向量平行公式范文
时间：2023-03-24 14:06:41
导语：如何才能写好一篇向量平行公式，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。
篇1
关键词：桥梁 连续箱梁 贝雷桁架式挂篮 施工
随着我国高速公路，城市市政基础设施建设的发展，钢筋混凝土连续箱梁桥，连续刚构桥常被采用，随之而来的连续箱梁施工方法因各项目工程的特点而多样，特别是平行贝雷桁架式挂篮以其结构轻巧，拼装简便，移动灵活等优点而广泛运用，这里主要介绍以贝雷桁片作为劲性主梁的平行贝雷桁架式挂篮在连续箱梁悬臂施工中的应用，供类似桥型施工参考.
一.工程概况：
嘉兴市洪兴西路跨北郊河大桥主桥为三跨T型刚构，桥跨布置为40+60+40米，单幅桥面总宽12.75米，T型刚构设计为直腹板单箱双室变截面梁，箱梁底宽10.75米，两边翼板各宽1米，主墩为9#，10#，四主墩均在北郊河中。因此要求9#，10#墩采用挂篮悬浇施工。
主桥连续箱梁节段为：0#块3米，1#块2.6米，2#块2.6米，3#块3.1米4#块3.1米，5#块3.1米，6#块3.0米，7#块1.56米。共有6块箱梁需要进行挂篮施工。
块件最大重量为70.7吨（3#块），最小重量为45.87吨（7#块）。
设计挂篮荷载要求：挂篮承重为150吨，挂篮自重控制40吨。
二、挂篮模型确定：
由于本工程箱梁节段少，重量较轻，桥面宽度较窄（宽度为12.75米），经几方面比较，结合本工程特点，决定采用平行桁架式挂篮。由组合贝雷片作为劲性主梁，每两片为一组，共三组。
前上、下横梁为：1根双拼32#工字钢、1根双拼工字45#钢。
后上、下横梁为：1根双拼36#工字钢、1根双拼36#工字钢。
底模采用固定平台，底板采用6毫米铁板，22#工字梁为平台分配纵梁。
挂篮前后各置180×20钢板吊带。提升装置为30吨螺旋千斤顶。
三、底模平台
底模平台采用22#工字钢作为分配纵梁，间距40厘米，腹板位置采用满布，用8槽钢作横向连结型钢梁，面层铺设6mm钢板作为底模。作用于平台上的荷载参考有关资料，荷载系数取值如下：
四、上、下横梁验算
五、提升系统扁担分配梁验算
本挂篮提升由吊带、双拼22#槽钢扁担分配梁、30吨手动螺旋千斤顶组成。由前后下横梁的受力图可知，前中吊带的受力最大，其承受的拉力为N中=R15=32.37（T）。理论上可把扁担分配梁和30吨手动螺旋千斤顶组成的结构当成外伸简支梁来分析。
刚度满足要求。
六、承重桁架验算
承重桁架采用贝雷梁，每道腹板处设一组，每组由两片贝雷片组成，全桥布置三组。
1. 作用在主桁架的荷载：
由前上下横梁内力图的支座反力可知主桁架悬臂端的集中荷载：
G前=32.37+16.78+16.97+3.5×4=80.12吨
同理由后上下横梁内力图的支座反力可知挂篮后横梁处主桁架的集中荷载G后=9.42+6.62+3.5×4=30.04吨。
由于在进行前后横梁的受力计算时都施加了1.2的安全系数，G前、G后都带有1.2的安全系数。并且包括挂篮自重。
主桁架后锚采用Φ32精轧螺纹钢作拉锚，双拼22#槽钢为扁担梁，每组贝雷梁设置三道Φ32精轧螺纹钢，从后端40厘米处开始间距50厘米设置，
故贝雷主桁架的受力基本图如下：
刚度满足要求。综上所述拉锚受力安全。
篇2
[关键词] 三维斑点追踪成像；左心室功能；2型糖尿病；血糖控制不良；糖化血红蛋白；超声
[中图分类号] R445.1 [文献标识码] A [文章编号] 1672-4062（2017）01（a）-0034-02
糖尿病是一种胰岛素分泌缺陷或胰岛素作用缺陷引起的代谢性疾病，而长期的血糖高水平损伤血管及神经，可通过多种途径导致全身多器官功能障碍，糖尿病也是心脑血管疾病的危险因素之一[1]，糖尿病患者心血管疾病死亡率是非糖尿病患者的2～4倍。而糖尿病血糖控制不良则是患者病情进展的重要影响因素。而早期糖尿病心功能变化不明显，常规检测手段较难洞察。该研究采用实时三维斑点追踪成像比较糖尿病患者血糖控制不良者、血糖控制良好者及健康体检者左心室功能，旨在探讨糖尿病患者心功能特点，现报道如下。
1 资料与方法
1.1 一般资料
选择2015年5月―2016年3月大庆市人民医院及大庆油田总医院就诊的2型糖尿病患者78例。按照糖化血红蛋白大小分为2组。其中糖化血红蛋白0.05），具有可比性。
1.2 方法
采用Philips IE33型彩色多普勒超声心动图，实时三维全容积探头，频率1～5 MHz，帧频>60帧/s，受试者取左侧卧位，连接心电图。先常规方法进行二维成像。然后调整为4D模式，先嘱患者屏气，采集连续稳定周期≥6个的动态图像。自动显示水平定位线，显示心尖四腔心观、二腔心观及三腔心观。分别在舒张末期、收缩末期时，在心尖处心内膜和二尖瓣瓣环重点各描记1个点，舒张末期与收缩末期心内膜的追踪轮廓线软件自动描述，计算左心室舒张末期和左心室收缩末期容积，左心室射血分数用Volume waveform软件自动得出容积曲线计算，左心室舒张末期心肌质量选用LV Mass 软件计算并描记心外膜，左心室收缩末期心肌质量采用RT3D Strain ROI软件计算，并自动得出左心室各应变量的牛眼图及应变曲线，并记录整体纵向收缩期峰值应变、左心室整体圆周收缩期峰值应变、左心室整体向收缩期峰值应变、左心室整体面积收缩期峰值应变的绝对值。
1.3 统计方法
所有数据均采用SPSS 20.0统计学软件录入、整理、分析，计量数据采用均数±标准差（x±s）表示，A组、B组和对照组差异分析采用方差分析，两两比较采用LSD-t检验。P
2 结果
A组左心室舒张末期容积（71.6±6.3）mL、左心室收缩末期容积（47.2±5.5）mL、左心室射血分数（63.4±6.2）%，左心室质量（119.7±10.5）g、整体纵向收缩期峰值应变（18.0±3.1）%、左心室整体圆周收缩期峰值应变（16.9±2.1）%、左心室整体向收缩期峰值应变（36.1±2.1）%、左心室整体面积收缩期峰值应变（25.2±2.6）%。B组左心室舒张末期容积（71.2±5.8）mL、左心室收缩末期容积（46.8±5.9）mL、左心室射血分数（62.8±6.8）%，左心室质量（131.6±12.2）g、整体纵向收缩期峰值应变（14.7±2.2）%、左心室整体圆周收缩期峰值应变（16.5±1.6）%、左心室整体向收缩期峰值应变（35.8±1.7）%、左心室整体面积收缩期峰值应变（20.3±2.0）%。对照组左心室舒张末期容积（72.4±6.6）mL、左心室收缩末期容积（47.7±5.1）mL、左心室射血分数（64.0±6.5）%，左心室质量（116.8±9.4）g、整体纵向收缩期峰值应变（18.6±3.3）%、左心室整体圆周收缩期峰值应变（17.4±2.5）%、左心室整体向收缩期峰值应变（36.4±2.6）%、左心室整体面积收缩期峰值应变（25.7±2.8）%。
3组左心室舒张末期容积、左心室收缩末期容积、左心室射血分数、左心室整体圆周收缩期峰值应变及左心室整体向收缩期峰值应变经方差分析，差异无统计学意义（P>0.05）。与A组和对照组相比，B组左心室质量大、整体纵向收缩期峰值应变及整体面积收缩期峰值应变率低，差异有统计学意义（P0.05）。
3 讨论
心室肌呈纵行带状排列，自肺动脉于后方呈螺旋形绕过主动脉终至于心间，形成尖端环和基底环两个螺旋，尖端环心肌纤维先螺旋下降，到达心尖部后扭转向上，基地环则包绕左、右心室心底部。左心室壁心肌纤维为多重交织层叠，心内膜下心肌纤维为右手螺旋状环绕心室腔、而心外膜下心肌纤维为左手螺旋[2]。
心室的心肌纤维走向决定了其收缩、舒张的特性。这为超声心动图用于心室功能评价提供基础。而近年来在评价左心室功能的超声心动图技术包括三维超声心动图、二维超声斑点追踪成像及实时三维斑点追踪成像[3]。三维超声心动图通过X、Y轴及Z轴的组合，形成金字塔形三维数据显示三维立体成像，但是该技术分辨率较低，细微结构分辨能力不足，心间部心内膜显示模糊。二维超声斑点追踪法则是通过逐帧追踪二维灰阶超声图像中形成的斑点信息，并通过最佳模式匹配技术，标记心肌运动轨迹，从而形成了多个方位的心肌运动参数。兰斌等[4]人采用二维超声斑点追中成像用于原发性高血压患者左室评价，发现无左心室心肌肥厚患者左房前后径、室间隔舒张末期厚度及左室后壁舒张末期厚度、左室心肌质量及左室心肌质量指数较正常对照组具有显著升高，这提示了二维超声斑点追踪成像在高血压患者左心室肥厚有较好的早期病变诊断价值。其优点为无角度依赖性，帧频高，缺点为对帧频要求较高，时间与空间分辨力仍不够理想，斑点追踪时斑点粒子可能会移动到扫描平面以外造成斑点缺失。
实时三维斑点追踪成像可全面真实地反应心肌在三维空间里的运动[5]。在冠心病患者左心容积及功能方面实时三维斑点追踪成像的评价效果与640层CT定量技术相[6]。整体纵向收缩期峰值应变在心血管疾病左心室评价中最敏感，主要由心内膜层的纵向心肌收缩产生[7]，整体面积收缩期峰值应变与左心室收缩功能相关性良好[8]。该研究结果显示与A组和对照组相比，B组左心室质量大、整体纵向收缩期峰值应变及整体面积收缩期峰值应变率低，差异有统计学意义（P0.05）。提示这3个指标或可成为2型糖尿病患者左心室功能检测的敏感指标。
[参考文献]
[1] 阙凤连，万艳，肖文霞，等.2型糖尿病患者血脑钠肽和超敏C反应蛋白与左心功能的关系[J].中外医学研究，2014，12（21）：21-23.
[2] 杨晨光，汪芳，孙由静，等.三维斑点追踪技术评价冠脉狭窄患者左心室局部纵向收缩功能的研究[J].中国临床医学影像杂志，2014，25（5）：325-328.
[3] 陈利明，钱凤文.超声心动图新技术在左心室收缩功能评价中的应用进展[J].山东医药，2014，54（11）：96-99.
[4] 兰斌，郭盛兰，吴玉，等.二维超声斑点追踪成像在原发性高血压患者左室心肌应变及心功能评价中的应用价值[J].安徽医药，2016，20（5）：895-899.
[5] 张艳，赵存瑞，张璐，等.三维超声斑点追踪技术在早期原发性高血压患者左心室纵向收缩功能评价中的应用[J].山东医药，2015，55（19）：70-72.
[6] 张健，郑哲岚，王振，等.实时三维超声心动图与640层CT定量评价冠心病患者左心室容积及收缩功能的对比研究[J].浙江医学，2013，35（15）：1424-1427.
[7] 马晓棠，李敏，黄敬垣，等.三维斑点追踪技术对2型糖尿病患者左心室心肌应变的分析[J].浙江临床医学，2015，17（4）：513-515.
篇3
【关键词】高中数学、教材改革、建议
《普通高中数学课程标准(实验)》的推出使我国高中数学的教学有了很大提高，但是，我们也应清楚地认识到，任何事物都有一个不断发展和完善的过程，现行教材的结构也不是尽善尽美的，教材的使用上还会出现一些现行的问题，它需要我们教学时认真思考这些问题，保留传统优秀的东西，摒弃一些繁、难、偏、旧的东西，教学中时刻进行反思，及时总结经验，与同行、与学生广泛展开讨论，寻求解决问题的方案，使自己的教学稳中有变，变中求现行，为我们在数学教学中进行能力培养创造良好的条件。
“研究几何的根本出路是代数化，引入向量是代数化的需要。”基于此，人教版高中《数学》第一册(下B)，利用向量方法来研究立体几何问题，这给传统的高中立体几何的教学注入了一股现行鲜的气息，使学生初步体会到作为解决几何问题的通法一一向量方法的威力。但笔者在教学实践中发现了教材中也存在一些美中不足的地方，现对其提出几点意见。
一、教材应当适度提高对综合推理的训练
二面角作为空间中最重要的角之一，我们认为不管是哪一种教材体系，都应当把它列为重要的研究对象。而教材对二面角的处理仅仅设置了1课时，给师生以一带而过的感觉。特别是对二面角平面角的作法，绝大多数学生在一节课的时间内难以掌握，所以当学生都无法找到计算对象时，就更谈不上去求解它了。另外，该部分内容又不容易自然地纳入向量方法体系之中。因此，建议增加关于二面角的例题。一方面，把二面角的求解与向量方法结合起来；另一方面，借此适当地提高综合推理的训练。因为空间中的角度(也包括距离)是立体几何中重要的度量问题，这些问题的解决又一定程度依赖于综合推理。正如课程标准中要求所说：“把几何推理与代数运算推理有机地结合起来，为学生的思维活动开发了更加广阔的空间，在教学中要紧紧把握这个大方向，不能有所偏废。”
二、用向量方法研究平行关系的问题相对较少
教材中利用向量方法研究垂直关系的例题、练习及习题比比皆是，但利用向量方法研究平行关系的例题却为数不多。且不能很好地体现向量方法的优越性。
例如教材第30页例3，课堂教学中发现，学生首先想到的不是用向量方法，反而更容易想到的是用相似三角形这一较为熟知的知识点去推证四边形EFGH与，平行四边形ABCD的各边对应平行，并且简洁易行。类似这样的题目还有第41页例5(该题用反证法也很容易证明)，第79页参考例题2(该题用三角形中位线及等腰三角形底边上的中线也是高线的知识也很容易解决)，限于篇幅，不再一一赘述。总之，这些题口给我们的感觉只是为了介绍向量方法，但却不能显示出向量方法的优越性。另外，在练习和习题中再很难找到用向量方法来研究平行关系的题目了。笔者建议，教材要让所选例题更具有典型性和代表性，并且在练习和习题中编拟一些利用向量方法研究，平行关系(包括线线，平行、线面平行、面面平行）的题目，来充分显示用向量方法解决立体几何问题的优越性。
三、教材的知识体系需要进一步条理和完整
篇4
从近五年新课程高考对平面向量的考查情况来看，这部分内容大多考查平面向量的加减、数乘、数量积等坐标线性运算及其几何意义，有时会与平面几何、三角函数、解析几何等知识点相交汇，体现平面向量“数与形”的双重身份，题型主要是选择题和填空题，与三角函数和解析几何交汇往往在大题中，分值一般在5～10分，难度不大，属于中低档难度的题型.
二 考点扫描
1. 平面向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）.
（2）零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的.
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量.
（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一条直线上.规定：与任一向量平行.
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量.
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
例1. 给出下列命题：①若
=
，则=；②若A，B，C，D是不共线的四点，则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若，满足
>
且与同向，则>；④若∥，∥，则∥.
其中正确命题的序号是 （请把正确命题的序号都填上）.
解析：对①，若
=
，则与不一定共线，故不能得出
=
；对②，根据向量相等的条件显然成立；对③，因为向量除了有大小还有方向，故向量是不能比较大小的，所以不对；因为的方向是任意的，对任意向量，都有∥，所以在④中，令=则知该命题不对.
综上所述，只有②是正确的.
解题宝典：正确理解向量的概念与向量的模，零向量、单位向量、相等与相反向量、平行向量（也叫共线向量）等概念及其含义是解题的关键.相等向量是指大小相等，方向相同的向量；相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性；共线向量即为平行向量，它们均与起点无关；向量不能比较大小，但向量的模能比较大小.
现学现用1. 给出下列命题：
①λ，μ为实数，若λ=μ，则与共线；②若=，则ABCD为平行四边形；③若=，=，则=；④λ=0（λ为实数），则λ必为零.
其中正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 平面向量的线性运算
1. 向量的加法和减法.
（1）加法
①法则：服从三角形法则、平行四边形法则.
②运算性质：+=+（交换律）；（+）+=+（+）（结合律）；+=+=.
（2）减法
①减法与加法互为逆运算；
②法则：服从三角形法则.
2. 实数与向量的积.
（1）长度与方向规定如下：
①|λ|=|λ|||；
②当λ>0时，λ与的方向相同；当λ
（2）运算律：设λ、 μ∈R，则：
①λ（μ）=（λμ）；②（λ+μ）=λ+μ；③λ（+）=λ+λ.
例2. （2012年东北三校模拟）如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知=，=，=，试用、、表示= ，+= .
解析：=++， =-=-，
=-=-，==， =--，
+=+++=2=-2-.
解题宝典：（1）解题的关键在于搞清构成三角形的三条边间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
（2）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.
现学现用2. 在ABC中，=，DE∥BC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N.设=，=，用，表示向量、、、、、.
3. 共线向量问题.
两个向量共线定理：向量与（≠0）共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得=λ.
例3. 设两个非零向量与不共线.
（1）若=+，=2+8，=3（-）.
求证：A、B、D三点共线；
（2）试确定实数k，使k+和+k共线.
解析：（1）证明：=+，=2+8，=3（-），
=+=2+8+3（-）=2+8+3-3=5（+）=5 .
、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线.
2） k+与+k共线，存在实数λ，使k+=λ（+k），
即k+=λ+λk，（k-λ）=（λk-1）.
与是不共线的两个非零向量， k-λ=λk-1=0， k2-1=0，k=±1.
解题宝典：（1）向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.
（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
现学现用3. 已知，是不共线的向量，若=λ1+，=+λ2（λ1，λ2∈R），则A、B、C三点共线的充要条件为（ ）
A. λ1=λ2=-1 B. λ1=λ2=1
C. λ1λ2-1=0 D. λ1λ2+1=1
4. 向量的坐标运算.
（1）设=（x1，y1），=（x2，y2），则+=（x1+x2，y1+y2），-=（x1-x2，y1-y2），λ=（λx1，λy1）.
（2）已知 A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2-x1，y2-y1），即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标.
例4. 已知A（1，-2），B（2，1），C（3，2），D（-2，3），则以，为一组基底来表示++= .
解析： =（1，3），=（2，4），=（-3，5），=（-4，2），=（-5，1）， ++=（-3，5）+（-4，2）+（-5，1）=（-12，8）.
根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对，使得++=+， （-12，8）=（1，3）+（2，4）， -2=
+2
，
8=3
+4
， 得=32，=-22.
++=32-22.
解题宝典：利用平面向量基本定理而引入参数是解决向量问题的常用技巧，而方程（组）是求解工具，体现了向量坐标运算的优越性.特别需要注意：向量的一个方程相当于实数的两个方程，横坐标一个，纵坐标一个.
现学现用4. 在ABC中，点P在BC上，且=2，点Q是AC的中点，若=（4，3），=（1，5），则等于（ ）
A.（-2，7） B.（-6，21）
C.（2，-7） D.（6，-21）
5. 向量坐标运算的应用.
平面向量共线的坐标表示：设=（x1，y1），=（x2，y2），其中≠，则与共线?=λ?x1y2-x2y1=0.
例5. 平面内给定三个向量=（3，2），=（-1，2），=（4，1） .
（1）若（+k）∥（2-），求实数k；
（2）设[]=（x，y）满足（[]-）∥（+）且|[]-|=1，求[].
解析：（1）（+k）∥（2-），又+k=（3+4k，2+k），2-=（-5，2），
2×（3+4k）-（-5）×（2+k）=0， k=-.
（2） []-=（x-4，y-1），+=（2，4），又（[]-）∥（+）且|[]-|=1，
4（x-4）-2（y-1）=0，
（x-4）2+（y-1）2=1，解得x=4+
，
y=1+
或x=4-
，
y=1-
.
[]=（，）或[]=（，）.
解题宝典：向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化为实数的运算问题.通过坐标公式建立参数的方程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程思想在向量中的应用.
现学现用5.已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），且=+t.
（1）求点P在第二象限时，实数t的取值范围；
（2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出相应的实数t；若不能，请说明理由.
6. 平面向量数量积的运算.
（1）平面向量数量积的意义.
①，是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数||·
||·cosθ叫做与的数量积，记作·，即·=||·||·cosθ.规定0·=0；当时，θ=90°，这时·=0.
②·的几何意义.
·等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积.
（2）向量数量积的性质.
①如果[]是单位向量，则·[]=[]·=||cos.
②?·=0且·=0?.
③·=||2，||=.
④cos=.
⑤|·|≤||||.
（3）数量积的运算律.
①交换律·=·.
②分配律（+）·=·+·.
③对λ∈R，λ（·）=（λ）·=·（λ）.
（4）数量积的坐标运算.
设=（a1，a2），=（b1，b2），则① ·=11+22；② ?a1b1+a2.b2=0.③||=；④cos=.
例6. 若 [e] [1]、[e] [2]是夹角为的单位向量，且=2[e] [1]+[e] [2]，=-3[e] [1]+2[e] [2]，则 ·等于（ ）
A. 1 B. -4 C. - D.
解析：依题意，·=||·||·cos=，·=（2+）·（-3+2）=-6||32+2||32+·=-6+2+=-，选C.
解题宝典：熟练掌握向量数量积的定义与数量积的运算率是解决本题的关键.
现学现用6. O是平面上一点，A，B，C是平面上不共线三点，动点P满足=+λ（+），当λ=时，·（+）的值为________.
7 . 平面向量数量积的运用.
（1）求向量的模与夹角.
例7. 已知||=4，||=3，（2-3）·（2+）=61.
（1）求与的夹角θ；
（2）求|+|和|-|；
解析：（1）由（2-3）·（2+）=4||2-4·-3||2=61及||=4，||=3，得·=-6，
cosθ===-，又θ∈[0°，180°]， θ=120°.
（2） |+|====.
同理，|-|==.
解题宝典：解这类题关键是理顺思路，用对公式，避免出现一些不必要的错误.例如，计算|+|时，利用（+）2=2+2·+[][2]得到的·是数量积||||cosθ，而不是||||.在ABC中求角时，还应注意向量与的夹角并非三角形内角∠ABC.
现学现用7. 设和是两个单位向量，其夹角是60°，求向量=2+与b=2-3的夹角.
（2）两平面向量的垂直与平行.
例8. 设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2.-4）且，∥，则 x= ，y= .
解析：由得2x-4=0?x=2，由∥得-4=2y?y=2.
解题宝典：以数量积为载体考查两向量垂直和平行是高考中经常出现的题型，完成手段是熟练运用向量垂直与平行的坐标运算公式.
现学现用8. 已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O为原点.
（1）若∥，求tanα的值；
（2）若，求sin2α的值；
8. 向量与三角函数的交汇.
例9. 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设向量=（sinA，cosB），=（cosA，sinB）.
（1）若∥，求角C；
（2）若，B=15°，a=+，求边c的大小.
解析：（1）由∥?sinAsinB-cosAcosB=0?cos（A+B）=0.
因为0
（2）由?sinAcosA+sinBcosB=0?sin2A+sin2B=0.
已知B=15°，所以sin2A+sin30°=0，sin2A=-，
因为0
根据正弦定理=?=?c=，
因为sin105°=sin（45°+60°）=，所以c==2.
解题宝典：与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识.
现学现用9.设函数f（x）=·，其中向量=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R.
（Ⅰ）若f（x）=1-且x∈[-，]，求x；
（Ⅱ）若函数y=2sin2x的图像按向量=（m，n）（|m|
现学现用答案：
1. A. 2. =；=-；=（-）；=（-），=（+）；=（ +）.3. C. 4. B. 5. （1）-
篇5
【关键词】高中数学 教材改革 建议
《普通高中数学课程标准(实验)》的推出使我国高中数学的教学有了很大提高，但是，我们也应清楚地认识到，任何事物都有一个不断发展和完善的过程，现行教材的结构也不是尽善尽美的，教材的使用上还会出现一些现行的问题，它需要我们教学时认真思考这些问题，保留传统优秀的东西，摒弃一些繁、难、偏、旧的东西，教学中时刻进行反思，及时总结经验，与同行、与学生广泛展开讨论，寻求解决问题的方案，使自己的教学稳中有变，变中求现行，为我们在数学教学中进行能力培养创造良好的条件。
“研究几何的根本出路是代数化，引入向量是代数化的需要。”基于此，人教版高中《数学》第一册(下B)，利用向量方法来研究立体几何问题，这给传统的高中立体几何的教学注入了一股现行鲜的气息，使学生初步体会到作为解决几何问题的通法一一向量方法的威力。但笔者在教学实践中发现了教材中也存在一些美中不足的地方，现对其提出几点意见。
一、教材应当适度提高对综合推理的训练
二面角作为空间中最重要的角之一，我们认为不管是哪一种教材体系，都应当把它列为重要的研究对象。而教材对二面角的处理仅仅设置了1课时，给师生以一带而过的感觉。特别是对二面角平面角的作法，绝大多数学生在一节课的时间内难以掌握，所以当学生都无法找到计算对象时，就更谈不上去求解它了。另外，该部分内容又不容易自然地纳入向量方法体系之中。因此，建议增加关于二面角的例题。一方面，把二面角的求解与向量方法结合起来；另一方面，借此适当地提高综合推理的训练。因为空间中的角度(也包括距离)是立体几何中重要的度量问题，这些问题的解决又一定程度依赖于综合推理。正如课程标准中要求所说：“把几何推理与代数运算推理有机地结合起来，为学生的思维活动开发了更加广阔的空间，在教学中要紧紧把握这个大方向，不能有所偏废。”
二、用向量方法研究平行关系的问题相对较少
教材中利用向量方法研究垂直关系的例题、练习及习题比比皆是，但利用向量方法研究平行关系的例题却为数不多。且不能很好地体现向量方法的优越性。
例如教材第30页例3，课堂教学中发现，学生首先想到的不是用向量方法，反而更容易想到的是用相似三角形这一较为熟知的知识点去推证四边形EFGH与，平行四边形ABCD的各边对应平行，并且简洁易行。类似这样的题目还有第41页例5(该题用反证法也很容易证明)，第79页参考例题2(该题用三角形中位线及等腰三角形底边上的中线也是高线的知识也很容易解决)，限于篇幅，不再一一赘述。总之，这些题口给我们的感觉只是为了介绍向量方法，但却不能显示出向量方法的优越性。另外，在练习和习题中再很难找到用向量方法来研究平行关系的题目了。笔者建议，教材要让所选例题更具有典型性和代表性，并且在练习和习题中编拟一些利用向量方法研究，平行关系(包括线线，平行、线面平行、面面平行）的题目，来充分显示用向量方法解决立体几何问题的优越性。
三、教材的知识体系需要进一步条理和完整
教材中，球的体积及表面积公式的推导分别用到了教材中未出现的圆柱和棱锥的体积公式，而这些公式无论是对帮助学生理解球的体积及表面积公式的推导过程，还是对在实际应用中的价值方面，都是应当在本章中有所体现的，即使它们是被作为了解的内容。另外，用祖呕原理(这一原理的发现比西方早了1100多年)推导球的体积公式反映了我国古代数学的伟大成就，建议可作为阅读材料介绍给学生，以此，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情。总之，教材的改革是要对传统教材中的“繁难偏旧”进行改革，而如果把传统教材中精华的部分也舍掉的话，那肯定不是课程改革的初衷。
在中学阶段，向量方法被应用于立体几何的教学中尚属首次。以上虽不是什么大的问题，但作为中学教材，它是要在全国进行推广和使用的。因此，无论是从它的权威性而言，还是从它的科学性而言，这些“小问题”都希一望引起编者的重视。相信，只要通过教师本着边学、边教、边改进、边完善的精神，中学数学教材的改革必将日趋完善，日趋成熟。
参考文献
[1]马复.设计合理的数学教学.高等教育出版社，2003.
[2]刘兼，黄翔，张丹.数学课程设计［M］.高等教育出版社，2003.
[3]郑毓信.数学教育：从理论到实践［M］.上海教育出版社，2004.
[4]戴再平.开放题——数学教学的新模式［M］.上海教育出版社，2004.
篇6
江苏高考中立体几何题属于容易题，比三角题更容易得高分，要求能运用4条公理、3条推论和9条定理证明一些空间位置关系的简单命题。
具体要求：
1. 理解空间点、线、面的位置关系；会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系。了解以下可以作为推理依据的4条公理、3条推论和1条定理：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理3：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线,有且只有一个平面。
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。
定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等。
2. 了解空间线面平行、垂直的有关概念；能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系；理解如下的4条关于空间中线面平行、垂直的判定定理,并能用图形语言和符号语言表述这些判定定理(这4条定理的证明不作要求)。
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直。
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
3. 理解如下的4条关于空间中线面平行、垂直的性质定理,能用图形语言和符号语言表述这些性质定理,并能加以证明。
一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。
两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
垂直于同一个平面的两条直线平行。
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
4. 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式,试卷中会提示),会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积。
复习中应注意结合常见的空间几何体(长方体、三棱锥、四棱台、圆柱、球等)的实际模型,学会将自然语言转化为图形语言和符号语言,能做到准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系。
二、 关注热点题型,做到临阵不乱
近四年江苏高考立体几何大题回顾。
(2008•江苏T16)在四面体ABCD中,CB=CD,ADBD,且E,F分别是AB,BD的中点．
求证：(1) 直线EF∥平面ACD;
(2) 平面EFC平面BCD．
(2009•江苏T16)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1DB1C.
求证：(1) EF∥平面ABC;
(2) 平面A1FD平面BB1C1C．
(2010•江苏T16)如图,四棱锥PABCD中,PD平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.
(1) 求证：PCBC；
(2) 求点A到平面PBC的距离.
(2011•江苏T16)如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点．
求证：(1) 直线EF∥平面PCD；
(2) 平面BEF平面PAD．
通过分析比较上面四题,我们不难发现江苏高考命题符合《课程标准和学习要求》,突出了线面位置关系的考查,且多次以证明线面平行和面面垂直的形式呈现。考虑到此乃文、理科同学的必做题,为了兼顾公平性,试题中多面体的底面具有一般性，不易通过空间向量来处理，这是理科同学要切记的。
分析空间平行关系、垂直关系的证明方法和转化途径通常有以下方法：
线线、线面、面面平行(垂直)关系的证明,常常通过转化的策略加以解决。其关系为：
线线平行线面平行面面平行
线线垂直线面垂直面面垂直
线面平行的证明方法主要有两种：一是利用线面平行的判定定理；二是利用平面平行的性质
(若α∥β,aα,则a∥β)。
三、 掌握重要思想方法,实现降维简化转换
复习中,要注意联系平面图形的知识,利用类比、联想等方法,辨别平面图形和立体图形的异同,理解两者的内在联系,感悟将空间问题转化为平面问题是处理立体几何问题的重要思想。复习中对一些易错题要加以总结提高。如利用斜二测画法,画出的直观图与实际图形面积比值为24；与边长为a的正三角形类比可得到：棱长为a的正四面体的高为h=63a,体积为V=212a3,内切球的半径为14h,外切球的半径为34h。
科学是到处为家的，不过只是任何不播种的地方，它是不会使其丰收的。――赫尔岑
四、 空间向量与立体几何
这是报考物理的同学在数学附加题中可能涉及的问题。在08年以来的江苏四次高考中,数学附加题中仅在08年、11年考查了《空间向量与立体几何》内容。
同学们在复习备考时要体会“空间向量”的工具性作用。用“空间向量”这一工具来研究空间有关点、直线和平面的位置关系和度量问题。要会运用类比、归纳等方法,通过向量及其运算由平面向空间推广的过程,体验数学在结构上的和谐美,弄清空间向量与平面向量的区别与联系。具体要求是：
1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量；
2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系；
3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系；
4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用。
【规律方法总结】
1. 求异面直线所成角,线面角或面面所成角,最终都归结到求两直线方向向量夹角上,通过坐标运算求模、求数量积得解。可见,熟练掌握空间两向量夹角的求法是解题的基本功．
2. 确定平面法向量时,要明确法向量的不唯一性,为方便起见,常选用一个较简洁的法向量。
篇7
关键词：几何；解析几何；三角；模型
一、向量与平面几何的关系
平面几何是学习平面向量的重要载体，没有平面几何这一载体，学生很难理解平面向量的一些概念.同时由于向量可以用有向线段表示，这就为用向量解决平面几何问题创造了条件.牢牢把握向量与平面几何的关系，一方面应用向量加减法三角形法则与平行四边形法则、向量的模、向量的平行与垂直等几何意义解决问题；另一方面结合平面几何知识解决向量问题.
例1.（05年浙江高考题）已知向量a≠e，e=1，对任意t∈R，恒有a-te≥a-e，则（ ）
A.ae B.a（a-e） C.e（a-e） D.（a+e）（a-e）
解：如图1，设O，A为定点，■=a，■=e，■=te，t在变，te也在变，即点P为动点，但■=t■，恒有■∥■，故O，P，H三点共线.因而a-te表示■的模长，a-e表示■的模，对任意的t∈R，恒有a-te≥a-e成立，表示■≥■恒成立，所以恒有■■，即e（a-e），选C.
点评：解利用向量的减法的几何意义和向量平行的充要条件，运用数形结合、动静结合等思想把向量问题转化为几何问题，非常直观地找到了答案.
二、向量与解析几何的关系
由于向量的坐标化使向量与解析几何建立一定的联系，也改变了解析几何中的一些传统研究方法.由于向量内积的几何几何意义，即向量投影等概念，可以用来解决点到直线的距离.向量坐标表示方法使方程思想有了更广泛的应用，应用向量内积还可以解决两条直线夹角等问题，大大简化了解析几何中的计算.但值得一提的是新教材中定比分点定理和两条直线的夹角公式，它们是传统教材的难点问题，向量的引入可以废除这两个公式的“武功”，既减轻了学生的学习负担，又培养了综合应用数学的能力.
例2.（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线C：■-■=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为■的直线交C于A、B两点，若■=4■，则曲线C的离心率为（ ）
A.■ B.■ C.■ D.■
解：设双曲线C：■-■=1的右准线为l，过A、B分别作AMl于M，BNl于N，BDAM于D，由直线AB的斜率为■，知直线AB的倾斜角60°，∠BAD=60°，AD=■AB，
由双曲线的第二定义有：
AM-BN=AD=■（■-■）=■AB=■（■+■）.
又■=4■
■・3■=■■e=■.故选A.
评析结合了向量的模的几何意义和双曲线的知识解决问题.
三、向量与立体几何中的关系
在选修2-1引入了空间向量，它的引入为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具，将复杂繁琐的立体几何问题转化为简单的代数计算问题，进一步阐释了几何与代数之间的联系.
例3.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=4，AB=2.以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.
（1）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；
（2）求点N到平面ACM的距离.
解：（1）如图2所示，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；设平面ACM的一个法向量n=（x，y，z），由n■，n■可得：
2x+4y=02y+2z=0，令z=1，则n=（2，-1，1）.设所求角为α，则sinα=■=■，
所以所求角的大小为arcsin■.
（2）由条件可得，ANNC.在RtPAC中，PA2=PN・PC，所以PN=■，则NC=PC-PN=■，■=■，所以所求距离等于点P到平面ACM距离的■，设点P到平面ACM距离为h，则h=■=■，所以所求距离为■h=■.
点评：应用向量数量积的知识，将立体几何线面角转化为直线方向向量与法向量的夹角，点到面得距离转化■在平面法向量n的投影，充分应用了向量的几何意义.
四、向量与三角的关系
用向量方法可研究解析几何中两直线夹角问题，用向量方法还可研究三角形中有关角的计算（包括垂直问题）和三角公式、余弦定理的推导.与传统比较，向量方法简洁明了，构造思想对培养创新思维很有价值.向量作为一种新的运算工具，常常与三角结合起来，广泛应用于解决三角问题.
例4.（2010年四川高考题）（Ⅰ）1证明两角和的余弦公式Cα+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
2由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.
（Ⅱ）已知ABC的面积S=■■・■=3，且cosB=■，求cosC.
解（1）①如图3，在直角坐标系xoy内做单位圆O，并作出角α、β与-β，使角α的始边为OX，交O于点P1，终边交O于P2；角β的始边为OP2，终边交O于P3；角-β的始边为OP1，终边交O于P4.
则P1（1，0），P2（cosα，sinα），P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（-β），sin（-β））.
P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得
[cos（α+β）-1]2+sin2（α+β）=[cos（-β）-cosα]2+[sin（-β）-sinα]2
展开并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.
②由①易得cos（■-α）=sinα，sinα（■-α）=cosα.
sin（α+β）=cos[■-（α+β）]=cos[（■-α）+（-β）]=sinαcosβ+cosαsinβ.
（2）由题意，设ABC的角B、C的对边分别为b、c，
则S=■bc sinA=■■・■=bc cosA=3>0
A∈（0，■），cosA=3sinA.
又sin2A+cos2A=1，sinA=■，cosA=■.
由题意，cosB=■，得sinB=■，
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=■，
故cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-■.
点评：应用向量的坐标表示和内积运算及两点间的距离公式，推导出两角和的余弦公式，比传统方法更加简洁明了、简单易懂，充分体现了向量的工具性.
五、向量与数学模型的关系
由于向量具有明显物理背景和几何特征，而且具有形式特征，这就为向量与某些数学模型发生了联系.如向量a=（x，y）的模等于■向量数量积的定义等都具有模型特征，所以只要具有类似特征的问题，都可以转化为向量问题来解决.
例5.已知a、b∈R+，a+b=1，求证：■+■≤2■.
证明：设m=（1，1），n=（■，■），
则m=■，n=■=2
由性质m・n≤m・n，得■+■≤2■
点评：本题利用■与向量模的结构上的类似而构造向量，然后利用向量数量积的模小于向量模的积来解决问题.向量不等式“m・n≤m・n”也是解决不等式的重要工具，是实现由等到不等的重要手段，在求最值中经常用到.由于向量具有双重特征，向量的表示方法多样，因而向量解决问题方法也多样.向量的应用应该不拘于几何特征和代数形式，从不同的角度抓住不同的特征得到不同的方法解决问题，可见异曲同工之妙.
参考文献：
[1]祈平.课标要求下向量及其教学的一些思考和建议[J].中学数学，2008（12）.
篇8
关键词：向量法解题 思想 策略
在现实世界的各个领域，对事物的特性及采用度量来标记是常见的手段，但在这个标记的过程中，有的只需要标记它的大小，如物体的质量等，我们称这种度量的结果为标量（纯量）；而有的不仅需要大小还需要方向，如物体运动的速度等，我们称这种度量的结果为向量（矢量）。所谓向量法，即从问题条件入手，找到与向量知识相关点，转化为向量背景下的形式，借助向量运算法则求解，然后回到原问题中达到解决问题的目的。
数学思维是抽象的，数学解题的思想是具体的，由于向量的双重身份，借助向量解题的思想就更具鲜活性。现就几种常见的向量法解题做出简单的阐述。
1.建模的思想方法
构造模型是中学数学中重要的思想方法之一，运用它可以迅速的研究某些实际问题，
即：实际问题 数学问题 解决问题 返回原问题
向量中，不少知识点和问题蕴含着这一思想方法。如向量的加减法法则--可归结为平行四边形或三角形模型；有关位移等问题--抽象为解三角形问题等。教学中，适时地启发学生对这些问题的背景进行分析，抽象和概括，形成建模的思想意识，增强分析和解决问题的能力。
2.数形结合的思想方法
向量运算律貌似代数，但他其实是几何，故而它是数形结合的典范。他把几何问题转化为代数问题，即实现形--数--形，或是把数赋予几何意义，即实现数--形--数，从而解决问题。
3.平移变换的思想方法
平移变换是研究函数图像或几何图形的一种重要的思想方法。通过适当平移可使较复杂的函数解析式得到简化或某些几何图形中的隐蔽关系更加明朗。在向量一章中，相等向量，平行向量，共线向量等概念的建立及相关作图的训练，作为向量知识的一个应用--平移公式的推导，以及运用平移公式解决有关问题，均是这一思想方法的体现。
4.映射思想方法
映射思想：当处理甲问题有困难时，可以联想适当的映射，把问题甲及其关系结构，映射成与它有一一对应关系且容易处理的问题乙，再把所得结果通过逆映射返回到原问题的问题中去，得到原问题的解决方案。例如建立适当坐标系，把向量利用坐标表示，利用数的运算推理解决问题。
5.化归转换的思想方法
化归转换：将一种研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法。在向量中，如向量的夹角问题，向量的平移，垂直关系的研究均可化归为他们对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状判断可化归为判断向量的数量积与零的大小关系问题等。
6.分解思想方法
按认识原则，有些问题需通过分解，才能清晰地了解数学问题内部的各种制约关系，从中找到一个解决问题的方法。分解思想的实质是分解--组合--分割--拼合的辩证思想，向量中基向量的应用即是一个典型的例子。
7.分类讨论的思想方法
分类讨论的思想主要依据数学对象的不同属性，将数学对象分为不同情形并对其研究得出结论的数学思想方法。向量知识中，如平行向量有同向和反向之分；定比分点公式中 λ的取值有大于1，大于0小于1，小于0之分等等。
8.方程的思想方法
向量虽然有其几何的意义，但其运算律确是代数的，因此，我们在处理向量问题时对于求解某向量或判别向量关系的问题，可以借助方程的工具，利用消元的方式达到解决问题的目的。在采用这种思想方法时，要注意基本向量的选择。基本向量的选择是根据题目的特性确定的。同时要注意基本向量是线性无关或彼此独立条件下的向量，通常将同一顶点出发的若干向量作为基本向量。平面向量的基本定理给出了选择基本向量的一种方法。
9.整体思想方法
向量既有大小又有方向，是一个整体。向量利用坐标表示实现了几何的代数化，对于也是一个整体，向量的许多运算都可以用这个"整体"来解决。
10.公式化思想方法
公式化思想方法是指把问题中反映的等量关系转化为向量中的等量关系，借助向量知识实现简化问题，求解问题。例如：两向量相等的充要条件的坐标表示形式为"若两向量相等，则两向量的坐标相同"，利用此公式，在处理向量相等时，只须分析它们的坐标是否相等即可。
参考文献
[1]顾越岭著.数学解题通论.广西教育出版社.2001
[2]钱佩玲.邵光荣编著.数学思想方法与中学数学.北京师范大学出版社2003
[3]教育部编辑部组织编写.中学新课标资源库（数学卷）北京工业大学出版社2004
篇9
平面向量数量积的运算、模与夹角、平行与垂直问题，多以选择题、填空题的形式出现属中低档题.数量积的几何运算与数量积的坐标运算及其几何意义，及数量积的变形应用均为常规应用，也是考查的重点.
纵观历年全国各地高考卷，考查的内容有：数量积运算及其性质、向量的模、向量的夹角、向量的投影、向量垂直.
再看湖北卷近几年高考情况，考试内容主要是数量积的坐标运算、坐标形式的求模公式、夹角公式或向量投影公式、坐标形式的向量垂直的充要条件，没有涉及数量积的几何运算.
命题特点
立足湖北，放眼全国. 综合近几年全国各地的高考卷，平面向量的数量积及其应用在高考命题中仍以稳中求新、稳中求活，在稳定中发展.稳定的是题目大多是以坐标形式出现，考查数量积的几何运算或坐标运算，发展的是向量知识的综合应用有所加强.
1. 数量积的坐标表示重运算、重基础
数量积的坐标运算的特点是注重基本概念和坐标形式的运算公式，注重考查运算能力.
例1 已知点[A（-1， 1）]，[B（1， 2）]，[C（-2， -1）]，[D（3，4）]，则向量[AB]在[CD]方向上的投影为 （ ）
A. [322] B. [3152]
C. [-322] D. [-3152]
解析 [AB=2，1]，[CD=5，5]，
向量[AB]在[CD]方向上的投影为
[AB・CDCD=2×5+1×552+52][=1552=322].
答案 A
点拨 两个坐标表示的向量的数量积就是对应坐标积的和，易错记为交叉坐标积的和.向量的投影是数量积中的一个重要概念，易混淆向量[a]在[b]方向上的投影与向量[b]在[a]方向上的投影这两个概念.前者是[acosθ]，后者是[bcosθ]，还易把投影当作向量，投影是数量，可正可负可为零.
例2 已知点[O0，0，A0，b，Ba，a3]，若[OAB]为直角三角形，则必有 （ ）
A. [b=a3]
B. [b=a3+1a]
C. [b-a3b-a3-1a=0]
D. [b-a3+b-a3-1a=0]
解析 由条件得，[a≠0]，[b≠0]，
所以[∠AOB]不可能是直角.
又[OAB]为直角三角形，所以[∠OAB]或[∠OBA]是直角，即[OA・AB=0]或[OB・BA=0].
又[AB=（a，a3-b）]，所以[b（a3-b）=0]或[a2+a3（a3-b）=0，]
化简得[b=a3]或[b=a3+1a].
答案 C
点拨 向量垂直与向量平行一样，也是一种重要的向量关系，在高考中出现的频率很高.向量是否垂直，一是通过几何法判断，二是通过向量法判断，看数量积是否为零.值得注意的是向量垂直则数量积为零，反之不成立.因为向量垂直是指两个非零向量的关系，零向量与任一向量的数量积为零.
2. 数量积及几何意义重运算、重应用
平面向量的数量积及几何意义，通常以两种方式出现，一是纯向量形式，二是以几何图形为载体，重点是数量积的运算.
例3 设[e1，e2]为单位向量，非零向量[b=xe1+ye2]，[x，y∈R].若[e1，e2]的夹角为[π6]，则[xb]的最大值等于 .
解析 由条件得，[b2=b2=（xe1+ye2）2]
[=x2+2xye1・e2+y2=x2+3xy+y2]，
因此[b2x2=1+3yx+y2x2][=yx+322+14≥14].
所以[bx]最小值为[12]，故[xb]的最大值为2.
答案 2
点拨 数量积是向量的一种运算，它的结果是数.理解数量积不仅要理解其含义，而且要理解其运算律，数量积满换律、分配律.无结合律，因为[（a・b）・c]不是数量积，[（a・b）?c]是向量；无消去律，因为[a・b=a・c（a≠0）]不能推出[b=c].向量的模即向量的大小，是向量的基本概念.向量的模的求法也有两种，一是借助几何图形求线段长度，二是通过向量运算求得.而向量运算求模有两个公式，一是向量式[a=a2]，二是坐标式[a=x2+y2]，[（x，y）]是向量[a]的坐标，这两个公式都应熟练掌握.
例4 在平行四边形[ABCD]中，[AD=1，][∠BAD=60°，][E]为[CD]的中点，若[AC・BE=1]，则[AB]的长为 .
解析 如图，[AC=AD+AB]，
[BE=BC+CE=AD-12AB]，
所以[AC・BE=][AD2+12AD・AB-12AB2]
=[1+12×1×AB×cos60°-12AB2]
[=1+14AB-12AB2=1]，解得[AB=12].
答案 [12]
点拨 有关几何形式的数量积运算，通常用基向量法，即选择一组基底，将问题向量用基底线性表示，运用数量积定义和运算法则，注意要充分利用平面图形的几何性质.
例5 设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=[14]AB，且对于AB上任一点P，恒有[PB・PC≥P0B・P0C]，则 （ ）
A. [∠ABC=90°] B. [∠BAC=90°]
C. [AB=AC] D. [AC=BC]
解析 由题意，设|[AB]|=4，则|[P0B]|=1，过点[C作AB]的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设[HP0=a]，则由数量积的几何意义可得，
[PB・PC=PH・PB=PB-（a+1）PB]，
[P0B・P0C=-P0H・P0B=-a]，
于是[PB・PC≥P0B・P0C]恒成立，
等价于[PB-（a+1）PB≥-a]恒成立，
整理得[PB2-（a+1）PB+a≥0]恒成立，
只需[?=（a+1）2-4a=（a-1）2≤0]即可，于是[a=1].
因此我们得到[HB=2]，即[H是AB]的中点，
故[ABC]是等腰三角形，所以[AC=BC]，选D.
答案 D
点拨 数量积的几何意义是：[a・b]等于[a]的模与[b]在[a]方向上投影之积，也可以等于[b]的模与[a]在[b]方向上的投影之积，实质上就是求数量积的一种新方法.在数量积的几何运算中，若能根据图形的几何性质，确定向量端点在另一向量上射影位置，用几何意义求数量积比较简单.
3. 向量应用重综合、重交汇
向量综合应用在高考中经常得到体现，一是内部知识的综合，二是与三角函数、立体几何、解析几何综合，近年来又出现与不等式、线性规划问题综合的情况，可见综合范围有扩大趋势.
例6 已知[a，b]是单位向量，[a・b=0].若向量[c]满足[c-a-b=1]，则[c]的取值范围是 （ ）
A. [2-1，2+1] B. [2-1，2+2]
C. [1，2+1] D. [1，2+2]
解析 法一：建立直角坐标系，设[a=（1，0），][b=（0，1），][c=（x，y）.]
由[c-a-b=1]得，[（x-1）2+（y-1）2=1].
令[x-1=cosθ]，[y-1=sinθ]，
则[x2+y2=（cosθ+1）2+（sinθ+1）2][=3+22sin（θ+π4）].
[-1≤sin（θ+π4）≤1]，
[3-22≤x2+y2≤3+22].
[c=x2+y2]，
[2-1≤|c|≤2+1].
法二：因[c=（a+b）+（c-a-b），]由绝对值三角不等式得，
[a+b-c-a-b≤c≤a+b+c-a-b].
即[2-1≤|c|≤2+1].
答案 A
点拨 本题是向量模的取值范围问题，考查向量知识和方法的综合应用.向量内部知识的综合，常出现向量的线性运算与数量积、平行与垂直、夹角与模的综合，考查方法有代数法与几何法.
备考指南
平面向量的数量积及其应用是平面向量的重点知识，在每年高考中都占有一席之地.因而在复习过程中，应以基础为主，从基本概念、基本运算、基本方法、基本应用出发，巩固知识，培养能力.
1. 对以前考查的热点，如向量坐标的线性运算或数量积，不能放松.模与夹角的计算，平行与垂直的判断，仍要熟练.
2. 对新增的热点，如向量的数量积的几何意义、向量的投影、向量的几何运算要引起重视.
3. 对向量的应用，除了在三角、立几、解几中的应用外，还要注意在不等式、线性规划、数列等方面的应用.
限时训练
1. 已知向量[a，b]，那么“[a・b=0]”是“向量[a，b]互相垂直”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 设[a，b]是两个非零向量，下列能推出[a=b]的是 （ ）
A. [a∥b] B. [a2=b2]
C. [a・c=b・c] D. [a=b]且[a，b]的夹角为0°
3. 已知向量[a=（4，3）]，[b=（-1，2）]，若向量[a+kb]与[a-b]垂直，则[k]的值为 （ ）
A. [233] B. 7
C. [-115] D. [-233]
4. 设[a，b]是非零向量，若函数[f（x）=（xa+b）・（a-xb）（x∈R）]的图象不是直线，且在[x=0]处取得最小值，则必有 （ ）
A. [ab]
B. [a∥b]
C. [a，b]不垂直且[a=b]
D. [a，b]不垂直且[a≠b]
5. 在四边形[ABCD]中，[AC=（1，2）]，[BD=（-4，2）]，则该四边形的面积为 （ ）
A. [5] B. [25]
C. [5] D. 10
6. [ABC]的外接圆的圆心为[O]，半径为2，且[OA+AB+AC][=0]，则向量[CA]在[CB]方向上的投影为 （ ）
A. [3] B. 3
C. [-3] D. -3
7. 设[a，b，c]是单位向量，且[a・b=0]，则[（a-c）・（b-c）]的最小值为 （ ）
A. [2-1] B. [1-2]
C. [-2] D. [2]
8. 如图，[ABC]的外接圆的圆心为[O]，[AB=2]，[AC=3，BC=7]，则[AO・BC]的值是 （ ）
A. [32] B. [52]
C. [2] D. [3]
9. 在边长为1的正六边形[ABCDEF]中，记以[A]为起点，其余顶点为终点的向量分别为[a1，a2，a3，a4，a5]；以[D]为起点，其余顶点为终点的向量分别为[d1，d2，d3，d4，d5].若[m，M]分别为[（ai+aj+ak）・（dr+ds+dt）]的最小值、最大值，其中[{i，j，k}?{1，2，3，4，5}]，[{r，s，t}?{1，2，3，4，5}]，则[m，M]满足 （ ）
A. [m=0，M>0] B. [m0]
C. [m
10. 如图，在扇形[OAB]中，[∠AOB=60°]，[C]为弧[AB]上且与[A，B]不重合的一个动点，且[OC=xOA+yOB]，若[u=x+λy（λ>0）]存在最大值，则[λ]的取值范围为 （ ）
A. （1，3） B. （[13]，3）
C. （[12]，1） D. （[12]，2）
11. 已知向量[a]，[b]满足[a=（1，0），b=（2，4）]，则[|a+b|=]__________.
12. 已知向量[a，b]满足[a=4，][b=3]且[（2a-][3b）・（2a+b）=61]，则[a]与[b]的夹角为 .
13. 已知向量[m=（1，2）]，[n=（1，1）]，若[m]与[m+λn]的夹角为锐角，则实数[λ]的取值范围为__________.
14. 在[RtABC]中，[∠C=90°]，若[ABC]所在平面内一点[P]满足[PA+PB+λPC=0].
（1）当[λ=1]时，[PA2+PB2PC2=]___________；
（2）[PA2+PB2PC2]的最小值为___________.
15. 已知数列[an]是公差不为零的等差数列，[Sn]为其前[n]项的和. 等比数列[bn]的前三项分别为[a2，a5，a11].
（1）求数列[bn]的公比；
（2）若[a1=1]，[OQn=（ann，Snn2）（n∈N?）]，求[OQn]的最大值.
16. 设[ABC]的三个内角[A，B，C]所对的边分别为[a，b，c]，且满足[（2a+c）BC・BA+cCA・CB=0].
（1）求角[B]的大小；
（2）若[b=23]，试求[AB・CB]的最小值.
17.已知[O]为坐标原点，向量[OA=（sinα，1）]，[OB=（cosα，0）]，[OC=（-sinα，2）]，点[P]满足[AB=BP].
（1）记函数[f（α）=PB・CA]，[α∈（-π8，π2）]，讨论函数[f（α）]的单调性，并求其值域；
（2）若[O，P，C]三点共线，求[OA+OB]的值.
18. 两非零向量[a，b]满足[2a+b]与[b]垂直，集合[A=][xx2+（a+b）x+ab=0]是单元素集.
篇10
【关键词】解析几何;向量的概念
The vector solution of the analytic geometry method
Ma Hong-yin
【Abstract】The topic in the analytic geometry because of a great deal of application property and sketch, make parts of student felling the topic be difficult to do, and from here creation awe by difficulty mental state, see resolution hair Mao.Then influence their result, influence study interest.If lead the vector into among them, get around for the ability a lot of and difficult processing of problem.The flat surface vector has several form and algebra form because of it of"dual identity", while study many other problem all have very extensive of application.It is contact several medium of knowledge, 1 which become mathematics knowledge in the high school hand over to remit a point.
【Key words】Analytic geometry;The concept of vector
解析几何中的题目由于大量应用性质及图形,使得部分学生感觉题目难做,并由此产生畏难心理,见解析题就发憷。进而影响了他们的成绩,影响了学习兴趣。如果将向量引入其中,就能回避好多难处理的问题。平面向量由于其具有几何形式和代数形式的“双重身份”,在研究其他许多问题时都有很广泛的应用.它是联系多项知识的媒介,成为中学数学知识的一个交汇点,数学高考重视能力立意,在知识网络的交汇点上设计试题,因此,解析几何与平面向量的融合交汇是新课程高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。而学生普遍感到不适应,本文结合几个例题,说明平面向量在平面解析几何中的一些简单应用.由于建立直角坐标系,给出了向量的坐标表示式,由此导出了向量的加法、减法及实数与向量积的坐标运算,这就为用“数”的运算处理“形”的问题架起了桥梁。因此运用向量方法解决平面几何问题,能够将问题中的隐蔽条件明朗化,复杂条件简单化,化难为易,最终能解决问题。从而使学生体验到成功的乐趣,建立学好数学的信心,又学到思考的方法,从而逐步提高推理的能力。
基础知识梳理
1. 向量的概念、向量的几何表示、向量的加法和减法;
2. 实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算;
3. 平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段定比分点人坐标公式和向量的平移公式;
4. 椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用;
5. 曲线方程(含指定圆锥曲线方程及轨迹方程);
6. 直线与圆锥曲线的位置关系问题(交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题)确定参数的取值范围;
7. 平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的典型问题。
例题讲解
1. 求轨迹问题
例1. O为原点,点A(1,1),B(1,-1).若存在 ,使点C满足 ,其中 =1.求点C的轨迹方程______________
解:设C(x,y) 则(x,y) =(1,1)+ (1,-1)
=( ,)+(, )
=(+ ,- )
x=+ ,y= -
= , =
=1,
x2-y2=4
说明:在引入向量的坐标表示后,可以使向量运算代数化,这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起。
练习1.平面直角坐标系中, 为坐标原点,已知 ,若点 满足 ,其中 ,且 ,则点 的轨迹方程为( D)
A.B.
C. D.
2.过点 ,作直线 交双曲线 于A、B不同两点,已知 。
(1)求点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。
(2)是否存在这样的直线 ,使 ?若存在,求出 的方程;若不存在,说明理由。
解:(1)设 的方程为 ,代入
得
当 时,设
则
设 ,由 ,
再将 代入 得 (*)
时,满足(*)式。
2.关于数量积的运算
例2.设坐标原点是 O,抛物线 y=x2与过点(0, )的直线交于A,B两点.
则 =( )
解:设A(x1,x12),B(x2,x22)
则 = (x1,x12)(x2,x22)=x1x2+( x1x2)2
设直线AB的方程为:y- =kx
则由y=x2
y- =kx解得x2-kx- =0
x1x2=- =-
说明:向量数量积的坐标表示,构建起向量与解析几何的密切关系,使向量与解析几何融为一体。求此类问题的关键是:利用向量数量积的坐标表示,沟通向量与解析几何的联系。体现了向量的工具性。
练习(2007年新课程卷)设坐标原点为 ,抛物线 与过焦点的直线交于 两点,则 等于( B )
A. B. C.D.
3.方向向量的应用
例3.双曲线的中心在坐标原点O,两条渐近线的方向向量分别为 =(2,1), =(-2,1).P是双曲线上的一个动点,已知 =(5,0),的最小值为 ,求双曲线的方程.
解:双曲线的两条渐近线的方向向量是 =(2,1),=(-2,1)
两条渐近线分别为:y= x , y=- x
设双曲线的方程为:x -4y =λ,P(x,y)
=(x-5,y)
=
=
=
当x=4时, 有最小值是 。
所以,得
双曲线的方程是: ,即:
说明:由于向量可以用一条有向线段来表示,有向线段的方向可以决定解析几何中直线的斜率,故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是:根据直线的方向向量得出直线方程,再转化为解析几何问题解决。
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练习
(1)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足
=+λ( + ),λ,则点P的轨迹一定通过ABC 的(B)
(A)外心(B)内心(C)重心 (D)垂心
(2)已知平面上直线l的方向向量 =(- , ),点O(0,0)和点A(1,-2)在l上的射影分别为O,和A,,则 =λ ,其中λ=( D )
(A) (B)- ( C)2(D)-2
4.向量夹角的应用
例4已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,且y1y2
解:∠AOB为锐角,
>0,即x1x2+y1y2>0(*)
设M(x0,0),直线AB的斜率为k(k≠0),
则AB可以写成:y=k(x-x0)与y2=2px联立
得:k2x2-(2k2x0+2p)x+kx02=0
于是:x1x2=x02
y12y22=(2px1)(2px2)=4p2x02
而y1y2
代入(*)式得:
x02-2px0>0
x0>0,x0>2p
易知:若ABx轴亦成立。
说明:求解这类问题的关键是:先把向量用坐标表示,再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解;
练习
椭圆 的焦点为F1,F2 ,点P为该椭圆上的动点,当∠F1PF2为钝角时,求点P的横坐标的取值范围。( )
5.共线向量的应用
例5、已知椭圆 的长、短轴端点分别为A、B,从此椭圆上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 ,向量 与 是共线向量。
(1)求椭圆的离心率e;
(2)设Q是椭圆上任意一点,、 分别是左、右焦点,求∠的取值范围;
解:(1) , 。
是共线向量, ,b=c,故 。
(2)设
当且仅当 时,cosθ=0,θ 。
说明:由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用,因此,解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是:正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系,把有关向量的问题转化为解析几何问题。
