来源：文章屋网 ）

篇5

关键词：数学分析；考核方式；调查

资助项目：西北农林科技大学2013年校级教学改革研究项目“高等数学建模教学法研究――农林类高等数学课程教学的继续改革与实践”[项目编号： JY1302096]。

作者简介：李明华（1984―），男，山东潍坊人，理学博士，西北农林科技大学理学院讲师，研究方向：最优化理论与方法。一、在学习数学分析过程中的不良现象笔者在2012年9月～2013年11月给信息与计算科学专业2012级62名学生讲授数学分析（华东师范大学数学系编写的《数学分析》第四版），考核方式是平时以交作业为主（占总成绩的30%）和期末考试（占70%）两种方式，但是通过前两个学期的作业和考试试卷答题情况，发现有如下问题存在：①作业完成不认真，书写潦草，符号不规范，计算过程过于简略；②作业的证明或计算版本一般在3个左右，或出自某一同学之手，或出自参考书上的答案，抄袭现象严重；③考试中很多答案都是答非所问。

针对上述三种情况，笔者专门抽查了几位学生来了解具体情况。加上之前对他们的初步了解，把学生大致分为如下几种类型：

（1）对数学爱好的：10人左右，他们学习数学的方法还停留在高中时的思维习惯上。

（2）对数学算不上很感兴趣，也算不上讨厌的：20人左右，他们学习数学没有压力但动力不足，只是为了完成任务而学习。

（3）对数学有厌烦感的：15人左右，他们进入大学以来，感觉数学分析不是他们想象中的高等数学，于是产生了迷茫和畏难情绪。

（4）对数学比较厌烦的：10人左右，这些学生是高考时志愿被调剂到信息与计算科学这个专业的，本身在填报志愿时根本没有选择数学这个专业。

（5）其他：5人，因为大一时调专业或其他一些情况，离开该专业的学生，此类学生不在后续的调查范围之内。

经过这次初步了解，上述（1）中的学生，学习方法和学习理念上需要加以调整。（2）（3）中的学生还是愿意学数学分析的，只是对数学分析中理论的推导不知道该如何下手。而（4）中的学生，他们是希望能了解或理解所学的内容的，但仅凭课堂上的讲授对他们来说还不充分。

二、平时考核方式的转变1考核题目

针对第二十章曲线积分、第二十一章重积分和第二十二章曲面积分，笔者给学生布置了如下三个题目：

（1）第一类曲线积分和第二类曲线积分的区别和联系（概念的理解、两类曲线积分的联系等）。

（2）针对三重积分，解释柱面坐标变换和球面坐标变换，并分别用两种方法来计算如下两个题目：

例1，计算Vz2dxdydz，其中V由x2+y2+z2≤R2和x2+y2+z2≤2Rz所确定。

例2，求由x2+y2=az和z=2a-x2+y2所围成的立体图形的体积。

（3）总结第二类曲面积分的各种计算方法，并分别用来计算如下题目：

例3，计算S（x+y）dydz+（y+z）dzdx+（z+x）dxdy，其中S是以原点为中心，边长为2的立方体表面并取外侧为正向。同时，证明斯托克斯公式。

笔者认为以上三个题目如果能弄清楚，对这三章内容的学习将会非常有帮助。而且第一个问题（1）对理解第二十二章两类曲面积分之间的联系有较大帮助。第二个题目（2）对重积分的计算和各种变换方法的理解也帮助不小。第三个题目（3）对第二类曲面积分中的方向性的理解也会加深印象且可以掌握欧拉公式。并且证明斯托克斯公式可以把格林公式、第二类曲面积分的计算方法及两类曲面积分的关系都很好地融会贯通起来。因此，笔者认为如果学生能弄清楚上述三个题目，那么对本学期的主要内容就有了基本的掌握。

2考核方式

学生在课下弄清楚之后，给笔者讲解。

3考核对象

2012级信息与计算科学专业57名

学生。

4考核目的

笔者希望通过这样的考核方式，与学生探讨如下问题：

（1）大学课堂上的讲授不同于高中课堂，不再是反复讲解一个问题，要弄清楚所学内容，需要自己课下与同学讨论，或者到图书馆查看相关书籍，或者在网上搜索相关学校的讲课视频，总之，要学懂数学分析，老师仅仅是引路人，关键看自己。

（2）课堂上讲的内容仅仅是一种理解方法，或者说仅仅是重点讲授，并不够全面，离大家真正搞清楚所学内容还有很大距离。

（3）虽然老师讲的，学生有可能没有完全消化，但是老师没有讲的，学生在一定的基础上，通过各种方式完全有可能去理解透彻，事在人为。

（4）在课下学习过程中，学生也可能会遇到一些问题，这些问题可能老师并没有强调，却困扰着自己，此时自己也完全可以凭借各种方式去解决这些问题。

（5）学生可能觉得自己对这个问题已经很清楚，但是面对老师却可能讲解不出来，或者在讲解过程中出现一些自己之前没有想到的问题。

（6）数学问题经过同学间的讨论会变得越来越清晰，而且可能会从其他同学那借鉴不同的理解方式和思路。

三、考核效果

（1）倾向后者考核方式的学生为：43人；倾向前者考核方式的学生为：14人。

（2）同意后者考核方式的学生提出了如下建议：①题目应具有一定的探究性；②学生组成小组讨论某章节的内容，然后课堂时间讲授；③题目能有一定应用；④在未讲授某章节之前，让学生自己预习去解决相关题目；⑤前后题目的设计上关联性更强一些；⑥题目量稍多一些，涵盖面更广一些。

从整体上来看，支持第二种考核方式的学生比较多，不支持第二种考核方式的学生大多是对数学比较不感兴趣的。因此，笔者认为第二考核方式是比较有效的，但是还需要从多个方面去改进这种方式，如上述学生所提的建议都很不错。

数学分析这门课程无论是哪个版本，展现给学生的都是思考的结果而非思考的过程。所以教师在讲授的过程中，难免是授人以鱼，而达不到授之以渔的目的。而笔者认为采用平时考核方式恰恰是要教会学生学数学的方法。

参考文献：

曹明.浅谈数学分析课程的教学感悟.陕西教育・高教版，2013（7）.

篇6

本书共有6章，3个附录。1.可和函数空间与偏微分方程，内容包括傅里叶级数与偏微分方程、勒贝格空间、索伯列夫空间；偏微分方程存在性理论； 2.凸集与凸函数， 内容包括凸集、正常凸函数、凸对偶、凸性的作用、凸性的一般逼近；3.变分法的形式体系，内容包括拉格朗日形式体系和经典哈密顿形式体系； 4.微分形式，内容包括多重向量与余向量、微分k齐式的积分、斯托克斯定理、向量演算、闭型与正合型；5.测度与积分法，内容包括测度、可测函数与积分、积空间与测度、勒贝格积分中的变量的变化；6.豪斯多夫测度与拉东测度，内容包括抽象测度、测度微分法、豪斯多夫测度、面积与共面积公式。最后是附录A.数学家与其他科学家；附录B.文献注释；附录C.索引。每一章结尾都有练习题。

本书的两位作者是《数学分析》（Mathematical Analysis）丛书的作者，这套丛书还包括其它4册图书：《数学分析：单元函数》（Mathematical Analysis： Functions of one Variable）；《数学分析：近似与离散过程》（Mathematical Analysis： Approximation and Discrete Processes）；《数学分析：线性与度量结构及连续性》（Mathematical Analysis：Linear and Metric Structures and Continuity）；《数学分析：多元函数入门》（Mathematical Analysis：An Introduction to Functions of Several Variables）。

《函数分析及其应用》（Journal of Analysis and Its Applications）杂志对这一套数学分析丛书已经出版的各卷作了如下的评论：“相关理论的内容介绍得很清晰，所有的定理都具有严谨的证明，每一章均给出小结，结尾给出具有不同程度要求的练习题……适合数学、物理、工程、计算机科学和所有技术和科学系的学生阅读。”

本书可以用作大学高年级学生及研究生课程的补充教科书或者自学读物，也可以作为数学、物理及工程研究人员有价值的参考书。包括本书在内，这套丛书的共5本书所具有的关键优势之一是通过例题、观察、练习及图表来激发起读者理解主题的学习兴趣。

篇7

【关键词】复变函数 数学分析 应用

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）22-0097-02

复变函数是数学分析的一门后续课，数学分析是在实数域上建立起来的一门学科，而复变函数是在复数域上来研究一些相关问题而产生的。虽然这两门学科研究的数域不同，但它们具有一些相同的定理和性质，在许多定义上也是相同的。从而这两门学科之间存在着密不可分的联系，其中一个重要的联系是两者之间有一定的相互应用关系。下面从两个方面谈谈复变函数与数学分析之间的一些具体相互应用。

一 数学分析在复变函数中的应用

由复变函数的定义可知，一个复变函数实际上是由两个二元实函数所确定的，即对任意在定义域内的z=x+yi，f（z）=u（x，y）+iv（x，y），其中x，y，u，v都为实数。因此研究复变函数的一些性质可以通过研究这两个二元实函数来解决。下面主要介绍数学分析知识在复变函数的连续性、可微性和可积性三方面的应用。

1.在连续性中的应用

定义：设函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在集E上

确定，并且集E的聚点z0∈E，如果 ，则f（z）

在点z0连续。

由于 =f（z0）=u

（x0，y0）+iv（x0，y0），所以可由二元实函数u（x，y）和v（x，y）在点（x0，y0）处的连续性判断f（z）在点z0的连续性。

例1：判断f（z）=Rez在z=1+i点处的连续性。

解：令z=x+yi，则f（z）=Rez=x，即u（x，y）=x，v（x，y）=0。

因此有 f（1+i），所以f（z）=

Rez在z=1+i点处连续。

2.在可微性中的应用

在复变函数和数学分析中可微的定义是相同的，由它们的定义可得下面的定理。

定理1：设函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内确定，那么f（z）在点z=x+yi∈D可微的充要条件是：在点（x，y）处u（x，y）和v（x，y）可微，并且满足柯西

黎曼条件 ， 。

例2：判断函数f（z）=z2的可微性。

解：f（z）=z2=（x+yi）2=x2-y2+2xyi，因此有u

（x，y）=x2-y2，v（x，y）=2xy， ， ，

由u（x，y）和v（x，y）在R2平面上处处可微，并且满足柯西黎曼条件，可得函数f（z）=z2在复平面C上处处可微。

3.在可积性中的应用

由复变函数的积分定义可知：

dx+u

（x，y）dy，从而可以通过计算二元实函数的第二型曲线积分来计算复变函数的积分。

例3：计算积分 ，其中L为单位圆取逆时针方向。

解：由f（z）=Rez=x可得u（x，y）=x，v（x，y）

=0，因为L为单位圆取逆时针方向，所以可令 ，

0≤θ≤2π，

。

二 复变函数在数学分析中的应用

由于不是所有可积函数都可求出其原函数，因此在数学分析中要求出一些积分值是很困难的。而其中有一些积分可利用复变函数的留数知识来计算。下面介绍利用留数计算三种类型的实积分。

1.计算 型积分

在该类积分中令z=eit，则 ，sin t ，dt

，因此 。

例4：计算积分 ，其中常数a>1。

解：令z=eit，则sin t ， ，代入积分得I=

。

2.计算 型积分

定理2：设 为有理函数，其中P（z）=c0zm

+c1zm-1+…+cm（c≠0），Q（z）=b0zn+b1zn-1+…+bn（b≠0）为互质多项式，且符合条件：（1）n-m≥2；（2）在实

轴上Q（z）≠0，于是有

es（f（z）zk）。

例5：计算积分 。

解：令 ，则P（z）=1，Q（z）=（1+z2）2，满足定理2的条件，从而有

。

3.计算 型积分

定理3：设 为有理函数，其中P（z）、Q（z）

为互质多项式，且符合条件：（1）Q（z）的次数比P（z）的

次数高；（2）在实轴上Q（z）≠0，于是有

。

例6：计算积分 。

解：由eix=cosx+isinx可得cosx为eix的实部，则I为

dx的实部。

因为 ，所以

。

参考文献

[1]余家荣.复变函数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010

篇8

目前，全国各个地区正在对中小学课程进行不断的改革，与此改革相对应的新课标下高中数学教材己在国内陆续使用。而现在使用的《数学分析》教材是在原高中教学大纲的基础上编写的，由此产生了数学分析课程与新课标下的高中数学教材在衔接上有脱节现象。为了使学生能够更好地学好数学分析这门课程，为后继课程打下坚实的基础，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，笔者根据近几年来从事数学分析课程教学的实践体会，就数学分析课程的教学改革提出一些看法。

1新课标下数学分析课堂教学现状

1. 1《数学分析》教材与新课标下的高中数学教材在内容上出现不连续的脱节现象

新课标下高中数学教材，为适应社会发展对人才的不同需求，在教学思想、教学理念、教学内容上做了较大的改变，特别是在教学内容做了大量的增加和删减，由于删减过多，出现与数学分析课程内容的脱节现象。如在数学分析教材中涉及到反三角函数的导数和积分，以及反函数求导法则等内容，而学生在高中没有学过反函数与反三角函数的相关内容;对于不定积分计算应使用三角函数的积化和差公式，但新课标下的高中数学教材中没有讲三角函数的和差化积与积化和差公式;在数学分析教材中利用定积分求平面区域的面积、平面曲线的弧长和二重积分的计算等内容上，都要用到极坐标与参数方程等相关内容，但新课标下的高中数学教材中极坐标与参数方程等内容被弱化了，到了大学学生基本都不知道，从而影响学生对知识的理解。

1.2《数学分析》教材和新课标下的高中数学教材在内容上出现较大重复现象

新课标下的高中教材与原来高中教材相比增加了极限、连续、导数与微分及其应用、积分及第一换元积分法等数学分析中的内容，但无论是知识的内涵还是知识的深度等方面的要求都不够，学生学完这部分知识后仍然似懂非懂，知其然不知其所以然，大部分只是停留在模仿和套用公式的阶段。而数学分析课程在大学第一学期开设，而且第一学期主要讲授的内容是一元函数的极限、连续、导数等相关内容，所以很多学生都认为这些内容在高中都学过，对教学内容没有新鲜感，从而失去了求知欲，学习动力不足，很难入门，这必然会对数学分析学习产生不好的影响。

1.3课堂教学方式、教学手段单一

数学分析课程是一门基础性课程，也是核心课程，该课程在大学一、二年级开设，该课程是学生所有大学课程中课时最多、学分最高的课程。但通过讲授该课程发现，近年来学生抄作业的现象比较严重，期末考试不及格率也逐年上升。经分析出现这种现象的原因，一方面，由于近几年高考招生规模的不断扩大，学生入学水平较低，特别是二本院校，学生的基础都不是太好，大部分学生投身数学的兴趣不高，很难学懂、学会数学分析;另一方面，课堂教学方式方法不当。本身数学分析这门课程的学时就长，而现在大部分数学分析老师的课堂教学模式都是以灌输式为主，教学手段也多停留在一支粉笔、一面黑板上，教师细致地讲解每一个定理、法则、公式的推导过程，从而导致老师教得累、学生听得也累，教学效果却往往不是很好，甚至有时会助长某些学生的依赖思想。在课堂教学的安排上，也有一些教师重点讲解一元函数的相关内容，对于多元函数内容的讲解只是轻描淡写，简单介绍一元与多元的相同与不同之处，从而学生对多元函数分析性质很难深入理解，更何况多元函数的图像大部分很难用手画出来，因此不能像一元函数那样利用直观图来理解分析性质。

1.4枯燥无味，理论性过强，学生对课程产生厌烦心理

现在很多学生对学习数学的目的性不明确，并且一些学生的逻辑思维能力和推理能力较差，学习积极性不高。另外，数学分析的教学注重理论的完整性，知识的系统和推理的严谨性，具有高度的抽象性和逻辑性，而且教学过于强调对概念、定理、法则、公式的灌输，不善于概括知识中所蕴涵的数学思想方法，从而导致学生学习起来往往有乏味之感。因此，各方面原因使得学生对数学分析这门课程产生了厌烦心理。

2改进措施

2. 1查漏补缺，补充高中教材删去的知识

在数学分析教学过程中涉及到高中教材删除的知识点时，教师要进行恰当的补充，实施查漏补缺，帮助学生顺利完成初等数学到高等数学知识的过渡。如在讲解第一章函数的内容时，应补讲反三角函数的相关定义、性质、图像及计算方法。在讲第二章的函数极限求法时，可以补讲三角函数的和差化积与积化和差公式，为了便于学生记住公式，可以顺便介绍一下积化和差公式的顺口溜:积化和差相加减，二分之一排在前，正余积化正弦加，余正积化正弦差，余弦积化余弦加，正弦积化负余差。在讲解参数方程求导法则时补讲参数方程。在讲定积分的应用时把极坐标作为新课处理，讲清楚极坐标的概念，以及极坐标与直角坐标系的转换。

2. 2引伸提高，对重复内容的区别与提升

高中数学新课标的实施同时也将部分高等数学内容下放到中学教材中，从而导致在教学内容上有所重复。内容重复主要表现为:一种是二者的知识点基本相同，但中学教材对这些知识点的处理视角、讨论的方法等都比较浅;另一种是知识点和讲解深度基本相同。对不同的重复形式，教师在讲解内容时要采取不同的处理方式。对于第一种情况，在数学分析教学中，应结合高中所学的知识点对这部分内容加以提升和补充。对同一内容，高中和大学的表述、名称或符号等不一致的应重点突出，所以这部分重复内容可作为新课处理。对于第二种情况，教学时可以简单地复习一下知识点，也可以忽略不讲，这样可以节省课时，使得在讲授后面的教学难点时有充足的学时。如在高中新课标教材中把导数的应用作为重点讲解，所以在数学分析教学中，这部分知识可以略讲。

2. 3现代化教学手段与传统教学手段有机结合，提高教学质量

多媒体教学是不同于传统灌输式的教学方式，它比较直观生动，能够增加学生的学习兴趣，可以图文并茂。如在讲定积分的定义时，可以借助多媒体动态演示对积分区间划分越来越细的过程，体现出积分的思想。又如在讲解多元函数的分析性质时，可以利用Matlab, Mathematics等数学软件画出多元函数的图像，学生通过图像可以更直观地看出并进一步理解函数的各种分析性质。然而，完全利用多媒体教学还存在很多的弊端，也不是我们所希望的。数学分析中的一些定理的证明、题目的演算推导过程等内容在黑板上演示效果会更好，从而，将现代化教学手段和传统教学手段有机地结合在一起使用教学，会进一步提高教学效果。同时，在课堂教学过程中，要适当加重多元函数的教学份量，利用数学软件画出多元函数的图像，结合图形理解所研究函数的相关性质。

2. 4渗透数学思想，提高学生的数学素养

在数学分析的课堂教学中，要注重数学思想和数学方法的讲解，讲清概念、定理等数学知识的产生和发展过程，要激发学生学习兴趣.可以适当的讲解数学史知识，通过这种教学方式让学生了解相关知识的由来，了解名人的科研探索精神，以及他们背后动人的故事。例如，讲集合时，可以把集合论的创使人德国著名数学家康托尔(Cantor)的一些小故事讲给学生;还有数学发展史上的三次数学危机、微积分的创立、费马大定理、哥德巴赫猜想等，这些数学史中都包含很多有趣的故事.在讲微分中值定理是，可以简单介绍一下罗尔、拉格朗日、柯西、费马等数学家的简介以及他们对数学的贡献。通过实践发现，把相关数学史的内容穿插到数学分析课堂教学中，可以提高学生的学习兴趣，同时也提高了学生的数学素养。

篇9

关键词：教学特点 课程特点 学习方法

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）11（a）-0247-01

不管是文科学生还是理科学生，在刚入大学时都会遇到微积分的学习问题。下面，根据自身的学习经验及教学经验谈一谈微积分的学习。

1 微积分或数学分析的重要地位

微积分的发明与其说是数学史上，不如说是人类科学史上的一件大事。它是由牛顿和莱布尼茨各自独立地创立的。多年来，微积分或数学分析一直被大学的所有理工类和经济类专业列为一门重要的基础课程。

2 微积分或数学分析的授课特点

作为基础理论课的分析课，在大学的课程学习中，课堂教学是极其重要的，但是大学的数学课堂教学与中学数学的课堂教学相比，是有显著的差别的，差别如下。

2.1 班级人数多

由于大学入学比例逐年增加，大学各专业人数激增，而老师人数相对固定，从而微积分的教学通常是多个班级合在一起学习，课堂人数较多，有时甚至达到150人一个班。由于人数多，教学任务重，通常老师也没有时间让同学们提问题，也没有时间提问同学。再加上由于学生在高中基础、学习水平、理解接受能力存在差异，从而老师授课时只能先照顾大多数，对于跟不上、听不全懂的少数同学则无法细讲、重复讲。

2.2 教学进度快

微积分或数学分析的内容含有微分学和积分学两大部分，在极限理论的基础上建立了一元函数微分学和多元函数微分学以及一元函数积分学和多元函数的积分学，又建立了级数理论和解微分方程的理论，内容极其抽象且丰富，而学时与中学数学课相比又相对较少，一般要求两个学期就要把微积分全部讲授完毕，从而导致每次讲授教材内容较多。另外在教学要求上，大学与中学相比也有很大的不同。大学授课特点是讲重点、讲难点、讲疑点，讲分析问题的思路，讲解题的方法，例题讲授讲究以点带面，要求少而精，而不是像中学上数学课那样，教师通过列举大量典型的例子来反复的讲授某个定理。

3 课程特点

若想学好微积分，必须做到刻苦努力，认真钻研，仔细体会，深刻领悟。

（1）基本概念（定义）的掌握不能似是而非、一知半解，而是必须读懂，清楚，做到理解透彻、并能准确叙述。基本概念是数学理论的基石，如果学生对基本概念不清楚，那么数学的理论就会学不懂，也无法掌握和运用。这就要求不仅要会背诵定义而且能用自己的话准确地表述一个概念，能做到这一点才是真正理解概念的表现。

（2）基本理论（性质与定理）都是由一些概念（定义）、性质与定理组成的，是数学推理论证的基础，也是数学理论证明的核心。微积分中的有些理论非常抽象，对于初学者即使是理解起来都很困难，更别说证明了。从而在微积分的学习中，对于有些定理只要求初学者掌握定理的条件和结论，能做到熟悉定理并学会使用定理，而有些理论则必须牢记，比如中值定理等。

（3）通过做题来掌握数学的基本概念和基本理论，并能理论联系实际将所学内容应用到实际生活中。微积分的学习没有捷径可走，在理解了微积分的概念、理论之后必须通过做题而且是做一定数量的题，来不断加深对微积分概念和理论的理解。大家公认”不做题等于没学数学”，若要逐步提高数学素养可以通过做题实现。

4 探讨微积分或数学分析学习的重要环节

由以上内容，特提出学好微积分需要重视的几个环节。

第一个是听课，听课要集中精力，在听课之前预习的话，听课会更有针对性。在听课的过程中，做好笔记，“好记性不如烂笔头”，边听边记。听课要抓住重点，认真领会老师对问题的分析思路，如果某些问题没听懂，这时千万不要在这些问题上纠结而影响继续听课，此时可以把这些问题先放一放，在问题相应处作上记号，跟上老师教学思路。不懂的问题和有疑问的问题待课后复习时再解决。或自己思考钻研，或与其他同学讨论，或找老师提问，或看指导书等。

第二个环节是复习整理笔记，数学不像别的科目，一天不练就会生疏一些。当天的内容一定要当天复习，否则时间一长就容易忘记，要想再赶上就会比较吃力。复习可以在课下将教材和笔记结合起来进行，按自己的思路对笔记进行整理，整理每次课的内容，就是一个复习的过程。在整理笔记时，能用自己的话复述出当天学习的内容、重点、难点，并问问自己掌握了哪些，还有哪些问题不懂有疑问，解决方法等，通常复习时间与上课时间应相当并更多。

第三个环节是独立完成作业。解题训练是学好微积分的重要组成部分，习题是对教科书内容的扩充与拓展，演算习题是培养学生的理解能力、解题能力及探索能力的重要环节。要把微积分学好，及时认真地完成作业是一个必不可少的学习环节。每次的作业最好在当天完成，但是应该在复习完当天的内容之后进行。切忌边翻书边看例题，照猫画虎式地完成作业，这样做是收不到任何效果的。切忌抄袭，尽量不先看书后的答案。做作业不仅是检验学习效果的手段，同时也是培养、提高综合分析问题的能力、笔头表达的能力以及计算能力的重要手段。认真完成作业是培养同学们严谨治学的一个环节。因此，要求作业“字迹工整、绘图准确、条理清楚、论据充分”。

第四个环节是阶段总结。在学完一节或一章或几章之后，应当对学过的知识进行归纳和总结，将当前学到的内容整理归类，有利于知识记忆的条理化和系统化。这样也有利于从宏观上、整体上对知识的掌握。总结应包括一章中的基本概念，基本理论，重难点;本章解决了什么问题，解决方法;提出了哪些重要理论和结论，解决问题的思路。条理要理清楚，同时归纳出重难点与主要内容以及自己对问题的认识和掌握情况。

总而言之，微积分的学习并不难，只要掌握住微积分课程的特点，按照上述建议去学习，再将学习到的知识应用于实践中，比如参加数学建模等，既强化了对知识的认识，又增加了学习的乐趣。

参考文献

篇10

1微分学原理、方法在中学数学中的应用

在中学数学中,要作出函数的图形,除了利用极易判断出来的函数的单调性以及可明显看出的一些极值点等性质外,最主要的还是依靠描点法作函数的图形，如此作出的图形究竟是不是该函数的真正图形是无法肯定的。而在数学分析中，利用导数判断出函数的单调性、凹凸性,求出极值点和拐点,再利用极限求渐近线，就能精确地画出函数的草图,所以可用微分学原理和方法指导中学数学教学。

(1)讨论函数的单调性中学数学讨论函数的单调性一般只能根据定义,计算很繁琐,对某些函数甚至无法判别,而根据微分学中严格单调的充分条件的定理“若/\对乂?(a,b),有f(X>0威f(X<0),则函数f(X在(a,b内严格增加或严格减少)。”则可使解法简化,并能使问题得以深化和拓展。

(2证明不等式。不等式在中学数学中占据着重要地位,这体现于它在解方程（如解不定方程、三角方程、对数方程等)和有关函数的问题、三角证明题、极值、条件极值、几何证明题等诸方面的应用。不等式的证明方法多种多样,没有一个统一的模式。初等数学常用的方法是恒等变形、数学归纳法、利用二次型、使用重要不等式,其中进行巧妙的恒等变形,形成非负的项或者凑成可利用的重要不等式洳Vb等)是极有生命力和创造力的方法,但这里往往要有较高的技巧。利用微分中值定理、函数的单调性、定积分的性质等有关知识,可使不等式的证明过程大大简化。

2积分法原理和方法在中学数学中的应用

积分学是由不定积分和定积分两部分组成，不定积分是从逆运算的角度把积分看作微分的逆运算而定义的。而定积分是从极限的角度把定积分看作是特殊类型的极限加以定义的,这两类积分从定义形式上看截然不同，但Newton-Leibniz的微积分基本定理揭示了它们的内在联系，使得求一个和式极限这个相当困难的定积分问题转化为通过求不定积分来加以解决,从而使两者成为不可分割的整体,在理论和应用上取得了长足的发展。单从数学分析来看,定积分不仅对求面积、弧长、体积、近似计算等问题十分有用,而且与数学分析的另-组成部分--级数之间建立了联系。

定积分除具有具体应用的优势外，更具有方法上的指导意义。在中学数学中，对一些规则平面图形或空间立体的面积、体积和表面积给出计算的公式,但其中相当一部分公式无法给出推导的方法，在研究体积计算问题时常用的一个重要定理--祖暅定理也只能当作公理介绍，并由它以及长方体的体积公式推出柱、锥、台、球等体积公式。而在数学分析中,有关面积、体积的计算完全可利用积分或重积分精确地计算出来,祖WS定理、柱、锥、台、球等体积公式只须用定积分的定义便可简捷地给出证明。中学数学教师有了数学分析作为工具,在遇到有关面积、体积的计算问题时,可先用数学分析的方法求出解答,这为选择适当的教学方法指明了方向。

3级数理论在中学数学中的应用

级数理论同样是数学分析中的一个重要内容，利用函数的级数展开式可进行近似计算，中学数学用表中的三角函数表、常用对数表等均是利用级数理论求出其近似值来制作。中学教师具备了这些知识后，在日常教学中就不但能教学生如何查表,还可说明造表的理论依据,激发学生学习数学的兴趣。另外,还可用于讲一些常数如数e,数+)的超越性等,为开展中学数学课外活动提供素材。