反比例函数的应用范文

导语：如何才能写好一篇反比例函数的应用，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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一、识图

学会认识题目中的图形,使解题思路清楚,将题目“清晰化”

例1(漳州)矩形面积为4,它的长 与宽 之间的函数关系用图象大致可表示为()

解析:由题意xy=4,即y是x的反比例函数,图象B和C都是反比例函数图象,但图象B的自变量取值范围是x>0,选B。

例2 (兰州) 如图,在直角坐标系中,点A是 轴正半轴上的一个定点,点B是双曲线y= (x>0)上的一个动点,当点B的横坐标逐渐增大时,OAB的面积将会()。

A.逐渐增大 B.不变

C.逐渐减小 D.先增大后减小

解析:双曲线无限靠近坐标轴但与坐标轴不相交,在第一象限内当点B的横坐标逐渐增大时,点B到x轴的距离越来越小,所以OAB的面积将会逐渐减小。选C。

点悟:识图是学习函数图象的基础,“点动成线”即图象是由满足某个条件的无数个点组成的,而这些点的横坐标、纵坐标分别代表着函数的两个变量,因此函数的变化可以通过点的变化形成的图象直观地反映出来。

二、想图

无图想图,把数和形有机地结合起来,将题目“明朗化”

例3 (扬州) 函数y= 的图象与直线 没有交点,那么k的取值范围是( )。

A.k>1 B.k―1 D.k

解析:由解析式想图象,直线y=x经过一、三象限,而函数y=的图象是双曲线,它又与直线无交点,那么双曲线只能在二、四象限,得1-k

例4 (东营) 已知点M (-2,3)在双曲线y= 上,则下列各点一定在该双曲线上的是( )。

A.(3,-2) B.(-2,-3) C.(2,3) D.(3,2)

解析:第二象限的点 M (-2,3 )在双曲线y= 上,可知双曲线在二、四象限,题中四个点只有A在第四象限,因此选A。

点悟:研究函数离不开图象,当题目中没有图象时,要能根据条件充分地想象,把“数”转化为“形”,以形助数,从而得到解决问题的方法。

三、画图

作出符合题意的图象,将题目“直观化”。

例5 (内江) 若A(a,b),B(a-2,c)两点均在函数y= 的图象上,且a

A.b>c B.b

C.b=c D.无法判断

解析:k=1>0,所以图象在一、三象限,又a

例6 (梧州)已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)是反比例函数y=

(k>0)图象上的两点,若x1

A.y1

解析:k>0,所以图象在一、三象限,又x1

点悟:把数转化成形,并能画出函数图象是学习函数的基本要求之一,通过画出图象使题目直观化,这样能更好地分析函数性质,加深对数量关系的认识,有利于探求解题的途径。

四、用图利用图象的桥梁作用,把性质和解析式联系起来,将题目“互动化”

例7 (黄石) 如图所示,正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点,分别以A、B两点为圆心,画与 轴相切的两个圆,若点A的坐标为(2,1),则图中两个阴影部分面积的和是 。

解析:因为反比例函数图象关于原点的中心对称图形,所以A、B两点是对称点,那么整个图形是中心对称图形,得两圆的阴影部分可拼成一个圆,半径为1,所以两个阴影部分面积的和为π。

例8 (铁岭)如图所示,反比例函数y1与正比例函数y2的图象的一个交点坐标是A(2,1),若y2>y1>0,则x的取值范围在数轴上表示为()。

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考点一 反比例函数的概念

例1 （2013・贵州安顺）若y=（a+1）xa2-2是反比例函数，则a的取值为（ ）.

A. 1 B. -1

C. ±1 D. 任意实数

【分析】此题考查的是反比例函数的定义. y=，k≠0，x的次数为“-1”，列出方程，求出a的值.

解：y=（a+1）xa2-2是反比例函数，

a2-2=-1，a=±1，又a+1≠0，a≠-1，a=1. 选A.

【点评】紧扣概念，牢记反比例函数的三种形式：y=（k≠0）、xy=k（k≠0）、y=kx-1（k≠0），此类问题常以填空、选择题的形式出现，解题时要特别注意k≠0.

考点二 反比例函数的图像和性质

例2 （2013・南京溧水区一模）在反比例函数y=（k

-，y2，则y1-y2的值是（ ）.

A. 负数 B. 非正数

C. 正数 D. 不能确定

【分析】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，可结合函数图像的增减性解决问题. 因为y=（k

解：由于反比例函数的图像位于二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大. 两点（-1，y1），

-，y2均在第二象限，且-1

例3 （2013・江苏南京）在同一直角坐标系中，若正比例函数y=k1x的图像与反比例函数y=的图像没有公共点，则（ ）.

A. k1+k20

C. k1k20

【分析】本题是关于正比例函数与反比例函数图像性质的简单应用，根据它们图像的分布可知：①当k>0时，正比例函数和反比例函数的图像都过一、三象限，有两个交点；②当k

考点三 反比例函数解析式的确定

例4 （2013・内蒙古赤峰）如图1，在平面直角坐标系中，O的半径为1，∠BOA=45°，则过点A的双曲线的解析式是____________.

【分析】要确定反比例函数的解析式，只需知道一个点的坐标. 由于点A在双曲线上，所以求出A点坐标是解决本题的关键. 要想求出A点坐标，只需过点A向x轴作垂线构造一直角三角形，再用勾股定理便可求出其坐标.

解：设反比例函数解析式为y=（k≠0），过A作AC垂直于x轴，垂足为C，O的半径为1，OA=1，在RtOAC中，OA=1，∠BOA=45°，OC=AC，由勾股定理可求出OC=AC=，A

，，代入可得k=，y=.

【点评】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，待定系数法是中学阶段求解析式的常用方法，也是重点考查内容之一. 解答此题需运用“反比例函数图像上点的坐标特征”（点在反比例函数的图像上，则点的坐标就满足反比例函数的解析式）这一知识点.

考点四 反比例函数中k的几何意义

例5 （2013・湖南永州）如图2，两个反比例函数y=、y=在第一象限内的图像分别是C1、C2，设点P在C1上，PAx轴于点A，交C2于点B，则POB的面积为______.

【分析】根据反比例函数中k的几何意义，得POA和BOA的面积分别为2和1，所以阴影部分的面积为1.

【点评】本题主要考查了反比例函数y=（k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形面积为S=k；图像上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S=k，解此类题一定要正确理解k的几何意义.

考点五 反比例函数的综合应用

例6 （2013・广西钦州）如图3，一次函数y=ax+b的图像与反比例函数y=的图像交于A（-2，m）、B（4，-2）两点，与x轴交于C点，过A作ADx轴于D.

（1） 求这两个函数的解析式；

（2） 求ADC的面积.

【分析】本题是有关一次函数与反比例函数的交点问题，因为反比例函数过A、B两点，所以代入两点可求其解析式和m的值，从而知A点坐标，由A、B两点进而求一次函数解析式，从而求出C点的坐标，接着就能求出三角形的面积.

解：（1） 反比例函数y=的图像过点B（4，-2），k=xy=-8.

反比例函数y=的图像过点A（-2，m），-8=-2m，m=4，即A（-2，4）.

一次函数y=ax+b的图像过A（-2，4），B（4，-2）两点，

一次函数的解析式为y=-x+2.

（2） 直线AB：y=-x+2交x轴于点C，

C（2，0）. ADx轴于D，A（-2，4），

CD=2-（-2）=4，AD=4，

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关键词：建模思想；反比例函数；人教版；研究方法；函数

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）07-205-01

一、在对反比例函数的学习认识中，要首先研究了解其概念

就反比例函数概念而言，通俗来讲，一般而言，如果说两个变量的每一组对应值的乘积都是一个不为0的常数，则可以就说这两个变量成反比例。其形式可以写为y=k/x（k为常数，k≠0，x≠0），当这个函数关系成立时，该函数就叫做反比例函数。相比较一次函数，二次函数，反函数有它自己的特征和概念，二次函数的函数是二次的，而反比例函数的函数是一次的，一次函数是另外的一种函数。

在教学过程中，把建模思想运用到教学过程中，对学生的教育可以对比记忆、绘图记忆，努力融入数学思想，这样可以更好的把握反比例函数的概念，理解的也可以更深刻。

二、利用数学的建模思想，研究反比例函数的图像，然后再根据图像判断其性质，这对数学的学习和研究使很有必要的

研究反比例函数，来研究其性质和图像的特征和函数的单调性，根据反比例函数的概念和函数的表达式来研究其单调性。

根据反比例函数的表达式，描点来画其图像，可以看出反函数的图像是一条双曲线，从图像上来看，可以发现它是关于原点对称，由奇偶函数的概念可知反函数是奇函数。

而一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一条抛物线，根据每个函数的表达式的不同，每种函数的图像也不相同，当然，其性质也不可能相同。反比例函数是九年义务教育中学的最后一种函数，同学们通过对其他函数的学习，对这一类函数多少已经有些了解，了解如何去研究这一类函数的性质，去研究这一类函数的图像，在教学过程中，融入数学中的建模思想，亲手自己画图像，并且研究图像，通过与一二此函数的对比研究和反复记忆，来更深刻的理解和明白反比例函数，加深对反比例函数的进一步的研究，更深刻地理解和记忆反比例函数。

三、在反比例函数的学习过程中，要充分将建模思想融入进去，并且能够根据实际情况来举例研究，这样对反比例函数本身的学习会有很大的帮助，对理解也会有很大的帮助

建模思想是数学研究中一个很重要的思想，也是在学习中对学习和知识的研究和掌握很有帮助的一种思想，学习反函数的过程中，充分运用建模思想，在学习完其基本知识后，再出一些相关的题目，或者根据生活中的一些情况进行讲解，这对反函数的认知有很大的帮助。

实时的针对反比例函数出一些题目，例如，根据性质如何来判断它是哪一种函数，或者，告诉学生们某一函数的表达式，让他们来判断是什么函数，说明其性质，并且能够准确的画出图像。性质、图像、表达式之间能够灵活的转换是学习函数、弄明白函数的一个重要的方法，一个重要的要求，这也是在数学中建模思想的要求，是数学建模思想中一项很重要的思想，即建模思想中的模型分析和模型检验。

四、数学学习中，还有很重要的一项要求即要列出重点，强调重点，这是一项很重要的工作。当然，对于反比例函数的研究与学习，也是一样的

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象，简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。所以在学习中要强调一些很重要的东西，比如说函数性质等，在反比例函数中，要突出强调其表达式，反比例函数的性质，关于原点对称，是奇数函数，并且重点研究一下它的图像，让同学们可以明白哪部分是重点，如何学习，并且要好好的学习记忆。建模思想本身就是数学类的思想，强调重点、重点记忆更是学习的一个重要手段。所以，在研究中，要把建模思想很好的融入进来。

总之，当今时代的发展，建模思想早已是数学中很重要的思想，对于九年义务的教育，对于反比例函数的学习，要掌握其概念、表达式、性质和特点，数学本身就是一门很枯燥的学科，过多的都是理论化的东西，将建模思想融入学习，对掌握反比例函数是很有帮助的，也是很有必要、很重要的。

参考文献：

[1] 朱宸材；3.4 反比例函数[J]；中学生数理化（初中版）（中考版）；2014年01期

[2] 刘玉红；反比例函数图像的一个结论及其应用[J]；中学数学杂志；2014年02期

[3] 王建霞；反比例函数的图像和性质（第二课时）[A]；河北省教师教育学会第一届教学设计创新论坛论文集[C]；2011年

[4] 刘 军；从反比例函数的易错题谈函数的学习[J]；数理化解题研究（初中版）；2014年05期

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一、教材简解

函数知识是初中数学教学中的重要内容，既是重点又是难点。它将方程、不等式等知识有机结合起来，是整个初中代数知识的“桥梁”。反比例函数是在已经学习了直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，它的研究是对一次函数和正比例函数的研究经验和方法的迁移应用，为学生研究二次函数及其他函数提供了研究经验和方法，在初中函数知识的学习中起着承上启下的作用。

二、学情分析

1.学生已经学习了反比例关系、分式、函数及一次函数的内容，对函数已经形成了初步认识。但由于函数是比较抽象的概念，学生不可避免地会有所遗忘，因此，教学中对于一些上位的相关知识要进行适当的复习。

2.对于此类抽象概念，许多学生仅仅是机械记忆、模仿练习，缺乏对概念本质的理解，因此在解决问题时不能举一反三。于是，教学中要关注反比例函数的实际背景及形成过程，从学生已有的知识和生活经验出发创设情境，让学生通过观察、比较、归纳、举例等活动，逐步抽象出反比例函数的概念，从而激发学习的兴趣，提高学习的主动性。

三、目标预设

1.从现实情境和已有的知识经验出发，感悟生活中不同的函数关系。

2.经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念。

3.了解反比例函数的常见形式，会判断一个函数是否为反比例函数，会确定比例系数。

4.能根据已知条件确定反比例函数的表达式。

5.感悟函数思想、整体思想。

6.通过小组学习培养学生的自主学习能力，提高学习的兴趣，增强合作精神。

四、重点、难点

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考点一：确定反比例函数的关系式

确定反比例函数的关系式的题目主要有以下三种情况.

第一种情况：直接根据题意列出关系式.

例1某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数y与平均每天使用的小时数x之间的关系式为___________.

分析：单纯地根据实际问题列出反比例函数关系式的题目难度一般不大.只要读懂实际问题的意思，就能顺利解决问题.

根据题意可得，xy＝1000，所以有y＝.

第二种情况：运用待定系数法，利用给出的一组对应值求出关系式.

例2 在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V时，气体的密度j也随之改变.在一定范围内，密度j是容积V的反比例函数.当容积为5m3时，密度是1.4kg/m3，则j与V的函数关系式为_____.

分析：题目中已经指出了密度j是容积V的反比例函数，因此只要用待定系数法，设出反比例函数的关系式，再根据一组对应的值，就能够求出j与V的函数关系式.

因为在一定范围内，密度j是容积V的反比例函数，所以设j(k≠0).因为当容积为5m3时，密度是1.4kg/m3，所以有1.4＝，解得k＝7，因此有j.

第三种情况：根据待定系数法，利用反比例函数图象上一个点的坐标求出关系式.

例3 已知反比例函数(k≠0)的图象经过点（1，－2），则这个函数的表达式是____.

分析：由待定系数法确定反比例函数的关系式主要有两种情况：（1）给出一组对应的值；（2）给出双曲线上一个点的坐标.

根据反比例函数(k≠0)的图象经过点（1，－2），可得－2＝ ，解得k＝－2，所以这个函数的表达式是.

考点二：确定反比例函数自变量取值范围

例4函数y＝自变量x的取值范围是（）.

A.x＞0 B.x＜0 C.x＝0 D.x≠0

分析：考查函数自变量取值范围的题目，常见的有四种情况：（1）对整式，自变量取一切实数；（2）对分式，分母不能等于0；（3）对根式，被开方数大于等于0；（4）在实际问题中还应使实际问题有意义.

根据分式的意义可知，x的值不能使分母等于0，因此选择D.

考点三：确定实际问题中反比例函数的图象

例5 已知甲、乙两地相距s（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h）与行驶速度v（km/h）的函数关系图象大致是（ ）.

分析：根据题意可得，汽车行驶的时间t （h）与行驶速度y（km/h）的函数关系为t＝ (v＞0)，因此它的图象是双曲线的一个分支，所以答案选择C.有些同学没有注意到这是一个实际问题，自变量v的取值范围是v＞0，从而错选D.

考点四：识别反比例函数图象所在的象限及增减性

例6 已知函数y＝ (x＞0)，那么( ).

A.函数图象在一象限内，且y 随x的增大而减小

B.函数图象在一象限内，且y 随x的增大而增大

C.函数图象在二象限内，且y 随x的增大而减小

D.函数图象在二象限内，且y 随x的增大而增大

分析：判断反比例函数的图象所在象限及增减性，关键是准确判断出比例系数k的正负情况.

根据比例系数k＝3＞0可得图象在第一、三象限，y 随x的增大而减小.又因为x＞0，所以图象在第一象限.所以答案选择A.

考点五：反比例函数性质的应用

例7 如果两点P1（1，y1）和P2（2，y2）都在反比例函数的图象上，那么().

A.y2＜y1＜0 B.y1＜y2＜0

C.y2＞y1＞0 D.y1＞y2＞0

分析：利用函数及其图象比较数的大小，主要有三种方法：（1）直接把两个点的坐标代入函数关系式，求出相应的y值来比较数的大小；（2）在函数图象上描出各点，再根据各点的位置高低来比较数的大小；（3）利用函数的增减性来比较数的大小.

根据反比例函数图象的增减性，2＞1＞0，故选择D.

考点六：利用反比例函数解决实际问题

例8某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地.为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道.木板对地面的压强P(Pa)是木板面积S(m2)的反比例函数，其图象如下图所示.

（1）请直接写出这一函数表达式和自变量的取值范围；

（2）当木板面积为0.2 m2时，压强是多少？

（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少要多大？

分析：本题与物理知识相结合，难度不大.关键是要会利用建立起来的反比例函数解决问题.

解：（1）设P＝(k≠0).根据点A(1.5，400)，得400＝，解得k＝600，所以 P＝.自变量取值范围是S＞0.

（2）当S＝0.2时，P＝＝3000.即当木板面积为0.2 m2时，压强是3000Pa.

（3）由题意知，P＝≤6000，解得S≥ 0.1，即木板面积至少要有0.1 m2.

考点七：考查一次函数与反比例函数图象的交点问题

例9直线y＝k1x＋b与双曲线y＝只有―个交点A(1，2)，且与x轴、y轴分别交于B，C 两点.AD垂直平分OB，垂足为D，求直线、双曲线的解析式.

分析：这是一道一次函数与反比例函数相结合的题目，解答这个题目时，我们根据交点就可以马上求出反比例函数的关系式，再结合其它条件，列出方程组，便可求出直线的解析式.

解：因为点A（1，2）在y＝上，所以2＝，有k2＝2，故双曲线的解析式为y＝.因为AD垂直平分OB，OD＝1，因此OB＝2OD＝2，故B点坐标为（2，0）.因为A（1，2），B（2，0）在直线上，所以，解得 ，故直线解析式为.

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在中学数学学习中，反比例函数和一次函数是最重要的学习内容，也是学生学习的难点。反比例函数和一次函数是重要的数学模型，揭示了现实世界变量之间的关系，不仅一直是中考的热点题目，而且对于实际问题的解决有重要意义。关于反比例函数和一次函数的大小比较题目，是对它们知识点的综合运用。解答这类题目需要学生认真观察，做好分析，并且进行合理的推理。

二、教学目标

（一）知识与技能

1.掌握反比例函数和一次函数的交点问题

2.能够利用反比例函数和一次函数的特性进行大小比较

（二）数学思想

通过学习反比例函数和一次函数的大小比较，学会分析数学图形，树立数形结合的数学思想，提高学生独立分析、独立思考的能力。

（三）问题解决

掌握反比例函数和一次函数大小比较的基本方法，能够解决其他相关的题目。

（四）情感态度

培养学生结合图形，分析问题的能力，提高学生的学习兴趣和求知欲。

三、教学重点和难点

教学重点：反比例函数和一次函数的交点以及大小比较。

教学难点：反比例函数和一次函数的大小比较。

四、教法和学法分析

教法：数形结合法、问题引入教学法、比较教学法。

学法：画图、比较、探究的学习方法。

五、教学过程

（一）提出问题，引入新课

如图所示，反比例函数的图像y1= ，一次函数的图像y2=kx+b，两函数的图像相交于两点，A（2，3）以及B点，与x轴相交于一点C（8，0），求两个函数的解析式，并求当x的取值范围是什么，y1大于y2。

教师：（1）这道题目有什么特点？会用到过去学过的哪些知识？

（2）这个图形有什么特点？你能发现哪些东西？

（3）函数的解析式你们还记得吗？根据问题和图形，你们能不能找到解决问题的办法？

设计意图：教师问题的提出主要是让学生回忆过去学过的，关于反比例函数和一次函数的知识，回顾旧的知识，引入新知识的学习。并且试着让学生自己分析图形，根据图形独立思考，发挥学生的能动性，看能不能解决反比例函数和一次函数大小比较的问题。

分析解题：这是一道基础的综合应用题，根据学过的知识，可以使用待定系数法求函数，再通过图像确定自变量x的取值范围，数形结合可以使复杂的问题简单化。求出两个函数的表达式之后，确定两个函数的交点，根据图形解答问题。解题过程如下：

将相交的点A（2，3）带入反比例函数中，可以算出反比例函数的系数m=6，已知A点和C点的坐标，（2，3）（8，0），将它们分别带入一次函数方程式中可以得到2k+b=38k+b=0，通过求解可以得到k=- ，b=4，将所有求得的未知数带入两个函数方程式中，可以得到y1= ，y2=- x+4，通过交点的特征可以求出B点的坐标为（6，1），根据图像可得，所求x取值范围是x

（二）探索交流，学习新知识

教师：（1）同学们分组交流，根据以上的解题方法，在解决反比例函数和一次函数的大小比较问题上，最重要的解题思路是什么？

（2）反比例函数和一次函数有同号和异号的区别，它们的交点有什么特征？

设计意图：通过问题，让学生进行自由交流，自己总结知识要点。引出交点问题，学习新知识。

在解决反比例函数和一次函数的大小比较问题上，寻找交点是关键的解题过程。

如果反比例函数和一次函数的系数是同号时，两函数交点在第一象限和第三象限。如果两函数系数是异号，反比例函数的系数大于0，一次函数的系数小于0，如果相交，两交点都在第一或者第三象限；反比例函数的系数小于0，一次函数的系数大于0，如果相交，两交点都在第二或者第四象限。

（三）对知识进行梳理

在解决反比例函数和一次函数的大小比较问题上，借助图形是最好的解题方式，同时要牢记反比例函数和一次函数的基本性质，做到数形结合，画出图像寻找交点，准确观察画出的垂直于x轴的直线和四个象限区域的特点，再进行大小的判定，图像在上面的是大的，在下面的是小的。

（四）布置相关作业

结合本节课学习的内容，布置课本上的习题或者课外的习题作业，巩固学生的知识，查找知识学习中的不足，有针对性地进行下一步的复习。

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[关键词] 正反比例教学；数学教学；函数思想；小学生；培养方法

函数思想重视培养学生通过探寻变化规律的方式解答问题，让学生感受到事物间的内在联系。在日常数学教学中，重视渗透函数思想方法教育，不仅能够促进学生更容易、更透彻地认识和掌握数学知识，还能够帮助学生形成良好的思维品质，为后期发展打下坚实的基础。

一、函数思想概念解析

作为诸多数学思想的主要构成部分，函数思想主张以运动变化的观点和视角去分析问题，分析数量关系，借助类比或者转化等手段正确构建函数，并通过函数图像更高效地解决数学问题。尽管小学阶段并未明确函数，不过这并不意味着小学教材中没有涉及函数，没有体现函数思想。

其实在小学六年级下学期数学教材中就涉及并体现了函数思想――“正反比例关系”，它不仅是六年级下学期数学的教学重点和难点，亦是培养小学生形成函数思想的有效途径，它是衔接小学数学知识和初中数学知识的关键纽带。

二、依托正反比例教学培养小学生函数思想的方法

（一）抓住正反比例概念开展教学

“正反比例”向来是小学数学教学的一大难点，尽管同学们能够在教师的引导与讲解下学会计算，能够较为流利地说出正、反比例的意义和关系式，能够对其异同点进行区分，不过在实际应用中问题层出不穷，未真正掌握正、反比例的内在含义，亦未形成函数意识，导致解决实际问题时各种问题凸显。

对此，教师应基于小学生学习特征和认识思维能力，在备课环节认真研读课本，发现其中所蕴藏的数学思想，教师应该让学生正确认识和牢固掌握正反比例的概念和意义，能够运用其比例关系解决生活中实际存在的问题，要强化函数思想的渗透。

（二）通过实例教学向同学们渗透函数思想

正反比例关系式是带领同学们初步认识函数的良好方式，亦是导入函数概念的绝佳例子。小学六年级下册涉及了正反比例概念，笔者认为要想让学生理解并掌握这种非常抽象的概念关系并非易事，建议老师们在日常教学中采用实例教学来向同学们渗透函数思想，帮助他们形成正确的正反比概念。

1.正比例实例教学

例1. 一辆汽车由济南驶向北京，其行驶时间与路程之间所具有的关系如下表所示。

根据上表你发现了什么规律？

请按照发现的规律在上表空白区域填上相应数据。

例2.嘉怡文具店里出售一种钢笔，其销售数量和销售总额间所具有的关系如下表所示。

根据上表你发现了什么规律？

请按照发现的规律在上表空白区域填上相应数据。

2.反比例实例教学

例1. 在北京故宫游览的80名游客，准备分组活动，经商讨，共提出下述几个分组方案，具体参考下表。

根据上表你发现了什么规律？

请按照发现的规律在上表空白区域填上相应数据。

例2. 三年级二班40名学生排队做操，其行数和人数间的关系如下表所示。

根据上表你发现了什么规律？

请按照发现的规律在上表空白区域填上相应数据。

对于上述两组正反比例例题，笔者首先让同学们共同讨论并解决下述几个问题：表中存在哪两种变化的量？它们之间是如何变化的？任意选四组这两种相关联量中相对应的两个数，写成比，并求比值。观察写出的4个比值有什么关系，它们代表什么意思？在同学们完成讨论之后，可根据教学任务和教学目标从下述多个方面渗透并培养学生的函数思想：

（1）明确相关量

根据以上四个例题可知，时间和路程、数量和总价、组数与每组人数、行数与每行人数分别是两种关联的量，基于其各组对应值可知，在路程、总价、每组人数以及每行人数进行确定之后，其对应的时间、数量、组数以及行数也就随之确定了。总结来看，在两种变量中，如果其中一个变量发生变化，另一个量也会发生相应的变化，它们之间保持着密切的对应关系，此时可向同学们渗透函数思想即变量之间保持一一对应或者相依相存的关系。

（2）分析对应值

带领同学们对表中的对应值进行一一分析，首先分析正比例的两个实例：时间增加，路程亦相应增加；时间减少，路程亦相应减少，由此可知路程随着时间的变化而发生相应的变化。同理，数量增多，总价增多；数量减少，总价亦相应地减少，总价随着数量的变化而发生相应变化。然后对反比例的两个实例进行分析：每组人数增多，而组数却相应减少；反之，每组人数减少，组数却增多，由此可知组数随着每组人数的变化而发生相应变化。同理，每行人数增多，而行数却相应减少；反之，每行人数减少，行数却增多，由此可知行数随着每行人数的变化而发生相应变化。在这个过程中，可引导同学们以函数运动、规律变化、相互约束的视角和理念来审视并解决问题，让同学们体会到事物变化的内在关系，在培养并巩固其辩证唯物主义观点的基础上，形成正确的价值观。

（3）分析比值

引导学生仔细观察与分析，并结其变化规律：路程和时间（总价和数量）之比值是一定的，可通过其文字阐述写出关系表达式，即路程=时间×一定比值；总价=数量×一定比值。以此引导同学们形成正比例关系概念，并归纳出其意义；再带领同学们认识反比例变化规律：游客总人数是固定的，每组人数和组数的乘积一定；学生人数是固定的，每行人数和行数的乘积一定，可通过其文字阐述写出关系表达式，即每组人数×组数=游客总数（一定），每行人数×行数=学生总数（一定），以此引导同学们形成反比例关系概念，并归纳出其意义，引导同学们加强分析，自主发现其中所包含的规律变化，并通过表达式将其规律进行表达。

（4）根据变量关系绘制图形

例1.一辆汽车由济南驶向北京，其行驶时间与路程之间所具有的关系如下表所示。

从上述实例中选取一个正比例实例，要求同学们进行描点，将对应的点描在方格纸上，并将相邻点进行连接，以此观察所成图形特征。通过图形表达的方式阐述正比例关系，帮助学生形成直观的正比例概念，更好地体会和感知数量间的变化规律，进一步认识和了解函数思想。

函数思想是数学思想体系的重要组成部分，学生认识和掌握函数思想并非一朝一夕就能够实现，它是一个循序渐进的过程。小学教师在开展“正反比例”教学时，首先要在个人脑海中形成函数思想，科学把握所教内容，只有这样才能够促进学生形成函数思想，为提高数学素质夯实基础。

参考文献

[1]白志强.三角函数教学札记[J].现代技能开发，2000，（08）.

[2]阮伟强.二次函数教学断想[J].数学教学研究，2002，（03）.

[3]何国霞.数学思想在函数教学中凸现[J].河北理科教学研究，2006，（02）.

篇8

1.若分式 的值为零，则 的值是( )

A.0 B.1 C. D.

2.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )

A、7，24，25 B、 C、3，4， 5 D、

3、把分 式 中的 、 都同时扩大为原来的3倍，那么分式的值 ( )

A、扩大为原来的3倍 B、缩小为原来的

C、不变 D、扩大为原来的9倍

4.下列函数中，是反比例函数的是()

A、y=-2x B、y=- C、y=- D、y=-

5.若aby2时x 的取值范围(8分)

24、(10分)在ABC中，∠C=30°，AC=4cm,AB=3cm，求BC的长.

25. (本题满分 为10分)一个批发兼 零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上(不包括300支)，可以按批发价付款，购买300支 以下(包括300支)，只能按零售价付款 。小明来该店购买铅笔，如果 给八年级学生每人购买一支，那么只能按零售价付款，需用120元，如 果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需要120元。

(1)这个八年级的学生总数在什么范围内?

(2)若按批发价购买6支与按零售价购买5支的用款相同，那么这个学校八年级学生有多少人?

26.(12分)制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作.设该材料温度为y (℃)，从加热开始计算的时间为x(分钟).据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系;停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系(如图).已 知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃.

(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式;

(2)根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么操作时间是多少?

27、(14分)如图 ,点D在反比例函数 ( k>0)上,点C在 轴的正半轴上且坐标为(4，O)，ODC是以CO为斜边的等腰直角三角形.

⑴ 求反比例函数的解析式;

⑵ 点B为横坐标为1的反比例函数图象上的一点，BA、BE分别垂直 轴和 轴，垂足分别为点A和点E，连结OB，将四边形OABE沿OB折叠，使A点落在点A′处，A′B与 轴交于点F.求直线BA′的解析式.

附加压轴题

25、(10分)阅读材料：在平面直角坐标系中，已知 轴上两点 ， 的距离记作 ，如 ， 是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求 间距离，如图，过 分别向 轴， 轴作垂线， 和 ，垂足分别是 ， ， ， ，直线 交 于 ，在 中， .

，

.

由此得任意两点 间距离公式

(1)直接应用平面内两点间距离公式计算，点 之间的距离为 ;

(2)平面直角坐标系中的两点A(1,3)、B(4,1)，P为x轴上任一点，当PA+PB最小时，求点P的坐标和PA+PB的最小值;

篇9

【关键词】提高运算能力;成因分析;策略

学生的运算能力是数学教学的四基要求之一，种种原因，相当多的学生运算能力与课程标准要求有不同程度的差距，需要我们在课堂教学中加强运算能力的培养。

为什么学生运算能力目标难以达成呢？怎样进行教学才能更加有效的达成？带着上述两问题，笔者进行了归因分析并提出解决策略。

一、成因分析及应对策略

1.错误成因

在数学考试中，绝大多数考生都存在着不同程度的解题运算错误（或失误），这些错误除考生的心理因素外，产生这些典型错误的原因主要有以下五种：（1）审题不严谨导致解题错误;（2）运算能力应变能力欠缺导致解题运算错误;（3）数学基础知识理解的偏差导致解题运算错误;（4）数学方法使用及技巧不当导致解题运算错误;（5）思维过程不严谨导致解题运算错误。

2.应对策略

教师在教学中，需要重视对基础知识的落实;重视对运算能力与变形能力的提高;重视对思维严谨性的培养;重视对数学方法的归纳和基本题型的总结，形成公式及结论，使学生运算速度加快等。

学生在学习中，需要学生在平时的复习中，主动构建知识网络。夯实基础，体会基础知识中蕴含的基本方法;抓好“运算变形关”，在具体问题中寻求合理的运算与变形方案，同时要增强解决复杂问题的信心;养成严谨的思维习惯和审题习惯，要充分运用原有的已知条件，善于引申新的条件，注意蕴含条件的挖掘，使结论与条件建立联系;善于对基本题型的归纳与总结，掌握相应的解题方法等。

我在教学中实施周练训练，要求题量少（A4纸一页），题型是学生易错题及基本要掌握的练习，也可以一周因地制宜多练习。在练习课中当堂10分钟做完，再分析，反馈，当天学生订正错题。这样做的优点是：其一，可以将有些习题归纳变成公式记忆，解题速度加快;其二，有利于学生深层次学习，使学生能对知识重新组织，重新认识，引导学生能更进一步的思考与探究，即由：“问题解决”过渡到“数学思维”。在下一周反思，讨论，修改，能达到“做一题，会一片，懂一法，长一智”。 （下转第4页）

（上接第3页）

二、典例剖析

题型一：函数基本概念

例1.已知反比例函数y=―8x的图象经过点P（a+1，4），则a=____。

解析：y=-8x xy=8，又图像过点P （a+1）×4=8， a=1

分析：本题考查反比例函数的概念，解析式进行变式，转化成方程思想解题。

点评：一般解法利用代入法求解，有的学生速度慢，有的学生代入到解析式中，把x错看成y代入，有的学生在计算中尤其是碰到分数时经常算错。因此可以把解析式转变成xy=k的形式易解，概念重新建构体会基础知识中蕴含基本方法，达到运算准确目的。

教学建议：在教学中加强概念的教学和知识点落实，同时渗透数学思想和方法，在教学过程中学生能领悟，另外学生中“看错、想错、算错、写错、抄错”的现象大量存在，因此提高学生的计算能力显得尤为重要，养成良好审题习惯、书写习惯和回头看习惯，平时循序渐进点播，尝试、反思、落实。

题型二：函数图像与性质问题

例2.如图1，点P在反比例函数 （x>0）的图象上，且横坐标为2。若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点P′.则在第一象限内，经过点P′的反比例函数图象的解析式是（ ）

分析：本题考查反比例函数的概念，图像平移变换知识。考查数形结合思想。

点评：在本类型的解答过程中，其主要错误与原因是：审题不到位，难于理解函数概念、不能看出函数性质，造成不会数形结合去分析，p在图像中显现，不知道意图;又由于平移知识掌握不到位，数学基础知识掌握的缺漏导致错误。

教学建议：由于学生难于理解函数概念、不能看出函数性质的主要原因是：学生不能把抽象的函数解析式形式与具体的图像形式相结合、互相联系、相对理解。因此，数形结合思想，在函数中尤为重要，从图像中获取有用的信息解决问题。在教学中通过精选例题（同类题型）教师引导，让学生之间自己说，自己评价，在体验过程中学生思维严谨上得到加强理解和掌握，提高了学生的运算能力。

题型三：函数与方程与不等式问题

例3.如图2，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=2x的图像，则关于x的方程kx+b=2x的解为（ ）

A.xl=1，x2=2 B.xl=-2，x2=-1

C.xl=1，x2=-2 D.xl=2，x2=-1

解析：由图像可知，一次函数y=kx+b与反比例函数y=2x的图像有两个交点，交点既满足y=kx+b这个方程，又满足y=2x方程，因此，kx+b=2x的解就是两个交点的横坐标xl=1，x2=-2，所以选C。

分析：考查了函数、方程、不等式结合的知识点，两图像的交点问题就可以转化成由这两条图像的解析式组成的二元一次方程组的解。如何把函数问题转化成方程问题就得到解决。

点评：学生由于对函数、方程、不等式之间联系理解困难，想不到利用数形结合思想解，对知识点多，难，模糊而产生运算错误。

教学建议：对重要的数学思想方法要在问题解决的过程中得到强化，要深入在问题的解决过程中。在解题分析时，多让学生在黑板上自己分析解法，学生愿意听学生分析，更会激发学生之间思维火花，提高学习兴趣，开拓学生思维，可以达到捷径，快而对。

题型四：函数与几何问题

例4.如图3，反比例函数y=kx（x>0）的图像经过矩形OABC的对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E。若四边形ODBE的面积为6，则k的值为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4 解析：过点M作MGy轴于点G，作MNx轴于点N，则SONMG=|k|，因为反比例函数y=kx的图像经过矩形OABC的对角线的交点M，

设M（x，kx），OMN面积=k2，

矩形OABC面积=4k，同理OAD，OCE面积也是k2，

又四边形ODBE面积为6，4k=6+k2+k2，k=2选B。

分析：本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|。并考查了数形结合思想。

点评：学生运算错误原因是学生如何将函数问题转化成几何问题的切入点找不到，反比例函数系数k的几何意义不够理解，学生不能在实际应用中运用。思维过程不严谨导致解题运算错误。

教学建议：反比例函数系数k的几何意义在中考应用较多，但也是学生的难点。如何抓住关键数字、句子，找到问题解决的切口，这需要我们给学生足够时间去读、理解题意，而不要压缩解题过程前的审题过程，同时走到学生的错误误区，去寻找学生错误根源，在今后教学中收集此典例，去找策略，提高学生运算的准确度。

【参考文献】

[1]《义务教育新课标》（2011修改版）

[2]钱德春.《如何提高初中学生“数感”》2014《中学数学教学》9月中旬

篇10

4.已知k > 0，则函数 与函数 的大致图象是图1中的（ ）。 5.如果点A(－1， )、B(1， )、C(2， )是反比例函数 图象上的三个点，则下列结论正确的是（ ）。A、 > > B、 > > C、 > > D、 > > 6、直角三角形 的两条直角边分别是6和8，则这三角形斜边上的高 是（ ） A、4.8 B、5 C、3 D、17、如图（ 3），ABC中，BC=10，DH为AB的中垂线，EF垂直平分AC，则ADE的周长是（ ）A、6 B、8 C、10 D、128、某超 市一月份的营业额为200万元，三月份 的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ） A、 B、 C、 D、 9．下列判定正确的是 （ ）A 对角线互相垂直的四边形是菱形 B两角相等的四边形是梯形C四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形10.正比例函数 与反比例函数 的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（3，2），那么点 B的坐标为（ ）。A、（－3，－2） B、（－3，2） C、 （－2，－3） D、（2，3）二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分11.如图2，P是反比函数 的图象上的一点，PAx轴，则PAO的面积是________________。12、由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的三种视图中，面积的是______（A、主视图 B、左视图 C、俯视图）13、在同一直角坐标系中，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象有公共点，则 0（填“＞”、“=”或“＜”）.14、把方程 化成一般形式是_____________15、如图，在RtABC中，D为斜边AB的中点，若AC=4cm，BC=3cm，则CD=_________16、顺次连接任意四边形各边的中点，得到的四边形是__________________

三、解答题17、列方程解应用题：某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出5件。若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？

18．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE = AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为 ，求正方形边长；

19．如图AD是ABC边BC边上的高线，E、F、G分别是AB、BC、AC的中点，求证：四边形EDGF是等腰梯形； 20．如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于 ， 两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．