离散数学范文

导语：如何才能写好一篇离散数学，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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关键词： 离散数学，教学方法，教学手段

【中图分类号】O158-4

On the Teaching "Discrete Mathematics" in

Chenxue Gang Zhou Jiquan

（North China Electric Power University Mathematics， Beijing， 102206， China）

Abstract： In order to stimulate students' enthusiasm for learning， develop their thinking skills and ability， according to the characteristics of Discrete Mathematics Instruction， author of Teaching experience， discrete mathematics teaching were studied. This paper presents some of the reform of teaching methods and means， in the actual teaching has played a certain role in enhancing the quality of teaching.

Keywords： discrete mathematics， teaching methods， teaching means

《离散数学》是计算机科学中重要的基础理论课程之一，它不仅是许多计算机专业课的必备基础，而且对培养学生抽象思维能力和逻辑推理能力有着重要的作用.然而采用以往的教学方法，教学效果往往不够理想.一方面，离散数学知识的分散性令许多学生感到无从下手.另一方面，在传统的离散数学教学中，往往采用“纯数学”教学方法，学生不能很好地体会离散数学对计算机科学的重要意义，所以学习积极性不高.因此，通过教学方法和手段的改革来激发和增强学生的学习兴趣，从而培养学生的创新思维和综合能力，是离散数学教学中非常迫切的需求.本文结合作者近年来从事离散数学课程教学的经验，从教学内容、教学方法、教学手段等方面进行了一些初步探讨.

1精选教学内容

《离散数学》教学内容主要包括数理逻辑、集合论、代数结构及图论等几大分支.各分支均有悠久历史.如果这几部分的内容都要详细讲授，时间上来不及，所以在在教学过程中对讲授内容的选择应当有所侧重.比如简单介绍集合论的理论基础，重点是如何利用集台论的方法解决实际应用问题.在二元关系这部分，重点是二元关系的几个与性质相关问题的论证方法的训练.在数理逻辑上通过将一般命题公式和一阶逻辑公式化成范式，达到强化训练学生逻辑演算能力.图论部分重点放在基本概念的理解和实际问题的处理上，通过对相关定理及其证明思路的理解来体会图论的研究方法.代数系统这部分内容重点放在群论上，尤其要在代数系统、群、子群、循环群、变换群、正规子群的概念及相关问题的理解上下功夫.

2 教学方法探讨

2.1 增加讨论课

老师首先选定讨论的课题，学生分组准备查询相关的文献，并形成自己观点.在讨论课上大家共同交流探讨，从而加深对这门课程的认识.最后各小组完成论文的书写.该方法不仅可以提高学生对离散数学重要性的认识，还可以提高学生互相协作的能力以及书写论文的能力.

2.2 增加趣味性，激发学生的学习兴趣.

“兴趣是 最好的老师”，只有激发起学生的学习兴趣，他们才有真正自主学习的欲望.在教学过程中，根据具体的知识点，介绍它的发展史或者引入趣味问题，增加了学生学习离散数学的兴趣，拓宽了学生们的知识面，提高了学生对离散数学课程学习的积极性与主动性.

2.3 注重归纳与小结

离散数学的内容虽然多且散，但通过归纳和小结，可以用一条主线贯穿始终.离散数学讨论的内容主要包含系统中涉及到的静态（基本概念）与动态（运算、操作、推理）.如集合论中是元素（静态）及其上的运算（动态）；代数系统中是集合（静态）及运算（动态）；数理逻辑中是公式（静态）和推理（动态）.通过归纳与小结，学生能够理清头绪，提高学习效率.

3 教学手段改革

3.1 教学网站建设

信息技术对提高教学质量具有重要的影响，必须予以高度重视.为了提高教学质量，我们建设了一个教学支撑网站，一方面大力推进信息技术在教学中的实际运用，促进教学手段和教学方法现代化；另一方面以此提高教与学的效率.

3.2 重视学生作业，定时测验

离散数学的知识不经过学生的独立思考和多做练习是无法牢固掌握的，因此一定要给学生留一定数量的课后习题.但大部分学生不可能把课本上的习题全部做完，教师也不可能完全批阅.这就要求教师布置作业要选其精华，选题必须要有一定的深度和广度，要覆盖所学的内容，尽量选有启发性质的习题.对于学生的作业，要认真仔细批改，将作业中暴露出来的普遍问题，要进行课堂讲评.通过讲评作业，帮助学生澄清模糊和错误的认识.

3.3 新的考核方式

传统的考核方法就是试卷考试，考察学生的基本知识和基本技能，以及解难题的能力.我们尝试做了一些考核方法的改革，把原来的试卷考试和平时的考核两部分，改成了三部分成绩的统一， 即添加了一个新的内容：写离散数学的论文.把它的评定结果作为成绩的一个重要部分.所写论文必须要求观点明确、主题鲜明和论述严谨，并且具有一定的创新.

4 结束语

总之，要把离散数学这一门课教好，教师就要不断研究新的教学方法和手段，认真掌握教学规律，借助于现代化教学手段，提倡“启发”式教学.教师只要具有扎实的理论功底，并具有对学生高度负责的精神，就一定能够达到良好的教学效果.

参考文献：

[1]赵青杉，孟国艳.关于离散数学教学改革的思考[J].忻州范学院学报，2005，21（5）：6 .

[2]耿素云，屈婉玲.离散数学[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]翁梅，刘倩，冯志慧等.“离散数学”课程教学实践与探索[J].计算机教育，2004（12）：62―63.

[4]钟敏，时念云.改革课程实验提高离散数学教学质量 [J].计算机教育，2008，18.

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【关键词】离散数学；教学内容；教学方法；教学手段

1.引言

离散数学是现代数学的重要分支，是计算机科学与技术专业的重要基础课，主要研究离散结构和离散数量的关系。随着计算机科学技术的迅猛发展，离散数学越来越重要，其基本理论在计算机理论研究以及计算机软件、硬件开发的各个领域都有广泛的应用[1]。

离散数学的授课内容主要分为“数理逻辑”，“集合论”，“代数结构”、“图论”，“组合分析”以及“形式语言与自动机”等几大分支，课程概念较多，定义及定理比较抽象，理论性较强[2]。在教学过程中，如果只从数学方面讲授定义定理，学生理解起来比较困难，容易对本课程的学习失去兴趣。因此，设计精彩的教学内容，改进教学方法，探讨教学手段，以提高学生学习的主动性和积极性，具有重要的意义 。

2.精选教学内容 改变教学观念

2.1 精选教学内容

离散数学是计算机科学与技术本科专业的一门基础课，众多本科高校均开设此课程，其教材也非常丰富。因此，需要教师在符合学校自身办学方略和培养目标的基础上，精选教学内容。笔者工作单位上海电机学院是一所具有技术应用型本科内涵实质和行业大学属性特征的全日制普通本科院校，办学方略注重“技术立校，应用为本”，因此从学校学生培养方案和学校特色出发，对本课程的教学不能照搬研究型大学的授课方式和教学内容。应该从学生的自身素质以及课程应用性的角度出发精选授课内容，培养学生对课程内容的实际应用能力，让学生从枯燥的数学概念中走出来，达到学以致用的目的。

2.2 改变教学观念

在离散数学课程的教学过程中，如果采取传统的教师讲授，学生课堂听课的方式，学生普遍觉得内容枯燥，提不起学习兴趣。因此教师应在传统课堂教学方法的基础上，注重学生的发展和参与，应“以教师为主导，以学生为主体”，在授课过程中从教师为主体变为以学生为主体，在教学过程中设置问题情境，启发学生主动思考，激发学生学习兴趣。

如在讲授图论中最短路径的Dijkstra算法时，如果只是教师讲授算法，学生理解起来比较困难，对算法的具体应用也无法熟练掌握。教师在授课中可结合计算机网络实例，从实际问题出发，让学生根据实际案例探索算法，发表自己的观点，主动的参与到学习过程中。教师在这个过程从讲台走入到学生中间，与学生交流，引导学生对知识从浅到深的分析和理解，并控制学生探讨时间，最后带动学生归纳总结，让学生作为主体参与在课堂教学过程中，培养学生掌握完整的知识体系。

3.改进教学方法，研究教学手段

在教学过程中，运用好的教学方法和教学手段，可以激发学生学习离散数学的兴趣，提高授课质量，帮助学生系统性的掌握所学知识并加以运用。

3.1 注重课程引入

离散数学的定义比较多，学生在学习过程中经常觉得课程的概念非常多，很难掌握并很容易忘记。这就需要教师在讲授定义和定理时，注重知识引入的过程，启发学生学习兴趣并留下深刻的印象。如在讲授命题符号化时，如果直接给出命题符号化的定义，学生不知道这个定义在实际问题如何应用。在讲解过程中，可首先给出一些大家在日常生活中常见的语句，让学生判断语句真假，往往会引起学生的兴趣，在此之后引导学生思考如何将这些语句用数学方式描述，进而给出命题符号化的概念。通过这样的引入，学生对定义的理解会比较透彻，可以做到知其然并知其所以然。

教师还可以在课堂最后，提出趣味性的问题，让学生课下思考，作为下一堂课的引入。如在讲解欧拉图的概念之前，可画一幅图让学生思考是否可以一笔画成，学生会非常踊跃的回答并在课下做出思考，这样在下节课讲授时，学生会非常感兴趣，促进了学生对知识的渴求和理解。

3.2 课堂讨论分析

在离散数学教学过程中，如果教师在讲台上一味的讲解，学生听课时很容易觉得枯燥和疲劳。在授课过程中，教师可以围绕授课内容，提出一些问题进行讨论，带动学生思考。同时，鼓励学生在课堂上提出问题，教师可以安排学生之间互相讨论。如在讲授谓词逻辑中的推理理论时，可以举实际生活中趣味推理的例子，让学生理解知识如何运用，并让学生思考自己在平时遇到的推理问题是否可以用课上的知识解决。通过这样的启发讨论，学生对知识的学习兴趣很高并可以做到举一反三，透彻掌握知识内容。

3.3 加强实验教学

离散数学的基本理论在计算机领域内有着广泛应用，因此在授课过程中应避免单一的理论教学，逐步加强实验教学，将离散数学的理论与计算机实践及其他课程有机结合[3]。如在讲授最优树的Huffman算法时，可以开展实验课，在讲授算法原理的同时，将学生带入实验机房，让学生自己设计算法流程图，并编写程序，通过上机的方式掌握算法的本质。通过实验教学，学生可将所学理论应用于实际案例中，加深对知识的理解，还可以提高学生的学习兴趣和编程能力，并掌握所学内容与其他相关计算机知识的联系，培养了学生综合运用知识的能力。

3.4 注重类比归纳总结

离散数学的概念较多，内容抽象，学生难以理解，但是很多内容之间则存在一定的联系，教师可通过类比归纳的方式，帮助学生理解。如数理逻辑中，谓词逻辑的推理理论和命题逻辑的推理理论，在理解上有一定的联系，因此在讲授谓词逻辑的过程中，可以与命题逻辑的推理论相比较，分析异同。再如图论中的欧拉图和哈密尔顿图的定义，可以用类比的方法，让学生直观理解二者的含义和区别[4]。同时，教师可以在授课过程中适时的归纳总结。比如学完数理逻辑后，可以对数理逻辑的两章内容进行归纳，提取出知识主线，加强学生对知识由浅入深的掌握。

3.5 多媒体辅助教学

在离散数学的教学过程中，可以灵活的采取多媒体辅助教学。教师可根据教学内容的不同增加趣味性的背景知识，通过图像、声音和动画，使学生直观的接受新内容。采用多媒体辅助教学，不是意味着教师用PPT把授课的内容逐行展示，这样和传统的板书教学差别不大。教师应该将传统的教学方式与多媒体教学相结合，如“图论部分”，在讲授欧拉图，哈密尔顿图，最小生成树等内容时，可将重要内容用Flas的形式进行动态展示，在做动画的过程中从学生的角度出发，灵活的加入声音、图像，吸引学生兴趣，这样学生可以很容易的理解算法，增加了学习的直观性。

4.总结

作为计算机专业重要的基础课，离散数学广泛应用于计算机的各个领域。因此，提高教学质量，改进教学手段，探讨教学方法，成为教师在授课过程中一直不断探索的课题。本文根据笔者的教学经验，从教学内容、教学观念、教学方法和教学手段几个方面进行了探讨。在今后的课程教学中，我们还需不断创新教学方法，使离散数学课程的教学质量和效果进一步提高。

参考文献：

[1] 耿素云，屈婉玲，张立昂. 离散数学[M]. 第四版. 北京：清华大学出版社，2008.

[2] 左孝凌，李为鑑， 刘永才. 离散数学[M]. 上海： 上海科学技术文献出版社，1982.

[3] 郭晓姝.离散数学教学模式改进探讨[J]. 计算机教育，2012（3）：69-72.

[4] 赵青杉，孟国艳. 关于离散数学教学改革的思考[J]. 忻州师范学院学报，2005（5）：65-68.

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《离散数学》是研究离散结构和离散数量关系的数学分支的统称。它是计算机专业基础理论的核心课程，也是培养学生素质的核心课程，在计算机硬件和软件系统的设计和开发中有着广泛的应用和指导作用。在计算机科学中，离散数学有两个主要用途：一是描述计算机科学理论、方法和技术的主要工具，为理论计算机科学提供坚实的基础；二是为形式描述技术奠定数学基础，而形式描述技术则是描述和验证计算机系统的数学表示方法。因此，学好《离散数学》对计算机后续专业课程的学习有着举足轻重的作用。

然而，离散数学存在概念多、理论性强、抽象程度高等特点，现有的教学现状并不令人感到满意，不少学生错误地认为离散数学对计算机学科没有直接的指导作用和应用领域，学习积极性不高，对这门课程产生厌学情绪。因此，为了激发学生的学习积极性，让学生深刻体会到离散数学在计算机科学中的密切关系，本文将结合多年的教学实践，对《离散数学》课程教学中应用结构化教学、趣味性教学和应用型教学相结合的多元教学方法进行研究探讨，以期待取得更好的教学效果，提高课程的整体教学质量。

一、结构化教学

由于离散数学理论性强、概念抽象、定理繁多，在教学中应该注意引导学生层层递进地将分散的知识形成清晰完整的知识结构，在学习每块知识的时候可以适当采用结构化的教学方法。结构化教学方法首先要求教师从宏观的角度弄清整部教材的重点、难点以及各部分之间的联系。其次，要求教师明确知识的来龙去脉，在弄清各知识模块和知识点间联系的基础上，抓住主要的、本质的东西，静态(组成成分)和动态(运算、操作、推理)相结合地组织教学内容。最后，结构化教学方法能把教学内容及知识间的关系用“结构图”展示出来，以突出其基本结构，确保学生能学到主要的且富有连动性的基础知识。

例如，在命题逻辑“范式”这节，主合取范式和主吸取范式的求解过程是比较复杂的一个过程，涉及的概念多，有文字、简单析取式和简单合取式、极大项和极小项等。另外，合取范式并不一定是主合取范式，析取范式也并不一定是主析取范式，对于一个命题逻辑公式，它的合取范式和析取范式的形式可以是不唯一的，而主合取范式和主析取范式是唯一的。在实际教学中，在开始介绍这节前，可概括给出“范式”节知识结构图（如图1），让学生明白这么多概念之间的一个关系，以及最终要求解得到主合取范式和主析取范式是图1中从左到右的动态求解过程。

图1“范式”节知识结构图

二、趣味性教学

子曰：知之者不如好之者，好之者不如乐之者。在教学过程中应注重学生学习兴趣的培养，充分调动学生的积极性，发挥学生的主观能动性。结合离散数学知识在计算机专业中的应用，对《离散数学》中的一些知识点富于历史趣味的故事或启发性的问题加以介绍。例如，在介绍图论的几种特殊图的时候，特殊图包括了二部图、欧拉图、哈密顿图和平面图四种，教师可以相对应引入介绍任务分配问题、中国邮路问题、货郎担问题和地图着色问题（如图2）。每个问题的介绍不必全面和深入，而是侧重讲解它们的趣味性和启发性。结合这些经典的故事和应用，立即调动了学生的学习兴趣和积极性。

图2“图论”中“几种特殊的图”

三、应用型教学

在离散数学教学过程中，根据不同的知识点，给学生分析和讲解《离散数学》在计算机科学中的重要作用。离散数学的应用型教学是提高离散数学教学质量的重要手段，也是离散数学教学质量不可缺少的组成部分。建立完善的课程重要知识点案例体系，设计与开发一个课程案例展示系统（如图3），具体包括每个典型概念和理论的原理、例子、程序展示以及算法分析，然后在课堂运用此展示系统，从提高实际应用能力和课程兴趣度的角度对学生展开教学。在讲解理论的同时，注重其实际应用案例的分析与计算机算法的描述，通过把“基础实验、提高实验和综合实验”这三个层次的案例、课外研究课题等纳入课程教学内容，优化课内、强化课外，努力提高学生的综合能力。同时强调学生主动查阅文献、阅读大量与课程教学内容相关的参考资料，以培养学生掌握学科最新发展动态和开拓知识的能力。

图3课程实践案例展示系统

社会对大学毕业生的需求是全面的、复合的，是理论和实践的统一，是思维能力和动手能力的融合，是应用能力训练与创新活动的融合，只注重学习理论已经无法适应社会要求。这种融实践训练与创新活动于一体的教学活动为学生提供了自由发挥的空间，让学生成为活动的主体，可以提高学生学习自主性与积极性，消除学生对离散数学的消极性，发挥学生的创造性，培养创新能力。在学习离散数学的同时，又加强和提高学生的c和c++语言编程基础，巩固c和c++的编程能力，同时又为后继专业课程的学习打下良好的基础。

四、结束语

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【关键词】离散数学；计算机科学；信息科学

随着计算机科学和信息科学的高速发展，大量与数学相关的实际问题往往需要首先转化成离散数学的问题，再由计算机处理解决。离散数学不仅是数学中涉及面非常广的课程，而且是计算机科学与技术专业的一门重要的专业基础课程，它对计算机的发展，计算机科学的研究起着重要的作用。但在实际教学中，由于该课程本身的抽象性和理论性的特点，使得该课程的教学任务尤为艰巨。

下面就离散数学的特点，结合自己教学中的实际对该课程的教学谈几点体会。

一、充分认识离散数学的重要性

离散数学作为有力的数学工具，它和计算机科学中的数据结构、操作系统、算法分析、逻辑设计、容错诊断、机器定理证明等课程联系紧密。随着计算机学科发展的深入，研究与开发的起点在不断提高。因此，无论学生今后从事理论研究，还是应用开发或者是技术管理工作，都应该打下坚实的理论基础，以适应学科迅速发展和知识更新的需要。离散数学教学除了教给学生离散数学知识以外，更重要的是要通过严格的训练，逐步实现学生思维方式的数学化。计算机学科的发展近年来与离散数学的主要内容如数理逻辑、抽象代数和图论等有非常紧密的联系。数理逻辑与抽象代数的研究思想和方法在计算机科学的许多研究领域得到广泛应用，解决了大量的计算机科学问题。数理逻辑是研究推理的学科，在人工智能、程序理论和数据库理论等研究中有着重要的应用。抽象代数是关于运算或计算规则的学问。在计算机科学中，代数方法被广泛应用于许多分支学科，如可计算性与计算复杂性、形式语言与自动机、密码学、网络与通信理论等等，集合论和图论在计算机科学中也有着广泛的应用，他们为数据结构和数据表示理论奠定了数学基础，也为许多问题从算法角度如何加以解决提供了进行抽象和描述的一些重要方法。因此，学好离散数学对计算机后续专业课程的学习具有举足轻重的意义。

因此在教学过程中，教师必须让学生充分认清该课程对于计算机知识学习的重要意义，并逐步在以后的学习中不断体会。这样才能引起学生的重视。

二、重视基础知识的教学和基本方法的训练

在日常教学中，基于离散数学严密的逻辑性和高度的抽象性的特点，书中概念抽象、定理繁多，学生大多感到畏惧，在学习过程中往往不求甚解。许多学生学到后面，前面的概念、定理往往都不记得了，或者前面的基础知识没有理解导致后面不能贯通。这就要求教师在教学中重视基础知识的教学，对一些最基本的概念和方法，采取反复强调、反复演示证明等手段，加深学生的印象。如在推理证明命题中，注意引导学生分析已知条件，明确求证目标，探索证题步骤的基本方法，让学生从中体会证明的基本思路，同时强调证明过程中的一些基本概念和定理。

许多看似复杂的问题，只要逐步掌握基本概念和基本方法，循序渐进、日积月累，解题思路就会日渐开阔，学生的信心也会不断增强，最终这些问题都会迎刃而解。

三、注重思维方法的传授，提高学生的抽象思维能力

在离散数学的教学中经常会出现归纳、对比、抽象、概括等思维方法。教师在传授基础知识的同时也要注意向学生传授这些思维方法。如在集合论中，归纳法就是一种特殊到一般的方法。在代数结构中，我们先给出了一般的代数结构的概念和性质，这时教师要注意引导学生和把这个一般的概念和以前学过的不同数集中的运算进行对比，让学生认识这种抽象的思维方法。接着又讲了群、环、域等特殊代数结构的概念和性质，这是一种特殊到一般的思维方法。又如在图论中，教师可举出一些将实际问题通过归纳抽象后转变为图论解决的例子，不断提高学生的抽象思维能力。

四、理论联系实际，多应用计算机中的与离散数学相关的实例

在离散数学的教学中，由于其本身的抽象性，面对大量的符号表示和符号运算， 许多学生感到抽象难懂。上课时，在讲清楚各种基本概念、定理、定理证明 、正反例、计算方法等基本内容之外，教师可根据具体的教学内容，尽可能多的举出计算机中与之相关的实例，并能随时介绍所学知识的应用背景或发展方向，使学生在应用中加深对知识的记忆和理解。

如在学习图论时我们可以举出下面计算机中的例子：

图论中的连通性在计算机中的应用：

又如在学习图论中的连通性时我们可以举出图论在计算机中的应用的例子：

解：首先画出其资源分配图（如上图），从图中我们根据强连通性的判定条件：任意一对结点之间均相互可达，可知此图为强连通图，则容易得出该过程中有死锁发生。这样，就将连通性这个知识点与操作系统联系起来了，有的学生还可再深入诱导其在计算机上实现这一判断过程。

换个角度，如果将“进程”改为“函数间的调用关系”，将“资源”改为“函数”，则可利用强连通性来判断函数间的递归调用关系，这对于大型程序的编写具有很好的优化作用。

当我们将数学知识与日常生活和计算机专业知识相结合来进行教学时，不但增加了离散数学的趣味性，而且巩固复习了学生的专业基础知识。同时使学生直接感到学好离散数学对其它课程学习的重要意义。

五、实施趣味性教学，充分调动学生的积极性

兴趣是最好的老师，回归生活化的数学教学是生机盎然、妙趣横生的。数学学科本身并不缺乏趣味性，离散数学也不例外。数学教师要用睿智的头脑和敏锐的眼睛去发现和运用适当的方法向学生展示数学的魅力，使学生感受到数学的趣味性，从而热爱数学并对数学产生兴趣，然后学好数学。

由于离散数学的研究对象及方法与普通数学有较大差异，学生们普遍感到枯燥，抽象难懂。为了使学生们更多的了解这门课的实质和思维方式，教师在教学中可以讲一些有关离散数学的数学史，可穿插一些有趣味的、典型或具有历史渊源的问题的分析、解答，让学生充分领略数学的思维之美，激发学生的兴趣。比如，在讲集合论时，可就“鸽舍原理”、“容斥原理”提出问题让大家讨论；在讲关系时可以随时举出很多日常生活中有趣的关系引发学生的兴趣；在讲图论时可以介绍与图论有关的数学家的事迹，从历史上著名的数学难题“哥尼斯堡七桥问题”引入；还有典型的“邮路问题”、“四色问题”等。

总之，在教学中教师要注意多渠道地调动学生的积极性。这就要求教师花费较多的时间去悉心钻研、认真备课，这样学生才能坚持通过不断的努力，变被动为主动，学好这门课程。

参考文献：

[1] 何中胜.离散数学教学中的问题分析和对策研究[J].高等理科教育，2007（5）：107-109.

[2]谭永基.将数学建模思想融入通识教育数学核心课程[J].高等数学研究，2009，12（2）：8-12.

[3]费文龙，吕红.提高“离散数学”课程教学质量的探索[J].计算机教育，2008（24）：140-142.

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关键词：离散数学；考核方法；改革尝试

离散数学是现代数学的一个重要分支，近几十年来，在计算机科学的推动下，它已成为计算机基础理论的核心课程，是整个计算机学科教学体系中十分重要的环节。因此，也被称为是“计算机数学”。离散数学的内容十分广泛，凡是以离散量为研究对象的数学，均是离散数学。这门课程的内容繁杂，覆盖面广，教学时数又不太多，而且，概念多，理论性强，高度抽象。所以，如何使学生能真正学好这门课，并能学以致用，不断提高创新能力，就成为《离散数学》教学中应该研究和探讨的问题。尤其是对普通本科(工科)的离散数学教学更是如此。这也是我国21世纪应用型普通本科高校离散数学课程改革的研讨内容

根据应用型普通本科(工科)的培养目标和计划学时数，我们的离散数学课程不可能像重点大学那样要求。但是，离散数学又是计算机专业的重要基础课，所以，还必须要给学生打下坚实的基础，同时，还要在离散数学的教学中培养学生的学习能力、创新能力。因此，就必须要研究如何在课时不多的情况下，充分发挥教师的教学能力，充分调动学生学习的主观能动性，做好离散数学的教学。

北华大学在这方面做了一些探讨和专项研究，经过几年来的实践，探索了一条比较适合应用型普通本科(工科)的离散数学的教学路子，并收到了较好的教学效果，离散数学课程被评为校级优秀课。

一、《离散数学》考核方法的改革尝试

本校在计算机专业和信息专业都开设了《离散数学》课程。在课时有限的情况下，基于要充分调动学生学习的主观能动性，变被动学习为主动学习，真正学好这门课，并培养学生的学习能力、应用能力和创新能力的想法，从2002届起，在信息专业结合教学，对《离散数学》课程的考核方法做了改革尝试，具体内容如下：

(一)针对课程特点，改进教学方法

考核方法的改革，须要做好教法上的改革。21世纪的学生更实际、更理性，他们对知识的掌握和渴求更有时代的鲜明特点，他们不单是为了学习而学习，更是为将来能更好地适应社会的发展而学习。而传统的数学课讲法是按照数学的体系来讲，数学的严谨性和公理化体系已经成为数学教师的习惯。从定义到定理，再基本计算和基本技巧的训练，使得学生们感觉数学枯燥、难学，不利于调动学生学习的兴趣和积极性，为此，我们做了教法上的改革。

1　紧密联系实际，调动学生学习的积极性。《离散数学》的基本概念、基本理论和基本方法大量地应用在数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等计算机专业课程中；同时，《离散数学》课程本身对提高学生的概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力、应用能力和创新能力等，也是十分有益的。所以，我们在教学中，一直注意提高学生对这门课程的认识，把不断树立学生对这门课程重要性的认识作为一个教学主线来抓。并且，在教学中随时联系具体内容，介绍在专业课中的相关应用。例如，图论中的平面图、树的研究对集成电路的布线、网络线路的铺设、网络信息流量的分析有极大的使用价值。利用布尔代数研究开关电路从而建立起一门完整的数字逻辑的理论，对计算机的逻辑设计起了很大的作用。我们的习题就有和学生专业课中相同的习题。在离散数学的教学中适当穿插一些其在计算机学科和信息学科中的一些小应用，就使学生产生了很大的兴趣和对离散数学课程的重视。有的学生甚至说：把离散数学都当成是专业课了。从而，在教学中，能不断地调动学生的学习积极性，让学生变被动学习为主动学习，充分发挥学生的主观能动性。

2　离散数学的教学也是数学思想的教学。离散数学充分体现了近代数学思想，也是近代数学思想的产物。离散数学的教学，除了要教给学生离散数学知识外，更重要的是要通过训练，逐步实现学生思维方式的数字化。

我们在进行离散数学的教学中，反复结合实例，介绍离散数学的思想，训练学生看到实际问题能想到如何进行数字化。例如，关系的概念，就是非常简单非常典型的数字化的方法。整个离散数学处处体现着数字化的思想。只要我们在教学中不断注意启发提醒学生，自然就能让学生在这样的反复揭示中，逐渐实现思维方式的数字化。

3　改善教与学的方法，提高学生知识类化的能力。由于离散数学概念多，概念抽象，而且是多门课程的组合，知识点繁杂。所以，在教学中，我们就注意使用知识类化的方法，使知识经验在应用过程中达到举一反三、触类旁通的效果。而教与学方法的改进，有利于知识的类化。为了使学生在解决问题时能更多地利用已经获得的知识、技能和方法对学习新知识的影响，教师应该使学生已有的知识与典型事例之间形成一定的“连结”，通过联想和对比，使学生将新知识、新概念，纳入到有意义的联想认识里，能够把新观念思想。原理在有秩序的体系中加以整理，以促进知识的积累和巩固。例如，在集合中，笛卡尔积是一个基本概念，A×B={(a，b)/a∈A，b∈B}，在关系概念中的关系是一个有序偶的集合，它是A×B的一个子集。在图论中有向图的边，等等，这些都是与笛卡尔积相连的概念。注意在教学中把相关的概念不断地相连结，就能使繁杂的内容形成有关联的联想，使知识形成一个统一的整体，把知识学活。

(二)离散数学考核方法的改革

传统的考核方法就是试卷考试，考察学生的基本知识和基本技能，以及解难题的能力。我们在有些班级尝试做了一些考核方法的改革，把原来的试卷考试和平时的考核两部分，改成了三部分成绩的统一，即添加了一个新的内容：写离散数学的论文。把这个成绩的评定结果作为平时成绩的一个大部分。对离散数学考察课的班级，后来在成绩的比重中所占的比例更大些，甚至达到过50％。

离散数学的论文要求是：题目由老师给个大的范围，让学生在这个范围里选择要写的题目，字数3000字左右。要求有摘要、关键词，观点明确，主题鲜明，论述严谨。我们出的论文，都是一个具体的小问题，并不是很难，目的就是要训练学生自己去研究去创新。

开始的时候，学生叫苦连天，说不会写论文。我们给学生作了一些论文的写作指导，在课程陆续讲完的过程中，我们是逐步把论文题目给出来的。由学生们自己来抽选题目，给了学生比较充分的时间。

经过老师的鼓励和学生们的努力，并且因为和成绩相联，所以，交上来的论文大多数基本符合要求，有的写得还比较好。学生们说：写这个论文要看很多书，要比平时学习课程内容投入的精力还要大，对所写内容的理解上也深入了许多，尤其是在查阅资料上，知道了很多教科书上没介绍的内容。而且，还感到了创造的快乐，不论是从能力上还是知识上都是很有收获的。自从2002级以来，我们连续几年在信息专业做了这样的离散数学课程考核方法的改革尝试，收到了比较好的效果。

二、结语

篇6

中图分类号：G642

摘要：针对离散数学多采用一次终结性闭卷考试评价方式的不足，结合离散数学的课程特点，文章提出过程性评价的具体方案，即采用阶段性考试、讨论课、课堂表现、自主学习等多种形式相结合的方法，对学生的学习做出综合评价。

关键词：过程性评价；讨论课；积极性；自主学习

0 引言

离散数学是计算机专业必备的数学基础课程，对培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力和归纳构造能力有着举足轻重的作用。因此，理解和掌握好该课程的内容对于学生在计算机学科及相关领域的良好发展起着至关重要的作用。而这门课程具有概念多、理论性强、高度抽象等特点，如何提高离散数学的教学水平和教学质量，是一个值得研究和探讨的重要问题。笔者将结合教学实践，对该课程的评价方式进行探讨。

1 离散数学课程的教学评价现状

离散数学课程通常采用的评价方式是一次终结性闭卷考试。这种评价方式的缺点是容易导致学生平时松、考前忙、考后忘、用时慌的情况，导致我们不能很好地实现开设该课程的目标；而且它制约了学生个性的发展和创新能力的提高，不利于培养有学习能力、实践能力和创新能力的学生；再者，期末一次终结性的考试无法及时反馈教师的教学效果及学生的学习效果，不利于师生进行交流，不利于在教学过程中对教学和学习方法做出及时的调整，容易造成教与学的脱节。笔者针对上述种种弊端，结合离散数学本身的特征和当前的教学状况，对离散数学课程的教学评价体系进行了改革探索和尝试，在教学实践中采用了过程性的评价方式。

2 过程性评价的教改实践

过程性评价是在课程实施的过程中对学生的学习进行评价的一种考评方式。过程性评价采取目标与过程并重的价值取向，对学习的动机、效果、过程以及与学习密切相关的非智力因素进行全面评价。笔者所在的教研团队在近几年的教学实践中，改变了过去对离散数学课程采用一次终结性考试这种单一量化评价方法的状况，探索促进学生发展的多种评价方式，尝试建立多元多次常态化的知识和能力的过程性考核评价体系。我们的过程性评价具体实践方案包括平时作业、阶段性测验、课堂表现、讨论课以及通过QQ群、Blackboard教学平台自主学习的多元化评价内容。下面就各项较有特色的评价内容，结合我们的实际做一些分析和探讨。

2.1 阶段性测验

纵观中外多种离散数学教材，不论是耿素云、屈婉玲、张立昂编著的已被国内多所高校选作教材的经典中文教材《离散数学》，还是在国际上广泛使用、在同类教材中具有相当权威性的、Susanna S.E编写的Discrete Mathematicswith Applications，教材内容大致相似，都包括数理逻辑、集合论、代数系统和图论4个相对独立的方面。鉴于离散数学课程内容的这一组成特点，我们对上述4部分内容按授课进度分阶段进行测验，以此取代期末的一次终结性考试。也就是说，总共进行4次相对独立的单元测试，测试内容分别涉及数理逻辑、集合论、代数系统和图论，每次测试选取4-5道凝练各部分核心内容的题目。然后根据授课时间的长短分配各次测试成绩所占的比重。具体来说，离散数学是每周3个学时，共计54个学时的课程，上述4部分内容的课时分配及各阶段测验成绩所占比重如表1所示。实践表明，这种形成性评价的做法能及时反馈学生的学习质量和结果，帮助学生调整学习状态，并且有利于教师及时矫正学生获得的课程评价。

2.2 课堂表现

课堂表现主要包括学生的课堂参与以及课堂学习状态。在课堂教学过程中，学生是学习的主体，学生理解教学内容的最佳方法就是参与。我们把课堂参与这一随机评价列入过程性评价体系当中，主要目的是提高学生的课堂参与水平，创建一个积极的、师生相互支持的学习环境。一方面我们针对课程内容精心设计了不同层次、富有启发性的问题，来检查学生课前预习、课堂学习以及课后复习的效果，进而挖掘学生的潜能、培养学生的智力。比如，先让学生参与到苏格拉底三段论、哥尼斯堡七桥问题、迷宫问题、地图染色问题等这类实际问题的解决中，再引出相应的理论，对于培养学生的抽象概括能力很有帮助。用一个个具体的例子引导学生构造出鸽笼原理、握手原理等数学原理，能够培养学生的归纳构造能力。另一方面，为了量化课堂表现的评价，我们在学期初就让学生自由组合成7～8人的小组，每次上课时都请学生以小组为单位集中入座，小组每一个成员轮流记录本组成员回答教师问题、向教师提问或者主动阐明自己观点的情况，并给这些表现评分。同时，教师通过语言表扬、眼神鼓励以及记录等方式随机对学生进行评价，及时给学生肯定和鼓励。教师还会不定期查阅各小组记录，对没有参与或者参与不多的学生给予更多关注，主动向他们提问，鼓励、引导他们参与到课堂教学中。课堂表现的最终评价以学生之间的互评为基础，教师再进行适当调整。实践证明，这些做法可以激发学生的学习热情，提高他们参与的程度和学习的积极性。

2.3 讨论课

讨论课是指教师把一些疑难问题、热点问题或者与实际紧密结合的问题布置给学生，指导学生搜集、查阅、筛选相关资料，组织学生们进行探讨，以期达到消化吸收所学的理论知识、增强实践技能的一种知识获取方法。这种方法能够给学生留出自由想象的空间，让他们有发表个人见解的机会，对于提高学生学习的兴趣、培养思维能力、体现学生在学习中的主体地位大有裨益。离散数学是一门在计算机科学中有着广泛应用背景的数学课程。把讨论课纳入该课程的评价中能够反映出一次终结性评价容易忽视的方面，而这些方面的内容对于学生的发展往往十分重要，比如：口头表达能力、团队合作能力、从实际情境中抽象出数学知识的能力以及应用数学理论知识解决实际问题的能力。

如何在离散数学课程中设置讨论课以及如何对学生在讨论课的表现进行评价呢？可以从离散数学课程的4部分内容出发，设定相应的讨论议题供授课教师根据课时安排和学生兴趣来选择。在讲授数理逻辑时，选取福尔摩斯推理侦探小说中的例子作为讨论议题，让学生把故事中的关键事件用形式逻辑符号表示出来，并要求他们利用所学的推理原则做出有效推理，得出正确结论，使学生体会到学以致用的快乐。再如，集合论中对无穷数的理解是一个难点，也可以把它作为讨论的议题，让学生们搜集不同的资料、举出恰当的例子来解释可数无穷的涵义，这样可以帮助学生理解抽象的数学概念。学习代数系统时，我们引入密码学中的公钥密码系统（特别是RSA公钥密码系统）或者当今热门的云结构来讨论，可以开阔学生的视野，让他们了解到当今科技的发展动态。至于图论，这部分内容因其有极广泛的应用，这些各种各样的应用实例都可以适时的选为学生理论联系实际的讨论话题，比如：城市道路的设计模型、全国大型物流集散地的选定等。在选定讨论课议题之后，分小组进行，学生在各个小组组长的带领和组织下完成讨论课课下各环节，包括查阅、采集和筛选资料，选定演讲人员和内容，制作演讲稿等准备环节。课堂上，各小组可根据实际情况选派一名或多名成员上讲台演讲，向全体学生和教师讲述小组讨论的成果。期间，学生和教师都可以提问，并请演讲者或者演讲者所在的小组成员作答。讨论课的评价由两部分组成：一是组长根据本小组成员在整个讨论课活动中的表现，特别是课前准备中所作的贡献给每人评分，并且附上评分的依据和理由，这主要考核个人课外的学习情况；二是由各组组长和教师对每个小组在演讲和问答环节中的表现做出评分。讨论课最终的评价是以小组的总体得分为基准，结合组长给成员的评分对每一位学生评分。

2.4 自主学习

我们重视鼓励学生自主学习，为学生自主学习的顺利开展提供了多种渠道。每次开学初，我们都将制作更新好的离散数学教学大纲、教学进度表和电子教案公布在学校的Blackboard网络教学平台，学生可以随时下载，很方便地进行预习和复习。通过该平台我们制作了各种有特色的模块来记录学生自主学习的过程和结果，其中包括模拟测试、学习博客以及讨论区等。同时我们为选课学生建立QQ群，学生们有任何问题都可以在QQ群上讨论。这样既方便师生交流，也方便学生与学生交流，形成一个很好的交流渠道。平时教师也可以接收学生反馈的意见，及时对教学进行调整和改进。对自主学习的考核与评价，我们主要是借助Blackboard网络教学平台自带的统计功能来实现的。Blackboard网络教学平台可以直接提供每位学生参加模拟测试的次数及成绩，也可以记录学生参与讨论的次数。我们按每次有效测验或每次参与讨论计1分、满分10分的方式给出自主学习这部分的评价。以上这些渠道和方式，可将学生引导到深层次的学习方向上来，让他们有意识地进行学习，树立正确的学习动机，自发地探寻适合自己的学习策略，从而有利于真正提高学习的质量和效果。

离散数学的过程性评价由平时作业、课堂表现、讨论课、阶段性测验、自主学习多个部分有机组成，相辅相成。平时作业能够使学生及时复习课堂讲授的内容，帮助学生加深理解课堂内容；课堂表现能够考查学生对学习内容的理解程度；在当今科技整合的时代，讨论课能够指引学生找到学习新知识的方法，培养他们的团队合作精神，这对于计算机学科及相关领域的从业人员来说非常重要；阶段性测验能够促进学生及时总结学习成果，帮助他们检测学习效果；自主学习倡导学生利用多元化的渠道进行学习。最终我们结合课程的特点和开设课程的目标，按表2所示的过程性评价成绩构成来构建整个过程的量化评价。

3 过程性评价方案实施的效果

在离散数学课程中，实施上述过程性评价方案，以此来取代一次终结性闭卷考试的做法，是笔者近年来在深圳大学进行的一项教学改革实验，目前已取得了一定的成效。每学期授课结束后学校要组织学生对任课教师进行测评，测评内容包括教师的教学态度、教学内容、教学方法、教学效果等方面，各项内容的测评成绩均以95分为最高分封顶。这项工作是在学生知道成绩之前完成的，并且教师在评定学生最终成绩之后才能查询测评分数，所以测评结果与学生成绩是相对独立的，能够真实地反映出学生对教学质量的认可程度。表3所示为过程性评价实施前后、学生对同一位教师讲授离散数学课程的教学测评比较。

从表2中学生给出的测评可以看出，采用过程性评价的离散数学课程在深圳大学全校课程的相对排名从63.64%的中游水平上升到17.09%的前列，说明采用的过程性评价方案及其实施得到了学生们的肯定。

另一方面，我们对过程性评价方案实施前后学生的测试成绩进行了对比分析，从学生的成绩分布中可以看出，过程性评价对提高学生学习积极性、改善学习效果都有积极作用。表4所示为同一位教师在过程性评价实施前后、其教授的知识储备相似的学生在难度相当的离散数学测试题中取得的成绩分布比较。

从表4所示成绩分布可以看出过程性评价实施后学生的测试成绩得到了普遍提高，取得85分及以上成绩的学生人数大幅增加，这说明采用的过程性评价方案及其实施有利于提高学生成绩、改善教学效果。

综上所述，过程性评价方案实施后，不论是学生对教师的评价还是学生自身的学习成绩，都有了显著的提升，说明了对离散数学课程实施过程性评价的方案，在实际教学中确实受到了学生的欢迎，取得了良好的教学改革效果。

4 结语

在离散数学课程中采用过程性评价能够更为全面地评价学生的整体学习情况，我们根据学生在学习过程中的表现去判断学生的学习状况，而学习过程中的评价又反过来影响学生的学习状态。学生参与评价，不仅增进了师生之间的关系，而且使得学生能够换角度去思考学习问题。有效地提高了学生的学习积极性和主动性。

当然，在实践中我们也体会到过程性评价有它的局限性。过程性评价自始至终贯穿于教与学的全过程，评价工作细小琐碎，这容易使个别学生不堪其烦，也给教师增添了许多负担。如何提高评价的技术、简化评价的工具，使其在实际中高效可行仍需要进一步探索和努力。

参考文献：

[1]高凌飚.关于过程性评价的思考[J].课程·教材·教法，2004（10）：15-19.

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离散数学本质上是一门数学课程，是学生数学知识结构和数学素质的重要组成部分。数学这门学科体系虽然很庞大，但大致可分为连续型、离散型和随机型这三大类。在大多数的理工科专业的课程设计中，数学类课程通常包括：高等数学、线性代数、离散数学、概率论与数理统计等。高等数学能提供处理连续型的数学问题需要的数学工具；线性代数与离散数学则提供处理离散型数学问题的数学工具；而概率与统计则提供处理随机型数学问题的数学工具。

正如徐洁磐在文中指出的：作为计算机学科工具，离散建模是离散数学区别高等数学的根本之处，也是离散数学与计算机紧密关联之处，也是使离散数学成为计算机专业核心课程的原因之一。从学生角度看，离散数学具有抽象、概念多、知识点零散等特点，在学习中容易遇到困难，极大地影响了他们学习的积极性。本文探讨离散数学中的数学本质，目的是理顺这些概念和知识点的关系，进而达到解决学生学习困难的目的。

离散数学的内容主要包括数理逻辑、集合论、代数结构和图论四部分，其中集合论部分起着承前启后的作用。数理逻辑和集合论这两部分内容如果能处理得好，对整个课程的教学就会起到至关重要的作用。已有部分研究论文对数理逻辑和集合论的教学进行研讨，本文就数理逻辑与集合论的教学内容进行深入分析，弄清它们的数学本质和相互联系，理清教学思路。教学实践表明，这些教学分析能使教师在讲授过程中教学内容主线清晰、教学目标明确，进而有效提高教学质量和学生的数学素质。

一、数理逻辑部分的数学本质

其一，命题逻本文由收集整理辑部分的数学本质是逻辑数学化。

在教学过程中，在引入命题逻辑的教学之前，可以让学生比较“人”与“计算机”各自的长处。大部分学生都能得出这样的结论：人长于“智能”而计算机长于“计算”。那么，要让计算机增长“智能”，主要方向就是把“智能”计算化：把通过“智能”思考的问题转化为通过计算进行判定的问题。而智能的基础是逻辑推理，于是“智能”计算化首先就是要逻辑数学化。因此，数理逻辑是计算机的“人工智能”重要的基础之一。

离散数学中命题逻辑这部分内容的数学本质是逻辑数学化，或者具体地说是逻辑代数化。代数方法的基本要素是对象和运算，代数化的基本过程模式是：符号化（对象）、运算、运算律、演算、标准型、应用。这种思想方法只要提醒学生回顾在中学学过的代数内容就能很快接受。再看命题逻辑这部分的教学内容，基本就是按照这样的模式展开的：命题符号化（对象）、逻辑运算（联结词）、运算律（基本等值式）、等值演算、标准型（范式）、应用（解判定问题、证明等值式、实际应用、推理理论等）。因而，命题逻辑这部分内容的知识点并不零散，贯穿着代数化这条主线。

教学实践表明，通过逻辑代数化这个主线串联命题逻辑这部分主要内容，教学目标清晰，能得到很好的教学效果；同时学生还能从中学习领会代数化的思想方法，提高了他们的数学素质和应用数学解决实际问题的能力。

在命题逻辑的教学过程中，除了强调代数化的思想方法，还必须强调“标准型”（范式）是这部分的核心内容。一方面范式是等值演算的终极目标，另一方面范式是介于命题公式和真值表之间的桥梁，因此有着极高的理论与应用价值。

其二，谓词逻辑部分的数学本质是引入变量与函数的思想。

从数学本质上看，谓词逻辑就是把变量与函数的思想引入逻辑。在这样的视觉下，那些基本概念就变得很清晰：个体变项是变量、谓词是函数、个体域是定义域、属性谓词是一元函数、关系谓词是多元函数...。然后再一次进行代数化过程：符号化（谓词）、运算（联结词）、运算律（主要增加了量词等值式）、等值演算、标准型（前束范式）、应用（判定问题、证明等值式、实际应用、谓词逻辑推理理论等）。

当然，谓词逻辑内容远比命题逻辑深刻和复杂，在本科的离散数学中，这部分内容只能算是谓词逻辑的基础了。

二、集合论部分的数学本质

通常离散数学中集合论部分也包含两章：集合论基本概念、二元关系与函数。由于中学阶段已经有集合论的简单内容，所以这部分内容学生并不会觉得陌生。

集合论是整个数学的基石，几乎所有的数学概念都能用集合论语言表达，数学在集合论基础上形成了一个独立的科学体系。实际上从集合和二元关系这部分内容基本上也可以看出数学这个科学体系的构建过程。

首先集合论这章内容也是一个代数化的过程：对象（集合）、运算（集合运算）、运算律（集合恒等式）、演算、应用（计数、证明恒等式、实际应用等）。这里缺少了一块标准型，实际上集合的演算也是可以有标准型的，只是这里的标准型没有逻辑演算的范式那么重要而已。从内容与结构都可以看出，集合论与命题逻辑这两部分内容有很大的相似性，这会在后文进行探讨。

有了集合这个基本语言，就可定义二元关系。接着是关系的运算与运算性质（这部分又是代数化方法）。然后是三种特殊的关系：等价关系、偏序关系与函数。等价关系的意义在于“分类”，这既是数学的基本思想方法之一，也是数据挖掘的常见任务；而偏序关系的意义在于“排序”，这是计算机算法中最基本的研究对象。

有了函数的定义，分析学可以就此展开；而用函数定义二元运算后，于是代数学的基础有了。有了分析学、代数学，数学这个科学体系的基本框架也就基本搭建好了。

集合论是数学之本。从集合到关系、再到函数与运算，构建了数学学科基础。这就是集合论这部分的数学本质。弄清楚这些，教师就能做到胸中有“数”、总揽全局。而给学生介绍这些数学本质，学生也能初步了解这部分内容的结构、意义和价值，对这部分内容的学习和掌握是有很大帮助的。而且经过这两个部分的学习，学生逐步熟悉和掌握代数的思想和方法，对后续抽象代数部分的学习在心理上和知识上都有了一定的准备。

三、数理逻辑与集合论基本内容的内在联系

前文提到，命题逻辑和集合论这两部分内容有很大的相似性。具体地说，这两部分的运算与运算律具有很强的对应关系。比如，逻辑运算{？劭，∧，∨}与集合运算{～，∩，∪}之间的一一对应关系。大多数教师都能认识这点并在教学中加以利用。例如，在讲授逻辑运算的运算律时提醒学生注意观察逻辑运算的运算律与集合运算的运算律之间的对应关系，这有助于学生理解并掌握逻辑运算的运算律。有的离散数学的教材也把集合论这部分内容放在数理逻辑之前，这样做虽然破坏了逻辑-集合-代数这样的连贯性，但从学生有初步认知的集合论开始，然后再利用集合论与命题逻辑在内容上的相似性辅助逻辑部分的教学，也是有其可取之处的。

实际上，用命题逻辑的工具可以推导出集合运算及其一些运算律：给定集合a和b，假设全集是e。对于任意给定的元素x∈e，用p表示命题“x∈a”，q表示命题x∈b，则命题公式？劭p表示的命题是“x∈～a”、p∧q表示“x∈∩a”、p∨q表示“x∈a∪b”。这就是逻辑运算与集合运算的对应与转换关系。进一步地，永真式（重言式）1表示x∈e、永假式（矛盾式）0表示“x∈φ”，那么从命题逻辑的一些基本等值式就能直接推导出集合论中的一些基本恒等式（如结合律、交换律、分配律、德·摩根律等）。

当然，要更深入地探讨集合论的恒等式和逻辑运算的等值式之间的关系，需要用到谓词逻辑工具，不过这已超出了教学研究范畴，因此本文不在此进一步展开阐述，有兴趣的读者可自行探究。

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关键词：离散数学；计算机科学；应用研究

1.离散数学在计算机数据结构中的应用

计算机科学中，计算机问题的解决往往需要借助数据机构的帮助，从而建立严格的数字模型。数据结构在计算机科学中发挥着重要的作用，它使计算机科学的数据模型得以建立，明确操作对象，并对操作对象进行分析，构建数字语言与计算机语言的契合点。计算机科学中，计算机数据结构主要分为树形结构、网状结构、现行结构以及图状结构，不同的结构有不同的数据结构形式，发挥着不同的作用。离散数学在计算机数据结构中的应用，能够为计算机处理员工绩效报酬以及相关事项提供有效帮助。

2.离散数学在计算机数据库中的应用

计算机数据库技术是进行数据处理和存储的重要技术，在社会生产生活的多个领域都有着广泛的应用。计算机数据库技术是计算机科学中的一项重要技术。离散数学在计算机数据库中的应用，主要是通过笛卡尔积这一重要理论有效地帮助数据库的建立。另外，离散数学中的理论也应用于数据库中的表结构设计以及域间关系，使数据库能够更加完善，能够在应用中具备更高的使用价值，提升数据库的整体质量。

3.离散数学在人工智能中的应用

人工智能的实现需要依赖于数学理论和数学推理，从而使人工智能能够通过逻辑推理产生作用。离散数学的逻辑推理在人工智能中的应用较为广泛，使人工智能能够实现正常的运行传导。离散数学在人工智能中的应用，体现为一种数学的分析过程和处理过程。离散数学中的布尔代数理论是一种数学逻辑语言，能够帮助人工智能实现逻辑的设计，帮助人工智能建立逻辑运转体系，促进人工智能实现智能化。

4.离散数学在计算机体系结构中的应用

在计算机的体系结构中，为了确保整体体系的结构性与有效性，需要进行科学的指令吸引设计，并对指令吸引设计进行内容的改进和完善。指令吸引设计能够通过操作码以及地址码来操作地址信息和相关的信息，实现指令的格式化。离散数学在计算机体系结构中的应用，应用了哈夫曼压缩概念进行问题的解决。哈夫曼压缩概念是对数学概率的加工利用，当事件发生的概率较低时，哈夫曼概念使用较长的位数进行相应的处理，当事件发生的概率较大时，哈夫曼概念则使用较短的位数进行相应处理。在应用中，哈夫曼算法能够建立哈夫曼树，从而使哈夫曼树发挥作用，对系统指令中的数据频度进行统计和分析，并进行适当的排列。另外，排列频度结点通过的序列则构成了哈夫曼编码，哈夫曼编码能够与指令编码相结合，最后达到使用目的。

5.离散数学在计算机科学中应用的发展趋势

在未来的发展过程中，计算机科学的硬件基础将会逐渐得到进步，离散数学的数学理论知识也将在计算机科学中得到更为广泛的应用，促进计算机科学实现更快更好的发展。离散数学的逻辑推理在计算机科学中的应用帮助着计算机的软件设计。离散数学的关联词概念则能够在计算机科学内用于二进制数据的运算。另外，离散数学在计算机科学中的应用，也通过数学集合论概念用于数据结构以及算法分析，帮助计算机数据库的建立和结构设计，使计算机数据库技术能够得到有效的进步发展。此外，离散数学中的布尔代数理论使计算机的网络通信系统得以建立，使计算机科学的人工智能得以实现。离散数学的逻辑推理理论使人工智能能够实现数学的分析和处理活动。离散数学在计算机科学中的应用会越来越广泛，在计算机科学的系统建立、逻辑设计等各方面都会充分发挥作用，实现与计算机科学的良好结合。在计算机科学中，人工智能会成为设计、发展和创新的一项重要理论，支撑着计算机科学的进步发展。

离散数学以离散性的结构以及相互间的关系作为研究对象，其在计算机科学中的应用，能够有效地指导数据库的建立，改进和完善计算机体系结构，提高计算机的运行效率与运行质量，未来应更加注重离散数学在计算机科学中的应用。

参考文献：

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关键词：离散数学；客户体验管理；“爱德玛”法则；混合式教学

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2016）25-0121-02

Abstract： Discrete Mathematics is a core curriculum of computer specialty， but this course has too many basic conceptions to understand. Six aspects have been proposed in this paper： Computational Thinking oriented to cultivate innovative ability， grasp the first class to stimulate learning enthusiasm， introduce advanced management concept into class， and build high quality network courses to realize blended teaching， and reform test mode. Those six methods promote significantly the effect of the class at the end.

Key words： Discrete Mathematics； Customer Experience Management；AIDMA Law； Blended Teaching

离散数学是计算机科学与技术专业的核心课程。离散数学用数学语言来描述离散系统的状态、关系和变化过程，是计算机科学与技术的形式化描述语言[1]。通过离散数学使学生掌握数理逻辑、集合论、代数结构和图论的基本概念与基本理论，了解这些学科的发展历史与现状，了解这些学科与其他相关学科特别是计算机科学的关系。培养学生严密的抽象思维和缜密概括能力，提高学生的认识水平，为后续课程如数据结构、操作系统、编译原理、模糊数学等专业课程的学习打好基础。但是该课程理论性较强、概念多、原理多，不容易理解，学生学习积极性不够，对课程内容不太感兴趣，导致教学质量不够理想。为此我们提出以下措施进行教学改革。

1 “计算思维”导向，培养创新能力

计算思维作为三大科学思维方式（计算思维、理论思维和实验思维）之一，得到当前国际计算机界广泛的关注，是当前计算机教育需要重点研究的课题。计算机科学不仅是计算机编程，还要像计算机科学家那样去思维。计算思维的本质是抽象和自动化。离散数学采用抽象的数学符号系统作为知识的表现形式，注重抽象知识的综合运用，与计算思维是高度统一的。基于计算机思维的任务驱动教学模式以学生为中心，通过完成任务来激发学生的兴趣，我们采用这种教学模式，贯穿计算思维，开展教学[2]。

2 抓住关键第一次课，先声夺人

首因效应是指在人们认识事物时，由于受到第一印象的影响，在形成总体印象的过程中，最初获得的信息对认知的影响比后来获得的信息更大。人们总是以对事物的第一印象为背景，去理解他们后来获得的相关信息。因此第一节课非常重要，我们需要让学生感到离散数学不是枯燥无味的，而是充满乐趣的。第一次课我们需要向学生展示以下内容：学习离散数学的重要性、离散数学部分知识应用介绍、离散数学课程的任务和目的、离散数学的特点、离散数学的难点、离散数学的学习方法[3]。

3 问题驱动，提高学生学习积极性

问题驱动教学方法是一种以学生为主体，以问题为导向，学生分析问题寻求解决方案的一种学习方法。离散数学概念多，理论性强，学生学习主动性往往不够，我们可以提出问题激发学生的学习兴趣，结合背景知识加强理解和掌握，拓展问题分析讨论并总结结果[4]。例如，在讲到欧拉图时，介绍欧拉的生平事迹，增加课堂的趣味性，提出七桥问题，提高学生分析解决问题的主动性，通过背景实例加深对欧拉图的理解。

4 把学生当顾客，先进管理理念引入课堂

当代大学生基本是90后，这一代人渴望成才，但是缺乏脚踏实地刻苦学习的精神。“手机控”、“消息控”成为普遍现象。课堂上也完全离不开手机，严重影响了课堂质量。面对新时代大学生的特点，我们引入“客户体验管理思想”[5]和“爱德玛”法则。我们把学生看成上帝，让学生在课堂内外都有良好的体验。

客户体验管理是战略性地管理客户对产品或公司全面体验的过程，笔者借鉴琚建平提出的客户体验管理框架实施学生体验管理，学生体验管理分三部分进行：洞察学生体验世界建立学生体验课堂建立持续改善的回馈机制[6]。

“爱德玛”法则即AIDMA法则，英文为“Attention（注意）――Interest（兴趣）――Desire（消费欲望）――Memory（记忆）――Action（行动）”，简称为AIDMA。艾德玛法则要求能够首先做到引起注意，然后激发消费者的兴趣，进一步刺激消费者的购买欲望，加强记忆，最后促成消费者的购买行为。笔者把该法则应用于课堂，首先用案例引起学生的注意，进而对章节内容产生兴趣，激发学习的欲望，进而学习知识，提高能力。

5 建设优质网络课程，实现混合式教学

混合式教学是传统教学与网络化教学优势互补的一种教学模式，是网络线上与线下的混合，通过引进面对面教学来改进网络学习的不足[7]。但是混合式教学的建设不是一蹴而就的，混合式教学的实施必须有微课和网络平台的支持。网络平台是混合式教学所需教学材料的载体。课堂所需材料都需要在网络平台及时上传，学习中的问题可在网络平台进行师生讨论，作业可在网络平台及时提交批改。对学有余力的同学，我们上传课外扩展的学习资料，满足不同层次学生的需求。通过建设优质网络课程，利用现代化教学手段，实现混合式教学。

6 改革考核方式，增强学生学习主动性

为引导学生从注重“考试结果”向注重“学习过程”转变，增强学生学习的主动性，切实提高学生运用离散数学分析问题和解决问题的能力，实行考核方式改革。期末考试成绩占总成绩的比重降低到50%。总成绩=平时成绩（50分）+期末成绩（50分），期末成绩通过闭卷考试进行，实行考教分离，考试时间和地点由学校统一安排，参加学校期末统考，老师命题阅卷。

平时成绩=考勤（10分）+课堂表现（20分）+ 网络平台学习（10分） + 作业（10分）

其中，（1）考勤按照出勤次数/总的上课次数计算出勤率，换成得分。（2）课堂表现分为随堂提问与课堂讨论环节。随堂提问环节考查学生听课认真程度，随堂打分。课堂讨论环节按小组进行，随堂给分。（3）网络综合平台学习按照网络综合平台学习次数和学习时间给出相应分数。（4）作业共4次，每次2.5分。

7 结束语

离散数学是计算机科学与技术专业本科教学的重要环节。本文从计算思维导向培养创新能力、把学生当顾客先进管理思想引入课堂、建设优质网络课程实现混合式教学和改革考核方式增强学生学习主动性。这四个方面对该课程的教学方法进行探讨并进行实践，学生学习积极性大大提高，期末总评优秀率从40%提高到60%，收到了良好的预期效果，显著提高了教学质量。

参考文献：

[1] 屈婉玲，王元元，傅彦，张桂芸.“离散数学”课程教学实施方案[J].中国大学教育，2011（1）：38-41.

[2] 路美秀，王玉山，巫小蓉. “离散数学”教学中计算思维能力的培养[J].计算机教育，2013（5）：47-58.

[3] 谢志强. 讲好离散数学第一次课.计算机教育[J].2011（16）：95-98.

[4] 赵青杉，宗春梅，孟国艳，郑晓霞.基于问题驱动的离散数学课堂教学效果研究[J].沂州师范学院学报，2016，32（2）：94-96.

[5] 李伟伟，宁玉富，柳欣.客户体验管理在公选课教学改革中的应用[J].计算机教育，2014（24）：56-58.

篇10

关键词：离散数学；工程型；教学改革

离散数学是计算机科学与技术专业的重要数学基础，其关于对象状态及其变换描述的形式化和离散性特征，为计算系统实现问题求解提供了强有力的基本手段。所以，其基本概念都可以在计算机的各个领域中找到。该课程对培养学生的计算机思维能力有重要意义。笔者结合军校工程型大学的实际教学工作，探讨了工程型计算机科学与技术人才培养中离散数学课程教学中的一些问题。

1课程定位

教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会2009年编制的《高等学校计算机科学与技术专业核心课程教学实施方案》[1]中，将人才培养分为科学型、工程型和应用型3种，计算机专业这3种类型人才的教育将分别关注教育内容中的知识和问题求解方法的不同形态的内容，如图1所示。

根据3种不同类型人才的专业素养与能力要求，以及其他相关专业课程的教学需要，离散数学课程的教学内容和教学要求也具有不同的定位，如表1所示。

科学型人才的培养目标要求学生具有坚实的数学基础，较强的抽象思维、形式化描述、推理和分析能力；工程型人才培养目标要求学生具有坚实的数学基础，能够综合应用相关的理论分析和解决实际问题；应用型工程型人才培养目标要求学生能够熟练运用典型的离散模型，进行系统的建模和集成。

2教材案例

教材建设是教学改革的重要内容之一，是教学组织工作的基础。基于上述理念与原则，作者对《离散数学》[2](高等学校计算机教育规划教材)进行了修订。该教材涵盖集合论、数理逻辑、组合论、图论、抽象代数的基础知识，可满足计算机科学技术工程领域(工程型)高层次人才的需求，用离散结构的理论和方法对实际系统进行描述、分析的基本数学需求。

在这个知识框架中，离散数学课程划分为10个知识单元，分成三个层次。第一层的4个核心知识单元与工程型一样，即集合关系与函数、基本逻辑、图与树、基本计数，分别包含通常离散数学中的集合论、数理逻辑、图论、组合数学的基础部分。第二层的两个推荐知识单元是特殊的图、代数结构，分别包含图论、代数结构中的重要内容，这些知识单元之间相互比较独立。第三层的3个可选知识单元是形式系统、高级计数、初等数论，包含了数理逻辑、组合学和初等数论中的部分内容，这些知识单元之间也是比较独立的。从知识结构上，还需要一个关于证明技术的单元，包含离散数学中经常使用的证明方法，如数学归纳法、逻辑演算、构造性证明、反证法、归约证明等。但在教学安排上，可以将证明技术分散到有关的知识单元中讲授。

对比科学型人才培养目标，该教材包括了集合基数，但缺少一阶逻辑形式系统的一致性、合理性、完备性证明，计算理论(递归函数、原始递归函数、图灵机、图灵可计算函数)等内容。该教材涵盖应用型人才培养目标的全部内容包括集合、关系与函数，基本逻辑，图与树，特殊的图，证明技术，基本计数，代数系统简介，初等数论。

3学习方法

在明确课程定位以及有相应的教材支撑之后，结合实际教学，笔者从以下几个方面对离散数学的教学方法和手段作了探讨。

3.1深刻理解“数学内涵”

一个本质上简单的学科却难于学习。有些困难是表面的，其一是词汇。数学家用一些对普通人很生僻的词来表达从实际事物中抽象出来的概念。如“四边形”和“平行四边形”有一些在其他领域遇不到的特定的精确含义，要研究数学就得学着用。另一个看得见的，但同样是表面的困难是使用符号。我们要解决问题，以某些给定的信息为基础决定一个未知数。设此未知数是某一个长度为尺计的数字。用x去代表这个长度，而在以后就只用符号x而不去说这么长一句话，肯定是有利的。然而使用符号不会产生任何概念上的困难。

人们设想到的第三个困难是抽象性。但是由于基本的抽象或概念是直接来自日常经验的，人们心中很容易保存它们的含义。事实上，数学家不断地诉诸物理对象和物理图像，以便不忘记这些抽象概念的含义。古希腊数学家用小石子代表各类对象，用小石子学会了自然数的基本事实。顺便说一下，“计算”一词，广义地表示任一个算术或代数过程，它的英文Calculus的拉丁语源就是小石子。甚至更高级的数学抽象，如微积分学中所学的导数和积分，说到底离这些初等概念仅一步之隔，甚至微积分的概念也有图像的物理的意义。要学会这些抽象概念，比学习初等概念并不要求更高的智力。

数学的完成形式是一系列概念、一系列程序，例如求解某种类型方程的方法。另外还有一系列事实，例如定理。当然，程序和定理都要通过证明来确认。要想教会人这些数学的元素，最容易的方法莫过于用这些概念、过程、定理与证明的最终的、确定的形式去教学生。但是数学是一门老学科，它的某些重大的成就可以追溯到公元前三千年。过去五千多年里，数学家极大地扩大了这个学科的领域，当他们不断认识了新的客体和现象，当他们不断改进自己的理解，他们也就重塑了这些概念、程序与证明，来把这些成就组合起来。这些订正了的版本有许多就不再清晰易懂了。

此外，数学的分量在增加，最好把它组织起来，使关于同一主题的许多定理有合逻辑的次序。每一门学科的基础是公理，后面就是一串定理，每一个定理都用公理和前面已证的定理来证明。把结果按这样的合于逻辑的次序来安排，这种需要就要迫使数学家找出新的、不甚自然、不甚明白的证明。结果是许多证明都被除去了它们的直观、透明和易于理解的面貌，而被十分人为的证明代替了。

表述上的有效性似乎导致忽视数学的另一个特点，而这个特点对于理解数学却是至关重要的。数学本身是一副骨骼。数学的血肉和生命在于用数学做什么。有意义的数学要为一种目的服务，这种目的用笛卡儿的话来说，就是使人成为大自然的主人和占有者。数学的意义在于数学本身之外，正如好的文学作品的意义在于纸面上文字的堆积之外。要懂得数学，就要知道为什么需要这个结果，它和其他结果关系如何，用它可以做些什么事。

由于学校的目的和义务繁多，有时能够，有时又不能够给数学一种更有启发性的讲法。有志于此的学生必须要走得远一些，寻求一种完全的知识。要对数学有较彻底的理解与领会，就必须去掉那些纤巧的细节，深入到其深层的思想之中；要知道它的目的和用处，知道创造它的人们的动机，以及这些概念和结构的创生背景。

3.2学会创造性思维

创造性的活动，对学生来说则是再创造的活动，是数学的心脏。正是在这种活动中，数学家创造了最高成就，克服了困难，并使数学这门学科取得了最有意义的进展。创造过程不仅在解决已有问题时必不可少。没有新观点、新研究方法和新目标的创造，数学就会反反复复重新组织老的证明，使它们更加严格，在这样的过程中日趋枯竭，丧失生命力。对已经得到的知识，重新排列其步骤，安排其定理的次序来构成一个演绎的组织，这时常需要创意，但从总体上说，这更像是把书本重新排一个次序，而创造的活动，却可以比作写书。数学给人的满足――获得猎物时的兴奋，发现的激动、成就的感觉以及成功时的欢乐――更多更强烈的是在创造性的工作之中，而不是在最后按演绎的模式来重写论证之中。

数学中有许多美的篇章。无疑，数学家从事数学活动也能获得其他创造活动提供的满足感，但是伟大的数学家情愿把数学的美作为一种额外报偿，激励他们奋斗的最深层的动力，则是以数学为媒介，在人类的探索活动中理解宇宙，也理解人类自身在其中的角色，并且探求如何利用自然现象和自然的力量为人类服务。那些作出巨大贡献的数学家们，像阿基米德、牛顿、拉格朗日、拉普拉斯、高斯、哈密尔顿、庞加莱，或者是一流的物理学家，或者在科学史中占据显要地位，决不是偶然的。几乎所有数学的目的和意义并不在于对于一堆符号作一系列的逻辑阐述，而在于这些符号必定告诉我们关于外部世界的一些知识。

4思考与建议

离散数学是计算机科学系所有专业的基础数学课程。一方面是因为其有实用性(应用数学的特征)，另一方面是因为其有本身作为数学基础课的理论的严谨性[3]。所以，学习任何一个专题时，首先要精确严格地掌握好概念和术语，正确理解他们的内涵和外延。因为公理、定理或定律的基石都是概念。只有正确地理解了概念，才能把握定理的实质，熟练地将公理、定理应用于解决问题。完全地、精确地掌握一个概念的好主意，是首先要深刻理解概念的内涵，然后举一些属于和不属于该概念外延的正反两方面的实例。如果对一些似是而非的例子也能辨别的话，应该说这个概念是真正地理解了。对一些重要的概念，能记住一两个实例也很管用。这对牢固掌握一个概念是很有好处的。

读者应养成一种自觉的学习习惯，就是首先要掌握好基本概念和术语，在此基础上，理解每个基本定理的本质，最后，通过学习和借鉴书中提供的例题，独立地完成每一次作业，并且在每次作业完成之后，能自觉地归纳出其中用到的基本解题方法。注意，千万不要在完全理解相关概念和基本定理之前就匆忙去做相应的习题。

学习数学的唯一途径是实践。仅看别人怎么做，是不可能学会弹吉他或投篮的，也不可能仅靠阅读本书或听课就学好离散数学。必须积极主动地思考。在阅读数学书时，应该在手头随时备好笔和纸，以便进行详细的推导和计算。在听数学课前，最好先阅读有关的内容，这样，就可以专注于对内容的理解是否与教授的理解相一致，还可以就一些难点提问。本书中有很多习题，有些是纯粹的计算题，有些测试对概念的理解，有些要求给出论证，建议读者多做习题。

学习和理解术语也很重要。在数学中，传统的做法是对一些简单、常见的词汇赋予特殊的含义，如集合、函数、关系、图、树、网络。这些词都有严格的定义，必须认真学习。否则就不能理解在书中读到的内容和教授所讲述的课程。术语有助于有效地与别人共享信息。在现实生活中，仅仅简单地计算出某些东西往往不够，还必须能够向别人解释，使别人确信你的解是正确的。

参考文献：

[1] 教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会. 高等学校计算机科学与技术专业核心课程教学实施方案[M]. 北京:高等教育出版社,2009.

[2] 贲可荣,袁景凌,高志华. 离散数学[M]. 北京:清华大学出版社,2007.

[3] 中国计算机学会. 2008中国计算机科学技术发展报告[M]. 北京:机械工业出版社,2009.

Discussion on Contents and Learning Methods in Discrete Mathematics Course

GAO Zhihua1, BEN Kerong1, LIU Xia2

(1. Department of Computer Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China; 2. Academic Affairs, Naval

University of Engineering, Wuhan 430033, China)