垂直与平行范文

导语：如何才能写好一篇垂直与平行，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

编者按：平时在与高三学生通过面对面、电话、网络、信件交流时得知，立体几何解答题在高考试卷中属于中等难度的题目，平时练习的立体几何解答题的难度稍高于高考中的立体几何解答题的难度，因此高考中的立体几何解答题很容易得满分.然而事实上，近两年我们与高考阅卷老师交流后得知，学生在解答立体几何解答题时丢分现象严重.其实，高考立体几何解答题考查的知识点就是有数的几个，掌握了它们，不想得满分都难，关键在于你是否真正掌握了它们.

一、平行问题

1.直线与直线平行

策略：要证明直线a∥直线c，只要先找到直线b，证明a∥b且b∥c即可.

例1 如图1所示，在三棱锥P-ABQ中，PB平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.求证：AB∥GH.

难度系数 0.60

分析 由AB∥EF，EF∥GH，可知AB∥GH.

证明 在APQ中，D，E分别是AQ，AP的中点，则G是APQ的重心，于是有 =2.同理有 =2.所以 = ，即GH∥EF.

又EF是PAB的中位线，所以AB∥EF.

综上可知AB∥GH.

小结 三角形的重心分中线为2∶1两部分.三角形的中位线平行于底边，且等于底边的一半.

2.直线与平面平行

策略：平面α外的一条直线a，如果与平面α内的一条直线b平行，那么a∥α.

例2 如图2所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点，AA1=AC=CB= ·AB.证明：BC1∥平面A1DC.

难度系数 0.65

分析 要证明直线与平面平行，只要证明直线与直线平行或者将其转化为证明向量的数量积为零即可.

证明 （证法1）连接AC1交A1C于点F，连接DF.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，由AA1=AC，可知四边形ACC1A1为正方形，故F为AC1的中点.在ABC1中，由于D为AB的中点，所以DF∥BC1.

由于DF？奂平面A1DC，BC1？埭平面A1DC，所以BC1∥平面A1DC.

（证法2）设平面A1DC的法向量为n=（a，b，c），则有n· =0，n· =0.

由于 =（- ，0，- ）， =（ ， ，0），所以- a- c=0， a+ b=0. 于是b=c=-a.

取n=（1，-1，-1），由于 =（0，- ， ），n· =0，所以n ，从而有BC1 ∥平面A1DC.

小结 用待定系数法确定平面的一个法向量n，再证明n ，这是理科考生要掌握的方法.

3.平面与平面平行

策略：要证明平面与平面平行，我们只要先证明其中一个平面内的两条相交直线与另一平面平行即可.

例3 如图3所示，在三棱锥S-ABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，AS=AB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.

求证：平面EFG∥平面ABC.

难度系数 0.65

分析 欲证面面平行，先证线面平行，由中点找中点，用三角形中位线的性质解答.

证明 由于AS=AB，AFSB，所以点F为SB的中点.由于E，G分别是SA，SC的中点，所以EF∥AB，EG∥AC.所以EF∥平面ABC，EG∥平面ABC.

又EF∩EG=E，所以平面EFG∥平面ABC.

小结 将证明平面与平面平行转化为证明直线与平面平行，将证明直线与平面平行转化为证明直线与直线平行，这体现了立体几何证明题的“降维思想”.

二、垂直问题

1.直线与直线垂直

策略：由直线与平面垂直，可知直线与该平面内的任意直线垂直.另外，也可用向量的数量积为零来证明.

例4 如图4所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°.已知PB=PD=2，PA= .证明：BDPC.

难度系数 0.60

分析 要证明BDPC，可先证明BD平面APC或证明 · =0.

证明 （证法1）连接AC交BD于点O，连接PO.

由于底面ABCD是菱形，所以ACBD，BO=DO.由于PB=PD，所以POBD.

又PO∩AC=O，所以BD平面APC，即BDPC.

（证法2）连接AC交BD于点O，连接PO.

由于底面ABCD是菱形，所以ACBD.由于PB=PD，O为BD的中点，所以POBD.

由于 · = ·（ + ）= · + · =0，所以 ，于是有BDPC.

（证法3）连接AC交BD于点O，连接PO.以O为坐标原点，以OB所在的直线为x轴，以OC所在的直线为y轴，以OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系.

由题设易知PBD和BCD是边长为2的等边三角形，于是可知B（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0， ），C（0， ，0），从而有 =（-2，0，0）， =（0， ，- ）.

由于 · =-2×0+0× +0×（- ）=0，所以 ，即BDPC.

小结 如果直线与平面垂直，那么直线与该平面内的任意直线都垂直.

2.直线与平面垂直

策略：要证明直线与平面垂直，只要先证明直线与该平面内的两条相交直线垂直即可.

例5 如图5所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，AB =AA1= .证明：A1C平面BB1D1D.

难度系数 0.60

分析 找出线段B1D1的中点为E1，先证明A1CBD，A1CE1O，然后结论得证.

证明 由于A1O平面ABCD，且BD？奂平面ABCD，所以A1OBD.

在正方形ABCD中，由于ACBD，且A1O∩AC=O，所以BD平面A1AC.又A1C？奂平面A1AC，所以A1CBD.

在正方形ABCD中，AO=1； 在RtA1OA中，A1O=1.

设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，所以A1CE1O.

又BD？奂平面BB1D1D，E1O？奂平面BB1D1D，且BD∩E1O=O，所以A1C平面BB1D1D.

小结 从图形里的“中点”，再找一个“中点”，作出辅助线，这是经常采用的方法，值得琢磨、反思.

3.平面与平面垂直

策略：要证明平面与平面垂直，只要证明一个平面经过另一个平面的一条垂线即可.

例6 如图6所示，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.求证：平面PAC平面PBC.

难度系数 0.65

分析 从半圆上的圆周角是直角入手，证明BC平面PAC.

证明 由AB是圆的直径，可得ACBC.

由PA平面ABC，BC？奂平面ABC，可得PABC.

又PA∩AC=A，PA？奂平面PAC，AC？奂平面PAC，所以BC平面PAC.

由于BC？奂平面PBC，所以平面PAC平面PBC.

小结 本题是教材中的经典题目，也是1995年全国高考考查过的题型.看来，抓教材中的典型题目和往年的高考真题，对提高复习效率是很有益处的.

篇2

1． 线面平行、垂直的判定与性质的重点

熟练掌握两类相互转化关系，平行转化：线线平行?圯线面平行，线面平行?圯线线平行；垂直转化：线线垂直?圯线面垂直，线面垂直?圯线线垂直．

2． 线面平行、垂直的判定与性质的难点

①直线与平面平行、垂直的判定与性质定理的交替使用．

②空间向量的引入，利用向量解题的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标，将几何问题转化为代数问题．

1． 传统法证明线面平行、垂直

证明线面平行，依据直线和平面平行的判定定理，找“平面内的一条线”与已知直线平行；证明线面垂直，依据线面垂直的判定定理，找到所需的“平面内两条相交直线”． 而有时证明线线平行、垂直时，又转化为证明线面平行、垂直，如此反复，直到证得结论．

2． 向量法证明线面平行、垂直

（1）证明线面平行

证明直线的方向向量与平面内一直线的方向向量平行．

证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．

（2）证明线面垂直

若要证直线l与平面α垂直，只要在α内找到两个不共线向量a，b，在l上取向量p，证得p•a=0且p•b=0即可．

证明直线的方向向量与平面的法向量平行．

如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点． 证明：EF∥平面SAD．

图1 图2

思索 立体几何问题一般有两种方法：几何法与向量法． 几何法：证明EF与平面SAD内的某条线平行；向量法：利用向量平行转化为两直线平行，从而线面平行．

破解 法1：作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点． 连结AG，FGCD，又CDAB，故FGAE，AEFG为平行四边形． EF∥AG，又AG?奂平面SAD，EF?埭平面SAD． 所以EF∥平面SAD．

法2：如图2，建立空间直角坐标系D－xyz． 设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），Ea，，0，F0，，，=－a，0，． 取SD的中点G0，0，，则=－a，0，，=，EF∥AG，AG?奂平面SAD，EF?埭平面SAD，所以EF∥平面SAD． 另解，=（0，a，0）显然为平面SAD的一条法向量，而•=0，所以EF∥平面SAD．

点评 两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在传统法中注意用分析法寻找思路．

如图2，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1． 证明：SD平面SAB．

思索 几何法：只需要证明SD垂直于平面中的两条相交直线；向量法：利用向量的数量积为零证明线线垂直，从而证得线面垂直．

图4 图5

破解 法1：取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，连结SE，则SEAB，SE=． 又SD=1，故ED2=SE2+SD2，所以∠DSE为直角． 由ABDE，ABSE，DE∩SE=E，得AB平面SDE，所以ABSD． SD与两条相交直线AB，SE都垂直，所以SD平面SAB．?摇

法2：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图5所示的空间直角坐标系C-xyz． 设D（1，0，0），则A（2，2，0），B（0，2，0）． 又设S（x，y，z），则x>0，y>0，z>0． =（x－2，y－2，z），=（x，y－2，z），=（x－1，y，z）． 由=得=，故x=1． 由=1得y2+z2=1． 又由=2得x2+（y－2）2+z2=4，即y2+z2－4y+1=0，故y=，z=． 于是S1，，，=－1，－，，=1，－，，=0，，，•=0，•=0．故DSAD，DSBS，又AS∩BS=S，所以SD平面SAB．

点评 立体几何的解答通常都能用两种方法解决，尽管试题的命制载体可能趋向于不规则几何体，但仍以“方便建系”为原则． 用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”：（1）用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，建立立体图形与空间向量的联系，从而把立体几何问题转化为向量问题（几何问题向量化）；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题（进行向量运算）；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回归为几何问题）．?摇

如图6，ABC是正三角形，AD平面ABC，EC平面ABC，且AD=AB=2，CE=1，能否在线段BD上找到一点F，使AF平面BDE？

思索 探究问题的设问方式可以先假设结论成立，然后进一步分析研究需要满足什么条件，从而确定它的存在与否；也可假设满足某个条件，从而推出结论成立来说明它的存在性．

破解 法1：取BD中点F，AB中点G，连EF，CG，FG，有FG∥DA，且FG=DA=1，AFDB． 因为AD平面ABC，所以FG平面ABC． 因为EC平面ABC，AD=AB=2，CE=1，所以FG∥CE且FG=CE，CECG，故四边形EFGC为矩形． 因为ABC是正三角形，所以GCAB，所以GC平面ABD，GCAF，所以EFAF，又ABD为等腰直角三角形，所以AFDB，所以AF平面BDE，结论成立．

法2：建立如图7所示的坐标系，则有A（0，0，0），D（0，0，2），E（0，2，1），B（，1，0）． 令DF=x•DB，则=（x，x，－2x），=+=（x，x，2－2x），=（0，2，－1），=（，1，－2）． 若AF平面BDE，则•=0，•=0，故x=，此时F为BD中点．

篇3

第五单元第一课时平行与垂直

同步测试B卷

姓名:________

班级:________

成绩:________

小朋友们，经过一段时间的学习，你们一定进步不少吧，今天就让我们来检验一下！

一、填空。

(共4题；共10分)

1.

（2分）

(2019四上·西工期末)

我们课桌的桌面相邻的两条边互相________，相对的两条边互相________．

2.

（3分）

直角梯形ABCD中（如图），线段AB与线段________互相平行，线段________与线段________互相垂直。

3.

（2分）

(2019四上·高密期中)

两条平行线之间的距离________，如果两条平行线之间的距离是9厘米，在这两条平行线之间作一条垂直线段，这条垂直线段的长度是________厘米。

4.

（3分）

(2020四上·深圳期末)

下图中有________组平行线，________组垂线，有________个直角。

二、判断。

(共3题；共6分)

5.

（2分）

(2019·阜南)

在同一平面内，互相平行的两条直线一定不相交。（

）

6.

（2分）

(四上·路桥期末)

一张纸上画了三条直线a，b，c，其中a∥b，bc，那么ac。

7.

（2分）

(2020二上·镇原期末)

时针从3走到6，走了3时。（

）

三、解答题。

(共2题；共25分)

8.

（20分）

找一找下面图形各有几组平行线和垂线?

（1）

（2）

（3）

（4）

9.

（5分）

在下图中，森林北路垂直于森林东路，森林南路垂直于森林东路，森林北路和森林南路之间有什么样的关系?

参考答案

一、填空。

(共4题；共10分)

1-1、

2-1、

3-1、

4-1、

二、判断。

(共3题；共6分)

5-1、

6-1、

7-1、

三、解答题。

(共2题；共25分)

8-1、

8-2、

8-3、

篇4

1.资料与方法

1.1一般资料 2013年9月到2015年10月，选择我院收治的腰椎压缩性骨折患者150例，按照随机原则划分为两组，对照组75例，男44例，女31例，年龄54-79岁，平均（66.3±10.2）岁；观察组75例，男43例，女32例，年龄56-80岁，平均（67.3±11.2）岁。两组患者的一般资料比较差异无统计学意义（P>0.05），具有可比性。

1.2护理方法 对照组患者给予常规护理。观察组患者给予综合护理干预，主要措施有：（1）心理护理：腰椎压缩性骨折患者腰部疼痛严重，需要长时间卧床休息，影响了各种生理功能，病程较长，担心疾病的预后情况。与患者耐心交谈，解除思想顾虑。患者手术过后其疼痛反应的发生和患者的相关情绪具有重要的关系，患者的疼痛程度与患者的焦虑等不良情绪呈正相关，认真了解患者心理压抑的相关原因，找到出发点和突破口，有针对性地进行干预和指导。护理人员需强化自身与患者之间的沟通，强化对病房的巡视工作，为患者提供必要的心理安抚。（2）饮食指导：每天早上漱口后饮500-800 ml的温开水，清洗肠胃，促进大便排泄。指导患者饮食定时定量，粗粮细粮均衡搭配，多食新鲜蔬菜水果，多食纤维丰富的五谷杂粮，增加胃肠蠕动。（3）腹部护理：了解患者的排便习惯，调查患者的腹胀腹痛情况，判断患者是否存在胃肠道疾病，做好患者肠鸣音的听诊工作，检查肠壁紧张度。指导患者餐后1-2小时，用单手掌根部，以肚脐为中心，用适当的力量顺时针按摩30 min，每天1-2次；腹部热敷，热水袋加热，温度不超过70℃，老年患者不宜超过50℃。热敷过程注意观察皮肤情况及询问患者感觉。（4）干预：帮助患者选择舒适的，缓解牵拉而引起的手术伤口疼痛。嘱患者平卧在硬板床上，患处垫上2-4 cm的枕头，确保患者的脊柱能够位于水平位置。帮助患者翻身，选择舒适的，若患者侧卧，应该注意确保患者躯体间的一致性，更好地缓解患者局部的疼痛症状，以确保患者感觉到舒适为主。（5）腹式呼吸：指导患者平卧，放松四肢，双手交叉在腹部，先用鼻子吸气，可见患者腹部出现膨隆，然后用嘴慢慢呼气，身体的气体慢慢溢出。呼吸时间之比为1：2，每次训练15 min，每天进行四次训练。其频率大约为20 min一次。患者进行腹式呼吸，对患者的内脏起到按摩作用，促进患者的胃肠蠕动。

1.3观察指标 采用VAS评分法评价患者的术后疼痛情况，分值越高，表示疼痛越大。记录患者的腹胀发生率。

1.4统计学方法 采用IBM SPSS 22.0统计学软件进行统计学分析，计量资料以均数±标准差（x±s）表示，组间比较采用两独立样本均数t检验，计数资料比较采用x2检验，检验水准：a=0.05，双侧检验。

2.结果

观察组术后第4天的疼痛指数评分为（1.6±0.7）分，对照组术后第4天的疼痛指数评分为（5.4±2.1）分，两组比较差异有统计学意义（t=14.867，P

3.论

压缩性骨折多发于患者的下胸围和上腰部位，其主要表现是患者出现背部疼痛，后柱棘突或韧带有损伤，局部存在着后凸畸形，对患者的生活质量产生严重影响。通常情况下，腰椎压缩性骨折指患者的脊柱前屈而导致的椎体前柱压缩，进而患者的腰椎及随后部分的后柱出现了牵拉伤。损伤后患者的椎体变为楔形，严重影响正常生活，不利于患者的身心健康。手术是治疗本病的主要方法，但是老年患者的身体机能减弱，抵抗能力降低，耐受疼痛的能力也显著降低。通常情况下，骨折后的12 h患者容易出现腹胀。主要表现为恶心、呕吐、腹痛、腹胀等，严重者会出现呼吸困难、下肢静脉血栓等情况，极大影响患者后期康复与治疗。因此，给予合适的护理干预，降低患者疼痛、减少腹胀发生率非常必要。

篇5

长期从事教学一线的教师都知道，现在的学生靠灌输式教学收效甚微。尽管他们对教师有依赖性，教师也只能引导、鼓励学生去学习、去思考、去观察。网络教育主要是指以多媒体技术为主要媒体，在网上进行的跨时空、跨地域的，实时或非实时的交互式教学形式。与传统教育相比，网络教育的独特优势主要表现在如下几个方面：

1、良好的交互性。在网上可以利用BBS、E-mail等网络工具向老师提问、与同学讨论问题，形成交互式学习。2、灵活方便。网络教育的学习者可以在任何时间、任何地点进行学习。除此之外，学习者还可以自己掌握学习进度。3、易于管理。电脑有着巨大的信息处理能力和储存能力，利用电脑的这种特性，大部分教学和教学管理工作可以在网上进行。4、资源共享。在网络上进行资源共享分为三个方面：一是课程资源共享，通过链接就可以完成。二是网上资源的共享，互联网本身就是一个巨大的资源库，是一个知识的宝库。这个资源库可为学习者提供多种学习的便利，扩大学习者的知识面。三是对教学中难点问题解答的共享，一个学习者所遇到的问题，教师解答了，其他有相同问题的学习者也可以参考。5、个性化的服务。网络教育学习方式灵活，可选择资源充分，为个人兴趣的发展提供了充足的发展空间。学习者可以根据自己的爱好和特长去选择自己想学的内容，去实现自己的发展目标。6、可以优化教育资源。网络上的教育资源可以随时更新和补充，可以及时地反映出最新的科研成果，并把这些成果编入教学内容中来。

利用手机微信，微博是最简单的网络教育，可我们有些学校禁止学生使用手机，其实我们可以顺势而为，利用网络工具改变过去那种只靠授课、作业、考试方式来传授知识的方法。例如，对《立体几何》的复习，我们采用了“手游”式，取得了较好的效果。

手机游戏是指运行于手机上的游戏软件，现在手机游戏也远远不是我们印象中的什么“俄罗斯方块”“捕鱼达人”“贪吃蛇”之类，发展到了可以和掌上游戏机媲美。“手游”之所以吸引力那么大，是因为它具有很强的娱乐性和交互性。为此，我们将《立体几何》知识分成三关来让学生闯。

第一，概念、公式关：我们将《立体几何》的有关计算公式与几何图形配对制成“愤怒的小鸟”形式，学生过了这关就可知道自己月考数学成绩在班上的排名，以及本班班费的使用情况。但要知道具体分数就得继续闯关。

第二，识图、画图关：《课程标准》对学生空间想像能力提出了更高的要求，并赋予了新的内容。在实际教学中，教师应重视读图、视图能力的培养；重视耐心观察而获取感性认识的推理过程。我们将几何体的三视图设置为第二关，如果过了这关就可知道自己的数学分数，加入QQ群等。

第三，转化关：在立体几何问题中注意联想平面几何中类似问题的图形与解法，从平面几何问题中得到启发，适当添加辅助线、辅助面，将分散的元素进行集中，将各种关系体现在同一个平面图形内，就可化未知为已知，化立体几何为平面几何，从而使问题迎刃而解。如果你过了此关，你将得到老师的点赞，参加教师微博。

闯关基础：点线 面 ， 构成空间几何体的基本元素。

点：点动成线（曲线或直线，不绝对为直线）

线：线动成面（曲面或平面，移动为平面，固定射线的端点，转动能形成锥面）

面：面动成体

主要关系

一、直线与平面平行

1.定义：直线与平面没有公共点；

2.判定方法：方法一 根据定义判定 ；方法二 根据判定定理判定：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。方法三 性质定理的逆用。

3.性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 简述为：线面平行则线线平行.

二、平面与平面平行

1.定义：两个平面没有公共点。

2.判定方法：

（1）根据定义。证明两个平面没有公共点。 由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。 （2）根据判定定理。证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。 （3）根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。

3. 两个平面平行具有如下性质： （1） 两个平行平面中，一个平面内的直线必平行于另一个平面。 简述为：“若面面平行，则线面平行”。 （2） 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 简述为：“若面面平行，则线线平行”。 （3） 如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。 （4） 夹在两个平行平面间的平行线段相等

三、直线与平面垂直

1.定义：如果一条直线a与平面内任一条直线都垂直，则a与这个平面垂直。

2.判定方法：

（1）定义法：（2）判定定理：若直线垂直于面内的两条相交直线，则直线垂直于该平面。

（3）其他方法：

3.性质定理：

如果一条直线垂直于一个平面，则这个平面上的任意一条直线都与原直线垂直。

如果一条直线垂直于一个面，那么经过该直线的平面于此平面相交，直线与交线平行

如果两条直线同时垂直于一个平面，那么着两条直线平行。

如果一条直线垂直于一个面，那么经过该直线的平面与此平面垂直

四、平面与平面垂直

1.，定义：若两个平面的二面角为直二面角，则这两个面互相垂直

2，判定方法：1先证线面垂直（如果一直线和平面内两相交直线垂直，那么直线垂直于这个平面） 再证面面垂直（一平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直） 2。证直二面角。

3.性质定理： 性质1：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

性质2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。

性质3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

性质4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

总之，为了促进学生学习方式的转变，引导学生主动地、富有个性地学习，教师在教学过程中大胆改革传统教学方式，尝试新的教学方式，如网络、微信等，将使学生的学习渠道和空间有效拓宽，使学生内在的情感和思维得到真正的激活。如果我们每门课程、每个章节都能这样做，就再也不用担心学生烂用手机了。

篇6

[关键词]认识平行；教学设计；思考

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）20-0061-02

【教学内容】

苏教版数学四年级上册第92～93页的例9和例10。

【教学目标】

1.引导学生在理解“垂直”的基础上，进一步感知并理解两条直线的另一种特殊的位置关系――平行，体会这两种位置关系的共同点和不同点，认识平行线。

2.要求学生能根据平行的本质找到画平行线的方法。

3.关注学生数学活动经验的积累，发展学生的空间观念，培养学生应用数学的意识。

【教学重难点】

引导学生理解两条直线互相平行的本质，即两条直线间的宽度（距离）不变，并能根据这一特征探究平行线的画法。

【教学准备】

给每个学生发一张白纸，要求学生自备直尺、三角尺和水彩笔。

【教学过程】

一、复习回顾

师（出示图片）：图1是老师家阳台的一角，图2是放大后墙面上瓷砖的图片。你能从图2中找出与上一节课有关的数学知识吗？

（学生回顾上一节课所学的知识）

师：上一节课我们学习了两条直线的特殊位置关系――垂直。谁来说一说什么是互相垂直？什么是垂线？什么是垂足？

（学生回答）

师（小结）：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。

（教师在图2上描出一组互相垂直的直线，并组织全班交流）

【设计意图：日常生活中有许多垂直或平行的现象，这些都是教学素材。本课教学从呈现阳台的一角开始，引导学生观察并发现日常生活中的数学原型，既有助于激发学生的学习兴趣，又帮助学生复习了旧知识，有利于培养学生的数学意识。】

二、感知“平行”

师：再次观察图2，在这张图片中，两条直线除了互相垂直，还有没有别的位置关系？请你描出另外一组直线，要求与第一次描出的直线的位置关系不同。

（组织全班交流，选择呈现学生描出的直线，如图3～5）

师：哪张图中的两条直线的位置关系与其他的不同？为什么？

生：图3和图4中，即使把两条直线无限延长，它们也不会相交。图5中，把两条直线延长后，它们互相垂直。

（引导学生观察更多的生活原型；呈现教材中例9的图片，如图6～8：铁塔、铁轨、双杠）

师：请在这三幅图中描出不会相交的两条直线。

师：你还在哪里见到过这样的两条直线？请说一说。

生1：黑板的上下两条边或左右两条边、马路上的斑马线、五线谱等。

师：如果请你在白纸上画出这样的一组直线，你会借助什么工具？

（学生经过讨论，认为可以沿着直尺、方形橡皮的上下两条边或左右两条边描出这样的一组直线）

师：请借助合适的工具，在白纸上画出你所描述的一组直线。说说你画的这组直线与以下四组直线有什么不同。

师：第①组中，两条直线相交；第②组中，两条直线延长后会相交；第③组和第④组中，两条直线也相交，因为两条直线相交成直角，我们还可以说这两条直线互相垂直。所以这四组直线的位置关系都可以说成是“相交”。而刚才画出的一组直线，再怎么延长也不会相交。像这样不相交的两条直线，叫作互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。

（教师结合分析和小结，呈现如下板书）

师：与同桌说一说怎样的两条直线是平行线，并完成以下练习。

（1）P93的“练一练”：下面哪组的两条直线互相平行？

（2）教师演示小鱼向右平移5格（如图9）：你能在平移前后的图形中找到几组互相平行的线段？

师：在图9中，怎样的两条线段互相平行？尝试用一句话概括。

生2：平移前后，对应的两条边是互相平行的。

【设计意图：从学生已经掌握的“两条直线互相垂直”的位置关系出发，引导学生寻找两条直线之间不同的位置关系以及生活中的原型，帮助学生建立清晰的直观表象。学生在白纸上描出“不互相垂直”的两条直线后，再与不同的“相交”现象进行对比分析，明确“不相交的两条直线互相平行”，提炼概念。在此过程中，结合交流和讨论活动，教师完整呈现了“两条直线的位置关系”网络图，帮助学生完善知识结构，系统理解并掌握相关的数学概念。】

三、深化理解

师：刚才我们在白纸上借助工具画出了一组平行线，想一想，根据平行线“不相交”的特点，我们还可以怎么画平行线？

（学生独立思考后，在小组里交流，教师巡视指导，及时点拨）

生3：可以根据“两条平行线之间的宽度相等”这一特点画出平行线。

学生尝试画平行线并交流画法：

（1）先画出一条直线；

（2）确定两条平行线之间的宽度，比如2厘米；

（3）在画好的直线上确定两个点，过这两个点画出已知直线的垂线段，长为2厘米；

（4）过两条垂线段的另一组端点画一条直线，画出的就是已知直线的平行线。

四、课堂小结

师：平行线在我们的日常生活中无处不在，它不仅拥有整齐匀称的美，还具有重要的研究意义和数学意义。我们在今后的学习中将进一步研究平行线的性质与特点。

【教学思考】

一、关于先学“垂直”后学“平行”

“垂直”或“平行”是同一平面内两条直线的特殊位置关系，是学习线、角、面、体等几何知识的基础。编者在修订苏教版教材时，调整了这两个知识点的教W顺序，先教学“垂直”再教学“平行”，这不仅是因为学生积累的关于“垂直”的感性认识比“平行”多，更是因为学生认识垂直关系，学会画垂线后，能感悟两条直线的“不相交”，从而降低学习平行线概念的难度。

二、关于“同一平面”

平行线概念的建立与描述，要基于“同一平面”这个必要前提。编者在修订苏教版教材时，采用“像这样”的表达，隐含了“同一平面内”的限定，主要是考虑到小学生受年龄与知识水平的限制，目前还不能理解异面直线的概念，所以过多强调“同一平面内”并没有多少实际意义，反而会给学生理解概念带来更大的困难。为此，教材完全避免了异面直线的现象，给学生观察的都是同一平面内的两条直线。

三、关于平行线的画法

用三角尺和直尺画已知直线的平行线历来是“平行线”教学中的一个难点，其实质是“同位角相等，两直线平行”的判定定理，这需要学生联系平行的概念和特点，从“平移”这个理论基础出发，思考操作的方法。很多时候，这一环节的教学受课堂时间的限制，常常演变为观看录像或动画后的模仿操作活动，达不到应有的教学效果。

篇7

例1.如图，四边形ABCD为矩形，DA平面ABE，AE=EB=BC=2，BF平面ACE，且点F在CE上.（1）求证：DEBE；

（2）求四棱锥E﹣ABCD的体积；

（3）设点M在线段AB上，且AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.

法1：面面平行 线面平行

过M点作AE的平行线交EB于P点，过P点作BC的平行线交CE于N点，连接MN，

MP//AEMP？埭面DAEAE？奂面DAE？圯MP//面DAE 同理PN//面DAE MP∩PN=P？圯面MPN//面DAE？圯MN//面DAEm

在ABE中，■=■=■

在EBC中，■=■=■，所以N为EC的三等分点（靠近C点处）

法2：构造三角面（线面平行？圳线线平行）通过线面平行找线线平行，从而确定比例关系。

分析：过E点作DA的平行线EH，连接BN并延长交EH与Q点，连接AQ

假设

MN//面DAEMN？奂面BAQ面BAQ∩面DAE=AQ？圯MN//AQ？圯■=■=■面DAEEQ//BC？圯■=■？圯■=■

法3：构造平行四边形面（原理同法2）

分析：过N点作DC（即AM）的平行线交DE于G点，连接GN，AG.

则AM//NGMN//面DAEMN？奂面MNGA面MNGA∩面DAE=GA？圯MN//GA？圯四边形MNGA为平行四边形

？圯NG//AM且NG=AMAM//DC且AM=■DC面MNGA∩面DAE=GA？圯NG=■DC？圯N为EC的三等分点（靠近C点）

点评：证明线面平行的方法有3种，关键是辅助线的作法和思路的寻求。法1是构造线MN所在的平面与面DAE平行；法2是利用异侧或同侧取点与线MN构成三角面与已知面DAE相交，产生的交线与MN平行；法3按已知固定方向做平行线构造平行四边形（依据同法2，都是由线面平行的性质定理来分析思路）。

例2.如图1，在RtABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2。

（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1FBE；

（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由。

分析：由（1）知DE面A1CD，则DEA1C要找A1C的垂面且过DE，则只需过D点或E点作A1C的垂线（原理：A1C过DE所在面的两条相交直线），而点D与线A1C同在已知面A1CD内，

故在面A1CD内作D1HA1C，则A1C面DEH（但此三角面与A1B目前无交点）。

将面DEH进行延展，根据两条平行直线确定唯一一个平面，过H在面A1CB内作BC（即DE）的平行线HQ，连接EQ，则面DEHQ即为面DEQ。

例3.如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点，

（1）求四棱锥P-ABCD的体积；

（2）求证：PA∥平面MBD；

（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。

分析：要证面PCN面PQB，即寻找其中一个面的垂线，由于N点未定，故面PCN的垂线不可找，从而确定找面PQB的垂线。

易证PQ面ABCDNC？奂面ABCD？圯PQNC，猜想NC为面PQB的垂线，

故只要NCBQ即可

篇8

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2013）10B-

0064-02

向量是高中数学不可缺少的内容，它是沟通代数、几何与三角函数的工具。在平面几何中，向量可以将很多问题代数化、程序化，体现出数与形的完美结合，新课标对向量知识的考查也充分体现了综合运用的特色。在几何中，平面向量在处理长度、距离、垂直、平行等问题时占有绝对的优势，运用向量与数形的转化，可以大大简化计算，降低某些题目的难度，向量方法在几何中得到了广泛的运用。本文从证明直线平行、求夹角、证明直线垂直三个方面论述向量在平面几何中的运用。

一、用向量证明直线平行

直线平行的证明是平面几何中经常遇到的问题之一，也是高中数学中的重点和难点。如果我们直接用平面几何的知识来证明直线平行，思路繁杂，步骤繁琐，向量却可以帮助我们轻松快速地解决问题。

用向量证明直线与直线平行的一般思路是：把问题转换为向量平行（共线）的充要条件：a∥b■a=λb（x1y2-x2y1=0），即只需证明a=λb即可。

【例1】 如图1，若ABCD是平行四边形，EF∥AB，AE与BF、DE与CF分别相交于N和M。求证：MN∥AD。

分析：学生遇到此类题目时，通常会想到通过证明同位角相等来得出两直线平行，但是，这一方法的思维过程复杂，导致学生很难入手，无法解决问题。我们可以尝试用向量的方法证明：要证明MN∥AD，只要证明■=λ■（λ≠0）即可，而■= ■- ■，■= ■- ■，很容易得出：■=λ1■，■=λ2■，所以，只需要证明λ1等于λ2。至此，问题就变得简单了，因为很容易看出EF∥AB∥DC，且AB=DC，利用三角形相似的原理，很容易得出λ1=λ2。下面我们一起看解题过程：

证明：EF∥AB

NEF∽NAB

设■=λ′ ■（λ′≠1）

则■=λ′

■=■=λ′-1

■= ■（λ′-1）

同理，由于EF∥DC得■= ■（λ′-1）

■= ■- ■

=（λ′-1）■-（λ′-1）■

=（λ′-1）（ ■ - ■）

=（λ′-1）■

令λ=λ′-1，则■=λ■（λ≠0）

MN∥AD

从这道题目可以看出：运用向量证明平面几何中直线平行的问题，只要找出所求线段或直线对应的向量平行关系，证明a∥b■a=λb（x1y2-x2y1=0），就可以运用向量与数形的转化简化运算。反之，如果直接利用平面几何知识证明直线两两平行，思维过程不仅过于复杂，而且很难找到突破口。因此，教师在设计教学方案时，应要求学生熟练掌握用向量证明直线平行的一般方法，使学生在遇到类似的问题时能轻松应对。

二、用向量求两直线的夹角

求两条直线的夹角是高中数学的重要内容之一，求夹角的问题可以利用向量的夹角公式：cosα=■，以两直线的方向向量的夹角与两直线夹角之间的关系为突破口，运用向量的方法，推导得出两直线夹角的余弦公式。对于求平面内两直线的夹角问题，理论简单，方法也易于掌握，难点在于如何根据题意选取恰当的方法来解决问题。下面结合具体实例谈谈求解方法的选择。

【例2】如图2所示，在ABC中，已知AB=■，cosB=■，AC边上的中线BD=■。求sinA的值。

分析：遇到求夹角的问题，我们可以首先考虑cosα=■，而此题求sinA，我们只需求出cosA，根据公式sin2A+cos2A=1即可求得sinA。

解：以点B为坐标原点，■为x轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限。

如图2，由sinB=■=

■=■

■=■cosB，■sinB=■，■

设 ■=（x，0），则 ■=■，■

由条件得，

| ■|=■

从而有x1=2，x2=-■（舍去）

故 ■ = ■- ■=-■，■，于是有

cosA=■=■=

■=3■

sinA=■=■

教师在教学过程中要引导学生树立这样的意识，即要求一个夹角的大小，如果根据已知条件不可以很直观地求出夹角的度数，则可以根据公式cosα=■，利用向量的性质进行求解。

三、用向量证明直线垂直

在几何学中，两条直线的垂直，主要分为平面内两条直线垂直和空间两条直线垂直，而证明平面内的两条直线垂直一般有三种方法：平面几何法、解析法、向量法。用向量法证明直线垂直，往往要用到向量垂直的充要条件：ab■a・b=0（或x1x2+y1y2=0），解题时可从这个充要条件入手，转换问题使之简单化。

【例3】如图3所示，O为ABC的外心，E为三角形内一点，满足■= ■+■+■。求证：■■？郾

分析：这是平面几何中最典型的证明垂直的问题，如果使用平面几何作辅助线的方法，比较麻烦，但如果用向量的方法，就截然不同了。要证明直线垂直，只需证明向量相乘等于0，即只需证明 ■・■=0而 ■= ■- ■， ■= ■- ■.又由题目可知： ■= ■+ ■+ ■，所以 ■= ■+ ■，又由外接圆的性质得知 ■， ■的模相等，所以要证明这两个向量垂直，只需将 ■， ■表示出来即可。

证明： ■= ■- ■

=（ ■+ ■+ ■）-■

= ■+ ■

■= ■- ■

■・ ■= （ ■+ ■）・（ ■- ■）

=| ■|2-| ■|2

O为外心，| ■|=| ■|

即 ■・ ■=0， ■■？郾

以上例子是平面几何中最常见的直线或线段垂直的问题，这类问题一般用几何中垂直的相关判定定理进行解答，学生在解答类似的问题时可以从直线垂直的判定定理ab■a・b=0（或x1x2+y1y2=0）入手思考，只要证明两向量垂直，就可以得出对应的两条线段或直线垂直。

通过以上几个例子我们可以得到用向量方法解决平面几何问题的一般步骤：

1？郾建立平面几何与向量之间的关系，将平面几何问题转化为向量问题。

2？郾理清所要解答的几何问题与向量之间有什么联系。

3？郾运用向量进行运算。

4？郾把运算结果“翻译”成几何关系。

篇9

[关键词] 投影 垂直 平行

点、线、面是构成形体的基本几何要素，研究他们的投影是为正确表达形体和解决空间几何问题奠定理论基础，并提供有利的分析手段。线的投影是点和面的投影的过渡部分，只有掌握线的投影，才能为面乃至组合体的投影打下良好的基础。

在教学过程中，往往结合习题册让学生多做多练，学生对单一题型还能利用相关知识点作图，习题册上的题型也是考察单一知识点的居多，所以一旦碰到综合题往往束手无策，不知如何下手，本文以一道综合题为例，再谈一下直线的投影。

例：过点C作一直线CP，使其与直线AB平行，且使点P距A、B两点等距，如图1所示。

一、根据相关知识点作图

分析题意，从题中可以得到一些关键词，如平行，等距，垂直等，看到这些关键词就要想到与这些关键词有关的投影特性，只有了解了这些投影特性才能进行作图。

（一）平行问题

如果空间中两直线相互平行，那么这两直线的同面投影也应该平行。题中要使CP与AB平行，所以直线CP和AB的两面投影也应平行，过C点作AB的平行线CD，P点肯定在CD这条直线上，如图2所示。

（二）等距问题

要求P点与AB两点等距，P点肯定要在AB的垂直平分线上，要找到此点，必须要经过两步：一平分AB，二做AB的垂直平分线，这又涉及到另外两个知识点。

1.定比性

若点在直线上，则点将线段的同面投影分割成与空间直线相同比例，即定比性。在本题中，要想找到AB的中点M，直接在相应投影上取中点即为二等分点，如图2中m和m＇。

2.面线垂直

要想找到AB的垂直平分线，首先要过等分点M作AB的垂直面。线如何垂直于面？如果一直线垂直于平面中的任意两相交直线，那么这一直线就垂直于这一平面。同时又有，若一直线的水平投影垂直于某一平面的水平线的水平投影，其正面投影垂直于该平面的正平线的正面投影，那么这一直线垂直于这一平面。在本题中，过M点作正平线ME和水平线MF，得到相应投影m＇e＇、me和m＇f＇、mf，其中m＇e＇垂直于a＇b＇，mf垂直于 ab（两垂直直线中有一条是某一投影面的平行线，那么这两条直线在该投影面上的投影就相互垂直），如图3所示。平面MEF就是AB的垂直平分面，该面与CD的交点P就是题中要求的点，如图4所示，MP就是AB的垂直平分线。

二、解题的一般步骤

综合题涉及的知识点较多，对于刚接触《机械制图》的学生来说“空间”与“平面”之间的相互转换掌握得还不是很灵活，作图具有一定的难度，对于这类题型，对单一知识点的熟知与掌握是关键，只有充分了解点、线、面的投影特性及相对位置关系，解答综合题的时候才能得心应手，总的来说，基本的步骤有以下几点：

（一）分析题意

分析已知条件的空间情况，弄清原始条件中物体与投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几何要素，根据要求确定出有关几何要素处于什么样的特殊位置，并从已知条件中找出关键词（如平行、垂直等），根据这些关键词联想到有关投影特性。

（二）确定解题方法和步骤

一般利用综合分析法，从已知条件出发，根据作图的要求条件，利用“正”、“反”结合的方法，逐步推理最后得到要求的结果。

（三）投影作图

根据正投影的基本原理、投影特性作出投影图。

三、总结

点、线、面的投影是《机械制图》的重点之一，是后续章节学习的基础，这部分内容理论性较强，再加之点、线、面是一些基本的几何元素，不象实体一样来得直观，建立空间结构的时候有一定难度，但只要掌握基本的投影特性，再根据相关特性作图，大部分题就可以迎刃而解了。

参考文献

[1]金大鹰.机械制图[M].北京：机械工业出版社，2008

篇10

（2） 当三棱锥ABCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得ENBM，并求EN与平面BMN所成角的大小.图1图2

（作者：卢杰江苏省丹阳高级中学）

立体几何在高考中占有重要的地位，近几年对立体几何考查的重点与难点趋于稳定（也是考生的基本得分点）：高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行的判断与性质、垂直的判断与性质作为考查的重点。新课标教材对立体几何要求虽有所降低，但考查的重点一直没有变，常常考查线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系和选修中的空间角与距离的计算。

在现有的必修教材中，虽淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，但在理科选修教材中加大了向量的应用。学习空间向量后，立体几何问题大多可以用向量的知识来做，从而使解题更简捷有效。对空间向量的考查主要集中于向量概念与运算，要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用，尤其是求夹角、求距离。

一、 考纲要求

1. 空间几何体：该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对各种空间几何体结构特征的了解，认识各种空间几何体直观图，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法；

2. 空间点、直线、平面的位置关系：该部分的基础是平面的性质、空间直线与直线的位置关系，重点是空间线面平行和垂直关系的判定和性质，面面平行和垂直关系的判定和性质.在复习中要牢牢掌握四个公理和八个定理及其应用，重点掌握好平行关系和垂直关系的证明方法；

3. 空间向量与立体几何：由于有平面向量的基础，空间向量部分重点掌握好空间向量基本定理和共面向量定理，在此基础上把复习的重心放在如何把立体几何问题转化为空间向量问题的方法，并注重运算能力的训练。

二、 难点疑点

1. 空间几何体的表面积和体积的计算方法；

2. 平行关系和垂直关系的判定和性质，掌握好平行和垂直关系的证明方法；

3. 空间向量的应用，将立体几何问题转化为空间向量问题的方法。

三、 经典练习回顾

1. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为.

2. 一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：

①ABEF；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD.

其中正确的是.

3. 下列命题中，正确命题的序号是.

①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；

③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；

④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.

4. 已知O是ABC的外心，P是平面ABC外的一点，且PA=PB=PC，α是经过PO的任意一个平面，则α与平面ABC的关系是.

5. 如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足.设AK=t，则t的取值范围是.

6. 如下图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为.

四、 例题精析

题型一空间几何体的表面积和体积

【例1】如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，ABBC，AC=AD=2，BC=CD=1.

（1） 求四面体ABCD的体积；

（2） 求二面角CABD的平面角的正切值.

【解法一】（1） 如图1，过D作DFAC垂足为F，故由平面ABC平面ACD，知DF平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，则由AC=AD，知AGCD，从而

AG=AC2-CG2=22-122=152.

由12AC·DF=12CD·AG得DF=AG·CDAC=

154.

（图1）

由RtABC中AB=AC2-BC2=3，SABC=12AB·BC=32.

故四面体ABCD的体积V=13·SABC·DF=58.

（2） 如图1，过F作FEAB，垂足为E，连接DE.由（1）知DF平面ABC，

所以DEAB，故∠DEF为二面角CABD的平面角.

在RtAFD中，AF=AD2-DF2=22-1542=74，

在RtABC中，EF∥BC，从而EF∶BC=AF∶AC，所以EF=AF·BCAC=78.

在RtDEF中，tan ∠DEF=DFEF=2157.

【解法二】（1） 如图2，设O是AC的中点，过O作OHAC，交AB于H，过O作OMAC，交AD于M，由平面ABC平面ACD，知OHOM.因此以O为原点，以射线OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系Oxyz.已知AC=2，故点A，C的坐标分别为A（0，-1，0），C（0，1，0）.设点B的坐标为B（x1，y1，0）由ABBC，|BC|=1，有

x21+y21=1，

x21+（y1-1）2=1，

解得x1=32，

y1=12，

x1=-32，

y1=12（舍去）.

（图2）

即点B的坐标为B32，12，0. 又设点D的坐标为D（0，y2，z2），由|CD|=-1，|AD|=2，有

（y2-1）2+z22=1，

（y2+1）2+z22=4，

解得y2=34，

z2=154，y2=34，

z2=-154（舍去）.

即点D的坐标为D0，34，154.从而ACD边AC上的高为h=|z2|=154.

又|AB|=322+12+12=3，|BC|=1.

故四面体ABCD的体积V=13×12·|AB|·|BC|h=58.

（2） 由（1）知AB=32，32，0，AD=0，74，154.

设非零向量n=（l，m，n）是平面ABD的法向量，则由nAB有 32l+32m=0. ①

由nAD，有74m+154n=0.②

取m=-1，由①，②，可得l=3，n=71515，即n=3，-1，71515.

显然向量k=（0，0，1）是平面ABC的法向量，从而

cos〈n，k〉=715153+1+4915=7109109，

故tan〈n，k〉=1-491097109=2157，

即二面角CABD的平面角的正切值为2157.

点拨理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法，了解它们的侧面展开图，及其对计算侧面积的作用，会根据条件计算表面积和体积。理解球的表面积和体积的计算方法。把握平面图形与立体图形间的相互转化方法，并能综合运用立体几何中所学知识解决有关问题。

题型二点、线、面的位置关系

【例2】如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB=CGCD=23，则（）

（A） EF与GH互相平行

（B） EF与GH异面

（C） EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上

（D） EF与GH的交点M一定在直线AC上

解依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因为EH=12BD，FGBD=23，故EH≠FG，所以，EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M，因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，由公理3可知，点M一定在平面ACB与平面ACD的交线AC上.选（D）.

点拨理解空间中点、线、面的位置关系，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。

题型二直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

【例2】如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1分别是棱AD、AA1的中点.

（1） 设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；

（2） 证明：平面D1AC平面BB1C1C.

证明：（1） 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4，CD=2，且AB∥CD，所以CD

瘙 綊 A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1∥A1D，又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所以EE1∥A1D，所以CF1∥EE1，又因为EE1平面FCC1，CF1平面FCC1，

所以直线EE1∥平面FCC1.

（2） 连接AC，在直棱柱中，CC1平面ABCD，AC平面ABCD，所以CC1AC，因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4，BC=2，F是棱AB的中点，所以CF=CB=BF，BCF为正三角形，∠BCF=60°，ACF为等腰三角形，且∠ACF=30°，所以ACBC，又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C，所以AC平面BB1C1C，而AC平面D1AC，所以平面D1AC平面BB1C1C.

点拨掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。通过线面平行、面面平行的证明，培养学生空间观念及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。

题型三直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

【例3】如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点，

求证：（1） 直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF平面PAD.

解（1） 因为E、F分别是AP、AD的中点，

EF∥PD，又P、D∈面PCD，E、F面PCD直线EF∥平面PCD.

（2） AB=AD，∠BAD=60°，F是AD的中点，BFAD，又平面PAD平面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，BF面PAD，所以平面BEF平面PAD.

点拨掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线线垂直、线面垂直、面面垂直，会用性质定理解决线面垂直、面面垂直的问题。

题型四运用空间向量解决空间中的夹角与距离

【例4】如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BEB1C.（1）求CE的长；（2）求证：A1C平面BED；（3）求A1B与平面BDE所成角的正弦值.

（1） 解如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.

D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）.

设E点坐标为（0，2，t），

则BE=（-2，0，t），B1C=（-2，0，-4）.

BEB1C，

BE·B1C=4+0-4t=0.

t=1，故CE=1.

（2） 由（1）得，E（0，2，1），BE=（-2，0，1），

又A1C=（-2，2，-4），DB=（2，2，0），

A1C·BE=4+0-4=0，且A1C·DB=-4+4+0=0.

A1CDB且A1CBE，

即A1CDB，A1CBE，

又DB∩BE=B，A1C平面BDE.

即A1C平面BED.

（3） 解由（2）知A1C=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量.又A1B=（0，2，-4），

cos〈A1C，A1B〉=A1C·A1B|A1C||A1B|=306.

A1B与平面BDE所成角的正弦值为306.

点拨利用向量求角：（1）异面直线所成角：向量a和b的夹角〈a，b〉（或者说其补角）等于异面直线a和b的夹角.cos〈a，b〉=a·b|a|·|b|；（2） 直线和平面所成的角：与平面的斜线共线的向量a和这个平面的一个法向量n的夹角〈a，n〉（或者说其补角）是这条斜线与该平面夹角的余角；（3） 求二面角的大小。（法向量法）m、n分别是平面α和平面β的法向量，那么〈m，n〉（或者其补角）与二面角αlβ的大小相等。

牛刀小试

1.江苏金陵中学一模如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ=.

2.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1） 若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；

（2） 若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；

（3） 设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

（4） 直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.

上面命题中，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）.

3.（2012年高考（湖南））如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，ACBD.

（1） 证明：BDPC；

（2） 若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥PABCD的体积.

4.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上；

（1） 求证：平面AEC平面PDB；