数的奇偶性范文

导语：如何才能写好一篇数的奇偶性，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

《义务教育课程标准实验教科书小学数学》（北师大版）五年级上册第14、15页

教学目标：

1.在实践活动中认识奇数和偶数，了解奇偶性的变化规律。

2.尝试运用“列表”“画示意图”等方法发现规律，运用数的奇偶性解决生活中的一些简单问题。

3.在活动中体验研究方法，提高推理能力。

教学重点、难点：

探索并理解数的奇偶性，能应用数的奇偶性分析和解决生活中的一些简单问题。

教学用具：方格纸

教学过程：

一、“涂数”识奇偶

1.活动导入：同学们，今天咱们要用涂两列方格的方法来表示自然数。教师示范涂方格的步骤：从左往右，自下而上涂。涂完之后，还要写出你涂完的图形表示的是哪个数？

2.教师收集有共性的学生作业，进行当场展示，并提出疑问：仔细观察这些图形它们有什么共同的特点呢？会不会有第三种情况？

3.将方格纸的图形和其所代表的数字相对应，明确偶数和奇数的数字概念和图形标志。在活动中我们发现任意的一个奇数在两列方格中的“形状”始终是最上面多一格，不管一个多大的偶数，它的“形状”是一个长方形。

4.结合上述发现，判断33、27、250、230、2 777、3 332、2 569、2 758，它们是还是?

【设计意图】在学生已有知识经验的基础上，通过开展“涂数”活动，发现在两列方格中奇、偶数有着两种截然不同的“形状”，而产生这样形状差异的根本原因正是由奇、偶数的本质特征所决定的，即是不是2的倍数所决定的。以“数形结合”的数学思想方法横向拓展丰富了学生对奇、偶数的认识，在学生的大脑中形成了鲜明的“形”表象，形象、简单而真实。

二、“变数”知变化

1.出示“变数”猜想单，鼓励学生大胆猜想。

“变数”猜想单

奇数+奇数=() 偶数+奇数=()

奇数-奇数=() 奇数-偶数=()

偶数+偶数=() 偶数-奇数=()

2.引导学生通过举例子、方格组合的方法验证自己的猜想。

5+5=108-3=59-5=4

奇数+奇数=偶数偶数-奇数=奇数 奇数-奇数=偶数

【设计意图】在第一个“涂数”环节中，学生已经建立起鲜明的“奇、偶数”的表象特征，有了数形结合思想方法的渗透。在第二个“变数”环节中解释“奇、偶数在加减法中的关系时”，引导学生主动大胆地利用方格演示自己的想法、验证自己的猜想，从不完全归纳法的有限中寻找到奇、偶数之间进行加减法的法则，使学生了解奇、偶数运算中的诸多变化。正是数与形的巧妙结合，给学生带来了“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的惊喜，提升发展了学生的思维水平和学习能力。

三、“用数”明应用

1.包含数的奇偶性原理的生活现象：小船最初在东岸，从东岸驶向西岸，再从西岸驶回东岸，不断往返。小船摆渡1 234 567次后，船在东岸还是西岸？

3.化难为易，发展替换思维。在解决“小船最初在东岸，摆渡1 234 567次后是在西岸还是在东岸？”这样较为复杂的问题时，首先，引导学生判断1 234 567的奇偶性，进而化难为易，调动替换思维，研究“小船摆渡11次后，船在东岸还是西岸？”在有限的数字中寻找解决问题的多种方法。

2.数形结合，鼓励学生探索多样化的解题策略，如箭号图、列表法、列式法等。

3.关注“初始状态”，提高细节观察能力。引导学生关注小船一开始时的停泊位置，思考不同的起始位置是否会带来不一样的结果？关注问题的条件性和可能性。

4.提出相似问题，巩固知识的迁移能力。引导学生提出类似的数学问题并展开讨论，如数学课本翻动了199次之后，是正面朝上还是反面朝上？

【设计意图】在“用数”这一活动中创设情境，激发学生的学习兴趣，化难为易，引入探究小船摆渡11次的问题，让学生着重经历小船摆渡的过程，并鼓励学生采用画图、列表等方式感受奇、偶性的规律，在学习方式的梳理过程中，关注细节，进而形成有效解决问题的方法策略。“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”这一学习和做人道理的引入更是此环节教学的一大亮点。

课淡如菊

中国历来以淡为最。说友情，是君子之交淡如水；谈赏花，是淡极始知花更艳；忆情怀，也是淡墨轻衫染趁时；讲保健，更是淡食得以养生。应该说，在国人看来，唯有去除种种炫目的包装，方能凸显本质，达到真、善、美的境界，所以才有这句经典话语――“平淡最真”。

汤其鸣老师的课亦有此等韵味。在这场省小学数学观摩评选活动中，多数教师都准备了精美的课件、有趣的活动，她却没有。她的课件极其简单，连背景都是素白的；她的教具也十分普遍，是学生常见的方格板。她甚至连女教师常有的热情语调、迷人笑容都没有。但是她端庄沉稳的教态、不疾不徐的语速却给听课者留下了极为深刻的印象。当她以两个简单的方格板来演示数的奇偶性时，全场都为之震撼，所有的思想聚焦于一点――刹那即永恒。

数学思想如同淡墨山水般徐徐展开，串起了孩子们深深浅浅的记忆。一张张白纸上画满了学生对生活经验的提炼，对数学知识的理解。来与去，单数和双数；东与西，奇数和偶数，一系列的排演化成了一个个简练的算式；一大堆的公式精简成两片普通得不能再普通的方格板。没有人想过，具有无穷大的奇数和偶数集合居然可以如此诠释。就是这两片方格板，解开了众多数学教师心中的疑问：数的奇偶性该怎么向学生解释？奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数……这一系列的公式该怎么让学生验证？没有人能够举完所有的奇数或偶数，那么，如何才能用有限代表无穷呢？面对此问题，华丽的语言、丰富的活动显得那么的苍白无力。严谨的数学应该以最朴素的方式来解释，这才是真理。我不由得想起一句诗，“繁华落尽见真淳”。

不必有过多的渲染，不必有太多形于外的方法手段，艺术的最高境界就在于“灯火阑珊处”的那一“蓦然回首”。当所有的课都上完的时候，才发现，那些精美的课件，那些热情洋溢的话语，远远比不上汤老师用平稳的语调、朴素的手段所留给我们的印象来得深刻。就是用如此平淡的方式，汤老师把化难为易、化简为繁、数形结合等一系列数学思想深深地刻在了学生的脑海中。对数学没有深刻理解的人，没有大手笔大才华的人是做不到这一点的。汤老师可谓深得数学真味。

也许有人会说，数学和语文是对立的两门学科。然而，当汤老师用平静的语气，引导学生演示那两片方格板来说明“奇数+奇数=偶数”等公式的时候，我却想起了陶渊明的名句：“采菊东篱下，悠然见南山。”南山，是陶渊明内心的思想境界吗？此时，汤老师一袭橘黄色的连衣裙，站在讲台上。那一股淡淡的风味，犹如一株，映在两片方格板上。人，淡如菊。课，亦淡如菊。人淡如菊，浓的是一种气质，一种神韵；课淡如菊，浓的是一种思想，一种境界。

篇2

奇偶性和周期性是函数的又一重要性质，是高考热点内容. 高考中以小题形式出现较多，也可能在解答题中作为条件给出，命题时主要考查奇偶性的概念，性质和图象关系. 要求能综合运用奇偶性，周期性，单调性解题，一般在5分左右.

命题特点

这部分内容主要在下述方面命题：（1）由奇偶性定义判断函数的奇偶性. （2）利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值. （3）考查函数的单调性与奇偶性的综合应用. （4）对三种性质的综合考查；借助函数图象解决问题.下面通过例题体现命题特点.

1. 函数奇偶性的判断

例1 判断下列函数的奇偶性：

（1）[f（x）=（x-1）2+x2-x]；

（2）[f（x）=lg（4-x2）x-2+x+4]；

（3）[f（x）=x2+x，x0.]

解析 （1）由[2+x2-x]≥0，得[-2≤x

即函数[f（x）]的定义域是[{x|-2≤x

故[f（x）]）为非奇非偶函数.

（2）由[（4-x2）>0，x-2+x+4≠0]得，[-2

即函数[f（x）]的定义域是[{x|-2

又[f（x）=lg（4-x2）x-2+x+4]=[lg（4-x2）2-x+x+4]

=[16lg（4-x2）]，

[f（-x）=16lg4--x2=16lg（4-x2）=f（x）].

所以函数[f（x）]是偶函数.

（3）当[x0]，

[f（-x）=-（-x）2-x=-x2-x=-f（x）.]

当[x>0]时，[f（x）=-x2+x，-x

[f（-x）=（-x）2-x=x2-x=-f（x）].

[f（x）]是奇函数.

点拨 直接由奇偶性的定义判断即可，但必须先考虑函数的定义域.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；（2）判断[f（-x）]是否等于[±f（x）]. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数、分段函数奇偶性的判断，要分别从[x>0]或[x

2. 利用奇偶性和周期性求值

例2 设函数[f（x）]是定义在[R]上的周期为2的偶函数，当[x∈[0，1]]时，[f（x）=x+1]，则[f（32）]= .

解析 当[x∈[-1，0]]时，[-x∈[0，1]]，

又[f（x）]为偶函数，[f（x）=f（-x）=1-x].

[f（x）]在[R]上的周期为2，

[f（32）=f（32-2）=f（-12）=1--12=32.]

答案 [32]

点拨 利用奇偶性和周期性求值主要是要通过性质将所求值转化到已知，要求对性质运用要灵活.对于奇偶性和周期性往往会和对称性一起应用，要注意总结一些基本规律.

3. 函数奇偶性的综合应用

例3 （1）设[a∈R，f（x）=a?2x+a-22x+1（x∈R）]，试确定[a]的值，使[f（x）]为奇函数；

（2）设函数[f（x）]是定义在（-1，1）上的偶函数，在（0，1）上是增函数，若[f（a-2）-f（4-a2）

解析 （1）要使[f（x）]为奇函数，又[x∈R]，

需[f（x）+f（-x）=0].

[f（x）=a-22x+1]，

[f（-x）=a-22-x+1=a-2x+12x+1].

由[a-22x+1+a-2x+12x+1=0]得，

[2a-22x+12x+1=0]，

[a=1].

（2）由[f（x）]的定义域是[-1，1]知，

[-1

解得，[3

由[f（a-2）-f（4-a2）

因为函数[f（x）]是偶函数，所以[f（|a-2|）

由于[f（x）]在（0，1）上是增函数，所以[|a-2|

解得[a-1]且[a≠2].

综上，实数[a]的取值范围是[3

点拨 由奇偶性求参数值，应抓住奇偶性是函数的整体性质，利用等价性转化为恒成立问题. 利用单调性将转化为一般不等式求解.奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数对称区间上单调性相反是我们解函数型不等式的关键，这种转化行之有效.

4. 函数奇偶性与周期性的综合应用

例4 设[f（x）]是定义在[R]上的奇函数，且对任意实数[X]，恒有[f（x+2）=-f（x）]，当[x∈[0，2]]时，[f（x）=2x-x2].

（1）求证：[f（x）]是周期函数；

（2）当[x∈[2，4]]时，求[f（x）]的解析式；

（3）计算[f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2014）]的值.

解析 （1）因为[f（x+2）=-f（x）]，

所以[f（x+4）=-f（x+2）=f（x）]，

所以[f（x）]是周期为4的周期函数.

（2）因为[x∈[2，4]]，

所以[-x∈[-4，-2]，4-x∈[0，2]]，

所以[f（4-x）=2（4-x）-（4-x）2=-x2+6x-8].

又[f（4-x）=f（-x）=-f（x]），

所以[-f（x）=-x2+6x-8]，

即[f（x）=x2-6x+8，x∈[2，4]].

（3）因为[f（0）=0]，[f（1）=1，f（2）=0，f（3）=-1]，

又[f（x）]是周期为4的周期函数，

所以[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）]

=…=0，

所以[f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2014）]

[=f（0）+f（1）+f（2）=1].

点拨 本题首先要有条件求出函数的周期，再就要求利用奇偶性将对称区间解析式求出来，最后利用周期性求值.周期中常见规律：[f（x+a）=-f（x）]，则[f（x）]周期为[2a]. 函数求值注意用周期，最后只需求一个周期即可. 函数的周期性常与函数的其它性质综合命题，是高考考查的重点.

备考指南

（1）复习过程中要牢牢抓住奇偶性和周期性的定义，能快速准确判断其性质是解题的前提.

（2）会将周期性，奇偶性之间关系相互转化.

（3）充分理解奇偶性与单调性的关系，并由此解决函数不等式.

限时训练

1. 已知函数[f（x）]为奇函数，且当[x>0]时， [f（x）=x2][+1x]，则[f（-1）]= （ ）

A. -2 B. 0 C. 1 D. 2

2. 设函数[f（x）]和[g（x）]分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （ ）

A. [f（x）+|g（x）|]是偶函数

B. [f（x）-|g（x）|]是奇函数

C. [|f（x）|+g（x）]是偶函数

D. [|f（x）|-g（x）]是奇函数

3. 已知[f（x）]在R上是奇函数，且满足[f（x+4）=f（x）]，当[x∈（0，2）]时，[f（x）=2x2]，则[f（7）]等于 （ ）

A. -2 B. 2 C. -98 D. 98

4. 若[f（x）=x（2x+1）（x-a）]为奇函数，则[a]= （ ）

A. [12] B. [23] C. [34] D. 1

5. 已知定义在R上的奇函数[fx]和偶函数[gx]满足[fx+gx=ax-a-x+2][a>0，且a≠1]，若[g2=a]，则[f2=] （ ）

A. [2] B. [154] C. [174] D. [a2]

6. 定义在R上的函数[f（x）]满足[f（x）=f（x+2）]，当[x∈[3，5]]时，[f（x）=2-|x-4|]，则下列不等式一定成立的是 （ ）

A. [fcos2π3>fsin2π3] B. [f（sin1）

C. [fsinπ6f（sin2）]

7. 设函数[D（x）=1，x为有理数，0，x为无理数，]则下列结论错误的是 （ ）

A. [D（x）]的值域为{0，1} B. [D（x）]是偶函数

C. [D（x）]不是周期函数 D. [D（x）]不是单调函数

8. 设[fx]是定义在[R]上的周期为2的偶函数，当[x∈0，1]时， [fx=x-2x2]，则[fx]在区间[0，2013]上的零点的个数为 （ ）

A. 2013 B. 2014 C. 3020 D. 3019

9. 已知[f（x）]是定义在[R]上的偶函数，且以2为周期，则“[f（x）]为[0，1]上的增函数”是“[f（x）]为[3，4]上的减函数”的 （ ）

A. 既不充分也不必要的条件

B. 充分而不必要的条件

C. 必要而不充分的条件

D. 充要条件

10. 设函数[f（x）]（[x∈R]）满足[f（-x）=f（x）]，[f（x+2）=f（x）]，则函数[y=f（x）]的图象是 （ ）

A. B.

C. D.

11. 已知函数[f（x）]是定义在[R]上的奇函数，当[x>0]时，[f（x）=x3+x+1]，则当[x

12. 已知[f（x）]是定义在[R]上的奇函数.当[x>0]时，[f（x）=x2-4x]，则不等式[f（x）>x]的解集用区间表示为 .

13. 对于定义在[R]上的函数[f（x）]，给出下列说法：①若[f（x）]是偶函数，则[f（-2）=f（2）]；②若[f（-2）=f（2）]，则函数[f（x）]是偶函数；③若[f（-2）≠f（2）]，则函数[f（x）]不是偶函数；④若[f（-2）=f（2）]，则函数[f（x）]不是奇函数. 其中，正确的说法是 .

14. 设函数[f（x）]是定义在[R]上的奇函数，且当[x≥0]时，[f（x）=x2]，若对任意的[x∈[t，t+2]]，不等式[f（x+t）][≥2f（x）]恒成立，则实数[t]的取值范围是 .

15. 判断下列函数的奇偶性.

（1）[fx=1-x2x+2-2]；

（2）[fx=x-11+x1-x]；

（3）[fx=3-x2+x2-3].

16. 已知[f（x）]是偶函数，且[f（x）]在[0，+∞）上是增函数，若[x∈12，1]时，不等式[f1+xlog2a≤fx-2]恒成立，求实数[a]的取值范围.

17. 已知定义在[R]上的函数[f（x）]对任意实数[x，y]恒有[f（x）+f（y）=f（x+y）]，且当[x>0]时，[f（x）

（1）求证：[f（x）]为奇函数；

（2）求证：[f（x）]在[R]上是减函数；

（3）求[f（x）]在[-3，6]上的最大值与最小值.

18. 已知函数[f（x）=2x+k 2-x，k∈R].

篇3

【2012年高考广东文4】下列函数为偶函数的是（ ）

A. y=sinx B. y=x3 C. y=ex D. y=In■

【分析】研究函数的奇偶性主要在两个方面：

1. 求出函数的定义域，通过数轴去看定义域是否关于原点对称.2. 验证函数表达式是否满足f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x），满足前一个等式是奇函数，后一个等式是偶函数，两个等式都不满足的是非奇非偶函数.

对于本题的四个选项的函数的定义域都是R，关于原点对称．然后通过验证函数表达式易知选项A 、B为奇函数，选项C为非奇非偶函数，对于D有f（-x）=In■=In■=f（x），为偶函数.此法称为代数法.

另解：对于函数的奇偶性也可通过观察函数的图像进行快速判断：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称.选项A，B，C都是常见函数，容易画出它们的图像，易看出A，B的函数图像关于原点对称，是奇函数，C的函数图像既不关于原点对称也不关于y轴对称，是非奇非偶函数，因此都被排除，D是正确答案.此法称为图像法.

【答案】D.

小结：对于函数奇偶性的判断问题，如果能够画出图像的，优先考虑图像法；图像法解决不了的再考虑代数法.

变式训练1：【2012年高考陕西文2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）

A. y=x+1 B. y=-x2 C. y=■ D. y=x｜x｜

【解析】图像法：容易画出选项A，B，C的函数图像，通过观察图像可知A为非奇非偶函数；B为偶函数；C为奇函数；但在（-∞，0），（0，+∞）上是减函数；而D则先转化为分段函数 y=x2，x≥0-x2，x＜0，再画出它的图像，通过观察可得是奇函数，而且是增函数.因此，选D.

小结：解本题也可以用代数法来判断四个选项的奇偶性，但是在判断单调性时还是用到图像法比较容易解决.因此一开始就采用图像法可以达到一举两得的效果.

变式训练2：【2012年高考重庆文12】函数f（x）=

（x+a）（x-4）为偶函数，则实数a= .

【解析】本题涉及的函数为二次函数，同学们对它的图像较为熟悉，因此可以用图像法.

图像法：f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，由二次函数知识可知图像为抛物线，对称轴为x=-■，要使二次函数为偶函数，则对称轴应为y轴，即x=-■=0,这时得a-4=0，得到a=4.

代数法：因为函数f（x）=（x+a）（x-4）为偶函数，所以满足f（-x）=f（x），由f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，f（-x）=x2-（a-4）x-4a，得x2-（a-4）x-4a=x2+（a-4）x-4a，即a-4=0，得到a=4.

小结：对比可知图像法比代数法运算量少，节省时间，减少出错机会.

在高考中，考查函数的奇偶性还会与单调性或周期等知识综合出现，还有一种情况是函数的局部奇偶性，这时应选用图像法还是代数法？请看以下高考题：

【2012年高考浙江文16】设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x＋1，则

f（■）=______.

【解析】本题是对函数的奇偶性和周期性等知识的综合考查，有一定的难度，用代数法：f（■）=f（■-2）=

f（-■）=f（■）=■+1=■.

另：本题也可用图像法，第一步：先画出当x∈[0，1]时，f（x）=x＋1的图像，即图1；第二步：由条件f（x）是偶函数可得它的图像关于y轴对称，因此由图1画出关于y轴对称的图像，即图2；第三步：由条件f（x）是定义在R上的周期为2，可由图2得到图3，这时观察图像可求得当x∈[1，2]时f（x）的函数表达式，f（x）=-x＋3 ，最后得到f（■）=-■+3=■.

小结：对比可知在本题中代数法和图像法各有特点.

变式训练3：【2012年高考重庆理7】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]为上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（ ）

A． 既不充分也不必要的条件

B． 充分而不必要的条件

C． 必要而不充分的条件

D． 充要条件

【解析】本题属于抽象函数问题，通过图像法去推理可以起到化抽象为具体的作用，过程如下：先考虑充分性，若f（x）为[0，1]上的增函数，草图可如图4，由条件f（x）是定义在R上的偶函数可知f（x）的图像关于y轴对称，如图5,所以f（x）在[-1，0]上为减函数；再由条件

f（x）以2为周期可知，f（x）在[-1，0]，[-1+2，0+2]= [1，1]，[1+2，2+2] =[3，4]这三个区间上的图像是相同的，如图6，因此具有相同的单调性，都为减函数.因此充分性成立.必要性的原理同上，具体过程留给同学们完成.

而本题若用代数法的话则要繁琐很多，不建议使用.

【答案】D.

【2012年高考上海文9】已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（-1）= .

【解析】本题也属于抽象函数问题，由于没有涉及周期，因此较难用图像来表达函数的特点.而从代数法的角度考虑，g（x）为非奇非偶函数，但是f（x）是g（x）表达式的一部分，是奇函数，也就是说g（x）具有局部奇函数的性质，利用f（-x）=-f（x）便可解决问题.具体过程如下：由g（1）=f（1）+2=1，得f（1）=-1，所以g（-x）=f（-1）+2=-f（1）+2=3.

【答案】3.

变式训练4：【2012年高考上海理9】已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（-1）= .

【解析】本题与上题一样，难用图像法去解决.从代数法去考虑g（-1）=f（-1）+2，设h（x）=f（x）+x2，因为h（x）为奇函数，所以有h（-x） =-h（x），即f（-x）+（-x）2=-f（x）-x2，整理得f（-x）=-f（x）-2x2，因此有f（-1）=-f（1）-2=-1-2=-3，最后得g（-1）=f（-1）+2=-3+2=-1.

【答案】-1.

总结：

1． 对于函数奇偶性的问题，若是常见函数的话，一般情况下用图像法会比较直观快速地解决.

2． 对于函数奇偶性与周期性的综合问题，一般来讲图像法与代数法各有特点或图像法优于代数法.

3． 对于局部奇偶性的问题，往往是用不了图像法的，只能用代数法.

希望同学们在平时解题要善于总结这两种方法的优劣，最后做到取长补短，又快又准地解决问题.

篇4

关键词：周期性;奇偶性;对称性;深刻联系

函数是整个高中数学的灵魂，又是学习高等数学的基础，在高考数学试题中占有重要的地位.而函数的周期性、奇偶性、对称性是它非常重要的性质，既是教学重点，又是难点，在解题中有着广泛的运用。高考常将函数的单调性、奇偶性及周期性相结合命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题.但是学生对这些性质理解得不透彻，运用不灵活.下面对它们的联系做一些总结.

一、函数周期性、奇偶性、对称性定义及简单性质

奇函数：如果对于函数定义域内任意一个数x，都有f（-x）=-f（x），那么，函数f（x）就是奇函数.

偶函数：如果对于函数定义域内任意一个数x，都有f（-x）=f（x），那么，函数f（x）就是偶函数.

轴对称：如果函数f（x）满足f（x+a）=f（a-x），则f（x）的图像关于x=a对称.

性质1.设a，b是任意常数，则函数f（a+x）=f（b-x）的充要条件是f（x）的图像对称.

二、奇偶性、对称性、周期性三者之间的联系

1.对称性+奇偶性周期性

性质2.如果f（x）是奇函数，且图像关于x=a对称，则得f（x）是以T=2a为周期的周期函数.

推论：一般的，若定义在R上的函数f（x）的图像关于直线x=a和x=b对称，则f（x）是以（ ）为周期的周期函数.

2.对称性+周期性对称性，奇偶性

性质3.设f（x）的图像关于x=a对称，且T=b的周期函数，则f（x）的图像关于x=a+b对称.

推论：设，且，则是偶函数.

3.周期性+奇偶性对称性

性质4.如果是偶函数，且（a>0），则得的图像关于x=a对称.

性质5.如果是R上的奇函数，则得的图像关于x=a对称。

例1.函数f（x）的定义域为R，且满足：f（x）是偶函数，f（x-1）是奇函数，若f（0.5）=9，则f（8.5）=（ ）

A.-9 B.9 C.-3 D.0

解析：选B.因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（-x），又f（x-1）是奇函数，所以f（-x-1）=-f（x-1）.令t=x+1，可得f（-t）=f（t）=-f（t-2），所以f（t-2）=-f（t-4）.所以可得f（x）=f（x-4），f（x）周期T=4.所以f（8.5）=f（4.5）=f（0.5）=9.

例2.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称.求证：f（x）是周期为4的周期函数.

证明：由函数f（x）的图像关于直线x=1对称，有f（x+1）=f（1-x），即有f（-x）=f（x+2）.

又函数f（x）是定义在R上的奇函数，

故有f（-x）=-f（x）.

故f（x+2）=-f（x）.

从而f（x+4）=-f（x+2）=f（x），

即f（x）是周期为4的周期函数.

评析：例1由函数的奇偶性得到函数的周期性，例2由函数的奇偶性与对称性得函数的周期性.

从上面的分析可以看出，函数奇偶性、周期性、对称性之间存在着联系，在解题中，若能从整体上把握并灵活运用这些性质，那么抽象函数的高考试题就能迎刃而解.

参考文献：

篇5

1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握有关证明和判断的基本方法.

(1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念.

(2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性.

(3)能借助图象判断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义判断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程.

2.通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想.

3.通过对函数单调性和奇偶性的理论研究,增学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学,严谨的研究态度.

教学建议

一、知识结构

（1）函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.

（2）函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像.

二、重点难点分析

(1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性,奇偶性的本质,掌握单调性的证明.

(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.

三、教法建议

（1）函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一次函数,,二次函数.反比例函数图象出发,回忆图象的增减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释,引导学生发现自变量与函数值的的变化规律,再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间,任意,都有)的理解与必要性的认识就可以融入其中,将概念的形成与认识结合起来.

（2）函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让学生按照步骤去做,就必须让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特别是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便帮助学生总结规律.

函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以的图象为例,让自变量互为相反数,观察对应的函数值的变化规律,先从具体数值开始,逐渐让在数轴上动起来,观察任意性,再让学生把看到的用数学表达式写出来.经历了这样的过程,再得到等式时,就比较容易体会它代表的是无数多个等式,是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,帮助学生发现定义域的对称性,同时还可以借助图象(如)说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件.

函数的奇偶性教学设计方案

教学目标

1.使学生了解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性.

2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法.

3.在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.

教学重点,难点

重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断

难点是对概念的认识

教学用具

投影仪,计算机

教学方法

引导发现法

教学过程

一.引入新课

前面我们已经研究了函数的单调性,它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质,今天我们继续研究函数的另一个性质.从什么角度呢?将从对称的角度来研究函数的性质.

对称我们大家都很熟悉,在生活中有很多对称,在数学中也能发现很多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特别是函数中有没有对称问题呢?

(学生可能会举出一些数值上的对称问题,等,也可能会举出一些图象的对称问题,此时教师可以引导学生把函数具体化,如和等.)

结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于轴对称和关于原点对称问题,而我们还曾研究过关于轴对称的问题,你们举的例子中还没有这样的,能举出一个函数图象关于轴对称的吗?

学生经过思考,能找出原因,由于函数是映射,一个只能对一个,而不能有两个不同的,故函数的图象不可能关于轴对称.最终提出我们今天将重点研究图象关于轴对称和关于原点对称的问题,从形的特征中找出它们在数值上的规律.

二.讲解新课

2.函数的奇偶性(板书)

教师从刚才的图象中选出,用计算机打出,指出这是关于轴对称的图象,然后问学生初中是怎样判断图象关于轴对称呢?(由学生回答,是利用图象的翻折后重合来判定)此时教师明确提出研究方向:今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律?

学生开始可能只会用语言去描述:自变量互为相反数,函数值相等.教师可引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示.(借助课件演示令比较得出等式,再令,得到,详见课件的使用)进而再提出会不会在定义域内存在,使与不等呢?(可用课件帮助演示让动起来观察,发现结论,这样的是不存在的)

从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个,都有成立.最后让学生用完整的语言给出定义,不准确的地方教师予以提示或调整.

(1)偶函数的定义:如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做偶函数.(板书)

(给出定义后可让学生举几个例子,如等以检验一下对概念的初步认识)

提出新问题:函数图象关于原点对称,它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同时打出或的图象让学生观察研究)

学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给出奇函数的定义.

(2)奇函数的定义:如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做奇函数.(板书)

(由于在定义形成时已经有了一定的认识,故可以先作判断,在判断中再加深认识)

例1.判断下列函数的奇偶性(板书)

(1);(2);

(3);;

(5);(6).

(要求学生口答,选出1-2个题说过程)

解:(1)是奇函数.(2)是偶函数.

(3),是偶函数.

前三个题做完,教师做一次小结,判断奇偶性,只需验证与之间的关系,但对你们的回答我不满意,因为题目要求是判断奇偶性而你们只回答了一半,另一半没有作答,以第(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?

学生经过思考可以解决问题，指出只要举出一个反例说明与不等.如即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任意性的重要)

从(4)题开始,学生的答案会有不同,可以让学生先讨论,教师再做评述.即第(4)题中表面成立的=不能经受任意性的考验,当时,由于,故不存在,更谈不上与相等了,由于任意性被破坏,所以它不能是奇偶性.

教师由此引导学生,通过刚才这个题目,你发现在判断中需要注意些什么?(若学生发现不了定义域的特征,教师可再从定义启发,在定义域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有,就必有,有就必有,从而发现定义域应关于原点对称,再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件?

可以用(6)辅助说明充分性不成立,用(5)说明必要性成立,得出结论.

(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.(板书)

由学生小结判断奇偶性的步骤之后,教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.

经学生思考,可找到函数.然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证明吗?

例2.已知函数既是奇函数也是偶函数,求证:.(板书)(试由学生来完成)

证明:既是奇函数也是偶函数,

=,且,

=.

,即.

证后,教师请学生记住结论的同时,追问这样的函数应有多少个呢?学生开始可能认为只有一个,经教师提示可发现,只是解析式的特征,若改变函数的定义域,如,,,,它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类

(4)函数按其是否具有奇偶性可分为四类:(板书)

例3.判断下列函数的奇偶性(板书)

(1);(2);(3).

由学生回答,不完整之处教师补充.

解:(1)当时,为奇函数,当时,既不是奇函数也不是偶函数.

(2)当时,既是奇函数也是偶函数,当时,是偶函数.

(3)当时,于是,

当时,,于是=,

综上是奇函数.

教师小结(1)(2)注意分类讨论的使用,(3)是分段函数,当检验,并不能说明具备奇偶性,因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画,因此必须均有成立,二者缺一不可.

三.小结

1.奇偶性的概念

2.判断中注意的问题

四.作业略

五.板书设计

2.函数的奇偶性例1.例3.

(1)偶函数定义

(2)奇函数定义

(3)定义域关于原点对称是函数例2.小结

具备奇偶性的必要条件

(4)函数按奇偶性分类分四类

探究活动

(1)定义域为的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和,你能试证明之吗?

(2)判断函数在上的单调性,并加以证明.

篇6

一、定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，然而这一点却往往被许多学生所忽略。

例1：判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=x+1（x≥0）；（2）f（x）=。

解析：（1）由于函数定义域为［0，+∞），没有关于原点对称，故该函数既不是奇函数也不是偶函数。

（2）此题若忽略了函数定义域而直接求f（-x），则很难与f（x）进行比较判断，最后甚至误认为是非奇非偶函数。事实上，函数定义域为［-2，0）∪（0，2］，满足关于原点对称，此时函数可进一步化简为f（x）==，易知有f（-x）=-f（x），故函数为奇函数。

例2：偶函数f（x）的定义域为（k，2k+3），则函数g（x）=（k+2）x+（k-1）x+3的单调递减区间为 。

解析：f（x）既是偶函数，则其定义域必关于原点对称，于是k+2k+3=0，得k=-1，从而g（x）=x-2x+3，单调递减区间为（-∞，1］。

二、函数奇偶性除了注意其定义域之外，判定时也应注意形式多变，方法多样，只有做到对症下药，解题时才可以得心应手。

例3：判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=；（2）f（x）=log（-x）。

解析：（1）易知函数定义域为R（满足关于原点对称），若直接求f（-x），再与f（x）进行比较判断，则容易陷入解题僵局，导致半途而废。事实上，f（-x）+f（x）=+==0，即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数。

（2）函数定义域为R（满足关于原点对称），且f（-x）=log（+x）=log=log=log（-x）=-log（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数。

注：第（1）题应注意函数奇偶性定义的等价形式的应用：f（-x）=±f（x）?圳f（-x）±f（x）=0?圳=±1（f（x）≠0）；第（2）题则应注意分子有理化在根式化简中的应用。

例4：定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）-f（y），证明函数f（x）为偶函数。

解析：对抽象函数奇偶性的说明仍需比较f（-x）与f（x）的关系，依题意，令x=y=0，可得f（0）=0，再令y=-x，则f（0）=f（x）-f（-x）=0，即f（-x）=f（x），所以f（x）为偶函数。

三、函数奇偶性有着较多的性质，在解题中有着广泛灵活的运用。

例5：已知函数f（x）=log（x+）是奇函数，则a的值为 。

解析：若直接采用f（-x）=-f（x）两边进行比较求解，很难得出结果。

方法一：采用等价变形f（-x）+f（x）=0，可得log（-x）+log（x+）=log［（-x）（+x）］=0，则log2a=0，即a=±，由于a＞0且a≠1，故a=。

方法二：利用奇函数的性质f（0）=0（当x=0时函数有意义），即得：log=0，即a=±，由于a＞0且a≠1，故a=。

例6：若f（x）为奇函数，且在（-∞，0）内是增函数，又f（-2）=0，则xf（x）＜0的解集为（）。

A.（-2，0）∪（0，2）B.（-∞，-2）∪（0，2）

C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-2，0）∪（2，+∞）

解析：本题可根据题设条件先作出函数f（x）在（-∞，0）内的大致图像，如上图，由对称性（奇函数的图像关于原点对称）及单调性（在（-∞，0）内是增函数）得出f（x）在（0，+∞）的图像，如上图。f（x）为奇函数，且f（-2）=0，f（2）=0。由图像可知：当-2＜x＜0时，f（x）＞0，xf（x）＜0；当0＜x＜2时，f（x）＜0，xf（x）＜0。故不等式xf（x）＜0的解集为（-2，0）∪（0，2），答案选A。

例7：设f（x）是奇函数，g（s）是偶函数，且f（x）-g（x）=x-x，求f（x）与g（x）的表达式。

解析：依题意，令h（x）=f（x）-g（x）=x-x①

于是h（-x）=f（-x）-g（-x）=x+x，

又f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），所以有-f（x）-g（x）=x+x②

①+②可得：g（x）=-x，①-②可得：f（x）=-x。

篇7

“问题教学法”正是以问题为主线，引导学生主动探究，体验数学发现和构建的过程，完全符合新课程标准的理念。因此，“问题教学法”在高中数学新课程的教学中尤显重要。下面以北师大出版的高中数学1（必修）第二章第五节《简单的幂函数》为例，谈谈如何利用问题教学法，引导学生从事数学探究活动。

一、借助学生已有的知识，创设恰当的数学问题情境

创设问题情境，就是根据教学内容，结合学生的认知发展水平和已有的知识经验，将学习内容设计成若干与学生生活接近、有一定趣味性和挑战性的问题。目的是激发学生学习的积极性，给学生提供参与数学活动的机会，使学生在动手实践、自主探索和与他人合作交流的过程中获取数学知识、技能、思想和方法。

在导入新课时，我采取阅读式教学法，先让学生看书，然后回答下列问题。

T（教师，下同）：我们学过函数

，它们在形式上有何相同点和不同点?

这些函数都是学生初中学过的比较重要的函数，是学生最熟悉的。从这些函数入手，学生容易接受。

S（学生，下同）：它们的底数都是x，指数不同。

T：这样的函数我们叫幂函数，幂函数的定义为：

如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量a，即

，这样的函数叫幂函数。

,还有

都是幂函数。

至此，学生知道了幂函数的概念，但还不能算理解。针对上面例子中，指数都是整数的情况，我设置下面的问题：

T：常量a的取值都是整数吗？可不可以是分数？

学生经过思考，有的说只能是整数，有的说可以分数，但说不出为什么。于是我让学生回归概念，看概念中对a有何限制：定义中只要求a是常量；再结合用电脑做动画演示，让学生看到

的图象随a的变化而变化，其中a可以取所有的实数。

这时，学生们明白了：a可以取任何常数，当然可以是分数。

幂函数也是函数，它也应该有定义域。但函数的定义域在新课标中降低了要求。为了让学生对幂函数定义域的了解达到新课标的最低要求，我设置了如下问题：

T：举例说明幂函数

的定义域变化情况,它们都是R吗？

S：幂函数的定义域不都是R。比如幂函数

的定义域是R，而

的定义域是不等于零的实数。

我再次用几何画板演示了

在a取不同的数值时的图象，让学生认识到幂函数的定义域随常量a的变化而变化，不同幂函数的定义域是不同的。至此学生对幂函数基本掌握，达到了新课标的要求。

这里设置的问题情景，都是在学生已有的数学知识和基础上提出来的，而且对同一个内容从不同的角度去思考，让学生感到熟悉而亲切，容易理解和接受。

二、借助信息技术提出问题，让学生感悟数学概念的内涵

学生已经学过函数的概念和二次函数的图象和性质，以及图形的中心对称和轴对称，具备了研究图形性质的基本技能和基础知识。于是，根据新课标“变被动接受为主动发现”的理念，在信息技术的辅助下，对幂函数设置下面的探究过程。

课本在幂函数概念后，给出例题：画出函数

的图象,判断其单调性。对此我不满足于学生掌握它的解题思路和方法,而是继续以它的图象为载体，探究幂函数图象的对称性。在用电脑展示

的图象后提出以下问题：

T:我们初中学过图形的中心对称和轴对称。幂函数

的图象有对称性吗?

S：有。图象关于原点对称。

T：我们再看

的图象，它们有何特征？

用电脑演示它们的图象，学生观察后回答:

S：

的图象关于原点对称,

的图象关于y轴对称。

这时，给出奇函数和偶函数的定义，就水到渠成了。

T：象这样，图象关于原点对称的函数叫作奇函数。图象关于y轴对称的函数叫作偶函数。

并借助几何画板和Flash，演示函数图象的对称性。在让学生感知奇函数和偶函数概念的同时，也让他们感受到数学图形的对称美。

但并非所有幂函数的图象都存在中心对称或轴对称,为了不让学生陷入这个误区，我设置了下面的问题。

T:是不是所有幂函数的图象都具有中心对称或轴对称呢?

有的同学说是，有的说不是，有的同学不知道是还是不是。

T:函数

是幂函数,它的图象也存在中心对称或轴对称吗?

学生对这个函数不太熟悉,我用电脑显示了它的图象。学生马上回答：它没有中心对称,也没有轴对称。至此，学生们认识到：并非所有幂函数的图象都存在中心对称或轴对称。

借助信息技术对函数图象作直观演示下的问题教学法,使学生对老师设置的数学问题，不再感觉陌生，对数学概念的理解也不再是空洞的想象。信息技术下的问题教学法既体现了化抽象为直观,从直观到抽象的思维方法，也充分调动了学生学习数学的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

三、借助概念设置问题，让学生在疑问中发现数学规律

高中数学新课标倡导自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，让学生在数学的学习和运用中，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、反思和建构等思维过程，并在不断的探索中发现问题，提高学生的数学思维能力。

给出函数奇偶性的概念后，就面临着怎样用概念判断函数奇偶性的问题。对于简单的幂函数，如y=2x和

，学生都能够通过图象的对称性作出判断，而对于稍微复杂一点的函数，如

，学生就很难靠画图来判断了。对于判断函数奇偶性更一般的方法，不能是老师直接告诉学生，只能让学生通过自主探索、自主实践、合作交流的方式来自己发现、自己解决，于是我设置下面的问题。

T：怎样判断一个函数是奇函数，还是偶函数？

S：根据奇偶性的定义，看它的图象是否关于原点或y轴对称。

T：判断函数

的奇偶性。

对这些函数，学生都会通过其图象，判断出它们的奇偶性。

T：函数

的奇偶性如何？

这些函数，学生不知道它们的图象是什么样的，也画不出它们的图象，对其奇偶性，学生们是百思不得其解。

于是，学生产生一个疑问：用函数奇偶性的概念能判断所有函数的奇偶性吗？在不知道函数图象的情况下，怎样判断函数的奇偶性呢？

如何破解学生心中的疑问？只有从学生已有的认知结构、思维方法和思维习惯入手，引导学生借助已有的数学知识和经验，让他们自己在探究中解决。于是，我再次引导学生对

进行研究。

T：在

中，

S：

T：在

中，对于任意的x∈R，

S：

T：在函数

中，

S：

T：我们能否猜想：如果f(x)是奇函数，那么

；如果f(x)是偶函数，那么

？

S：能。比如在奇函数

中，就有

；在偶函数

中，就有

。

我对学生的猜想给予肯定，然后告诉学生这是函数奇偶性的一个重要性质，并要求他们用这种方法再来判断

的奇偶性。这时，学生都很快说出它们都是奇函数。

为了帮助学生更好的认识上述判断函数奇偶性的方法，我用几何画板演示了

的图象，学生看到它们的图象确实都关于原点对称。这样，既验证了学生自己的判断是正确的，也提高了他们不断探索的信心和毅力。

通过这样循序渐进地设置问题的探索过程，不但让学生从具体实例抽象出数学概念，而且在运用中逐步理解了概念的本质；不但让学生揭开了心中的疑问，而且通过探索让学生自己发现了一个数学规律；不但让学生在探索中学到了知识，而且也发展了他们的数学思维能力，体会到了数学的美学价值。

四、借助学生的发现再探索，引导学生完善自己的探索成果

经过了上述的探索，似乎找到了判断函数奇偶性的方法。但同时也给学生设置了一个误区：只要函数f(x)的解析式满足

或

，就说函数是奇函数或偶函数。为此，我继续设置下面的问题。

T：

的奇偶性。

学生都会用上述方法作出判断。这时我作了如下的变式和引申：

判断函数

的奇偶性。

学生判断出它们分别是奇函数和偶函数。对此我并不直接指出他们的错误，而是让他们画出这两个函数的图象，从图象上看其对称性如何？这是一个挑战性的问题，是对学生的思维严谨性的考验。当学生在给定区间上画出它们的图象，并通过思考、讨论和交流后,恍然明白：它们的图象没有对称性。于是，我再向学生提出了下面的问题。

T：为什么它们满足

或

，却没有奇偶性呢？

S：因为它们的区间不关于原点对称，即定义域不关于原点对称。

T：当函数f(x)的满足什么条件时,它才有奇偶性呢?

S：要满足两点：一是函数的定义域要关于坐标原点对称；二是在定义域内要满足

或

。

T：到此，我们就有两种方法判断函数的奇偶性了。在具体解题时究竟该选择哪种方法呢？

S：容易画出图象的，就用图象法；很难画出图象的就用解析式法。

可见，在用问题教学法对数学规律的探索过程中，既是应用知识和技能检验规律的过程，又是发现问题、解决问题和完善规律的过程。在上面的问题探索中，学生不但是自己发现了数学的规律，而且又是自己完善了这一规律。

综上所述，问题教学法是非常重视“过程”的教学方法，它展现了学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的整个探索过程。尤其是在信息技术的辅助下，问题教学法更有利于培养学生学习的自主性、独立性、独特性以及克服困难的意志和决心等多项优良品质，让学生从我要学出发，建立我能学的自信，使学生的学习赋予了新的生命价值。

【参考文献】

篇8

欧债危机下煤炭企业发展过程中缺乏适应市场经济发展要求的营销渠道，营销观念相对落后导致企业的核心竞争力一直不能很好的提升，当前企业需要不断拓展营销渠道，合理分析欧债危机对企业发展产生的负面影响，制定科学合理的应对政策，推动煤炭企业各项工作不断提升。欧债危机下煤炭企业需要依靠科技进步实现效益增长。当前煤炭企业需要健康稳定的发展，因此需要分析欧债危机的情况，建立适应市场经济发展要求的现代企业管理制度，树立全新的营销理念，坚持以市场为中心以客户为中心的发展战略。

一欧债危机下煤炭企业营销的特殊性分析

1煤炭企业产品的特殊性分析

从煤炭产品的运输量角度看，通常情况下量比较大，因此尽量采取缩短分销途径的策略，促使煤炭企业能够按照营销战略推动各项事业不断发展。欧债危机下企业采取此种方式可以节省保管和运输方面的人力和物力，促使煤炭企业各项成本降低，提升企业的整体效益。我国煤炭企业大都是通过直销或者商销售方式，但是煤炭是一种不可再生资源，因此煤炭企业在发展过程中需要充分考虑产品的市场寿命周期。随着科技的不断发展，人们的环保意识得到加强，因此煤炭不再是一种不可替代的能源产品了，煤炭企业在欧债危机的环境下，需要不断分析产品的市场环境，同时需要对影响市场发展的各种因素指标进行研究。煤炭产品是大宗散装货物，单位的价值量相对比较低，客户在周转过程中存在周转周期长的特点。因此煤炭企业在产品运输过程中，需要采取成本低、装载量大的方式，同时可以采取水运和特殊运输方式，降低煤炭企业的营销成本。

2欧债危机下需要按照客户的购买行为分析

从当前的情况看，国有大型企业对煤炭产品的需求量相对比较大，针对此种客户需要对其购买行为进行综合分析。同时按照企业发展的内部环境和外部环境制定战略，避免欧债危机对客户购买行为产生影响。煤炭企业在产品供给过程中尽量按照客户的周期需求模式进行，促使煤炭企业销售模式能够符合企业战略发展需求。煤炭产品的差异化不大，因此客户的购买行为相对比较单一，企业需要更准确的分析客户的购买欲望，促使煤炭企业能够拥有良好的市场发展环境，避免欧债危机对其产生负面影响。

二欧债危机下煤炭企业营销存在的问题分析

1企业营销管理存在一定的问题

当前我国煤炭企业对营销管理的分析相对比较滞后，通常是采取事后分析的策略。欧债危机下企业的市场环境发生了变化，如果不能对企业的营销管理进行科学合理的分析，企业的发展会受到重要的影响。企业一方面需要对国际市场环境进行分析，同时还需要对宏观政策环境进行分析，需要对微观目标市场环境进行事前调研和分析，同时在事后进行有效的控制和监督，提升企业的营销水平。欧债危机下煤炭企业需要对市场专业的、系统的、及时的分析，对市场信息进行有效的加工、收集、捕捉和整体，提升企业的市场分析能力，为企业获取更好的营销渠道奠定重要的基础。欧债危机下企业的信息反馈迟钝和信息链中断是常见的通病，市场营销过程中需要根据市场的变化情况，对竞争对手进行综合分析，对企业改善市场环境赢取市场份额具有十分重要的作用。煤炭企业营销战略需要进行整体规划，建立一套系统化的营销模式，从而能够保证企业对市场进行有效掌控。

2欧债危机下煤炭企业的分销模式存在问题分析

欧债危机下煤炭企业需要坚持走正确的分销道路，解决好乱收费问题，同时煤炭企业之间需要形成合理的竞争机制。煤炭企业分销体系混乱对企业正常发展会产生一定的影响。煤炭企业在欧债危机的环境下需要解决好营销成本高的问题，一些企业由于经营成本上升导致销售总量下降，对企业经济效益提升产生了很大的影响，煤炭企业在发展过程中需要避免此种现象产生，促使企业各项事业得到健康稳定的发展。如果市场营销战略不能很好的把握，导致企业煤炭库存量多、周转慢，企业的整体发展会受到一定程度的影响。欧债危机下煤炭企业的销售人员需要花费大量精力在抢市场和拉用户上，煤炭企业同时还需要注重人员素质提升和科学管理，更好的应对欧债危机对企业发展产生的影响，提升煤炭企业的综合发展能力。

三欧债危机下煤炭企业营销模式创新，营销渠道完善

1欧债危机下企业营销模式创新

欧债危机下煤炭企业要实现全面协调可持续的发展，必须坚持以市场为导向，对市场营销模式进行全面创新，不断完善营销渠道，推动各项事业得到不断的发展。欧债危机下煤炭企业的发展需要把市场各种要素有机结合在一起，对营销的整体思路和营销方法进行有效的整体，采取科学合理的营销手段，促使煤炭企业各项工作能够得到全面的发展。欧债危机下企业需要制定科学合理的价格，价格形成机制需要和市场发展模式紧密结合在一起，采取最科学最有效的营销组合模式，提升企业的营销效益，为企业提升核心竞争力创造积极的条件。欧债危机下煤炭企业坚持市场战略，销售模式需要和市场发展状况紧密结合在一起，按照经济效益最大化的策略调整生产经营，优化营销结构，提升煤炭企业的综合发展能力。

2欧债危机下煤炭企业需要以广告宣传营销为桥梁

欧债危机下煤炭企业市场营销模式需要不断创新，按照市场渠道建设的基本要求，形成营销策略组合，提升企业的营销管理水平。欧债危机下影响煤炭企业的营销因素不是单一的，而是多种影响因素组合在一起，需要坚持正确的发展策略，转变企业营销观念，采取合理的定价模式，按照广告宣传的营销手段推动各项工作前进。广告宣传对煤炭企业的营销水平会产生很大的影响，但是煤炭企业在营销过程中不能依靠广告，需要采取科学合理的营销战略，促使煤炭企业各项工作能够顺利开展。企业需要对客户的购买力和购买欲望进行全面分析，需要不断加大广告的宣传力度，力求创新，以提升产品的美誉度。广告在商品经营者、生产者、消费者之间建立了一种沟通的方式，煤炭企业只有坚持营销创新，企业的经营效益才能得到全面提升。

3欧债危机下煤炭企业需要拥有较高素质的销售队伍

煤炭企业在欧债危机下需要加大广告宣传力度，需要采取正确的商品促销手段。煤炭企业在市场渠道拓展过程中需要树立竞争意识，需要不断提高营销队伍的素质。欧债危机下企业的市场战略直接影响到企业的业绩，企业只有拥有优秀的营销队伍，才能保证营销模式创新，提升企业的经营效益。煤炭企业需要从销售手段、信息量、顾客数量、目标市场等方面采取积极有效的策略，提升煤炭企业的综合发展能力。煤炭企业营销队伍的素质创新，需要按照人的行为和人的经营策略向前推进。具体实施过程中可以采取激励销售法，提升企业的销售团队的积极性和创造性，从而提升企业的营销业绩，可以规避欧债危机对企业发展产生的市场风险。煤炭企业市场营销水平提升过程中，需要加强营销人员队伍素质建设，倡导人本主义的营销思想，需要广大员工真正认识到营销理念和营销手段对企业发展会产生积极的作用。

篇9

一、抽象函数定义域

所谓抽象函数是指用f（x），g（x）或F（x），G（x）等表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，这类函数求定义域关键是对定义域概念的真正理解.

例1：已知函数f（x）的定义域为[0，4]，求f（x2）的定义域.

解析：注意在对应法则f下，函数f（x2）中x2 的范围与函数f（x）中x的范围相同.

解答：函数f（x）的定义域为[0，4]，

，

f（x）的定义域为[-2，2].

误区警示：误认为f（x2）的定义域是[0，16]，同时易漏掉x+1>0这一限制.

二、定义域与函数值域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例2：求函数 的值域.

换元法（代数换元法）：令 则

原函数可化为

原函数值域为 .

上例说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。

三、定义域与函数奇偶性

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

例3：判断函数 的奇偶性.

解：

定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称

函数 是非奇非偶函数.

若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：

函数 是奇函数.

错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。

四、定义域与复合函数单调性

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例4：指出函数f（x）=log4（-x2+2x+3）的单调区间.

解：先求定义域：

由-x2+2x+3>0，

得-1

令g（x）=-x2+2x+3.

则g（x）在（-∞，1）上递增，在（1，+∞）上递减，

又y=log4x在（0，+∞）上递增，

所以f（x）的单调递增区间是（-1，1），递减区间是（1，3）.

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

综上所述，在求解函数函数关系式、最值（值域）、奇偶性、单调性等问题中，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

参考文献：

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关键词：高中数学 函数定义域 思维品质

学生进入高中，学习集合这一基本工具后，就开始了高中函数的学习。用集合的观点定义了函数，进而开始了对函数的研究。然而，不管是求函数解析式、值域，还是研究其性质，都离不开对定义域的研究。

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：用篱笆围一个矩形菜园，现有篱笆总长度为100m，求矩形菜园的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：S=（50-x）

故函数关系式为：S=x（50-x） .

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围： 0

即：函数关系式为：S=x（50-x） （0

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。这体现了思维的严密性，培养学生此项品质是十分必要的。

另外如：y=x和 虽然对应关系相同，但定义域不同，也是不同的函数。

二、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例2：求函数 的值域.

错解：令

故所求的函数值域是 .

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数 在[0，+∞）上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1.

故所求的函数值域是[1， +∞）.

以上例子说明，变量的允许值范围的重要性，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。

求函数值域，往往也会想到函数最值的求解。这里以二次函数

为例举例说明。

例3：求函数 在[1，4]上的最值.

解：

当 时，

初看本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到此题定义域不是R，而是[1，4]。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。学生只知道利用对称轴求二次函数最值。然而，那往往是定义域是R的时候，当条件改变时，需要考虑完善。本题还要继续做下去：

f（4）=42-4x4-5=-5

函数 在[1，4]上的最小值是-9，最大值是―5.

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，应注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，这说明思维的灵活性很重要。

三、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例4：求出函数f（x）=1n（4+3x-x2）的单调区间.

解：先求定义域：

函数定义域为（-1，4）.

令 ，知在 上时，u为减函数，

在 上时， u为增函数。

又

即函数 的单调递增区间 ，单调递减区间是 。

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。此题正解应该是函数 的单调递增区间 ，单调递减区间是 。

四、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

例5：判断函数 的奇偶性.

解： 定义域区间 不关于坐标原点对称

函数 是非奇非偶函数.

若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性可能得出如下错误结论：

函数 是奇函数.

综上所述，在求解函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生辨析理解能力，有利于培养学生的数学思维品质，激发学生的创造力。

参考文献：