正比例和反比例的意义范文

导语：如何才能写好一篇正比例和反比例的意义，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

【教材解读】

首先，教材呈现生活中购买笔记本的相关信息，引导学生观察、分析数量的变化规律，并运用数量关系式进行抽象概括，初步体会反比例的意义；其次，通过“试一试”，借助工作效率和工作时间这两种变量之间的数量关系，进一步丰富学生的认识，引导学生在问题的解答中体验判断成反比例的量的思考方法，并通过比较，抽象出成反比例的量的字母表达式；最后，借助“练一练”和“你知道吗”，促进学生准确把握成反比例量的特点，深化对反比例意义的理解。

【教学目标】

1.知识与技能：经历从具体实例中认识成反比例的量的过程，理解反比例的意义，会根据反比例的意义判断两种相关联的量是否成反比例。

2.过程与方法：经历反比例意义的建构过程，通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，发现成反比例的量的变化规律及特征，抽象概括出反比例的意义。

3.情感、态度与价值观：进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识，同时渗透初步的函数思想，进一步培养观察、分析、判断、综合的能力。

【设计思路】

反比例的教材编排与正比例有类似的地方，区别之处就在于反比例是两种相关联的量的乘积一定，变化方向相反。而且学生已经认识了正比例，对判断是否成比例的方法步骤已经有所掌握。因此，本节课在教学时应紧扣“反”字展开，基于学生的已有经验，给予广阔的探究空间，预设“在激活经验中设疑引入，在自主探究中建构意义，在巩固应用中深化理解”的教学流程，着重让学生深入体验变化方向相反的规律，力求让反比例的概念在学生的自主探究中实现自然生长。

【教学过程】

一、复习铺垫，激疑引入

1.复习。

师出示题目：

购买同一种水笔，购买水笔的数量和总价如下表。

[数量/支 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 2.5 5 7.5 10 12.5 15 … ]

提问：同学们，前面我们已经认识了正比例。这是学校吉老师在购买水笔的过程中收集到的信息，表中的两个量成正比例吗？你是怎样判断的？

小结：我们在判断两个量是否成正比例时，一要看两个量是否相关联，二要看这两个相关联的量的比值（或者商）是否一定。

2.引入。

师出示题目：用同样多的钱购买水笔，水笔的单价和数量如下表。

[单价/元 1.5 2 3 4 5 6 … 数量/支 80 60 40 30 24 20 … ]

提问：这是吉老师购买水笔收集到的第二组信息，这里的单价和数量也成正比例吗？为什么？

设疑：很明显不成正比例。那这样的两个量的变化有没有规律呢？能否成比例呢？我们今天就来研究这种变化规律背后隐藏的关系。

【设计意图】上课伊始，组织学生复习正比例的意义与判断方法，能有效激活已有经验，从认知结构中提取相关知识点，顺利搭建已知到未知的桥梁，为新知学习提供认知基础。对于第二组信息的判断，能引发学生的认知冲突，产生积极的学习心向，激起探究新知的强烈欲望。

二、探究规律，理解意义

（一）引导探究购物情境中的反比例关系

1.回顾：请同学们想一想，我们研究正比例的意义是怎么学习的，还记得吗？

2.探究：请同学们拿出学习单，仔细观察表中的数据，根据我们研究正比例意义时的方法，看一看表中的两个量有什么变化规律，把你的发现写在学习单上。（学生自主探究，教师全班巡视）

3.交流：同学们都有了自己的发现，接下来请你将自己的发现在全班进行交流，在分享的过程中将自己的想法进行完善。交流时注意，如果你的发现前面已经有同学分享了，就不要再重复了。（邀请部分学生在全班交流，教师实时进行评价，促进学生的想法渐臻完善）

4.追问：如果用一个式子来表示几个量之间的关系，你会写吗？（板书：单价×数量=总价）

5.想象：下面哪一幅图能表示用同样多的钱购买水笔的单价和数量之间的关系呢？6.阅读：在购买水笔的总钱数同样多的情况下，单价和数量之间有什么关系呢？请大家打开课本61页读一读，并在书上圈一圈，画一画。

7.归纳：因为单价和数量是两种相关联的量，而且单价×数量=总价（一定），所以购买水笔的单价和数量成反比例关系，它们是成反比例的量。

8.揭示：这就是我们今天要学习的内容“反比例的意义”。

【设计意图】反比例与正比例的概念有共同之处，学习与研究的方法上亦可相互借鉴。有了学习正比例的经验基础，学生对于反比例的学习就会比正比例容易些。上述教学环节中，首先，引导学生回顾学习和研究正比例时的方法，激活已有的学习经验，为自主探究提供铺垫；其次，充分尊重学生的已有认知，把课堂时空还给学生，让学生自主观察、发现、分析、概括，在对话交流中分享各自的探究成果，真正让学习成为学生自己的活动；最后，呈现三幅图象，让学生想象并作出判断，渗透数形结合的思想，利于学生直观感受“反”的本质，促进学生对反比例意义的理解。

（二）自主发现生产情境中的反比例关系

生产240个零件，工作效率和工作时间如下表：

[工作效率/（个/时） 120 80 60 48 40 … 工作时间/时 2 3 4 … ]

助学提示：

1.填一填，并说一说工作效率和工作时间的变化情况。

2.算一算，工作效率和对应工作时间的乘积相等吗？

3.写一写，你能用式子表示工作效率和对应工作时间之间的关系吗？

4.判一判，生产240个零件，工作效率和工作时间成反比例吗？为什么？

【设计意图】“试一试”的目的在于引导学生在与生产有关的情境中，借助另一组数量关系进一步感知反比例关系。教师完全放手让学生借助“助学提示”自主完成，通过“助学提示”中四个关键问题的引领，让学生抓住反比例意义的核心本质，促进学生再次深入理解反比例的意义，掌握判断是否成反比例的思考步骤。

（三）概括生成两种成反比例量的字母模型

1.比较：刚才研究的两个问题中，成反比例的两种量都有什么共同特点？

2.举例：生活中还有类似的变中不变的现象和规律吗？（大米的总重量一定，每袋大米的重量和袋数成反比例；教室地面的面积一定，每块地砖的大小和所用的块数成反比例；看一本《夏洛的网》，每天看的页数和所需的天数成反比例；……）

3.建模：如果用x、y表示筛鱿喙亓的量，用k表示它们的乘积，反比例关系可以如何表示呢？

4.追问：想一想x和y成反比例关系最为关键的是什么？

【设计意图】此环节重在引导学生实现认知的提升，达成关于反比例意义的完整建构。比较是对“购物”和“生产”两个情境中的反比例关系进行归纳抽象，为建立一般意义上的模型预作铺垫。举例将学生思维的触角向生活伸展，丰富对所学新知的感受与体验，培养学生数学化的眼光。建模促进学生寻找高度概括的字母表达式，促进思维实现由感性到理性的跃迁，渗透简约数学的思想。追问再次紧扣知识的核心本质，强化判断是否成反比例的关键抓手，学生对于反比例的意义又能有更深入的理解。

三、巩固拓展，深化理解

（一）在操作中深化理解反比例的意义

1.出示：正方形小方片。小方片可是我们学习数学的好帮手，这儿有24块小方片，你能摆成哪些长方形呢？（学生拿出24块小方片拼摆长方形）谁来说一说，你是怎样摆的？（学生回答后，课件有序出示摆成的长方形如下）摆成的这些长方形的长和宽分别是怎样变化的？

2.比较：每张表中都是与走路有关的两个量，它们都是成反比例的量吗？为什么？

3.小结：成反比例的两个量必须符合两个条件，即这两个量必须是相关联的量，而且它们对应的乘积必须是一定的。

（三）在联想中深化理解反比例的意义

1.出示几箱光明牛奶，追问：看到这几箱牛奶，你想到哪些量是一定的？

2.你能想到成反比例的量吗？（每盒牛奶的重量和盒数成反比例，每盒牛奶的体积和盒数成反比例，每箱牛奶的重量和箱数成反比例，每箱牛奶的体积和箱数成反比例……）

【设计意图】概念的理解、技能的提升都离不开形式多样、富有层次的巩固练习的支撑。操作环节让学生动手又动脑，通过摆成面积不变、长宽不同的长方形的操作活动和对四个长方形长与宽的整体比照，帮助学生形成 “变化方向相反”的直观感知，利于学生深化对反比例关系的理解。与走路有关的题组练习，从正反两方面强化学生对反比例的核心要素的把握，同时增强学生辨析比较的能力。教者借助几箱牛奶的生活素材让学生展开联想，一方面打开了学生思维的视界，实现了教学的开放性；另一方面又提高了思维的抽象性，思维的对象由图表与文字，过渡到了无任何文字说明的实物，提升了学生思维的水平。

四、回顾反思，提升认识

通过这节课的学习和研究，你对反比例的意义有了怎样的认识呢？你能从这三个方面（你学会了什么知识？学会了哪些方法？还有什么疑惑？）说一说吗？

篇2

关键词 阿托伐他汀 血脂 超敏C-反应蛋白 急性冠脉综合征

doi:10.3969/j.issn.1007-614x.2012.21.018

阿乐是国产阿托伐他汀，由北京嘉林药业股份有限公司生产，立普妥由辉瑞制药有限公司生产。本文旨在观察阿乐在急性冠脉综合征中调脂、抑制炎性反应和安全性是否与立普妥相近。

资料与方法

一般资料：2009～2010年收治临床确诊为ACS患者100例，符合ACC/AHA ACS诊断标准［1］。根据冠心病二级预防标准［2］，随机分为阿乐组与立普妥组，每组50例。

方法：阿乐每日口服阿乐20mg，立普妥组每日口服立普妥20mg。分别于服药后1、3及6个月复查血脂、hsCRP水平和肝肾功能，随访心绞痛发生率、心血管死亡率、非致命性MI发生率、非致命性卒中发生率等。

血脂检测：留取空腹静脉血，采用酶学检测法。低密度脂蛋白胆固醇按Friedewald公式计算。

超敏C反应蛋白：留取空腹静脉血，采用免疫散射比浊法测定。

统计学处理：应用SPSS13.0软件分析。计量资料以X±S表示，检验水准α=0.05。

结 果

阿乐组2例患者，立普妥组1例患者在随访期间因冠心病死亡。阿乐组与立普妥组均能有效降低ACS患者血清胆固醇及低密度脂蛋白水平，随访期间各组高密度脂蛋白水平有逐渐增高的趋势，血清甘油三酯有逐渐降低的趋势，但两组在6个月的随访期内差异未见有统计学意义。阿乐和立普妥组均能显著降低ACS患者血清hsCRP水平，两组比较差异无统计学意义(P＞0.05)；治疗后1个月即可观察到hsCRP水平有明显下降，差异有统计学意义(P＜0.05)，早于对血脂的影响。

讨 论

动脉粥样硬化斑块破裂和继发的血栓形成是急性冠状动脉综合征的发病机制。他汀类药物可防止斑块破裂，促进斑块稳定，可阻止或减少ACS的发生［3］。他汀类药物可能通过降低血脂，改善内皮功能，抑制炎症反应等多种复杂的机制促进斑块稳定［4］。阿乐和立普妥是两种处方量较大的阿托伐他汀钙片。本研究发现阿乐和立普妥组均能显著降低ACS患者血清TC、LDL-C和hsCRP水平，同时对HDL-C的升高及血TG的降低也有作用，两组比较差异无统计学意义。随访期间两组心血管死亡率、非致命性MI发生率、非致命性卒中发生率比较差异均无统计学意义。本研究发现两种阿托伐他汀均能抑制炎症反应，抑制炎症反应的作用先于调脂作用。治疗后1个月即可观察到hsCRP水平有明显下降，早于对血脂的影响。提示抑制炎症反应的作用发生早于调脂作用，推测他汀类药物稳定斑块的主要作用来源于降脂外的抗炎作用。本研究发现阿乐在急性冠脉综合征中调脂、抑制炎症反应和安全性与立普妥相近。并且有明显的经济学优势。为具有价格优势的阿乐的推广应用提供理论依据。

参考文献

1 Pollack CV,Jr Braunwald E.2007 update to the ACC/AHA guidelines for the management of patients with unstable angina and non-ST-segment elevation myocardial infarction:implications for emergency department practice［J］.Ann Emerg Med,2008,51(5):591-606.

2 Thomas GN,Ho SY,Janus ED,et al.The US National Cholesterol Education Programme Adult Treatment Panel Ⅲ(NCEP ATP Ⅲ) prevalence of the metabolic syndrome in a Chinese population ［J］.Diabetes Res Clin Pract,2005,67(3):251-257.

篇3

这册教材包括下面地些内容：圆柱和圆锥，简单的统计（六），比例以及小学六年来所学数学内容的总复习。其中还安排了“球”和“扇形统计图”作为选学内容。本册教材的这些内容是在前几册的基础上按照完成小学数学的全部教学任务安排的，着重使学生认识一些常见的立体图形，掌握它们的体积等计算方法，进一步发展空间观念；进一步形成统计的观念，掌握用复式折线统计图表示数据整理结果的方法，提高依据统计数据的分析、预测、判断能力；理解比例、正比例、反比例的概念，加深认识一些常见的数量关系，会用比例知识解答比较容易的应用题。然后把小学数学的主要内容加以系统的整理和复习，巩固所学的数学知识，使学生能够综合运用所学的数学知识解决比较简单的实际问题；结合新的教学内容与系统的整理和复习，进一步发展思维能力，培养思维品质，进行思想品德教育。

本册教材中的圆柱和圆锥、简单的统计（六）、比例都是小学数学的重要内容。首先，认识圆柱和圆锥的特征，掌握圆柱和圆锥的一些计算，既可以为进一步学习其他形体的表面积和体积及其计算打好基础，进一步发展空间观念，也可以增强解决问题的策略和方法，逐步增强学生收集、处理信息的意识和能力。最后学习好比例的知识，不仅可以增强学生用数学方法处理数学问题的能力，而且也使学生获得初步的函数观念，为进一步学习相关知识作初步的准备。因此，让学生认识这些内容的概念，学会应用这些概念、方法和计算解决一些实际问题，是教学的重点。

本册教材编写特点：

1、重视研究图形的特征，鼓励学生猜想和估计，加强操作，进一步发展学生的空间观念。

第十册已经教学过长方体和正方体，它们都是由几个平面图形围成的几何体。本册教学两种新的立体图形：圆柱和圆锥。这两种立体图形都是含有曲面的几何体。教材教学时，同以前各册一样，重视加强学生的操作，发展学生的空间观念。教学每一种形体时，都引导学生先观察形体的特征，然后进行一些实验。教材鼓励学生联系已有知识对新学习的内容先猜一猜或估一估，在猜测或估计的基础上进行实验和推理，培养学生的学习能力。此外，本册教材在联系实际方面也有所加强。一方面在教学形体概念加强联系周围的实物，另一方面适当增加了实践活动和先测量物体再计算表面积或体积的练习题。

2、加强看懂和分析简单统计图的训练，注意要求适当。

本册教材继续加强看懂和分析简单统计图的训练，为此，例题中在统计图后面提出几个问题，让学生看图回答。有的练习题还专门安排看统计图回答问题。考虑到制作简单的统计图对小学生来说并不是很容易的，教材中一方面注意说明制作统计图的一般方法和步骤，另一方面在安排练习时基本上都安排半独立完成的。以免对制作统计图的要求过高。

3、突出比例的概念，加强知识间的联系。

正比例关系和反比例关系，实际上是一种函数关系。修订后的教材中，比例知识趋于简化，教学的重点是正、反比例的概念，用比例知识解应用题只保留一些较简单的。本册教材为了突出比例的概念的应用，作了以下几点改进：⑴把比例尺安排到比例的概念教学之后教学，加强比例尺与比例概念的联系，这样既有助于学生加深理解比例的概念，又便于学生运用比例的知识和解比例的方法来解决有关比例尺的计算问题。 ⑵教学正比例概念之后接着教学反比例概念并增加两个概念的联系和对比。⑶在比例知识解应用题的最后增加了用不同知识解的练习题。通过这样的教学，可以加强整数、分数运算和比例之间的联系，提高学生灵活运用知识解决实际问题的能力。

4、加强数学知识的整理，使所学的数学知识系统化。

本册教材的最后一个单元是总复习，把小学阶段所学的主要内容进行系统的整理和复习，使学生对所学的数学知识得到巩固和加深，计算能力得到进一步提高，更好地达到小学数学教学的目标。本册教材对这一单元的编写作了以下几点改进：⑴把小学的数学内容分为整数和小数、简易方程、分数和百分数、量的计量、几何初步知识、比和比例、简单的统计七部分，依次分别复习。⑵在复习每一部分知识时，注意加强知识间的内在联系。⑶选用适当的方式帮助学生回忆并整理所学的数学基础知识。⑷在练习中既注意基本的训练，又注意适当加强灵活和综合运用知识的练习，以利于进一步提高学生的计算能力和解题能力。

5、继续加强能力的培养。

本册教材继续加强能力的培养，做法与前几册基本相同，另外还结合本册特点加强灵活运用知识和综合运用知识的能力的培养。

⑴培养分析、比较和综合能力。⑵培养抽象、概括能力。⑶培养判断、推理能力。⑷培养迁移类推能力。⑸培养学生思维的灵活性和敏捷性。⑹培养学生综合运用知识解决实际问题的能力。

二、教学目标

1、使学生在经历观察、操作等活动的过程中认识圆柱和圆锥的特征，能正确地判断圆柱和圆锥，理解、掌握圆柱的表面积、圆柱和圆锥体积的计算方法，会正确地进行计算。

2、使学生认识复式折线统计图，了解复式折线统计图的特点和作用，了解复式折线统计图的绘制方法，初步学会用复式折线统计图表示统计的数据，会对复式折线统计图进行简单的分析和判断。

3、使学生理解比例的意义和基本性质，会解比例；认识比例尺，会看比例尺，会进行比例尺的有关计算；理解正比例和反比例的意义，能够判断两种量是否成正比例或反比例，理解用比例关系解应用题的方法，学会用比例知识解答比较容易的应用题。

4、使学生通过系统的复习，巩固和加深理解小学阶段所学的数学知识，更好地培养比较合理的、灵活的计算能力，发展思维能力和空间观念，并提高综合运用所学数学知识解决简单的实际问题的能力。

三、教学进度及分工

周 次

起 讫 日

教 学 内 容

备 注

一

2.9-2.10

期初复习（2课时）

2月9日上课

二

2.13-2.17

圆柱（5课时）

三

2.20-2.24

圆柱的复习（2课时）；圆锥（3课时）

四

2.27-3.3

实践活动——

观察与测量（1课时）；单元复习（4课时）

五

3.6-3.10

简单的统计（3课时）；比例的意义和性质（2课时）

六

3.13-3.17-

比例的应用（3课时）；正比例的意义（2课时）

七

3.20-3.24

反比例的意义（3课时）；成正比例量的应用题（2课时）

八

3.27-3.31

成反比例量的应用题（2课时）；单元复习（4课时）

九

4.3-4.7

整数与小数的复习（10课时）

十

4.10-4.14

十一

4.17-4.21

简易方程（5课时）

十二

4.24-4.28

分数与百分数（10课时）

期中考查

十三

5.1-5.5

十四

5.8-5.12

十五

5.15-5.19

量的计量（4课时）

十六

5.22-5.26

几何初步知识（10课时）

十七

5.29-6.2

十八

6.5-6.9

比和比例（5课时）

十九

6.12-6.16

简单的统计（3课时）；综合练习1-2

二十

6.19-6.23

期终复习

期终考查

二十一

6.26-6.30

二十二

篇4

一、班级基本情况：

各班根据具体情况制定。

二、目的要求

使学生理解比例的意义和基本性质，会解比例，会看比例尺，理解正比例和反比例的意义。能够判断两种量是否成正比例或反比例，会用比例知识解答比较容易的应用题。

使学生认识圆柱、圆锥的特征，初步认识和会计算圆柱的表面积以及圆柱、圆锥的体积。

使学生会看和制作含有百分数的复式统计表，了解简单统计图的绘制方法，会看和初步绘制简单的统计图。

使学生通过系统的整理和学习，加深对小学阶段所学的数学知识的理解和掌握，更好的培养比较合理的、灵活的计算方法与能力。发展学生的思维能力和空间观念，提高综合运用所学数学知识解决简单的实际问题的能力。

对本册各项教学内容的具体要求，初步拟订如下表：

要求

内容

单元教学结束

期末

平均错误率

速度

平均错误率

速度

数学概念

25%以内

—

20%以内

—

整数、小数、分数的口算

—

—

5%以内

85%达到每分4题

四则混合运算

20%以内

—

5%以内

—

综合运用知识解答问题

30%以内

—

25%以内

—

三、教学措施

1、突出比例的概念，加强知识间的联系

①把比例尺移到比例的概念之后教学，加强比例尺与比例概念的联系，又便于学生运用解比例的知识来解决有关比例尺的计算问题。②教学正比例概念之后接着教学反比例概念，并增加两个概念的联系和相比。这样有助于加深学生对正、反比例的理解更好的判断实际问题中哪些量成正比例关系，那些量成反比例关系，即从两种相关联的量相对应的数的比值（商）或积一定来定义。一种量是怎样随着另一种量的变化而变化有鲜明的印象。③在用比例知识解应用题的最后增加了不同知识解的例题和练习题。通过这样的教学，可以加强整数、分数运算和比例之间的联系，提高学生灵活运用知识解决实际问题的能力。

2、加强操作，重视研究图形的特征，进一步发展学生的空间观念

重视加强学生的操作，发展学生的空间观念，教学每一个形体时，都引导学生观察形体的特征，然后进行一些实验，使学生看到一些感性的东西。从而上升到理性认识，学生不仅对所学的形体特征加深了认识，对周围一些表面具有各种曲面的形体也提高了认识，此外，联系实际方面也有所加强。另一方面也应适当加强实际测量物体再计算表面积或体积的练习题。

3、加强看懂和分析简单统计图的训练，注意要求适当。

加强看懂和分析简单统计图的训练，为此，每个例题中在统计图后面都提出几个问题，让学生看表或看图回答，逐步培养学生看懂统计图表和根据图表中的数据分析问题起着重要的作用，可以加强学生对统计思想和方法的认识。另一方面在安排练习时注意多安排半独立完成的，少安排独立完成的，以免对制作统计图表要求太高。

4、加强数学知识的整理，使所学得数学知识系统化

把小学阶段所学的主要数学内容进行系统地整理和复习，使学生对所学的数学知识得到巩固和加深，计算能力和解答应用题的能力得到进一步提高，更好地达到小学教学的预定目标。为了切实达到上述目的要求，必须做到以下几点（1）把小学的数学内容分为数和数的运算、代数初步知识、应用题、量的计量、几何初步知识、简单的统计六个部分，依次分别复习。（2）在复习每一部分知识时，注意加强知识之间的内在联系，例如，复习数的意义时先复习自然数，而后复习整数，在复习分数，最后复习小数。这样使学生进一步明确数的概念的发展，以及它们的联系和区别。（3）给出个部分知识的要点，以保证学生所学的数学基础知识的完整性，而且没有遗漏，由于是复习整理，而不是新授，根据不同的知识的特点以及学生的基础，采取不同的呈现形式，特别注意启发引导学生对所学的内容加以再现，整理和区分，这样既可以更好的调动学生复习的积极性，又可以进一步加深对所学知识的理解。（4）在练习中既注意基本的训练，又注意适当加强灵活性和综合地运用知识的练习，以利于进一步提高学生的计算能力和理解能力。

5、继续加强能力的培养

（1）培养分析、比较和综合能力。教学圆柱、圆锥等形体的认识时，先让学生看实物摸型，引导学生分析每一种形体的特点。教学正比例和反比例的概念以后，引导学生分析、比较和分析找到它们的相同点和不同点。这样既可以加深学生对概念的认识和理解，又有助于培养学生分析、比较和综合的能力。（2）培养抽象、概括能力。例如，教学正比例概念时，通过两个例子，先引导学生分析每两种量的变化情况。再比较两个例子中的两种相关联的量，在变化时有什么共同点，然后抽象，概括，，用字母公式表示出成正比例的关系。（3）培养判断、推理能力例如，教学百分数和分数互化时通过几个不同的例子，引导学生归纳总结出分数化成百分数和百分数化成分数的方法。这就有助于培养学生的归纳推理的能力。（4）培养迁移类推能力。教学圆柱的侧面积时，指出展开的面是一个长方形引导学生自己发现移动小数点的位置的规律，再加以归纳总结。（5）培养学生思维的灵活性和敏捷性。在计算方面继续培养学生在计算过程中发现自觉地进行合理的计算，尽量使用简便方法。（6）培养学生综合运用知识解决实际问题的能力。本册时小学数学教学的最后阶段。学生将要把小学的数学内容全部学完，这就要为培养学生综合运用知识解决实际问题提供了有利的条件。

四、具体做法

1、同年级同科目的教师应经常研讨数学教学中的教材，开展互相听课的制度，共同探讨最佳的教学方法，相互取长补短，努力提高教学质量。

2、积极准备根据教材中的所需的教具与学具，为了学生能比较直观的观察，这样极有利于学生的直观认识，有利于教学。想方设法制作教具，也让学生自己动手操作进行多制一些口算卡片，提高学生的口算能力又可以反复的使用。

3、狠抓“差生”的转化，对于差生的学习不能放松，首先提高他们的学习兴趣，利用课余时间进行补缺补差，使他们也能跟上班级的学习水平。也可以让好带差，争取不让一个学生掉队。

五、各单元教学重点、难点、关键

1、重点：比例的意义和基本性质，正比例、反比例的意义。

难点：正比例、反比例的意义的理解及判断。

关键：通过已学过的常见的数量关系，结合实际进行教学。

2、重点：圆柱体体积的计算。

难点：应用本节所学知识解决一些实际问题。 关键：充分运用电教手段、直观教具，对计算公式的推导过程进行有目的，有步骤、有程序的引导，从而推导出计算公式和有关概念。

3、重点：使学生会看统计图表，会制作简单的统计图。

难点：绘制复式统计图。

4、重点：①整数、小数分数四则计算混合运算。

②复合应用题、分数应用题：几何形体的知识。

③综合运用知识解决实际问题。

难点：①使学生对所学知识系统化，并融会贯通。

②能应用所学知识对各类应用题分析，寻求灵活解答应用题的途径。

③发挥教材的内在智能因素，发展智力培养能力。

5、关键：

掌握小学阶段基础知识——概念、性质、法则和公式，以及常见的基本数量关系。

六、教学进度

单元

课目

起讫日期

周次

课时

节次

备注

一

比例的意义和基本性质

3月1日—4日

2

4

14

①三月八日放假半天

②五一黄金周放假七天

③六月一日开展活动一天

④第十周期中考试⑤六月三日至十七日期末复习考试

正比例和反比例的意义

3月7—2月11日

3

4

比例的应用

3月14日—15日

4

2

整理和复习

3月16日—17日

4

2

机动

3月18日—3月21日

5

2

二

圆柱

3月22日—25日

5

4

13

圆锥

3月28日—4月1日

6

3

整理和复习

4月4日—8日

7

4

机动

4月11日—12日

8

2

三

统计表

4月 13—14日

8

2

10

统计图

4月15日—22日

8 — 9

6

机动

4月25—4月26日

10

2

四

数和数的运算

4月27日—5月10日

10~11

6

23

代数初步知识

5月11日—13日

12

3

应用题

5月16日—5月20日

13

5

量的计量

5月23日—24日

14

2

几何的初步知识

5月25日—5月31日

14~15

5

简单的统计

6月2日—3日

15

2

五

总复习

6月3日—6月17日

15~ 17

11

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A.正方形的面积和边长成正比例。

B.一种零件长1.5cm，在比例尺是5∶l的图上，长度应画 7.5 cm。

C.给2∶10＝9∶45的第一项加4，要使比例式仍成立，第三项也应加4。

D.分子不变，分母和分数值成反比例。

【病症】 说法正确的有（ A、C）。

【诊断】 （1）根据正方形的面积S=a2可得：=a。因为a是不定值，的比值不一定，所以面积和边长不成正比例，A的说法错误。（2）可以设长度应画x厘米，则x∶1.5=5∶1，解得x=7.5，所以B的说法正确。（3）可以设第三项应变为x，根据比例的基本性质可得10x=（2+4）5，解得x=27，第三项应加27－9=18，所以C的说法错误。[想一想：（3）还可以怎样算?]（4）因为分母分数分子（一定），所以D的说法正确。

【处方】 说法正确的有（ B、D）。

注意：我们在判断两种相关联的量是否成比例关系时，一定要根据正、反比例的意义，看这两种量中相对应的两个数的比值或乘积是否一定，再做出判断。

病例2 一幢房子所占的地是一个长方形，在一幅标有比例尺是1∶300的地图上，量得长是10cm，宽是4cm。这幢房子的实际占地面积有多大？

【病症】 解：10 00=120（m2）

【诊断】 算法错误。比例尺是图上距离和实际距离的比，是两个长度的比，所以要先根据比例尺分别算出实际的长和宽各是多少米，再求实际占地面积。

【处方】 实际长是1000=30（m），宽是4 00=12（m），所以实际占地面积是302=360（m2）。

病例3 一间房子用方砖铺地，用边长是3dm的方砖，需要96块。如果改用边长是4dm的方砖，需要多少块？

【病症】 解：设需要边长4dm的方砖x块。

4x=36 解得 x=72

答：需要边长4dm的方砖72块。

【诊断】 出现错误的原因是没有搞清楚题中成反比例关系的究竟是哪两种量。房子的面积一定，方砖的大小和块数成反比例，但方砖的大小是指它的面积，而不是边长，所以要根据方砖的面积和块数的乘积相等列式解答。

【处方】 解：设需要边长4dm的方砖x块。

（4）x=（3）6

16x=96

x=54

答：需要边长4dm的方砖54块。

练一练 选择填空。

1.甲数是乙数的，乙数与甲数的比是（ ）。

①2∶7 ②7∶2 ③2∶14

2.五（1）班有女生24人，女生和男生人数的比是4∶5，全班有多少人？正确的列式是（ ）。

①24、?4 、?44 ④244

3. 18%∶48%=（ ）

①9∶16 ②3∶16 ③8∶3 ④3∶8

4.在同一时刻、同一地点，树高与影子（ ）。

①成正比例 ②成反比例 ③不成比例

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【关键词】初中数学 课堂提问 教学情境设计

【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2015）22-0070-02

本文笔者结合自身多年的教学经验对课堂提问的有效性进行了探讨。

一 课堂提问与有效性

所谓课堂提问是指在课堂教学中，为实现某一个教学目标，根据学生的学情等，设计问题进行教学问答的一种教学形式。对于初中数学课堂提问有效性的理解，目前学者对此有不同的看法。陈淼君和沈文选认为有效的课堂提问要能使学生通过数学思维，积极组织回答，同时认为能点燃学生思维的火花并对问题产生强烈的好奇与探索的欲望；梁平认为有效的课堂提问是教师根据教学目标和内容，切合学生的认知水平，有准备、有目的、有序地、以恰当的方式提出问题，能使学生积极主动地响应，经过思考，能够回答得出来，而且问题本身能够引导学生思维；王春燕认为课堂提问有效性的界定可归纳为五方面，一是要准确把握教学目标；二是要符合学生的认知水平；三是教师要注意课堂提问的目的性和层次性；四是要能引起学生的积极响应且经过思考后能较好地回答，并有助于后续的学习；五是要能实现预设的教学目标，培养学生的思维能力，促进学生的全面发展。

综上所述，学者们共同意识到有效的课堂提问要切合教学目标和学生的学情且能激发学生积极思考并做出较好的回答。一般地说，课堂提问有效性的界定根本上取决于是否实现预设的教学目标。尽管如此，笔者认为，教学目标的实现与否是在一系列课堂提问和教学环节之后才知道的，那么对于单个课堂提问的有效性界定就不能仅仅用教学目标来界定。笔者认为，只要学生能比较准确地做出回答，那个这个课堂提问就是有效的。

课堂提问的有效性取决于预先设定的课堂提问的层次性和目的性。

二 课堂问题的类型

朱士泉以学生思维的角度将问题的类型分为记忆型问题、识别型问题、运用型问题和探究型问题。笔者认为，记忆型问题主要用于考查学生是否能用原有知识直接作答，如“什么是一次函数？”、“什么是平行四边形？”。识别型问题用于考查学生是否能根据所学知识做出简单的判断，如“下列函数哪些是一次函数？”。运用型问题用于考查学生能否在某个问题情境中运用抽象的数学概念或定理回答问题，如“下列哪些式子可写成完全平方和？”。探究型问题用于考查学生是否能将新问题转化为熟知的旧问题，如“如果内错角相等，那么两直线是否平行？”。

三 课堂提问有效性的进一步研究

陈亮从精心设计提问内容、巧妙安排提问过程、充分优化提问氛围这三个方面提出10个具体策略：（1）注重问题设计的目的性；（2）注重问题设计的层次性；（3）注重问题设计的生活化；（4）注重提问情境的艺术性；（5）给予学生足够的思考时间；（6）适当追问；（7）处理学生回答要注重生成与迁移；（8）合理安排提问对象；（9）合理开展评价反馈；（10）恰当运用非言语行为。

笔者认为上述10个策略是有效课堂提问的基本要求。那么，教师如何巧妙设计问题呢？首先，教师可借鉴前人的智慧，如苏格拉底的“产婆术”教学思想，即不断地向回答有误的学生提问直到使之陷入自相矛盾中。再如，我国的至圣先师孔子采用的“不愤不启，不悱不发”的教学思想，这里，所谓“不愤不启”的意思是只有当学生急于求解某个问题但又不知所措时，教师及时给予启发，帮助其打开思路。所谓“不悱不发”的意思是当学生有了积极的思考和深入的探究却不知如何表达时，教师及时给予启发，帮助学生梳理思路。其次，教师预设问题应该存在于一系列的教学情境。因为只有在一个具体的情境中才能呈现出一些具体的实际生活问题，才能针对这些实际问题使用各种策略。因此，有效课堂提问的关键在于设置有效的、层次分明的教学情境，使学生能在这种情境中回忆旧知也能在这种情境中体会新知，更重要的是，学生能利用旧知认识新知，达到知识的有效迁移。在情境中回忆旧知不仅能进一步巩固旧知而且能增强学生的自信心，特别对于那些接受知识能力较弱的学生，能帮助他们找回学习的自信，从而激发学习的兴趣。利用旧知迁移到新知，能帮助学生归纳出新知的意义和定义，从而实现本节课的教学目标。

四 案例分析――反比例函数的意义

教学目标：（1）理解反比例函数的意义，能识别反比例函数并根据已知条件确定出反比例函数的表达式；（2）让学生经历从实际问题中抽象出反比例关系并归纳出定义；（3）让学生在情境中分析问题和解决问题，培养学生合作交流的意识。

教学重点：理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式。

教学难点：从实际问题中抽象出反比例关系。

为了突破教学难点，可以逐步设置下面一些情境。

情境1：小明喜欢跑步，每次连续跑步20分钟。如果他的跑步速度是每分钟200米，那么请问小明每天跑了多长路程？

情境1的设置意图：这个问题非常简单，它是属于记忆性问题。如果情境1对后面的教学没有联系，那么情境1的设置是失败的。这里，笔者要指出情境1对后面的教学大有联系，而且情境1的设置能够考查学生是否记住路程等于速度乘以时间这个公式。提问的对象适宜那些接受知识能力较弱的学生，通过教师的鼓励，激发他们的学习兴趣，使学生得到全面的发展。

情境2：假设小明每次连续跑步时间保持在20分钟。如果小明跑步速度越大，那么所跑路程是越大还是越小？

情境2的设置意图：这个问题也非常简单。学生容易根据自身的生活经历做出正确回答。进一步地，教师可以指出路程s和速度v是正比例关系。故可追问“什么是正比例函数？”，从而达到在情境中回忆出旧知：形如

y=kx（k≠0）

（1）是正比例函数。显然，如果学生不知道正比例函数，那么也无法理解反比例函数的意义。教师将正比例函数的定义写在黑板上，目的是希望学生之后能根据正比例的定义归纳出反比例的定义。

情境3：假设小明每天固定跑6000米，请问如果小明跑步速度越大，则所花的时间是越少还是越多？

情境3的设置意图：学生根据生活经验可以做出正确回答。这些生活经验还包括了学生百米竞赛。从而教师可进一步引导出：当路程固定时，速度v越大则时间t越小，而且两者的关系是（2）根据表达式（2），教师可追问“速度v放在分式的分母，大家体会到什么？”。这是运用型问题，可能60%的同学体会到“速度v越大则时间t越小”。这样，学生就能体会到数学的美妙，分式（2）所隐含的意义与生活实际的感觉是一致的，真正实现了数学的生活化。此时，教师可以抛出情境3中的速度v和时间t的关系就叫作反比例关系。然后，教师请大家分组讨论：请模仿正比例函数的定义，给出反比例函数的定义。最后，教师分析学生的讨论结果并在黑板上写出反比例函数的定义。形如

（k≠0）称为反比例函数。接着，教师可追问

（2）式中的k值是什么？最终达到学生能理解反比例函数的意义的教学目标，从而突破了教学难点。

为巩固新知，教师可设置下面类型课堂习题。

说一说：指出下列函数中哪些是反比例函数并指出其中的k值。

（1） （2）y=3x+1

（3）xy=4 （4）y=x-1

试一试：当m取什么值时，下列关系式是反比例函数。

（1）y=xn+3 （2）y=（m-2）x3-m2

五 小结

本文认为初中数学课堂提问的有效性取决于教学情境设置的层次性和目的性。这要求教师本身要有丰富的生活经验，而且教师能从生活经验中发现变量间的关系。正印证了“要想给学生一滴水，教师要有一桶水”。

参考文献

[1]王春燕.初中数学课堂提问有效性研究[D].东北师范大学，2012

[2]陈淼君、沈文选.数学课堂中的提问[J].中学数学研究，2005（9）：15～18

[3]梁平.初中数学课堂提问有效性及其策略的研究[D].广西师范大学，2011

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迁移也称学习的迁移，它是指一种学习对另一种学习的影响。心理学上根据迁移的效能和迁移是否发生，把迁移分成三类，即正迁移、负迁移和零迁移。正迁移也称积极迁移，它可以使一种学习对另一种学习产生的积极的促进作用。负迁移也称消极迁移，它指的是一种学习对另一种学习产生的消极的促退作用。零迁移也称不确定迁移，根据迁移的特点，课堂数学中教师应做到：利用正迁移，减少零迁移，防止负迁移。心理学家对迁移进行了大量研究，其中不少形成了经典的理论。它们对今天的课堂教学仍然有着指导作用，这需要我们教师在课堂教学中，注意运用迁移规律。

一、寻找新旧知识之间的共同因素，注意并重视共同因数的作用，促进正迁移。

共同因素理论提醒我们，产生迁移的原因是在两种活动之间有共同的因素，这不仅是正迁移产生的原因，同样也是负迁移产生的原因。因此在教学中做到促进正迁移，防止负迁移，要特别注意对该共同因素在不同活动中的不同要求进行解释。同时教师在知识传授中要使学生牢固地掌握该因素，使其能在后继学习活动中引起正迁移。

例如教学长方体体积计算的一堂思维训练课中，教师首先出示了一道这样的例子，长方体冰箱，底面积12平方厘米，水深35厘米，把箱中的水倒入另一个底面积为2400平方厘米的长方体水池，求此时水深多少厘米？教师在教学中帮助学生分析和掌握本题重要因素，水的体积不变，只是由于容器底面的大小变化造成了水面高度的变化。学生抓住本题的重要因素，解题就非常容易了。解：1200×35÷2400＝17.5(厘米)

由于学生牢固地掌握了这一题的重要因素，对后继他的学习就非常有所帮助。

长方体冰箱，底面积1200平方厘米，深35厘米，箱中水面高10厘米。现放进一个棱长为20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。求此时水面高多少厘米？此题是一个较复杂的问题，这就需要教师在教学中帮助学生认真寻找以上两题中的共同因素：水的体积不变，造成水面高度改变是由于水的占地面积改变。

水的占地面积由原来的1200平方厘米，减少到现在只有1200－202＝800平方厘米。揭示以上两题的共同因素，迁移就自然地形成了。1200×10÷(1200－202)＝15(厘米)

这样的迁移使学生感到自然，同时使学生体会到知识的内在联系，有利于提高他们的思维能力。

二、注重基础知识的运用，选择正确地教法，帮助学生对于基本原理的理解，达到越来越高的概括程度。

促进正迁移，概括化迁移理论告诉我们，两种学习活动之间存在着共同因素，只是迁移产生的必要前提，而引起迁移的关键是学生在两种活动中概括出的共同原理。这提示我们，在课堂教学过程中为了利用正迁移，不仅要善于发现学习内容中存在的共同因素，而且更要善于对这些因素进行加工，即把它们概括成一般原理和原则，并让学生牢固地掌握和深刻地理解。例如在教学比例知识这一章节中，为了使学生对正比例和反比例的意义理解得更透彻，在思维训练课中，先安排以下两题的练习：①一物体在AB直路上做了一次往返运动，去时用8分钟，回来时用10分钟。往返时间的比8:10＝4:5

往返的速度的比为5:4②两物体在AB两地相向而行，甲每分行35米，乙每分行28米，5分钟相遇。甲乙的速度比35:28＝5:4

相遇时甲乙的路程比(35×5):(28×5)＝5:4

通过计算，使学生掌握了当路程一定时，速度和时间成反比例，当时间一定时，路程和速度是成正比例，学生对核心的、基本的概念(正反比例意义)进行了抽象和概括，帮助学生进一步理解了正反比例的意义，在此基础上，可引导学生解决以下新问题。③加工一批零件，单独做3天完成，乙独做要4天完成，两人同时加工到完成任务时，甲已做了96个零件，这批零件共有多少个？

由于学生对正反比例的意义的理解达到了很高的概括程度，因此解决以上问题并不难，由于甲乙两人的工作时间相同，工作量与工作效率成正比例。甲乙的工作效率比是4:3，所以甲乙的工作量的比是4:396÷4×(4＋3)=168(个)

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关于任何事物的知识都有五个层次或者要素：事物的名称、定义、形象，有关事物的智识或者知识，以及事物本身，下面给大家分享一些关于八年级上册数学复习提纲2020，希望对大家有所帮助。

八年级上册数学复习提纲1分式及基本性质

一、分式的概念

1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：

(1)分式是两个整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用;(2)分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式;(3)分母不能为零。

3、分式有意义、无意义的条件

(1)分式有意义的条件：分式的分母不等于0;

(2)分式无意义的条件：分式的分母等于0。

4、分式的值为0的条件：

当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。即，使=0的条件是：A=0，B≠0。

5、有理式

整式和分式统称为有理式。整式分为单项式和多项式。

分类：有理式

单项式：由数与字母的乘积组成的代数式;

多项式：由几个单项式的和组成的代数式。

二、分式的基本性质

1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为：==，其中M(M≠0)为整式。

2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是：(1)如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的次幂、所有不同字母及指数的积。(2)如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

在约分时要注意：(1)如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的公约数，相同字母的最低次幂;(2)如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分;(3)约分一定要把公因式约完。

三、分式的符号法则：

(1)==-;(2)=;(3)-=

分式的运算

一、分式的乘除法

1、法则：

(1)乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。(意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘)。

用式子表示：

(2)除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。

用式子表示：

2、应用法则时要注意：(1)分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”;

(2)当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分;(3)分式乘除法的结果要化简到最简的形式。

二、分式的乘方

1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。

用式子表示：(其中n为正整数，a≠0)

2、注意事项：(1)乘方时，一定要把分式加上括号;

(2)在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先因式分解，再约分;(3)最后结果要化到最简。

三、分式的加减法

(一)同分母分式的加减法

1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

用式子表示：

2、注意事项：(1)“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号;

当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略;(2)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。

(二)异分母分式的加减法

1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。

用式子表示：。

2、注意事项：(1)在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。

(2)若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。(3)当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。

四、分式的混合运算

1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。

遇到括号时，要先算括号里面的。

2、注意事项：(1)分式的混合运算关键是弄清运算顺序;

(2)有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律;(3)分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。

可化为一元一次方程的分式方程

一、分式方程基本概念

1、定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2、理解分式方程要明确两点：(1)方程中含有分式;

(2)分式的分母含有未知数。

分式方程与整式方程区别就在于分母中是否含有未知数。

二、分式方程的解法

1、解分式方程的基本思想：化分式方程为整式方程。

途径：“去分母”。

方法是：方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程求解。

2、解分式方程的一般步骤：

(1)去分母。即在方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，把原分式方程化为整式方程;

(2)解这个整式方程;

(3)验根。验根方法：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原分式方程的根，使最简公分母为0的根是原分式方程的增根，必须舍去。这种验根方法不能检查解方程过程中出现的计算错误，还可以采用另一种验根方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以发现解方程过程中有无计算错误。

3、分式方程的增根。

意义是：把分式方程化为整式方程后，解出的整式方程的根有时只是这个整式的方程的根而不是原分式方程的根，这种根就是增根，因此，解分式方程必须验根。

三、分式方程的应用

1、意义：分式方程的应用就是列分式方程解应用题，它和列一元一次方程解应用题的方法、步骤、解题思路基本相同，不同的是，因为有了分式概念，所列代数式的关系不再受整式的限制，列出的方程含有分式，且分母含有未知数，解出方程的解后还要进行检验。

2、列分式方程解应用题的一般步骤如下：

(1)审题。理解题意，弄清已知条件和未知量;

(2)设未知数。合理的设未知数表示某一个未知量，有直接设法和间接设法两种;

(3)找出题目中的等量关系，写出等式;

(4)用含已知量和未知数的代数式来表示等式两边的语句，列出方程;

(5)解方程。求出未知数的值;

(6)检验。不仅要检验所求未知数的值是否为原方程的根，还要检验未知数的值是否符合题目的实际意。“双重验根”。

零指数幂与负整数指数幂

一、零指数幂

1、定义：任何不等于零的实数的零次幂都等于1，即a0=1(a≠0)。

2、特别注意：零的零次幂无意义。

即00无意义。若问当x=_____时，(x-2)0有意义。答案是：x≠2。

(2)按照定义分为：

二、负整数指数幂

1、定义：任何不等于的数的-n(n为正整数)次幂，都等于这个数的n次幂的倒数，

即a-n=(a≠0，n为正整数)

2、注意事项：

(1)负整数指数幂成立的条件是底数不为0;

(2)正整数指数幂的所有运算法则均适用于负整式指数幂，即指数幂的运算可以扩大到整数指数幂范围;

(3)要避免像5-2=-2×5=-10的错误，正确算法是：。

三、用科学计数法表示绝对值小于1的数

1、规则：绝对值小于1的数，利用10的负整式指数幂，把它表示成a×10-n(n为正整数)，其中1≤|a|

2、注意事项：

(1)n为该数左边第一个非零数字前所有0的个数(包括小数点前的那个零)。如-0.00021=-2.1×10-4

(2)注意数的符号的变化，在数前面有负号的，其结果也要写符号。

(3)写科学记数法的关键的是确定10n的指数n的值。

八年级上册数学复习提纲2第一章一元一次不等式和一元一次不等式组

一、一般地，用符号“”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.不等式的解不，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.求不等式解集的过程叫解不等式.

由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组

不等式组的解集:一元一次不等式组各个不等式的解集的公共局部。

等式基本性质1：在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式，所得的结果仍是等式.基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.

二、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变.(注：移项要变号，但不等号不变。)性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.不等式的基本性质、若a>b,则a+c>b+c;、若a>b,c>0则ac>bc若c

不等式的其他性质：反射性：若a>b,则bb,且b>c,则a>c

三、解不等式的步骤:1、去分母;2、去括号;3、移项合并同类项;4、系数化为1。四、解不等式组的步骤:1、解出不等式的解集2、在同一数轴表示不等式的解集。五、列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：(1)审题;(2)设未知数，找(不等量)关系式;(3)设元，(根据不等量)关系式列不等式(组)(4)解不等式组;检验并作答。

六、常考题型：1、求4x-67x-12的非负数解.2、已知3(x-a)=x-a+1r的解适合2(x-5)8a,求a的范围.

3、当m取何值时，3x+m-2(m+2)=3m+x的解在-5和5之间。

第二章分解因式

一、公式：1、ma+mb+mc=m(a+b+c)2、a2-b2=(a+b)(a-b)3、a2±2ab+b2=(a±b)2二、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。1、把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.2、把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.3、ma+mb+mcm(a+b+c)4、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。

三、把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式.提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.找公因式的一般步骤：(1)若各项系数是整系数，取系数的公约数;(2)取相同的字母，字母的指数取较低的;(3)取相同的多项式，多项式的指数取较低的.(4)所有这些因式的乘积即为公因式.

四、分解因式的一般步骤为:(1)若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.(2)若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.(3)每一个多项式都要分解到不能再分解为止.

五、形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.分解因式的方法：1、提公因式法。2、运用公式法。

第三章分式

注：1°对于任意一个分式，分母都不能为零.

2°分式与整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母.

3°分式的值为零含两层意思：分母不等于零;分子等于零。(中B≠0时，分式有意义;分式中，当B=0分式无意义;当A=0且B≠0时，分式的值为零。)

常考知识点：1、分式的意义,分式的化简。2、分式的加减乘除运算。3、分式方程的解法和其利用分式方程解应用题。

第四章相似图形

一、定义表示两个比相等的式子叫比例.假如a与b的比值和c与d的比值相等，那么或a∶b=c∶d,这时组成比例的四个数a,b,c,d叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a、d为外项，c、b为内项.假如选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比(ratio)AB∶CD=m∶n，或写成=，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项.假如把表示成比值k，则=k或AB=kCD.四条线段a,b,c,d中，假如a与b的比等于c与d的比，即,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.黄金分割的定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，假如,那么称线段AB被点C黄金分割(goldensection),点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中≈0.618.引理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形:各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.

二、比例的基本性质：1、若ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，那么.假如(b,d都不为0)，那么ad=bc.2、合比性质：假如,那么。3、等比性质：假如=…=(b+d+…+n≠0)，那么。4、更比性质：若那么。5、反比性质：若那么

三、求两条线段的比时要注意的问题：(1)两条线段的长度必需用同一长度单位表示，假如单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比;(2)两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关;(3)两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.

四、相似三角形(多边形)的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例,相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

五、全等三角形的判定方法有：ASA，AAS，SAS，SSS，直角三角形除此之外再加HL

六、相似三角形的判定方法，判断方法有：1.三边对应成比例的两个三角形相似;2.两角对应相等的两个三角形相似;3.两边对应成比例且夹角相等;4.定义法:对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。5、定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似.1、两个全等三角形一定相似.2、两个等腰直角三角形一定相似.3、两个等边三角形一定相似.4、两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似.

七、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。假如两个图形不只是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心，这时的相似比又称为位似比。

八、常考知识点：1、比例的基本性质，黄金分割比，位似图形的性质。2、相似三角形的性质和判定。相似多边形的性质。

八年级上册数学复习提纲3变量与函数

一、变量与常量

1、变量：在某一变化过程中，可以取不同的数值，级数值发生变化的量，叫做变量。

常量：在某一变化过程中，取值(数值)始终保持不变的量，叫做常量。

2、注意事项：

(1)常量和变量是相对的，在不同的研究过程中有些是可以相互转化的;

(2)离开具体的过程抽象地说一个量是常量还是变量是不允许的;

(3)在各种关于变量、常量的例子中，变量之间有一定的依赖关系。如三角形的面积，当底边一定时，高与面积之间是有关联的，不是各自随意变化。

二、函数概念

1、定义：在某个变化过程中，如果有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数，其中x叫做自变量，y叫做因变量。

2、对函数概念的理解，主要抓住三点：

(1)有两个变量;

(2)一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化;

(3)自变量每确定一个值，因变量就有一个并且只有一个值与其对应。

三、函数的表示法：(1)列表法;(2)图象法;(3)解析法。

四、求函数自变量的取值范围

1.实际问题中的自变量取值范围

按照实际问题是否有意义的要求来求。

2.用数学式子表示的函数的自变量取值范围

例1.求下列函数中自变量x的取值范围

(1)解析式为整式的，x取全体实数;

(2)解析式为分式的，分母必须不等于0式子才有意义;

(3)解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义;

(4)解析式是三次方根的，自变量的取值范围是全体实数。

3.函数值：指自变量取一个数值代入解析式求出的数值，称为函数值;

实际上就是以前学的求代数式的值。

函数的图象

一、平面直角坐标系

1、定义：平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中水平的数轴叫做横轴(或x轴)，取向右为正方向;竖直的数轴叫做纵轴(y轴)，取向上为正方向;两轴的交点O叫做原点。在平面内，原点的右边为正，左边为负，原点的上边为正，下边为负。

2、坐标平面内被x轴、y轴分割成四个部分，按照“逆时针方向”分别为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限

注意：x轴、y轴原点不属于任何象限。

3、平面直角坐标系中的点分别向x轴、y轴作垂线段，在x轴上垂足所显示的数称为该点的横坐标，在y轴上垂足所显示的数称为该点的纵坐标。

点的坐标反映的是一个点在平面内的位置。

写坐标的规则：横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，全部用小括号括起来。

如P(3，2)横坐标为3，纵坐标为2。

特别注意坐标的顺序不同，表示的就是不同位置的点。

所以点的坐标是一对有顺序的实数，称为有序实数对。

4、平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应。

5、坐标的特征

(1)在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数;在第二象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是正数;

在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数;在第四象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是负数;

(2)x轴上点的纵坐标等于零;y轴上点的横坐标等于零.

6、对称点的坐标特征

(1)关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反;

(2)关于y轴对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同;

(3)关于原点对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对值相等，符号相反。

(4)第一、三象限角平分线上点：横坐标与纵坐标相同;

(5)第二、四象限角平分线上点：横坐标与纵坐标互为相反数。

7、点到两坐标轴的距离

点A(a，b)到x轴的距离为|b|，点A(a，b)到y轴的距离为|a|。

二、函数的图象

1、意义：对于一个函数，如果把自变量x与函数值y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象。

2、作函数图象的方法：描点法。

步骤：(1)列表;(2)描点;(3)连线。

3、一般函数作图象，要求横轴和纵轴上的单位长度一定要一致，按照对应的解析式先计算出一对对应值，就是坐标，然后描点，再连线;

画实际问题的图象时，必须先考虑函数自变量的取值范围.有时为了表达的方便，建立直角坐标系时，横轴和纵轴上的单位长度可以不一致。

一次函数

一、一次函数的概念

之所以称为一次函数，是因为它们的关系式是用一次整式表示的。学习此概念要从两个方面来理解。

(1)从其表达式上：

一次函数通常是指形如：y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的函数，凡是成这种形式的函数都是一次函数。而当b=0时，即y=kx(k≠0的常数)，则称为正比例函数，其中k为比例系数。

(2)从其意义上：

它们表示的是两个变量之间的关系，这种函数关系具有特定的意义，如，如果说两各变量之间具有一次函数关系，我们就可按照概念设出函数关系式，成正比例关系的也同样，如，若s与t成正比例关系，我们便可设s=kt(k≠0，t为自变量)

“正比例函数”与“成正比例”的区别：

正比例函数一定是y=kx这种形式，而成正比例则意义要广泛得多，它反映了两个量之间的固定正比例关系，如a+3与b-2成正比例，则可表示为：a+3=k(b-2)(k≠0)

二、一次函数的图象

正比例函数和一次函数的图象都是一条直线，所以对于其解析式也称为“直线y=kx+b，直线y=kx”。因为一次函数的图象是一条直线，所以在画一次函数的图象时，只要描出两个点，在通过两点作直线即可。

1、画正比例函数y=kx(k≠0的常数)的图象时，只需要这两个特殊点：(0，0)和(1，k)两点;

2、画一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的图象时，只需要找出它与坐标轴的两个交点即可。

一次函数与x轴的交点坐标是：(0，b)，与y轴的交点坐标是：(-，0)

3、若两个不同的一次函数的一次项的系数相同，则这它们的图象平行。

4、将y=kx的图象沿着沿着轴向上(b>0)或向下(b

5、求两一次函数的交点坐标：联立解两各函数解析式得到的二元一次方程组，求的自变量x的值为交点的横坐标，求出的y的值为交点的纵坐标。

三、一次函数的性质

一次函数的性质是由k来决定的。

1、正比例函数y=kx(k≠0的常数)的性质

(1)当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，这时函数图象从左到右上升。

(2)当k

2、一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的性质

(1)当k>0时，①当b>0时，图象经过一、三、二象限，y随x的增大而增大，这时函数图象从左到右上升。②当b

(2)当k0时，图象经过二、四、一象限，y随x的增大而减小，这时函数图象从左到右下降。②当b

四、确定正比例函数好一次函数的解析式

1、意义：

(1)确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数y=kx(k≠0的常数)中的常数k;

(2)确定一个一次函数，需要确定一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)中常数k和b。

2、待定系数法

(1)先设待求函数关系式(其中含有未知的系数)，再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。

(2)用待定系数法求函数关系式的一般方法：①设出含有待定系数的函数关系式;②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入关系式，得到关于待定系数方程(组);③解方程(组)，求出待定系数;④将求得的待定系数的值代回所设的关系式中，从而确定出函数关系式。

五、一次函数(正比例函数)的应用。与方程的应用差不多，注意审题步骤。

反比例函数

一、反比例函数

1、定义：形如y=(k≠0的常数)的函数叫做反比例函数。

2、对于反比例函数：

(1)掌握其形式y=，且k为常数，同时不能为0;等号左边是函数y，右边是一个分式，分子是一个不为0的常数，分母是自变量x，若把反比例函数写成y=kx-1，则x的系数为-1;自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数y的取值范围也是不为0的一切实数;

(2)将y=转化为xy=k，由此可得反比例函数中的两个变量的积为定值，即某两个变量的积为一定值时，则这两个变量就成反比例关系。

(3)“反比例函数”与“成反比例”之间的区别在于，前者是一种函数关系，而后者是一种比例关系，不一定是反比例函数，如说s与t2成反比例，可设为s=(k≠0的常数)，但这显然不是反比例函数。

二、用待定系数法求反比例函数表达式。由于反比例函数y=中只有一个待定系数，因此只需要一组对应值，即可求k的值，从而确定其表达式。

三、反比例函数的图象

1、意义：

(1)名称：双曲线，它有两个分支，分别位于一、三或二、四象限;

(2)这两个分支关于原点成中心对称;

(3)由于反比例函数自变量x≠0，函数y≠0，所以反比例函数的图象与x轴和y轴都没有交点，无限接近坐标轴，永远不能到达坐标轴。

2、画法(描点法)：(1)列表。

篇9

人教版六年制第十二册第42~43页的内容。

二、教学目标

（一）经历探索两种相关联的量的变化过程，发现规律，理解反比例的意义。

（二）根据反比例的意义，正确判断两种量是否成反比例。

（三）渗透函数思想，使学生受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。

三、教学难点

正确判断两种相关联的量是否成反比例。

四、教学过程

（一）情境导入

1.课前谈话：同学们，你们去过南昌吗？你知道萍乡到南昌需要多长时间吗？（媒体显示：几年前，我乘坐由萍乡开往南昌的K8727次列车需要4小时到达，现在改乘D117次列车，只需2小时5分钟，这是为什么呢？）

2.学生对上述问题发表意见。

3.师：今天，我们就来研究这种类型的问题。

［设计意图：选取学生身边的生活实例引入新课，吸引学生的注意力，激发学生的探究欲。同时为新知的学习埋下伏笔，营造了一种轻松活泼的学习氛围。］

（二）探索新知

1.教学案例一：

（1）出示：火车行驶的时间和速度如下表：

（2）分组讨论以下问题：

①火车的速度和时间是两种相关联的量吗？

②火车的速度是怎样随着时间变化的？有什么规律？

③每组数据中相应的两个数的乘积各是多少？

（3）分组汇报讨论结果。

（4）师小结：火车速度和时间是两种相关联的量，火车的速度加快，所需时间反而减少，火车速度减慢，所需时间反而增加，而且火车的速度和时间的乘积一定。［板书：速度×时间＝路程（一定）］

［设计意图：教师提供给学生充分的合作交流机会，创设基于师生交流、互助、互惠的教学关系。彼此形成一个真正的学习共同体，从而达成共识、共享、共进。］

2.教学案例二：

（1）出示课本例题情景图：把相同体积的水倒入底面积不同的杯子。

（2）请把表格填完整，认真观察表中数据，你有什么发现？

（3）学生独立思考后集体汇报。

（4）师小结：水的高度和底面积是两种相关联的量，底面积增加，水的高度反而降低，底面积减少，水的高度反而升高，水的高度和底面积的乘积一定。［板书：水的高度×底面积＝水的体积（一定）］

［设计意图：抓住本节课的重点，通过对水的高度和底面积两组数据观察与思考，再一次验证了反比例的变化规律，为抽象概括反比例的意义奠定基础。］

（三）归纳总结

1.比较以上两个例子，说说它们有什么共同的规律呢？（学生合作交流，然后分小组汇报）使学生明确：像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系

2.揭示课题：成反比例的量。

3.用字母表示反比例关系：x×y＝k（一定）。

4.用图象表示成反比例的量（出示图象）。

5.想一想：生活中还有哪些成反比例的量？

［设计意图：在学生合作交流，研讨探究的基础上引导学生比较发现，顺理成章地归纳反比例关系的意义，攻破这节课的教学难点。］

（四）巩固提高

1.完成第43页“做一做”。

2.下表中x和y两个量成反比例，请把表格填写完整。

3.判断下面每题中的两个量是不是成反比例，并说明理由。

（1）全班的人数一定，每组的人数和组数。

（2）书的总册数一定，每包的册数和包数。

（3）在一块菜地上种的黄瓜和西红柿的面积。

（4）通过一座大桥，车轮周长和车轮的转数。

（5）a×b=5,a和b分别是多少？

4.动脑筋。

铺地面积一定时，方砖边长和所需块数成不成反比例？为什么？

［设计意图：练习设计有针对性、有坡度，较好的落实了知识技能领域的学习目标，有效地激发了学生的思维，使其思维更具深刻性。］

（五）全课总结

今天这节课你有什么收获与感想？

（六）板书设计

成反比例的量

速度×时间＝路程（一定）

水的高度×底面积＝水的体积（一定）

x×y＝k（一定）

五、教学反思

《成反比例的量》是在学习正比例知识的基础上进行设计教学的。通过学习，使学生理解反比例的意义，会正确判断成反比例的量。教学中我体会到：

1.注重生活与实际相结合，利用生活中的情景引出学习内容，让学生置身于现实的问题情境之中，在解决问题的过程中探究发现数学知识，体验到生活中处处都有数学，数学就在我们身边，运用数学知识能较好地解决生活实际问题，从而增强学习的积极性，产生积极的数学情感。

2.在教学中通过观察、比较、判断、归纳等方法帮助学生建立明晰的概念，把握概念的内涵。课堂上师生互动，小组合作，充分发挥学生的主动性，让学生亲自体验知识的形成过程，并注重在探索的过程中对学生适时地引导，让学生自己发现规律，归纳出反比例的意义及其特征，学会运用反比例的特征来判断成反比例关系的量。

3.以多媒体为教学手段，新课的导入、活动的进行、习题的出示均由电脑显示，充分刺激学生的多种感官，调动了学生学习的积极性，加大了课堂教学的密度，提高了课堂教学的效率。

篇10

关键词：转化思想；比例知识；运用

比例知识在小学数学中的应用主要是用在应用题的解答上。利用比例知识进行问题的解答，一方面，能够加深学生对于知识的理解程度，另一方面，比例知识的巧妙运用也能够使问题变得简单。比例知识在应用题中的应用对于小学生的数学学习技巧的提高有重要的帮助。

一、巧妙转化思想结构

由于思维方式的不同，分析角度的差异，往往同一道题有多种不同的解法。我们要能够从这些方法中选择将问题简单化的方法进行问题的解答。如果能够转化思维结构，对比例知识进行巧妙地运用，就能达到将一些应用题简化的目的。比如说，教材中有这样一个题目：现在要修建一条长20 km的公路，6天修了3 km，照这样的速度，还要多少天才能把这条路修完？在这道题目的解答中我们要把握住其中的不变量，即修路的速度，这正是解答这道题的关键。那么，经过分析我们知道，如果假设还要x天才能把这条路修完，由于其修路的速度是一定的，那么就能得到其解答式为（20-3）/x=3/6。由此便可得到结果。那么还有没有其他的解答方法呢？我们知道比例的性质中还有一个反比的性质，由反比性质，我们可以从第一个式子中得出，修路所用的天数和所修的路的距离是成正比的，即x/6=（20-3）/3。这样题目的解答变得更加简便。通过这种一题多解、一题多变的学习方式，有助于对学生创造性思维的锻炼，对学生的数学学习有着积极的影响意义。

二、正、反比例在数学中的巧妙应用

在数学中一些问题的解答中，可以引导小学生从正、反比例的角度对问题进行思考和分析。比如有这样一道题目：现要修一条公路，原计划每天修500m，30天可以修完，实际上前3天修了1800m，照这样的速度，修完这条路一共需要多长时间？在这道题目的解答中，我们知道，无论按照哪一种方式修路，其修路的速度都是一定的，因此，所修公路的长度和工作时间成正比例关系，由此我们可以得到，假设修完这条路需要x天，那么就有1800/3=（500×30）/x。同时我们也可以这样想，工作量也是一定的，那么工作时间和工作速度之间就是反比例的关系，利用这个能不能解答这道题呢。其实也是可以的，经过分析我们可以得到，（1800÷3）x=500×30。这样同样也可以得到问题的正确答案。在运用正、反比例进行问题解答的时候，能够加深学生对比例知识的掌握，同时还有助于学生有意识地将数学学习与生活实际联系起来，创设一定的情景，调动学生的学习积极性，提高学生的学习效率。

利用比例知识进行数学应用题的解答在小学数学教学中有着非常重要的意义。教师在进行教学的时候要注重学生对比例基本概念和性质的掌握。同时在此基础上引导学生利用比例的性质对其进行灵活的应用和逆应用，开拓新思路，开发新视角，帮助学生了解比例知识在不同解题中的应用之间的联系，使他们形成相应的知识结构。通过这种探究式的比例知识学习方式，激发他们对数学的学习兴趣，使他们将学习和乐趣有效地结合在一起，达

到更好的学习效果。

参考文献：

[1]黄海平.浅谈小学数学六年级比例的教学意义[J].课外阅读：中旬，2013（4）：23-25.