金融数学范文

导语：如何才能写好一篇金融数学，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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【关键词】金融数学 投资组合选择理论 资本资产定价

经过两次“华尔街革命”， 金融数学迅速发展。套利、最优与均衡是金融数学的基本经济思想和三大基本概念。近年来，金融数学的发展，带动了现代金融市场中金融产品的快速创新，使金融交易的范围和层次更加丰富。本文从金融数学的主要理论、最新进展和发展趋势等方面对其做以概述，以期对我国金融数学的未来发展提供借鉴。

一、金融数学的主要理论

（1）投资组合理论。金融数学的第一个突破是马尔柯维茨1952年的论文“投资组合的选择”。该文尝试用方差来度量投资组合的风险，建立了两目标二次规划的数学模型，并提出投资组合的有效边界的概念即均值一定时方差最小的点与方差一定时均值最大的点组成的集合。文中指出当个人的无差异曲线与投资组合的有效边界相切时，投资组合的决策最优，进而可求出各资产持有的合理的比例。

（2）CAPM理论。经过研究均衡竞争市场中金融资产的价格形成，夏普、林特纳和默顿在均值一方差投资组合理论的基础上，发现证券投资的回报率与风险之间存在一定的定量关系，提出资本资产定价理（CAPM）。投资者在证券市场线上选择证券，投资组合是其效用函数与证券市场线的切点，求切点、测度资本市场线中的斜率成为夏普评价的关键。在证券股价、投资组合的绩效的测定、资本预算和投资风险分析中CAPM理论都得到广泛应用。

（3）Black Scholcs期权定价公式。不同于之前的无套利定价原理，布莱克和斯科尔斯在1973年证明了期权的合理价格不依赖于投资者的偏好（风险中性原则），并在“期权定价与公司负债”一文中提出Black Scholes公式(简称B―S公式)。B-S模型为风险管理与套期保值套期保值开辟了新天地，因其实用性和可操作性，被广泛用于各种金融衍生产品的开发和定价，已成为现代金融理论探索的源泉。同时默顿也提出标的股票支付红利的期权定价公式和欧式看涨期权及看跌期权的定价公式，完成了对B-S模型和定价公式多方面的系统推广。

二、金融数学理论的新进展

（1）随机最优控制理论。上世纪60年代末，为解决随机问题，控制理论应用布尔曼的最优化原理，结合测度论和泛函分析方法形成了随机最优控制理论。默顿在上世纪70年代将该理论应用于对连续时间最优消费投资问题的研究。因为连续型的假设下交易有界并且连续变化，这与证券投资的实际环境存在很大差距，为克服连续最优控制理论的不足，脉冲最优控制理论应运而生。在倒向随机微分方程上，彭实戈获得了突破性研究，使我国在该方面居于国际前沿。

(2)鞅理论。当前，国外基于鞅方法的定价理论在金融理论中占主导地位，其作为现代金融理论的最新理论方法认为，在有效的假设下，证券价格等价于一个随机鞅过程。借助等价鞅测度的概念，Karatzas L等提供了一套解决风险管理问题和不完备市场下复杂衍生产品定价问题的计算方法，揭示了金融市场的运行规律。国内学者也开始尝试该理论进行研究，如郭文旌等。

（3）最优停时理论。作为概率论中一个应用性很强的分支， 最优停时理论在金融领域的应用目前正处于起步阶段。近年来，国内的一些学者开始热心该领域的研究，并取得了可喜的成果：运用最优停时理论考察了具有固定交易费用的证券投资决策问题，给出了具有二个风险证券的投资决策问题一种简化算法。相信该理论将在投资组合等领域会取得更多的成果。

三、金融数学的发展趋势

（1）新问题越来越多。金融数学模型都需要假设条件，但有时假设与客观现实有一定差距甚至抵触，因此其应用范围比较狭窄，这需要在数学上进行改进。此外世界各国金融背景和管理模式各异，需要建立符合各自国情的金融模型和分析方法。如CAPM适合欧式期权不适合美式期权。金融环境和社会需求的不断变化也为金融数学提出了越来越多的问题，要求我们继续探索。

（2）实证研究成为主要方向。单纯从概念到概念（定性分析），或从模型到模型，很难深刻、客观地揭示金融市场的发展规律。实证研究从现实金融市场中获取数据，进行分析，建立数学模型，进而揭示数据背后的规律，最后返回数据和现实中检验结论的正确性，将成为金融数学的主要方向。

（3）金融数学的方法展望。金融系统的非线性与不确定性为金融数学提出了较高的要求，金融市场波动性、突发事件、市场不完全和信息不对称等特性也成为金融数学当前面临的重要课题。

一般的随机分析不能解释重大的金融震荡等小概率突发事件，起源于海岸线形状和宇宙星系描述的分形理论却可以解释股票的疯长和暴跌。另外突变理论和冲击理论也被应用于金融领域；当市场受到各种限制而不完备形成不完全市场时， Duffie的不完全市场的一般均衡理论及Karatzas等人引入的鞅理论都能很好地派上用场，后者已在国外金融理论中占主导地位；信息不对称条件下，我们很难在数学上处理相互。但重复对策、微分对策、多人对策及随机对策理论在金融领域中已得到较好的尝试，成为颇具前景的研究方向；统计和计算机已是金融数学它须臾不可离开的工具。

四、结语

经过两次“华尔街革命”， 微观金融理论与以随机分析为核心的数学理论同步发展，已成为独立的、具有理论研究与实践价值的交叉学科，这越来越引起国际金融界和数学界的关注，在我国金融数学也已开始得到重视。可见数学家与金融学家的通力合作是发展金融数学的必由之路。

参考文献

[1]宋逢明.金融工程程原理――无套利均衡分析[M].北京：清华大学出版社，1999.

[2]段.金融数学研究综述及其前景展望[J]. 高校理科研究,

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关键词：金融数学；资产；期权；证券投资；证券投资组合

随着当代金融理论体系的构建、发展和完善。 现代的金融理论变化越来越复杂，而数学方法在其中的应用是最重要的。尤其是在金融数学逐步形成之后， 数学在金融体系中的应用也就变得更重要了。因此， 应用数学与分析数学在金融领域当中的应用也就具有现实的意义了。

一、金融数学简介

金融数学是金融学的一个分支， 现当代数学工具是现代金融数学理论体系的最大特点，伴随着控制理论体系和随机过程的研究成果在金融领域中的创造性应用，一门新生的边缘学科应运而生——金融数学（F inanc ial Mathem atics），国际上也称其为数理金融（Mathematical Finance）。金融数学的出现源于金融问题的探索研究。随着现代金融市场的飞速发展，金融学与数学越来越紧密相连在一起了，而且现代金融学的发展也有助于推动了数学领域某些分支的发展，同时数学方法和理论为金融学的发展提供了有力的工具。

金融数学的含义有多种方面，从广义来说，金融数学是指应用数学的方法和理论，探索研究市场经济运行规律的一门新兴学科。但从狭义的方面来讲，金融数学的主要研究对象是不确定的时期条件下的证券组合筛选和资产定价体系理论，而这种理论体系三个最核心的概念是套利、最优和均衡。金融数学的应用方法是从一些金融或经济假设为出发点，用抽象的数学方法来研究，建立起附有金融机理的数学模型。金融数学包含的范围非常广，其中包括数学的概念在金融学，尤其是金融理论体系中的各类应用。金融数学的应用目的是用数学独特的语言来表达、推理和论证金融学原理。

金融数学是以金融理论为基础和背景，而并不是一定要接受过专业的金融方面训练。金融还与会计学、财务学、税务理论体系等有着密切的联系，金融数学的运用还需要财务技术、会计原理、税收理论等方面的知识作基础。金融数学的理论基础然还包含当代数学理论和当代统计学理论，而这个理论的首要目的就是数学建模，也就是说从多变的金融背景中挑选出关键因素来分辨出相关因素和无关因素，进而从一系列事先的假设出发，推导、判断出现实中的各种关系，最后得到结论的解释。所以可以看出数学建模在金融数学中的重要性。

综上论述可知，金融数学是以金融学、数学、统计学、经济学与计算机科学为基础的交叉学科。金融数学也是高层次的数量化分析性学科。

二、金融数学的理论构架

金融数学本身就是一门边缘学科，它最明显的特点就是运用一些数学的方法和手段来有效的发现和论证金融经济运行过程中的一些客观规律。具体来说，金融数学主要运用随机控制理论、随机分析方法、泛函分析法、数学规划体系、微分对策、数理统计思想、线性及非线性分析法、分形几何法等现代数学理念来着重地研究以下几个方面的问题：（1）怎样投资才能使金融者本人获得最大收益和把投资风险降到最低（2）在金融市场不完备前提下的资产定价模型及最优消费和投资理论；（3）利率和利率衍生物的定价理论体系等等；（4）在金融市场不稳定下的金融风险管理。

在现实经济运营中，有许许多多的人在分析证券价格的过程中引进了多种新型的非线性分析理念，如分形几何法、小波分析法、混沌学分析法、模式探索识别等。与此同时，在股票的预测和证券的选择过程中，同样有许多人采用了先进的技术和方法来解决这些问题，如神经网络方法、智能人工方法等。而金融数学并不是一个理论躯壳，它必须有多种细微的理论体系做基础。

1.控制最优理论

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从LTCM事件谈起

1997年亚洲爆发了震撼全球的金融危机，至今仍余波荡漾。究其根本原因，可说虽然是“冰冻三尺，非一日之寒”，而其直接原因却在于美国的量子基金对泰国外行市场突然袭击。1998年9月爆发的美国LTCM基金危机事件，震撼美国金融界，波及全世界，这一危机也是由于一个突发事件----俄罗斯政府宣布推迟偿还短期国债券所触发的。

LTCM基金是于1993年建立的“对冲”（hedge）基金，资金额为35亿美元，从事各种债券衍生物交易，由华尔街债券投资高手梅里韦瑟（J.W.Meriwether）主持。其合伙人中包括著名的数学金融学家斯科尔斯（M.S.Scholes）和默顿（R.C.Merton），他们参与建立的“期权定价公式”（即布莱克-斯科尔斯公式）为债券衍生物交易者广泛应用。两位因此获得者1997年诺贝尔经济学奖。LTCM基金的投资策略是根据数学金融学理论,建立模型，编制程序，运用计算机预测债券价格走向。具体做法是将各种债券历年的价格输入计算机，从中找出统计相关规律。投资者将债券分为两类：第一类是美国的联邦公券，由美国联邦政府保证，几乎没有风险；第二类是企业或发展中国家征服发行的债券，风险较大。LTCM基金通过统计发现，两类债券价格的波动基本同步，涨则齐涨，跌则齐跌，且通常两者间保持一定的平均差价。当通过计算机发现个别债券的市价偏离平均值时，若及时买进或卖出，就可在价格回到平均值时赚取利润。妙的是在一定范围内，无论如何价格上涨或下跌，按这种方法投资都可以获利。难怪LTCM基金在1994年3月至1997年12月的三年多中，资金增长高达300%。不仅其合伙人和投资者发了大财，各大银行为能从中分一杯羹，也争着借钱给他们，致使LTCM基金的运用资金与资本之比竟高达25：1。

天有不测风云！1998年8月俄罗斯政府突然宣布推迟偿还短期国债券，这一突发事件触发了群起抛售第二类债券的狂潮，其价格直线下跌，而且很难找到买主。与此同时，投资者为了保本，纷纷寻求最安全的避风港，将巨额资金转向购买美国政府担保的联邦公债。其价格一路飞升到历史新高。这种情况与LTCM计算机所依据的两类债券同步涨跌之统计规律刚好相反，原先的理论，模型和程序全都失灵。LTCM基金下错了注而损失惨重。雪上加霜的是，他们不但未随机应变及时撤出资金，而是对自己的理论模型过分自信，反而投入更多的资金以期反败为胜。就这样越陷越深。到9月下旬LTCM基金的亏损高达44%而濒临破产。其直接涉及金额为1000亿美元，而间接牵连的金额竟高达10000亿美元！如果任其倒闭，将引起连锁反应，造成严重的信誉危机，后果不堪设想。

由于LTCM基金亏损的金额过于庞大，而且涉及到两位诺贝尔经济学奖德主，这对数学金融的负面影响可想而知。华尔街有些人已在议论，开始怀疑数学金融学的使用性。有的甚至宣称：永远不向由数学金融学家主持的基金投资，数学金融学面临挑战。

LTCM基金事件爆发以后，美国各报刊之报道，评论，分析连篇累牍，焦点集中在为什么过去如此灵验的统计预测理论竟会突然失灵？多数人的共识是，布莱克-斯科尔斯理论本身并没有错，错在将之应用于不适当的条件下。本文作者之一在LTCM事件发生之前四个月著文分析基于随机过程的预测理论，文中将随机过程分为平稳的，似稳的以及非稳的三类，明确指出：“第三类随机过程是具有快变的或突变达的概率分布，可称为‘非稳随机过程’。对于这种非稳过程，概率分布实际上已失去意义，前述的基于概率分布的预测理论完全不适用，必须另辟途径，这也可以从自然科学类似的情形中得到启发。突变现象也存在于自然界中，……”此次正是俄罗斯政府宣布推迟偿还短期国债券这一突发事件，导致了LTCM基金的统计预测理论失灵，而且遭受损失的并非LTCM基金一家，其他基金以及华尔街的一些大银行和投资公司也都损失不赀。

经典的布莱克‐斯科尔斯公式

布莱克‐斯科尔斯公式可以认为是，一种在具有不确定性的债券市场中寻求无风险套利投资组合的理论。欧式期权定价的经典布莱克‐斯科尔斯公式，基于由几个方程组成的一个市场模型。其中，关于无风险债券价格的方程，只和利率r有关；而关于原生股票价格的方程，则除了与平均回报率b有关以外，还含有一个系数为σ的标准布朗运动的“微分”。当r，b，σ均为常数时，欧式买入期权（Europeancalloption）的价格θ就可以用精确的公式写出来，这就是著名的布莱克‐斯科尔斯公式。由此可以获得相应的“套利”投资组合。布莱克‐斯科尔斯公式自1973年发表以来，被投资者广泛应用，由此而形成的布莱克‐斯科尔斯理论成了期权投资理论的经典，促进了债券衍生物时常的蓬勃发展。有人甚至说。布莱克‐斯科尔斯理论开辟了债券衍生物交易这个新行业。

笔者以为，上述投资组合理论可称为经典布莱克‐斯科尔斯理论。它尽管在实践中极为成功，但也有其局限性。应用时如不加注意，就会出问题。

局限性之一：经典布莱克‐斯科尔斯理论基于平稳的完备的市场假设，即r，b，σ均为常数，且σ>0，但在实际的市场中它们都不一定是常数，而且很可能会有跳跃。

局限性之二：经典布莱克‐斯科尔斯理论假定所有投资者都是散户，而实际的市场中大户的影响不容忽视。特别是在不成熟的市场中，有时大户具有决定性的操纵作用。量子基金在东南亚金融危机中扮演的角色即为一例。在这种情况下，b和σ均依赖于投资者的行为，原生股票价格的微分方程变为非线性的。

经典布莱克‐斯科尔斯理论基于平稳市场的假定，属于“平稳随机过程”，在其适用条件下十分有效。事实上，期权投资者多年来一直在应用，LTCM基金也确实在过去三年多中赚了大钱。这次LTCM基金的失败并非由于布莱克‐斯科尔斯理论不对，而是因为突发事件袭来时，市场变得很不平稳,原来的“平稳随机过程"变成了“非稳随机过程”。条件变了，原来的统计规律不再适用了。由此可见，突发事件可以使原本有效的统计规律在新的条件下失效。

突发实件的机制

研究突发事件首先必须弄清其机制。只有弄清了机制才能分析其前兆，研究预警的方法及因此之道。突发事件并不限于金融领域，也存在于自然界及技术领域中。而且各个不同领域中的突发事件具有一定的共性，按照其机制可大致分为以下两大类。

“能量”积累型地震是典型的例子。地震的发生，是地壳中应力所积累的能量超过所能承受的临界值后突然的释放。积累的能量越多，地震的威力越大。此外，如火山爆发也属于这一类型。如果将“能量”作广义解释，也可以推广到社会经济领域。泡沫经济的破灭就可以看作是“能量“积累型，这里的“能量”就是被人为抬高的产业之虚假价值。这种虚假价值不断积累，直至其经济基础无法承担时，就会突然崩溃。积累的虚假价值越多，突发事件的威力就越大。日本泡沫经济在1990年初崩溃后，至今已九年尚未恢复，其重要原因之一就是房地产所积累的虚假价值过分庞大之故。

“放大”型原子弹的爆发是典型的例子。在原子弹的裂变反应中，一个中子击中铀核使之分裂而释放核能，同时放出二至伞个中子，这是一级反应。放出的中子再击中铀核产生二级反应，释放更多的核能，放出更多的中子……。以此类推，释放的核能及中子数均按反应级级数以指数放大，很快因起核爆炸。这是一种多级相联的“级联放大”，此外，放大电路中由于正反馈而造成的不稳定性，以及非线性系统的“张弛”震荡等也属于“放大”型。这里正反馈的作用等效于级联。在社会、经济及金融等领域中也有类似的情形，例如企业间达的连锁债务就有可能导致“级联放大”，即由于一家倒闭而引起一系列债主的相继倒闭，甚至可能触发金融市场的崩溃。这次LTCM基金的危机，如果不是美国政府及时介入，促使15家大银行注入35亿美元解困，就很可因LTCM基金倒闭而引起“级联放大”，造成整个金融界的信用危机。

金融界还有一种常用的术语，即所谓“杠杆作用”（leverage）。杠杆作用愿意为以小力产生大力，此处指以小钱控制大钱。这也属于“放大”类型。例如LTCM基金不仅大量利用银行贷款造成极高的“运用资金与资本之比”，而且还利用期货交易到交割时才需付款的规定，大做买空卖空的无本交易，使其利用“杠杆作用”投资所涉及的资金高达10000亿美元的天文数字。一旦出问题，这种突发事件的震撼力是惊人的。

金融突发事件之复杂性

金融突发事件要比自然界的或技术的突发事件复杂得多，其复杂性表现在以下几个方面。

多因素性对金融突发事件而言，除了金融诸因素外，还涉及到政治、经济、军事、社会、心理等多种因素。LTCM事件的起因本为经济因素--俄罗斯政府宣布推迟偿还短期债券，而俄罗斯经济在世界经济中所占分额甚少，之所以能掀起如此巨大风波，是因为心理因素的“放大”作用：投资者突然感受到第二类债券的高风险，竞相抛售，才造成波及全球的金融风暴。可见心理因素不容忽视，必须将其计及。

非线性影响金融突发事件的不仅有多种因素，而且各个因素之间一般具有错综复杂的相互作用，即为非线性的关系。例如，大户的动作会影响到市场及散户的行为。用数学语言说就是：多种因素共同作用所产生的结果，并不等于各个因素分别作用时结果的线性叠加。突发事件的理论模型必须包含非线性项，这种非线性理论处理起来要比线性理论复杂得多。

不确定性金融现象一般都带有不确定性，而突发事件尤甚。如何处理这种不确定性是研究突发事件的关键之一。例如，1998年8月间俄罗斯经济已濒临破产边缘，几乎可以确定某种事件将会发生，但对于投资者更具有实用价值的是：到底会发生什么事件？在何时发生？这些具有较大的不确定性。

由此可知，金融突发事件的机制不像自然界或技术领域中的那样界限分明，往往具有综合性。例如，1990年日本泡沫经济的破灭，其机制固然是由于房地产等虚假价值的积累，但由此触发的金融危机却也包含着银行等金融机构连锁债务的级联放大效应。预警方法

对冲基金之“对冲”，其目的就在于利用“对冲”来避险（有人将hedgefund译为“避险基金”）。具有讽刺意义的是，原本设计为避险的基金，竟因突发事件而造成震撼金融界的高风险。华尔街的大型债券公司和银行都设有“风险管理部”，斯科尔斯和默顿都是LTCM基金“风险管理委员会”的成员，对突发事件作出预警是他们的职责，但在这次他们竟都未能作出预警。

突发事件是“小概率”事件，基于传统的平稳随机过程的预测理论完全不适用。这只要看一个简单的例子就可以明白。在高速公路公路上驾驶汽车，想对突然发生的机械故障做出预警以防止车祸，传统的平稳随机过程统计可能给出的信息是：每一百万辆车在行驶过程中可能有三辆发生机械故障。这种统计规律虽然对保险公司制定保险率有用，但对预警根本无用。因为不知道你的车是否属于这百万分之三，就算知道是属于这百万分之三，你也不知道何时会发生故障。笔者认为，针对金融突发事件的上述特点，作预警应采用“多因素前兆法”。前面说过，在“能量”积累型的突发事件发生之前，必定有一个事先“能量”积累的过程；对“放大”型的突发事件而言，事先必定存在某种放大机制。因此在金融突发事件爆发之前，总有蛛丝马迹的前兆。而且“能量”的积累越多，放大的倍数越高，前兆也就越明显。采用这种方法对汽车之机械故障作出预警，应实时监测其机械系统的运行状态，随时发现温度、噪音、振动，以及驾驶感觉等反常变化及时作出预警。当然，金融突发事件要比汽车机械故障复杂得多，影响的因素也多得多。为了作出预警，必须对多种因素进行实时监测，特别应当“能量”的积累是否已接近其“临界点”，是否已存在“一触即发”的放大机制等危险前兆。如能做到这些，金融突发事件的预警应该是可能的。要实现预警，困难也很大。其一是计及多种因素的困难。计及的因素越多，模型就越复杂。而且由于非线性效应数学处理就更为困难。计及多种因素的突发事件之数学模型，很可能超越现有计算机的处理能力。但计算机的发展一日千里，今天不能的，明天就有可能。是否可以先简后繁、先易后难？不妨先计及最重要的一些因素，以后再根据计算机技术的进展逐步扩充。其二是定量化的困难。有些因素，比如心理因素，应如何定量化，就很值得研究。心理是大脑中的活动，直接定量极为困难，但间接定量还是可能的。可以考虑采用“分类效用函数”来量化民众的投资心理因素。为此，可以将投资者划分为几种不同的类型，如散户和大户，年轻的和年老的，保守型和冒险型等等，以便分别处理。然后，选用他们的一种典型投资行为作为代表其投资心理的“效用函数“，加以量化。这种方法如果运用得当，是可以在一定程度上定量地表示投资者的心理因素的。此外，卢卡斯（R.E.Lucas）的“理性预期”也是一种处理心理因素的方法。

其三是报警灵敏度的困难。过分灵敏可能给出许多“狼来了”的虚警，欠灵敏则可能造成漏报。如何适当把握报警之“临界值”？是否可以采用预警分级制和概率表示？

有些人根本怀疑对金融突发事件做预警的可能性。对此不妨这样来讨论：你相信不相信金融事件具有因果性？如果答案是肯定的，那么金融突发事件就不会凭空发生，就应该有前兆可寻，预警的可能性应该是存在的，那么金融学就不是一门科学，预警当然也就谈不上了。笔者相信因果律是普遍存在的，金融领域也不例外。

因应之道

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关键词：数学专业 金融数学 探索

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2012）12（b）-0-02

随着社会经济的迅速发展，金融业逐步实现与国际接轨并参与国际竞争，数学技术以其精确的描述，严密的推导在金融领域的作用日渐凸显。数学作为一门基础性工具学科与计算技术相融合，并服务于金融领域，形成了一门新兴的交叉学科―金融数学。目前，金融数学已成为较活跃的前沿学科，并快速发展，已经成为国际金融界的重要工具。金融数学专业方向旨在培养能够掌握现代金融衍生工具，可以对金融风险做定量分析的，既通晓金融学又懂得数学的高素质复合型人才。这样，不但能够增强数学学科的社会服务功能，而且增加了数学学科的自我发展的实力。我校数学与应用数学专业为了适应社会经济对新兴学科发展的需要，结合自身实际，于2007年及时调整了专业发展方向，在数学系中设置金融数学专业方向，现今已有两届毕业生。

该文结合我专业在拓办金融数学方向过程中发现的一些问题，通过拓办金融数学方向教学改革的探索，笔者对我专业课程建设的思路进行梳理，总结出具有实践经验的一些成果，为数学专业拓展非师范专业方向的课程建设提供一定的示范

作用。

1 数学专业拓办金融数学方向课程建设方面存在的问题

目前国内开设金融数学本科专业的高等院校较少，相关人才的培养刚刚起步，在课程建设方面可借鉴的方法与经验很少。几年来，我数学专业在拓办金融数学方向过程中不断探索，研究发现在课程建设方面存在以下问题。

1.1 课程体系不完善，特色不鲜明

金融数学方向不但要学习数学专业课，还要学习经济金融方向的课程，除此之外还要学习交叉课程，但是，由于金融数学专业是在原有数学专业基础上形成并开设的，实践中往往只是单纯地进行数学专业基础课程及金融基础理论的教学，没有深层次地挖掘二者之间的内在联系，从而造成了金融与数学的脱节，失去了金融数学专业方向应有的特色。

1.2 课程综合实践性不强

21世纪的经济发展进程中，我国金融行业急需一批具有创新思想和理念、实际应用与动手操作能力强并且具备扎实的基本知识和前瞻性分析视角的金融数学人才。但是，在金融数学方向实际的教学中，基本仍采用传统的说教式教学方法，导致教学内容与实践脱节，学生只会纸上谈兵，缺乏实践经验、创新能力差，从而难以适应市场对该类型人才的需求。

2 数学专业拓办金融数学方向课程建设教学改革的几点建议

针对上文提到的金融数学方向课程建设方面存在的问题，根据我数学专业拓办金融数学方向多年的教学经验，提出以下几点建议。

2.1 完善课程体系

在金融数学专业方向的课程设置中，构造有利于学生能力形成的专业知识结构，做到既体现数学专业办学特色、突出侧重金融领域应用的特点而形成的专业理论课，又注重学生应用能力训练和综合能力培养的实践性教学课程。

（1）强化数学基础课程设置：为了培养学生的数学思维和计算分析能力，设置了包括数学分析、高等代数、解析几何、概率论、数理统计、常微分方程、复变函数等数学课程，为培养应用型数学人才奠定坚实的基础。

（2）完善金融数学专业课程的设置和强化训练：在专业基础必修课中加入宏观经济学、微观经济学、金融数学等金融类课程，并要求学生必须修读；把专业限定选修课分为“经济学模块”与“金融数学模块”两个模块，学生可以根据自己的兴趣任选其一修读，突出金融与数学交叉融合的特色，培养学生宽厚的经济学理论基础和专业理论基础。

（3）强化实验与实践课程的应用性训练：在金融学应用性课程中推行实验教学和模拟教学，进一步强化数学建模、数学实验、财务会计、货币银行学等专业课程的课程设计以及财务软件、统计软件等实验课程的学习与应用。

2.2 优化课程内容

教学内容是课程建设的核心内容之一，改革传统数学教育体系，使之适应社会经济发展对应用数学教育的需求现状，我们应把工作重点放在内容的整合与优化、组织模式研究以及实践性教学设计环节上。

2.2.1 整合数学基础课程教学内容

在数学基础课的教学中，淡化理论色彩，强调基本概念、基本运算和基本数学思想的

教学，以“必需、够用”为度删减理论证明，将数学理论部分细化成“小模块”编排。科学地处理了教学内容的取舍并注意不断的更新。

例如，对《数学分析》教材的内容可整合成函数、极限、导数、积分、级数等五个模块内容，可使学生的思维更为连贯，有利于学生对数学分析知识的建构。通过实际教学，将数学基础课的内容融入建模思想，打破传统的静态教学模式，更加利于学生对数学课程的理解，从而培养了学生应用数学知识解决实际问题的能力，提高了教学质量；通过优化整合教学内容，既压缩了教学课时，又扩充了知识内容，解决了教学课时减少与教学内容过多的教学问题。达到事半功倍的效果。

2.2.2 构建特色鲜明金融课程内容

人才培养是课程改革的主要目标，金融数学是应用数学工具去解决金融界提出的有关风险管理与度量、衍生产品定价以及投资效益优化等各问题。是以随机分析与偏微分方程为数学基础，计算数学为工具，应用建模把实际金融问题与数学科学联系起来，把金融问题转化为数学问题，突出专业特色―数学在经济中应用。因此在着重培养学生的数学建模能力和数值计算的能力的同时，必须要逐步加深学生对现代金融市场基本概念及金融数学研究的前沿问题随机最优控制理论、鞅理论微分对策理论、智能化方法及实证方法、最优停时理论、突发事件的理解，以提高对金融实际的“感觉”和直观能力。我们金融课程的改革和建设围绕这两个能力的培养来进行。

2.2.3 加强数学基础课与金融课程内容的联系

在数学基础课的教学中，可结合金融数学需要，重组数学课程的教学内容，凸显数学基础课的核心理论和基本技能。可用金融案例替换数学教材中的其他学科案例，如在讲授数学分析理论课内容时，可以结合金融学问题，如在讲授极限内容时，可安排复利公式的探索、存储问题的分析、消费者决策等实践内容，既能激发学生主动学习的兴趣，也可以帮助学生理解更好的金融问题和数学的关系，进而初步建立起具有金融数学模型的思维方式。在授课过程中，还要注重金融课程与数学课程在授课顺序、课程内容等方面有机地衔接和融合。

2.2.4 构建多层次实训、实践教学内容

我们以学生为主体，以社会的需求为导向，调整优化数学与金融学实验教学内容，通过组织学生进行专题讨论、撰写课程小论文和学术报告等多种形式，来提高学生的思辨能力，达到开阔学生的视野之目的；课堂教学中精选国内外金融领域的经典案例和与现实生活联系密切的金融事件等，通过组织讨论或模拟实验等手段，来突出该课程的应用性、操作性和前沿性等特点。注重增加金融学实验课的比重，增设如银行业务模拟等综合性、财务软件课程设计等设计性实验，实现实践内容多样化。

除了金融见习课程外，增设金融业务模拟实习。我们还以职业技能培养为核心，充分利用社会上的办学资源，加强与当地银行、证券公司、保险公司、期货公司等用人单位的广泛合作，使这些金融机构为学生提供实习的机会和条件。推荐学生到金融企业进行顶岗实习，推行“双证制”。

增加学生的实践经验，锻炼学生的社会实践能力，有力地促进了毕业生就业。

3 结语

数学专业拓办金融数学方向是新生事物，金融数学方向课程建设方面的教学改革以及金融人才的培养还处于初级阶段，是一项需要长期研究并且不断发展和创新的课题，我们要不懈地努力，为社会经济发展贡献力量。

参考文献

[1] 李晓红，朱婧.金融数学[M].北京航空航天大学，2012：4-5．

[2] 张友兰，周爱民．金融数学的研究与进展[J]．高等数学研究，2004，7（4）：53-55．

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关键词：数学专业；统计与金融数学；教学改革

中图分类号：G64 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）33-0040-02

数学与应用数学专业是一个传统专业，长期以来培养目标单一，只培养数学研究人员与数学教师，大多数高校都是从事师范生的培养与教育，如何确保数学专业毕业生的质量，增强他们在就业市场上的竞争力成为现阶段急需解决的问题。2012年9月，教育部关于印发《普通高等学校本科专业目录（2012年）》、《普通高等学校本科专业设置管理规定》等文件（教高[2012]9号），明确提出了“建立动态调整机制，不断优化学科专业结构的要求”，给数学与应用数学专业在保持传统专业特色的基础上如何拓办新兴专业指明了一条道路。[1]我校数学与应用数学专业是历史悠久的一个专业，长期以来从事师范生的培养与教育。为适应我校把“以工为主，石油化工特色鲜明、优势突出、多学科协调发展”的建设目标，拓展数学与应用数学非师范专业方向，结合自身实际和工科的办学模式，我们及时调整了专业发展方向，设置了统计与金融数学专业方向，并在人才培养及教学课程设置上做了相应的改革。

一、借助工科的办学思路，拓宽数学等传统专业的办学方向

数学与应用数学专业方向的设置和调整，应主动适应国家经济社会发展需要，适应知识创新、科技进步以及学科发展需要，更好地满足人民群众接受高质量高教育的需求，同时应遵循高等教育规律和人才成长规律，适应学生全面可持续发展的需要，并且应符合学校办学定位和办学条件，促进学校办出特色，提高人才培养质量。[2]

二、明确专业培养目标，培养基于数学基础的复合型应用人才

借助学校工科的办学模式，我们在专业培养目标集中体现了“数学知识基础扎实，统计实践能力深厚，金融应用能力强，具有较强适应能力和创新精神的应用型高级专业人才”为人才培养目标，这与以前只培养数学研究人员与数学教师有了本质上的区别，首次提出了复合型应用人才的培养。

三、深化课程改革，建立完善课程体系

围绕着人才培养目标，在专业的课程设置中，加强能力结构知识的培养。做到既体现工科背景下数学专业的特色，又突出侧重统计、金融领域应用的特点的理论课程设计。[2]

做好基础理论课程教学的改革。紧抓本专业教育教学特点，增强时效性，为社会服务，及时更新教学内容，完善课程体系，添加适用性内容。理论课程的设计上，完善三大课程平台的建设：①设立数学平台课程。淡化经典数学基础课程设置，侧重于培养学生的数学思维。设立数学平台课程：数学分析、高等代数、解析几何、离散数学结构、微分方程、概率论、数理统计、计量经济学、运筹学、营销学、数学模型与实验等。②设立统计平台课程。侧重统计学科的要求，做好统计能力及计算分析课程的设置。统计平台课程：统计学原理、多元统计与分析、微观经济学、宏观经济学、随机过程和随机分析、经济预测和决策。③设立金融数学平台课程。培养学生宽厚的金融学理论基础和专业理论基础，金融数学平台课程：最优化方法、金融学、金融数学、金融工程学、金融时间序列、商业银行会计、保险学、证投资学、营销策略、寿险精算学、金融风险管理。④借助工科培养模式，做到“工理结合”，深入改革实验与实践课程，力求加大应用性训练。在人才培养方案上，我们设置了长达43周的实验、实践类课程。主要实践教学环节：营销实践，国家职业资格教学，社会实践（暑假），营销策划，数据分析（抽样调查），统计学软件，金融实务训练，虚拟金融投资等。

四、精心统筹安排，优化各个模块之间的课程教学内容

课程教学内容是专业方向设置的主要手段，是专业建设的核心内容，分析各门课程的联系与区别，改革传统数学教育教学体系，使之适应社会经济发展和社会经济需求，工作重点放在教学内容的整合与优化、组织与管理等理论教学环节和实践性教学设计环节上。

1.整合数学基础课程教学内容，力求做到：淡化经典数学理论要求，强调基本概念理解、基本运算掌握和基本数学思想的贯通，做到“必需的一定讲、够用为主、技能为上”的标准来删减理论、设置实验、设计实践，科学地处理教学内容的取舍并注意不断的更新。[3]

2.构建特色鲜明的统计、金融数学课程内容。着重培养学生的应用数学知识，建立数学模型以解决实际统计、数理金融、证券、保险问题的初步能力，逐步加深学生对现代经济市场基本概念和利用数学工具研究经济市场的前沿问题，以提高对统计金融实际的“感觉”和直观能力。

3.构建适合数学专业、合乎工科能力层次的“递进式”的实践教学模式。内容体系按基本技能、专业技能和技术应用或综合技能三大模块构建。基本技能侧重统计、计算的操作性，专业技能注重金融技术应用性，技术应用或综合技能强调复合型人才培养的综合实践性，增设如金融业务模拟、财务业务模拟等综合性营销业务模拟，实现实践内容多样化。

五、以培养数学应用、统计应用、金融应用为三个“职业定位”为导向，做到“淡化数学学科、强化统计、金融专业，按照企业的需要和岗位来对接”

以培养数学人才、统计应用人才及金融适用人才的三个职业方向，因此在构建专业选修模块上侧重于学生学习数学、统计、经济、金融等基础理论，在修完必修课程后，学生可依据不同方向的职业定位进入专业选修课模块的学习阶段。专业课程可按以下几种就业趋势进行设置：①国家公务员序列。如统计、财政、审计、海关部门、信息调研中心。②商业银行。四大行和股份制商行、商业银行、外资银行驻国内分支机构。③各类证券公司，含基金管理公司，上交所、深交所、期交所。④金融控股集团、四大资产管理公司、金融租赁、担保公司，各类信托投资公司、金融投资控股公司、投资咨询顾问公司、大型企业财务公司。⑤信息调查分析公司。各类需要简单数据统计统计及基础金融业务的企业。

六、以社会导向为基准，做好社会需求适应性的研究与实践，随时做好人才培养方案的补充与更新

1.重视企业对信息调研，统计、决策管理，将“数据分析（抽样调查）”、“经济预测与决策”课程与社会相结合，与企业需求衔接，修改实验大纲及方式，为学生打下坚实的专业基础，做到能与社会对接，与用户相适应。

2.做到学生“毕业双证”的实践教学改革。开拓信息，做好国家资质资格考试的引导工作，开设并引导学生参加相应的统计师从业资格、证分析师从业资格、理财规划师从业资格、信息调查员从业资格、精算师从业资格、金融分析师等考试引导工作。

3.做好“工”、“理”结合。借鉴工科的培养模式，多出社会，在学生毕业就业时做好“订单式”人才模式设计。

数学专业拓办统计与金融数学方向是新生事物，如何从“老牌”师范专业中拓办新型非师范方向，培养适应社会发展需要的实用性统计与金融复合型人才，其教学改革的研究和专业建设成为了急需探索的重要课题。

参考文献：

[1]教育部.教育部关于印发《普通高等学校本科专业目录（2012年）》《普通高等学校本科专业设置管理规定》等文件的通知[Z].教高[2012]9号，2012（10）.

[2]姜礼尚，徐承龙.金融数学课程体系、教材建设及人才培养的探索[J].中国大学教学，2008，（10）：11-13.

[3]袁军.金融数学研究综述与展望[J].商业时代，2008，（13）：68-69.

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摘要：在历史文明发展的长河中，数学起着非常重要的作用，它为科学技术的不断进步和发展起到了重大的推动作用，这对人们的日常生产和生活方式提供了极大的便利。金融数学是时展的产物，随着经济的快速发展，需要更加专业的数学理论知识来帮助金融行业的发展，金融数学应运而生。金融数学作为一门最近发展起来的新兴学科，在未来的发展还存在很多的问题，我们需要用发展的眼光来看待它。因此，本文的主旨就是对金融数学的前沿问题进行相关分析，对其发展前景进行展望。

关键词：金融；数学；前沿

问题数学是一门有着相当久历史的学科，作为一门研究结构、数量以及空间的模型的传统性学科，主要的利用抽象理论和逻辑的推挤去进行研究和使用，如今已经发展成为一门应用十分广泛，使用十分直接、便捷，解决问题方便、及时以及十分富有创造性和稳定性的重要的学科。而金融数学主要是将现代数学的理论和方法与金融的理论和方法相结合，一方面，可以在解决金融问题的过程中应用适当的数学方法进行分析；另一方面，金融行业发展过程中会不短出现新的问题，可以向相关的数学理论提供有价值的研究方向。金融数学就是指用数学方法研究金融问题，它是在两次“华尔街”革命的基础上产生和发展的，主要是在实际的操作中对数量进行具体的分析以及研究。而通过多年来对于金融数学的研究和分析中，容易发现其主要的核心就是在一个确定下不强的环境下对各种资产的定价理论以及投资策略的选择的最优化的一些研究，而在这些理论中来，有三个最基本的概念，分别是最优、均衡以及套利，这三个基本概念对金融发展具有重要推动作用。

一、利率的期限结构问题

“B-S模型”是对市场发展进行理想、不切实际的假设，在“B-S模型”中，利率通常是一个给定的常熟，然而，在实际发展过程中，利率会不断发生改变，受外界因素的影响较大。利率的期限结构是对利率在不同性质﹑不同到期日的证券条件下的变化规律总结，主要是通过收益率的曲线这种形式来表示基本的变化规律。在传统的理论体系中，利率的结构主要有四种基本的理论，分别是市场的分割理论、有限的置产理论、流动性的偏好理论以及无偏预期的理论，利率的期限结构是对传统利率结构的进一步发展，保留了其中三种理论：市场的预期理论﹑市场的分割和投资的偏好理论﹑流动性的偏好理论。这几项理论可以从不同的方向，不同的角度，去合理地研究解释利率变化的不规则性。近年来，经济全球化的发展程度不断深入，经济结构不断完善，在这种情形下，利率以及期权等利率的衍生证券得到十分快速的发展的同时，利率的风险问题也日益突出，对利率期限结构模型的依赖越来越强，比较著名的利率期限结构模型有无套利模型、一般均衡模型、二项式网状模型。

二、市场价格的波动性问题

在金融市场中，市场价格波动现象是随时存在的，这种波动性较大的因素被称之为随机变量，以股票价格的波动为例。在“B-S模型”及推广的模型中，经常将股票的价格的波动假设成为一个完全服从某种随机过程的波动，并可以根据相关数据进行随机的分析，因此，在实际的金融市场中基本不可能存在股票的价格波动是常数的情况。股票价格的波动率是未来股票价格变动研究中的一种最关键变量，因此，如果要更好更准确地去对股票价格的变动波动规律进行描述，就需要充分考虑不止一种因素对于股票价格波动的影响，同时，也需要对股票价格的波动的变化规律对于股票的价格以及除了价格之外的其他的随机变量的一些依赖性进行研究考虑，最后，由于金融市场的不稳定性，还需要考虑到股市的崩盘导致的股票价格暴跌。目前，比较常用的模型有移动平均法、CRCH模型及其推广、隐含波动率模型和随机波动率模型，其中随机波动率模型可以将这几种因素的影响全部体现出来，为此，它在金融市场中作用越来越大，备受金融界的关注。

三、突发事件问题

突发事件又被称为小概率时间，对于重大的金融震荡问题是完全不能采用传统的平稳随机过程预测理论进行分析的，所以，应该如何在对突发事件研究的过程中，进行一种可以解释其若干特征的定量描述是目前相关数学理论的研究发展方向。传统的平稳随机过程预测理论对于金融市场中的95%事件都是可以加以解释的，剩余的5%不能解释的时间中就包括突发事件。而这种突发事件有时候十分致命，对于金融市场来说，突发事件是一个必须引起重视的情况。一旦发生，就会对金融界甚至国家造成巨大的损失。在众多数学成就当中，分形和多分形理论无疑是最杰出的，其真正目的并不是要准确地预测未来，但是在实际应用过程中，它确实是对市场的发展风险进行了切合实际的描述。由于金融体系的不稳定性以及复杂性和其突发事件的特殊性，这些结合在一起就为金融数学提供了一个十分重要的问题，尤其是在多种因素都能够影响到金融系统的情况下，金融数学的不确定性和非线性就变得十分地复杂难解，有利于突变理论和次冲击理论在金融实践中的应用。

四、市场的不完全性和信息的不对称性问题

现实市场是一个不完全市场，在整个金融市场的发展过程中，金融体系中参与的人员之间掌握的信息并不是对称的，参与到经济操作中的人员之间掌握的信息并不互通，大家掌握的信息不同。来源也不同，这加重了市场的不完全性。现实市场中有许多的不确定性，主要就是表现在股票和证券的投资的自由度不够，有许多的限制，在这种情况下，就提出了一种均衡理论来解释这种不完全的市场情形，这种理论能够很好地证明金融市场中进行创新的合理性，同时，这种理论对社会资源分配效率的提高也有很好的促进作用，有效利用具有重大意义。目前，我国金融市场中的证券定价问题主要是依靠鞅理论加以解决，在国外，这种理论是占主导地位的，我国的国情虽然不一样，但是也可以从中学习。在信息不对称性的情况下，容易出现参与经纪人相互对策的现象，往往在信息层次出现很多的问题，加剧对不对称信息刻划的困难，在采用数学方法处理的过程中就更加困难。为更好寻找解决方法，在实践中发现，微分对策、重复对策、随机对策以及多人对策理论都有着很好的发展前景，需要不但对其理论及时间进行深入的研究、探索。

五、结语

由于当前我国社会主义市场经济体制的不断完善，金融市场对人才的需求将越来越大，需要相关人员不断加强对金融数学的研究学习，为经济发展服务。

参考文献：

[1]朱经浩，王成.正定二次最优控制问题的最优值的估计[J].控制理论与应用.2006(01).

[2]朱经浩，朱丙坤.最优投资决策问题的期望效益的数学表示[J].同济大学学报(自然科学版).2005(08).

[3]王金平.中外金融数学的发展及其走向[D].山东大学，2008.

[4]陈杰.最优控制的若干问题及其在金融数学中的应用[D].同济大学，2007.

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【关键词】金融数学；网络；教学模式；教学改革

【基金项目】1.吉林省高等教育教学改革研究重点课题：创新应用型统计类专业人才培养模式研究与实践；2.吉林省高教学会资助项目（JGJX2015C39）.

金融数学是一门融金融和数学为一体的交叉学科，围绕金融市场的均衡与有价证券定价的数学理论进行剖析，其核心内容是研究资产的定价理论、金融衍生品的定价、投资组合优化设计和风险管理[1].以往教师在讲授中一般以理论知识为主，涉及的往往是一些高深的、缺乏现实意义的数学理论，和实际的金融脱节.数学基础不是很好学生往往难于接受，并且在学习的过程中失去兴趣，产生厌学的情绪，使得教师很难完成对学生的培养任务.作为讲授金融数学的教师，在把握课程理论教学的重点和难点的基础上，加入时效性强、有说服力的实际案例，适时、适当地采用各种方式和教学手段，才能使学生对金融数学产生浓厚的兴趣，充分理解和掌握其主要的内容和方法.

课堂是教学活动的主要场所，课堂质量是教学质量高低的一个决定性因素.在网络时代获取知识的渠道和方式呈多元化趋势下，传统课堂教学面临严重的挑战，我们针对统计专业学生的学习特点和教学要求，强化教学手段的多样性、内容语言的趣味性、知识的及时性等方面，注重培养学生学习的兴趣，加强学生动手能力.

一、教学中存在的问题

（一）学生在课堂上对艰深的数学知识难以理解，以至于放弃金融数学的学习，转而玩手机或进行与课堂教学无关的其他行为.

（二）课程中涉及的方法和案例基本上用简单的纸笔和脑力不能解决，需要借助相关软件通过上机操作才能得出结果.

（三）教材上的案例经常是十几年前或几十年前发生的案例，和现实生活中学生能接触到的实际情况相去甚远，不能引起学生的共鸣.

二、教学模式改革

（一）引进“对分课堂”的理念

我们选择优秀教科书的同时，结合传统课堂与讨论式课堂各自的优势，进行取舍折中，我们拟采用一个新的课堂教学模式，称为“对分课堂”[2].对分课堂的核心理念是把一半课堂时间分配给教师进行讲授，另一半分配给学生以讨论的形式进行交互式学习.类似传统课堂，对分课堂强调先教后学，教师讲授在先，学生学习在后.类似讨论式课堂，对分课堂强调生生、师生互动，鼓励自主性学习.对分课堂的关键创新在于把讲授和讨论时间错开，让学生在课后有一段时间自主安排学习，进行个性化的内化吸收.

（二）实际案例导引，激发学生学习兴趣

教师通过引入案例，引导学生通过分组讨论、竞争等多元化的模式进行互动教学，增强学生学习的主动性和积极性，不仅丰富了教学模式，也能提高课堂教学效果，让学生在与教师、与同学、与教材的互动中快速提高，解决“效果差”的问题.

另外，在学习的过程中，及时加入近几年发生的关于金融数学的案例，例如，“碧桂园案例”“美国次贷危机”等与时俱进的事件作为课程内容的导引，充分调动学生对案例的关注，进而引发学生进一步学习和了解的兴趣，并借助“对分课堂”，使全部学生在理解基础知识的前提下，参与到主动学习当中来.虽然学生的基础和兴趣点各异，但通过这种事件为导引，并结合课堂规定发言（按小组内人员排序进行必答）和加分发言（对问题提出独到的见解），势必让学生主动或被动地获取相应知识，避免注意力分散的情况发生.

（三）充分运用数学和统计软件，及时将理论实践化

金融数学的应用性体现在用数学工具解决实际金融问题.因此，实践性的教学环节对于学生灵活掌握金融数学课程的相关内容以及培养学生动手实践能力都是至关重要的.在讲授某一部分后，可以指导学生将所学内容进行网上推演和模拟，这样不仅能培养学生的动手能力和解决实际问题的能力，也能增强学生的学习兴趣.

三、成绩考核改革

在考核方法上，对分课堂强调过程性评价，并关注不同的学习需求，让学生能够根据其个人的学习目标确定对课程的投入.对分课堂把教学分为在时间上清晰分离的三个过程，分别为讲授（Presentation）、内化吸收（Assimilation）和讨论（Discussion）[2].在课堂教学和分组讨论中给学生相应评判，并计入到期末考核成绩当中.把考核分为三个部分，强调平时成绩和多元评价.

（1）每次作业最高5分，学生交满10次作业，就可获得最高50分的成绩.作业计分，优秀作业得到展示，会促使学生把学习成果外化为高质量的作业.教师通过多次作业，对学生的水平也有客观、稳定的评估.

（2）每名学生做一次文献报告，占5分.

（3）期末考试以开放性考核为主，提出开放性问题，让学生上网查找数据和案例，对数据进行收集整理，然后进行处理分析.教师针对学生的解决问题的思路和方法进行评判，综合平时教学讨论中的成绩给出期末的最终成绩.

【参考文献】

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从LTCM事件谈起

1997年亚洲爆发了震撼全球的金融危机，至今仍余波荡漾。究其根本原因，可说虽然是“冰冻三尺，非一日之寒”，而其直接原因却在于美国的量子基金对泰国外行市场突然袭击。1998年9月爆发的美国LTCM基金危机事件，震撼美国金融界，波及全世界，这一危机也是由于一个突发事件----俄罗斯政府宣布推迟偿还短期国债券所触发的。

LTCM基金是于1993年建立的“对冲”（hedge）基金，资金额为35亿美元，从事各种债券衍生物交易，由华尔街债券投资高手梅里韦瑟（J.W.Meriwether）主持。其合伙人中包括著名的数学金融学家斯科尔斯（M.S.Scholes）和默顿（R.C.Merton），他们参与建立的“期权定价公式”（即布莱克-斯科尔斯公式）为债券衍生物交易者广泛应用。两位因此获得者1997年诺贝尔经济学奖。LTCM基金的投资策略是根据数学金融学理论,建立模型，编制程序，运用计算机预测债券价格走向。具体做法是将各种债券历年的价格输入计算机，从中找出统计相关规律。投资者将债券分为两类：第一类是美国的联邦公券，由美国联邦政府保证，几乎没有风险；第二类是企业或发展中国家征服发行的债券，风险较大。LTCM基金通过统计发现，两类债券价格的波动基本同步，涨则齐涨，跌则齐跌，且通常两者间保持一定的平均差价。当通过计算机发现个别债券的市价偏离平均值时，若及时买进或卖出，就可在价格回到平均值时赚取利润。妙的是在一定范围内，无论如何价格上涨或下跌，按这种方法投资都可以获利。难怪LTCM基金在1994年3月至1997年12月的三年多中，资金增长高达300%。不仅其合伙人和投资者发了大财，各大银行为能从中分一杯羹，也争着借钱给他们? ?率筁TCM基金的运用资金与资本之比竟高达25：1。

天有不测风云！1998年8月俄罗斯政府突然宣布推迟偿还短期国债券，这一突发事件触发了群起抛售第二类债券的狂潮，其价格直线下跌，而且很难找到买主。与此同时，投资者为了保本，纷纷寻求最安全的避风港，将巨额资金转向购买美国政府担保的联邦公债。其价格一路飞升到历史新高。这种情况与LTCM计算机所依据的两类债券同步涨跌之统计规律刚好相反，原先的理论，模型和程序全都失灵。LTCM基金下错了注而损失惨重。雪上加霜的是，他们不但未随机应变及时撤出资金，而是对自己的理论模型过分自信，反而投入更多的资金以期反败为胜。就这样越陷越深。到9月下旬LTCM基金的亏损高达44%而濒临破产。其直接涉及金额为1000亿美元，而间接牵连的金额竟高达10000亿美元！如果任其倒闭，将引起连锁反应，造成严重的信誉危机，后果不堪设想。

由于LTCM基金亏损的金额过于庞大，而且涉及到两位诺贝尔经济学奖德主，这对数学金融的负面影响可想而知。华尔街有些人已在议论，开始怀疑数学金融学的使用性。有的甚至宣称：永远不向由数学金融学家主持的基金投资，数学金融学面临挑战。

LTCM基金事件爆发以后，美国各报刊之报道，评论，分析连篇累牍，焦点集中在为什么过去如此灵验的统计预测理论竟会突然失灵？多数人的共识是，布莱克-斯科尔斯理论本身并没有错，错在将之应用于不适当的条件下。本文作者之一在LTCM事件发生之前四个月著文分析基于随机过程的预测理论，文中将随机过程分为平稳的，似稳的以及非稳的三类，明确指出：“第三类随机过程是具有快变的或突变达的概率分布，可称为‘非稳随机过程’。对于这种非稳过程，概率分布实际上已失去意义，前述的基于概率分布的预测理论完全不适用，必须另辟途径，这也可以从自然科学类似的情形中得到启发。突变现象也存在于自然界中，……”此次正是俄罗斯政府宣布推迟偿还短期国债券这一突发事件，导致了LTCM基金的统计预测理论失灵，而且遭受损失的并非LTCM基金一家，其他基金以及华尔街的一些大银行和投资公司也都损失不赀。

经典的布莱克‐斯科尔斯公式

布莱克‐斯科尔斯公式可以认为是，一种在具有不确定性的债券市场中寻求无风险套利投资组合的理论。欧式期权定价的经典布莱克‐斯科尔斯公式，基于由几个方程组成的一个市场模型。其中，关于无风险债券价格的方程，只和利率r有关；而关于原生股票价格的方程，则除了与平均回报率b有关以外，还含有一个系数为σ的标准布朗运动的“微分”。当r，b，σ均为常数时，欧式买入期权（European call option）的价格θ就可以用精确的公式写出来，这就是著名的布莱克‐斯科尔斯公式。由此可以获得相应的“套利”投资组合。布莱克‐斯科尔斯公式自1973年发表以来，被投资者广泛应用，由此而形成的布莱克‐斯科尔斯理论成了期权投资理论的经典，促进了债券衍生物时常的蓬勃发展。有人甚至说。布莱克‐斯科尔斯理论开辟了债券衍生物交易这个新行业。

笔者以为，上述投资组合理论可称为经典布莱克‐斯科尔斯理论。它尽管在实践中极为成功，但也有其局限性。应用时如不加注意，就会出问题。

局限性之一：经典布莱克‐斯科尔斯理论基于平稳的完备的市场假设，即r，b，σ均为常数，且σ>0，但在实际的市场中它们都不一定是常数，而且很可能会有跳跃。

局限性之二：经典布莱克‐斯科尔斯理论假定所有投资者都是散户，而实际的市场中大户的影响不容忽视。特别是在不成熟的市场中，有时大户具有决定性的操纵作用。量子基金在东南亚金融危机中扮演的角色即为一例。在这种情况下，b和σ均依赖于投资者的行为，原生股票价格的微分方程变为非线性的。

经典布莱克‐斯科尔斯理论基于平稳市场的假定，属于“平稳随机过程”，在其适用条件下十分有效。事实上，期权投资者多年来一直在应用，LTCM基金也确实在过去三年多中赚了大钱。这次LTCM基金的失败并非由于布莱克‐斯科尔斯理论不对，而是因为突发事件袭来时，市场变得很不平稳,原来的“平稳随机过程"变成了“非稳随机过程”。条件变了，原来的统计规律不再适用了。由此可见，突发事件可以使原本有效的统计规律在新的条件下失效。

突发实件的机制

研究突发事件首先必须弄清其机制。只有弄清了机制才能分析其前兆，研究预警的方法及因此之道。突发事件并不限于金融领域，也存在于自然界及技术领域中。而且各个不同领域中的突发事件具有一定的共性，按照其机制可大致分为以下两大类。

“能量”积累型 地震是典型的例子。地震的发生，是地壳中应力所积累的能量超过所能承受的临界值后突然的释放。积累的能量越多，地震的威力越大。此外，如火山爆发也属于这一类型。如果将“能量”作广义解释，也可以推广到社会经济领域。泡沫经济的破灭就可以看作是“能量“积累型，这里的“能量”就是被人为抬高的产业之虚假价值。这种虚假价值不断积累，直至其经济基础无法承担时，就会突然崩溃。积累的虚假价值越多，突发事件的威力就越大。日本泡沫经济在1990年初崩溃后，至今已九年尚未恢复，其重要原因之一就是房地产所积累的虚假价值过分庞大之故。

“放大”型 原子弹的爆发是典型的例子。在原子弹的裂变反应中，一个中子击中铀核使之分裂而释放核能，同时放出二至伞个中子，这是一级反应。放出的中子再击中铀核产生二级反应，释放更多的核能，放出更多的中子……。以此类推，释放的核能及中子数均按反应级级数以指数放大，很快因起核爆炸。这是一种多级相联的“级联放大”，此外，放大电路中由于正反馈而造成的不稳定性，以及非线性系统的“张弛”震荡等也属于“放大”型。这里正反馈的作用等效于级联。在社会、经济及金融等领域中也有类似的情形，例如企业间达的连锁债务就有可能导致“级联放大”，即由于一家倒闭而引起一系列债主的相继倒闭，甚至可能触发金融市场的崩溃。这次LTCM基金的危机，如果不是美国政府及时介入，促使15家大银行注入35亿美元解困，就很可因LTCM基金倒闭而引起“级联放大”，造成整个金融界的信用危机。

金融界还有一种常用的术语，即所谓“杠杆作用”（leverage）。杠杆作用愿意为以小力产生大力，此处指以小钱控制大钱。这也属于“放大”类型。例如LTCM基金不仅大量利用银行贷款造成极高的“运用资金与资本之比”，而且还利用期货交易到交割时才需付款的规定，大做买空卖空的无本交易，使其利用“杠杆作用”投资所涉及的资金高达10000亿美元的天文数字。一旦出问题，这种突发事件的震撼力是惊人的。

金融突发事件之复杂性

金融突发事件要比自然界的或技术的突发事件复杂得多，其复杂性表现在以下几个方面。

多因素性 对金融突发事件而言，除了金融诸因素外，还涉及到政治、经济、军事、社会、心理等多种因素。LTCM事件的起因本为经济因素--俄罗斯政府宣布推迟偿还短期债券，而俄罗斯经济在世界经济中所占分额甚少，之所以能掀起如此巨大风波，是因为心理因素的“放大”作用：投资者突然感受到第二类债券的高风险，竞相抛售，才造成波及全球的金融风暴。可见心理因素不容忽视，必须将其计及。

非线性 影响金融突发事件的不仅有多种因素，而且各个因素之间一般具有错综复杂的相互作用，即为非线性的关系。例如，大户的动作会影响到市场及散户的行为。用数学语言说就是：多种因素共同作用所产生的结果，并不等于各个因素分别作用时结果的线性叠加。突发事件的理论模型必须包含非线性项，这种非线性理论处理起来要比线性理论复杂得多。 

不确定性 金融现象一般都带有不确定性，而突发事件尤甚。如何处理这种不确定性是研究突发事件的关键之一。例如，1998年8月间俄罗斯经济已濒临破产边缘，几乎可以确定某种事件将会发生，但对于投资者更具有实用价值的是：到底会发生什么事件？在何时发生？这些具有较大的不确定性。

由此可知，金融突发事件的机制不像自然界或技术领域中的那样界限分明，往往具有综合性。例如，1990年日本泡沫经济的破灭，其机制固然是由于房地产等虚假价值的积累，但由此触发的金融危机却也包含着银行等金融机构连锁债务的级联放大效应。 预警方法

对冲基金之“对冲”，其目的就在于利用“对冲”来避险（有人将hedge fund译为“避险基金”）。具有讽刺意义的是，原本设计为避险的基金，竟因突发事件而造成震撼金融界的高风险。华尔街的大型债券公司和银行都设有“风险管理部”，斯科尔斯和默顿都是LTCM基金“风险管理委员会”的成员，对突发事件作出预警是他们的职责，但在这次他们竟都未能作出预警。

突发事件是“小概率”事件，基于传统的平稳随机过程的预测理论完全不适用。这只要看一个简单的例子就可以明白。在高速公路公路上驾驶汽车，想对突然发生的机械故障做出预警以防止车祸，传统的平稳随机过程统计可能给出的信息是：每一百万辆车在行驶过程中可能有三辆发生机械故障。这种统计规律虽然对保险公司制定保险率有用，但对预警根本无用。因为不知道你的车是否属于这百万分之三，就算知道是属于这百万分之三，你也不知道何时会发生故障。 笔者认为，针对金融突发事件的上述特点，作预警应采用“多因素前兆法”。前面说过，在“能量”积累型的突发事件发生之前，必定有一个事先“能量”积累的过程；对“放大”型的突发事件而言，事先必定存在某种放大机制。因此在金融突发事件爆发之前，总有蛛丝马迹的前兆。而且“能量”的积累越多，放大的倍数越高，前兆也就越明显。采用这种方法对汽车之机械故障作出预警，应实时监测其机械系统的运行状态，随时发现温度、噪音、振动，以及驾驶感觉等反常变化及时作出预警。当然，金融突发事件要比汽车机械故障复杂得多，影响的因素也多得多。为了作出预警，必须对多种因素进行实时监测，特别应当“能量”的积累是否已接近其“临界点”，是否已存在“一触即发”的放大机制等危险前兆。如能做到这些，金融突发事件的预警应该是可能的。 要实现预警，困难也很大。其一是计及多种因素的困难。计及的因素越多，模型就越复杂。而且由于非线性效应数学处理就更为困难。计及多种因素的突发事件之数学模型，很可能超越现有计算机的处理能力。但计算机的发展一日千里，今天不能的，明天就有可能。是否可以先简后繁、先易后难？不妨先计及最重要的一些因素，以后再根据计算机技术的进展逐步扩充。 其二是定量化的困难。有些因素，比如心理因素，应如何定量化，就很值得研究。心理是大脑中的活动，直接定量极为困难，但间接定量还是可能的。可以考虑采用“分类效用函数”来量化民众的投资心理因素。为此，可以将投资者划分为几种不同的类型，如散户和大户，年轻的和年老的，保守型和冒险型等等，以便分别处理。然后，选用他们的一种典型投资行为作为代表其投资心理的“效用函数“，加以量化。这种方法如果运用得当，是可以在一定程度上定量地表示投资者的心理因素的。此外，卢卡斯（R.E.Lucas）的“理性预期”也是一种处理心理因素的方法。

其三是报警灵敏度的困难。过分灵敏可能给出许多“狼来了”的虚警，欠灵敏则可能造成漏报。如何适当把握报警之“临界值”？是否可以采用预警分级制和概率表示？

有些人根本怀疑对金融突发事件做预警的可能性。对此不妨这样来讨论：你相信不相信金融事件具有因果性？如果答案是肯定的，那么金融突发事件就不会凭空发生，就应该有前兆可寻，预警的可能性应该是存在的，那么金融学就不是一门科学，预警当然也就谈不上了。笔者相信因果律是普遍存在的，金融领域也不例外。

因应之道

篇9

很显然，学习金融数学的根本目的就在于将其理论知识应用到金融业界。这与党的十八届三中全会精神：“引导试点高校以培养高层次应用型人才为主要任务”这一目标是一致的。为此，我院顺势而为，根据自身特点，开设应用数学（金融数学方向）专业，旨在培养应用型人才以服务国家经济文化建设。具体来讲我院开设金融数学专业（方向）是有着以下两大集中优势的：一为就业方面的优势。大家知道，我国基层金融经济工作部门大多数均存在着数量化的水平比较低、决策欠缺科学性等现实状况，基层金融经济类的工作部门比较缺乏金融经济专业人才，为此这方面的人才仍然是市场上紧缺的，学生的就业形势可以被看好。这样一来就为譬如我校这样的地方院校培养面向基层的，具有较强应用能力的人才，提供了机会——设置及发展应用数学（金融数学专业方向）。二为学科本身带来的优势。我校即以全国唯一一所以汽车命名的高等学府闻名，在老牌的汽车专业上有着绝对的学科基础与地区优势。然而金融数学专业作为近些年来发展起来的一门边缘学科，除了具有较强的应用性之外，又包含着很多的数理统计知识。纵观十多年来我国金融数学专业开办的历史来看，大学数的情况下对学生在数理统计知识方面的学习培训比较少，进而导致学生在这方面的基础也就比较薄弱些。而现实是大量的金融经济问题均会使用到数学工具，故而学生在《金融工程学》、《金融数学》等课程的研究学习中会感觉到比较吃力。因此在数学系开设金融数学专业方向是个明智之举，可以充分突出数学的夯实基础作用，也可做好数学与金融经济学、数学与汽车金融等的融合，专业特色的优势是比较明显的。

（二）我校金融数学方向课程设置内容

为了更好的培养应用型人才，我校金融数学方向课程设置强调注重能力的培养：在基础课程及实践课程设置过程中始终坚持把培养学生的应用能力作为总目标，把培养能顺利就业的学生作为办学宗旨，在增加实践课课时的基础上，适度的减少理论课的课时，通过具体的金融问题的解决，加强对学生应用数学建模这种工具来解决实际金融经济问题能力的培养，着力打造具有创新精神和较强应用能力的金融数学专业人才。1、具体来说，依据所开课程的类型及专业培养要求，我们将所有的课程分类为以下三大板块即公共基础课、学科基础课、专业课。其中这里的公共基础课具体包括《思想政治理论》《大学英语》《大学计算机基础》等课程。学科基础课包括《数学分析》《高等代数》《微分方程》等数学专业基础课程;值得一提的是《数理统计》，由于《数理统计》这门课程具有较强的应用性，亦在金融领域有着较广的应用。在后续的专业课程设置中仍有其延伸，如《金融时间序列分析》《统计软件应用》。与此同时，我们亦安排了较多的实践性教学环节(这里包括上机、课程设计、在金融机构实习等)，故而减少了学生在相对较抽象的纯理论知识方面的学习，增强了所学知识体系的应用性。而这里的专业课课程则具体包括《金融学》《金融工程学》《投资学原理》《计量经济学》等课程，与此同时我们还考虑到金融数学专业本身的特点，重点培养学生在计算机软件方面的学习和应用，要求学生至少掌握1~2门实用的统计学软件。在开设课程方面，增加了《数学实验》这门课程，具体向学生讲授数学软件MATLAB，安排的学时为32学时。这里的课程《利息理论》《金融时间序列分析》《金融数学》都相应的安排有实践性的教学内容，目的就在于更注重训练学生数理金融领域的应用能力。为了将课程设置的更为合理，我们整个团队亦采用了丰富多彩的形式（如研讨班、课题我讨论小组、知名教授讲座等）为整个专业的开办做足了预演工作。2、另一方面，我们考虑到选修课的安排会直接影响到学生今后的发展，故而在制定教学计划之前我们作了详细且具体的规划，并进行调研，充分借鉴兄弟院校的宝贵教学经验，并具体结合考虑学生的兴趣爱好、考研意向、毕业去向等。依据对学生进行分层次培养的方针，将专业（选修）课程大多安排在第五—七学期，分批次的来安排学生对后续课程的学习和研究。对于在第一—四学期学习中拥有较强的理论基础课功底、且有着考研意向的同学，除了安排学习《金融风险管理》《金融学概论》《微观经济学》《宏观经济学》《保险精算》等金融类课程外，又增加了数学类《数学分析选讲》《高等代数选讲》等课程;而对于那些对实践性环节感兴趣、愿意参加各类具体的课程实践等活动的同学，我们除了安排实践性较强的选修课如《证券投资分析》等外，还联系十堰金融机构，初步设想采用“2+1+1”模式，即在校学习专业基础课程2年、专业课程1年，金融机构实习1年，真正做到校企联合，提升学生的实践能力，真正培养有市场需求的具有较强应用能力的专业人才。3、我校培养方案特别注重教学实践这一环节，经过长时间前期的调研与准备，在课程课时的安排、专业课程种类的选择、实践环节学时的安排等方面均做了诸多的论证与考量。（1）切实从培养专业学生的角度考虑，采用循序渐进的方式，充分考虑到金融专业对数学知识的需要，尽最大的可能在有限的学时内将一些最常用的思想方法，如图表法、数学建模思想以及一系列的金融经济变量的理论及运用的方法都教给学生。并设置诸多相关的实践环节，让学生参与到解决模拟的或真正的金融机构出现的一些问题当中来，以此来锻炼学生应用数学知识和思想解决实际问题的能力。（2）课程设置着重落脚于实践，开设与市场完全对口的课程内容，相应增大课时量，增强与金融机构的联系与合作，使学生明白真正的市场所需。另外开设的课程也具有一定的引导性作用，鼓励学生把所学的知识直接运用到社会上金融机构的资格认证考试当中去。比如我们专门开设的《保险精算》《利息理论》等选修课程，学生通过一段时间的学习，可参加保险精算师资格认证考试；开设的《金融学概论》《证券投资学》等课程则有利于学生参加证券从业人员资格认证考试；开设的《汽车金融》课程则更是结合我校老牌汽车专业名校的优势，学生可以充分利用我校汽车专业丰富的资源，参与选修学习一些汽车学院、管理学院的专业课程，甚至辅修双学位，以有利于学生在将来就业时从事汽车金融方面的工作。事实上，早在2004年，我校就已开办过汽车金融服务专科（高职）专业，培养的学生大都从事汽车金融服务行业的工作。总之，我们在课程设置上秉承以应用为目的，建模为关键，学生参与实践为形式的这三大方针，全面提升学生学习金融数学的积极性，提高学生解决实际问题的能力，以适应金融业界对金融工程和风险管理人才的需求。

篇10

关键词：股票市场;期权定价;数学金融

1997年10月14日,瑞典皇家科学院将第二诺贝尔经济学奖授予美国哈佛大学教授罗伯特·默顿(Robert C.Merton)和迈伦·肖尔斯(Myron S.Scholes)，以鼓励他们在数学金融学方面的杰出贡献。因此，引起最近这十几年来人们对数学金融学关注。金融数学(mathematics of finance)是运用数学理论和方法研究金融经济运行规律的一门新学科，在国际上称为数理金融学。

1、数学在金融学的定量研究中起着重要作用

Robert C.Merton所写名著Continuous-TimeFinance中,Merton自己写道:“现代金融学中的数学模型包含了概率论和最优化理论的一些最漂亮的应用。科学中漂亮的东西未必一定实用,而科学中实用的东西又并非都是漂亮的，指数学金融学却两者俱全，可见对其的评价。

1997年诺贝尔经济学奖的得主们经过反复研究发现，股票市场价格遵循带漂移的几何布朗运动的规律,用较深的数学知识就是随机过程和随机微分方程，终于设计出比较科学的、各类期权定价公式。虽然这个公式非常复杂，但是由于电脑和电子计算器联网，交易商操作起来也非常简单。现在，期权及其他金融衍生产品的交易已不分国界，全天24小时都在进行交易，每天都有成千上万的交易者在运用“Black-Sc-holes这个公式”。经过长期使用得出事实是:期权的实际成交价格的确总是在由此公式所得出的理论价格上下作偏差不大的波动，特别是对时间较短、没有太大波动的期权交易，这一模型的误差只有1%左右，对于规范国际市场起到了很大的作用。

当记者问及1970年诺贝尔经济学奖得主保罗·萨缪尔森：“有了这一公式,是不是使交易所变得较为可靠了?”他的回答是：“世界上没有哪个公式能够稍稍改变变幻莫测的股市风云,也没有哪个公式能够比运用公式的人更好。但是,这一理论使每一位老太太都能够请专家估计她持有证券的风险,并在适当时候回避风险。”当年这位82岁的经济学家一方面全面地估价这个被他称之为“完美、天才的公式”,另一方面也肯定了这个公式确已经受了20多年国际金融市场的考验,是当今期权交易的投资者衡量盈亏和风险的主要计算工具。

期权是期货合约的买卖权或买卖选择权,是期权购买者拥有的一种权利,并非一种义务。在期货交易中无论是远期交易的购买方,还是在期货交易中购得和约的持有者,到期时都必须按和约的规定履行成交手续,否则就要承担违约的惩罚。期权则不同,期权的购买者在支付一定的权利金购得某项期权后,如果他认为现行的市场价格比原来协议中的执行价格更有利,他便可以放弃对期权的执行。

以房产买卖业务为例,假定买方A和卖方B达成协议,买方A愿意支付300万元给卖方B,赢得一种权利,即在三个月后,A有权以1.2亿元购买B的一幢住宅楼,三个月后,无论该大楼的价格升至多高,A都有权以1.2亿元购买。如果住宅楼价升至1.3亿元,A就从期权交易中获利700万元;而如果住宅楼价跌至1.2亿元以下,A可以放弃购买权,只损失300万元的权利金。其实这300万元也未必真“损失”,如果A当时准备以1.2亿元立即购买成交,他当时就要支付1.2亿元现金。他以300万元的代价购买了期权,便可以赢得三个月继续占有1.2亿元资金的权利。这笔资金三个月内可以为他赢得其他利润。如存入银行获得利息,只要年利率为8%以上,便可把300万元赚回来。当然A购买这种权利是由于他估计房价会上涨,以少量的“权利金”去换取未来可能大量的“价差利润”。这种期权称为“看涨期权”或“买入期权”。无论未来的房价是涨还是跌,刚才的分析表明持有这种期权的A是旱涝保收的。

相反如果未来房价的趋势是下跌,住宅楼的所有者B可能会购买“看跌期权”或“卖出期权”,即付给A一定的权利金,获得三个月后以1.2亿元的价格卖给A的权利,那么三个月后,无论房价跌到什么程度,A必须以1亿元购买该住宅楼,而如果三个月后房价不跌反涨,则B有权不以1.2亿元卖给A,他可以寻找其他买主以更高的价格出售。期权交易后,主动权掌握在付出了权利金的购买者手里。

2、市场的简单描述

2.1 债券的模型

设X0(t)为债券在时刻t的价格，设h>0，则X0(t+h)-X0(t)是时间区间[t，t+h]上的回报，因此，=r■=r (1)

为时间区间[t，t+h]上的单位时间里的相对回报率，称为利率。例如，设t为年初，t+1为年末，债券价格年初为X0(t)=P(本金)，年末价格为X0(t+1)=A(本金加利息)，则式(1)变为

■=r

它是一个(线性)常微分方程,其解为

X0(t)=X0(0)eπ

式(1)亦可写成

X0(t+h)-X0(t)=rX0(t)h>0

可见X0(t+h)总比X0(t)来得大，即债券价格(市场价值)总随时间推移而增长，因此，我们说，债券是无风险的。

2.2 股票的模型

股票的模型与债券有很大的差别，设X(t)为某种股票在时刻 t 的价格,类似于债券的讨论方式，考虑时间区间[t,t+h]。此时，相应于式(5)的式子呈如下形式:

X(t+h)-X(t)=X(t)[bh+ση(t,h)]

此处，b称为平均回报率，σ称为价格波动性(volatility)，而η(t，h)是一个规一化的噪声。它可正可负，由此可见，不能保证X(t+h)总大于X(t)。因此，股票是有风险的。η(t，h)通常是大量投资者相互独立的投资行为造成的。所以，人们认为η(t，h)是服从正态分布N(0,h)的随机变量(均值为0，均方差为h)。

若记W(t)为到时刻t为止的累积噪声，则它恰好是所谓的布朗运动,采用此记号，可写成:

X0(t+h)-X(t)=X(t){bh+σ[W(t+h)-W(t)]}

令 h0，可得

dX(t)=bX(t)dt+σX(t)dW(t)，

t∈[0，T]

这称为一个随机微分方程，它的解为

X(t)=xebt+σW(t)，t∈[0，T]

2.3 一般情形

假设有n+1种资产在市场中连续地交易着，将它们从0到n 编号。设第0种是债券，后n种为股票。设第i种资产在时刻t的价格(过程)为Xi(·)。类似于上述的讨论，有:

dX0（t）=r（t）X0（t）dtdXi（t）-bi（t）Xi（t）dt+Xi（0）-Xi，0≤t≤nXi（t）■σij（t） dWj（t）

2.3 一般情形

假设有n+1种资产在市场中连续地交易着，将它们从0到n 编号。设第0种是债券，后n种为股票。设第i种资产在时刻t的价格(过程)为Xi(·)。类似于上述的讨论，有:

dX0（t）=r（t）X0（t）dtdXi（t）-bi（t）Xi（t）dt+Xi（0）-Xi，0≤t≤nXi（t）■σij（t） dWj（t）

3、期权定价

考虑一个市场，仅有一种债券和一种股票上市，它们的价格满足下述方程:

dX0（t）=r（t）X0（t）dtdX（t）=X（t）b（t）dt+X（t）σ（t）dW（t）

这里,X0(t),X(t),r(t),b(t)和σ(t)分别为债券价格、股票价格、利率、股票的回报率和价格波动性。现在，我们来考虑所谓的欧式买入期权。这是一个合同，凭此可以在事先设定好的时刻T，以事先设定好的价格q前来购买1股给定的股票。分别称T和q为执行时刻和执行价格。例如，在1998年9月1日签约，于1998年12 月31日前以10元/股的价格购买复华实业股票1股，这就是一个买入期权。容易知道，到时刻T，将会有两种可能:

(1)若在t=T,X(T)>q，则拥有期权的人将前来实施其权益，即以价格q前来购买股票，然后立即以价格X(T)在市场上抛出，实现利润 X(T)- q。

(2)若X(T)

（X（T）·q）+max｛X（T）·q，0｝

X（T）-q，X（T）＞q0，X（T）≤q

假设在t=0时刻该期权的价格为y，由于期权的出售者在t=T时刻的损失为(X(T)-q)+，不得不将出售期权所得的y在市场上投资以获取足够的回报来弥补损失。当在t=0时刻投资y于市场后，总资产将随时间推移而变化，记为Y(t)。因此，Y(0)=y，希望在时刻T达到以下目的:

Y(T)≥(P(T)-q)+

假如他在时刻t将Y(t)分成两部分：π（t）Y（t）-π（t）

易知,当π(·)给定时，总资产在债券和股票中的份额完全确定，我们称π(·)是一个证券组合。通过简单计算可得Y(·)满足的方程如下:dY（t）=（r（t）Y（t）+（b（t）-r（t）））Y（0）=y

此处，已设σ(t)≠0并定义

Z(t)=σ(t)π(t)

当 y越大，相同投资方式下Y(T)也越大。从而,公平的价格y将使得下述关:

Y(T)=(P(T)-q)+

于是，得到下面的随机微分方程:

dX(t)=X(t)b(t)dt+X(t)σ(t)dW

(t)dY(t)={r(t)Y(t)+[b(t)-r(t)]σ(t)-1

X(0)=x,Y(T)=(X(T)-q)+

找到满足上式的适应过程(X(·)，Y(·)，Z(·))即可。

我们希望找到满足式(14)的适应过程(X(·)，Y(·),Z(·))。然后,期权的公平价格为y=Y(0)。

我们注意到式(14)中关于X(·)的方程是一个初值问题，故是前向的。而关于Y(·)的方程是终值问题，故是倒向的。由于这个原因，我们称式(14)为一个正倒向随机微分方程(简称FBSDE)。不过，式(14)是一个解耦的FBSDE。

参考文献：

[1] 王献东. Brown运动首达时在金融数学中的应用[J]. 常州工学院学报.

[2] 孙国红. 数学金融学中的期权定价问题[J]. 天津商学院学报. 2003(03)