微积分教材范文
时间：2023-03-31 08:45:07
导语：如何才能写好一篇微积分教材，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。
篇1
二十世纪迅猛发展起来的信息技术，改变了人们教与学的方式，引发了教育的深刻变革。作为教学活动的脚本、教学内容的基本载体，传统的教材受到了巨大的挑战，在信息技术的支持下，教材所承载的教育理念及素材的组织表现方式都发生了很大的变化。微积分作为大学数学教学中最重要的一门课程，其教学改革与教材建设自然也是这场变革中被重点关注的焦点。MOCC课堂、多媒体教学、案例教学、实验教学等依托信息化技术的教学方式已广泛应用到微积分教学中，微积分教材也呈现多样化、立体化等新的特点。
一、 信息化技术对中美微积分教材影响对比分析
综合国内外（主要以美国的几本代表性教材为例）教材演变特点，信息化技术给微积分教材带来的变化主要有以下几方面。
（一） 教材构成向立体化、系列化、网络化转变
上世纪60年代出版的Thomas’Calculus第4版与我国通用教材的构成形式还是相当接近的（除了一些彩色插图），后来的第10、11版，其构成形式就有很大区别了。
特别值得指出的是其完善的作业、考试测评系统更具特色。学生需要在规定时间内，进入网络教学系统完成并提交作业。这已经非常接近于近年兴起的MOOC课堂练习形式了。
我国在这方面也进行了相应的改革。比如[5]除了有配套的多媒体课件外，还在各章节穿插介绍了Mahtemitica软件使用。而最新版的[5]已经融入了MOOC课程的内容。
（二） 概念引入和叙述更注重几何直观和数值验证
美国在上世纪90年代后出版的一些改革教材都明确提出了“4规则”和“Archimedes方法” [1 ]。
所谓“4规则”，即每个概念都要从图形、数值、代数和语言4个方面描述（对概念内涵的阐述更丰满，兼顾了不同学生理解问题的不同习惯和思维方式）。
“Archimedes方法”，即形式化的数学定义与方法要根据其实际背景的考察而得出（加强了对概念的应用内涵的介绍）。
在引入数学概念或定理时，美国教材通常是先给出数值计算的近似结果，然后给出十分精确美观的几何直观图，力图让学生对抽象的知识先有一个感性认识，最后再给出严格叙述。
国内教材虽然在表述上理论严谨、条理清晰，我们应该在教材的渐进性、直观性和可读性等方面作一些改进。例如对数学概念、定理的引入和叙述可以更加突出其应用背景、几何直观、数值验证，使学生在接受数学概念和结论时有更为直观和具体的感受，也可以训练学生从多角度观察、研究问题。这也是信息时代对数学教材的新要求。
（三） 教材内容选择更注重实际应用
信息时代对数学应用提出了更为广泛、更为迫切的要求，为适应这一需求，美国新版教材中几乎随处可见与实际结合的应用问题。这些应用问题不仅数量多而且覆盖面广，涉及物理、几何、建筑、生物、医学、经济、金融、军事、政治、社会发展等诸多方面 [2 ]。
哈佛协作组所写的《微积分》[1]，该书采用“问题驱动”方式组织材料，是体现这一理念的突出例子。
另外，从Thomas’ Calculus不同版本选材的演变，也可以看到信息化技术对美国教材的影响。该书第4版中的应用题往往局限于几何和物理，以及其他方面一些简单应用，少数涉及管理方面的应用。而且这些问题也是经过数学加工、可用手工计算解决的（类似于我国现行教材）。
在第10、11版中，就大量增加了应用问题的比例。如数值计算、方程近似解、函数逼近中的误差估计等内容更充实，论述更加详尽，例题和习题更加丰富 [3 ]。
更为重要的是，这些内容为教学改革提供了有力支撑。比如，我们课题组在进行高等数学课程论文教学改革实践的过程中，就采用了上述教材中提供的很多实际问题作为课程论文选题的素材。
反观国内教材，实际应用的问题篇幅较少。基本只涉及到了微积分在近似计算中的一些简单的实际应用以及在几何、物理、力学方面的传统应用，很少触及其他领域。
二、 我国微积分教材建设的几点思考
综上所述，“科技能改变教育”已是不争的事实。在不久的未来，类似iPad等移动设备在教育中所扮演的角色会越来越重要，这将会从根本上改变教学和学习的结构方式。事实上，到今天，这种改变已经发生。最典型的方式之一就是MOOC课程、课程论文教学等。
对比中美教材的建设，提出国内教材改革的几点思考。
（一） 保持和发扬国内教材传统优点，借鉴国外成功经验，经一步丰富教材构成
在保持知识结构系统、完整，表述简洁、严谨，例题、习题、选择精益求精，教学、学习指导书内容丰富，习题解答完整等优势的前提下，丰富多媒体资源，完善网络系统资源。
（二） 保持经典微积分内容系统、完整的前提下，适当调整教材内容
增加几何直观和数值验证，突出连续问题离散化、数值化，适当降低理论推导、技巧运用的难度等。同时也要尽量避免国外教材篇幅过于庞大的弊端。
（三） 挖掘实际生活中的实例，充实例题、习题类型
充分挖掘实际生活中的实例，增加具有我国特点、行业特点的案例，在表述中融入建模思想和方法，在练习中训练建模能力。为课程论文或者大作业教学提供一些开放性的案例。
（四） 编写与微积分密切相关的数学实验教材，使之成为立体化教材的重要内容
需要特别指出的是，在数学实验方面，美国由于语言以及软、硬件方面的原因，相比国内有着天然的优势。因此，我们在这方面应该下更大的气力，建立起独具特色的教材体系。
三、 结束语
信息化时代，我国微积分教学发生了巨大的变化，信息技术使微积分教学更生动、更有效率、更有效果。相应地，微积分教材建设也应与时俱进。相对于美国微积分教材在这方面的变化，我们还存在很大差距。如何编写符合时代要求、适应创新型人才培养要求、具有中国特色的微积分及其它数学教材已经成为我国数学教育工作者面临的迫切任务。
参考文献：
[1] 郭镜明，朱晓平，应明，交流互补融合提高-中美微积分教材内容的比较[J] . 高等数学研究，2006（1） ： 6-9.30
[2] Louis M. Friedlwer， 美国的微积分教学：1940-2004[J] ，高等数学研究，2005.5第5期
[3] Finnery. Weir. Giordano. Thomas’ CALCULUS（Tenth Edition）（影印版）[M]. 北京：高等教育出版社，2004.
[4] James Stewart. Calculus（Fifth Edition） （影印版） [M].北京：高等教育出版社，2004.
篇2
【关键词】成人 高等 教育 微积分 教学
我国的教育方针政策的多元化发展，逐渐加大了对成人教育以及高等职业教育的投入力度，这是为了适应社会经济发展的需要。成人高等教育与普教相比，肯定会有很多不同的地方，考虑到成人教育的特殊教育对象，在教学中要转变观念，更新思维，努力探索，用新的方法去进行教学，解决成人高等教育中的实际问题。微积分在教学中一直都是难点，特别是成人高等教育中的微积分教学，那更是令无数学生感到摸不着门道。探讨成人高等教育中的特点，因材施教，采用深入浅出的方法，通俗易懂地进行教学，让成人高等教育中微积分的教学不再是一个难点。
一、充分了解作为前提
俗话说知己知彼，百战百胜。在成人高等教育中，同样要充分地了解教育的对象以及使用的微积分教材，才能做到心中有数，实现因材施教。成人高等教育中，教育的对象都是大龄人群，他们的基础知识相对比较贫乏。要深入了解学生的数学基础知识的掌握情况，具体跟微积分相关的基础知识掌握情况。对学生基本情况进行充分了解，具体掌握哪些方面基础最差，哪些方面相对比较好一些，这样才能有针对性地设计优秀的教案，对学生学习微积分才有帮助。了解了学生基础知识掌握情况过后，不要急于上微积分的新内容，需要花几个课时的时间对学生掌握最差以及跟微积分联系最密切的几个方面进行基础性知识的补课，并让学生充分重视与学习微积分密切相连的内容。充分了解了学生，还需要充分了解教材。由于目前并没有专门针对成人高等教育而编写的微积分教材，在教学中使用的基本上都是普教本科的微积分教材。对于成人高等教育的对象来说，普教教材难度明显大了一些，并且成人高等教育的目的是为了培养实际动手能力强的技术人才，要求在生活工作中有足够的知识使用。这就要求在微积分的教学中要做大量的取舍工作，选择与学生实际动手能力联系紧密的内容、难度较小的内容进行教学，让学生能够理解，才有实际教学的意义。
二、启发为主促进为辅作为方法
了解了成人高等教育的教育对象特点，以及充分把握了微积分的材料之后，结合这些特点，需要努力探索出一种有效的教学方法，进行因材施教，达到完成教学目标的目的。成人高等教育对象基础知识的缺乏，以及年龄的特点，在微积分的教学中应该以启发为主，同时辅以促进来达到完成教学目的的目的。利用启发逐步培养学生对微积分的热爱，有了学习的热情，才有好的学习效果。同时对学生采用促进的方法，以及强化训练和巩固，让学生循序渐进、逐渐地掌握微积分的教学内容。通过启发，可以把复杂的内容转化成大量单个的、简单的微积分问题，解决这些单个简单的微积分问题，综合起来起到解决整个微积分问题的作用。例如求复合函数y=sin2（lnx）的导数，先把复合函数分解为简单函数y=u2，u=sinv，v=lnx。再分别求导：yu'=2u，uv'=cosv，vx'=1/x。最后求的原复合函数的导数为：yx'=yu'·uv'·vx'=2u·cosv·1/x=2sinlnx·coslnx·1/x=sin（2lnx）/x。
三、微积分思维方法的培养
微积分是一门完整的思想和方法，要学习微积分，就要学习它的思维方法，这与整个数学这个大学科的学习是相统一的。微积分教学中要强调微积分的思维方法，而不应该仅仅是死记硬背公式定理，这样对学习微积分没有一点好处，相反有时还会出现错误。无论在什么内容的微积分教学中，都要充分体现微积分的思维方法，让学生学习解决微积分问题的思维和方法，不能让学生死记硬背、生搬硬套，以免出现错误。
四、结合成人高等教育对象特点体现实用和够用的原则
成人高等教育是为了培养实际动手能力强的社会应用型人才，在成人高等教育中应该体现知识的实用性和够用性。一切理论知识的学习都要紧紧围绕实用性来展开，不要唯理论而理论。在微积分的教学中，应该对复杂的、不实用的内容加以舍去，在教学中大量选用简单的、易懂的内容进行讲解。让学生学会理解的方法、解决问题的思路，以及如何应用等实际问题。让学生在教学中学到解决问题的能力和方法，而不是掌握问题的结果。
五、结语
总之，在成人高等教育中的微积分教学，要充分结合教育对象以及教材的特点，因材施教，以实用性和够用性为根本，以启发为主、促进为辅的方法进行教学，教学中充分体现微积分思维方法的培养，而不是理论的灌输。教育教学活动本身就是一种非确定性的活动，在教学中，应该结合教材、教育对象、教学目标等，采取相应的教学方法和手段，以达到成人高等教育的要求。
参考文献
［1］陈志平. 成人高等教育数学课程教学初探［J］. 中国科教创新导刊， 2009（29）.
篇3
关键词： 高等数学 微积分教学 策略研究
高等数学中的微积分知识广泛运用于当今的生物学、化学、经济学、工程学等众多领域，对科学技术的高速发展有着重要的意义。在当前的教育形势下，高等院校高等数学微积分教学中的问题仍然存在，因此相关的教学工作者必须不断优化教学策略，制订行之有效的教学方案。
一、高等数学微积分教学的概况
微积分的发展年数相对较长久，并且微积分的发展过程是人类发展的重要衡量标准之一。在17世纪，人民群众的认知体系相对薄弱，尤其是各种理论认识方面。运动物体的速度问题、曲线的切线问题、函数的极值问题，以及物体之间的相互作用力四大问题困扰着当时的学者们，由此为微积分的发展奠定了坚实的研究基础。
高等数学微积分是现实分析学版块中的重要组成部分，而且高等数学微积分教学工作涵盖微分教学和求导教学两部分内容。其中微分教学的作用在于精确地求出曲线的斜率数值，是解决函数问题和加速度求值问题的主要工具，同时积分的作用主要是计算面积和体积。
二、高等数学微积分教学的主要现状
（一）微积分教学内容在制定方面个性化水平较低
目前我国的高等院校在高等数学微积分课程设置方面，将其纳入专业课程，并且微积分教学内容相似性较强。然而，其个性化水平较低，不能够较好地符合专业学生的实际发展需要。举例来说，当前许多学校的专业的差别较大，尤其是理工科和文科专业的差距较大，如果不对其加以区分，那么就会大大降低微积分教学的有效性。
（二）高等数学微积分教学知识偏向于理论方面
许多高等数学微积分教学工作者在教学过程中主要是讲授相关的理论知识，并没有较好地开展微积分相关的实践教学工作。在此种形势下，高校学生在微积分课堂教学中兴趣较淡薄，主动学习的积极性相对较差。而且高等数学微积分教学内容对于大部分学生而言难度系数相对较大，不利于微积分有效教学工作的开展。
（三）微积分教学评价体系不健全
在目前的高等院校内部，大部分的学科考核工作均是利用考试的形式进行检验的，考核形式单一，评价体系不健全。试卷考核方式虽能检测学生的理论学习水平，但是并不能反映学生的实践学习情况。学习知识无非是为了应用，所以采取单一的试卷考查方式，违背了微积分教学的初衷，是不合理的。
三、提高微积分教学工作有效性的策略
（一）根据专业特性划分微积分教学内容
教学工作者必须联系专业发展方向设施课程内容，选取科学的教学模式，同时要根据目前学生微积分的掌握程度规划教学阶段。例如，对于理工科性质和实践性质较强的专业，特别是计算机专业、数学专业等，更需要提高高等数学微分教学难度性和延伸性，以此提高学生的能力和水平。对于文科性质或者艺术类学生，在微积分教学内容设置方面，难度系数偏低，让学生掌握基本的理论知识即可，这样更有利于提高微积分教材的应用价值。
（二）关注学生学习微积分积极性的提高
教学工作者必须详细地了解微积分学习的重要性，同时要明确相关教学工作的目的。在微积分教学内容设定方面和教学方式设定方面，应当注重学生的理解能力。例如，在内容设定上，依据专业不同设定不同的难度，在教学方式设定方面，可以将重点和难点内容穿插讲解，难点和重点内容教师进行讲解，但是在简单易懂的微积分内容的教学中，可以采取学生讲解的模式。在讲授求导公式时，教师可以选取学生自主讲解的模式，以此提高其热情，原因是此版块学生已有基础。在讲授隐函数求导内容的时候，教师则要采取自我讲解和点拨的模式加以梳理和指导。
（三）完善课程考核体系
在微积分学习结果测评方面，学校不仅要对其开展理论考核，还应当对其实践能力进行考核。例如，设定专业试卷考核学生对基本理论知识的掌握情况，这样才能够较好地了解学生学习的质量和效率。在实践考核方面，可以利用计算机系统进行考核，检测学生在相关实践操作方面的掌握情况。以课外拓展的综合方式进行微积分课程的考核，让学生能够发现微积分学习的乐趣，强化教学效果。
四、结语
微积分属于高等数学中的必修内容，其相关知识与实际生活联系较密切。因此，相关教师应当不断优化微积分教学策略，提高微积分教学工作质量。这样才能够培养适合经济社会发展的复合型人才，提高高等数学微积分理论知识的应用价值。
参考文献：
篇4
关键词：中外合作办学；微积分；双语教学；改革
中图分类号：g642.0 文献标志码：a 文章编号：1674-9324（2013）30-0089-02
一、高校微积分双语教学背景分析
自2001年教育部以教高[2001]4号文件下发《关于加强高等院校本科教学工作提高教学质量的若干意见》，要求“积极推动使用英语等外语进行教学”开始，双语教学便在各大高校陆续展开，学术界亦紧随跟进。紧接着，教育部作为双语教学的发起人，在2002年之后的《普通高等学校本科教学工作水平评估方案（试行）》，以相当于三级指标的“主要观测点”的形式纳入双语教学；2004年关于“本科教学评估方案”将2001年提出的双语教学的规划逐一体现，并略有提高；现行的《国家中长期教育改革和发展规划纲要》（2010-2020年），更是强调扩大教育开放，提高我国教育国际化水平，培养国际化人才，办好若干所示范性中外合作学校和一批中外合作办学项目，探索多种方式利用国外优质教育资源；支持中外大学间的教师互派、学生互换、学分互认和学位互授联授。
美国微积分（calculus）也就是微积分教学在近六十年来经历了巨大的变革，其中一些变革是高等院校扩招所引起的，这与我国的扩招相似.另外一些变革，特别是20世纪80年代后期的“微积分改革”，从一定程度上来说，是20世纪以后需要教授更多学生而探索新的教学方法的结果，给美国大学微积分教学提出了新的课题。
二、中外合作办学中的微积分双语教学的意义
随着社会的进步及科技的发展，国际交流越来越频繁，交叉学科成为热门领域，而作为研究工具的数学的重要作用越来越被人们所重视。由于发达国家的微积分（calculus）专业较国内起步早、发展快，实行双语教学可扩大学生的观察视野，发展学生的外语思维能力、了解不同的文化、培养和发展跨文化交流能力、学术能力、促进学生综合运用外语的能力，国内的高校积极进行了微积分双语教学改革。因双语教学是新的教学形式，在教学中考虑的事项、应用的方法和出现的问题均不同于母语教学，于是，微积分双语教学改革有很强的现实意义。
三、目前广西高校合作办学中微积分双语教学的现状分析
结合《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》的战略任务和广西北部湾经济区开放开发、做大做强做优广西工业和社会主义新农村建设对高等教育教学改革发展的新要求，在教育教学改革的新理论、新方法、新形式，应用型、技能型、创新型人才培养的新模式、新途径、新机制等方面开展研究和探索，培育和产生具有较高理论水平和应用推广价值的教改效果。
我区地处华南经济圈、西南经济圈与东盟经济圈结合部，随着泛北部湾区域经济合作的深入开展，各个行业都需要复合型人才，我校和国外联合办学已经很多年了，但一直都是中文教学，严重影响人才的培养，输送到国外的学生对专业英语非常欠缺，尤其是工程技术领域，而作为研究工具的基础学科微积分双语教学更显重要。基于此，我校自2009年开始，率先试行微积分双语教学。于是，微积分双语教学改革研究与实践显得更为迫切。
四、中外合作办学开展微积分双语教学的必要性
首先，通过开展微积分双语教学，有助于提高数学教育教学质量.通过微积分双语教学，学生可以学习利用英文原版教材，学习国外先进的学科体系、教学理念和丰富的数学逻辑内涵以及微积分在其他学科领域中的基本应用，以弥补中文教材及翻译教材的不足。国外教材强调实用性，配有大量的实例，通过对实例的分析深入了解并应用所学的知识，达到提高学生分析问
、解决问题的能力。通过该文的研究，提高微积分的教学质量，不仅能够提高中外联合办学学生的英语水平，还可以以英语为工具获得数学知识，更加能够激发学习潜能，培养和提高学生的英语思维能力。同时，微积分双语教学可以为其他专业的双语教学起带动作用，对促进学校联合办学建设水平的整体提高具有重要的意义。
其次，在自然科学领域，知识更新速度日益加快，国际上科技资料绝大部分是用英语发表的，掌握外国语中有关数学的有关知识，有助于吸收国外优秀自然科学成果。通过微积分双语教学，学生可以学到数学的专业词汇和表达方式，可以提高学生的学习兴趣，使学生能够亲自将学习的英语知识用来学习数学，他们既能感到学习的实用性，同时也为将来参考阅读外文资料打下基础，为广西北部湾经济区开发提供人才。
再次，微积分双语教学在中外联合办学的相关专业的顺利开展，不仅在广西起到了教学改革的示范作用和辐射效应，还可以进一步推广到全国，对加强我国与国外的国际交流与合作垫定了更加坚实的基础。
五、中外合作办学微积分双语教学改革研究与实践
研究微积分双语教学模式及评价方式，微积分是大学中一门极其重要的公共基础课，对理工科大学生而言，该课程学习的好坏将直接影响到后续专业课程的学习，尤其对于中外联合办学的学生而言，影响更深更广。以前的教学基本采用中文教学，只是某些专业术语给出英文意义，但对于英文表达一无所知，一旦遇到英文文献，还得查字典，严重影响学习的进度和兴趣。为了彻底改变这种现状，我校2009年率先在《工程数学》试行双语教学，采用英文教材、英文课件、英文作业、英文试卷、中文授课。为了达到早日与国际接轨，微积分双语教学改革势在必行，该文研究的主要内容具体体现在如下几方面：
1.原版教材的选择及整合。优秀的原版教材是实现双语教学基本目的的前提条件。目前我们使用的是bill armstrong等编写的《brief calculus》及wilfred kaplan编写的《advanced calculus》，并结合了richard a.johnson编写的《probability and statistics for engineers》。上述教材的优点是，每讲一个理论都有大量实例辅助说明，学生学习有激情，但也有其缺点，那就是每本教材都厚达600多页，知识点非常分散，对于我国学生来说，课时有限，超过了其他任何专业所学的《高等数学》、《线性代数》与《概率论与数理统计》内容之和，该研究要做的是，根据我校学生的实际情况，在中文教材的基础上，从英文原版教材《brief calculus》、《advanced calculus》与《probability and statistics for engineers》中精心筛选相关实际例子，然后全部用地道的英文制作多媒体课件，并编撰出一本适合我校联合办学学生更加适用的英文电子版教材《calculus for engineers》初稿。
2.教学手段的改革。现代化的教学手段是实现双语教学的直接目的的基础，以前我们实行的是普通黑板教学，教师只能在黑板上写出学习重点，对应原版英文教材进行讲授，进行相关理论推导，学生不懂的地方，只能参考同济版微积分中文教材，部分内容还要参考《线性代数》或者《概率论与数理统计》，这样做，缺点很明显，那就是英文课件的顺序和原版英文教材顺序不尽相同，与中文教材也不尽相同。严重影响微积分的系统性学习及逻辑性，而且不能动态的演示理论的应用过程，学生学习没有激情。该研究认为，迫切要做的是，使用全英文多媒体课件，制作适合中外联合学生学习的配套多媒体课件。该课件应该涵盖《高等数学》、《线性代数》及《概率论与数理统计》的内容，这是一项复杂的工程，需要投入比普通教学改革2-3倍的时间和精力，以及资金的支持。
六、结束语
中外合作办学实行微积分双语教学是适应新世纪的要求，是学习国外先进教学理念、学习国外先进的教学方法和教学策略的一个良好途径。通过中外合作办学微积分双语教学的实施，使我校中外联合办学的学生具备较强的英文表达能力，大力提高优秀学生进入国外高水平大学和研究机构学习的数量和质量。并在项目实施过程中，总结经验，提炼理论成果，为其它课程的双语教学提供理论指导和经验借鉴。
参考文献：
[1]杨芸，杨庐丽.浅谈中外合作办学中的双语教学[j].价值工程，2011，（5）：301.
[2]孙雪.高校双语教学的现状分析及策略研究[j].前沿，2
2012，（2）：97-198.
[3]李春.高等数学双语教学的必要性与可行性[j].科技咨询，2007，（21）：241.
篇5
【关键词】问题式；微积分教学；应用；全过程
微积分是工科学校最主要的基础课程，微积分知识为科技工作提供了必备的数学基础，对于培养学生数学素养有着十分重要的作用.微积分课程具有极高的抽象性和逻辑性，学生学习这门课程难免感到难以接受和难以理解，时间一长就会出现消极学习的状况.针对这一状况，教师应该充分发挥问题式教学法的作用，立足于学生的学习需求，激发学生学习兴趣，提高学生的学习效率.
一、微积分教学过程中存在的问题
当前的微积分教学存在以下问题：首先，微积分教学内容繁多，在有限的教学实践内，无法将相应的知识全都教授给学生，因此，大部分教师为了完成教学计划，仍然沿用传统的灌输式教学模式，教师主讲，学生被动地听.这样的课堂教学中，教师讲的内容很多，但是提出的问题却很少.在当前的微积分教学中，教师通常是先从数学定义展开一系列教学活动，如，推导定理、推导理论、例题讲解、习题练习等.在这整个教学过程中，微积分知识以古板的定论形式出现在学生面前，学生成为被动的知识接受者，学习效率十分低下[1].
另外，微积分知识中含有大量理论缜密的理论知识和抽象的概念，以直接教授的方式，让学生对这些知识进行学习和理解，学生学习起来十分困难，这也成为学生认为微积分难学的关键性因素.学生在课堂中只能被动接受学习知识，没有经过自己的思考，因此，对于微积分知识的学习滞留于表面，尽管可以解答一些微积分的问题，但是只不过是机械式地利用公式进行解答，如果题目稍微有一点变化，学生就无从下手.这样的情况下，如若时间长一些，学生就会渐渐失去学习兴趣，出现消极学习的情况.因此，数学教师应该努力打破传统教学的束缚，将问题式教学法应用于微积分教学的全过程中，加强师生之间沟通交流，潜移默化地培养学生的探究能力和自学能力，使学生能够深入了解微积分.
二、将问题式应用于教学全过程中
（一）在教学导入部分应用问题式教学法
在进行新的教学内容导入的过程中，教师可以将教学内容与生活经验相结合，利用生活中常见的事物和学生熟悉的物品进行提问，可以增添学生对知识的亲切感，激起学生的注意力和好奇心，进而主动进行学习.例如，在进行“双曲函数”的教学过程中，为了让学生对双曲函数有一个初步认识，教师可以提出问题：“在公园中，经常会看到两根杆中间悬挂着铁链，请问：铁链是什么曲线？”由于这种现象学生在日常生活中也经常见到，因此，对于提出的题，可以很快根据自己的生活经验，得出结论：铁链是抛物线.但是，当教师否定这一结论时，学生自然产生好奇之心，这就可以引入新的教学内容，而教师利用这个问题，可以让学生对抛物线与双曲余弦之间的区别印象深刻.同时，为了进一步激发学生的学习兴趣，教师可以为其讲述古代著名数学家所犯下的错误，让学生知道，自己对事情理解的偏差，与古代数学家有着相似之处，进而激发学生的学习积极性.
（二）在概念讲解部分应用问题式教学法
概念讲解部分是微积分教学的基础部分，教师在该部分应用问题式教学方法，可以让学生从已经掌握的知识概念出发，对新概念进行认识和学习，进而牢固掌握新的概念.学生在这个过程中，发现问题的能力和解决问题的能力可以得到相应的提高.例如，在进行“二元函数极限定义”的教学过程中，教师可以先带领学生对一元函数极限的定义进行复习，然后提出问题：二元函数与一元函数之间有什么区别？一元函数极限定义中涉及自变量的部分是哪些？一元函数在一点上邻域怎么定义？二元函数比一元函数多了一个自变量，则二元函数在一点上的邻域又该怎么表示？通过对旧知识的复习巩固，来进行新概念的讲解，一方面，可以让学生牢固掌握之前学习的“一元函数极限定义”旧知识，巩固学生的基础知识，另一方面，通过旧知识引出新知识，并利用新旧知识之间的比较，加深学生对新知识的印象，同时也激发学生的探究欲望.且利用提问方式，逐步引导学生思考和研究，使学生从学习过的一元函数出发，对上述问题进行探究和解答，进而尝试写出二元函数的极限定义.在这一整个过程中，学生既可以更好地理解和掌握新旧概念，还能潜移默化提高学生的主动学习能力和自学能力.
（三）在新内容讲解时应用问题式教学法
知识之间常常存在紧密的联系，在微积分知识中也一样，微积分知识间有很多都存在联系，学生应该掌握这些联系，掌握了这些知识之间的联系后，才能形成缜密的数学逻辑思维，提高学生的学习效率.为此，在微积分教学过程中，当教师要讲解新的教学内容，利用新旧知识之间联系，可以让学生在巩固和复习旧知识的同时，掌握新的知识内容，对学生的思辨能力和探索能力进行潜移默化的培养.另外，教师可以利用举实例的方式，让学生掌握新的知识.例如，在进行“变速直线运动的瞬时速度”的教学过程中，教师可以为学生创建教学情境：假设你是一名赛车手，但是跑车的时速表出现了故障，但是里程表和秒表仍然可以正常工作，请你就用这个跑车对直线型公路上某一个时刻的瞬间速度进行测量，请说出测量方法.当问题任务布置好以后，教师就可以引导学生以小组的形式进行探索和研究，小组研究过后，学生就会了解到，导数是瞬间变化率，那么教师可以接着提出一个问题：“是不是所有的瞬间变化率都可以转化为导数来进行研究分析？[2]”
（四）在定理解释部分应用问题式教学法
在微积分教学过程中，定理解释部分十分枯燥且乏味，因此，很容易发展成为传统教学中的灌输式教学模式，由于定理是已经存在的理论，因此，利用什么方法让学生可以对定理的条件以及结论进行理解和掌握成为教师当前所应该重点考虑的问题.以“一元函数的可导和一元函数的连续之间的关系探索”为例，教师可以提出几个问题让学生进行思考，问题如下：一元函数可导一定连续，那么这个定理的逆命题是否成立？否命题是否成立？若逆命题、否命题成立了，这条定理的条件和结论会不会产生改变？应该改变为什么？在探索和解决以上问题时，教师可以让学生分为若干小组，以小组讨论的方式进行课堂教学，以便提高学生的学习效率，并促进学生之间的团结与协作，培养学生的团结协作能力.而通过对以上反例的探索和分析，学生能够理清定理条件与结论之间的关系，且学生在分析的过程中可以对定理进行积极的思考和质疑，这就使学习过程不再单调枯燥.如果学生经常使用这种质疑的眼光看待教材中的知识内容，就会形成敢于质疑、勇于探索的良好学习习惯，有助于提高学生的创新能力.
（五）在难点解析部分应用问题式教学法
所谓授之以鱼，不如授之以渔，即交给学生现成的知识，不如交给学生学习的方法.因此，教师应该教授学生学习微积分的方法，在重要方法的交接过程中，于易错难懂的环节设置相应的问题，让学生注意到这种学习方法适用的范围，并让学生了解什么条件使用什么方法更佳.例如，在进行“函数的极限”的教学过程中，对于“等价无穷小方式”这一板块的内容，教师可以设置问题：等价无穷小替换加减因子的条件是什么？什么时候可以替换，什么时候不可以替换？利用提问，让学生注意到，在等价无穷小方式中，加减因子的替换条件是重点，那么学生在解决该板块问题的过程中，就会对加减因子的条件进行重点关注[3].长期使用这种提问方式进行重点和难点的解析，可以帮助学生养成良好的数学思维，使学生能够抓住微积分知识的重点，有助于提高学生的数学能力.
总而言之，问题式教学法在微积分教学中的应用，与素质教育的要求相适应.在各个教育阶段，教师应该立足于学生的实际学习情况，设置相应的问题，有效激发学生的学习兴趣，促进学生主动发现问题、探究问题、分析问题进而解决问题.当学生带着问题开展学习活动和思考活动，就能不自觉地提升学生的探究能力和实践能力，对于提升学生的综合能力有着积极作用.另外，问题式教学方法，可以锻炼学生的思维逻辑，可以帮助学生形成数学逻辑思维，提高学生综合素养.
【参考文献】
[1]何正风.问题式教学在微积分教学中的应用[J].考试周刊，2014，15（A5）：62-63.
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关键词：高中数学；微积分；问题成因；教学策略
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）12-0058-02
一、引言
“微积分”模块是以函数为研究对象，研究生活中运动、变化以及变化着的量之间的关系。“微积分”模块的学习，能够培养学生的辩证观点，提高分析问题解决问题的能力。对于解决生活中的最优化问题有很大帮助。
1.我国“微积分”模块教学回顾[1]。在1960年曾争论过“微积分”模块是否进入中学的问题，有的还写入了试验教材。但考虑到学习内容已很多，师资也有困难，所以还是未正式列入课程。1980年前后，“微积分”模块开始进入高中，要求学习微积分的所有内容。由于操之过急，教学中无法实施，所以很快改为“选学”，实际上则不学（高考不考）。到1996年，“微积分”模块再次纳入高中课程，不过内容和课时都减了。微积分先讲极限，再讲导数，从导数到原函数到不定积分再到定积分，这是出于数学的严谨性，但学生理解有困难，而且实际应用也不要求如此严格。在最新一轮课改中，改变了这一做法，以“瞬时变化率”描述导数，从导数的几何意义和物理意义方面帮助学生直观理解导数，把重点放在用导数研究函数和解决实际问题上。目前正朝“理解导数思想，强调导数实际应用”的方向努力。
2.新课标对高中“微积分”模块教学目标的要求（所指教材均为人教版教材）。突出导数概念的本质，感受和领悟“微积分”模块的基本思想。不讲极限概念，不是把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是直接通过实际背景和具体实例反映导数思想和本质。新课程希望学生在今后的学习和步入社会后，能留下对微积分的一些实际认识。同时也体现“课标”让学生在经历中感受数学的思想，认识数学，主动参与数学教学活动的基本理念。强调导数在研究事物的变化率，函数的基本性质和优化问题中的应用，感受和体会导数在处理问题中的一般性和有效性。重视几何直观等思想方法的渗透和学习。反复通过图形去认识和感受导数的几何意义，以及用导数的几何意义去解决问题。“课标”提高了对导数几何意义的理解以及用导数的几何意义去解决问题的要求，其目的一是加深对导数本质的认识和理解，二是体现数学中几何直观这一重要数学思想方法对于数学学习的意义和作用。
二、高中数学“微积分”模块在教学中存在的问题
“微积分”模块是高中数学教材新增的内容，无论对于学生还是教师都是“新”的。作为教师不仅要学习新内容，而且要从思想方法上研究新内容的内涵和本质。
1.对微积分知识的定位不准。微积分的运动变化的思维方式与之前所学函数静态的思维方式有很大的不同，中学生开始接触微积分的基本概念时不能一下子就领悟它也是很正常的。关键是教师不能照本宣科，而应作充分准备性说明，从几何直观逐步过渡到逻辑推理上去，但不能仅仅停留在几何直观上，只是在知识的广度和深度方面要适可而止。既要考虑学生的接受能力，又不能低估学生的理解能力[2]。
2.常量思维的根深蒂固。“微积分”模块教学研究的是变量间的函数关系，学生对微积分中变量认识不深刻[3]。因为常量思想的根深蒂固，对变量思想的转变会有一个过程，在这个过程中就要求教师运用自己本身的专业水平进行正确的引导。当然，这种引导就需要教师在实践中不断探索。
3.“应试”教育的影响。大纲对文理科学生关于微积分的教学内容和要求相差很大。文理科考试要求与大纲教学内容要求相比都有所下降。文科将“极限”所有内容删去，理科删去“积分”的所有内容和“微分的概念和运算”。因为考试不考的原因必然不被学生所重视，所以要淡化“应试”教育思想，为提高能力而学习。
三、高中数学“微积分”模块的教学策略
1.运用微积分求曲边梯形的面积问题。例如：如何求如图所示的曲线f（x）在区间[a，b]上与x轴所围成的曲边梯形的面积。
分析：在区间[a，b]内任取n-1个点，将区间[a，b]分成n个小区间[xi-1，xi]，i=1，2，Λ，n。记为Δxi=[xi-1，xi]，在无限细分的过程中，把每个小曲边梯形近似看成是矩形，则f（x）为高，那么面积s=f（xi）Δxi=f（x）dx。
策略：在讲解时，可以利用多媒体来演示无限细分，无限趋近的过程，让学生从直观上来理解定积分所表示对几何意义。
2.运用微积分求曲线的切线问题的教学策略。在没有学习导数之前，求解切线问题，一般的方法是直线方程与曲线方程（一般是二次方程）联立组成方程组，消去y，变成关于x的一元二次方程，利用判别式Δ=0来求解。学习导数之后，由导数的几何意义我们知道，曲线上某点的切线就是过该点曲线的割线的极限。例如：（1）求函数f（x）=x2-x在（2，2）点处的切线方程。分析：首先验证点是否为切点，把（2，2）点带入函数，f（2）=22-2=2，则（2，2）点为切点，f'（x）=2x-1，过该点的切线斜率k=f'（2）=2x-2-1=3，切线方程为y-2-3（x-2），即y=3x-4。
（2）求函数f（x）=x2-x在（2，1）点处的切线方程。分析：首先验证点（2，1）不在曲线上，不是切点，所以设切点为P（x0，y0），则切点P坐标满足y0=x02-x0，P点的切线斜率为k=f'（x0）=2x0-1，切线方程为y-y0=（2x0-1）（x-x0），把y0=x02-x0及点（2，1）代入切线方程，得1-（x02-x0）=（2x0-1）（2-x0），整理得x0=1，x0=3，故切点为（1，0）和（3，6），切线方程为y=x-1和 y=11x-63。
策略：此类问题首先确定给出点是否为切点（是否在曲线上），若是，求出切线斜率（即该点导数），由点斜式求出切线方程。若不是，设出切点，表示出切线斜率和切线方程，代入已知函数方程和点的坐标，求出切点进而求出切线方程。
3.运用微积分求函数的单调区间、极值和最值问题的教学策略。例如：求函数f（x）=ex-ax-2的单调区间。分析：函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），f'（x）=ex-a。若a≤0，则f'（x）>0，所以f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；若a>0，令f'（x）=0，则 x=lna。
所以在（-∞，lna）上，函数f（x）单调递减；在（lna，+∞）上，函数f（x）单调递增，此时f（lna）=a-alna-2为极小值也是函数的最小值。
策略：对于解决函数单调性极值问题，首先分析定义域，让学生明白定义域是函数的灵魂，求出f'（x）=0的点作为分界点，把定义域分成几个小区间，当f'（x）
4.运用微积分解决不等式问题的教学策略。例如：证明当x>0时，ex>sinx。分析：构造辅助函数，令f（x）=sinx-ex，且f（0）=-1，f'（x）=cosx-ex，由于在x∈（0，+∞）上，cosx1，从而f（x）=sinx-ex在x∈（0，+∞）是单调减函数，又由于f（0）=1，从而f（x）=sinx-exsinx在x∈（0，+∞）恒成立。
策略：对于解决不等式问题，首先构造辅助函数，一般是做差或做商，对辅助函数求导利用函数单调性，求出所在区间的最值从而达到证明不等式的目的。
四、结束语
“微积分”模块作为新课标新增的内容，它的教学研究还不够成熟，正处于探索阶段时期，因此如何进行“微积分”模块的教学是所有教育工作者不断探索的课题。
参考文献：
[1]章建跃，左怀玲.我国中学数学教材的建设与发展[M].北京：人民教育出版社，2001.
[2]匡继昌.如何给中学生讲授微积分[J].数学通报，2006，5（45）.
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关键词：应用 反例 微积分 高等数学微积分是高等数学的主要部分，它是我院高职一年级学生必修的一门重要基础课程。它可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础。通过各个教学环节，可以逐步培养学生比较熟练的运算能力，综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力，初步抽象概括能力、自觉力图经及一定的逻辑推理能力，我院根据各专业的实际需要，对数学教学的基本要求是“以应用为目的，以必须够用”为原则，以“强化概念理解，注重应用计算为依据，对微积分中的重要性质、定理、公式只作介绍，侧重于应用计算，不做证明与推导，在数学教学中，常会遇到一些值得思考的问题，对它们不可能在教材中进行详细讨论，但要弄清楚这些问题，对提高学生的纵向思维却极其重要，这就要求思考者具有高超的分析思维能力。通过应用反例直入主题，切重要害，它能起到事半功倍的作用，很受学生欢迎。本文围绕高等数学中的重要分支微积分中的连续性、可微性和可积性进行具体探讨反例在微积分教学中的作用。
一、两个无穷小的商一定是无穷小吗？
在无穷小性质的教学中，根据性质有一条推论：有限个无穷小量的乘积一定是无穷小量。学生在学习这一问题时常会问：两个无穷小量的商一定是无穷小量吗？对于这一结论大部分同学认为是正确的。不妨举一个反例：
如： =0， =0都是无穷小量，而 （第一个重要极限），显然，两个无穷小量的商不一定是无穷小量，也就得出了两个无穷小量的商不一定是无穷小量的结论。
二、最大值与最小值定理中条件改变一定还存在最大值与最小值吗？
最大值与最小值定理的内容是闭区间[a，b]上连续函数一定存在最大值与最小值（据团区间上的连续函数的性质）。
1、在定理中，如果将闭区间[a，b]改为开区间（a，b），那么结论不一定成立。
如求f（x）=x在区间（2，4）上的最大值与最小值。
显然函数f（x）=x在开区间（2，4）上连续，且在该区间内单调增加，所以函数的最大值与最小值应在区间的两端点处取得，而函数在两端点处无定义，所以f（x）=x在开区间（2，4）上不能取得最大值与最小值。
2、在定理中，如果闭区间[a，b]内存在间断点，结论不一定成立
如
f（x）=
考虑函数f（x）在闭区间[0，2]上的最大值与最小值
因为
即 不存在，即在闭区间[0，2]上有间断点且x=1是第一类跳跃间断点，所以f（x）在[0，2]上不能取得最大值与最小值。
三、函数在闭区间上有原函数一定可积吗？
在积分学中，微积分基本公式即牛顿-莱布尼兹公式是个十分重要的公式，它将不定积分与定积分巧妙的结合起来，它揭示了定积分被积函数的原函数（不定积分）之间的联系。给定积分的计算提供了一个很好的计算方法，简化了定积分的计算。
上述公式是学生记忆中的公式，F（x）是连续函数f（x）在[a，b]上的一个原函数，这样使定积分的计算转化成了求被积函数一个原函数的问题。因学生容易忽视f（x）连续的条件，认为在应用此公式时f（x）连续的条件是多余的。
定义函数如下：
首先证明，这个函数存在原函数，我们指出，下面这个函数就是它的原函数：
为此目的，只需证明 对任何x∈[0，1]成立，而0
现在来考虑 的定积分是否存在，其实容易看出它在闭区间[0，1]无界，因为任意 ，函数 在区间（0， ）无界，在这个区间上， 是无穷小量和有界量的乘积，是无穷小量，但 这一项却是在正无穷与负无穷之间反复振动的量，例如取 ，则其值为 ，但若取 ，则其值为 ，只要n充分大，便可使 ，同时 却可以大于任何预先给定的正数。这就是说，任意 ，函数 在区间（0， ）无界，从而在闭区间[0，1]无界，而我们知道闭区间上的无界函数是不可积的，所以 的定积分不存在。
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看到本丛书，多数人会问这样的问题：
“什么是教育数学？”
“教育数学和数学教育有何不同？”
简单说，改造数学使之更适宜于教学和学习，是教育数学为自己提出的任务。
把学数学比作吃核桃，核桃仁美味而富有营养，但要砸开才能吃到它。有些核桃，外壳与核桃仁紧密相依，成都人形象地叫它们“夹米子核桃”，如若砸不得法，砸开了还很难吃到。数学教育要研究的，就是如何砸核桃吃核桃。教育数学呢，则要研究改良核桃的品种，让核桃更美味，更营养，更容易砸开吃净。
“教育数学”的提法，最早出现在笔者1989年所写的《从数学教育到教育数学》中。其实，教育数学的活动早已有之，如欧几里得著《几何原本》，柯西写《分析教程》，都是教育数学的经典之作。
数学教育有很多世界公认的难点，如初等数学里的几何和三角，高等数学里的微积分，都比较难学。为了对付这些难点，很多数学老师、数学教育专家前赴后继，做了大量的研究，写了很多的著作，进行了广泛的教学实践。多年实践，几番改革，还是觉得太难，不得不“忍痛割爱”，少学或者不学。教育数学则从另一个角度看问题：这些难点的产生，是不是因为前人留下来的知识组织得不够好，不适宜于数学的教与学？能不能优化数学，改良数学，让数学知识变得更容易学习呢？
知识的组织方式和学习的难易有密切的联系。 英语中12个月的名字：January，February，……背单词要花点工夫吧？如果改良一下：一月就叫Monthone，二月就叫Monthtwo，等等，马上就能理解，就能记住，学起来就容易多了。生活的语言如此，科学的语言——数学——何尝不是这样呢？
很多人认为，现在小学、中学到大学里所学的数学，从算术、几何、代数、三角到微积分，都是几百年前甚至几千年前创造出来的数学。这些数学的最基本的部分，普遍认为是经过千锤百炼，相当成熟了。对于这样的数学内容，除了选择取舍，除了教学法的加工之外，还有优化改革的余地吗？
但事情还可以换个角度看。这些进入了课堂的数学，是在不同的年代、不同的地方，由不同的人，为不同的目的而创造出来的，而且其中很多不是为了教学的目的而创造出来的。难道它们会自然而然地配合默契，适宜于教学和学习吗？
看来，这主要不是一个理论问题，而是一个实践问题。
走进教育数学，看看教育数学在做什么，有助于回答这类问题。
随便翻翻这几本书，就能了解教育数学领域里近20年来做了哪些工作。从已有的结果可以看到，教育数学有事可做，而且能做更多的事情。
比如微积分教学的改革，这是在世界范围内被广为关注的事。丛书中有两本专讲微积分，主要还不是讲教学方法，而是讲改革微积分本身。
由牛顿和莱布尼茨创建的微积分，是第一代的微积分。这是说不清楚的微积分。创建者说不清楚，使用微积分解决问题的数学家也说不清楚。原理虽然说不清楚，应用仍然在蓬勃发展。微积分在说不清楚的情形下发展了130多年。
柯西和魏尔斯特拉斯等建立了严谨的极限理论，巩固了微积分的基础，形成了第二代的微积分。数学家把微积分说清楚了，但是由于概念和推理繁琐迂回，对于绝大多数学习高等数学的人来说，还是听不明白的微积分。微积分在多数学习者听不明白的情形下，又发展了170多年，直到今天。
第三代的微积分，是正在创建发展的新一代的微积分。人们希望微积分不但严谨，而且直观易懂，简洁明快，让学习者用较少的时间和精力就能够明白其原理，不但知其然而且知其所以然；不但数学家说得清楚，而且非数学专业的多数学子也能听得明白。
第一代微积分和第二代微积分，在具体计算方法上基本相同；不同的是对原理的说明，前者说不清楚，后者说清楚了。
第三代微积分和前两代微积分，在具体计算方法上也没有不同，不同的仍是对原理的说明。
几十年来，国内外都有人从事第三代微积分的研究以及教学实践。这方面的努力，已经有了显著的成效。在我国，林群院士近10年来在此方向做了大量的工作。本丛书中的《微积分快餐》，就是他在此领域的代表作。
古今中外，通俗地介绍微积分的读物极多，但能够兼顾严谨与浅显直观的几乎没有，《微积分快餐》做到了。一张图，一个不等式，几行文字，浓缩了微积分的精华。作者将微积分讲得轻松活泼、简单明了而且严谨自封，让读者在品尝快餐的过程中进入了高等数学的殿堂。
丛书中还有一本《直来直去的微积分》，是笔者学习微积分的心得。书中从“瞬时速度有时比平均速度大，有时比平均速度小”这个平凡的陈述出发，不用极限和实数，“微分不微，积分不积”，直截了当地建立了微积分基础理论。书中的概念与《微积分快餐》中的逻辑等价而呈现形式不尽相同，殊途同归，显示出第三代微积分的丰富多彩。
回顾历史，牛顿和拉格朗日都曾撰写著作，致力于建立不用极限也不用无穷小的微积分，或证明微积分的方法，但没有成功。我国数学大师华罗庚所撰写的《高等数学引论》中，也曾刻意求新，不用中值定理或实数理论而寻求直接证明“导数正则函数增”这个具有广泛应用的微积分基本命题，可惜也没有达到目的。
前辈泰斗是我们的先驱。教育数学的进展实现了先驱们简化微积分理论的愿望。
两本关于微积分的书，都专注于基本思想和基本概念的变革。基本思想、基本概念，以及在此基础上建立的基本定理和公式，是这门数学的筋骨。数学不能只有筋骨，还要有血有肉。中国高等教育学会教育数学专业委员会理事长、全国名师李尚志教授的最新力作《数学的神韵》，是有血有肉、丰满生动的教育数学。书中的大量精彩实例可能是你我熟悉的老故事，而作者却能推陈出新，用新的视角和方法处理老问题，找出事物之间的联系，发现不同中的相同，揭示隐藏的规律。幽默的场景，诙谐的语言，使人在轻松阅读中领略神韵，识破玄机。看看这些标题，“简单见神韵”、“无招胜有招”、“茅台换矿泉”、“凌波微步微积分”，可以想见作者的功力非同一般！特别值得一提的是书中对微积分的精辟见解，如用代数观点演绎无穷小等，适用于第一代、第二代和第三代微积分的教学与学习，望读者留意体味。
练武功的上乘境界是“无招胜有招”，但武功仍要从一招一式入门。解数学题也是如此。著名数学家和数学教育家项武义先生说，教数学要教给学生“大巧”，要教学生“运用之妙，存乎一心”，以不变应万变，不讲或少讲只能对付一个或几个题目的“小巧”。我想所谓“无招胜有招”的境界，就是“大巧”吧！但是，小巧固不足取，大巧也确实太难。对于大多数学子来说，还要重视有章可循的招式，由小到大，以小御大，小题做大，小中见大。朱华伟教授和钱展望教授的《数学解题策略》，踏踏实实地从一招一式、一题一法着手，探秘发微，系统地阐述数学解题法门，是引领读者登堂入室之作。作者是数学奥林匹克领域的专家。数学奥林匹克讲究题目出新，不落老套。我看了这本书里的不少例题，看不出有哪些似曾相识，真不知道他是从哪里搜罗来的！
朱华伟教授还为本丛书写了一本《从数学竞赛到竞赛数学》。竞赛数学当然就是奥林匹克数学。华伟教授认为，竞赛数学是教育数学的一部分。这个看法是言之成理的。数学要解题，要发现问题、创造方法。年复一年进行的数学竞赛活动，不断地为数学问题的宝库注入新鲜血液，常常把学术形态的数学成果转化为可能用于教学的形态。早期的国际数学奥林匹克试题，有不少进入了数学教材，成为例题和习题。竞赛数学与教育数学的关系，于此可见一斑。
写到这里，忍不住要为数学竞赛说几句话。 有一阵子，媒体上出现不少讨伐数学竞赛的声音，有的教育专家甚至认为数学竞赛之害甚于黄赌毒。我看了有关报道后的第一个想法是，中国现在值得反对的事情不少，论轻重缓急还远远轮不到反对数学竞赛吧。再仔细读这些反对数学竞赛的意见，可以看出来，他们反对的实际上是某些为牟利而又误人子弟的数学竞赛培训。就数学竞赛本身而言，它是面向青少年中很小一部分数学爱好者而组织的活动。这些热心参与数学竞赛的数学爱好者（还有不少数学爱好者参与其他活动，例如青少年创新发明活动、数学建模活动、近年来设立的丘成桐中学数学奖），估计不超过约两亿中小学生的百分之五。从一方面讲，数学竞赛培训活动过热产生的消极影响，和升学考试体制以及教育资源分配过分集中等多种因素有关，这笔账不能算在数学竞赛头上；从另一方面看，大学招生和数学竞赛挂钩，也正说明了数学竞赛活动的成功因而得到认可。对于青少年的课外兴趣活动，积极的对策不应当是限制、堵塞，而是开源分流。发展多种课外活动，让更多的青少年各得其所，把各种活动都办得像数学竞赛这样成功并且被认可，数学竞赛培训活动过热的问题自然就化解或缓解了。
回到前面的话题。上面说到“大巧”和“小巧”，自然想到还有“中巧”。大巧法无定法，小巧一题一法。中巧呢，则希望用一个方法解出一类题目。也就是说，把数学问题分门别类，一类一类地寻求可以机械执行的方法，即算法。中国古代的《九章算术》，就贯穿了分类解题寻求算法的思想。中小学里学习四则算术、代数方程，大学里学习求导数，学的多是机械的算法。但是，自古以来几何命题的证明却千变万化，法无定法。为了找寻几何证题的一般规律，从欧几里得、笛卡儿到希尔伯特，前赴后继，孜孜以求。我国最高科技奖获得者、著名数学家吴文俊院士指出，希尔伯特是第一个发现了几何证明机械化算法的人。在《几何基础》这部名著中，希尔伯特对于只涉及关联性质的这类几何命题，给出了机械化的判定算法。由于受时代的局限性，希尔伯特这一学术成果并不为太多人所知。直到1977年，吴文俊先生提出了一个新的方法，可以机械地判定初等几何中等式型命题的真假。这一成果在国际上被称为“吴方法”，它在几何定理机器证明领域中掀起了一个，使这个自动推理中最不成功的部分变成了最成功的部分。
“吴方法”和后来提出的多种几何定理机器证明的算法，都不能给出人们易于检验和理解的证明，即所谓可读证明。国内外的专家一度认为，机器证明的本质在于“用量的复杂克服质的困难”，所以不可能机械地产生可读证明。
笔者基于1974年在新疆教初中时指导学生解决几何问题的心得，总结出用面积关系解题的规律。在这些规律的基础上，1992年提出消点算法，和周咸青、高小山两位教授合作，创建了可构造等式型几何定理可读证明自动生成的理论和方法，并在计算机上实现。最近在网上看到，面积消点法也多次在国外的不同的系统中实现了。本丛书中的《几何新方法和新体系》，包括了面积消点法的通俗阐述，以及笔者提出的一个有关面积方法的公理系统，由冷拓同志协助笔者整理成书。教育数学研究的副产品解决了机器证明领域中的难题，对笔者而言实属侥幸。
基于对数学教育的兴趣，笔者从1974年以来，30多年持续地探讨面积解题的规律，想把几何变容易一些。后来发现，国内外的中学数学教材里，已经把几何证明删得差不多了。于是“迷途知返”，把三角作为研究的重点。数学教材无论如何改革，三角总是删不掉的吧。本丛书中的《一线串通的初等数学》，讲的是如何在小学数学知识的基础上建立三角，以三角的发展引出代数工具并探索几何，把三者串在一起的思路。
在《一线串通的初等数学》中没有提到向量。其实，向量早已下放到中学，与传统的初等数学为伍了。在上海的数学教材里甚至在初中就开始讲向量。讲了向量，自然想试试用向量解决几何问题，看看向量解题有没有优越性。可惜在教材里和刊物上出现的许多向量例题中，方法略嫌繁琐，反而不如传统的几何方法简捷优美。如何用向量法解几何题？能不能在大量的几何问题的解决过程中体现向量解题的优越性？这自然是教育数学应当关心的一个问题。为此，本丛书推出一本《绕来绕去的向量法》。书中用大量实例说明，如果掌握了向量解题的要领，在许多情形下，向量法比纯几何方法或者坐标法干得更漂亮。这要领，除了向量的基本性质，关键就是“回路法”。绕来绕去，就是回路之意。回路法是笔者的经验之谈，没有考证前人是否已有过，更没有上升为算法。书稿主要由彭翕成同志执笔，绝大多数例子，也是他采集加工的。
谈起中国的数学科普，谈祥柏的名字几乎无人不知。老先生年近八旬，从事数学科普创作超过半个世纪，出书50多种，文章逾千篇。他对于数学的执著和一生的爱，洋溢于他为本丛书所写的《数学不了情》的字里行间。哪怕仅仅信手翻上几页，哪怕是对数学知之不多的中小学生，也会被一个个精彩算例所显示的数学之美和数学之奇深深吸引。书中涉及的数学知识似乎不多、不深，所蕴含的哲理却足以使读者掩卷遐想。例如，书中揭示出高等代数的对称、均衡与和谐，展现了古老学科的青春；书中提到海峡两岸的数学爱好者发现了千百年来从无数学者、名人的眼皮底下滑过去的“自然数高次方的不变特性”，这些生动活泼的素材，兼有冰冷的思考与火热的激情，无论读者偏文偏理，均会有所收益。
沈文选教授长期从事中学数学研究、初等数学研究、奥林匹克数学研究和教育数学的研究。他的《走进教育数学》和本丛书同名，是一本从学术理论角度探索教育数学的著作。在书中，他试图诠释“教育数学”的概念，探究“教育数学”的思想源头与内涵；提出“整合创新优化”、“返璞归真优化”等优化数学的方法和手段，并提供了丰富的案例。笔者原来杜撰出“教育数学”的概念，虽然有些实例，但却凌乱无序，不成系统。经过文选教授的旁征博引，诠释论证，居然有了初具规模的体系框架，有点学科模样了。这确实是意外的收获。
浏览着这风格不同并且内容迥异的10本书，教育数学领域的现状历历在目。这是一个开放求新的园地，一个蓬勃发展的领域。在这里耕耘劳作的人们，想的是教育，做的是数学，为教育而研究数学，通过丰富发展数学而推进教育。在这里，大家都做自己想做的事，提出新定义、新概念，建立新方法、新体系，发掘新问题、新技巧，寻求新思路、新趣味，凡此种种，无不是为教育而做数学。
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关键词：定积分概念 教学设计
中图分类号：G642 文献标识码： A 文章编号：1672-1578（2013）01-0035-02
自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得结果。这正是人类文明发展中的伟大创举——极限思想和极限方法产生的客观基础。微积分的创立，是数学史上一个具有划时代意义的创举，也是人类文明的一个伟大成果，正如恩格斯评价的：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被当做人类精神的最高胜利了。”定积分又是微积分教学中的一个重点，同时也是一个难点，在定积分的概念教学中，如何让学生理解定积分的本质，培养数学思想，挖掘学生潜力，激发学生想象力和创造力，勇于进取，提高解决实际问题的能力是非常重要的，笔者在教学过程中作了如下设计：
1 注意背景知识与引入方法
定积分概念起源于求平面图形的面积，空间立体的体积，曲线段的长度，物体的重心等几何和物理问题。17世纪以前，计算这些问题缺乏一种统一的数学方法，直至牛顿和莱布尼兹建立了微积分之后，才有了统一的积分方法，并把求面积、体积、长度这一类问题和求原函数联系起来。200年后，才由黎曼用严格的形式给出了定积分的概念，也称黎曼积分。在教材中，引入定积分的两个经典引例是“曲边梯形的面积”和“变速直线运动的路程”，为了引入自然，我们采用探究式的教学方法，以培养学生的问题意识，突出数学思想方法提出问题，启动思维：
探究1：你知道如何求正方形、长方形、三角形的面积吗？这些图形都有什么特点？
探究1的设计意图：学生归纳平面图形特点是：各边都是线段组成的图形；同时把思维引向如何求面积的方向上来。
探究2：你知道圆的面积公式吗？它的面积是怎样计算的？
探究2的设计意图：学生感受求曲边图形面积的难度，回忆圆的面积求法，为本节课类比作好铺垫。
2 引入新课，探究学习
探究3：阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y=f（x）的一段，我们把由直线x=ɑ， x=b（ɑ≠b），y=0和y=f（x）曲线所围成的图形称为曲边梯形。如何计算这个曲边梯形的面积S？思考下面问题：
（1）曲边梯形与“直边图形”有什么区别？
（2）能否将球这个曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”面积的问题？
探究3的设计意图：给出曲边梯形的定义，明确本节的研究课题，由具体问题出发，激发思维热情。
我们可以针对这一问题用Mathematica软件制作一个动画，先把曲边梯形等分成10个小矩形，再将曲边梯形等分成20个、30个、70个小矩形，通过动画演示，可以使学生深刻领会定积分的思想。同样的，我们也可以做出积分上和逼近其下确界的相应图像。在传统教学中，无论教师将分点怎么增加，也无法刻画“分点无限增加”的细分过程。将动态图形鲜明、生动、形象的展现在屏幕上，学生可以清晰地看到：随着小矩形的不断增加，其面积之和就越来越接近曲边梯形的面积这一事实。是学生可以在具体的情境中体会这种无限的过程，这种“从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变”的思想，是对微积分思想的朴素的直观认识。
探究4：如何求由抛物线y=x2与直线x=1，y=0所围成的平面图形部分的面积S？
结论：（1）曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段。
（2）应用“以直代曲”的思想求曲边梯形面积，共分四步。
教师引导，学生自主完成探究。
探究4的设计意图：先研究特殊的曲边梯形的面积，简化运算，揭示思想核心。
第一步——分割：化整为零，把整体量化为局部量
第二步——近似代替：以“不变”代“变”，在局部量中做近似代替
第三步——求和：把局部量的近似值累加起来。此处，教师强调：这里的面积毕竟是近似值，不能代替真实值，尚需完善。
第四步——取极限：把整体量的近似值转化为精确值。
3 整理新知，巩固所学
探究5：求曲边梯形面积的四个步骤都是什么？这四个步骤间有何关系？
探究5的设计意图：先分后总整理一般步骤，得到一般方法，给出求解这类问题的一般步骤——“四步曲”，由特殊问题探究上升到一般认识。对曲边梯形的面积问题，注重详细分析，这一分析过程是把整体分为局部，在局部以直代曲，以不变代变，这种处理问题的思想方法即为“极限思想方法”，它是高等数学的基本思想方法，甚至可以说是微积分的灵魂，后面的各种积分都是采用这种思想方法去处理的，详细地分析面积问题后，总结所应用的方法步骤，突出强调结果是一个“和的极限”。对第二个引例，以启发为主，师生一起进行简要地分析，引导学生作出类似结论。
4 对比实例，抽象定义
上面两个问题所需的计算量，一个是几何学中的面积，一个是物理学中的路程。虽然两个量表示的实际意义不同，但计算这些量的方法和这些量的数学形式都是相同的。总结问题共性，着重指出实际中还有很多类似问题，它们都可以归结到此类相同的数学形式，因此要对这些形式进行研究，于是抽象出定积分的概念。
5 剖析概念，领会实质
给出定义后，教师应进一步阐述：（1）定积分是一个特殊的极限值，因此是一个数值，这与定积分截然不同；（2）通过解释两个“任意”，结合极限的唯一性，说明若定积分存在的话，其结果是确定的，与区间的分法与区间内点的取法无关；（3）定积分的值仅与积分区间和函数结构有关，所以更换积分变量所采用的字母，积分值不会发生变化；（4）给出定积分存在的条件。
6 归纳总结
借助多媒体与图形结合起来，更有利于学生的直观理解，体会逼近的思想。积极的师生互动能帮助学生看到知识之间的联系，有助于知识的重组和迁移。让学生自己小结，养成良好的学习习惯。
参考文献：
[1]耿立华.谈定积分概念的教学[J].中国科教创新导刊，2009（4）.
篇10
关键词 大学数学教学 数学建模 生活实际问题
1大学数学教与学的现状
大学数学的学习现状，主要体现在两个方面。一方面，学生的数学学习兴趣不高。随着高校扩大招生，在原有教学大纲、教学模式基本不变的基础上，学时锐减，使得教师单位时间内讲授的内容过多、速度过快，难度相应也加大，并且例题和课堂练习相对较少。大多数学生习惯中学时养成的少思考多练习的学习方法，在课后不愿意多思考，不能认真完成作业；再者，囿于课时的限制，数学应用部分几乎都被砍掉，学生不清楚为什么学习数学，怎么用数学，数学的应用价值体现不直接，这些都导致学生数学学习兴趣、学习能力、学习成绩下降。而对于绝大多数的由专科升为二本的本科高校（包括高职院校）来说，学生的数学基础普遍较差，接受知识慢，对数学的学习兴趣更是不高。另一方面，重理论重技巧轻背景轻应用，使得学生缺乏数学意识、用数学的能力薄弱。尽管学生学的数学知识较“深”，用数学的意识和能力却比数学知识学得“浅”的国外大学生弱。例如，如今国内大多数高校的微积分教学与美国传统的微积分教学极为相似。仅让学生做求导求积分练习，却缺乏增强让学生理解和用于解决问题的能力；学生学完了微积分，不了解微积分的背景和实际需要，不会用来解决其他学科提出的问题和应用。
大学数学教学现状主要是：在扩大招生后，“精英教育”向“大众化教育”转型，社会对数学的要求越来越高，绝大多数高校在学时锐减的情况下，仍然沿用扩招以前的教学模式，造成教学目标错位、教学手段落后、教学方式呆板僵化；大多数只是把书本上的知识讲授给学生；而且理论推理多，实际应用少，忽视数学思想，忽视综合性的、再创造性的思维行为，使学生难于从数学情景中发现、提出数学问题，轻数学的思想方法和数学的人文素质的培养，一定程度上淡化了数学的作用。
2生活实际问题引入大学数学教学的必要性
激发学生数学学习兴趣、提高数学能力是大学数学教学改革的首要任务。大学数学课程作为公共基础理论课，除了为后继课程奠定基础，扩充、完整学生的知识结构，更重要的是，需要培养学生的创造性思维能力、抽象概括能力、逻辑推理能力、自学能力、分析问题和解决问题能力、开阔学生思路，提高学生综合素质等。数学教学的第一目的，也是首要任务：培养学生的数学思想方法以及应用数学思想方法的能力，即教给学生如何正确地思考问题，解决问题；而教会学生数学的知识是第二位的。现行高等数学大纲也强调应以培养学生的创新能力和实践能力为重点。高等数学提供了丰富的、特色、普遍适用、强有力的思考方式，包括建立模型、抽象化、最优化、逻辑分析、从数据进行推断以及运用符号等，用数学思想方法分析问题解决问题的能力、把实际问题转化为数学模型的能力、求解数学模型的能力，这种数学化的实践能力是高校毕业生在实际工作中必须具有的全面素质和综合职业能力。另外，数学教学要充分调动学生学习的积极性、主动性、自觉性，启发学生独立思考、活跃思维，从而激发求知欲望，使学生达到先想学、继而会学的境界，变“要我学”为“我要学”，使学生能有效地掌握基础知识和基本技能，为他们能力的培养创造有利的条件。
在教学中融入数学建模的思想，已经是各高校在数学教学上的大势所趋。充分有效地将大学数学知识运用到现实生活、生产贸易、经济管理等领域，并解决实际问题，是数学科学的价值所在和目标追求，同时也调动大学生学学数学的积极性和主动性。营造适宜的教学情境，引出数学问题，带动学生的主观能动性，让学生自主地运用数学的思想和方法，从而开发学生认识事物的能力。例如，微积分教学就应体现微积分与当代生活和科技的联系，应设计选择一些实际背景强、与现代科技结合紧密的应用题，如疾病传染、流言传播、人口增长、环境污染、种群竞争、系统变化等问题，logistic模型能描述人口、生态、广告等多领域的问题。
然而，国内外注重数学建模思想的优秀大学数学教材所使用的案例几乎都是实际问题经过了抽象简化后的、需要单一知识点的简单应用题。这些案例的已知条件在问题解决中每一个都会被用到，并且没有一个条件是多余的，这给学生造成了误解，如果有一个条件没有用到，学生就会认为解题思路错了。这在一定程度上扭曲了现实，现实生活中，解决问题之前并不知道哪些是已知条件，甚至哪些是未知要素也是很模糊的，再者，本应作为“己知条件”的，如果没有恰当的方法获取，也将被视为未知条件。从数学的角度，将实际问题抽象、化简为数学问题，厘清已知条件、未知要素，是数学建模的第一个步骤，恰好是我们所有大学数学教学所忽略掉的，包括数学建模课程的教学，却也正是我们如今的学生稀缺的一种能力。这种能力惟有将学生置身于生活实际中才能培养。再者，生活中遇到的实际问题更能引起学生的共鸣，引起他们的兴趣，从而照顾到各个层面的学生，数学基础不同的同学可以提出或解答不同层次的问题。生活实际问题的解决，让学生真实地体会数学的作用、强大，满足数学“有用”的要求，激发学生的学习动力。另外，作为数学建模过程中的一个步骤，能逐步培养学生用数学的“眼睛”发现问题、提出问题的能力，这种能力应与所学数学知识难易程度关系不大，当然，数学基础较好的学生更有可能提出更为恰当的问题、更能解决问题，这就是数学化的实践能力的具体体现。
3生活实际问题引入大学数学教学的可行性
由解决生活实际问题出发，在认真研究教材的基础上，教师可以挑选恰当的生活实例，根据学生的数学基础、学习能力，提出各个层次的问题，这样可以全面引起学生的兴趣，启发思考。生活实际问题的解决通常需要多方面、多知识点的有机结合，教师可以根据教学的需要，解剖成对应不同知识点的小问题，同时，提出的问题可以由浅入深、由简入难，问题解剖的过程同时也是引导学生学会思考的过程，是从现实抽取数学问题的过程。这种以问题为导向的数学课堂，也是以解决问题为核心的课堂，能使学生自主、自觉地去了解、学习本来会被他们认为较为困难的数学知识，同时也将所学的知识，包括数学知识和其它学科知识，形成有机的结构体系。
在解决生活实际问题的同时，不可避免的需要用到软件知识，数学软件的学习，使得学生由“学数学”向“做数学”转变，探究数学的神奇与强大。
现今，大学数学作为公共基础课，课时被削减到很少的情况下，这种以问题为导向的教学方式，既能有助于教师组织课堂，又有利于学生数学能力的培养。给出的生活实际问题相对于教材上的例题是“大问题”，该“大问题”又分解为“小问题”，这些“小问题”的解决又对应着书本上相应的知识点，这种有的放矢的教学是高效、有吸引力的教学。
4总结