简单的线性规划范文

导语：如何才能写好一篇简单的线性规划，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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【关键词】纯代数法 普通高考数学全国卷 线性规划问题

【中图分类号】O221.1 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）11-0144-02

线性规划问题在普通高考数学全国卷中每年都会出现，是高考的重点和难点，但又考得不深，笔者与学生多年在教学相长的过程中发现：用“几何作图法”解线性规划问题，学生得分率并不高，因为画图的过程是我区学生的一个弱点，相对应的“纯代数法”却能极大地提高同学们的得分率，而且能节省大量的时间来完成其他的题。下面笔者就“纯代数法”及解线性规划问题作简单的介绍。

一 “纯代数法”在线性规划问题中的原理

代数法源于几何作图法，是对几何法的“断章取义”，也即“归纳升华”，省去了繁琐的作图；只要可行域封闭的情况下，就能用“纯代数法”，再加上思维够严密——增加“检验不等式”，将会节省大量的时间来完成线性规划问题的解答；在应试的角度上代数法优于几何法，但从新课改的角度上看，要把学生培养成为跨世纪的人才，几何作图法是不可或缺的。

对于普通高考数学全国卷中的线性规划问题，一般都是可行域封闭的情况，解“纯代数法”的基本步骤如下：（1）列二元一次方程组求解：各个二元一次不等式变成等式，互相联立，得到各组解（交点）；（2）检验可行解：将各组解代入各个不等式，看它们是否都成立；不等式成立就是我们需要的可行解，只要有一个不等式不成立就把此解去掉；（3）求值比较：将（2）中的可行解代入目标函数Z，把得到的Z的值相互比较，最大（小）的数就是要求的最大（小）值，也可得到取最值的最优解。

如果用“几何作图法”：（1）取点；（2）描点；（3）作出4条直线；（4）找出可行域；（5）求交点；（6）画平行的目标函数直线；（7）根据可行域找目标函数直线的截距的最值——Z的相应最值——Z的范围。仅看步骤就很麻烦了，而且还要熟练掌握基本的直线作图方法，把目标函数也要看成Z已知的一条条平行直线，最后还要转换成截距，我区的学生要按部就班地把这道题完成，并把答案完整地写出来，没有一定的数学基础和一定的时间，本题基本得不到分数。

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关键词:课程标准 线性规划 代数解法

2003年出台的《普通高中数学课程标准(实验)》(以下称《标准》)中,“不等式”内容作了调整,原大纲“直线和圆的方程”一章中的“二元一次不等式组和简单线性规划问题”被调到必修数学5“不等式”中。本文将如何求解线性规划问题提出一些看法,以与同行商榷。

《标准》指出:线性规划是优化的具体模型之一,学习它能提高学生的优化意识,同时强化学生的数形结合的能力。并要求:了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式;从实际情形中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。关于线性规划模型的求解,当前的高中新教材与《标准》的参考案例无一不是用几何方法(笔者这么称呼)。不可否认的是,几何方法直观,从形的角度刻画了数量关系,然而,几何方法往往会受到图形直观的影响,而使得所获结果不够精细,如若图形不准确,有时还会直接误导结果。而且“几何构图的过程对思维品质的要求并不低,如何想到用几何图形、想到用什么样的几何图形等都需要激活已有的知识(包括代数知识)和方法,图形出来之后的直观性、自明性,并不等于思维过程的平坦。”但是既然新课标把简单线性规划问题安排在代数“不等式”一章,我们就应在注重几何方法的同时,重视其具有“不等式特色”的代数解法。正如罗增儒教授指出的:“数学解题中存在着数与形的双向沟通,存在着直觉选择与逻辑分析的相互推动;从而也就表明,任何单侧面的问题表征都有可能产生潜在的封闭型或局限性。”

事实上,在高中数学,简单的二元线性规划问题可以用如下的代数方法来求解。设该二元线性规划问题的约束条件是k个二元一次不等式构成的不等式组aix+biy≤ci(i=1,2…,k),目标函数是f=dx+ey,那么欲求目标函数f的最大(小)值,首先把目标函数f表示成其中两个约束条件的左式的一个线性组合,然后利用不等式性质,得到不等式f≤C(f≥C)(其中C是常数),再来考察当f=C时,是否存在满足约束条件的相应的点(x,y),如果这样的点(x,y)存在,C就是目标函数f的最大(小)值;如果不能建立不等式f≤C(f≥C)或满足约束条件的点(x,y)不存在,则把目标函数f表示成另外两个约束条件的左式的一个线性组合,直到建立起不等式f≤C(f≥C)且能求出可行区域中相应的点(x,y)为止。

以下举两个例子来说明:

例1.(《标准》,P38例3)某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3千元、2千元。甲、乙两种产品都需要在A,B两种设备上加工,在每台A,B上加工一件甲所需工时分别为1时、2时,加工一件乙所需工时分别为2时、1时,A,B两种设备每月有效使用台数分别为400和500。如何安排生产可使收入最大?

解:设甲、乙两种产品的产量分别为x,y件,收入为f千元,建立线性规划模型为:目标函数maxf=3x+2y,约束条件是

所以最少要截两种钢板12张,截法有2种:第一种钢板3张、第二种钢板9张;第一种钢板4张、第二种钢板8张。

上述例子表明,对于简单的线性规划问题,以上方法运用了不等式的性质来求最值,这样做不但可以避免画图,而且结果准确。对于约束条件不太多的简单的二元线性规划问题,只要找出目标函数关于约束条件的“有效”的线性组合(如例2的(1)式),计算量一般不会太大,而且对于具体问题,我们往往可以通过观察与筛选,尽快找到“有效”的线性组合。因此,简单的线性规划的代数解法往往是有效的。

总之,既然《标准》把“线性规划”从解析几何调整到“不等式”,我们就没有理由完全忽视线性规划问题的代数(运用不等式)解法。同时,这样甚至可以没有“用二元一次不等式组刻画区域”以及“直线的方程”等知识,就可以解决简单的线性规划问题。当然,相比来说,解决线性规划问题的几何方法比代数方法运用起来会更广泛,但它存在诸如画可行区域“繁琐”以及直观中的“粗糙”,甚至由于一些直线斜率相差较小而导致的误解等缺点。为此,笔者建议在教材“简单的线性规划”中,应渗透其代数解法,在教学中,教师在用几何方法求解时,也应提及其代数解法,这样就可以弥补分别用几何解法和代数解法各自的缺陷,丰富解题思路,切实突出数与形的结合。

参考文献:

[1]教育部制订.《普通高中数学课程标准》(实验)[M].人民教育出版社,2003.

[2]罗增儒.数式与图形沟通,直觉与逻辑互动[J].中学数学教学参考.2004.6.

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高中阶段线性规划内容是新课标实施后新增加的内容，近年来成为高考中的热点问题，其试题已从简单的求线性目标函数的最值、平面区域的面积，转变为求非线性目标函数的最值、参数的范围，现在更是出现了与向量、概率、不等式、函数相结合的新题型。下面通过高考试题分析解读体会如何学习、复习该部分知识。

一 考题回顾

高考试题对线性规划内容的考查主要体现在以下三个方面：

第一，注重对基本题型的考查。（1）已知线性约束条件，求目标函数的最值问题。如2012年，山东理第5题。（2）线性规划应用题。如2012年，四川理第9题。

第二，体现对线性规划与其他知识相结合问题的考查。（1）含有参数的线性规划问题。如2012年，福建理第9题。（2）与向量、不等式、概率等知识相结合的线性规划问题。如2011年，湖北理第8题；2009年，山东理第12题；2012年，北京理第2题。

第三，凸显对线性规划体现的“数学规划”思想方法的考查。典型试题：（2012年，江苏14）已知正数a，b，c满

足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则 的取值范围是

。

二 分析解读

1.关于线性规划基本题型

已知线性约束条件求目标函数的最值问题，线性规划应用题，属于线性规划的最基本问题，是线性规划的简单应用，要求学生能够熟练掌握可行域的画法，并能根据目标函数的变化情况，在可行域内找到相应的最优解及最值。对于应用性问题还要求学生能够根据题意，通过设置恰当的未知数将实际问题转化为线性规划的问题求解。旨在考查学生对线性规划基本知识、基本问题的掌握，属于容易题。

2.关于对线性规划与其他知识相结合的题型

它体现了线性规划的灵活应用，突出了对学生能力的考查，有一定的综合性，其本质还是线性规划问题，解决方法仍然同基本问题的方法类似。含参数的线性规划可在作可行域时先将约束条件中的不含参数的不等式所表示的平面区域作出，然后再考虑含参数的不等式，可以利用尝试的方法去研究。与向量、不等式、概率等知识相结合的问题，从题目中容易看出其中包含的线性规划的“轮廓”还是比较清晰的，结合相关知识的内容转化成线性规划的基本题型不困难。

3.关于用“数学规划”思想求解问题的题型

这类问题从形式上可能看不出线性规划的“影子”，其约束条件隐蔽，需要进行适当的数学变形，变形后约束条件可能不是线性的，其目标函数也未必是线性的，我们可以称之为“异化”的线性规划问题。此类问题有一个共同特征：具备某些不等（或相等）关系的限制条件，求某个变量的范围或最值。从下面的解答过程可见一斑。

解析：条件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可化为：

设 ， ，则题目转化为：已知x，y满足：

，求 的取值范围。

作出（x，y）所在平面区域（如右图）。求出y≥ex的切线的斜率e，设过切点P（x0，y0）的切线为y=ex+m（m≥

0），则 ，要

使它最小，须m=0。

的最小值在P（x0，y0）处，为e。此时，点P（x0，

y0）在y=ex上A，B之间。

当（x，y）对应点C时，

。

的最大值在C处，为7。

的取值范围为[e，7]，即 的取值范围是[e，7]。

三 学习启示

高考对线性规划的要求越来越灵活，以考查线性目标函数的最值为重点，兼顾考查代数式的几何意义（如斜率、距

离、面积等）。多以选择题、填空题出现，含参数的线性规划问题也是高考的热点。在知识交汇处命制试题更是高考试题的一个重要特点，鉴于此，在学习与复习中要紧紧抓住以下环节：

1.牢固掌握可行域的画法

若要正确画出可行域，首先是正确画出每个二元一次不等式所表示的平面区域，这有两种常用的方法：一是先画出相应二元一次方程所表示的直线，再选取一个特殊点（如果直线不过原点则常选取原点）代入二元一次方程，计算其值的正负再结合二元一次不等式的要求，若符合，则该点所在的区域就是所求的一元二次不等式所表示的平面区域，否则该点所不在的区域为所求的区域，我们可以用一个成语形象地总结：窥一斑而知全豹。二是将一元二次不等式化为y>kx+b（或y>kx+b）的形式，若是y>kx+b形式，则所表示的平面区域一定在直线y=kx+b的上方，反之在下方。其次是用阴影表示出几个一元二次不等式所表示的平面区域的公共部分。若边界不等式所对应的方程是特殊形式，则容易画出其所表示的区域，若二元一次不等式中含有等号则用实线表示，否则用虚线。

2.灵活求目标函数最值

正确画出可行域后，将目标函数z=ax+by（b≠0）化

为 形式，通过斜率为 的直线平移求出 的

最值，这个过程中需注意：一是所求可行域的边界与直线

倾斜程度之间的关系；二是z的系数 的正负对

z取最值的影响，当 >0时， 取得最大（小）值时，对

应的z也会取得最大（小）值，当

3.熟悉简单数学建模问题

应用数学解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过阅读、分析、处理数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系。数学建模需要较深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力。

4.深刻领悟数学规划思想

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关键词：线性规划 二维线性规划 三维线性规划 图解法

线性规划图解法

1、线性规划

线性规划是对一组决策变量研究在

满足约束条件的前提下，最大化或最小化目标函数的问题，其中约束条件和目标函数均为线性函数，如：

■

其中c为n维列向量，称为价格向量或成本向量；■，称为决策变量；b为m维向量，称为右端向量；A为m*n阶矩阵，称为约束矩阵。称■为可行域。线性规划的可行域为凸集。通常我们将最大化目标函数的值作为线性规划的标准形式（最小化问题可看作最大化其负函数，即■）。

在线性规划问题中，决策变量的值称为一个解，满足所有的约束条件的解称为可行解。使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。这样，一个或多个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在两种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）。

2、二维线性规划图解法

二维线性规划图解法的求解过程为：求出并绘制可行域（凸多边形）；找出目标函数下降（上升）方向，并以此为法方向绘制一条与可行域交集非空的初始等值线；沿目标函数下降（上升）方向平移等值线，直至边界。最终等值线与可行域边界的交集作为最优解集，等值线所代表的目标函数值为最优值。

下面我们用一个简单的二维线性规划问题说明图解法的求解过程。

■

■

用图解法求解：

第一步：画出可行域。以x1与x2为坐标轴作直角坐标系，根据不等式的意义求出各半平面的公共部分称为可行域。

第二步：画出等值线。目标函数S=2x1+5x2在坐标平面表示以S为参数、以■为斜率的一簇平行直线，即■，它的位置随着S的变化平行移动。位于同一直线上的所有点，都使S具有相同的值，所以该直线称为“等值线”。任取一个定点S0便可在坐标平面上画出一条等值线■，如图1所示。

第三步：求最优解。将直线■沿其法线方向向右上方平行移动时，参变量S的值由S0逐步增大。当等值线平行移动到可行域的最后一个点B时，S达到最大值。此时由线性方程组可解得B的坐标（2，3），故目标函数的最大值S=19。

对于二维的线性规划图解法，我们很容易在直角坐标系中实现，很容易在教学上演示，但当线性规划提升至三维乃至更高维空间以后，一些简单直观的操作就变得复杂起来，为了更好的研究和演示三维LP图解算法，需要分析图解算法的数学本质，使用精确的数学语言而非自然语言来描述图解算法。

3、三维线性规划图解法

三维LP图解算法在步骤上与二维的相似，但在细节上较为复杂，它的具体步骤可以简述为：

3.1求出并绘制可行域

根据线性规划的基本理论，一个n维空间中线性不等式组的解集一定是个凸多面体（polyhedron）。特别的，如果线性不等式组的解集有界（即对任意的目标系数向量■，有■），那么该不等式组的解集是一个多胞形（polytope）。由于图解法的特殊性和局限性，在LP图解法中，我们主要求解的是后者。

N维空间多胞形的定义：Q是n维空间Rn中的多胞形，当且仅当Q是Rn中有限点集的凸包，i.e. ■。

在二维平面上的图解法中，绘制可行域其实就是绘制了这个多胞形（限制在二维空间中为多边形）。而绘制多胞形所必需的信息即该多胞形的全部顶点。虽然，在理论上我们已经知道有界不等式系统和多胞形的等价性，但是这个定理的证明本身并没有提供计算多胞形全部顶点的算法。而Danzig所提出的单纯形算法理论，提供了求解这些顶点坐标的理论工具。基于多面体顶点的基本定义，可以简单的得到结论：多胞形的顶点一一对应于任一定义在这个多胞形上线性规划的基本可行解。即：

求解给定线性不等式组对应多胞形的顶点问题等价于求解该多面体上线性规划基本可行解。

基于这个结论，可以得到如下多项式时间的多胞形顶点坐标求解算法：

Step1：对于给定的线性不等式组Ax≤b，考虑其增广矩阵，选取一组极大线性无关行向量组得到与原不等式组等价的不等式组■；

Step2：选取■全部的极大线性无关列向量组，对■的每一个极大线性无关列向量组■，其实是一个满秩的方阵，■即可求得一个基本可行解，即一个顶点的坐标。遍历所有这样的■，就可以求得全部顶点的坐标。

3.2找出目标函数下降（上升）方向，并以此为法方向绘制一条与可行域交集非空的初始等值线

目标函数的下降（上升）方向甚至是梯度方向都是容易求解的，因为目标函数的梯度正是目标系数向量。但是寻找初始与可行域交集非空的等值线则是一件复杂的事情。事实上，初始等值线的选取问题等价于如下问题：

找到■，使得线性不等式组{Ax≤b，cx=c0}解集非空，即寻找一个原线性规划的初始可行解。在运筹学中，两阶段法是用来构造求解初始可行解的常用手法。两阶段法简要如下：

Step1：将线性不等式组Ax≤b化成标准型中的等式组，每一个不等式添加非负的一个人工松弛变量变量；

Step2：构造新的目标函数，及最小化人工变量之和；

Step3：求解该线性规划，如求得的最优解的目标函数值为0，则该最优解为原问题的可行解；如目标函数值大于0，则原问题无可行解。

在求得初始可行解x0以后，即可选取cx=cx0为初始等值面。

3.3沿目标函数下降（上升）方向平移等值线（面），直至边界

在该步骤中，主要的难点在于如何判定等值面是否到达边界。一方面，由于移动的是等值面，故在图解算法过程中并不记录当前可行解的信息，所以单纯形算法所使用的检验系数判定方法难以奏效。另一方面，图解算法的移动行为非常近似于使用连续优化技巧的线性规划内点算法，所以三维图解法的边界判定算法可以借鉴连续优化的判定方法。

在连续优化中，通常并不严格计算一个点是否落在可行域边界上，而是通过完成判定是否落在可行域内，然后通过线搜索算法逐渐逼近最值点或边界点。对应到线性规划问题上，其实就是求解如下判定问题：

给定任意■，判断线性不等式组{Ax≤b，cx≤c0}解集上是否为空。

线性不等式组的解存在问题可以借助Farks引理来转换成线性等式组来处理。

Farks引理：令A是一个矩阵，b是一个向量。那么线性不等式组Ax≤b有解，当且仅当对于所有满足yA=0的行向量y，有yb≥0。

事实上，这里就相当于求解出yA=0的全部基本可行解，并逐一判断是否满足yb≥0。

到此为止，已经把LP图解法中每一个子问题推广到n维空间中（自然包括三维），并对每一个子问题给出了求解算法，藉此摆脱了原LP图解法的直观经验性描述而将其上升至了具有一般意义的数学算法。

三维LP图解法的演示算法的改进

这一章节主要研究三维LP图解的演示动画实现算法。对于动画演示，重点是体现等值面从初始位置连续移动至可行域边界的过程。由于在演示动画中，并不会显示具体的算法，所以为了提升算法的运算速度，我们可以对上文中的图解算法进行简化和改进。

仔细分析上文中的图解算法，发现初始等值面的选取（两阶段法的第一阶段）以及边界判定（不等式组解集是否为空）的计算量都至少等于一次同等规模的线性规划算法的计算量，对于动画演示来说，其实有相当一部分的运算是无意义的，所以针对动画演算，采取如下简化算法：

Step1：绘制可行域；

Step2：初始点选取。以-c为目标系数，求解线性规划，以求得的最优值作为初始等值面；

Step3：计算移动终止位置。以c为目标系数，求解线性规划，以求得的最优值作为等值面终止位置。

Step4：从初始位置开始，直至终止位置连续绘制等值面移动动画。

这样在整个过程中，step2和step3的运算量就压缩到了两次同规模线性规划算法的运算量，经过实验对比，在不改变动画演示效果的同时，可以极大地加快程序的运行速度。

基于MATLAB三维LP图解法演示系统的仿真与实现

借助MATLAB GUI设计并实现交互式的三维LP图解法演示系统。

首先，使用edit控件设计了参数读入界面。在演示系统中，我们默认的是考虑极大化问题，且可行域限制在第一卦限，即■。并且出于简化考虑，仅考虑三个变量和三个线性不等式约束。

在读入线性不等式以后，求出全部基本可行解，即求得可行域多胞形全部顶点坐标，通过MATLAB图形学工具箱自带的convhull，通过顶点坐标计算得到多胞形全部侧面的数据，再使用mergeCoplanarFaces函数，将共面的全部小多边形合并成大的侧面，最终完成可行区域的绘制。

等值面移动动画通过以下方法完成，对于处于最小值和最大值中间状态的任意一个等值面cx=c0，将可行域分割成两个部分{ax≤b，cx≥c0}以及{ax≤b，cx≤c0}两个相邻接的多面体，用不同的颜色绘制，以此标注等值面。

最后通过drawnow和pause命令生成动画，并实时显示当前可行解及其对应的目标函数值，当动画停止时所显示的即为最优解和最优值。

在此基础上，通过改变线性规划约束中的系数我们可以实现三维线性规划图解法的动态展示。

总结与展望

本文在掌握了二维线性规划图解法的基本原理、方法和步骤的基础上，对多维线性规划问题图解法的实现进行了理论分析，并且对三维线性规划的图解法利用MATLAB编程，编制了仿真模拟软件。该程序可以实现对三维LP模型中各参数在一定范围内的灵活设置，将三维线性规划问题优化的整个过程通过动态效果展示，界面编排合理，使用灵活方便，作为辅助教学软件能够使学生对线性规划问题的性质有更深的理解。同时基于对多维线性规划问题实质的分析，在三维图解法程序的基础上我们也很容易扩展到三维以上线性规划问题的图解法仿真模拟，未来的研究工作可以考虑设计一个通用程序，通过自由设置问题优化空间的维数实现各维数线性规划问题图解法的动态效果展示。

参考文献：

[1] Alexander Schrijver， Theory of Linear and Integer Programming， John Wiley and Sons. 1998.

[2] Frederick S. Hillier and Gerald J. Lieberman， Introduction to Operations Research， 8th edition. McGraw-Hill.

[3] 关玉昆 三维空间线性规划问题的图解法[J]，辽宁大学学报， 1999，18卷1期。

[4] 邓先礼，最优化技术，重庆大学出版社，1998.

[5] 申卯兴，许进 求解线性规划的单纯形法的直接方法，计算机工程与应用，2007，30期，p94-96.

[6] 燕子宗，费浦生，万仲平. 线性规划的单纯形法及其发展，计算数学，2007，1期.

[7] JH. Mathews， KD. Fink. Numerical methods using MATLAB. 1999.

[8] 张志通. MATLAB教程，北京航空航天大学出版社，2006.

[9] 钱俊，吴金洪，程茗. 线性规划问题的MATLAB求解. 科技创新导报. 2011，25期，p158.

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关键词：轻钢结构；优化设计；优化方法

1 优化设计的基本概念

优化设计是根据既定的结构类型和形式、工况、材料和规范所规定的各种约束条件，例如强度、刚度，稳定、频率、尺寸以至结构构件许用的离散集等等，提出优化的数学模型（目标函数，约束条件，设计变量）。其模式是根据优化设计的理论和方法求解优化模型，最后达到材料的合理分配，使结构设计满足经济与安全性的要求。结构优化的过程大致可归纳为：假定-分析-搜索-最优设计四个阶段。其中的搜索过程是修改并优化的过程。它首先判断设计方案是否达到最优（包括满足各种给定的条件），如若不是，则按某种规则进行修改，以求逐步达到预定的最优指标。优化设计的过程如图1所示。

2 轻钢结构优化设计数学模型

2.1设计变量

轻钢结构的主要几何参数如跨度、檐口高、屋面坡度、纵向柱间距等通常由业主或建筑师确定。可供优化的变量主要是截面参数，钢板的厚度是离散变量，腹板和翼缘的高（宽）一般也是从一系列有规律的数中选取，因此轻钢结构的设计变量通常是离散变量。

2.2目标函数

结构重量是轻钢结构优化设计的重要指标，是较易写成设计变量的函数形式，故轻钢结构通常以用钢量最少为优化目标。

2.3约束条件

2.3.1构造约束。它包括基本变量的限界约束和根据门式刚架建造的习惯而规定的。如所有截面的腹板高度都必须大于翼缘宽度，所有截面的翼缘厚度必须比腹板厚度大2 mm以上等的几何约束。

2.3.2性能约束。轻型门式刚架通常按平面结构分析内力，用有限元法计算，不考虑蒙皮效应。构件设计需考虑翼缘、腹板的最大宽厚比和屈曲后强度的利用，变截面柱的平面内外的稳定性以及轻钢房屋的挠度和侧移限值等。

3 结构优化方法简介

3.1数学规划法

将结构优化问题抽象成数学规划形式来求解。结构优化中常用的数学规划方法是非线性规划，有时也用线性规划，特殊情况可能用到动态规划、几何规划、整数规划或随机规划等。

3.1.1线性规划。当目标函数和约束方程都是设计变量的线性函数时，称为线性规划问题，该类问题的解法比较成熟。

3.1.2非线性规划。当目标函数或约束方程为设计变量的非线性函数时，称为非线性规划。结构优化设计多为有约束的非线性规划问题。这类问题较线性规划问题复杂得多，难度较大。目前采用的方法大致有以下几种类型：不作转换但需求导数的分析方法，如梯度投影法、可行方向法等；不作转换也不需求导数的直接搜索方法，如复形法：采用线性规划来逐次逼近，如序列线性规划法；转换为无约束极值问题求解，如罚函数法、乘子法等。

3.2最优准则法

这是根据工程经验，力学概念以及数学规划的最优性条件，预先建立某种准则，通过相应的迭代方法，获得满足这一准则的设计方案，作为问题的最优解或近似最优解。最简单的准则法有同步失效准则法和满应力准则法。

3.2.1同步失效准则法。可概括为在荷载作用下，能使所有可能发生的破坏模式同时实现的结构是最优的结构。同步失效准则设计有许多明显的缺点：由于要用解析表达式进行代数运算，故只能用来处理非常简单的元件优化；当约束数大于设计变量数时，必须设法确定那些破坏模式应当同时发生才给出最优设计，这是一件十分困难的工作；当约束数和设计变量数相等时，并不能保证求得的解是最优解。

3.2.2满应力准则法。该法认为充分发挥材料强度的潜力，可以算是结构优化的一个标志，以杆件满应力作为优化设计的准则。这一方法在杆件系统如桁架的优化设计中用得较多。在此基础上又发展了与射线步结合的齿行法以及框架等复杂结构的满应力设计。

3.3仿生学方法

该法是从自然界的结构、组织、发展、进化（尤其是生物进化）观点进行研究，寻找规律，用逻辑和数学的方法进行模拟，以搜寻最优解的方法。目前，模拟自然界进化的算法有模仿自然界过程算法与模仿自然界结构算法，主要包括：进化算法（EA），模拟退火法（SA），人工神经网络算法（ANN）。进化算法主要包括：遗传算法（GA）、遗传规划（GP）、进化策略（ES）、进化规划（EP），其中以遗传算法最具代表性。

4 满应力设计

满应力设计是结构优化的各种算法中最简单、最易为工程技术人员接受的一种算法。其基本涵义是：结构每一构件的应力，至少在某一工况下达到材料的允许应力。满应力设计中，目标函数并不出现，这种寻求一个满足某种准则的设计，暂且不管目标函数的做法是准则法没计的基本特点。轻钢结构的优化变量如截面参数等多属于离散变量，只能取某些离散值，属于离散变量的结构优化问题。该类问题可先作连续变量处理，然后将其圆整到离散值。如可先采用上述的满应力设计求得最优解，然后在离散集内找到与其最相近且满足约束条件的解作为最终的优化解，也可直接采用基于离散变量的结构优化方法对其求解。下面对后一种方法作具体的介绍。

以截面面积作为设计变量，其分量在设计空间中组成离散空间，由于轻钢结构可选的截面（截面库）是有限的，所以离散设计空间是有界的。将截面面积按从小到大的顺序排列：

其中S为截面离散集；n为设计变量数；?为截面可取值个数。离散变量满应力设计的主要过程如图2。

4.1给定一个初始设计方案，即初始面积

4.2进行结构分析，求出各构件在各工况下的最不利应力，即：

式中： 表示第i个构件的第k次迭代， 为第i个构件在第j个工况下第k次迭代时的最严控制应力（强度、稳定、抗剪应力中的最大值）。

4.3如果最不利应力小于设计强度，则将截面取为截面离散集中的前一个值，重新计算最不利应力，直到满足为止；否则，如果最不利应力大于设计强度，则将截面取为截面离散集中的后一个值，重新计算最不利应力，直到满足为止。

4.4当构件面积Ai不再变化时迭代终止。由于构件的面积与其在截面离散集中的序号ki一一对应，故终止条件即为：

4.5若上式不满足则转向（2）

5 结 论

满应力法的缺点很明显。满应力设计没有直接与目标函数相联系，设计的结果不能保证结构重量是最轻的。其次，满应力设计的结果不是唯一的。对于超静定结构，如果设计变量没有界限约束，满应力设计结果可能退化成若干种静定结构。对于只受应力约束的结构优化问题，人们还是非常乐意采用它。国内外很多有实用意义的优化工作成果是用满应力法得到的。实际中，许多工程优化问题受到的不仅仅是应力约束，还有位移和频率约束。此时，可以将满应力约束用应力比法处理，其它约束则采用更为复杂的准则或数学规划的方法来处理，这样可以取得更优的方案。

参考文献：

[1]蔡新，郭兴文，张旭明.工程结构优化设计[M].中国水利水电出版社.

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关键词：最优化理论；数学；建模

一、在体现数学应用的方式中，数学建模是不可忽视的一种

所谓数学建模，指的是以数学语言为工具，对实际现象进行描述的过程。在这一过程中，要以“建”为中心，使学生的创造性思维在“建”的过程中被激发出来。可以建立不同的实际模型来对同一个问题进行解决，从而可以得到不同的“最优解”，所以说，模型的独特之处是建立模型的关键，在数学模型中没有最好，只有更好。

以下是数学模型建立的大致步骤：

第一、模型准备。对问题的实际背景进行了解，使建模的目的得到明确，从而使必要的数据资料被收集、掌握到。

第二、模型假设。提出假设，这些假设必须与客观实际相符合。

第三、模型建立。进行相应的数学模型的建立，以实际问题的特征为依据，决定使用的数学结构、数学工具的类型。通常，以能够达到预期的目的为前提，选择的越简单的数学工具进行建模越好。

第四、模型求解。模型建立者需要对上述过程中获取的数据资料进行利用，计算模型中的参数，对模型进行求解。在必要时，可以使用计算机为辅助工具。

第五、模型分析、检验。对模型的结果在数学分析的基础上与实际情形进行比较，从而对模型的合理性、准确性、适用性进行验证。如果吻合，则进行解释、应用，如果不吻合，则修改、重建。

现实中的问题是错综复杂的，必然的因果关系与偶然的因果关系都存在其中，所以，我们必须将主要原因从杂乱无章的现象中寻找出来，对变量进行确定，并使变量之间的内在联系显现出来。

二、以最优化理论看待数学建模

数学建模的关键在于一个“建”字，但一旦数学模型建立起来之后，对于它的求解就显得很重要了。一般的数学模型所涉及的问题都是一个最优化问题，即在一些约束的条件下，如何使得模型的解达到最优？一般的数学模型中抽象出来的最优化问题具有如下的形式：

min　f（X）

s. t.　AX≥b.

这种问题根据目标函数和约束函数的特点可分为很多类，都是运筹学的分支，如线性规划、非线性规划、图论、目标规划、动态规划问题等等。无论怎样，如果一个数学模型不能用初等的数学理论解决，也不能用常微分方程理论解决的话，那它一定就是用最优化的理论来解决。

最优化理论广泛地应用于管理科学、科学技术和生活实践中，而线性规划问题因为有普遍适用的单纯形法，故而其理论和应用都非常完善。所以目前研究较多的当属非线性规划理论和其它的优化问题。类似于高等数学中一切非线性的函数都尽量对它进行局部线性化的思想使问题简单化，非线性规划问题求解的总体思想也是如此。尽量将非线性规划问题局部线性化来解决。

下面我们再看一个用匈牙利算法求解指派问题的例子。

例：有甲、乙、丙、丁四人完成A、B、C、D四项任务，他们完成各项任务的时间见右表，问应如何安排，使所需总时间最少？ 

A

B

C

D

甲

2

15

13

4

乙

10

4

14

15

丙

9

14

16

13

丁

7

8

11

9

这类问题一建立模型后，我们应清楚地知道我们遇到了一个指派问题，而求解指派问题的最简单的方法就是匈牙利算法。否则，若不能认识到这一点，用一般的方法建立模型求解，可能会用到求解整数规划的分枝定界法或是求解0-1规划的隐枚举法，那都将是很复杂的。下面我们用匈牙利算法求解：

这样很快得到最优的安排是甲D、乙B、丙A、丁C。

以上通过两个简单的例子，我们讨论了求解数学模型的简单方法。数学建模的“建”完成之后，关键一步就是模型的求解，而最优化理论的掌握程度，是否具有厚、博、精的优化理论知识对能否完整地求解此模型起到了非常重要的作用。

综上所述，在数学建模和最优化理论之间，二者是相辅相成的关系。生活和实践是数学模型的源泉，在实际生活中，模型将会随着层见叠出的问题而越来越庞大、越来越复杂，因而，最优化理论的发展会不断地在模型的建立过程中挑战、发展。从另外一个角度看，在这个不断得到丰富、完善的最优化理论的影响下，数学模型的求解也会得到不断地促进而越来越优化，为实际问题的发展带来突破性。

参考文献：

[1] 高德宝：数学模型在最优化方法中的应用综述 [J]. 牡丹江教育学院学报，2008，（04） .

[2] 周义仓：数学建摸实验 [M].西安：西安交通大学出版社

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【关键词】配电网规划；优化方法；分析

配电网规划的数学规划方法包括确定性方法和不确定性方法。其中，确定性方法又包括线性规划法、非线性规划法、动态规划法、网流规划法，而不确定方法有模糊规划法、场景分析法、风险度估计法等。配电网规划的启发式方法包括传统启发式方法、启发式专家系统和现代启发式方法。

1.配电网数学规划优化方法

（1）线性规划法。在众多的数学规划方法中，线性规划法是研究最早，也是最为成熟的一种数学优化方法，它在配电网规划中的应用几乎涵盖了配电网规划早、中期的所有研究。线性规划法又分为运输模型、线性规划、整数规划、混合整数规划等。运输模型是最为简单的一种线性规划法。由于模型简单，其求解算法也最为有力。然而，运输模型的一个严重缺陷是运输费用必须严格表达为线性化费用，而用严格线性化费用模型来代替实际的非线性化费用模型是不准确的。运输模型另一个严重缺陷是它不满足电网运行的许多约束条件。不带整数变量的线性规划是传统的、狭义的线性规划法。它的模型虽然较运输模型复杂，但其求解算法也比较成熟。

无论是采用线性规划的运输模型还是不带整数受量的纯线性规划模型，都无法考虑到配电网规划的离散性，而整数规划则弥补了这方面的缺陷。在求解整数规划问题时，由于整数规划的离散特征，解的数目是有限的，并且随整数约束变量数目的增加而呈组合性的增加，因此，通过显式的方法枚举所有解的方案通常是不现实的。整数规划的常用方法是分文定界法，它是一种把隐式枚举和显式枚举有效结合起来的整数规划方法，它的有效性依赖于它的枚举逻辑的有效性。

（2）不确定性规划。目前，在配电网规划中考虑不确定性主要有三种方法。第一种方法是采用模糊数学理论。对配电网规划问题建立了相应的模糊线性规划模型，并相应发展了直流模糊潮流和交流模糊潮流。建立了以模糊供电总成本最小为优化目标，通过计算电网故障状态下的模糊电量不足期望值计算模糊缺电成本，最后利用遗传算法产生动态优化解。采用盲数模型在合理的考虑多种不确定信息基础上进行了电网规划，达到了理想效果。第二种方法是场景分析法。场景分析法并不直接对配电网规划中的不确定性因素进行建模，而是将未来规划年的环境预想为多种可能的确定性场景，然后在不同的场景下进行确定性的常规配电网规划，考虑对各种场景都具有较高适应性的配电网规划方案为最优的柔性方案；第三种方法是风险评估法。这种方法是通过对可能出现的不确定性情形进行评估和考虑，确定各个方案的风险率，然后进行确定性的电网规划，从而得到最优的柔性扩展方案。

2.配电网启发式规划优化方法

以上分析了数学规划方法在配电网规划中的应用，可以发现，非线性规划方法的局限性使得建立在非线性费用函数和非线性约束条件上的配电网规划模型往往得不到有效的解，而混合整数线性规划模型既弥补了运输模型和不带整数变量的纯线性规划模型过于简化的特点，又避免了非线性规划的“非鲁棒性”，因而成为求解配电网规划问题较理想的数学规划方法。但是，即使是这种最为理想的数学规划方法，当进行实际的配电网规划时，由于变量的数目和约束条件很多，也会变得非常因难，更不用说再在配电网规划中加入其他方面的考虑，如不确定性因素等。针对以上数学规划方法的不足，启发式算法的特点就更为突出，它综合考虑了规划效率和规划效果两个指标。在实践过程中，许多启发式方法，特别是现代启发式方法常常能给出令人满意的、高质量的解。启发式方法的优点是直观、灵活、计算速度快，便于规划人员在规划过程中参与具体的决策，通过规划人员过去的经验和常用的配电网规划启发式规则，并借助于数学规划方法，得出符合工程实际的规划方案。

（1）传统的启发式方法。传统的启发式方法通常基于系统某一性能指标对可行性路径上线路参数的灵敏度，根据一定的原则，逐步选代直到得到满足要求的方案为止。这种方法在配电网规划中的应用主要是结合“支路交换”技术进行的。所谓支路交换是指：对辐射状配电网，通过添加—条支路来形成一个环，然后断开另一条支路以恢复其辐射状网络结构。重复该过程，直到任意支路交换均不能使目标函数减小为止。

（2）专家式启发方法。启发式专家系统可以看作是传统启发式方法的发展，它与传统启发式方法的区别是在规划过程中引入了规划专家的经验，并便于规划人员参与到具体的规划决策中去。值得指出的是，专家系统不是用来代替规划人员的，而是利用存放在知识库中的知识和数据库中的基础数据，并通过推理机的推理，给规划人员提供相对较优的规划方案，而最终的规划方案的选择是由规划人员作出的。

（3）现代启发式方法。现代启发式方法是一种通用的优化算法。它的另外一个重要特点是所有这些方法均能实现并行计算。由于现代启发式方法在求解组合最优问题时表现出的卓越性能，在过去的20年中，它受到前所未有的关注。然而，现代启发式方法也有其不足之处，它在处理具体问题的约束条件时，虽然采用惩罚函数的方法把约束条件加到目标函数中去，但是在如何选择合适的惩罚函数方面，它往往缺少有效的手段。另外一个不容忽视的缺点是，当配电网节点比较多时，不可避免的会出现“维数灾”问题。

3.结论

综上所述，在配电网架优化规划的各种方法中，总的来讲可以分为数学规划和启发式算法两大类。但是，即使对于最理想的数学规划方法，由于配电网规划中变量的数目和约束条件很多，使用该类方法变得非常因难，更不用说再在配电网规划中加入其他方面的考虑，如不确定性因素等。而启发式算法又分为传统启发式方法、专家式启发方法和现代启发式方法的算法。传统的启发式方法具有较高的计算效率，但是容易陷入局部最优解；专家式启发方法目前还不成熟，有待进一步研究。 一方面，从表面上看，对于规划问题计算效率似乎并不重要，但是配电网规划中负荷点众多，若使用输电网规划方法或遗传算法等方法，不可避免地会遇到“维数灾”问题。更重要的是，实际上任何一种优化规划方法都是在规划工程师根据经验确定了设计思路和限制因素的情况下开展的，规划工程师需要根据所得结果不断调整设计思路和限制条件。因此电网规划实际上是一种人机交互式的设计过程，人的艺术性和经验性在其中起到了很大的作用，优化规划方法仅仅是针对设计师各种思路的辅助工具。因此要求优化规划算法具有较高的计算效率，以便能够对设计师众多的设计思路和调整方案产生较快的响应。另一方面，实践经验表明：对于配电网架规划问题，尽管存在大量局部最优解，但是大部分局部最优解与全局最优解的指标相差不大，作为工程近似最优解完全可行。

参考文献

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【关键词】高中数学；课堂教学；简约化；应用

自新课标的推广与实施，高中数学教学发生的巨大的变化，越来越多的多媒体设施涌现课堂，情景教学、小组合作、数学探究等各式各样的教学方式出现在课堂上，以前简单的课堂变得复杂热闹，但教学效果却往往不能够令人满意.多样式的课堂教学的确能够调动学生学习的积极性，体现学生在课堂上的主体地位，但是，过于精细的教学方式易产生事倍功半的效果，为此，简约化的课堂教学理念逐渐得到了广大教学人员的青睐与推崇.

1.简明实用的教学目标

合理的教学目标的设立是一堂课成功的关键.新课标将知识和技能、方法和过程做为教学重点，并且注重情感态度和价值观的培养.但在教学实践中，教师往往过于强调这三项目标的全面实现，在设立教学目标时，将这三条统统列入其中，忽视了课堂只有短短的45分钟时间，学生根本无法完全吸收理解，以致增加学生的心理负担，降低了课堂教学效率.例如在学习《二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题》时，某教师设定了以下课堂教学目标：

第一，知识与技能：了解二元一次不等式（组）的基本概念，熟练掌握运用平面区域画二元一次不等式（组）的方法与技巧；了解线性规划的基本含义、约束条件以及线性目标函数、可行域、可行解和最优解的概念；能够掌握并利用图解法求线性目标函数的最大值、最小值和最优解.

第二，过程与方法：将简单的线性规划问题运用于实际生活中，提高学生的数学应用能力和建模能力；在学习探究中使学生体会到数学活动的探索性和创造性，锻炼学生的数据分析能力、探索能力及规划能力.

第三，情感与价值：在利用图解法解题时，能够使学生体会线性规划的基本思想，培养学生的数形结合思想能力和数学应用思维，令学生体验到数学的来源于生活并能服务于生活的特点.

以上三个教学目标的设立十分全面，涵盖了二元一次二元一次方程组及线性规划的各方面内容，但是，在课堂短短45分钟的时间内是很难完成这样的教学目标.在课堂教学中，复杂繁琐的教学目标不仅无法培养学生的学习合作能力，还限制了学生对知识的深度理解.因此，只有简约的教学目标制定，才能够真正培养学生在课堂上的学习与探索知识的能力，提升学生学习的主观能动性，令学生在宝贵的数学课堂中有所收获.

2.简练的教学环节

根据新课标的要求，高中数学教师在进行课堂教学时，要特别强调学的生成性并及时捕捉学生的生成性教学资源进行教学，进而使课堂教学充满活力.教学环节身为课堂教学的主体，更应强调课堂教学的生成性，教学人员要善于改进传统教学中的流水式教学，改为板块式教学，令学生有更多的自我思考空间.例如在学习《函数概念和基本初等函数》时，可根据教学板块的综合性、开放性和相对独立性，将函数的讲解分为两个单元：第一单元的“函数的单调性及其简单应用”，第二单元是“函数的奇偶性、周期性、对称性”，这两个单元都具备一定的综合性，但各自又有相对独立的主题.与传统的一节课学习一个函数性质相比，板块式的教学将课堂教学环节变得简练明了，更利于学生系统的理解各个函数的性质，掌握课堂知识，同时也授予了学生快速而有效的学习方法.

3.灵活的进行课堂取舍

部分教师在进行课堂教学时，将课本中的所有知识点都一一为学生进行讲解，每一题的解题方法都要进行细致的分析，时刻追求面面俱到的教学解析.这种授课方式是对教学时间的浪费并影响课堂教学目标的达成.因此，教师应对教材进行大胆取舍，根据学生的基础知识掌握情况，有针对性的进行教学讲解，简明教学内容，减轻学生的课堂学习负担.例如在学习“圆锥曲线”这一章节时，大多数学生只需要掌握以下几点解题思路和方法即可：

第一，在掌握圆锥曲线的几何定义和准线定义的基础上，能够运用“数形结合”思想和代数思想进行几何解析和定量求解.第二，灵活的运用圆锥曲线的普通方程式解出线段到线段、点到线段、两条线的夹角等问题.第三，利用圆锥曲线的参数方程辅助解题.第四，在求解立体几何的问题时，掌握将立体几何的问题转化为平面几何的问题来进行求解的技巧.

一般情况下，学生熟练掌握以上四点便可进入下一章节的学习.简约的课堂教学就是要求学生着重把握要点和重点，要求教师对教学内容进行整理、提炼，对课本中的知识点进行大胆的取舍，挑选出其“精华”.同时这种教学策略也迎合了高中学生的学习模式，有利于高三的系统、有重点的复习原则.

4.结 语

简约高效的教学策略需要教师拥有先进的教学理念和灵活的教学方式，需要教师在教学时多进行反思和总结，不断创新教学方法，能够将复杂的数学知识变得简单，提高学生学习数学的兴趣，提升高中数学教学的质量，令高中数学教学焕发出独特魅力.

【参考文献】

[1]许金生.浅谈高中数学教学中简约化策略的应用[J].文理导航（中旬），2014（11）：29.

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实施过程要探索数学知识联系专业内容讲授的途径和策略,以及数学课程专业化这种授课形式对培养中职学生数学应用能力和数学情感的功能与价值。根据上述目的,笔者以所在学校的会计专业数学课为例进行如下几方面实施。

1.1根据会计专业需求,对数学教学内容作适当调整

调整主要在两方面。一方面是把专业里根本无需求且难度较大的数学内容删减或降低学习要求。如,不等式一章删去不等式的证明,数列一章降低数列的通项求法的要求等;另一方面是根据专业需求适当补充数学学习内容,如:函数一章补充用求导法求函数最值,数列一章增加数列在经济学中的应用,概率与统计初步一章补充数据收集的基本方法和数据的整理及计算器在统计中的应用,另外增加简单的线性规划一章的学习等。

1.2确定主要结合点

根据本学期要完成的数学教学内容,与专业老师一起,初步确定了六个主要的数学与专业结合点,具体为:(1)数列与《财务管理》中的货币时间价值结合。比如,可借助《财务管理》中的货币时间价值一章中“复利、单利、普通年金现值、普通年金终值、即付年金现值、即付年金终值”的概念介绍等比数列的通项公式、求和公式在专业领域里的应用,通过具体实例(如银行储蓄,人口增长等),使学生理解这些等比数列模型在专业领域里的作用,培养学生利用数学知识结合专业角度解决分析实际问题的能力。(2)线性规划问题与《管理会计》中的产品生产线性规划决策结合。可借助《管理会计》中的对产品生产中线性规划决策一内容的介绍引申归纳成一般的简单线性规划问题。(3)函数的性质与《管理会计》中的成本函数相结合。比如,研究一元二次函数的性质时可结合成本函数中的边际成本及平均成本的图像进行分析。(4)求导与《投资项目评估》里非线性盈亏平衡分析中的最大利润结合。(5)概率、期望值与《财务管理》中盈亏分析法结合。比如借助学生《财务管理》这一门专业课里收益期望值和损失期望值的概念引出数学里期望的概念。60标准离差率与《管理会计》中的风险报酬率、风险价值结合。

1.3确定教学模式

根据每个结合点的数学内容与专业内容的特点,对每个结合点的教学过程又设计了三种教学模式:第一种是案例课模式。即给出一个专业案例,围绕解决此案例时所涉及的数学知识进行学习。其详细的教学实施程序为:复习相关知识,创设迁移条件——运用多媒体介绍专业案例——结合专业案例讲解有关理论——运用所学理论解决实际问题——通过小结使所学知识系统化。此模式适用于基本概念、基本原理较多、理论性较强的教学内容,所以可用于上述第5、6个结合点的教学。例如,在学习了离散性随机变量的期望、标准离差等概念之后,我借助学生《财务管理》教材里的这一例子,帮助学生理解数学概念并感受其专业应用:长江公司拟进行一项固定资产投资,原始投资1000万元。根据市场调研,预计收益及概率如表1所示。该投资项目的风险系数γ为0.4,无风险报酬率为10%。[3]那么从风险与收益角度计算分析,该项固定资产投资的可行性如何呢？引导学生按照如下步骤进行计算分析:(1)计算预期收益的期望值。X=400×0.2+250×0.6+100×0.2=250(万元)(2)计算预期收益的标准离差(δ)和标准离差率(ρ)。通过此案例,可以告知学生,此处的前两个步骤正是数学里的期望值、标准(离)差的计算方法,而后面三个步骤就是它们在专业领域里的实际应用了。第二种是专业角色扮演课模式。这是一种模拟实际情景进行数学知识学习的上课模式。实践中感觉,此模式适用于理论性不太强,易于用旧知推出新知的知识,所以适用于上述第1～4个结合点的教学。下面展示一次课堂实践的片断小结这种模式的操作步骤。(1)出示待完成的任务。某超市拟订某商品1、2、3月份某食品的日进货计划(规定每天的进货量要一样)。该商品进货成本每箱60元,销售价格为110元,即当天能卖出去每箱可获利50元,但如果当天卖不出去,剩余一箱就要由于保管费及其他原因亏损20元。现市场需求情况尚不清楚,但有前两年同期180天的日销售资料(见表2),请大家确定一个方案,看怎样拟定日进货计划才能使利润最大？[4](2)分组:每四人一组,分别扮演主管、会计、制单、审核四种角色。(3)介绍四种角色的专业功能,并把这些功能借用到解数学题的过程中。主管:统领组内其他成员,将总任务细分成小任务,并合理分配到每个组员,对方案做出结论。会计:负责任务里的演算工作。制单:负责任务里的表格制作工作。审核:负责核对数据的正误。(4)任务实施过程。主管带领组员确定解决本任务的关键—如何计算商品利润,确定需要编制一个不同进货方案的条件收益表,并按照角色的专业功能分配任务:①制单完成:根据每天可能的日销售量,编制不同进货方案的条件收益表(见表3)。②会计完成:计算各个进货方案的期望利润值。各个方案的期望利润是在上表的基础上,将每个方案在不同自然状态下的利润值乘以该自然状态发生的概率值之和。分别算出进货50箱、60箱、70箱、方案80箱的期望利润,补充完善表格（见表4)。③审核完成:检查上述数据的正误。④主管完成:决策选择。让每个小组的扮演主管角色的同学上台陈述决策及理由。这样的角色扮演可以定期进行轮换。通过分工合作,模拟职业工作特色,使学生浅尝财务工作的过程,通过对职业工作过程“学”的过程,获取自我构件的隐性主观知识——过程知识,这样学生的专业意识及专业情感也就自然而然地由此而生了。第三种是合作教学模式。这是一种希望在一次课堂里让两位老师合作授课,自然穿插教学内容,使数学内容与专业知识相得益彰,融会贯通的课堂尝试。具体操作是:列出本学年的数学课程与专业课程的结合点——对照数学课程与专业课程的教学进度表并作适当的调整——确定出调整后彼此能同步的知识点——数学老师与专业老师共同写好教学设计——数学老师与专业老师共同授课。比如,经过对照调整,确定“简单的线性规划”能与《管理会计》中的“产品生产中线性规划决策”的教学进度取得同步,那么就与负责《管理会计》这门专业课的老师磋商两门内容如何结合教学,确定主讲者与辅助教学者,并拟定一份教学设计。下面给出这节课的主要教学过程(本节课的主讲为数学老师,专业课老师辅助教学)。(1)引入。企业生产多种产品时,往往受到机器设备、人力资源、原材料供应、市场销售量等生产能力的限制。一种产品生产量的增加,就会影响到另一种产品生产量的减少。在多种条件限制下,如何合理安排生产量,从而使企业利润最大化,这就是产品生产中线性规划决策问题,其解决方法可利用数学课程中的“线性规划”知识。(2)给出专业案例。南鑫公司生产甲、乙两种产品,甲产品销售单价100元,单位变动成本60元;乙产品销售单价160元,单位变动成本128元。甲乙两种产品的固定成本相同,有关生产、销售资料如下图表5所示。试问甲、乙产品生产量各为多少时,企业利润最大化？(3)学生思考与讨论。两位老师巡视,参与讨论。专业老师此时检查学生对“企业利润最大化”这个专业概念的掌握情况,并反馈给数学老师。(4)数学老师根据反馈,从解释题目所求开始介绍线性规划里的一系列相关概念:线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解。(5)学生阅读专业课本《管理会计》里的解决过程,两位老师巡堂指导。(6)数学老师就专业书上的解题过程小结解题步骤。第一步:确定目标函数。即确定利润最大化的多品种最优生产量组合。第二步:确定影响产品生产的约束条件。第三步:解出符合全部约束条件的多品种生产量组合。第四步:将符合条件的生产量组合计入目标函数,从中选择最大利润的生产量组合。（7）数学老师介绍数学课本里的另一解法:做出可行域,运用平移法求出最优解,并与专业课本里解法比较异同与优劣。（8）从数学的角度小结另一解题步骤。第一步:设出未知数,建立目标函数;第二步:列出约束条件并据此画出可行域;第三步:运用平移法求出最优解。（9）完成数学课本中的习题,两位老师巡视辅导。这样的一种整合式教学可以使学生在一节课中获取两门课程的知识,让学生活学活用,边学边用,数学知识对专业的作用显而易见。另外,两门课的老师都在场,即能及时根据学生的反馈和需求对各自所要教授的知识进行互补,还节省了教学时间,一举两得。从实践结果来看,学生积极性高、教学效果好、专业课的老师对这一尝试深表欢迎。觉得既能提高学生的专业意识,又能确保专业内容讲授时畅通无阻。

2教学策略

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关键词：管网设计；直接及间接优化；设计方法

中图分类号：S276 文献标识号：A 文章编号：2306-1499（2013）06-（页码）-页数

目前，对于城市排水管道系统优化设计问题，已开发了一些水力计算程序和优化算法如直接优化法、动态规划法、遗传算法等，并在设计过程中得到一定应用，并能显著提高设计水平和设计效率。下面就排水管网优化方法及特点做一简要介绍。

1.直接优化设计方法及优缺点

在管线平面布置己定情况下的污水管网各个参数的优化设计，被分为直接优化法和间接优化法。直接优化法是根据排水管道系统性能指标的变化，通过直接对各种方案或可调参数的选择、计算和比较，来得到最优解或满意解，它具有直接、直观和容易验证的优点。直接优化法主要包括电子表格法和两相优化法。电子表格法是利用“电子表格”统计数据和分析数据的功能进行管网优化的。它提供了一种启发式费用估算方法，利用这种方法，用户可寻找最小费用的设计。两相优化法是当设计流量确定后，在满足约束条件的前提下，选取最小流速和最大充满度进而得到最优管径和最小坡度，最大限度的降低管道埋深。其算法与人工计算基本相同，即按污水流动方向，先计算支管后计算干管和主干管，通过从上游至下游依次对各设计管段进行计算，继而完成一条管道及整个管网的计算。

2.间接优化法

间接优化法对其中的某些条件适当取舍，把问题简化、抽象为容易解决的数学模型，通过计算得出最优解线性规划法是优化技术中最常用的一种方法。它对于污水管网设计计算模型中的约束条件和目标函数的非线性，分别用它们的一级泰勒展开式代替，将之化为线性规划问题，用线性规划的解作为问题的近似解，反复迭代，使迭代点序列逼近非线性规划的最优解。它的缺点是把管径当作连续变量来处理，存在计算管径与市售规格管径相矛盾的问题。把非线性函树转为线性函数，前期准备工作量大，且难以保证结果的计算精度。混合整数规划法，作为线性规划法发展形式，克服了线性规划的部分缺点，可以解出离散的标准管径，但由于整形变量过多，往往难以求解，从而应用受到限制。

2.1非线性规划法

非线性规划法是为了适应排水管道系统优化设计计算模型中目标函数和约束条件的非线性特征而提出来的。它可以优化选择排水管道的直径和埋深，以及中途泵站的位置。其假定管径是离散的，易于对目标函数和约束条件进行敏感性分析。但是该方法极大地限制了目标函数和约束条件的形式。

2.2罚函数离散优化法

罚函数离散优化法将排水工程的特点与罚函数离散思想相联系，可以排除不合理的设计方案，以管系末端管底标高为全局控制因素，建立与目标函数的可行解对应关系，并通过同时进行整体控制与局部控制的水力计算方法，遍历目标函数的可行解及局部最优解，从而得到管系的全局最优设计方案。该方法由于对管道系统的各种可行解进行遍历，在解决大型管网问题时，必然存在运行时间长和内存占用量大的缺点。

2.3动态规划法

动态规划法是目前在国内外广泛应用的排水管道优化设计计算方法。它的基本思想是认为排水管道是一个多阶段的决策过程，通过对研究课题划分阶段，寻求最优路线来进行优化设计。它在应用中分为两支：一支是以各节点埋深做为状态变量，通过坡度决策进行全方位搜索，其优点是直接利用标准管径，优化结果与初始解无关，且能控制计算精度，但要求状态点的埋深间隔很小，使存储量和计算时间大为增加。为了节省运算时间，引入了逆差动态规划法。逆差动态规划法是在动态规划法的基础上引入了缩小范围的迭代过程，可以显著地减小计算时间和存储量，但在迭代过程中可能遗漏最优解，而且在复杂地形条件处理跌水，缓坡情况时受到限制。另一支是以管径为状态变量，通过流速和充满度决策进行搜索的动态规划法。由于标准管径的数目有限，较以节点埋深为决策变量方法在计算机存储和计算时间上有显著优势。最初的动态规划对每一管段选取的一组标准管径中并不全是可行管径，因此发展出可行管径法。可行管径法通过数学分析，对每一管段的管径采用满足约束条件的最大和最小管径及其之间的标准管径，构成可行管径集合，进而应用动态规划计算。可行管径法使得优化计算精度得以提高，并显著减少了计算工作量和计算机存储量。尽管动态规划法是解决多阶段决策问题最优化的一种有效方法，但其状态变量均应满足“无后效性”的特点。“无后效性”是指当给定某一阶段的状态时，在以后各阶段的行进要不受当前各阶段状态的影响。从前面的分析可知，在排水管道系统设计计算时，前一管段的设计结果将直接影响到后续管段设计参数的选用，无论是利用节点埋深还是管短管径作为状态变量，都没有充足的证据能够状态变量的“无后效性”。因此利用动态规划法求出的污水管道优化设计方案并不一定是真正的最优方案。

3.优化设计的遗传算法

遗传算法是近几年迅速发展起来的一项优化技术，是一种模拟自然界生物进化过程的全局随机优化算法。遗传算法借助于生物进化机制与遗传学原理，按照自然选择和适者生存的原则，利用简单的编码技术和繁殖机制，模拟自然界生物群体优胜劣汰的进化过程，使待优化问题逐步从初始解进化到问题的最优解。简单易用、灵活方便、通用性强以及隐含并行性等特点使遗传算法比传统优化方法具有更大的优越性，为解决复杂系统优化问题提供了一种通用框架，成为解决函数优化、网络优化、组合优化等许多工程优化问题的重要技术之一。是进化算法的一个重要分枝。利用这一进化理论同样可以作为排水工程实践中的寻优方法。应用遗传算法进行污水管网优化设计的关键在于确定合适的编码方式以及将实际问题的优化目标函数转换为遗传算法的个体适应度函数。

目前，遗传算法与神经网络的结合越来越受到人们的关注，并且己经形成了一种新颖的遗传神经网络研究领域。近年来，该领域的研究非常活跃，并取得了不少成果，这为遗传神经网络更为广泛深入的应用带来了充满希望的前景。目前主要的结合方式是将遗传算法用于神经网络权值的优化和拓扑结构的设计。用遗传算法优化神经网络权值是在网络结构已经确定的前提下进行的，无需计算梯度信息，遗传算法就能够发现神经网络连接权值的一个接近全局最优的权值集，这使得用遗传算法优化神经网络权值对那些大而复杂、误差梯度信息很难获取或根本不可用的问题特别具有吸引力。如果神经网络误差的梯度信息容易获取，则把遗传算法与基于梯度信息的BP算法相结合的方法可以提高权值训练算法的性能。

4.结语

优化设计系统将设计人员计算量大大降低，把设计人员从查阅图表的繁杂过程中解脱出来，加快设计进度，与此同时，整个排水管道系统得到了优化设计。研究标明，优化后的排水工程大约可以降低约10%的工程造价。应用各种优化算法进行排水管网的优化设计在实际工程优化设计中有较大的推广应用潜力，可以为工程设计优化和科学的方案决策提供科学的参考依据，能够达到节省工程投资和提高设计质量的良好效果。当然，排水管网的优化算法要想被广大工程技术广泛接受，一方面需要设计人员勇于尝试和应用新技术、新方法，另一方面也需要开发出能够将合适的优化算法和传统计算方法有效融合在一起的计算机辅助设计软件，以促进新方法在实际工程设计过程中推广应用。

参考文献