抛物线及其标准方程范文

导语：如何才能写好一篇抛物线及其标准方程，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

关键词：抛物线;标准方程;实际应用

一、抛物线及其标准方程的定义

1.抛物线的定义

平面内与一个定点F和一个定直线l距离相等的点的轨迹叫作抛物线，F和l分别是抛物线的焦点和准线。

另一种表达方式是：若 =1，则M的轨迹是抛物线。

2.抛物线的标准方程

设直线l与x轴的交点为K，=P，则F=（ ，0），l：x=- ，设点M的坐标为（x，y），则

化简得，y2=2px（p0）。

根据抛物线在平面内的位置不同，可得出其他形式的标准方程：

y2=-2px x2=2py x2=-2py，其中p0。

二、抛物线及其标准方程的运用

1.给出抛物线的标准方程，求焦点坐标和准线方程

这类问题是比较简单的抛物线问题，可以通过抛物线的方程求出p值，根据抛物线在坐标轴中的位置，确定焦点和准线的位置，从而得到结果。

例1：已知抛物线的标准方程是y2=4x，求它的焦点坐标和准线方程。

解：由2p=4，得出p=2，所以焦点坐标是（1，0），准线方程是x=-1。

例2：已知抛物线的标准方程是x2=8y，求它的焦点坐标和准线方程。

解：根据抛物线方程可知焦点在y轴上，由2p=8，得p=4，所以焦点坐标是（0，2），准线方程是y=-2。

例1和例2是抛物线的基础题型，只需要根据抛物线的标准方程确定焦点F在x轴还是y轴上，准线与哪条坐标轴平行，就可以准确计算出焦点和准线。

2.给出抛物线的焦点坐标或准线方程，求它的标准方程

求解这类问题的关键是通过焦点坐标和准线方程确定抛物线的位置，从4个基本方程中选择正确的表达形式。

（1）直接给出

例3：已知抛物线的焦点坐标F（5，0），求它的标准方程。

解：由焦点坐标可知，抛物线的标准方程属于y2=2px，由 =5，得出p=10，所以抛物线标准方程为：y=20x。

例4：已知抛物线的准线方程为y=3，求它的标准方程。

解：由准线方程可知抛物线位于第三、第四象限，所以抛物线的标准方程为x2=-2py，由 =3，得出p=6，所以抛物线标准方程为x2=-12y。

总结：在进行抛物线标准方程的求解时，一定要根据题意进行判断分析，而且要注意焦点和准线方程的符号。

（2）间接给出

在熟悉了较为简单的抛物线计算后，已经能够较为灵活地在焦点、准线、标准方程之间进行转换，此时需要进行抛物线的深入研究，对其中的各个知识点加以巩固。

例5：求过点B（1，2）的抛物线的标准方程。

解：经过分析，只有抛物线开口向上或者是开口向右时，才能经过点B，所以当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时，把B（1，2）代入y2=2px，得p=2;当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把B（1，2）代入x2=2py，得p= 。所以，抛物线的标准方程是y2=4x或x2= y。

总结：当给出平面中一个点的坐标时，就能够判断出抛物线在平面中的位置和开口方向，之后将点的坐标代入到标准方程中，求出p值，从而列出标准方程。

例6：已知抛物线的标准方程是y2=-8x，将焦点向左移3个单位，求新的抛物线方程。

解：由y2=-8x得p=-4，所以焦点F的坐标为（-2，0）新的焦点F?的坐标为（-5，0），由=-5，得p=-10，所以新的抛物线方程是y2=-20x。

总结：知道了抛物线方程就能求出焦点坐标，根据题意将焦点移动，得出新的焦点坐标，求出p值，就能得到新的抛物线的标准方程。

以上是数学中的常见题型，较为简单，只需要熟悉抛物线的定义和标准方程就可以轻松解答这类问题，下面我们将研究抛物线的实际应用问题。

三、抛物线的应用

学习数学是为了更好地解决实际中的问题，而在实际的生活中，经常可以看到各类数学模型，我们可以将所学的知识代入，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，使问题简单化。

例7：如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-4）2+h。已知球网与O点的水平距离为6m，高度为2m，球场的边界距O点的水平距离为12m。

（1）当h=3时，求y与x的关系式。

（2）当h=3时，球能否越过球网？如果球能越过球网，球会不会出界？

解：（1）因为A点在抛物线上，所以将A点坐标（0，2）代入方程，得16a+h=2。因为h=3，所以a= =- ，

y=- （x-4）2+3。

（2）当h=3 x=6时，y=- （x-4）2+3 y=- （6-4）2+3=2.752，所以此时球能越过球网。

当h=3 x=12时，y=- （12-4）2+5=10，所以球会出界。

本题是抛物线知识的延伸，我们应把实际的排球发球问题建立出数学模型，使其转化为抛物线问题，通过代入数据计算抛物线的顶点和与x轴的交点坐标，从而判断出球是否会越过球网和出界。

在实际生活中经常会遇到抛物线问题，如拱桥的形状、投篮时篮球的运动轨迹等，所以学生应学好抛物线，将数学和生活实际结合到一起，以解决更多的实际问题。

总之，本文将常见的抛物线问题一一列举出，并提出了相应的解题方法，在遇到有关抛物线的实际问题时，我们应善于建立抛物线的数学模型，将各种已知条件代入，以便学生思考和计算。

篇2

一、充分重视信息的反馈

根据学生的知识基础、能力水平等实际情况，我将教学目标分为三个层次：

识记：记住抛物线的定义和有关概念。

理解：理解抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程及其性质；能区分抛物线与椭圆、双曲线之间的联系与区别。

简单应用：（1）能够深刻理解抛物线的定义以及有关概念，掌握抛物线的四种标准；（2）能根据抛物线的标准方程确定其图像的位置，并懂得根据抛物线的方程用“五点法”画出图像；（3）初步懂得应用所学的知识解决实际问题。

通过学生课堂听讲、回答问题、课堂练习、形成性检测等学习活动中反馈的信息，了解学生学习的情况。具体情况如下：

1、仅有个别学生达到“简单应用”的学习目标。他们基本上掌握抛物线的定义、各种标准方程激起性质，能区分抛物线与椭圆、双曲线之间的联系与区别，并能灵活地运用所学的知识解决实际问题。

2、只有一半左右的学生达到“理解”层次的学习目标，存在的问题主要表现在：

（1）能记住抛物线的定义，理解抛物线各种标准方程及其性质，但理解不够深刻；

（2）不能灵活地运用所学的知识解决实际问题。

3、还有一部分学生仅达到“识记”层次的学习目标，存在的问题主要表现在以下几个方面；

（1）对抛物线的定义理解不够深刻；

（2）对抛物线四种标准方程所对应的图形、焦点、准线混淆，不能正确写出焦点坐标、标准方程和大体上对方程的曲线做出估计。

从反馈的信息来看，各个层次学习目标达标的学生比例尚未达到预期的目的，学生的学习效果育教学目标之间存在着一些偏差。

二、利用信息的反馈进行教学诊断

根据教学反馈的信息，我对学生产生学习困难的原因进行分析，主要有以下几个方面：

1、存在学习的自卑感，缺少完成任务的自信心，在学习上态度不认真。

2、基础知识不扎实，如对前面学习的椭圆、双曲线的定义和有关概念理解得不够深刻，特别是没有掌握其标准方程的指导方法，影响到对抛物线标准方程的理解。

3、不明确教师提出的学习任务与要求，学习方法不对头。

三、根据信息反馈因材施教

针对目标教学过程中存在的问题，我采取了一系列教学措施。具体的做法如下：

1、树立信心、明确方向

利用课堂教学信息的反馈，不但教师可以了解自己本节课教得情况，同时注意有针对性地对学生的学习效果进行有效的评价，并指出存在的问题，让学生了解自己学习的效果，明确进一步学习的方向。这样师生都能对下一节课以及今后的学习有了目标，同时也鼓励学生树立起学习新知识的信心，牢牢掌握住基本公式。如：面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点。定直线l叫做抛物线的准线。

抛物线的离心率y2=2px

基本点：顶点，焦点

基本线：准线，对称轴

基本量：P(决定抛物线开口大小)

2、因势利导、巩固提高

对于已达到“简单应用”目标的学生，着重阴道他们区分抛物线与椭圆、双曲线三者之间的定义、图形及几何性质的联系与区别，并配合一些灵活、综合的题目进行练习。如：在抛物线y=1/4x²的上侧，求与抛物线相切于原点的最大圆。这样，可以巩固他们所学的知识，提高他们的解题技巧和综合解题的能力。

对达到“理解”学习目标的学生，要求他们进一步掌握抛物线的基本概念、图形以及几何性质，并有目的地安排一些题目进行练习，加深理解，达到熟练地运用标准的技能技巧。如，从抛物线标准方程中的y、x的取值符号，判断曲线图像所在的象限，以加深学生对标准方程的理解和掌握。

例：已知抛物线的对称轴是x=1，抛物线与y轴交于点（0，3），与x轴两交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。

分析设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c。若按常规解法，则需要解关于a、b、c的三元一次方程组，变形过程比较繁杂；若巧用抛物线的对称性，解法就简捷了。因为抛物线的对称轴为x=1，与x轴两交点间的距离为4，由抛物线的对称性可知，它与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点。于是可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）。又因为抛物线与y轴交于点（0，3），所以3=-3a。故a=-1。y=-（x+1）（x-3），即y=-x2+2x+3。

3、矫正补救、掌握目标

对尚未达到“识记”目标的学生，我通过补充一些基本题引导他们学习，并加以个别辅导，使他们基本上理解抛物线的定义、图形以及几何性质。

例如：抛物线的标准方程：1、右开口抛物线:y^2=2px；2、左开口抛物线:y^2=-2px；3、上开口抛物线:y=x^2/2p；4、下开口抛物线:y=-x^2/2p。

篇3

1．　考纲解读：

（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素（两个点、一点和方向）．

（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．

（3）根据斜率判定两条直线平行或垂直，根据两条直线平行或垂直的位置关系求直线方程中参数的值．

（4）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）的特点和适用范围；根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；体会斜截式与一次函数的关系．

（5）了解二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．

（6）探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式；会求两条平行直线间的距离．

2．　考场对接：

通过2012年的考点统计可以看出，在高考题中，本节内容主要以选择题、填空题为主要题型，考查两直线的位置关系，属于基础题，难度不大．对直线与方程的考查，还渗透在平面解析几何的解答题中，与其他知识（圆与圆锥曲线）结合出题．

3．　经典例题：

（2012浙江）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（ ）

A．　充分不必要条件

B．　必要不充分条件

C．　充分必要条件

D．　既不充分也不必要条件

失分警示 本题属于基础题，解题时注意判断充分必要条件的步骤，即先验证充分性，再验证必要性，最后综合起来下结论．　在表述的时候要弄清顺序关系，以防发生概念错误．

方法突破 在研究充分和必要条件时，可先求一者的等价条件，再和另一者作比较．

完美答案 当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0显然平行；若直线l1与直线l2平行，则有■=■，解得a＝1或a＝-2．　故选A．

4．　命题趋势：

直线的方程、两直线的位置关系、距离问题一直是高考考查的热点问题，单纯考查直线的知识一般在选择题、填空题中出现；直线和其他知识的交汇问题一般出现在解答题中，有一定的难度．

1．　考纲解读：

（1）回顾确定圆的几何要素（圆心、半径，不在同一直线上的三个点等），在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；根据问题的条件，选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的一般方程和标准方程之间的关系，会进行互化．

（2）根据给定直线和圆的方程，判断直线与圆的位置关系（相交、相切、相离）；根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）．

（3）用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

（4）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“数”与“形”的对立和统一；初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用．

（5）通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；掌握空间两点间的距离公式及其应用．

2．　考场对接：

圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的重点，在2012年高考试题中，主要在选择题、填空题中考查直线与圆、圆与圆的位置关系，尤其是含参数的问题，考题基本上属于中低档难度的题．

3．　经典例题：

（2012天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y－2=0与圆（x－1）2+（y－1）2=1相切，则m+n的取值范围为（ ）

失分警示 本题属于中档题，考查直线与圆的位置关系，不等式的性质.　注意不要忽略了m，n∈R这个条件，在运用基本不等式时注意其成立的条件，求取值范围时注意不要扩大或缩小范围．

方法突破 由直线与圆相切的条件可以得到一个关于m，n的等式，观察等式的性质，利用基本不等式的形式消除差异，化为关于m+n的不等式，解出其取值范围即可．

完美答案 因为直线（m+1）x+（n+1）y－2=0与圆（x－1）2+（y－1）2=1相切，所以■=1，化简得mn=m+n+1.　又当m，n∈R有不等式mn≤■■成立，所以mn=m+n+1≤■，即（m+n）2－4（m+n）－4≥0，解得m+n≤2－2■或m+n≥2+2■.　故选D．

■ （2012江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2－8x+15=0，若直线y=kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_________．

失分警示 本题属于中档偏难题，解答本题时不要被题中的表面意思所迷惑，要透过现象看本质，认真审清题意，将题意中的关系进行合理的转化．

方法突破 数形结合理解题意，将两圆的位置关系化为圆C的圆心到直线y=kx－2的距离的取值范围问题去处理．

完美答案 圆C的方程可化为（x－4）2+y2=1，若直线y=kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则圆C上的点到直线上的点的距离的最小值小于或等于1，则圆心C（4，0）到直线y=kx－2的距离小于等或等于2.　所以■≤2，解得0≤k≤■，故k的最大值是■．

4．　命题趋势：

预计2013年高考仍将在选择题、填空题中考查圆方程的求解，直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，特别是含参数的位置关系问题仍将是考查的重点和热点．　而在解答题中，则有可能考查以圆为背景的综合试题，特别是圆与圆锥曲线的整合问题．

1．　考纲解读：

（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．

（2）掌握椭圆的定义和几何图形及标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．

2．　考场对接：

纵观2012年高考数学试题可以看出，选择题、填空题主要考查椭圆的定义、标准方程和几何性质的理解与应用，椭圆的离心率等相关知识，难度中等；解答题主要考查椭圆的标准方程、几何性质的应用，特别地，直线与椭圆的位置关系问题是考查的热点问题，且有一定的难度．

3．　经典例题：

失分警示 结合图形，审清题意，注意三角形哪个角是底角，细心运算，避免发生运算失误．

方法突破 求解圆锥曲线的离心率（或其范围）的关键是根据已知条件寻求一个关于a，b，c的等式（或不等）关系，再结合a，b，c的固有关系消去b，最后得到a，c的等式（或不等）关系，从而求得离心率（或其范围）．

4．　命题趋势：

椭圆是命题的热点内容，预计2013年的高考仍将在选择题、填空题中考查椭圆的标准方程、离心率的求解等知识，难度中等；将在解答题中重点考查直线与椭圆的位置关系问题，可能还会出现一些创新题型，如新定义题型、探索性问题、定点定值问题等，此类问题难度较大．同时，会加强椭圆与圆，椭圆与双曲线，椭圆与抛物线等知识的交汇问题的考查力度．

1．　考纲解读：

了解双曲线的定义、图形和标准方程，会求双曲线的标准方程；会用双曲线的标准方程处理一些简单的实际问题；了解双曲线的简单几何性质．

2．　考场对接：

分析2012年高考试题可以看出，双曲线的考题基本上以选择题、填空题为主，主要考查双曲线的定义、方程和简单几何性质的应用，且出现了双曲线和圆、椭圆、抛物线等的整合问题，总体难度中等．

3．　经典例题：

（2012浙江）如图1，F1，F2分别是双曲线C：■－■=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．　若MF2＝F1F2，则C的离心率是（ ）

失分警示 本题的解题思路并不难得出，但运算量较大，在认真审题的前提下避免发生运算错误，同时注意双曲线的离心率的取值范围，谨防增根．

方法突破 本题考查双曲线的几何性质的应用，离心率的求解，突破的关键是正确求出P，Q两点的坐标（用a，b，c表示），再求出PQ的垂直平分线的方程，进而用a，b，c表示出M的坐标，由MF2＝F1F2列出等式，最终化为a，c的关系．

4．　命题趋势：

预计2013年高考仍将在选择题、填空题中考查双曲线的标准方程的求法、定义和几何性质的应用，其中离心率的求解和渐近线问题是考查的热点．　此外，仍会加强将双曲线和其他知识（如圆、椭圆、抛物线）进行交汇出题，题目难度中等偏低．

1．　考纲解读：

（1）掌握抛物线的定义、图形和标准方程，会求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单性质，会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．

（2）了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；了解求曲线方程的一般步骤，能求一些简单曲线的方程；掌握求直线和圆锥曲线的交点坐标的方法；进一步体会数形结合思想．

2．　考场对接：

透过2012年高考数学试题可以看出，抛物线是考查的热点问题，考题既在选择题、填空题中出现，也在解答题中出现．选择题、填空题重点考查抛物线的标准方程的求法，抛物线的定义和性质的应用，以及抛物线在实际问题中的应用，同时还出现了抛物线与双曲线的交汇问题，难度中等．　解答题重点考查直线与抛物线的位置关系，抛物线与其他知识（如圆、不等式等）的整合问题，且出现了探索性问题，难度较大．而曲线与方程的考查则渗透在以上各大知识板块之中．

3．　经典例题：

（2012安徽）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若AF=3，则AOB的面积为（ ）

失分警示 本题属于中档题，有一定的思维量，认真审题，找准关系，运算准确，避免发生思维受阻和运算错误．

方法突破 显然AB是抛物线的焦点弦，且已知AF=3，若结合抛物线的定义，则可以求点A的坐标，从而直线AB的方程便可以得到解决，具体见如下的解法一．　本题也可以设角度（见如下的解法二），通过三角关系来表示线段的长度，从而求出三角形的两边及其夹角的正弦值，再求面积．

（1）求抛物线C的方程；

（2）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点M的横坐标为■，直线l：y=kx+■与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当■≤k≤2时，AB2+DE2的最小值．

失分警示 本题难度较大，综合性强，涉及的知识点多，属于直线、圆和抛物线的综合问题，解答时要注意数形结合思想的使用，审清题意.　解答第（1）小题难度不算大，但第（2）小题是一个探索性问题，有较大的运算量，需要扎实的运算功底，第（3）小题将直线、圆和圆锥曲线综合起来，难度较大，需要较强的分析问题和解决问题的能力．

方法突破 第（1）小题结合抛物线的定义以及圆的相关性质可以列出一个关于p的方程，求解即可；第（2）小题可先假设存在点M，利用抛物线的切线斜率和直线MQ的斜率相等列等式求解；第（3）小题的解题目标是将AB2+DE2表示为关于k的函数，从而化为求函数的最值问题去处理，但求两线段的长度需要用到直线与圆锥曲线相交弦长公式AB=■，以及直线与圆的相交弦长公式DE=2■等．

完美答案 （1）x2=2y．

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关键词：二次函数；一元二次方程；数学思想方法

二元一次方程是初中阶段最重要的一个代数知识，对二次函数与一元二次的教学，许多教师都感到难以把握，综合其原因主要有如下两点：一是本节教学内容牵扯到了的知识点较多，有相当数量的学生对旧的知识点掌握本身就不是特别牢固，教师对教学的深浅度不太容易把握；二是本节运用了各种教学方法，有函数、方法、类比、分类讨论、数形结合思想等，这都是初中数学中对学生所要培养的重要思想。可以说本节内容是初中代数各种知识与思想的集中展现，是初中代数内容的一个总结。

“用函数观点看一元二次方程”，是代数与几何知识有机结合的一个亮点，是初中、高中知识的一个衔接点，是初中数学的重要内容，是初中学业水平考试重点考察的内容之一，因此，全面掌握二次函数的基础知识和基本技能，并能分析和解决有关二次函数的综合问题，合理利用他们之间代数关系是学生必备知识。

一、二次函数与一元二次方程的联系

方程和函数有着不可分割的联系，用函数观点看一元二次方程要把握好以下两点：1、用函数的思想看方程；即函数值y=0（即图像上的点在x轴上），函数即转化为一元二次方程方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标。2、用方程的思想看函数；即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，这两点间的距离AB=|x1-x2|，另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）-A|（A为其中一点的横坐标；当b2-4ac=0，图像与轴只有一个交点；当b2-4ac0时，图像落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a

二、还需要掌握用待定系数法求二次函数的解析式

（一）当题给条件为已知图像经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0）。

（二）当题给条件为已知图像的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a（x-h）2+k。

（三）当题给条件为已知图像与轴的两个交点坐标时，可设解析式：y=a（x-x1）（x-x2） （a≠0）

二次函数知识很容易与其他知识综合应用，形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是初中学业水平考试的热点考题，往往以压轴题的形式出现。

三、二次函数与一元二次方程的综合解题

初中代数中的二次函数与一元二次方程的关系十分密切。我们在教学学习时，以熟练地蒋这两部份知识相互转化。二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0从形式上看十分相似，但两者之间既有联系又有区别。当抛物线的y的值为0时，就得到一元二次方程。抛物线与x轴是否有交点就取决于一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况。

例1、求抛物线y=x2+6x+9与x轴的两个交点。

【分析】令y=0，根据y=x2+6x+9的根来确定抛物线与x轴的交点的横坐标。

解：令y=0，则x2+6x+9=0的解方程得：x1=3，x2=-3

抛物线y=x2+6x+9与x轴的两个交点坐标为：（3，0）（-3，0）

例2、已知二次函数

（1）y=x2+2x+k-1若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围。

（2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的取值。

【分析】此题的关键是利用二次函数与一元二次方程的关系来解，当抛物线与轴有两个不同的交点，可利用b2-4ac>0来确定k的取值范围。当抛物线的顶点在x轴上，说明抛物线与x轴只有一个交点，可利用b2-4ac=0来确定k的取值。解： x2+2x+k-1=0

（1）=22-4（k-1）=4-4 k+4=8-4 k>0

当k

（2）=8-4 k=0 当k=2时，抛物线的顶点在x轴上。

例3、已知函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+2=0的根的情况（ ）

A、无实数根 B、 有两个相等的实数根C、 有两个异号实数根 D、有两个同号不等实数根

【解析】因为ax2+bx+c+2=0

所以 ax2+bx+c=-2，设y1=ax2+bx+c， y2=-2，因为 y1=ax2+bx+c，的图像如图2，-30 且 x1≠x2

所以方程ax2+bx+2=0有两个同号不等的实数根。选D。

评析：本题解题的关键是通过把方程ax2+bx+2=0与抛物线y1=ax2+bx+c比较后，把已知方程转化为两个函数值相等的形式，再利用这两个函数图像的交点的横坐标就是这个方程的解的关系，来判别方程两实数根的情况。

总之，教学和学习这节内容，要充分运用以下两种思想方法：一是函数与方程的思想，用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图像和性质等更高层次的提练和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出带有观念的指导方法；二是数形结合思想，在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化、几何问题可以代数化，“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。在学生理解二次函与一元二次方程的联系的基础上，能够运用二次函数及其图像、性质去解决现实生活中一些问题。进一步培养学生综合解题的能力，在整个这个章节学习过程中始终渗透数形结合的思想，更体现了学数学的重要意义。是教学难点，相信通过教师采取积极的教学策略，定会取得满意的教学效果。

参考文献：

[1]数学教师用书九年级（人民教育出版社）.

[2]数学课程标准（人民教育出版社）.

篇5

1.平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，-1)，C(2，-3)两点，点D在直线3x-y+1=0上移动，则点B的轨迹方程为()

A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0

C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0

答案：A　解题思路：设AC的中点为O，即.设B(x，y)关于点O的对称点为(x0，y0)，即D(x0，y0)，则由3x0-y0+1=0，得3x-y-20=0.

2.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为()

A.1 B.2

C. -2D.3

答案：C　解题思路：当该点是过圆心向直线引的垂线的交点时，切线长最小.因圆心(3,0)到直线的距离为d==2，所以切线长的最小值是l==.

3.直线y=x+b与曲线x=有且只有一个交点，则b的取值范围是()

A.{b||b|=}

B.{b|-1

C.{b|-1≤b2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2，且f(μ)0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是双曲线渐近线上的一点，AF2F1F2，原点O到直线AF1的距离为|OF1|，则渐近线的斜率为()

A.或- B.或-

C.1或-1 D.或-

答案：D　命题立意：本题考查了双曲线的几何性质的探究，体现了解析几何的数学思想方法的巧妙应用，难度中等.

解题思路：如图如示，不妨设点A是第一象限内双曲线渐近线y=x上的一点，由AF2F1F2，可得点A的坐标为，又由OBAF1且|OB|=|OF1|，即得sin OF1B=，则tan OF1B=，即可得=， =，得=，由此可得该双曲线渐近线的斜率为或-，故应选D.

4.设F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，与直线y=b相切的F2交椭圆于点E，E恰好是直线EF1与F2的切点，则椭圆的离心率为()

A. B.

C. D.

答案：C　解题思路：由题意可得，EF1F2为直角三角形，且F1EF2=90°，

|F1F2|=2c，|EF2|=b，

由椭圆的定义知|EF1|=2a-b，

又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2，

即(2a-b)2+b2=(2c)2，整理得b=a，

所以e2===，故e=，故选C.5.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为()

A. B.2 C.4 D.8

答案：C　解题思路：由题意得，设等轴双曲线的方程为-=1，又抛物线y2=16x的准线方程为x=-4，代入双曲线的方程得y2=16-a2y=±，所以2=4，解得a=2，所以双曲线的实轴长为2a=4，故选C.

6.抛物线y2=-12x的准线与双曲线-=1的两条渐近线围成的三角形的面积等于()

A. B.3 C. D.3

答案：B　命题立意：本题主要考查抛物线与双曲线的性质等基础知识，意在考查考生的运算能力.

解题思路：依题意得，抛物线y2=-12x的准线方程是x=3，双曲线-=1的渐近线方程是y=±x，直线x=3与直线y=±x的交点坐标是(3，±)，因此所求的三角形的面积等于×2×3=3，故选B.

7.若双曲线-=1与椭圆+=1(m>b>0)的离心率之积大于1，则以a，b，m为边长的三角形一定是()

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.锐角三角形 D.钝角三角形

答案：D　解题思路：双曲线的离心率为e1=，椭圆的离心率e2=，由题意可知e1·e2>1，即b2(m2-a2-b2)>0，所以m2-a2-b2>0，即m2>a2+b2，由余弦定理可知三角形为钝角三角形，故选D.

8. F1，F2分别是双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点.若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为()

A.2 B. C. D.

答案：B　命题立意：本题主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何性质以及基本量的计算等基础知识，考查了考生的推理论证能力以及运算求解能力.

解题思路：如图，由双曲线定义得，|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a，因为ABF2是正三角形，所以|BF2|=|AF2|=|AB|，因此|AF1|=2a，|AF2|=4a，且F1AF2=120°，在F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2，所以e=，故选B.

9.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()

A.2 B.3

C. D.

答案：A　解题思路：设抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离分别为d1，d2，根据抛物线的定义可知直线l2：x=-1恰为抛物线的准线，抛物线的焦点为F(1,0)，则d2=|PF|，由数形结合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值时，即为点F到l1的距离，利用点到直线的距离公式得最小值为=2，故选A.

10.已知双曲线-=1(a>0，b>0)，A，B是双曲线的两个顶点，P是双曲线上的一点，且与点B在双曲线的同一支上，P关于y轴的对称点是Q.若直线AP，BQ的斜率分别是k1，k2，且k1·k2=-，则双曲线的离心率是()

A. B. C. D.

答案：C　命题立意：本题考查双曲线方程及其离心率的求解，考查化简及变形能力，难度中等.

解题思路：设A(0，-a)，B(0，a)，P(x1，y1)，Q(-x1，y1)，故k1k2=×=，由于点P在双曲线上，故有-=1，即x=b2=，故k1k2==-=-，故有e===，故选C.

二、填空题

11.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则(1)y1y2=________;(2)三角形ABF面积的最小值是________.

答案：(1)-8　(2)2　命题立意：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，难度中等.

解题思路：设直线AB的方程为x-2=m(y-0)，即x=my+2，联立得y2-4my-8=0.(1)由根与系数的关系知y1y2=-8.(2)三角形ABF的面积为S=|FP||y1-y2|=×1×=≥2.

知识拓展：将ABF分割后进行求解，能有效减少计算量.

12. B1，B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是________.

答案：　命题立意：本题考查椭圆的基本性质及等比中项的性质，难度中等.

解题思路：设椭圆方程为+=1(a>b>0)，令x=-c，得y2=， |PF1|=. ==，又由|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|，得a2=2bc. a4=4b2(a2-b2)， (a2-2b2)2=0， a2=2b2， =.

13.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若=，则p=________.

答案：2　解题思路：过B作BE垂直于准线l于E，

=， M为AB的中点，

|BM|=|AB|，又斜率为，

BAE=30°， |BE|=|AB|，

|BM|=|BE|， M为抛物线的焦点，

p=2.

14.

篇6

摘要：针对目前三次抛物线形断面渠道收缩水深计算存在的表达式复杂、计算过程繁复问题,经对收缩水深基本计算方程的变形整理,采用优化拟合的方法,以标准剩余差最小为目标函数,通过对三次抛物线形断面渠道收缩水深计算公式的逐次拟合逼近,得到了表达形式比较简单、便于记忆、计算快捷、有利于工程设计人员实际应用的近似计算公式。误差分析表明,在工程实用参数范围内,收缩水深最大计算相对误差仅为046%,可在实际工程设计计算中应用。

关键词：三次抛物线形渠道；收缩水深；优化拟合；近似计算

中图分类号：TV133 文献标识码：A 文章编号：1672-1683（2012）01-0136-03

Simplified Formula for Calculating Contracted Water Depth of

Channel with Cubical-Parabola Cross Section

XIE Cheng-yu1,TENG Kai2

(1.Water Conservancy,Engineering,Construction,Supervision,Co.Ltd.,Harbin 150000，China；

2.Qiqihar Municipal Water Affairs Bureau Qiqihar 161006,China）

Abstract:The current formula to calculate the contracted water depth of the channels with the cubical-parabola cross section is complex.This paper introduces the optimal fitting method to deform the basic equation for calculating the contracted water depth.The new method is based on the objective function of the minimum residual standard deviation,and it uses the successive approximation approach to generate an approximate formula to calculate the contracted water depth of the channels with the cubical-parabola cross section,which has a simplified form of expression and is easy to remember,quick for calculation,and convenient for the engineering pared the results from the new method with those from the original equation,the maximum error of the calculated contracted water depth is about 0.46%,which suggests that the new method is applicable for the practical engineering calculations.

Key words:cubical-parabola channels;contracted water depth;optimal fitting;approximation

由于抛物线形断面具有良好的水流条件及力学性能,因此在城市供排水及水利水电工程中,工程设计部门常根据输水流量及地质条件,将渠道断面设计为半立方抛物线、二次抛物线或三次抛物线形式之一,因此相关抛物线形式的水力计算问题也逐渐引起了有关学者的重视［1-5］,其中关于半立方抛物线及二次抛物线形渠道断面收缩水深的计算已有相关研究成果［6-9］,而三次抛物线形断面渠道收缩水深的计算研究则相对较少。文献［10］针对三次抛物线形渠道断面收缩水深计算涉及高次方程的求解问题,弃用常规的计算过程繁复且成果精度不高的试算法及图解法,从三次抛物线形断面渠道收缩水深的基本方程入手,通过对初始迭代值的优化拟合,获得了可直接完成求解的近似计算公式,具有一定的实际意义。但因该公式需分别完成中间参数及初值计算,求解过程仍显繁琐。为了进一步简化三次抛物线形断面收缩水深的计算过程,本文采用优化拟合的方法,以标准剩余差最小为目标函数,获得了一种表达式较为简捷、计算精度较高的近似公式。

1 收缩水深的基本计算公式

收缩水深的基本方程为［11］：

E0= hc+Q22gφ2A2c （1）

式中：E0-以收缩断面底部为基准面的过水建筑物上游总水头(m)；hc-收缩断面处的水深(m)；Q-过水流量(m3/s)；g-重力加速度(m/s2)；φ-流速系数；Ac-三次抛物线形断面面积(m2)。

三次抛物线形断面的曲线方程为：

y=+ax3 x≥0-ax3 x

其过水断面面积为

Ac=32•3a h4/3c（3）

设： α=hcEo （4）

将式（3）、式（4）代人式（1）,并设

k= E0 3φ2gE02Q•3a 075 （5）

经整理即可获得计算三次抛物线形断面收缩水深的计算公式为：

k=1α(1-α)0375 （6）

2 近似计算公式的建立及精度分析

2.1 公式建立

式（6）为高次函数的超越方程,无法直接获解。为避免利用式（6）的超越方程求解问题,现通过以下方法寻求其替代函数。

① 根据式（6）函数,展绘关系曲线。

② 经对α-k关系曲线的线形分析,初步拟定以下函数为备选替代函数。

α=Akx+Bk+C （7）

α=1Akx+B （8）

α= 1Akx+B+C （9）

α=1Akx+Bβ （10）

式中：A、B、C、x、β分别为待定系数及指数。

③ 在工程实用范围内［10］（即001≤α≤05）,采用优化拟合的方法,以标准剩余差最小为目标函数［12］即

S=min∑ni=1(α-α′)2/(n-1)

经对式（7）至式（10）逐次逼近拟合［13］可知,式（10）的标准剩余差S最小,其替代函数式为

α=1(0974 k1542-131)065

或 hc= E0(0974 k1542-131)065 （11）

2.2 精度分析及比较

为比较式（11）与式（6）的拟合精度,考虑在工程实用范围内（即,001≤α≤05,259≤k≤10038）,取不同的αi值即可由式（6）分别计算出与之相对应的ki,再将ki代入式（11）求得与之相对应的α′i,并由式(12)完成式（11）替代式（6）的拟合相对误差,结果见表1。

εi=｜αi-α′i｜αi×

100%

由表1可见,在工程实用范围内,用式（11）替代式（6）的最大拟合相对误差ε

通过对公式形式比较可见,本文公式较文献［5］公式更加简单,计算过程也更加简捷。具体比较结果见表2。

3 应用举例

选文献［5］计算实例：已知闸前断面总水头E0=15 m,通过流量Q =162 m3/s,流速系数φ=095,若采用三次抛物线形断面渠道,其断面曲线方程为

y=+02x3 x≥0-02x3 x

求闸后断面收缩水深hc。

将已知参数代人式（5）可求得

k=E03φ2gE02Q•3a075=5430 6

将k=5430 6代人式（11）即可求得

hc=E00974k1542-131065=300 m

本例收缩水深的精确解为hc=300 m,本文公式计算成果的相对误差为0。

4 结语

本文通过优化拟合的方法完成了对三次抛物线形渠道断面收缩水深计算公式的拟合,获得了表达形式简单、求解精度较高的计算公式,经误差分析及实例计算表明,在工程实用范围内,本文公式的最大相对误差为046%,完全满足工程的实际要求。

参考文献（References）：

［1］ 魏文礼，杨国丽.立方抛物线渠道水力最优断面的计算［J］.武汉大学学报（工学版），2006，(3):49-51.（WEI Wen-li，YANG Guo-li.The Calculation of Optimal Hydraulic Cross Section in Cubic Parabola-Shape Open Channel ［J］.Journal of Wuhan University( Engineering and Technology Edition)，2006，(3):49-51.(in Chinese)）

［2］ 张志昌，刘亚菲，刘松舰.抛物线形渠道水力最优断面的计算［J］.西安理工大学学报，2002,18（3）：235-237.(ZHANG Zhi-chang，LIU Ya-fei，LIU Song-jian.The Calculation of Optimal Hydraulic Cross Section in Parabola Shape Canal ［J］.Journal of Xi'an University，2002,18(3):235-237.(in Chinese)）

［3］ 明万才，黄开路，张晓莲.立方抛物线形断面明渠水力计算探讨［J］.水利科技与经济，2002,8（2）：74.(MING Wan-cai，HUANG kai-lu，ZHANG Xiao-lian.On Hydraulic Calculation of the Cross Section in Cubic Parabola Shape Open Channel ［J］.Water Science and Technology and the Economy，2002,8 (2):74.(in Chinese)）

［4］ 文辉，李凤玲.立方抛物线形渠道水力计算的显式计算式［J］.人民黄河，2010，（1）：75-76.(WEN hui，LI Feng-ling.Cubic Parabola Shape Canal Hydraulic Calculation of Explicit Formulas ［J］.Yellow River，2010，(1):75-76.(in Chinese)）

［5］ 赵延风，王中正，方兴,等.半立方抛物线形渠道正常水深算法［J］.排灌机械工程学报，2011，（3）：241-245.(ZHAO Yan-feng，WANG Zheng-zhong，FANG xing,et al.Semi Cubic Parabola-shape Canal Normal Water Depth Algorithm ［J］.Journal of Drainage and Irrigation Machinery Engineering，2011,2 (3):241-245.(in Chinese)）

［6］ 文辉，李风玲.立方抛物线断面渠道收缩水深的直接计算方法［J］.人民长江，2009,40（13）：58-59.(WEN hui，LI Feng-ling.Cubic Parabola Direct Calculation Method of Water Depth in the Channel Shrinkage of Area ［J］.Yangtze River，2009,40 (13):58-59.(in Chinese)）

［7］ 文辉，李风玲.抛物线形断面渠道收缩水深的解析解［J］.长江科学院院报，2009,26（9）：32-33.(WEN hui，LI Feng-ling.Analytical Solution of Water Depth in Parabolic-Shaped Channel with Contracted Section［J］.Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2009,26(9):32-33.(in Chinese)）

［8］ 芦琴，王正中，任武刚.抛物线形渠道收缩水深简捷计算公式［J］.干旱地区农业研究，2007,25（2）：134-136.(LU Qin，WANG Zheng-zhong，REN Wu-gang.Parabola-Shape Canal Narrowing Depth Simplified Calculation Formula ［J］.Agricultural Research in Dry Areas，2007,25 (2):134-136.(in Chinese)）

［9］ 赵延风，宋松柏，孟秦倩.抛物线形断面渠道收缩水深的直接计算方法［J］.水利水电技术，2008,39（3）：36-37.( ZHAO Yan-feng,SONG Song- bai，Meng Qin-qian.Parabola-Shaped Ross-Section Channels，the Direct Calculation of Contraction Depth ［J］.Water Resources and Hydropower Technology，2008,39(3):36-37.(in Chinese)）

［10］ 冷畅俭，王正中.三次抛物线形渠道断面收缩水深的计算公式［J］.长江科学院院报，2011,28（4）：29-31,35.(LENG Chang-jian，WANG Zheng-zhong.Formula for Calculating Contracted Water Depth of Channel with Cubic Parabola Cross Section ［J］.Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2011,28(4):29-31.35.(in Chinese)）

［11］ 清华大学.水力学（修订本）上册［M］.北京：清华大学出版社，1990.(Tsinghua University.Hydraulics (as amended)［M］.Beijing:Tsinghua University Press，1990.(in Chinese)）

篇7

【关键词】微课程；课改；高效课堂

近年来，微博、微信、微商、微电影、微运动、微公益等各类“微文化”无处不在，微型碎片化信息极速地传递着，微型文化形式正成为一种新的潮流，为社会接受和认可，在不知不觉中改变了人们的生活方式。因此我们有理由相信：微课程教学是课改的必经之路，微课教学更有利于打造出高效课堂，微课程作为一种新兴教学方式将会实现真正意义上的教学改革，并且，在其它的文化表现和传播形式出现以前，它的作用和影响会越来越强。

新课程标准实施以来，我们一直在探索一条适合所有学生学习的教学方式，在教学改革的路上摸着石头过河，微课程教学的提出为我的教学打开了一扇门，微课程教学不仅意味着教与学的用时少了，更意味着将复杂问题简单化，简单内容趣味化，这种教育教学策略，更贴近社会和联系生活，更能有针对性地解决不同层次学生的问题，真正实现了“因材施教”和“因才施教”，更有利于促进学生的个性化发展。

下面从《抛物线及其标准方程》第一课时的教学谈谈我对微课程教学的理解：

一、微课程使教学内容更深、更广

传统的教学内容只是单纯的课本知识，采用了微课程教学手段后，可对教材进行加工，利用多媒体技术将过去静态的、二维的教材转变为由声音、文字、动画、图像构成的动态的、三维甚至四维教材，充分挖掘和利用课本中的显性和隐性教学资源。以前的教学设计就是基于课本知识的介绍和例题讲解，使用微课教学后，让学生的学习更有针对性，针对本节课我做了三个微课程：第一个是《为什么二次函数的图像是抛物线》，初中的时候老师讲过二次函数的图像是抛物线，但我们大多数同学并不知道为什么，通过这样一个微课可以将选修4-4中关于抛物线的参数方程介绍清楚，同时也解决了为什么我们把二次函数的图像叫做抛物线。第二个是《抛物线的形成》，借助几何画板展示：①抛物线的形成过程；②焦点到准线的距离对抛物线的影响。第三个是《抛物线标准方程的推导》，通过短短5分钟的介绍让学生从数的角度了解和掌握抛物线。微课程教学的运用，将教学内容从书本扩展到社会的方方面面。这样，丰富和扩展了书本知识，学生在规定的教学时间内可以学得更多、更快、更好。

二、微课程使学生学习更主动、更积极

微课程的教学设计中，学生由被动地接受知识，转变为主动地学习知识，可以充分使用现代化技术手段，如网上学习，微课程学习，合作交流等，利用各种学习资源，去主动建构知识。学生可以通过学习――操作――再学习――再操作，自我发现、自主学习、动手实践，逐步理解和掌握课程的重点与难点，本节课从一开始让学生思考二次函数的图像为什么叫抛物线到动手绘制抛物线，学生必须具备独立学习能力、创造能力、创新能力、自主学习能力、自我管理能力、协作能力等，学生将成为知识的探索者和学习过程中真正的认知主体。而在传统的教学设计中，学生只是充当忠实的听众的角色，很少或者没有发挥自己主动性的机会，学到的也只是课本内容，甚至在上完课后依然无法掌握技能，长此以往，学生便容易陷入这节课跟不上节奏，下节课更难跟得上节奏的恶性循环中，出现对这门课失去兴趣和信心的现象，而微课则不仅仅能在课堂教学上使用，还可以在线学习或移动学习，让学生随时能解决自己的问题，这就会大大增强学生学习掌握这门课程的信心，激发学生学习掌握这门课程的积极性。

三、微课程使教学成果更有效

微课程教学中，教师不能再把传递知识作为自己的主要任务和目的，而是要把精力放在教学生如何“学”的方法上，为建构学生的知识体系创设有利的情境，使学生“学会学习”。指导学生懂得“从哪里”和“怎么样”获取自己所需要的知识，掌握获得知识的工具和根据认识的需要处理信息的方法。微课是一种浓缩型课程，时间简短，知识点明确，可以为学生提供一种“自助餐”式的学习体验，另外，微课主题突出、内容具体。一个课程就一个主题，或者说一个课程一个事；研究的问题来源于教育教学具体实践中的具体问题。课本不再是唯一的知识源，教师可以将相关知识以“微问题”、“微故事”等的方式做成微课程以便学生学习，层层深入，顺势而下，详细剖析，从而引发学生更深层次的思考与研究，不断钻研其中的重点和难点，提高学生对这门课程基本知识和技能的认识高度。微课教学不仅意味着用时少了，更意味着将复杂问题简单化，简单内容趣味化，既方便学习又丰富了知识，使学生从真正意义上明白知R的来龙去脉。总之，微课就是用来支持学生的知识学习，从而满足学生的多样化、个性化、差异化的教学。

通过对于微课的学习和体验，我认为打造高效课堂的重要环节就在于微课的制作与设计，真正做到想学生所想，进而让微课程更贴近课堂，贴近学生。对于微课的制作与设计，我也有几点思考与实践：

第一，加大对信息技术手段的使用力度。互联网发展是大趋势，尤其是移动终端的快速崛起，网上学习、手机学习也将成为日后的主流学习方式，而微课正是适应了这种改革趋势，走在发展前沿。

第二，加强教研，集思广益，确立明确的微课题材，充分挖掘和使用教材，打造高效微课。

篇8

考点1：二次函数的对称轴

例1：(2007年北京市西城区)抛物线y=x2－2x＋1的对称轴是( ) .

A.直线x=1 B.直线x=-1

C.直线x=2 D.直线x=-2

另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x－h)2＋k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x－1)2，所以对称轴为x=1，应选A．

考点2：二次函数的顶点

例2：（2007年广西壮族自治区）已知二次函数y=x2－2x－1，求它的顶点坐标.

思路点拨：可先将函数y=x2－2x－1化成顶点式，再求出顶点坐标.

解：配方得y=x2－2x－1=（x－1）2－2，

由x－1＝0得x＝1，y=－2.

二次函数顶点坐标为（1，－2）.

考点3：二次函数的最值问题

例3：（2007年江西省）二次函数y=x2 －2x－3的最小值是.

思路点拨：先求出二次函数的顶点坐标，顶点坐标的纵坐标就是最小值.

解：配方得y=x2－2x－3=（x－1）2－4.

顶点坐标为（1，－4）.

该二次函数的最小值为－4.

2.如果二次函数在一个实际问题中求最大最小值，除了考虑顶点坐标外，还要考虑自变量的端点值.

考点4：二次函数的平移问题

例4：（2007甘肃省兰州市）已知y=2x2的图像是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，求在新坐标系下抛物线的解析式.

思路点拨：由于是平移，不改变二次函数的开口方向和大小，只改变顶点的位置.把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，则顶点的横、纵坐标就会比原来减少2个单位.

解：原抛物线的顶点坐标为（0，0），

新坐标下抛物线的顶点坐标为（－2，－2）.

新坐标系下抛物线的解析式为y=2（x＋2）2－2＝2x2＋8x＋6.

评注：1.二次函数平移，不改变二次函数的开口方向和大小即二次项系数a不变，只改变顶点的位置，所以先求原抛物线的顶点，再根据平移求新抛物线的顶点，利用顶点方程式写出新的抛物线的解析式.

2.对于本题的平移，也可看成坐标系不动，将抛物线分别沿着水平方向向左和垂直方向向下平移.

考点5：二次函数图像性质的综合

例5：

1.（2007年湖南省岳阳市）小明从如图1的二次函数y=ax2＋bx＋c图像中，观察得出了下面5条信息：①a＜0；②c＝0；③函数的最小值为－3；④当x0；⑤当0＜x1＜x2＜2时，y1 ＞2.你认为其中正确的个数为（）.

A.2个B.3个C.4个D.5个

答：C

解：由图像可知：抛物线开口向上，a＞0故①错；抛物线过原点，c＝0，故②对；抛物线开口向上，其顶点纵坐标为－3，故函数的最小值为－3，故③对；抛物线过原点，其顶点坐标为（2，－3），当x＜0时，y＞0，故④对；抛物线的对称轴为直线x＝2，且开口向上，当x＜2时，函数y随x的增大而减小，故⑤对.

2.（2007年浙江省）如图2，二次函数y=ax2＋bx＋c图像开口向上，图像过点（－1,2）和（1,0），且与y轴相交于负半轴.

第1问：给出4个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0，其中正确结论的序号为.

第2问：给出4个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c=1；④a＞1，其中正确结论的序号为.

考点6：二次函数与其他函数图像的综合

例6：（2007年呼和浩特市）如图3，函数y=ax2＋bx与y=ax＋b在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）.

解：在选项A中，二次函数y=ax2＋bx的a＞0，b＝0，而对于函数y=ax＋b来说，a＞0，b＞0，则这两个函数解析式中的b的取值不一样，故排除A.同样，在选项B中，二次函数y=ax2＋bx的a＞0，b＜0，而对于函数y=ax＋b来说，a＜0，b＜0，但是从图像上来看点（0，b）在y=ax2＋bx 的图像上，而将（0，b）代入y=ax2＋bx时，y＝0，而不等于b，故排除B.在选项D中，二次函数y=ax2 ＋bx的a＞0，b＞0，而对于函数y=ax＋b来说，a＜0，b＜0，则这两个函数解析式中的a、b的取值不一样，故排除D.

评注：（1）本题考查了确定两函数图像能否在同一坐标系内的能力，主要办法是根据图像采用逐一排除法.

（2）对于二次函数的图像与a、b、c有这样的关系，①a与开口方向有关，当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下；②b与a和对称轴与y轴的位置有关，当对称轴在y轴的左边时，a与b的符号相同，当对称轴在y轴的右边时a与b的符号相反；③c与二次函数与y轴交点的位置有关，当二次函数与y轴交点在y轴的正半轴上时，c＞0，当二次函数与y轴交点的在y轴的负半轴上时，c＜0.综合以上，可用以下语言概述：左同，右异；上正，下负.

考点7：求抛物线y=ax2＋bx＋c与坐标轴的交点

例7：（2007年天津市）已知抛物线y=4x2－11x－3，求它与x轴、y轴的交点坐标.

解：由x＝0得y＝－3，所以抛物线与y轴交点坐标为（0，－3）.

考点8：用待定系数法求二次函数的解析式

例8：（2007年北京市）已知抛物线y=ax2＋bx＋c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于点B（1，0）、C（5，0）两点，求此抛物线的解析式.

思路点拨：由于已知三点，所以本题可以采用一般式求抛物线的解析式.但考虑到已知与x轴交点，所以用交点式更简单.

解：设此抛物线为y=a(x－x1)(x－x2)．(a≠0)，则x1＝1，x2＝5．

所以y=a(x－1)(x－5).

点式.

（3）当题目条件为已知图像与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x－x1)(x－x2)，(a≠0).称为交点式．

考点9：关于求二次函数解式的开放问题

例9：(2007年北京市东城区)有一个二次函数的图像，3位学生分别说出了它的一些特点：

甲：对称轴是直线x=4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．

请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式．

解：设所求解析式为y=a(x－x1)(x－x2)，且设x1＜x2，则其图像与x轴两交点分别是A(x1，0)，B(x2，0)，与y轴交点坐标是(0，a x1x2).

抛物线对称轴是直线x=4，

x1＋x2＝8①

评注：（1）本题中，只要填出一个解析式即可.

（2）本题也可用猜测验证法.例如：猜测与x轴交点为A（5，0），B（3，0）.再由题设条件求出a，看C是否整数.若是，则猜测得以验证，填上即可.

篇9

中图分类号：G6文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2012)04 (a)-0000-00

正文：数学是学习物理、化学、计算机等学科以及参加社会生产、日常生活和进一步学习的必要基础，对形成良好的思想品质和辩证唯物主义世界观有积极作用。但是，数学学习一直被认为是枯燥乏味的；又因为数学的深度与难度，学生常常有听得懂但不会自己独立解题的困惑。究其原因是学生缺少自主探索和灵活应变的能力，变式教学法是通过构造一系列变式展示知识发生、发展过程，数学问题的结构和演变过程，解决问题的思维过程，创设暴露思维障碍情境的思维训练模式，能起到举一反三、触类旁通的效果。以下是我在变式教学中积累的一些经验，与大家共享。

1变式在概念教学中的应用

数学教学往往是从概念入手，概念教学不是要求学生一字不差地背诵，而是要求学生识记其内容，明确与它相关知识的内在联系，并且能灵活运用其解决相关的实际问题。所以数学概念的形成过程，其内涵、外延的揭示过程，比数学概念本身更重要。

1.1通过直观或具体的变式引入概念，创设良好的教学情境

数学来源于生活，通过日常生活中的直观材料组织已有的感性经验，使学生理解概念的具体含义。如在学习异面直线的概念时，引导学生利用自己身边的桌椅、笔等实物，尝试在桌椅中摆放出既不相交又不平行的两支笔，得到对异面直线的认识—既不平行又不相交，突出异面直线的概念——不同在任何一个平面内。

1.2通过概念辨析变式突出概念的本质属性。

在形成概念以后，教师运用变式从多个角度去阐述、深化概念，挖掘概念的内涵，有利于学生知识的巩固和迁移应用。引导学生抓住概念的各个要素对解析式、图像两方面问题进行概念辨析，加深对概念本质的理解和多维思考，促进学生认知结构的内化过程。

1.3通过反例变式突出概念的条件与结论

在条件比较复杂的概念中，学生往往容易顾此失彼，淡化辅助条件，导致错误结论。如双曲线的定义中，学生忽视定长小于两定点间距离的条件（即2a

2变式在例题教学中的应用

数学课本例题是训练学生的思维材料，例题的变式教学，是给学生一个独立的思考空间，不仅能加深基础知识的理解和掌握，更重要的是能开发学生智力，培养和提高学生的数学素质。

2.1利用一题多解培养学生思维的灵活性。通过解题过程的变式训练，引导学生用自由联想的方式，打破思维定势，从多个角度认识事物和解决问题，养成灵活的思维习惯。

2.2通过一题多变引导学生独立思考，变重复性学习为创造性学习，培养学生随机应变的能力，充分发挥自身的主观能动性，强化创新意识。

2.3通过学生的思考分析，逐步揭开问题的表象，理解问题的本质，培养学生思维的深刻性。

2.4利用逆向变式培养学生逆向思维能力

概念、定理、公式的学习强调引入、推理和深化，促成了学生思维习惯的正向性，而应用知识过程中很多时候依赖于逆向思维，所以在课堂教学中应加强逆向思维的训练。如在学生牢固掌握二项式定理的特征以后，我们可以设置问题：求 的值。在学生直接求解有困难的时候，提示学生联想二项展开式的特点，找出二项式中两项的值及幂指数的值，从而轻松求解。

当然，在采用变式教学时应注意一些问题：

（1）源于课本，高于课本。课本的题目都是专家精心设计和挑选的精品，我们没理由放弃它。在教学过程中我们要挖掘其精神实质进行一题多变，一题多用，一题多解和多题一解以提高学生灵活运用知识的能力。

（2）循序渐进，有的放矢。变式教学要做到循序渐进，有的放矢。例如，椭圆的标准方程中有这样一道习题：从圆 上任意一点P向x轴做垂线PQ,求线段PQ的中点的轨迹方程。

变式1:从圆 上任意一点P向y轴做垂线PQ,求线段PQ的中点的轨迹方程。

变式2:从圆 上任意一点P向坐标轴做垂线PQ,求线段PQ的中点的轨迹方程。

变式3:从椭圆 上任意一点P向y轴做垂线PQ,求线段PQ的中点的轨迹方程。

变式1是模仿，变式2，3让学生熟悉掌握代入法的特点及要求

（3）纵向联系，温故知新。纵向联系，温故知新是变式教学中紧密联系以前学知识，在新知中复习巩固老知识，以提高效率。例如：在抛物线的标准方程中有这样一题“斜率为1的直线过抛物线 的焦点，与抛物线有两个交点A,B,求线段AB的长。

变式1: 斜率为1的直线过抛物线 的焦点，与抛物线有两个交点A,B,以线段AB为直径的圆与抛物线准线的位置关系是怎样的。

通过变题的练习既复习了抛物线的定义又巩固了圆与直线的知识，也加深了对梯形中位线的理解，达到变式练习的目的。

（4）横向联系，开阔视野。学科与学科是互相联系的，变式教学注意到这点，就有利于培养学生的发散思维，提高他们解决实际问题的能力。例如可以用甲烷的分子结构图来对正四面体问题的变式。

3变式在巩固练习中的应用

课堂教学中的变式教学都是在老师的精心设计下，通过同学间的合作探讨，经过老师的循循善导来完成的，老师还可以根据学生掌握的实际情况及时调整教学，以达到预期的教学目标。而巩固练习更体现学生思考的独立性和自主性，我们应该更多的让学生获得成功的喜悦，保持良好的学习积极性。所以在设置变式练习时要注意以下几点：

（1）变式练习跨度要小，往往可以在一个题目中设置多个小题，由易入难，为学生的有效思考做好铺垫。

（2）每次作业中安排学生自己编制一个题目，定期安排学生编制试卷，真正让学生在动手过程中巩固知识、应用知识。

（3）重视学生变式练习中理解应用上的偏差，加强辅导，逐步提升学生的思维能力和解题能力。

数学课堂是展示数学知识发生、发展和应用的过程，在概念教学、例题教学、练习教学中都注入变式教学的思想，保证了每一堂数学课都能在“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律。数学课堂也就一定能在变式教学中实现提高学生学习兴趣，开拓学生学习思维，发掘学生学习潜力的目标。

参考文献

[1]都兴芳，刘平。探究式学习与学习策略. 中国教育学刊, 2005(8)：42-43

篇10

    很多人都认为学数学的目的就是做题、考试或者做研究,仅仅是为了将来要考大学做准备的,他们只看到了数学的理论性而没有看到数学的实际应用性.他们忽略了数学来自于生活,而最终也要应用于生活之中.不仅如此,除了在实际生活用到的数学以外,学习数学还可以提高学生的智力,增强学生的逻辑思维能力,让学生的思维充满跳跃性.只有思维在不断跳跃创新的学生,才不会永远地安于现状,他们会不断地努力,不断地前行,为自己和社会创造美好的未来,因此数学教育对于高中学生的影响是积极的.

    1.教师没有扮演好自己的角色在传统高中数学教学中,教师很少研究教学方法,教学形式单一,一味地向学生灌输理论知识,这就导致了学生对数学的学习热情不高,没有任何学习兴趣.曾经听过一位教师上课,讲的内容是二面角.一般来讲,“二面角”是立体几何的教学难点之一,教师应该详细讲解,加深学生对这一内容的理解,但是这位教师却避难就轻,仅仅是按自己的讲解方式向学生讲了一道例题,然后让学生自己去理解,自己去做,这样做太不负责任了.

    2.学生积极性不够,导致课堂效率低课堂教学高耗低效的现象较重,以传统的教法为主,调动学生学习的积极性不够,缺少让学生必要的思考、探究、感悟的过程.学生主体参与不够,影响了学生知识的构建和能力的提高.素质教育提出以学生为主体、教师为主导、教材为主线,将学生、教师和教材之间的关系明确地指出是很有必要的.部分学生对数学没兴趣,感觉数学是一堆枯燥的数字和烦琐的公式,与生活联系不大.例如,在讲“抛物线及其标准方程”时,有的教师为了引出抛物线的定义,设置了这样的问题情境:初中我们已学过的一元二次函数的图象就是抛物线,而现在定义的抛物线与初中已学的抛物线从字面上看不一致,但它们之间一定存在着某种内在的联系,你能找出它们之间的内在联系吗?教师在以一种最好的方式给学生上课,但是学生却不好好听,有睡觉的,有不在状态的,不但影响教师讲课的心情,重要的是最后自己没有掌握好知识.

    二、改变教学现状的措施

    1.学生的认知结构具有个性化特点,教学内容具有普遍性要求.如何在一节课中把两者较好地结合起来,是提高课堂教学效率的关键.通过现状调查,发现在目前的数学教学中缺乏有目的地、有意识地,具有针对性地培养学生对问题的质疑与解决问题、认识问题后的反思.学生的质疑反思能力是可以培养的,教师要有目地设计、训练.要培养质疑反思能力必须做到:

    (1)明确教学目标.要使学生由“学会”转化为“学会—会学—创新”.

    (2)在教学过程中要形成学生主动参与、积极探索、自觉建构的教学过程.

    (3)要改善教学环境.