八年级数学题范文
时间：2023-03-13 15:34:59
导语：如何才能写好一篇八年级数学题，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。
篇1
[关键词]八年级学生；数学；学习
八年级是整个初中阶段的最关键的学年。八年级的学生正处于从少年期向青年期发展的过渡阶段，其生理和心理处于急剧变化的状态，心理特点很不稳定。因此，这一时期的学生，很容易在班内出现跨度大的“两极分化”。拔尖的学生不仅思想端正，且学习成绩优良。而一部分后进生则表现出对学习任务的极大不满，情绪、行为都开始与教育者产生“抵制”状态。如何逆转这种跨度大的“两级分化”问题成为每个八年级数学老师面临的重要问题。
一、原因分析
1.教材内容加深，难度增大。七年级的数学为了衔接小学阶段的内容，一些简单的有理数加减法、绝对值等，学生比较容易接受和掌握，他们时刻有一种优越的胜利感，学习数学的兴趣也比较高。到了八年级以后，勾股定理、图形的平移与旋转、解方程、函数等，教材内容突然加深，难度增大，使他们本来的胜利感一步步被难题击退，由此，有一部分学生便失去了对学习数学的兴趣和信心。
2.学生心理特点，情绪影响。八年级的学生，有好奇、好问、好胜、好动的特点。由于知识难度的增大，一部分学生好奇、好问、好胜的特点便被强烈的自卑感所掩盖，反而对数学产生一种消极的情绪体验，由此，好动的特点便开始彰显。对前段知识的不理解，造成对教学课堂的懈怠和厌倦，小动作、开小差也逐渐增多。
3.教师处理不当，沟通不够。中学的数学课堂，一些冗繁的知识结构较复杂，上课时，教师往往注重知识的教授，教学方法缺乏趣味和艺术性，忽视了学生的情感体验。学生在心底不能带着浓厚的兴趣关注课堂，也便慢慢失去了对学习数学的强烈要求。
二、解决问题的对策
（一）首抓教师，提炼自身素养
1.针对学生的心理特点，要充分发挥教师的主导作用，在课堂中，调动学生的学习主动性和积极性。2.教学方法要勇于创新，尽量挖掘教材中有趣的因素，根据学生的学习习惯，科学、合理的设计独特的教案，确定教法，联系实际，不仅备教案，更要备学生。实现教与学的统一，采取灵活多样的教学方法，尽量让课堂气氛活跃起来。3.沟通、了解学生，融洽师生关系。
（二）重抓学生，开展有效教学
1.授人以渔，教会学习方法。教会学生如何学习数学的方法，才是学生得益一生的有效措施。数学是一门抽象的学科，数学公式的发现推导，数学题目的解答论证，应给学生观察的充分时间。数学公式的提出与概括，题目解答的思路与方法寻找，问题的辨析，知识的联系与结构，也应引导学生多思考。课堂教学中，多提供学生讨论的机会，通过讨论，学生间可充分发表自己的见解，达到交流进而共同提高的效果。
2.精讲精练，提高课堂效率。在课堂中，对所学的精要部分，要善于启发和点拨，引导学生积极主动地进行观察、思考、操作、交流、归纳等，为学生提供充分从事数学活动的机会。在练习过程中，设计由难到易、逐步加深的梯度习题，坚持少而精的原则，题目设计注重“三性”，即基础性、变式性、开放性，让不同层次的学生在数学上得到不同程度的发展。所学的知识通过精练得以巩固，数学知识的应用能力通过精练得到提高。
3.频开“小灶”，适时进行补差。由于学生的基础和接受能力的差异，教师除了在课堂上对重点、难点精讲多练以外，还要根据实际情况采取个别答疑与集体评讲相结合、及时查漏补缺与阶段复习巩固相结合等方法。不失时机地热心补差，是完全可以抓出成效的。事实也证明，补差是教学质量全面提高的重要环节。
篇2
1. 小明的作业本上有以下题目:① =4a2;② ・ =
5a;③a==;④-= .做错的题是( ).
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
2. 从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1),然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2),上述操作所能验证的等式是
( ).
A. a2 - b2 =(a+b)(a -b)
B. (a - b)2 = a2-2ab+b2
C. (a +b)2= a2 +2ab +b2
D. a2 + ab= a(a+b)
3. 如图3,在底面周长为12,高为8的圆柱体上有A､B两点,则A､B两点的最短距离为().
A. 4 B. 8
C. 10 D. 5
4. 如图4,矩形内有两个相邻的正方形,面积分别是a2和9,那么图中阴影部分的面积为().
A. 3a+9 B. 3a-9
C. a2-9 D. 3a-3
5. 图5的4个图形中,是中心对称图形的是().
A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④
6. 下列是因式分解的是().
A. a2-a+1=a(a-1)+1
B. x2-4y2=(x+4y)(x-4y)
C. x2y2-1=(xy+1)(xy-1)
D. x2+y2=(x+y)2
7. 如图6,A′B′C′ 是由ABC绕点P通过旋转得到的,若线段 AA′长度为 a,点A在旋转过程中所经过的路程为b,则a､b的大小关系为().
A. ab
C. a=b D. a､b 的大小关系不确定
8. 如图7,ABCD是一张矩形纸片,点O为矩形对角线的交点.直线MN经过点O交AD于点M,交BC于点N.先沿直线MN剪开,并将直角梯形MNCD绕点O旋转一个角度后,恰与直角梯形MNBA完全重合;再将重合后的直角梯形MNCD以直线MN为轴翻转,此时所得到的图形是().
9. 有下列说法:①平行四边形的一组对边平行且另一组对边相等;②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形;③菱形的对角线互相垂直;④对角线互相垂直的四边形是菱形.其中正确的说法有
().
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
10. 数学课上,老师让同学们观察图8所示的图形,问:它绕着圆心O旋转多大角度后和它自身重合?甲同学回答45°;乙同学回答60°;丙同学回答90°;丁同学回答135°.以上4位同学的回答中,错误的是().
A. 甲 B. 乙
C. 丙 D. 丁
二､填空题(每题3分,共24分)
11. 用计算器探索:已知按一定规律排列的一组数1, , ,…, ,如果从中选出若干个数,使它们的和大于3,那么至少需要选
个数.
12. 某同学学习了编程后,写了一个关于实数运算的程序,当输入一个数值后,屏幕输出的结果总比该数的平方大1.若该同学按此程序输入 后,把屏幕输出的结果再次输入,则最后屏幕输出的结果为.
13. 如图9,网格中每个小正方形的边长为1,则ABC中,边长为无理数的边数是.
14. 如图10,长方形纸片ABCD,沿折痕AE折叠,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8,SABF =24,则EC的长为.
15. 如果x2+6x+k2恰好是另一个整式的平方,则k的值为.
16. 如图11,在小方格的边长为1的方格纸中,将正方形ABCD先向右平移2格,再向下平移3格,得到正方形A′B′C′D′,则在正方形ABCD平移到正方形A′B′C′D′的过程中,所经过或覆盖区域的面积为.
17. 多项式4x2+1加上一个单项式后,能成为一个整式的完全平方式,那么所添加的单项式可以是.
18. 如图12,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′,图中阴影部分的面积为.
三､解答题(共66分)
19. (10分)因式分解:(1)36a2-(a2+9)2.
(2)(x2-2x)2-2x(2-x)+1.
20. (8分)化简求值:
a+b2-a-b22a-bb+2ab2+4a2(其中a=-1,b=2).
21. (9分)如图13,网格中每个小正方形的边长均为1.在AB的左侧,分别以ABC的三边为直径作3个半圆围成图中的阴影部分.
(1)图中ABC是什么特殊三角形?
(2)求图中阴影部分的面积.
(3)作出阴影部分关于AB所在直线的对称图形.
22. (9分)图14的方格中是美丽可爱的小金鱼,在方格中分别画出原图形向右平移5格和把原图形以点A为旋转中心顺时针方向旋转90°得到的小金鱼(只要求画出平移､旋转后的图形,不要求写出作图步骤和过程).
若每个小方格的边长均为1 cm,则小金鱼所占的面积为cm2 (直接写出结果).
23. ( 8分)如图15, ABCD中,E､F为对角线BD上的点,且BE = DF.小明说:“四边形AECF是平行四边形.”小东说:“你说的对,若点E在DB的延长线上,点F在BD的延长线上,且BE = DF,得到的四边形AECF也是平行四边形.”小东的说法有道理吗?请画出图形,并给出说明.
24. (12分)如图16,在ABC中,AB = AC,将ABC沿CA方向平移CA的长,得EFA.
(1)若ABC的面积为3 cm2,求四边形BCEF的面积.
(2)试猜想AF与BE有何关系.
(3)若∠BAC = 60°,求∠FEB的大小.
25. (10分)如图17,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥DC.由4个这样的等腰梯形可以拼出图18所示的平行四边形.
(1)求四边形ABCD 4个内角的大小.
篇3
姓名:________
班级:________
成绩:________
小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的!
一、填空题。
(共21题；共56分)
1.
（2分）实验小学有男生950人，女生800人。
男生比女生多多少人？
_______答：男生比女生多_______人。
2.
（2分）比600多84的数是_______，600比84多_______。
3.
（10分）在里填上“＞”、“=”或“＜”。
（1）4＋4
7
（2）10－3
6
4.
（3分）看图列式计算。
_______＋_______＝_______
5.
（5分）将14290000、1300000000、900000000、4230000这几个数改写成以“万”或“亿”为单位的数，并且按从小到大的顺序排列。
改写：_______ _______ _______ _______
从小到大排序：_______
6.
（1分）比最小的五位数少1的数是_______。
7.
（2分）2007年我国在校小学生128226200人，读作_______，改写成“亿”作单位，并保留一位小数是_______亿人．
8.
（2分）4
0300
5000读作_______．二千零六十亿零九万写作_______．
9.
（1分）
8个小朋友排成一行唱歌，从左往右数，小红是第5个，从右往左数，小红是第_______个。
10.
（1分）4个一和1个十组成_______。
11.
（3分）在数位顺序表中，从右边起第一位是_______位，十位在第_______位，千位在第_______位。
12.
（5分）
这些图形中有_______个正方形，_______个长方形，_______个三角形，_______个圆和_______个平行四边形。
13.
（1分）根据图片，列式为_______
14.
（6分）填“>”“
8米_______80厘米
7cm_______1m
5+5_______5×5
9元_______ 79角
81÷9_______3×3
4元2角_______ 24角
15.
（2分）9个百和1个百合起来是_______个百，是_______。
16.
（1分）从10数到20，5个5个地数：10、15、_______
17.
（1分）在如图所示的数表中，第100行左边的第一个数是_______ ．
18.
（1分）计算
530-321=_______
19.
（2分）填表
24
_______
32
36
_______
44
20.
（2分）淘气按照一定的规律写数：+101，+102，﹣103，+104，+105，﹣106，+107，+108，﹣109…，当淘气写完第100个数后，淘气一共写了_______个正数，写了_______负数．
21.
（3分）_______+9=15
13-_______=10
8+_______=12
二、综合题。
(共1题；共3分)
22.
（3分）画图，并填空
（1）
_______；4+_______=7
（2）画
，
比
多5个。
_______
三、解答题。
(共7题；共29分)
23.
（5分）看图回答
24.
（5分）划走了几只？
25.
（3分）看图回答
方法1：
8＋8=16
16＋8=24
24＋8=32
32＋8=40
40＋8=48
方法2：
8＋8=16
16＋16=32
32＋16=48
方法3：
8＋8=16
16＋8=24
24＋24=48
9＋9＋9＋9＋9＋9
用三种方法做！
方法1：_______
方法2：_______
方法3：_______
26.
（5分）看图列式
=
27.
（5分）上山和下上一共走了多少米？
28.
（1分）19枝铅笔，卖出7枝，还剩下多少枝?
列式计算：
答：还剩下_______枝。
29.
（5分）
买一把
，付出50元，
找他38元，一把
多少钱？
参考答案
一、填空题。
(共21题；共56分)
1-1、
2-1、
3-1、
3-2、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、
21-1、
二、综合题。
(共1题；共3分)
22-1、
22-2、
三、解答题。
(共7题；共29分)
23-1、
24-1、
25-1、
26-1、
27-1、
篇4
一、选择题：
1．要使二次根式有意义，则x应满足（）
A．x≥3B．x＞3C．x≥﹣3D．x≠3
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故选A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，是一个基础题，需要熟练掌握．
2．下列方程是一元二次方程的是（）
A．x﹣3=2xB．x2﹣2=0C．x2﹣2y=1D．
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】A、x﹣3=2x是一元一次方程，故此选项错误；
B、x2﹣2=0是一元二次方程，故此选项正确；
C、x2﹣2y=1是二元二次方程，故此选项错误；
D、+1=2x，是分式方程，故此选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3．下列运算中，结果正确的是（）
A．=±6B．3﹣=3C．D．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】根据二次根式的性质、加法、乘法、除法法则逐一计算后即可判断．
【解答】解：A、=6，此选项错误；
B、3﹣=2，此选项错误；
C、×=，此选项错误；
D、==，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．在一次献爱心的捐赠活动中，某班45名同学捐款金额统计如下：
金额（元）20303550100
学生数（人）51051510
在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是（）
A．30，35B．50，35C．50，50D．15，50
【考点】众数；中位数．
【分析】根据众数、中位数的定义，结合表格数据进行判断即可．
【解答】解：捐款金额学生数最多的是50元，
故众数为50；
共45名学生，中位数在第23名学生处，第23名学生捐款50元，
故中位数为50；
故选C．
【点评】本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是熟练掌握众数及中位数的定义．
5．下列二次根式中的最简二次根式是（）
A．B．C．D．
【考点】最简二次根式．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可．
【解答】解：A、=2，故不是最简二次根式，本选项错误；
B、=2，故不是最简二次根式，本选项错误；
C、=，故不是最简二次根式，本选项错误；
D、是最简二次根式，本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断．
6．将方程x2+4x+3=0配方后，原方程变形为（）
A．（x+2）2=1B．（x+4）2=1C．（x+2）2=﹣3D．（x+2）2=﹣1
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】把常数项3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方．
【解答】解：移项得，x2+4x=﹣3，
配方得，x2+4x+4=﹣3+4，
即（x+2）2=1，
故选A．
【点评】本题考查了解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上一个月增长的百分数相同，则每月的平均增长率为（）
A．10%B．15%C．20%D．25%
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】利用关系式：一月份的营业额×（1+增长率）2=三月份的营业额，设出未知数列出方程解答即可．
【解答】解：设这两个月的营业额增长的百分率是x．
200×（1+x）2=288，
解得：x1=﹣2.2（不合题意舍去），x2=0.2，
答：每月的平均增长率为20%．
故选：C．
【点评】此题考查一元二次方程的应用；得到三月份营业额的关系式是解决本题的关键．
8．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1=0，下列说法正确的是（）
A．当k=0时，方程无解
B．当k=1时，方程有一个实数解
C．当k=﹣1时，方程有两个相等的实数解
D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解
【考点】根的判别式；一元一次方程的解．
【分析】利用k的值，分别代入求出方程的根的情况即可．
【解答】解：关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1=0，
A、当k=0时，x﹣1=0，则x=1，故此选项错误；
B、当k=1时，x2﹣1=0方程有两个实数解，故此选项错误；
C、当k=﹣1时，﹣x2+2x﹣1=0，则（x﹣1）2=0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；
D、由C得此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，代入k的值判断方程根的情况是解题关键．
9．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3=0有两相异实根，则k的取值范围是（）
A．k＜B．k＜且k≠1C．0＜k＜D．k≠1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】计算题．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k﹣1≠0且=（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＞0，然后解两个不等式即可得到满足条件的k的范围．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且=（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＞0，
所以k＜且k≠1．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式=b2﹣4ac：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
10．若α，β是方程x2﹣2x﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（）
A．10B．9C．8D．7
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系得到α+β=2，αβ=﹣2，再利用完全平方公式变形得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得α+β=2，αβ=﹣2，
所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣2）=8．
故选C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
二、填空题：（本题有10小题，每小题3分，共30分）
11．当x=2时，二次根式的值是1．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】计算题．
【分析】把x=2代入二次根式后利用二次根式的性质化简即可．
【解答】解：当x=2时，==1．
故答案为1．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，注意结果为最简二次根式或整式．
12．方程x2﹣1=0的根为x1=1，x2=﹣1．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【分析】直接利用开平方法解方程得出答案．
【解答】解：x2﹣1=0
则x2=1，
解得；x1=1，x2=﹣1．
故答案为：x1=1，x2=﹣1．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
13．已知关于x的方程x2+kx+3=0的一个根为x=3，则k为﹣4．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=3代入已知方程列出关于k的一元一次方程，通过解该方程求得k的值．
【解答】解：依题意得：32+3k+3=0，
解得k=﹣4．
故答案是：﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
14．甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.5环，方差分别是S甲2=0.90平方环，S乙2=1.22平方环，在本次射击测试中，甲、乙两人中成绩较稳定的是甲．
【考点】方差．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，比较出甲和乙的方差大小即可．
【解答】解：s甲2=0.90，S乙2=1.22，
s甲2＜s乙2，
成绩较稳定的是甲．
故答案为：甲．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
15．已知数据2，3，4，4，a，1的平均数是3，则这组数据的众数是4．
【考点】众数；算术平均数．
【分析】根据平均数和众数的概念求解．
【解答】解：这组数据的平均数为，
=3，
解得：x=4，
则众数为：4．
故答案为4．
【点评】本题考查了平均数和众数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
16．下列二次根式，不能与合并的是②（填写序号即可）．
①；②；③．
【考点】同类二次根式．
【专题】计算题．
【分析】先把各二醋很式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义判断哪些二次根式与为同类二次根式即可．
【解答】解：==2，==4，==3，
所以、与为同类二次根式，它们可以合并．
故答案为②．
【点评】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
17．同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园“六•一”前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2m，滑梯AB的坡比是1：2，则滑梯AB的长是米．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】根据坡比求出BC，在RtABC中，根据勾股定理可求出斜边AB的长度．
【解答】解：由题意知，AC：BC=1；2，且AC=2，故BC=4．
在RtABC中，，
即滑梯AB的长度为米．
【点评】此题主要考查学生对坡度的掌握及勾股定理的运用能力．
18．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为1米．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．
【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）=532，
整理，得x2﹣35x+34=0．
解得，x1=1，x2=34．
34＞30（不合题意，舍去），
x=1．
答：小道进出口的宽度应为1米．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为532m2找到正确的等量关系并列出方程．
19．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是﹣1．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．
【解答】解：关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，
x=0满足该方程，且a﹣1≠0．
a2﹣1=0，且a≠1．
解得a=﹣1．
故答案是：﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
20．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形周长是13．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．
【解答】解：x2﹣6x+8=0，
（x﹣2）（x﹣4）=0，
x﹣2=0，x﹣4=0，
x1=2，x2=4，
当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，
当x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是确定第三边的大小，三角形的两边之和大于第三边，分类讨论思想的运用，题型较好，难度适中．
三、解答题（共5题，共40分）
21．计算
（1）
（2）．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用平方差公式和二次根式的性质计算．
【解答】解：（1）原式=4﹣3﹣2
=﹣；
（2）原式=3﹣1﹣3
=﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
22．解下列方程
（1）x2﹣4x=0
（2）x2﹣6x+8=0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x=0，
x（x﹣4）=0，
x=0，x﹣4=0，
x1=0，x2=4；
（2）x2﹣6x+8=0，
（x﹣2）（x﹣4）=0，
x﹣2=0，x﹣4=0，
x1=2，x2=4．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
23．A，B，C三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用了两种方式进行了统计，如表和图一：
ABC
笔试859590
口试8085
（1）请将表一和图一中的空缺部分补充完整．
（2）竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图二（没有弃权票，每名学生只能推荐一个），请计算每人的得票数．
（3）若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选．
【考点】加权平均数；扇形统计图；条形统计图．
【专题】图表型．
【分析】（1）结合表一和图一可以看出：A大学生的口试成绩为90分；
（2）A的得票为300×35%=105（张），B的得票为300×40%=120（张），C的得票为：300×25%=75（张）；
（3）分别通过加权平均数的计算方法计算A的成绩，B的成绩，C的成绩，综合三人的得分，则B应当选．
【解答】解：（1）A大学生的口试成绩为90；补充后的图如图所示：
ABC
笔试859590
口试908085
（2）A的票数为300×35%=105（张），
B的票数为300×40%=120（张），
C的票数为300×25%=75（张）；
（3）A的成绩为=92.5（分）
B的成绩为=98（分）
C的成绩为=84（分）
故B学生成绩，能当选学生会主席．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，在所给网格中按下列要求画出图形：
（1）已知点A在格点（即小正方形的顶点）上，画一条线段AB，长度为，且点B在格点上；
（2）以上题中所画线段AB为一边，另外两条边长分别是3，2，画一个三角形ABC，使点C在格点上（只需画出符合条件的一个三角形）；
（3）所画的三角形ABC的AB边上高线长为（直接写出答案）
【考点】勾股定理．
【专题】作图题．
【分析】（1）根据勾股定理可知使线段AB为直角边为2和1的直角三角形的斜边即可；
（2）作出另外两条边长分别是3，2的三角形ABC即可；
（3）根据三角形的面积公式即可得到所画的三角形ABC的AB边上高线长．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）三角形ABC的AB边上高线长为：×3×2×2÷
=3×2÷
=．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理、此题要读懂题目要求，设计画图方案也比较灵活，目的培养学生运算能力，动手能力．
25．诸暨某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售20+2x件，每件盈利40﹣x元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】（1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价﹣进价，列式即可；
（2）根据：总利润=每件利润×销售数量，列方程求解可得；
（3）根据（2）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得．
【解答】解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售20+2x件，每件盈利40﹣x元，
故答案为：（20+2x），（40﹣x）；
（2）根据题意，得：（20+2x）（40﹣x）=1200
解得：x1=20，x2=10
答：每件童装降价20元或10元，平均每天赢利1200元；
（3）不能，
（20+2x）（40﹣x）=2000此方程无解，
故不可能做到平均每天盈利2000元．
【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键．
26．已知实数a满足|2012﹣a|+=a，则a﹣20122=2013．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得a﹣2013≥0，进而可得a≥2013，然后再根据绝对值的性质可得a﹣2012+=a，整理可得=2012，然后再两边进行平方即可．
【解答】解：a﹣2013≥0，
a≥2013，
|2012﹣a|+=a，
a﹣2012+=a，
=2012，
a﹣2013=20122，
a﹣20122=2013，
故答案为：2013．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
27．（2016秋•昌江区校级期末）若方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的三个根可以作为一个三角形的三边之长，则m的取值范围：＜m≤1．
【考点】根与系数的关系；解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．
【专题】计算题．
【分析】先根据因式分解法得到x﹣1=0或x2﹣2x+m=0，设x2﹣2x+m=0的两根为a、b，根据判别式和根与系数的关系得到=4﹣4m≥0，a+b=2，ab=m＞0，解得0＜m≤1．
【解答】解：（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0，
x﹣1=0或x2﹣2x+m=0，
原方程的一个根为1，
设x2﹣2x+m=0的两根为a、b，
则=4﹣4m≥0，a+b=2，ab=m，
又|a﹣b|==＜1，
4﹣4m＜1，
解得m＞，
＜m≤1．
故答案为：＜m≤1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
28．已知，，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，则a的值等于﹣9．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】观察已知等式可知，含有m2﹣2m，n2﹣2n的结构，可以将已知条件移项，平方即可．
【解答】解：由m=1+，得（m﹣1）2=2，
即m2﹣2m=1，故7m2﹣14m=7，
同理，得3n2﹣6n=3，
代入已知等式，得（7+a）（3﹣7）=8，
解得a=﹣9．
【点评】本题考查了二次根式的灵活运用，直接将m、n的值代入，可能使运算复杂，可以先求部分代数式的值．
29．一次选拔考试的及格率为25%，及格者的平均分数比规定的及格分数多15分，不及格者的平均分数比规定的及格分数少25分，又知全体考生的平均分数是60分，求这次考试规定的及格分数是多少？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】应用题．
【分析】本题中的相等关系是：及格的总得分+不及格的总得分=全体考生的总分，根据此关系列方程求解．
【解答】解：设考生人数为a人，及格分数为x分．
则：25%a（x+15）+75%a（x﹣25）=60a
解得：x=75．
答：这次考试规定的及格分数是75分．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
30．（2015•蓬安县校级自主招生）已知ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC=5．
（1）k为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形？
（2）k为何值时，ABC是等腰三角形？并求此时ABC的周长．
【考点】勾股定理；根与系数的关系；等腰三角形的性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）先解方程可得x1=k+1，x2=k+2，若ABC是直角三角形，且BC是斜边，那么有（k+1）2+（k+2）2=52，易求k，结合实际意义可求k的值；
（2）由（1）得x1=k+1，x2=k+2，若ABC是等腰三角形，则x1=BC或x2=BC，易求k=4或3，再分两种情况求周长．
【解答】解：（1）根据题意得
[x﹣（k+1）][x﹣（k+2）]=0，
解得，x1=k+1，x2=k+2，
若ABC是直角三角形，且BC是斜边，
那么有（k+1）2+（k+2）2=52，
解得k1=2，k2=﹣5（不合题意舍去），
k=2；
（2）①如果AB=AC，=（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）=0
4k2+12k+9﹣4k2﹣12k﹣8=1≠0，
不可能是等腰三角形．
②如果AB=5，或者AC=5
x1=5，52﹣（2k+3）×5+k2+3k+2=0
k2﹣7k+12=0
（k﹣4）（k﹣3）=0
k=4或者k=3（都符合题意）
k=4时：
x2﹣11x+30=0
（x﹣5）（x﹣6）=0，AB=5，AC=6，周长L=5+5+6=16，
k=3时：
x2﹣9x+20=0
（x﹣4）（x﹣5）=0，AB=4，AC=5，周长L=4+5+5=14．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定、解方程．解题的关键是注意分情况讨论．
31．设直线nx+（n+1）y=（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为Sn（n=1，2，…2014），则S1+S2+…+S2014的值为．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】规律型．
【分析】依次求出S1、S2、Sn，就发现规律：Sn=，然后求其和即可求得答案．注意=﹣．
【解答】解：直线nx+（n+1）y=，
y=﹣x+，
当n=1时，直线为y=﹣x+，
直线与两坐标轴的交点为（0，），（，0），
S1=××==1﹣；
当n=2时，直线为y=﹣x+，
直线与两坐标轴的交点为（0，），（，0），
S2=××=×=﹣；
当n=3时，直线为y=﹣x+，
直线与两坐标轴的交点为（0，），（，0），
S3=××=﹣；
…，
Sn=﹣，
S1+S2+S3+…+S2014=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意找出规律是解答此题的关键．
32．甲、乙、丙三位同学进行立定跳远比赛，每人轮流跳一次称为一轮，每轮按名次从高到低分别得3分、2分、1分（没有并列名次）．他们一共进行了五轮比赛，结果甲共得14分；乙第一轮得3分，第二轮得1分，且总分最低．那么丙得到的分数是9分．
【考点】整数问题的综合运用．
【专题】推理填空题；方案型．
【分析】甲共得14分．那么甲应是4次都得分3分，一次得2分，乙第一轮得3分，第二轮得1分，那么剩下的分数只有4个2分，4个1分．丙的5场比赛成绩是得4个2分，一个1分，共9分，那么乙得分是3+4=7分，符合总分最低．
【解答】解：由于共进行了5轮比赛，且甲共得14分．那么甲的5次得分应该是4次3分，一次2分；
已知乙第一轮得3分，第二轮得1分，那么可确定的甲、乙、丙的得分为：
甲：①2分，②3分，③3分，④3分，⑤3分；
乙：①3分，②1分；
丙：①1分，②2分；
因此乙、丙的后三轮比赛得分待定，由于乙的得分最低，因此丙的得分情况必为：
丙：①1分，②2分，③2分，④2分，⑤2分；即丙的总得分为1+2+2+2+2=9分．
篇5
一次函数单元复习题2
一、单选题
1.已知点A（﹣3，m）与点B（2，n）是直线y=﹣2x+b上的两点，则m与n的大小关系是（
）
A.m＜n
B.m=n
C.m＞n
D.无法确定
2.已知直线y=ax+b(a≠0)经过第一，二，四象限，那么直线y=bx-a一定不经过（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.下列函数是一次函数的是（
）
A.y=2x
B.y=x2-3
C.y=2x-3
D.y=x-1
4.如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（-2,4），B（4,2），直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的值不可能是（
）
A.-5
B.-2
C.3
D.5
5.一次函数与的图象如下图，则下列结论（1）；（2）；（3）当时，（4）的解为中，正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6.已知点A(-3,m)
与点B(2,n)
是直线y=-23x+b
上的两点，则m与n的大小关系是（
）
A.m>n
B.m=n
C.m
D.无法确定
7.下列函数中，正比例函数是（
）
A.y=-8x
B.y=8x
C.y=8x2
D.y=8x-4
8.下列各曲线中表示y是x的函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
9.对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a
b时，min{a，b}=a.例如：min={2，–1}=–1，若关于x的函数y=min{2x–1，–x+3}，则该函数的最大值为（
）
A.23
B.1
C.43
D.53
10.若一次函数y=kx-3与y=-x+b图像的交点在第一象限，则一次函数y=kx+b的图像不经过（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
11.若一个正比例函数的图象经过A（3，6）、B（m，4）两点，则m的值为（
）
A.2
B.8
C.﹣2
D.﹣8
12.如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（﹣2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数（
）
A.当x＜2时，y随x的增大而增大
B.当x＜2时，y随x的增大而减小
C.当x＞2时，y随x的增大而增大
D.当x＞2时，y随x的增大而减小
二、填空题
13.已知点A(-5,a),B(4,b)在直线y=-3x+2上，则a________b.（填“＞”“＜”或“=”号
）
14.下列函数：①y＝x3，②y＝2x﹣1，③y＝1x，④y＝2﹣3x，⑤y＝x2﹣1，其中是一次函数的有______（填序号）.
15.若函数y=－x－4与x轴交于点A，直线上有一点M，若AOM的面积为16，则点M的坐标__________。
16.如图，已知直线y1=x+b与y2=kx-1相交于点P，点P的横坐标为-1，则关于x的不等式x+b,kx-1的解集是________.
17.一次函数y=kx+b与一次函数y=x+3的图象如图所示,那么方程组{y=kx+by=x+3的解是_________.
18.已知一次函数y=kx+b是正比例函数,且经过一次函数y=3x+1和y=-2x-4的交点,则k+b=__________.
19.如图所示，已知点A坐标为(5，0)，直线y＝x＋b（b＞0)与y轴交于点B，连接AB，∠α＝75°，则b的值为________.
20.如图所示，一列快车从甲地开往乙地，一列慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x小时，两车之间的距离为y千米，图中的折线表示y与x之间的函数关系，则快车到达终点时慢车距离终点还有_______km
21.为了增强抗旱能力,保证今年夏粮丰收,某村新建了一个蓄水池,这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管(两个进水管的进水速度相同)一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示,某天0点到6点(至少打开一个水管),该蓄水池的蓄水量如图2所示,并给出以下三个论断:①0点到1点不进水,只出水;②1点到4点不进水,不出水;③4点到6点只进水,不出水.则一定正确的论断是________.
三、解答题
22.小明从家里跑步去体育场,在那里锻炼了一会儿后,又走到文具店去买笔,然后走回家,如图是小明离家的距离与时间的关系图象.根据图象回答下列问题:
（1）.体育场离小明家千米.
（2）.小明在文具店逗留了分钟.
（3）.求小明从文具店到家的速度(千米/时)是多少?
23.一次函数y＝kx+b中（k，b为常数，k≠0），若﹣1≤x≤3，则﹣3≤y≤9，求一次函数的解析式.
24.已知y+1与x+2成正比例，且当x=4时，y=－4.
（1）.求y关于x的函数关系式；
（2）.若点(a，2)和(2，b)均在1.中函数图像上，求a、b的值.
25.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+4
(k≠0)与y轴交于点A.直
y=-2x+1与直线y=kx+4
(k≠0)
交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为-
1.
(1)求点B的坐标及k的值;
(2)直线y=-2x+1与直线y=kx+4与y轴所围成的ABC的面积.
26.如图，直线l1的解析式为y=-x+4，直线l2的解析式为y=x-2，l1和l2的交点为点B.
(1)直接写出点B坐标;
(2)平行于y轴的直线交x轴于点M，交直线11于E，交直线12于F.
①分别求出当x=2和x=4时EF的值.
篇6
章一元二次方程》期末复习提升训练（附答案）
1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（）个人．
A．12
B．11
C．10
D．9
2．方程ax2＋bx－c＝0(a＞0，b＞0，c＞0)的两个根的符号为(
)
A．同号
B．异号
C．两根都为正
D．不能确定
3．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（
）
A．7
B．11
C．12
D．16
4．方程的解是（
）
A．
B．
C．
D．或
5．方程的解是（
）
A．1±
B．2±2
C．1±
D．2±
6．下列解方程的过程，正确的是（
）
A．x2=x．两边同除以x，得x=1
B．x2+4=0．直接开平方法，可得x=±2
C．（x﹣2）（x+1）=3×2．x﹣2=3，x+1=2，x1=5，x2=1
D．（2﹣3x）+（3x﹣2）2=0．整理得3（3x﹣2）（x﹣1）=0，x1=，x2=1
7．方程x2＝4的解是(
)
A．x1＝4，x2＝－4
B．x1＝x2＝2
C．x1＝2，x2＝－2
D．x1＝1，x2＝4
8．用总长10m的铝合金型材做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的外围是矩形，上部是两个全等的正方形，窗框的总面积为3.52（材料的厚度忽略不计）.若设小正方形的边长为xm，下列方程符合题意的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（
）
A．
B．且
C．
D．且
10．方程的一次项系数是（
）
A．
B．
C．
D．
11．方程的解为________．
12．若方程的一个根是，则另一个根是________，________．
13．已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的两根为m，n，则m2+n2=_____．
14．在一次聚会中，每两个参加聚会的人都互相握一次手，一共握了次手，问这次参加聚会的人数是多少？若设这次参加聚会的人数为人，则可列出的方程是________．
15．若x=2是关于x的方程x2﹣x﹣a2+5=0的一个根，则a的值为
．
16．设，是方程的两个实数根，则的值为________.
17．设关于x的方程x2﹣2x﹣m+1=0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|=6，那么实数m的取值是_____．
18．已知关于的一元二次方程有解，求的取值范围________．
19．已知方程，则________．
20．某玩具商店出售一种“小猪佩奇”玩具，平均每天可销售50个，每个盈利36元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，若每个玩具降价1元，平均每天可多售出5个，商店要想平均每天销售这种玩具盈利2400元，则每个玩具应降价多少元？设每个玩具应降价x元，可列方程为_____．
21．如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2
，
设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程．
22．如图，矩形ABCD的长BC=5，宽AB=3．
（1）若矩形的长与宽同时增加2，则矩形的面积增加
．
（2）若矩形的长与宽同时增加x，此时矩形增加的面积为48，求x的值．
23．解下列方程：(1)；(2)
24．已知关于x的方程有两个正整数根是正整数),ΔABC的三边a、b、c满足，，．
求：的值；
(2)ΔABC的面积．
25．解方程
（1）x2﹣3x+2=0
（2）（x+3）（x﹣6）=﹣8
（3）（2x+1）2=3（2x+1）
（4）2x2﹣x﹣15=0．
26．已知关于的方程
若这个方程有两个相等的实数根，求的值；
若这个方程有一个根是，求的值及另外一个根．
27．已知最简二次根式与是同类二次根式，求关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0的解．
28．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．
（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．
（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．
参考答案
1．C
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,依题意得1+x+x(1+x)=121,即(1+x)2=121
解方程得(舍去)
故选C.
2．B
解:ax2+bx-c=0（a＞0、b＞0、c＞0），
=b2+4ac＞0，
方程有两个不等的实数根，
设方程ax2+bx-c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的两个根为x1，x2，
x1x2=-＜0，
两根异号
故选：B．
3．D
解:m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，
m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，
（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．
方程有两个实数根，
=（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，
t≥2，
（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．故选D．
4．D
解:原方程可化为：x2﹣4x=0，x（x﹣4）=0，解得：x=0或4．故选D．
5．C
解:，
，，，
，
.故选C.
6．D
解：A、
移项得：
解得：
故此选项错误；
B、，则
此方程无解，故此选项错误；
C、应先去括号整理得出：
解得：故此选项错误；
D、
整理得
此选项正确．
故选D．
7．C
解:两边直接开平方得：x=±2．故选C．
8．B
解:小正方形的边长为xm，则则可得矩形的宽为2xm，长为m，由题意得，
，故选B.
9．B
解：关于的方程有两个不相等的实数根，
且，
解得：且，
故答案为：B.
10．B解:方程的一次项系数是-2.故选B.
11．或
解:方程变形得，
因式分解得，
解得，.故答案为4或2.
12．1
-3
解:方程x2-k+35=0的一个根为x1=2，设另一根为x2，
x1x2=2x2=2，
解得：x2=1，
则方程另一根为1，
又x1+x2=-p，
2+1=-p，
解得p=-3，故答案为：1，-3．
13．
解:由根与系数的关系得：m+n=，mn=，
m2+n2=（m+n）2-2mn=()2-2×=，
故答案为：．
14．
解:参加聚会的人数为x名，每个人都要握手（x﹣1）次，根据题意得：
x（x﹣1）=55
故答案为：x（x﹣1）=55．
15．
解:x=2是关于x的方程x2-x-a2+5=0的一个根，
将x=2代入方程得：22-2-a2+5=0，即a2=7，
解得：a1=或a2=-．故答案为±．
16．
解：，是方程的两个实数根，
+=，·=；
=.
故答案为.
17．9.
解:由韦达定理可得α+β=2，αβ=1﹣m，
|α|+|β|=6，
（|α|+|β|）2=36，
即（|α|）2+（|β|）2+2|α|·|β|=36，
α2+β2+2|α·β|=36，
（α+β）2﹣2α·β+2|α·β|=36，
4﹣2（1﹣m）+2|1﹣m
|=36，
当1﹣m≥0时，方程无解；
当1﹣m＜0时，方程的解为m=9.
故答案为9.
18．且
解：一元二次方程有解，
k-1≠0，=k-4(k-1)20，
解不等式得：k
，且k≠1，
有意义，
k0，
综上所述：且，
故答案为且
19．或
解：设x2﹣2x=y，则原方程变为y（y+3）=4，整理得：y2+3y﹣4=0，分解因式得：（y+4）（y﹣1）=0，则y+4=0，y﹣1=0，解得：y1=﹣4，y2=1，故x2﹣2x=﹣4或1．
故答案为﹣4或﹣1．
20．（36﹣x）（50+5x）=2400
解：设每个玩具应降价x元．则此时每天出售的数量为：（50+5x）个，每个的盈利为：（36﹣x）元，
根据题意得（36﹣x）（50+5x）=2400，
故答案为（36﹣x）（50+5x）=2400．
21．x2+65x﹣350=0．
解：挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm；
所以(80+2x)(50+2x)=5400，
即4x2+160x+4000+100x=5400，
所以4x2+260x﹣1400=0．
即x2+65x﹣350=0．
22．（1）20（2）x的在值为4
解：（1）（5+2）×（3+2）﹣5×3=20．
故答案为：20．
（2）若矩形的长与宽同时增加x，则此时矩形的长为5+x，宽为3+x，
根据题意得：（5+x）（3+x）﹣5×3=48，
整理，得：x2+8x﹣48=0，
解得：x1=4，x2=﹣12（不合题意，舍去）．
答：x的在值为4．
23．（1）x1=-1，x2=3
（2）x1=-1，x2=-3
解：（1）（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x＝3或x＝﹣1；
（2）移项，得（x+3）2﹣2（x+3）＝0，
（x+3）（x+3﹣2）＝0
（x+3）（x+1）＝0
x1＝﹣3，x2＝﹣1．
24．m=2
1或
解:关于x的方程有两个正整数根是整数．
，，，
，
设，是此方程的两个根，
，
也是正整数，即或2或3或6或9或18，
又m为正整数，
；
把代入两等式，化简得，
当时，
当时，a、b是方程的两根，而，由韦达定理得，，则、．
，时，由于
故为直角三角形，且，．
，时，因，故不能构成三角形，不合题意，舍去．
，时，因，故能构成三角形．
综上，的面积为1或．
25．（1）x1=1，x2=2；（2）x1=5，x2=﹣2；（3）x1=﹣，x2=1；（4）x1=﹣，x2=3．
解：（1）x2﹣3x+2=0
（x﹣1）（x﹣2）=0，
解得：x1=1，x2=2；
（2）（x+3）（x﹣6）=﹣8
x2﹣3x﹣18=﹣8，
则x2﹣3x﹣10=0，
（x﹣5）（x+2）=0，
解得：x1=5，x2=﹣2；
（3）（2x+1）2=3（2x+1）
（2x+1）（2x+1﹣3）=0，
解得：x1=﹣，x2=1；
（4）2x2﹣x﹣15=0
（2x+5）（x﹣3）=0，
解得：x1=﹣，x2=3．
26．(1)或；(2)的值为，另一个根为．
解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得，
即或；
解：设方程另一根为，
由题意得，，解得，
，
．
即的值为，另一个根为．
27．x=1、x=﹣3或x=．
解：最简二次根式与是同类二次根式，
a2﹣a=4a﹣6，
解得：a=2或a=3，
当a=2时，关于x的方程为2x﹣3=0，
解得：x=，
当a=3时，关于x的方程为x2+2x﹣3=0，
解得；x=1，x=﹣3，
关于x的方程(a﹣2)x2+2x﹣3=0的解是x=1、x=﹣3或x=．
28．（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．
解:（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，
根据题意得：x(32﹣2x)=126，
解得：x1=7，x2=9，
32﹣2x=18或32﹣2x=14，
假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．
（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，
根据题意得：y(36﹣2y)=170，
整理得：y2﹣18y+85=0．
=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，
篇7
【关键词】初中数学；数学思想方法；渗透
数学思想实际上就是客观世界中的数量关系、空间形式对人的大脑所产生的一种反映。 数学思想是来自于人脑加工的结果，是数学法则、概念、定理、公式、公理等知识的一种升华。 数学思想体现了数学知识的核心， 也可以称为数学的灵魂。 下面主要结合初中数学教学实践， 探讨怎样在教学过程中对数学思想与方法进行渗透。
一、数形结合的思想
数形结合这种思想对数学问题的解决与探索十分重要，这种思想在数学教学中应用得十分广泛。 数形结合使数学问题的解决更加直观入微。 对数量问题进行解决时与图形相联系， 有利于学生更直观地掌握问题。 对图形问题进行解决时与数量相联系会有效地降低问题解决难度。 八年级阶段的学生好奇心特别强，数学逻辑分析能力有了一定的发展，数学学习过程中学生可以结合自身经历，抽象出数学问题，构建数学模型，进而进行应用、求解以及拓展等内容。 如教学人教版版八年级数学中有关于镶嵌的学习内容，以家庭装修地板为例，先是实践，然后上升到理论，学生在课前准备几种形状的纸片，有正五边形、正三角形、正六边形、正四边形。 课堂上先让学生从形的角度动手拼图，对拼出的图形进行观察；再从数的角度出发让学生进行计算， 对学生进行数学思想渗透，包括分类讨论的思想、方程的思想，从个别到普遍，从形向数过渡， 从对数量的计算向对抽象的方程进行研究分析演变，最终再理论联系实践，进行图案镶嵌设计。
在教学过程中，教师对学生设置了这样的问题：“有哪些正多边形能够进行平面的镶嵌？”学生积极对相关图形采取剪、画、拼等操作，对满足镶嵌所必须具备的两个条件进行验证。 学生通过实验很快对可以进行平面镶嵌的图形得出了结论，即正六边形、正方形、正三角形满足条件。 学生在这个时候可能还会存在这样的疑问：这个结论是绝对的么？ 那些没有被实验到的图形就真的不能进行平面镶嵌吗？教师趁机向学生设置了第二个问题，即除了上述三种正多边形，是不是还存在别的正多边形能够单独实现镶嵌平面的？ 这个问题的设置，主要目的就是将学生的思维能够从形的角度向数的范畴过渡，使学生应用数的思想对问题进行分析，若要实现单独镶嵌平面，需要满足这样的条件，即保证该正多边形的内角是360°的因数， 通过填表格使第一个问题的结论进一步得到了验证。 教师又趁机提出问题：“如何对得到的结论进行更精确的分析？”顺其自然就把问题从数的层面过渡到方程的层面。 学生经过讨论之后确定了这样的方法： 由于正六边形的内角是120°，只有180°，360°是比120°大的360°的因数，但是现实中任何正多边形的内角都不能是180°或360°，因此只有正六边形、正方形、正三角形能够单独镶嵌，这一过程使学生的创新思维得到了有效的锻炼。 再从特殊到一般进行研究，对非正多边形是否可以单独镶嵌展开分析，学生非常容易就得出了结论，即任意四边形与任意三角形都满足单独镶嵌的条件。 从数到形要注意两点，即相邻边长度要相同，同时要铺满360°。 学生在这部分知识的学习过程中， 充分体验到了数形结合对问题解决所产生的积极作用，在数形结合的作用下，问题更加直观、形象、具体，大大降低了解题的难度。
二、方程的思想
方程思想主要是以问题的数量关系为切入点， 利用数学符号语言把问题中的条件转化为数学模型，即方程与不等式，之后对方程（组）或不等式（组）进行求解，使问题最终得到解决。小学阶段通常采用算术法对问题进行解决，很多学生到了中学阶段受算术法影响较深， 难以较快习惯方程的思想。面对这种实际情况，我在教学过程中让学生对同一问题采取不一样的解决方法。 将采取算术法与采取方程法进行比较，看看哪种方法更有效率。 经过实践比较， 学生很容易就认识到用方程思想解决数学问题不仅具有效率而且非常重要。以这样一道数学题为例：“某商场要对一批服装进行处理，决定按原零售价7.5 折出售，经核算依旧可以赢得12.5%的利润，原来的零售价比进价要高出几成？ ”
学生如果按照以前的思维习惯应用算术法解决这道题，则存在很大的困难，但如果用方程思想解决这道题就会容易很多。 可以把原来的进价设为x， 原售价与进价比较要高出a成，则售价为x（1+a）元，降价后：x（1+a）×0.75，根据题意得出0.75（1+a）x =（1+12.5%）x，易得a = 0.5，即原售价要比进价高出五成。 在这一解题过程中方程简洁明了的特性得到了充分的体现。
三、类比转化的思想
很多问题在满足某些条件的情况下， 可以实现转化，数学问题的转化思想还被叫做化归思想。 在对问题进行分析、解决的过程中转化思想十分重要。
数学中的转化包括很多内容，例如高次转化为低次，数与形的相互转化，已知向未知转化，一般和特殊的转化，多元转化为一元， 方程与函数的转化等。 将这种转化思想应用于数学问题的解决过程中，有利于提升问题的解决效率，同时也提升了数学的趣味性。
以无理数概念这部分教学为例，教师首先将一个0 写在黑板上，接着让学生掷骰子，并对每一次掷出的点数进行记录，于是0。315624…不仅提升了学生的学习兴趣，而且使学生对无理数的掌握更加直观具体。
四、结语
中学数学涉及的数学思想方法有很多，教师采取科学的方式方法将这些数学思想方法渗透在实践教学中，对学生做好引导，这样不仅可以增强学生的数学学习兴趣，也会使学生学习数学的自信心大大增强，有利于提升学生的思维能力以及创新能力，进而使学生的数学整体素质获得提高。
参考文献
篇8
关键词：分类讨论；初中数学；策略
数学思想不仅是一种可以应用于学习阶段的学习思路，更是一种人与自然数量关系、空间关系的意识总结，换言之，它是一种思维的结果。它能够帮助人们以系统化的眼光看待这个世界，通过相关知识的掌握和相关问题的证明来总结这个世界的数量关系。而在数学思想的范畴中，化归思想、数形结合思想、分类讨论思想比比皆是，而其中，分类讨论思想在中学阶段的运用范围最为广泛。从涵盖范围上而言，分类讨论思想不仅包括代数模块的解题，还包括了几何模块的思考，在解决一个具体的问题时，避免采取单一方式，而是将问题进行细化，从细节入手，重新思考问题，进而探究新的解题思路。
一、分类讨论思想在初中数学教学中的重要意义
从本质上而言，分类讨论思想其实是一种逻辑思维方向，它致力于将数学题目中的一些小问题各个击破，化整为零，进而实现集零为整。分类讨论思想作为一种重要的数学思想和解题策略运用于数学的各个模块中，它不仅体现了思路多元化的可能，还结识了数学对象的内容规律，有助于学生在面对数学题目时的多角度考量，从而在解题过程中总结和归纳数学知识。同时，在诸多数学问题中，科学合理的分类讨论不仅可以有效推进数学问题的解答，还能有效提高学生的数学解题能力，调动学生的数学学习热情和创新实践意识，使学生在数学学习过程中不断强化信心，在解题过程中获得数学知识的快意，最终认识到数学学科的魅力。在当下教育转型和教育理念更新的时代中，获得知识的强化和能力的升级，与无数师生共同推进教育改革的进程。
二、分类讨论思想在运用过程中须遵循的原则
1.坚持多层次性和互斥性
所谓互斥性原则指的是在分类讨论过程中的所有可能性之间都应该是不存在重复关系的，没有交集的，相互排斥的，各自独立的。而层次性则是指在实际解题过程中，应该遵循解题步骤和环节要求，按部就班，严格遵守知识的有序性和连续性，即使是分类之间也应该存在先后的环节步骤之分，如此逐层分类，可以有效提高分类讨论思想的科学性。
2.同一性和相称性
分类讨论思想的最初阶段应该是确定分类兑现，只要明确了分类对象之后才能进行具体的分类讨论分析，在实际的数学问题中并不需要对全部接替对象都进行分类，而要根据解题需要、步骤需要进行分类。在分类过程中严格把握分类的科学性和步骤性，避免分类层次两两之间出现交集和重复。
三、分类谈论在初中数学教学中应用的相关策略
1.在函数中的应用
在初中数学阶段，分类讨论最多出现在函数的教学当中，无论是一次函数、反比例函数还是二次函数，都需要教师引导学生进行相关问题的思考，在必要情况下进行分类讨论。如，在教学“函数及其图象”时，对“y=kx+b”这一等式的实际应用就涉及“k”是否为零的分类讨论，因此，在具体的题型练习中，教师要时刻提醒学生考虑到这一点。
2.在几何中的应用
在几何题型当中，分类讨论的思想主要用于几何图形的具体规律和性质的应用中，如，在教学“圆”这一章时，已知圆与直线的位置关系存在相切、相交和相离，因此，对于圆的表达式的有效性就存在着一个分类讨论的关键点。
3.在方程中的应用
对于初中数学而言，解方程的题型是家常便饭，而解方程的题型通常存在一些难度。如，在教学“二元一次方程组”时，就可能对方程的系数是否为零进行分类讨论，学生在具体解题过程中要关注到这一点，不可忽略任何一个可以进行分类讨论思考的地方，避免知识点的忽略和混淆。
在初中数学学习中，分类讨论思想是一种常用思路，它既是针对学生对于数学题目中考核知识点的训练，又是促进学生有效解答问题、领会题目内涵的重要思路，在长远影响上有利于学生思维灵活性和发散性的提高和强化。数学思想是一种潜藏于日常知识运用和问题解答过程中的思维工具，无论是较为容易的题目还是步骤困难的题目，只要能够灵活转换思维，运用好分类讨论思想，皆可以良好地解答相关的数学题目。
总而言之，分类讨论是一种数学能力，对于学生综合能力的提升和数学学习效果的优化具有重要意义。
参考文献：
篇9
关键词：中心对称 对称图形 对称点 数形结合
数学是科学的语言、其他学科的基础、解决问题的工具，数学是培养人们养成良好思维习惯的重要载体。中学数学教育就是学生通过数学的学习,掌握数学中最基本、最普遍、最重要的代数和几何的基础知识，特别是通过抽象概括、化归、数形结合、类比、归纳等方法,掌握一些基本数学思想方法.培养学生的逻辑思维能力、运算能力、记忆能力、语言表达能力、空间想象能力，并进一步形成学生运用数学知识去分析和解决问题的能力。
一、一道数学题的思考
在八年级数学下册学生作业本上有这样一道数学题：
请在下面图形中画一条直线，将图形分成面积相等的两部分。
很多同学看到该题，都是跃跃欲试，但仔细查看，反复试画，又是无从下手，找不到正确答案。原因是不知道该题是利用什么数学原理来解决，数学问题的解决必须用数学的思想方法、数学原理来解决。如果把这个图形看成一个整体图形，用一条直线把它分成面积相等的两部分，确实不容易，因为没有办法来证明你所画的两部分的面积是相等的。如果把这个图形进行分解，看成两个或三个矩形，可以对矩形分别进行二等分。现在的问题是：第一、矩形怎样进行等分？第二、每个矩形等分后，它们的连线是否是一条直线。
矩形的二等分是不困难的，因为矩形是一个中心对称图形，其对称中心就是矩形的对角线交点，中心对称图形的一个重要性质就是过对称中心任意画一条直线，都将图形二等分。
矩形的二等分线是过矩形的对角线交点的,但是如果把该题的图形看成三个矩形的话,这三个矩形的对角线交点肯定不在同一条线上，不符合题目要求，因此只有把该图看成两个矩形，分别作这两个矩形的对角线，再连结两个矩形的对角线交点，因为两点确定一条直线，所以这样的问题的解决就容易多了。
解： 延长BC交 EF于G，得到两个矩形， 即矩形 ABGE和矩形CDGF。
作矩形ABEG的对角线交于O1，作矩形CDGF的对角线交于O2。连接O1 、O2并延长交AE、BG、DF分别于M、N、K。
矩形ABEG是中心对称图形，O1是对称中心，所以四边形（梯形）ABMN和四边形（梯形）MNEG面积相等。
同理，矩形CDGF是中心对称图形，O2是对称中心，所以四边形（梯形）CDNK和四边形（梯形）NKGF面积相等。
四边形（梯形）ABMN＋四边形（梯形）CDNK
＝四边形（梯形）MNEG面积相等＋四边形（梯形）NKGF
所以直线MK为所求直线。
二、关于“中心对称图形”教学感悟
学生掌握了中心对称图形的性质，对解该题有很大的帮助，因此教师在中心对称图形的教学中，要紧紧围绕教学目标，突出教学重点，迂回突破教学难点展开教学，采用科学的教学方法，培养学生的数学能力。
(一)教学目标的实现
1．要求学生了解中心对称的概念，能说出中心对称的定义和关于中心对称的两个图形的性质。掌握平行四边形也是中心对称图形。2．会根据中心对称图形的性质定理2的逆定理来判定两个图形关于一点对称。3．会画与已知图形关于一点成中心对称的图形。
实现上述目标，教师必须在“中心对称图形”的概念教学上采取抽象、类比等方法，加深加深学生对概念的理解，并且要弄清楚“中心对称”与“中心对称图形”、“中心对称图形”与“轴对称图形”区别和联系。
（二）突现教学重点
中心对称图形的教学重点也就是中心对称图形的定义及中心对称图形的性质定理。
1、中心对称图形的定义是：如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形。而这个中心点，中心对称点。
2、中心对称图形的性质定理
定理1：关于中心对称的两个图形是全等形。
定理2：关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
逆定理：如果两个图形对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
（三）教学难点的突破
1、中心对称与中心对称图形之间的联系和区别。
教学难点的突破：要从概念角度来说，中心对称和中心对称图形是两个不同而又紧密相联的概念。中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。而中心对称图形是把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心。中心对称图形是因为它们具有中心对称这一性质，中心对称是就两个中心对称图形来说的，没有中心对称就没有中心对称图形。
2、中心对称与轴对称的区别和联系。
篇10
【关键词】鼓励求异；巧变形妙解题；自主探索；一题多解一题多变
Shallow the development talked mathematics teaching a student innovation ability
Li Dahong
【Abstract】The innovation be a soul of race, is that the nation be not prosperous flourishingly Jie motive, is also the character that a modern people should have.Only have frontier spirit, we then can continuously develop in the future development new of world.Development innovation talented person, is new the call of century be the heavy responsibility that the history give a teacher.Therefore, we are in the classroom teaching, have to from various development student of innovation ability, with orientation ages development of demand.So, how the innovation of the development student in mathematics teaching ability.
【Key words】The encouragement beg a difference;The Qiao transform a wonderful solution;The independence investigate;A solution is one more to much change
1 鼓励求异，让学生敢于创新
创新是从认识上打破常规，标新立异，质疑问难，大胆探索。中学数学教学中应注意培养学生的创新求异的思维能力，引导学生打破常规，从不同的方向去思考、去探索，寻求解决问题的方法与途径。
例如：解方程组：
2x+3y=12 ①
x+6y=-3 ②
教师在采用在采取教材上给定用代入法解二元一次方程组的解题方法后，应鼓励学生求异。如果分析他的特点，往往能找到简单的方法，本题中我们由②变形得：2（2x+3y）=-3、③然后把①代入③2×12-3x=-3解题x=9，从而就能解得此方程组。学生能从这个角度去思考，得出这样的解题思路，不论这种解法与教材上讲的方法有什么不同，但这种思维上的他新应当给予鼓励，从而就会逐渐培养学生的创新精神。
2 巧补形，妙解题，有利于创新能力的培养
如图，梯形ABCD中，AB、CD、EF是梯形的中位线，如果， ACBC，垂足为C，∠1＝∠2，那么梯形EFCD的面积与梯形ABFE之比等于。
分析：由∠1＝∠2，ACBC联想到基本图形等腰三角形。
故将BC、AD分别延长交于G如图：
易证，GC＝BC
GDC∽GAB
DCAB=GCGB=12
又EF梯形的中位线
又梯形EFCD与梯形ABFE是等高梯形。
S梯形EFCDS梯形ABFE=DC+EFAB+EF
=DC+12（DC+AB）AB+12（DC+AB）
=DC+12（DC+2DC）2DC+12（DC+2DC）=57
3 引导自主探索，培养学生创新能力
课堂教学中，建立教师和学生之间平等、民主、和谐的互动人际关系，转变教师角色，把课堂的学习时间和空间留给学生，充分发挥其创造性。依据学生的年龄特点和认知水平，设计探索开放性问题，给学生提供自主探索的机会。让学生在观察、实验、猜测、归纳、分析、整理的过程中理解问题，解决问题。注重引导学生自主实践，自主探索与合作交流，逐步使学生成为学习的主人。使学生学习数学不再是被动吸收课本上现成的结论，而是变亲自参与的，充满丰富思维活动的实践和创新过程，促进学生创新能力的发展。
4 一题多解，一题多变，开阔学生视野，激发学生潜能
如：我在苏科版八年级数学第十一章《图形与证明》曾举到这样一道例题：如图证：CEBE。
对于这道题目，我不是简单地就题论题，而是对其证法与学生进行了充分的探究。
（下面是学生探究得到的几种证法）
证法一：如图2，作CEAB，在RtCBF中，由勾股定理易得：CF=22，又E是AD的中点，故DE=AE=2，分别在RtCDE和RtBEA中，由勾股定理易得：CE2=3，BE2=6，在RtCBE中，由勾股定理的逆定理可得：CEB是Rt，即CEBE得证。
证法二：如图3，分别延长CE、BA交于点F，易得CDE≌FEF，则CE=FE，AF=1，又AB=2，所以BF=3，又因为BC=3，所以BC=BF，在BFC中，由三线合一定理得：CEBE。
证法三：如图4，取CB的中点F，连结EF，则EF是梯形CDAB的中位线，易得EF=1.5，则EF=CF=BF，则∠CEF=∠FCE，∠FEB=∠FBE，在CEB中，由三角形内角和定理易得∠CFB=900，即CEBE。
一个数学题目不但在审题破题上下功夫，而且要一题多解，一题多变上花“气力”，此题变换为一变：
一变：在梯形ABCD中，AB//CD，BC=AB+CD，E是AD中点。求证：CEBE。
二变：在梯形ABCD中，AB//CD，CEBE，E是AD中点。求证：BC=AB+CD。
三变：在梯形ABCD中，AB//CD，BC=AB+CD，CEBE。判断E是AD中点吗？为什么？
四变：在梯形ABCD中， AB//CD，BC=AB+CD，E是AD中点。求证：SCEB= S梯形ABCD
这种变换训练可以增强学生的解题应变能力，培养学生思维的广阔性和深刻性，从而培养学生的创新思维品质。
又如，已知多边形的每一个内角等于144度，求这个多边形的内角和？
一变：已知多边形的每一个内角等于144度，求这个多边形的边数？
二变：已知多边形的每一个外角等于36度，求这个多边形的边数和内角和？
三变：已知多边形的每一个内角是外角是4倍，求这个多边形的边数和内角和？
