中位数和众数范文

导语：如何才能写好一篇中位数和众数，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

教学内容：小学数学北师大版第十册第88、89页。

教材分析：

本课选自于新课标北师大教材小学数学第十册第七单元，该部分的课程标准是通过实例，理解并会计算中位数、众数，能解释其实际意义；能根据具体的问题，选择适当的统计量表示一组数据。

学情分析：

学生在中年段已经学过了关于三个统计量之一的平均数，明白什么是平均数，怎样求平均数。在此基础上，由于生活中统计需求的不同，从而引出中位数和众数的概念，运用解决简单的实际问题。

教学目标：

【知识技能目标】掌握中位数和众数的概念，并会求一组数据的中位数和众数。

【过程方法目标】通过结合具体情境，区别平均数、中位数和众数三者的差异，能初步选择恰当的数据代表对数据作出自己的评判。

【情感态度目标】统计作为处理现实世界数据信息的一个重要数学分支，必然要求素材本身的真实性，以培养学生求真的科学态度；将知识的学习放在解决实际生活问题的情境中，使学生体会数学与现实的联系。

教学重点：

1.体会中位数和众数在描述一组数据时所表示的含义，解释结果的实际意义。

2.学会快速、准确求出一组数据的中位数和众数的方法。

教学难点：

1.体会平均数、中位数、众数三者的意义和差别。

2.通过观察、思考、讨论寻找当一组数据个数是偶数时以及数据不按顺序排列时中位数的规律。

教具准备：

多媒体课件。

教学方法：

启发式与自主探索相结合。

教学过程：

一、问题情境

1.故事导入

师：同学们，刚毕业的李叔叔去找工作，当他路过某超市时，看到一份招聘广告上写着：“本超市工作人员月平均工资1000元，现招收工作人员若干。”[课件出示]李叔叔一看，觉得条件还不错，就去应聘。一应聘，李叔叔被超市录取了。一个月过后，超市给李叔叔开出500元的工资。李叔叔说：“不对，招聘广告上写的是超市工作人员月平均工资1000元，现在怎么只给500元呢？你们不是骗人吗？”超市经理说：我们这里的工作人员月平均工资是1000元呀，不信你看工资表。”【课件出示下表】

某超市工作人员工资表

2.提问题

师：根据刚才获取的信息，可提什么问题？

师让学生提出问题后进行归纳，然后课件出示下面两个问题：

（1）广告上写着：“月平均工资1000元”，但大部分人的工资在1000元以下，广告是否存在欺骗？

（2）在这里用什么数更能反映这组工作人员的工资水平呢？

二、建立模型

1.引发认知冲突

师：谁来说说怎样求工作人员月平均工资？学生就会说，把全部工资加起来除以11个工资。

学生通过计算这组数据的平均数的确是1000元，没有错。但事实上大部分的员工工资都达不到1000元，对此让学生发表各自的观点。

（设计意图：通过有争议的现实情景，引起学生对“平均水平”的认知冲突，从而激发学生的学习情趣。）

师：在这里用平均工资1000元来反映员工的工资水平，你觉得是高了还是低了？学生会发现高了。

师：为什么会高？从而使学生发现两位经理的工资特别高，从而导到平均数一下子变大了。

（设计意图：重在引导学生发现这里受两个极端数据的影响，导致平均数在这里不能真实地反映工作人员的工资水平。）

过渡：看来，由于这组数据出现了两个特别偏大的数，平均数在这里也不怎样的平均了。因此，我们得开始今天的探索之旅。

2.突破重点

（1）师（出示课件）：在这里用什么数更能反映这组工作人员的工资水平呢？让学生在小组内交流，谈谈自己的想法。

（设计说明：通过讨论交流，培养了学生的自主探索、合作交流的意识与能力。）

（2）汇报：教师启发与点拨。

学生发现：

①600元，4人，出现最多。教师直接告诉学生：像600这样的数，在一组据中出现的次数最多，这样的数我们称为众数，反映大多数人的集中水平。

板书：众数 在一组数据中出现的次数最多的数

②650元，处于中间。教师再引导学生观察这组数据的特点：从左往右看，从大到小排列的，再从右往左看，是从小到大排列的，从而直接告诉学生，像650元这样的数，在一组排列好的数据中间，这样的数我们称为中位数。反映的是中等水平。

（设计意图：由于学生发现了这些数的特点及作用，教师此时顺水推舟，直接告诉学生像这样的数叫众数，中位数，也是概念教学的常用方法。）

师释疑：数学上除了平均数外，还有两种统计量可以表示一组数据的集中趋势，那就是中位数和众数。（板书：和 ）平均数和中位数、众数从不同角度描述了一组数据的集中趋势。平均数会因为一些特别偏大或偏小的数的影响，不能很准确地反映一组数据的平均水平。而这种极端数据对中位数没有影响。数据650元处于中间，反映的是中等的工资水平，能表示这组数据的中等水平。所以，李叔叔应当关心中位数。数据600元体现的是多数人的工资水平，所以李叔叔也应当关心众数。

（设计意图：通过平均数和中位数、众数对比，体现中位数、众数比平均数更加合理。从而得出平均数和中位数、众数三者的区别与联系，体现学好数学的意义。）

3.突破难点

课件出示：一个工资表，将经理的工资放在中间。师：现在这组数据的中位数是3000吗？为什么？是多少呢？

（设计意图：引起学生质疑，从而突出找中位数必须将数据进行排序的必要性。）

课件出示：另一张工资表，增加一个数据，插入李叔叔的工资500元。师：同学们如果工资表中多了李叔叔这个工资500元，这组数据的中位数还是650吗？想一想，与前一组数据有什么不同？怎么找中位数？说说你是怎么想的。

（设计意图：创设偶数个数据的情境，从而探索当一组数据的个数为偶数个时，中位数如何找出来。）

4.引导学生归纳小结：找出不同情况数据的中位数的方法。

指名学生用自己的话归纳找中位数的方法，教师捕捉发言进行板书：

奇数个，取中间的一个数

中位数――先从小到大或从大到小排列

偶数个，取中间两个的平均数

5.课堂小结：

通过这节课的学习，你有什么收获？学生口答，教师进行评价。还有什么疑问？

三、解释应用

（一）完成课本88页“试一试”

课件出示题目：求出下面这组数据的中位数。

10、15、18、25、32、34、48、50

篇2

关键词：平均数；众数；中位数；区别与联系

中图分类号：G623.5文献标识码：A文章编号：1009-010x（2012）11-0059-02

在小学六年级毕业复习过程中，当讲到“统计与概率”内容时，有些学生对其中的平均数、众数和中位数这三个统计量的意义、区别和联系、应用等混淆不清，容易弄错。怎样正确认识统计量中的平均数、众数和中位数的区别与联系呢？

一、平均数、众数、中位数的意义

（一）平均数的意义

小学所学的平均数，指的是求一组数据的算术平均数。而现行小学数学课程里的平均数知识，重要的又不是算术平均数的定义，而是它所包含的统计意义。算术平均数是所有观察值的总和除以总频数（一组数据的总个数）所得的商，简称平均数或均数、均值。算术平均数是统计学中最常应用而又最容易理解的一种集中量指标。集中量是代表一组数据的典型水平或集中趋势的量，它能反映频数分布中大量数据向某一点集中的情况。但平均数易受两极数值（极大或极小）的影响。

在小学三年级学习平均数时，是在学生已经学过的“总数量÷总份数：每份数”的基础上学习的，求平均数的方法是“总数量÷总份数=平均数”，前后两者有着密切的联系。但已学过的“总数量÷总份数=每份数”是指平均分。“平均数”与“平均分得的结果”不是一个概念。“平均分得的结果”是一个实实在在的数量，“平均数”则是表示统计对象的一般水平。这是学生很容易弄错、混淆的地方。

（二）众数的意义

众数指的是在一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数。众数重点是对各数据出现的次数的考察，是一组数据中的原始数据，其大小只与这组数据中的部分数据有关，但它在一定的条件下能反映这组数据的整体水平。当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量。一组数据中的众数有时不只一个，可能有两个或两个以上。例如：在数据“2、1、6、3、2、3”中，2和3都出现了两次，它们都是这组数据的众数。

（三）中位数的意义

中位数指的是把一组数据中的所有数据按从小到大或从大到小的顺序排列之后，处于最中间位置的那一个数据（有偶数个数据时，则指最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数。中位数只与数据排列的位置有关，一般来说，个别（或部分）数据的变动对它的中位数没有影响。当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数来描述其集中的趋势。例如：在"30、7、15、17、9、28、20"这组数据中，如果20变成104，它的平均数由18变为30，显然不能反映这组数据的一般水平，用中位数17显然要更好一些。

二、平均数、众数和中位数的区别与联系

（一）平均数、众数和中位数的区别

1.平均数是一个虚拟的数，即一组数据的和除以该组数据的个数所得的商；而中位数并不完全是虚拟数，求中位数时必须分奇偶。

2.平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，任何一个数据的大小变动，都会引起平均数大小的改变；而中位数则仅与一组数据的排列位置有关。

3.平均数主要反映一组数据的平均水平（或总体水平），中位数能更好地反映一组数据的一般水平。这是因为如果一组数据中个别数据严重偏大时，平均数也偏大，不能很好地代表该组数据的一般水平；而中位数则能克服这种弊病，很好地反映这组数据的一般水平。所以，当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。

4.中位数仅与数据的排列位置有关。一般来说，部分数据的变动对它的中位数没有影响。当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数来描述其集中的趋势。

5.众数着眼于对各数据出现的次数的考察，是一组数据中的原始数据，其大小只与这组数据中的部分数据有关，但它在一定的条件下能反映这组数据的整体水平，近似于中位数。

6.在同一组数据中，平均数、众数、中位数也各有其特性：中位数与平均数都是唯一存在的，而众数不是唯一的，众数的个数可以有一个或几个，也可以一个也没有；平均数、众数、中位数在一般情况下各不相等，但在特殊的情况下也可能相等。例如：在“5、5、5、5、5、5、5、5”这组数据中，平均数、中位数和众数是相等的，都是5。

（二）平均数、众数和中位数的联系

平均数、众数和中位数都是描述（或反映）一组数据集中趋势的量，都叫统计量，它们在统计中，有着广泛的应用。

平均数非常明显的优点之一是：它能够利用所有数据的特征，并且好计算。另外，在数学中，平均数是使误差平方达到最小的统计量。也就是说，利用平均数代表数据，可以使二次损失最小。因此，平均数在数学中是一个常用的统计量。但是平均数也有不足之处，正是因为它利用了所有数据的信息，所以容易受极端数据的影响。例如：在一个年轻教师占多数的学校教职工中，有两个老教师的工资特别高，就会使得这个学校中所有教师工资的平均水平也表现得很高，但实际上，除去这两个老教师外，剩余教师的平均工资并不是很高。这时，中位数和众数可能是表现这个学校所有教师工资平均水平更合理的统计量。中位数和众数这两个统计量的特点都是能够避免极端数据，但缺点是没有完全利用数据所反映出来的信息。由于各个统计量有各自的特征，所以，需要根据实际问题来选择合适的统计量。

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【摘 要】初中阶段是培养学生互助合作、共同发展的最佳时期，数学作为初中的一门基础课程，更是有必要在教学中进行合作学习。在教学中进行合作学习不仅有助于促进学生个性的良好发展，还有助于培养学生间的友谊，促进相互了解，更是对于学生学习成绩和教学质量的提高具有重要意义。本文将针对数学合作学习中的问题进行分析，并着重探究相应对策。

关键词 初中数学；合作学习；问题；措施

在初中数学课堂教学中采用合作学习，有助于营造良好的课堂氛围，培养学生的自学能力，促进学生之间的沟通和交流，提高教学质量。它不只是一种学习方式，更是一种促进交往和实现信息共享的途径，具有重要意义。但是在实际中，合作学习还存在许多问题，例如没有合作目的、缺少合作方法等，本文将着重分析这些问题，并探究相应对策措施。

1.初中数学合作学习中存在的问题

1.1没有学习目的

在初中数学合作学习存在的问题中，学生没有学习目的是很关键的一点。由于学生对合作学习的认识不到位，所以在实际的课堂实践中，总有几个小组都只是停留在表面形式上，将合作学习只当做一种任务而敷衍了事，没有正确的学习目的。这样的话，小组同学间的交流讨论就会受到阻碍，不能达到沟通的目的，也无法很好地发挥小组合作学习的优势。没有学习目的的学习是无法达到预期教学效果的，因为教师无法根据学生不同的学习情况、对知识的掌握程度和学习中遇到的问题而恰当提出相应的问题，只能根据自己主观的想象随意提问，学生无法理解也不会产生讨论兴趣，严重影响学生对知识的掌握，更无法提高教学质量，学习效果大大降低。

1.2缺乏足够的讨论时间

小组合作学习尽管可以增加学生之间交流的机会，调动学生参与学习的兴趣，但是这种优势一般只体现在优秀学生及思想活跃的学生之中，而对于那些困难学生来说，每次的合作学习都只是一次聆听会，他们往往只扮演听众的角色，不会进行独立思考，而是直接从别人的谈话中得到信息，缺乏自己的见解，也无法加深自己对知识的记忆，他们所掌握的要比那些活跃参与交流的学生少很多。而且还有一个很严重的问题，在课堂教学中进行合作学习时，时间总是不够用，学生的讨论时间必须一缩再缩，每个同学说不了几句话，说的话也不能连贯，显得匆忙又凌乱，还来不及整理完整答案可能就会结束讨论，最后无法收获到实质的知识。

1.3忽略学生主体地位

在初中数学实际的合作学习中，往往存在着一种现象，教师虽然采用了合作学习的课堂教学方式，但是并没有真正将课堂交给学生，所以学生的合作只是表面上的，实质上还是在老师的内在安排下按部就班进行。这样的合作学习无法充分体现学生的个性，也达不到集思广益的效果。忽略学生的主体地位，学生学习的自主性就会大大降低，这种表面合作学习实则还是传统的教师主导的学习方式只能做到师生间的互动，而达不到新课改的目的。

2.提高初中数学合作学习的对策措施

2.1合理选择合作学习内容

并不是所有的初中数学内容都需要进行合作学习，教学时间不允许，而且有些内容也不需要进行讨论，所以教师合理选择合作学习内容至关重要。有研究表明，合作学习这种学习方式对于一些较为复杂难理解的认知任务来说讨论效果更明显，所以我们在选择合作学习内容时就有了方向性，只需要将那些复杂的问题和知识点作为讨论的主题，然后放在合作学习课堂中供大家集思广益，直至探讨出正确答案。讨论这种程度稍深的问题，可以逐渐培养学生探究思索的能力，还能在学习中加强学生间的友好交流，取长补短。教学内容的思维空间足够大，合作学习的效果就越明显。因此，那些开放程度大、思维难度高的内容更适合作为初中数学合作学习的内容。

2.2发挥教师指导作用

初中的学生叛逆心理强，他们渴望独立，不希望被束缚，更不喜欢教师在课堂上喋喋不休而不给自己发言的机会。他们的思想在不断成熟，相比较传统的教师主导的课堂来说，他们更喜欢运用自己已有的知识见闻和亲身经历，独立对某些问题进行探讨，甚至有很大钻牛角尖的倾向。所以说在初中数学的合作学习课堂教学中，教师还应考虑到初中生的年龄特点，鼓励学生要顾全大局，将自己融入小组进行合作，齐心协力完成任务，尽量避免他们钻牛角尖。要适当发挥教师的指导作用，无论是在知识学习还是情感发展以及同伴关系处理等方面，教师的指导作用都是很有必要的，同时也具有极大的意义。

2.3合理进行合作分工

为了提高合作学习的效率，教师应该对学生进行合理分工，使学生明确自己的责任，即便是对往常内向的学生和学习能力有问题的学生也要进行合理分工，使他们在合作学习过程中不再只是作为旁观者倾听记录，而是能够主动参与、积极思考、大胆发言，努力完成自己的分工任务。这样的合理分工可以使学生在完成自己任务的同时也能集思广益，促进教学进度。

3.小结

在初中数学合作学习的课堂上，我们的目的都是为了最大程度地实现教学效果，提高教学质量，使每一位学生都能有所收获。从教师角度来看，教师一定要不断发现合作学习方式中存在的问题，并针对问题提出相应的解决对策，正所谓“一切为了学生”。在组织合作交流时，必须坚持学生的主体地位，并充分发挥教师的主导作用，这样才能真正达到合作学习的目的。

参考文献

[1]程华.初中数学合作学习的调查与思考[J].数学教育学报,2010(02):87-88

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最近，中国人读书少的问题又被媒体提了出来。《人民日报》海外版的文章，重提针对全国国民的阅读调查：2011年，中国人均读书仅4.35本，这个数字在2010年是4.25本，2009年是3.88本，2008年是4.75本。有关2011年韩国人均读书11本、法国人均20本、日本人均40本、犹太人均64本的数据，该报道并未予以直接证实。但研究者称，从全球横向比较来看，中国人的读书量确实偏低。

为什么如此？有人可能首先想到：是不是互联网冲击的后果？因为4.35本指的是传统纸质图书，是不是多数都读电子书去了呢？不能否认互联网这一因素的影响，但是，国外的互联网水平并不比我们低，为何其传统图书的阅读量仍会远高于我们？更何况，调查指出，75.3%的18～70岁国民仍然更倾向于“拿一本纸质图书阅读”，可见互联网的因素影响有限。

有人可能会提到，是不是图书价格太高，导致许多人买不起、读不起？这也是一部分原因。不过，大量的学校图书馆和公共图书馆，为人们提供了免费阅读，只要真心想读书的话，没钱买书并不是一个大的障碍。

我觉得，国人之所以读书少，关键是读书的兴趣不高、动力不足。前述阅读调查的一个数据很能说明问题，即对于个人总体阅读情况，有21.2%的国民表示满意，有20.9%的国民表示不满意，另有57.9%的国民表示一般。也就是说，有过半数的国人并不觉得人均读书4.35本有什么不妥。

之所以如此，是实用主义心理在作怪。书籍的作用，一在于传播知识、学习知识，二在于提高修养、陶冶情操，三在于交流思想、反思社会。而在实用主义心理之下，能够驱动中国人去读书的，可能主要还是第一点，即通过读书去获得知识，更通俗地讲，就是获得文凭或某种职业资格，从而为自己的工作与发展谋得一个进身之阶。

对此，作为大学老师的我有切身感受。很多学生认真读的多数是考研、考证的书。去逛校园里的书店，你会发现此类书占了半壁江山还不止。中国作家莫言得了诺贝尔文学奖，有人期待由此带动文学类读物阅读量的增长。对此，不能期望过高。于出版社而言，这是一个淘金的机会；对于多数读者来说，对中国首个诺贝尔文学奖的好奇心，可能要远远高于对文学本身的兴趣。

近来，“知识无用论”、“读书无用论”的再度抬头，也再次表明国人的这种实用主义心态。因为这里讨论的有没有用，直接与个体的前途和需要相关，至于修身养性或者忧国忧民，根本就不是多数人读书的目的。

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关键词：初中数学；教学；和谐教育

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）04-0096

和谐是物质世界和社会现象之间完美配合、协调和有机多元化的统一。而教育的目的除了传承文明外，更重要的一个功能是培养人才，这种人才又必须在认知、情感、意志和态度等方面与社会相结合，满足社会发展需要，同时个人的身心也需得到一定发展，造就一个健康有用的社会人才。基于这些因素的考虑，教育家提出了和谐教育，即从满足社会发展需要和学生身心健康需要的原则出发，协调教育环节中诸要素的关系，使教育节奏符合学生自身发展，进而使“教”与“学”产生谐振效应，促进学生基本素质全面、和谐、充分发展的教育。从另一角度来讲，和谐教育也是实现素质教育的一种有效方式。为了能够在初中数学中真正实现和谐教育，笔者认为在初中数学教学环节中需要从以下几个方面着手：

一、培养学生探究式学习能力

为了实现学生探究式学习，教师一定要转变角色。教师是知识的引领者，是学习资源的提供者，由于学生知识面狭窄，可能掌握不到前沿的学习资源，这时教师应该为学生提供这方面的服务，培养学生的自我学习兴趣，采取引导式的探究学习。当学生遇到疑难问题时，教师应该从培养学生兴趣角度出发，激发学生找到解决问题的方法。同时，教师也应注意到他们是学生兴趣的激发者，是协调者、引导者而不是强迫者和发号施领者，主要在于强调教师的“教”应是引导式的、启发式的而非强迫或任务式的。

此外，探究式学习还需教师具有强烈的责任感和爱心。探究式学习通常利用课外时间进行，虽然有时会增重学生的学习任务， 但实践证明其付出是值得的，很多学生自愿牺牲课外休息时间投入到探究式学习，当然，教师需要付出更多心血，每次都应给学生准备资料、确定主题、布置任务、当堂点评等。教师的一切努力都应围绕“引发学生思考”展开，并创造环境和意境，运用娴熟的基础知识、成功学理念和激励理论等，让学生成为自我进取者，在进取中被充分授权学习且承担责任，从而大胆地去发现自己，这样会使学生变成主动型学习者、自我激励型学习者、兴趣型学习者和探索型学习者，让他们感到每个人都有一种“成功人士”的感觉。

二、注重学生情感因素，刺激学生的学习动机

教师要努力建立和谐融洽的师生关系，精心设计教学活动，增进师生思想和情感交流。那么，具体应该如何做呢？如课上应结合课本内容选取贴近学生生活或生动有趣的教学素材，吸引学生注意力，以提高他们的关注程度；对学生课堂表现良好及其优秀作业应予以适当奖励，当然奖励可以是某种奖品或是一个较高评分，也可是口头或书面称赞与鼓励，以利于学生保持努力。同时，更应营造良好班级学习氛围，树立积极向上学习风气，以积极影响和强化学生学习动机。更有甚者，教师应帮助学生树立并明确自己的学习目标，避免眼高手低或过于急功近利的学习动机，鼓励学生发现和接受自己学习方面的长处与不足，培养一定的自我监控、自我安排学习进度的能力，正确认识自己各项测试成绩，并进行合理归因，从而增强学习信心。

教师在课堂教学中要通过观察学生不同表现以了解其是否存在学习焦虑，从而及时调整教学方案，采取多种有效措施降低学生焦虑水平。如教师能及时了解并分析学生学习焦虑的深层原因，就能够在教学中采取有效措施，尽可能缓解或降低学生焦虑情绪，从而避免实际教学工作中引发甚至增强学生的焦虑感。另还需区别对待不同性格类型的学生，抓住学生的不同性格特征，教学中针对不同教学内容的特点采取相应教学手段。如课堂提问时可先叫外向型学生回答问题以活跃课堂气氛，开阔其他学生思路，并使性格内向学生有时间思考问题和组织语言。

三、注重课堂的师生互动

课堂教学是由教师的教和学生的学共同组成，要想取得良好教学效果，师生双方必须相互协调、相互配合。互动教学是实现这种教学效果的有效途径之一。其是教师与学生间发生各种形式、各种性质、各种程度的相互作用和影响，以教师为主导、学生为主体，让学生爱学、会学、善学为目的，培养学生发现问题、解决问题、提高能力的师生共同参与活动。互动教学可通过问题情境设计、提供参与机会，激发学生内在动机，培养学生努力学习和进一步吸取新知的浓厚兴趣，促使学生主体积极参与教学活动，使学生对问题进行更深层次的质疑和探索，以习得一些思维方法，形成好的思维习惯。同时，通过讨论、拓展、引申等互动方式，开阔学生视野，让学生想象力和创造力得以充分发挥。而且在互动过程中师生通过相互沟通、共同学习、共同发展，提高学生的同时也能够使教师在学生心目中形成一种积极向上的定势，进而对课堂教学和知识传授产生启发，而学生亢奋反过来又能激励教师在更宽视野内作更深层思考、探索，以不断完善自身，不断更新自己知识结构，从而提高自己业务水平。

四、循序渐进式渗透转化思想

新教材采用由浅入深、逐级递进的方式逐步渗透重要数学思想方法，如符号感、函数思想、统计意识、推理和证明意识、空间观念及转化思想等。而教学中处处体现出转化思想，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化多元为一元，化高次为低次。在具体内容中，有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线或设辅助元的转化。转化思想是一种思维策略的表现，它是解决数学问题的重要思想，能运用所学知识把复杂问题转化为简单问题，把隐含条件转化为明显条件，把生疏问题转化为熟知问题。如有鸡、兔若干只同笼，已知共有头18个，腿54条，问鸡兔各有多少个？解答此问题，可用化归方法，若鸡兔同时抬起一半腿，则剩27条腿，比头多9个，说明鸡就有9个，兔子只能是9个。转化方法一用，问题就自然迎刃而解。

当然，在渗透转化思想的同时，仍不能忽视（下转第106页）（上接第96页）“双基”教学的重要性。“双基”是指基础知识和基本训练。基础知识是教材中的基本概念、基本原理和基本常识，是构成学生智力、能力培养的基础。学生在自发学好基础知识基础上，灵活运用转化思想，培养学生的创新意识和实践能力。基本训练是巩固已学知识并准备应用于实践，以培养创新精神与实践能力的过程，是数学教学中不可缺少的环节，应值得高度重视。

综上所述，笔者认为和谐教育是初中数学教育的一个重要方面，但要实现和谐教育，必须使教师与学生形成有机体，特别是在数学教学中要贯彻和谐教育理念，运用探究式学习、注重学生情感因素的方法、互动教学和转化思想等手段结合，培育学生健康身心，从而在有效提高学生正能量发挥的同时，使学生成为课堂教学中的真正主体，弱化教师“满堂灌”的教学方法。

参考文献：

[1] 金含芬.国外中学教育[M].北京：中国科学技术出版社，1991.

[2] 李镜流.教育心理学新论[M].北京：光明日报出版社，1987.

[3] 徐胜三.中学教育心理学[M].北京：人民教育出版社，2011.

[4] 龚 玲.探索和谐教育模式 促进学校和谐发展[J].新，2011（2）.

[5] 余丽红.加强心理健康教育 促进学生和谐发展――2010年全国中小学心理健康教育工作经验交流会综述[J].中国教育学刊，2011（1）.

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关键词 TOPSIS 混合指标 多属性决策 权重

中图分类号 C934

文献标识码 A

1 引言

混合多属性决策是指即含有定量指标又含有定性指标的一类多指标决策。在社会、经济管理和工程技术领域有广泛的应用背景。由于社会效益、生态环境等方面的定性指标一般难以作精确量化，以模糊的或不完全的指标形式存在，形成混合型多指标(或多属性)决策。这种决策的属性值以多种类型(如精确数、区间数、三角模糊数、语言型)出现在决策矩阵中，构成了混合型多指标决策问题。目前对于混合型多指标决策问题的研究还很不完善，夏勇其、吴祈宗给出了一种混合型多指标决策问题的TOPSIS方法，闫书丽利用灰色关联度，提出一种基于从属度的方案排序法。在夏勇其、吴祈宗论文中，要求在进行决策时属性权重是已知的，这在实际中往往很难办到。基于此，本文提出一种基于TOPSIS方法的没有任何权重信息的混合型多属性决策的决策方法。该方法适用范围增大，为混合型多属性决策问题提供了很好的解决途径。

2 基于TOPSIS方法的混合多属性决策方法原理

TOPSIS主要通过构造多属性问题的理想方案和负理想方案，通过计算各方案与理想方案和负理想方案的距离，来确定方案的排序。

设待评价的多属性决策方案有m个，记为A={A1，A2，…，Am}，评价指标有n个，记为G={G1，G2，…，Gn}，记方案Ai对指标Gj的评价值aij为精确实数型指标{j∈N1=（1，2，…h1）}；对指标Gj{j∈N2=（h1+1，h1+2，…h2）}为区间型指标；对指标Gj{j∈N3=（h2+1，h2+2，…h3）}为三角模糊数梯形模糊数型指标；对指标Gj{j∈N4=（h3+1，h3+2，…n）}为语言型指标。记A=（aij）m×n为决策矩阵。

具体步骤如下：

（1）各类指标值的规范化处理。指标值的规范化处理是将所有指标值根据上述方法进行处理得到决策矩阵B=（bij）m×n。

（2）确定正理想方案和负理想方案。对于精确实数型指标：

y■■=■b■，j∈N■ y■■=■b■，j∈N■

对于区间型指标：

■■■=y■■，y■■=■b■■，■b■■，j∈N■

■■■=y■■，y■■=■b■■，■b■■，j∈N■

对于三角模糊数型指标：

■■■=y■■，y■■，y■■=

■b■■，■b■■，■b■■，j∈N3

■■■=y■■，y■■，y■■=

■b■■，■b■■，■b■■，j∈N3

对语言型指标，与语言标度相对应的区间数表达形式为:

优：=[0.8，1]良：=[0.6，0.8]中：=[0.4，0.6]

差：=[0.2，0.4]特差：=[0，0.2]

与语言标度相对应的三角模糊数表达形式为：

极好：=[0.8，0.9，1]很好：=[0.7，0.8，0.9] 好：=[0.6，0.7，0.8]

较好：=[0.5，0.6，0.7]一般：=[0.4，0.5，0.6] 较差：=[0.3，0.4，0.5]

差：=[0.2，0.3，0.4]很差：=[0.1，0.2，0.3] 极差：=[0，0.1，0.2]

再由上述方法确定理想指标值和负理想指标值。

记Y+={y+1，y+2，…，y+n}为理想方案；Y-={y-1，y-2，…，y-n}为负理想方案

（3）根据混合指标建立模型确定指标权系数。各方案ai与理想方案Y+和负理想方案Y-的广义加权距离定义为：

d+（ai，Y+）=■wjD（y+j，bij）2

d-（ai，Y-）=■wjD（y-j，bij）2

其中，D（y+j，bij），D（y-j，bij）分别表示各类指标值间的距离。各方案ai与Y+越接近，方案越优；各方案ai越远离Y-，方案越优。

为此，对每个方案ai，建立下列规划模型：

mind+（ai，Y+）=■wjD（y+j，bij）2

maxd-（ai，Y-）=■wjD（y-j，bij）2

s.t■ωj=1ωj≥0 s.t■ωj=1ωj≥0

由于各方案是公平竞争的，理想方案与各方案及各方案与负理想方案的距离均来自同一组权系数，约束条件相同。

因此，对以上两式进行综合，得到求解混合指标权系数及排序值的模型：

minF=■

■

s.t■ωj=1ωj≥0

利用MATLAB编程求解，得到混合属性值权系数w=（w1，w2，…，wn）。

（4）将权系数带入上式得到d+（ai，w）和d-（ai，w）。

计算：ci=■

显然，ci越小，方案越优，因而也就排得越靠前。

按ci从小到大排列，得到方案的排序。

3 实例计算与分析

为了说明上述模型及排序方法的有效性，下面以文献中的例子进行分析。

某国家国防部拟发展一种战术导弹武器装备，研制部门提供4种导弹型号的有关信息。该国防部派出的专家组对4种导弹的战术技术指标进行了详细考察，考察结果见表1，问应选择哪一种导弹以使决策的总效用最大。

（1）根据模糊语言变量与三角模糊数的关系，用三角模糊数表示决策矩阵中的定性指标得：

A=

2.0 500 [55，56] [4.7，5.7] （0.4，0.5，0.6） （0.8，0.9，1.0）

2.5 540 [30，40] [4.2，5.2] （0.2，0.3，0.4） （0.4，0.5，0.6）

1.8 480 [50，60] [5.0，6.0] （0.6，0.7，0.8） （0.6，0.7，0.8）

2.2 520 [35，45] [4.5，5.5] （0.4，0.5，0.6） （0.4，0.5，0.6）

利用指标的规范化公式将决策矩阵A规范化得：

B=

0.4671 1.4897 [0.51，0.74] [0.40，0.59]0.5839 0.5289 [0.28，0.46] [0.44，0.66]0.4204 0.4701 [0.47，0.69] [0.38，0.56]0.5139 0.5093 [0.33，0.52] [0.42，0.62]

（0.32，0.48，0.71）（0.52，0.67，0.87）（0.16，0.29，0.47）（0.26，0.37，0.52）（0.49，0.67，0.94）（0.39，0.52，0.70）（0.32，0.48，0.71）（0.26，0.37，0.52）

确定正理想方案和负理想方案：

Y+=[0.5839，0.5289，[0.51，0.74]，[0.44，

0.66]，（0.49，0.67，0.94），（0.52，0.67，0.87）]

Y-=[0.4204，0.4701，[0.28，0.46]，[0.38，

0.56]，（0.16，0.29，0.47），（0.26，0.37，0.52）]

根据模型（2-5）由MATLAB编程计算求解得权系数w为：

w=（0.1072， 0.0528， 0.2421， 0.0692， 0.3060， 0.2227）

将权系数带入（2-1）（2-2）得到d+（ai，w）和d-（ai，w），计算Ci=■

得到方案的排序为：a1＞a3＞a4＞a2。

本文的方法得出的结果与文献中的结果大致相同，产生稍微差别的主要原因是权重给的不一样，文献中的权重是事先给定的，本文由模型求出的权重更具客观性，更加符合实际，决策结果更加可靠。

参考文献

1 夏勇其，吴祈宗.一种混合型多属性决策问题的Topsis方法[J].系统工程学报，2004(6)

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关键词：培养兴趣；初中数学教学；趣味教学

随着我国教育事业迅猛发展和教育研究的深入，当前教育对初中数学教学的模式和方法提出了越来越高的要求.而趣味教学方法则是当前教学中一种新型的教学方法，它可以以趣味性的内容和形式来活跃数学教学氛围，使学生在良好的课堂氛围中快乐学习，从而激发学生学习数学知识的兴趣，提升课堂教学效率。

一、以故事导入新课，调动学习热情

“好的开始是成功的一半”。课前教学内容导入的质量直接决定着初中数学教学质量，所以在趣味教学法的指导下，教师必须要采用有效的方法和手段开展课堂教学.初中生大都喜欢听故事、讲故事，教师可以在课前为学生讲解一些与教学内容相关的趣味故事，使学生的注意力被充分吸引，再导入教学新内容，以使学生在愉悦的教学氛围中充分了解和掌握趣味故事中所蕴涵的丰富教学知识，进而有助于提升数学课堂教学质量。另外，当前网络上的教学信息和资源比较多，教师可以在课下借助网络搜集一些与数学知识相关的趣味数学故事让学生学习。例如，在讲“勾股定理”时，教师可以借助讲故事的方式调动学生学习数学知识的积极性和热情。“在古希腊时期，有一位数学家毕达哥拉斯去他朋友家里面聚餐吃饭，但是在吃饭过程中其他人都大谈特谈，而仅有他一个人沉默不语好像在思考什么，男主人对他的行为非常好奇，就问他到底在想什么事情，可还没等男主人问出口，毕达哥拉斯却自己离席了，让人们很难理解。”在讲到这里的时候，学生的注意力会被教师的讲解所吸引。这时教师需要继续问：“同学们，你们知道毕达哥拉斯突然离席的原因吗？”学生会异口同声地回答：”“不知道！”此时，教师因势利导地问：“事实上，毕达哥达斯在当时一直在观察男主人家的地板，并且在观察的时候发现了一个重要的数学定律，你们知道是什么吗？”这时候学生依旧回答不知道。虽然学生两次回答都是不知道，但是故事的讲解已经充分调动了学生的积极性和兴趣，接着教师可以告诉学生：“事实上，毕达哥拉斯那次在宴会上所得到的数学规律实际上就是勾股定理。”这样一来，学生会对勾股定理知识产生极大的学习兴趣，有利于教学活动的开展。

二、灵活运用多媒体，激发学习兴趣

随着教育研究的深入，多媒体技术已经逐渐成为教学中的常用手段.多媒体技术可以为学生营造一个图文并茂、声像并举、生动形象直观的教学情境，有利于激发学生对教学内容的兴趣，调动学生的感官功能，充分拓展学生的思维，另外，在初中数学教学中应用多媒体，可以将抽象、复杂的数学知识变得生动、形象直观，化静态的数学问题为动态的问题，从而打破了传统数学课堂所具有的枯燥、乏味特征，有利于提升数学课堂教学效果，同时可以培养学生的数学理解能力，有利于学生后续的学习，例如，在讲“二次函数的图象与性质”时，由于二次函数的图象为抛物线形状，单纯地采用“板书+口述”的教学形式无法使学生理解“平滑”这一函数图象概念，并且学生也无法精确地绘画.如果教师借助多媒体将二次函数的图象从孤立的点到连续曲线的形成过程以动态的变化形式展示出来，能使学生直观地观察二次函数图象，有利于学生对于函数知识的理解和认识。

三、巧用活动教学，增强学习趣味

在当前的初中数学教学中，课堂教学氛围比较僵化、呆板，教师采用的“板书+口述”的教学方式无法将抽象的数学知识清晰地传递给学生，所以学生的学习积极性不高，无法主动地投入到数学知识的学习中，鉴于初中生大都比较爱好活动，教师可以为学生组织一些教学活动来增强学习的趣味性，使学生在趣味性数学活动中提高学习能力。总之，趣味教学是课程改革和素质教育在初中数学教学中的具体体现，可以有效地激发学生学习数学知识的兴趣，调动学生学习的热情和积极性，并且可以使学生在轻松、愉悦，包含趣味性的课堂中快乐学习，从而提升课堂教学效率。

四、教师的人格魅力是学生学习兴趣的关键

俗话说：“兴趣是最好的教师”，心理学研究表明凡是富有趣味的东西，都能引起人们的思维，从事有兴趣的活动。教师是人类灵魅的工程师，是学生学习的榜样和楷模，他的一言一行都会潜移a化影响着学生人格的养成，要培养学生的兴趣，就要求教师为人师表，办事公正、平等待人，语言风趣幽默，能随机应变，以高尚的人格魅力吸引学生学习知识；让学生首先对所教学科的人产生兴趣。

五、建立平等和谐的师生关系是培养学生学习兴趣的源泉

热爱学生，理解学生，把自己融入到学生中去，走进学生的心里，了解他们的喜怒哀乐，兴趣爱好，与他们同欢乐，共悲伤。在他们取得一点点成绩时，都要给予充分的肯定。在他们遇到困难时要及时地给予精神和物质上的帮助。……教师真正理解了学生。学生就会把教师看作自己的朋友。那么教师在上课时，学生就会认真的听，学习主动，思考积极。

六、要让学生“人人有事做”

初中学生数学水平参差不齐，个人之间差距逐渐加大，这是客观存在的事实。因此兼顾不同层次的学生需求，是提高课堂教学质量的关键所在，减轻学生课外负担，变学生“无事做”为“有事做”就显得尤为重要。数学学科的学习对原有的基础有极大的依赖性。因此教师要根据不同层次的学生制定不同的数学目标，确定不同层次的数学内容和教学要求。使各层次的学生都能学到实质性的东西，使各层次的学生都“有事做”。

七、让学生体会数学科的美

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具体的数学思维过程往往不是一种思维方式的运用，而是一些数学思维方式的有机结合。要正确地进行数学思维，获得数学知识和解决数学问题，就要使思维进程符合客观运动的辩证规律。因此，主体进行数学思维活动时使用科学的辩证的操作方法是发展数学思维和指导数学的一个重要问题。集中思维和发散思维就是其中一种重要的方式。

集中思维是调动各种信息，按照常规习惯寻求解决问题，整理知识或总结方式的思维方式。他的特点是思路集中，所有信息都朝着一个目标深入发展以生成新信息。集中思维在思维方向上具有定向性，层次性和聚合性，在思维内容上具有求同性和专注性。它是深刻地理解概念，正确地解决问题，完整地掌握知识系统地重要思维方式。

定向思维是集中思维的一种形式，它是按照常规习惯形成的沿着固定方向，采用一定的模式或方法进行的对问题的分析思考。这种思维反映了思维过程的连续性，渐进性和联结性。由定向思维所造成的思维的趋向性或专注性状态就称为思维定势，它是开展有成效的思维活动的一个重要条件。思维定势在适合的条件下，一般能迅速地联想和使用已有的知识和技能来分析和解决问题，表现了正迁移作用。但是过分强调后却容易引起负迁移吗，表现出思维僵化，呆板等封闭性，而不能从多角度，全面地，整体地看问题。特别是在解决一些非常规的或探索性，开放性的数学问题时就会束手无策。因此在数学教学中培养定向思维能力应注意确立使用基本知识和运用基本技能，重视基本问题的定势以及一般的解题思维模式的定势，同时要交给学生对于具体问题进行具体分析的辩证思想和方式。

但定向思维可以解决大量的常规数学问题。虽然解决的过程有简单和复杂之分，所运用的知识和技巧有单一和综合程度的不同，但是常见的题型，基本知识和方法的运用，总是表现出大同小异。因此，培养定向思维能力是数学教学中起始的，大量的，带有基础性的教学目标之一。没有熟练的定向思维能力就不可能进一步发展变异的发散思维。这种辩证关系要全面理解才不会轻视定向思维的重要作用。即既要看到它的消极面，也要看到它的积极面，并且应注意积极面是其主要的方面。这种解题实例在数学教学中俯拾皆是。为了防止思维定势的负迁移，在按常规方式解题时必须注意思维进程的严密性。即不应造成对题给条件的遗留或添加，注意推理的充分性和必要性。

纵向思维是集中思维的另一种形式，它是把思维目标沿着逐步深入的方向分解成若干个前后联系的小目标，通过小目标的逐个解决达到解决大目标的思维方式。这种思维同样也反映了思维过程的连续性，渐进性和联结性，但是它更强调思维环节之间的层次性和因果性。在解题时，通常是把原问题分成若干个纵深联结的小问题，前面小问题的解决时为了后续小问题的解决服务的。

发散思维是对已知信息进行多方向，多角度的思考，不局限于既定的理解，从而提出新问题，探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式。它的特点是思路广阔，寻求变异，对已知信息通过转换或改造进行扩散派生以形成各种新信息。发散思维在思维方式上具有逆向性，侧向性和多向性。在思维内容上具有变通性和开放性。它对推广原则问题，引申旧知识，发现新方法等具有积极的开拓作用，因此创造能力更多地寓于发散思维之中

集中思维和发散思维在数学思维过程中时紧密联系交替使用的。以解决数学问题而言，总体的目标是寻求最佳答案，这是集中。但就思维过程的局部而言，主体需要运用题目的条件和结论给出的信息进行广泛的联想，这是发散。接着可能由此得出多种解题的思路或方法，这也是发散。最后需要逐个地按既定思路前进使问题得到解决，这又是集中。由此可见，集中思维和发散思维既是数学思维具体过程的使用方式，也是局部分别采用的思维方式。一个完整的数学思维过程是这两种思维方式的有机结合。而人们常常是以整体思维过程的主要倾向来衡量其发散性或集中性的。

数学中的集中思维不仅表现为解决问题时的定向思维与纵向思维，而且也包括对数学概念的抽象概括过程和对数学知识按一定目的进行的系统整理等。集中思维的结果表现为使主体的认知结构趋向稳定和加强，使主体对知识的理解更加透彻和深刻。

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关键词：数形结合；解题；化繁为简

一、引言

数学大师华罗庚曾精彩地诠释：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事休。”恩格斯也曾说过：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。”数形结合是一种重要的数学思维方法，利用这种手段解题常常达到事半功倍的效果。“数”反映数量关系，有精确性；“形”反映图形性质，有直观性。数形结合就是将抽象的数学语言和直观的几何图形结合起来，让代数运算法与直观图像法优势互补，抽象思维和形象思维共同运作，将复杂的数学问题化繁为简，找到解决问题的最佳方案。

二、数形结合的途径

在数学学习中，我们总能发现“数”和“形”是分不开的。化形为数的桥梁是解析几何，涉及到代数运算的方程组求解、变量代换、不等式的构造与求解等方面，特别是在求异面直线构成的角、线面角、面与面构成的角以及判断点线面的位置关系等问题中，向量的代数运算起着至关重要的作用。化数为形的例子也不胜枚举，如解决函数问题时，画出大致图像对解题有很大的帮助；判断函数单调性、确定函数零点、寻找函数最值等方面化数为形的途径常常为解决问题提供直观印象及解题途径启示。总之,数形结合以数解形，以形助数，化繁为简，化难为易是一种重要的数学思维模式。

三、数形结合实例及思路分析

本文通过几个数形结合的题例分析，探讨其在数学问题处理上的一般思路、解题技巧及方法总结，以期与同学一起培养借助这种数学模式处理具体问题的数学思维能力。分析下面题例：

例1：已知椭圆C:■+■=1,在C上任取三个不同的点P1，P2，P3，使得∠P1FP2=∠P1FP3=∠P2FP3，证明■+■+■为定值，并求出该值。

分析：与椭圆标准方程■+■=1对比，此处a=6，b=3■，c=3，准线x=12，a=1/2。

设∠AFP1=α?圯∠AFP2=α+2x/3∠AFP3=α+4x/3（按逆时针方向），记|FP1|=x1，则|FM1|=x1cosα，点P1到准线距离为2x1，由FD=FM+MD=x1cosα+2x1=■-c=9，故有x1=■?圯■=■，同理■=■，■=■,因此■+■+■=■=■.

点评：条件∠P1FP2=∠P1FP3=∠P2FP3为我们表示FP1,FP2,FP3提供了便利，也暗示了我们本题可能需要寻求几何方法而非仅凭代数手段硬算。尽管解析几何题一般思路是联立方程组求解，但根据圆锥曲线椭圆的定义和几何性质解题，往往是简化解题过程的最佳手段。这题若是用点斜式设出方程与椭圆方程联立，再利用韦达定理和弦长公式解出线段FP1长度，类似解出FP2,FP3长度，同样可得到结果，但运算量过大，非最佳策略。

例2：如果三个正实数x，y，z满足x2+y2+xy=■，x2+z2+xz=■，y2+z2+yz=36，求xy+yz+zx的值。

解：将三个等式变形为x2+y2-2xycos120°=(■)2，x2+z2-2xzcos120°=(■)2，y2+z2-2yzcos120°=62，如图，构造PBC、PCA、PAB，使PB=x，PA=y，PC=z.∠BPC=∠CPA=∠APB=120。AB=13/2,BC=5/2,AC=6.由勾股定理,ABC是一个直角三角形.由SABC=SPBC+SPAC=SPAB

易得：■（xy+yz+zx）sin120°=■，从而得xy+yz+zx=10■.

点评：从原题条件出发，根据题设表达式构造基本几何图形是解答此题的关键。观察题目给的三个条件，很容易联想到余弦定理；三个数据也与勾股数相关，这些都提示我们将这个问题放到三角形中研究。这样问题就显得清晰、简单、直观。

例3：已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=x没有实数根。

问：f(f(x))=x是否有实数根？并证明你的结论。

解法一：分析法

假设f(f(x))=x有实根，即存在实数x0使得f(f(x0)=x0，令f(x0)=t，此时有点A(x0,t),B(t,x0)都是y=f(x)上的点。由于f(x)=x没有实数根，所以A，B这两点不重合且关于直线y=x对称。

所以y=f(x)=ax2+bx+c与y=x必有交点，即f(x)=x有实根，与条件矛盾，所以f(f(x))=x没有实数根。

解法二：数形结合图像法

当a>0时，f(x)=x无实根，?坌x,f(x)>x,f(f(x))>f(x)>x对，f(f(x))=x无实数根；当a

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关键词：数学思维 初中数学 探究性 开放性 严谨性 发散性

在素质教育下，教师要借助恰当的教学方法来有效培养学生的数学思维，以提高学生的解题效率，使学生在高效的课堂中获得更大的发展空间。以下我将对如何在高效的数学课堂中培养学生的数学思维来提高学生的解题能力展开探讨，希望能为学生健全的发展奠定坚实的基础。

一、借助问题讨论培养学生的探究性思维

问题讨论是提高学生探究能力，培养学生创新精神的基础，也是培养学生数学思维的重要方面。所以，在素质教育下，我们要立足于数学教材，深入挖掘教材内容，选择恰当的方式提高学生独立思考问题的能力，进而使学生在不断探究中数学思维得到相应程度的提高。我认为，在数学教学过程中，创设有效的问题情境培养学生的探究性思维，可以确保学生在高效课堂中获得更大的发展空间。

例如，在教学《平行四边形的判定》时，为了培养学生独立思考能力，也为了培养学生的探究性思维。在本节课的授课时，教师可引导学生自主思考下面几个问题：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形？（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形？（3）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形？引导学生自主思考上述的问题，并结合所学的内容进行自主动手证明。比如，一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。

已知：在四边形ABCD中，ABCD，证明：四边形ABCD是平行四边形。

证明：连结AC，ABCD，∠BAC=∠DCA

又AB=CD，AC=CA

DCA≌BAC，AD=BC，∠DAC=∠BCA

AD∥BC

在四边形ABCD中，ABCD，ADBC

四边形ABCD是平行四边形

这样的过程不仅能够加深学生的印象，提高学生的学习效率，而且对学生动手证明能力的提高以及探究性思维的培养也有着密切的联系，有利于学生思维水平的提高。

二、借助一题多解培养学生的开放性思维

一题多解是指对同一道试题找出不同的解题思路，以提高学生知识的灵活运用能力，同时，也有助于学生开放性思维的培养。所以，我们要鼓励学生进行多方向的思考，确保学生在一题多解中锻炼自己的开放性思维。

例如，AD是RtABC的斜边BC上的高，P是BC上一点，PEAB于E，PFAC于F，求证：DEDF。

证法一：在等腰RtABC中，∠A=90°，由ADBC得：AD=BD

∠DAC=∠DBA=45°又PEAB，PFAC

BE=PE=AFADF≌BDE，即∠ADF=∠BDE

于是∠ADF+∠EDA=∠EDA+∠BDE=90°

DEDF

证法二：∠BAD=∠BCF，PEAB，PFAC

又AD=DC AED≌CFD

∠EDA=∠FDC

而ADBC，∠EDF=90°，即DEDF

……

对于该题来说是一道比较简单的几何证明题，所以在问题的解答过程中，我们要鼓励学生从不同的角度进行问题解答，这样不仅能够帮助学生积累解题经验，提高学生的解题效率，而且对学生知识灵活运用能力的提高以及开放性思维的培养也有着密切的联系，有利于学生获得更大的发展空间。

三、借助分类思想培养学生的严谨性思维

分类思想的渗透不仅能够培养学生严谨性的数学思维，而且对学生思维的周密性培养也有着密切的联系。所以，在数学解题过程中，我们要引导学生认真分析题干，仔细分析题目中应该以哪个为分类主题，以做到分类时不重不漏，进而为学生解题能力的提高奠定坚实的基础。

例如，已知方程m2x2+（2x+1）x+1=0有实数根，求m的取值范围。

分析：该题是学习一元二次方程中常见的一类试题，也是学生常常会出现问题的地方，因为该题出现的是一元二次方程的位置，所以，在解题的过程中常常会忽视还有一元一次方程存在的情况，即m=0的时候，这种情况常会导致学生的解答不完整，严重不利于学生严谨的数学思维的培养。因此，在习题解答的过程中，我们可以分为两种情况，即情况一：m2=0时，方程为一元一次方程，x=-1有实数根;情况二：当m2≠0时，≥0，求得m≥-1/4。

这样的分析不仅能够完善学生的解题过程，而且对提高学生的解题能力以及周密的数学思维有着密切的联系。所以，在数学解题的过程中，我们要借助分类思想培养学生严谨的数学思维，以提高学生的数学解题能力。

四、借助一题多变培养学生的发散性思维

一题多变的开展和应用能够发散学生的思维，使学生在试题的对比中掌握基本的数学知识，同时大幅度提高学生的数学解题能力。所以，在数学习题练习中，我们要鼓励学生进行一题多变，要确保学生在自主对比、自主思考中得到发散思维的培养。

例如，ABC中，BF，CG分别是∠B、∠C的外角平分线，AFBF于F，AGCG于G，求证：FG∥BC

变式一：ABC中，BD、CG分别是AC、AB边的中线，在BC上取BM=CN，连结AM、AN分别交BD、CG于点E、F，求证：EF∥BC。

变式二：AD是ABC的中线，AE、AF分别是垂直于∠ABC、∠ACB的角平分线，E、F为垂足，DM、DN分别为∠ADB、∠ADC的平分线并分别交AB、AC于点M、N，求证：FE∥MN。

……

组织学生对上述的一题多变试题进行对比，这样不仅能够帮助学生积累解题经验，而且能发散学生的数学思维，使学生获得更大的发展空间。

总之，在素质教育下，我们要借助多样化的教学方法来培养学生的数学思维，使学生在自主探究、独立思考中形成严谨的、发散的、创造的数学思维，从而为学生综合数学素养的培养做出应有的贡献。