实数集范文

导语：如何才能写好一篇实数集，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

2、所有有理数组成的集合叫做有理数集。

3、正整数和负整数的总称叫整数。包括0的一切实数，即不存在虚数部分的数均为整数。

4、所有正整数组成的集合叫做正整数。

篇2

ABCD分值: 5分 查看题目解析 >88.已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则的值为（ ）ABCD分值: 5分 查看题目解析 >99. 函数在处取得最小值，则（ ）A是奇函数B是偶函数C是奇函数D是偶函数分值: 5分 查看题目解析 >1010. 在中，，，为斜边的中点，为斜边上一点，且，则的值为（ ）AB16C24D18分值: 5分 查看题目解析 >1111. 设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点）且，则的值为（ ）A2BC3D分值: 5分 查看题目解析 >1212.对于实数定义运算“”： ，设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是（ ）ABCD分值: 5分 查看题目解析 >填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。1313. 设函数，若，则实数的取值范围是 .分值: 5分 查看题目解析 >1414.若抛物线的焦点的坐标为，则实数的值为 .分值: 5分 查看题目解析 >1515.已知向量满足，，与的夹角为，则与的夹角为 .分值: 5分 查看题目解析 >1616.已知函数时，则下列所有正确命题的序号是 .①，等式恒成立；②，使得方程有两个不等实数根；③，若，则一定有；④，使得函数在上有三个零点.分值: 5分 查看题目解析 >简答题（综合题） 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知数列的前项和为，且.17.证明：数列为等比数列；18.求.分值: 10分 查看题目解析 >18中，角所对的边分别为，且.19.求的值；20.若，求面积的值.分值: 12分 查看题目解析 >19命题实数满足（其中），命题实数满足.21.若，且为真，求实数的取值范围；22.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.分值: 12分 查看题目解析 >20在直角坐标系中，已知点，点在第二象限，且是以为直角的等腰直角三角形，点在三边围成的区域内（含边界）.23.若，求；24.设，求的值.分值: 12分 查看题目解析 >21已知函数的一个零点为-2，当时值为0.25.求的值；26.若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.分值: 12分 查看题目解析 >22已知函数的最小值为0，其中，设.27.求的值；28.对任意，恒成立，求实数的取值范围；29.讨论方程在上根的个数.22 第(1)小题正确答案及相关解析正确答案

解析

的定义域为．由，解得x＝1－a＞－a.当x变化时，，的变化情况如下表：

因此，在处取得最小值，故由题意，所以.考查方向

本题主要考查导数在研究函数最值中的应用.解题思路

首先求出函数的定义域，并求出其导函数，然后令，并判断导函数的符号进而得出函数取得极值，即最小值.易错点

无22 第(2)小题正确答案及相关解析正确答案

解析

由知对恒成立即是上的减函数.对恒成立，对恒成立， ……8分考查方向

本题主要考查导数在研究函数单调性中的应用.解题思路

首先将问题转化为对恒成立，然后构造函数，利用导数来研究单调性，进而求出的取值范围易错点

无22 第(3)小题正确答案及相关解析正确答案

时有一个根，时无根.解析

由题意知，由图像知时有一个根，时无根或解： ，，又可求得时.在时 单调递增.时， ，时有一个根，时无根.考查方向

本题主要考查分离参数法.解题思路

篇3

[关键词]数系 实数的完备性 闭区间套定理 循环证明

中图分类号：TP260 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2016）21-0392-02

引言

实数系具有完备性这一重要性质，现代数学尤其是分析正是建立在这一基础之上，它可由实数系六大基本定理刻画。历代数学家用各种方法证明了实数完备性六大定理，除了常见的圆周法循环证明外，还有各种等价性证明。这些证明方法里蕴含着对这六大定理及其运用方法和技巧的理解。这六大定理也可以运用于数学分析中其他定理的证明。其中，通过构造闭区间套运用闭区间套定理能够解决分析中其他问题。通过对这六大定理的了解和应用，能够了解如何用分析的语言来刻画数学定理，领略数学证明的魅力。

1.实数理论的建立

1.1 从有理数到无理数

数是数学中的基础概念。数学不断发展进步，与此同时，数系也不断扩展。人类很早就认识了有理数。在公元前五世纪，毕达哥拉斯学派主张“万物皆数”，当时所有人都坚定不移地认为“一切数均可表示成整数或者整数之比”。然而，毕达哥拉斯的学生希帕索斯一天突然想用勾股定理来测度等腰直角三角形的斜边与直角边之比，却发现这个值无法测度，于是提出了无理数的存在。这一发现震惊了当时整个数学界，人们无法否认无理数的存在，然而之前长期的认识使得人们同样无法接受它，这一问题持续了千年之久。

在希帕索斯提出无理数之后，人类才开始意识到有理数并不完美，然而当时的数学还并不能很好地解释无理数的存在。直到18世纪，基本常数圆周率和自然常数e等被数学家证明是无理数之后，才有越来越多的人拥护无理数。有理数和无理数一起组成了实数集合，也正是在实数理论建立之后，人们才从根本上理解和承认了无理数。

1.2 实数理论的提出

17世纪，牛顿和莱布尼兹先后提出的牛顿―莱布尼兹公式，成为整个微积分论的基础。两人的理论都建立在无穷小量的分析之上，但是他们自身却不能很好地理解和运用无穷小量。因此微积分也受到了很多人的攻击和反对。

这使得当时的数学家们很是尴尬。在应用上，微积分非常成功，然而，在理论上，它自身的逻辑却是混乱的。为了解决这一问题，数学家们将分析基础建立在实数体系之上，分别建立了自己的分析体系。也正是在这个时候，实数理论才被提出并被普遍接受，成为数学分析的基石。

2.实数系六大基础定理

2.1 实数系六大基础定理

19世纪，数学家们分别提出了自己的实数体系，后来，随着分析的发展和严格，数学家们对各种实数体系进行了归纳和总结，建立了实数理论。实数理论可以归结为六大基本定理，包括确界存在定理，单调有界数列收敛定理，闭区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理和有限覆盖定理。

2.1.1确界存在定理（实数系连续性定理）

定义：非空有上界的闭集一定有上确界，非空有下界的闭集一定有下确界。1817年由捷克数学家波尔查诺提出，刻画了实数系的连续性性质，这也是数学史上首次提出实数理论。

2.1.2单调有界收敛定理

定义：单调有界数列必定收敛。这个定理由德国数学家维尔斯特拉斯提出，常用于数列收敛的判断和证明。

2.1.3闭区间套定理

定义：设一列闭区间n=1，2，3….满足1）………….2）。则.

2.1.4致密性定理

定义：有界数列有收敛的子列。从极限点的角度来叙述致密性定理，就是有界数列必有极限点。

2.1.5柯西收敛定理

定义：如果数列{}具有以下特性：对于任意给定的，存在正整数N，使得当n， m>N时，成立，则称数列{}收敛。

2.1.6有限覆盖定理：

定义：设G={/}是的一个开覆盖，则必存在有限子集={，…….}覆盖。

2.2 循环证明法

实数系六大基础定理彼此之间相互等价，可用循环证明法证明其成立。循环证明法，也称圆周法，是证明多个等价性定理的常见方法。通常假设其中一个定理成立，用这个定理来证明下一个定理成立，再以下一个已经证明的定理为已知，依次证明之后的定理成立。然后，用最后一个定理来证明第一次假设的定理成立。用循环证明法证明实数完备性六大基础定理的常见思路是，由确界存在定理证明单调有界收敛定理，由单调有界收敛定理证明闭区间套定理，由闭区间套定理证明致密性定理，由致密性定理证明柯西收敛准则，由柯西收敛准则证明有限覆盖定理，最后，再由有限覆盖定理证明确界存在定理。

3.闭区间套定理的运用

在实数六大基础定理中，闭区间套定理十分典型，也有着较强的应用技巧。闭区间套定理是指满足一定条件的闭区间套最后可以收敛到同一个点，主要可由单调有界收敛定理证明。

从闭区间套定理的定义可以看出，根据闭区间的原有性质，可利用闭区间套定理推导出闭区间上某点或者该点所在邻域的性质，即已知“整体性质”可推导“局部性质”。根据闭区间套定理的这一特质，闭区间套定理可以容易地推广到n维空间。在运用闭区间套定理时，闭区间套的构造和“局部性质”的继承是关键。

3.1运用反证法从“局部性质”证明“整体性质”

例.设f（x）在R上有定义，f（x）逐点单调增加，即

证明：f（x）在R上严格单调递增。

分析：这是一道典型的由“局部性质”推导到“整体性质”的证明题。可以考虑闭区间套定理与反证法结合。假设在某个区间上结论不成立，通过闭区间套的构造将该性质传递到某个邻域上，与已知的“局部性质”相矛盾，从而证明结论成立。

证明：假设f（x）在R上不是单调递增，即。用二分法构造闭区间套。等分，若；若。此时总有，。等分，如上方法可选，满足，……如此继续可以得到一列闭区间{}满足

故假设错误，即f（x）在R上单调递增。

运用闭区间套定理的关键在于闭区间套的构造，常见的构造方法有二分法等。通过二分法构造闭区间套，选择合适的闭区间套继承并传递原有闭区间的性质。最后，该性质可逐渐传递到某个点或者某个邻域上。闭区间套定理经常可与反证法连用，由此来解决分析上的问题或者完成定理的证明。

4、总结

实数理论体系的出现意味着分析从混乱开始走向严格，它是整个数学分析大厦的基石，体现了数学分析的逻辑与和谐之美。实数完备性的六大定理不仅是强大的理论支撑，也广泛应用于其他数学问题的解决和其他定理的证明之中。

参考文献

[1] 数学分析 高等教育出版社.陈纪修.於崇.

[2] 关于实数完备性定理的用法讨论.杨艳.

[3] 论实数系完备性定理的和谐美.梁俊奇.

篇4

【关键词】 自然数集；实数集；无穷；反证法

对角线论证，可以回答的问题像是：给你无限长的时间，你能否把所有的实数数完？而判断能不能数完，本质上是在比较自然数与实数的多少.问题也就等价于探讨自然数集与实数集大小的关系.然而两个集合元素的个数都是无穷的，如何来比较它们之间元素个数的关系呢？看似没有头绪的问题，康托却巧妙地仅仅通过抽象的论证，就证明了这个看似无从入手的问题.

如何比较两个集合的大小？

讨论如何比较两个集合的大小，先从一个简单的例子说起，假设许多观众涌入一个礼堂，我们如何判断观众数和座椅数的关系？

第一种方法，数数法.在观众进来之前，我们可以分别数一数观众与座椅，然后将两个数字加以比较，如果这两个数一样，那么就说明观众与座椅数相等.但是这种方法仅限于集合元素可数的情况下，在无穷集是没有办法实现的.

第二种方法，一一对应法.观众进入礼堂后找座椅坐下，当观众全部进入以后，如果刚好把座椅全部坐完，那么人和座椅的数目就是相等的，在这种状况下，我们不用通过数数就可以判断两个集合之间的关系.而实际上，人们数数也是建立在这种一一对应的基础上的，数数是把人数或座椅数和自然数做的一一对应，一一对应的观念是比自然数的数数更基本的观念.

乔治・康托对这一概念作出了如下定义：

如果能够根据某一法则，使集合M与集合N中的元素建立一一对应的关系，那么，集合M与集合N等价.

为什么（0，1）之间的实数与全体的实数一样多？

将（0，1）线段弯成半圆弧形，圆心为O，半圆下面是一条无限延伸的实数线.如图所示.

因为圆弧是由（0，1）线段弯曲而成，所以上面的点仍然代表线段（0，1）上的点.从O点作一条射线，分别交圆弧于A1点，交实数线于A2点，则A1与A2就是对应的，同理可以看出B1与B2对应，C1与C2对应，而实数线无穷远处的点与圆弧的两个端点对应，这样整个圆弧上的点就和这条无限延伸的实数线上的点一一对应起来，这也就证明了（0，1）集合与实数集的大小是相等的，（0，1）之间的实数与全体的实数一样多.

为什么实数永远数不完？

判断实数能不能数完，实质是比较自然数集与实数集之间的大小关系，因为两个集合都是无穷集，所以用数数的办法是不可能办到的，而只能采用一一对应的办法.一一对应，也就是建立自然数与实数的对应关系，因为前面已经论证（0，1）之间的实数与全体的实数一样多，所以在这里完全可以用（0，1）之间的实数代替全体的实数集.问题转化为比较（0，1）集合与自然数集之间的大小关系.

康托的对角线论证，采用的是大家熟悉的反证法，首先假定区间（0，1）内的实数能够与自然数一一对应，然后，从这一假定出发最终推出逻辑矛盾.对应关系我们假设如下：从（0，1）随机取一个数记为a1与自然数1对应，然后再取一个数记为a2与自然数2对应，依此类推，我们不在乎实数被取到的顺序，而是只在乎最终产生的一一对应.为了讲清楚康托的论证，我们假定存在如下的对应关系：

篇5

概念及其记法

.（2）使学生初步了解“属于”关系的意义

.（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力

的培养；

（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立

思考，学会分析问题和创造地解决问题；

（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概

括能力和逻辑思维能力；

教学重点：集合的基本概念及表示方法

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示

一些简单的集合

授课类型：新授课

课时安排：2课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习导入：

1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；

2．教材中的章头引言；

3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）；

4．“物以类聚”，“人以群分”；

5．教材中例子（P4）。

二、新课讲解：

阅读教材第一部分，问题如下：

（1）有那些概念？是如何定义的？

（2）有那些符号？是如何表示的？

（3）集合中元素的特性是什么？

（一）集合的有关概念（例题见课本）：

1、集合的概念

（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。

（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

2、常用数集及其表示方法

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N

（2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N*或N+

（3）整数集：全体整数的集合。记作Z

（4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q

（5）实数集：全体实数的集合。记作R

注意：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括

数0。

（2）非负整数集内排除0的集。记作N*或N+。Q、Z、R等其它

数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0

的集，表示成Z*

3、元素对于集合的隶属关系

（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作

4、集合中元素的特性

（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，

或者不在，不能模棱两可。

（2）互异性：集合中的元素没有重复。

（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）

注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

2、“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写。

练习题

1、教材P5练习

2、下列各组对象能确定一个集合吗？

（1）所有很大的实数。（不确定）

（2）好心的人。（不确定）

（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）

阅读教材第二部分，问题如下：

1．集合的表示方法有几种？分别是如何定义的？

2．有限集、无限集、空集的概念是什么？试各举一例。

（二）集合的表示方法

1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的

方法。

例如，由方程的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}

注：（1）有些集合亦可如下表示：

从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}

所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}

（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只

有一个元素。

描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条

件写在大括号内表示集合的方法。

格式：{x∈A|P（x）}

含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。

例如，不等式的解集可以表示为：或

所有直角三角形的集合可以表示为：

注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。

如：{直角三角形}；{大于104的实数}

（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}

3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

注：何时用列举法？何时用描述法？

（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。

如：集合

（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。

如：集合；集合{1000以内的质数}

注：集合与集合是同一个集合

吗？

答：不是。

集合是点集，集合=是数集。

（三）有限集与无限集

1、有限集：含有有限个元素的集合。

2、无限集：含有无限个元素的集合。

3、空集：不含任何元素的集合。记作Φ，如：

练习题：

1、P6练习

2、用描述法表示下列集合

①{1，4，7，10，13}

②{-2，-4，-6，-8，-10}

3、用列举法表示下列集合

①{x∈N|x是15的约数}{1，3，5，15}

②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}

注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}

③

④{-1，1}

⑤{（0，8）（2，5），（4，2）}

⑥

{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}

三、小结：本节课学习了以下内容：

1．集合的有关概念

（集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集）

2．集合的表示方法

（列举法、描述法、文氏图共3种）

篇6

关键词：希尔伯特旅馆悖论；无穷集；一一对应；等势；可数集

希尔伯特旅馆内设无限个房间，所有的房间也都客满了。这时又有一位新客人想投宿。旅馆主人就让1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房间，3号房间的客人搬到4号房间，这样继续移下去。这样一来，新客人就被安排住进了已空出来的1号房间。

再设想旅馆又客满了，这时又来了无穷多个人想投宿。旅馆主人怎么办呢？他让1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到4号房间，3号房间的客人搬到6号房间，这样继续下去。现在，所有的单号房间都空出来了，新来的无穷多位客人可以住进去，问题解决了。

这就是大数学家大卫・希尔伯特提出的著名悖论。虽然叫做悖论，但它在逻辑上是完全正确的，意大利数学家伽利略在他的最后一本科学著作《两种新科学》中也提到一个问题：正整数集{1，2，3，4…}和平方数集{1，4，9，16…}哪个大呢？由高中的集合知识我们知道集合的真子集的元素个数一定小于全集元素个数，那么奇数号房间数应小于房间总数。问题出现在哪呢？因为这是一个与无限有关的悖论，有限集合的真子集元素的个数一定小于全集元素个数。而无限集合与有限集合的性质并不相同。无限集合与无限集合又应如何比较呢？无限集是如何定义的呢？高中集合说集合中元素是有限的，集合叫有限集，集合中元素是无限的，那么集合就叫无限集。我们熟悉的实数集、自然数集都是无限集。那么无限集的本质是什么？它是否具备有限集合所具有的性质。

集合是初中升高中所学的第一个数学概念，这门研究集合的数学理论在现代数学中被称为集合论，它是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位。其创始人是德国数学家康托尔，他也以其集合论的成就被列为二十世纪数学发展史上影响最深的学者之一。十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分。一些基本概念如极限、实数、级数等的研究都涉及无穷多个元素组成的集合，这样就导致了集合论的建立，狄利克雷、黎曼等人都研究过这方面的问题，但只有康托尔在这一过程中系统发展了一般点集的理论，并开拓了一个全新的数学研究领域。

1872年康托尔开始提出“集合”的概念。他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究。他把无穷集这一词汇引入数学，“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示。”康托尔开始关注这样的问题：像自然数那样的无穷集合和像实数集那样的无穷集合存在着怎样的关系？他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数。1873年11月29日，康托尔在给戴德金的信中将上述问题以更明显的形式提出来：全体正整数集合N和全体实数集合R能否建立一一对应？这个问题看起来似乎不成问题，因为N是离散的，R是连续的，但康托尔认为这个问题也许并不是那么简单，不能过分相信直觉。

1878年康托尔明确提出了“基数”或“等势”的概念：给定两个集合M和N，如果能根据某种规则在它们之间建立起一一对应关系（即对于其中一集合的每个元素，另一个集合中有且仅有一个元素与之对应），就称这两个集合有相同的“基数”或者说“等势”。由于一个无穷集可以和它的真子集建立一一对应，如正整数和正偶数之间存在一一对应关系，也就是说无穷集合可以和它的真子集等势，即个数相同。这与传统观念“全体大于部分”相矛盾，而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征。在这个定义下，正整数集{1，2，3，4…}和正偶数集{2，4，6，8…}之间具有相同个数，他称其为可数集。可数集（countable set）是能与自然数集N建立一一对应的集合，又称可列集。1895年他证明了有理数集是可数的，他还证明了全体实代数的集合也是可数的，而直觉上实代数似乎要比有理数多得多。他证明了实数集的势大于自然数集。他证明在无穷集之间还存在着无穷多个层次，对无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”，他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数，“阿列夫零”表示自然数集的基数，2的“阿列夫零”次幂表示实数集的基数，最终他建立了关于无限的阿列夫谱系，它可以无限延长下去。这种观念在数学上称为实无限思想。康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击。然而康托尔并未就此止步，他以前所未有的方式，继续正面探讨无穷。他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论。这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界。

中学数学中学习的只是集合论的最基础知识，对于复杂而重要的无穷集合的性质课本上并未涉及。在学习过程中，学生或许觉得一切都很简单，根本无法想象它在诞生之日起所遭到的激烈反对，康托尔成为这一激烈争论的牺牲品，在猛烈的攻击与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷入精神崩溃。然而集合论前后历经二十余年，最终获得了世界的公认。康托尔集合论的建立，不仅是数学发展史上一座高耸的里程碑，甚至还是人类思维发展史上的一座里程碑。

参考文献：

[1]叶飞.再谈对中学生数学“无限”观念的教育.数学教育学报，2007.

篇7

[关键词]:复数教学 数学思想 应用

一、前言

教学过程是一种特殊的认知过程，通过数学教学，学生掌握了数学思想，会有利于完善和发展认知结构，有利于开发智力和发展数学能力，也能促进数学观念的形成，为此，本文将探索“复数教学如何突出数学思想”的问题。

基本数学思想是高度概括得到的，它们的概括性是有层次之分的，中学数学教材中最高层次的基本数学思想是：“公理化思想”、“结构思想”和“集合对应思想”。因此，笔者认为，复数教学突出数学思想可归结为突出“公理化思想”、“结构思想”和“集合对应思想”。

数学思想体系是数学知识结构的基础和核心，于是，在数学教学过程中，理所当然地应该给予数学思想的教学以重要的甚至核心的地位，笔者认为，对复数全章的教学应采取科学的的教学方法，以达到突出数学思想的目的。

二、数学思想在复数教学中的应用

1.通读掌握

通读掌握，是指通读复数全章内容并掌握全章的逻辑演绎过程，经教师启发、引导、总结使学生掌握了该章的大致逻辑演绎过程：由记数的需要建立了自然数，自然数的全体构成自然数集N；为表示相反意义的量满足记数法的要求把N扩充到整数集Z；为解决测量、等分的需要把Z扩充到有理数集Q；为表示“无公度线段”的需要把Q扩充到实数集R；由解方程的需要把R扩充到复数集C，由复数z=a+bi（a,b∈R且a是实部；b是虚部) 用r(cosθ+isinθ)表示复数的三角形式。由复数的代数形式复数的加、减、乘（包括乘方）、除四则运算；由复数的三角形式复数的乘、除、乘方、开方运算解方程。这样，使学生从整体上对全章产生了印象、形象、想象，最后能用语言阐述全章的逻辑演绎过程，不仅为学习复数奠定了基础，而且还重点突出了公理化思想。

2.深刻理解

深刻理解是指深刻理解复数、复数的相等、其轭复数、复平面、向量、复数的模和辐角、二项方程的概念。概念的学习是数学学习的核心，概念的教学过程是“引入、理解、深化、应用”，引入是指引入新概念的必要性及从需要、类化、类比、实例等方法引入新概念；理解是指理解概念的形成过程；深化是指明确概念的内涵和外延，概念在结构中所处的位置及引伸、联系、变化。例如，通过启发、引导使学生掌握复数的引入是解方程的需要，复数的形成是i与实数的线性组合（这里i2=-1,实数与i进行四则运算时保持实数集的加、乘运算律）；复数的内涵是a+bi(a,b∈R)，它的外延是当b=0时就是实数、当b≠0时叫做虚数，复数在数系表中处于最高层次的位置，它有代数、几何（点或向量）、三角三种表现形式；复数成为现代科学技术中普遍使用的一种数学工具，因此，必须重点突出其数学结构思想。

3.分段进行

分段进行，是指将复数的运算分成两段进行教学，第一段是以复数的代数形式来表述复数的概念：先规定了复数的加法和乘法满足实数集的运算律，又规定了复数的加减法是复数加法的逆运算、复数除法是复数乘法的逆运算，从而得出复数的减法和除法运算法则，从复数的四则运算结果得出：任意两个复数的和、差、积、商（除数不为零）仍是复数。第二段是以复数的三角形式来表述复数的概念，由复数（代数形式）的乘法运算法则和运算律及两角和的正、余弦公式推导出复数（三角形式）的乘法运算法则。用数学归纳法可以证明，由两个复数（三角形式）的积推广到N个复数（三角形式）的积，当这N个复数都相等时就得出复数（三角形式）的乘方法则，根据复数除法的定义得出复数（三角形式）的除法的运算法则，根据n次方根的定义和复数（三角形式）相等的条件及正、余弦函数的周期性得出复数（三角形式）的开方运算法则，通过这段教材（法则、例题、习题）的教学，不仅为学习复数抓住了重点，使学生能牢固掌握基础知识和基本技能，并积累解题经验，提高分析问题和解决问题的能力，而且还重点突出了集合间的运算关系思想和数学模型思想。

4.加强联系

加强联系是指通过本章教学，把一个个知识点发展成知识“链”，形成知识网络，研究各知识点之间转化的条件，用联系、运动、变化的观点来研究各知识点之间的转化，展示给学生一个动态的知识“再生产”过程，启发、引导学生去发现复数与代数、平面几何、解析几何、三角函数、反三角函数等的联系。如复数与实数、复数与方程、复数与因式分解、复数的模与实数的绝对值、复数与数学归纳法、复数与向量、点与向量、复数平面与坐标平面、复数的加、减、乘、除、乘方、开方的几何意义、复数与它的模和辐角、复数与两角和的正、余弦及用复数求角、两点间距离、曲线方程、动点轨迹等，这样，不仅使学生思路开阔，善于联想，有助于发展认知结构，提高灵活运用和综合运用数学知识能力，而且还重点突出了变换思想和集合间的关系思想。

5.提炼思想

提炼思想是指启发、引导学生从本章数学知识和数学方法中提炼数学思想。（1）从本章的逻辑演绎过程中可提炼出公理化思想，使学生基本掌握；由“群―环―域”和由“良序―全序―偏序”过程中，可向学生渗透公理化思想。（2）从数的扩充过程中可提炼出整数、有理数、实数、复数的结构思想，使学生掌握，可向学生渗透：自然数集对乘法形成群结构思想，整数集对加、乘法形成环结构思想；自然数集是良序集，整数集、有理数集、实数集、复数集是偏序集，由良序、全序、偏序构成序结构思想；从复数平面中可提炼出二维向量空间思想，使学生掌握。（3）本章中有丰富的数学模型,如N,Z,Q,R,a+bi(a,b∈R),z(a,b), oz,r(cosθ+isinθ),平行四边形法则(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i，d=(x2-x1)2+(y2-y1)2，[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosθ+isinθ)(n∈N)等，从中可提炼出数学模型思想，使学生掌握；从复数的加、减、乘、除、乘方、开方运算中可提炼出集合间运算和复数集、复平面、以原点为始点的二维向量间的一一对应及曲线与方程等可提炼出集合间的等价关系思想；从复数集包含实数集及逻辑演绎等可提炼出序关系思想；从复数与点的互化、复数的运算转化为向量的运算等可提炼数学思想的方法，从而进一步促进学生的数学思想的形成和发展。

三、结束语

通过以上的教学，学生能从整体上较好地掌握全章的内容以及以复数为出发点的有条理地串联全章各个知识点及它们之间的联系，促进学生认知结构的完善和发展，开发学生的智力，提高学生的数学能力，使学生逐渐产生了推理意识、整体意识、抽象意识、化归意识等，这将促进学生数学观念的形成。

参考文献:

[1]陈福平.在排列组合单元进行数学思想方法教学的认识[J].数学通报，2001，(8)：19-21.

篇8

对于两个集合M与N,它们的构成一般不同,我们忽略它们的构成,而考虑一个自然的问题:这两个集合的元素的数量哪个多哪个少?

如果集合M是有限的,那么它的元素的数量可以由某个自然数(即其元素的数目)来表达。在这种情形之下,为了比较集合M与N的数量,只要计算一下M与N的元素的个数,然后比较一下所得到的这两个数目大小就可以了。同样,假若集合M与N中,一个是有限的,另一个是无限的,那么很自然地可以认为无限集合包含着比有限集合更多的元素。然而,如果两个集合M与N都是无限集合,那么用简单地计算元素的个数的方法是什么也得不到的,所以立刻引起这样的问题,即是否所有的无限集合的元素的数量都是一样的,或者是否存在元素数量互相不同的无限集合?假如后者是正确的,那么用什么方法可以比较无限集合的元素数量呢?这就需要“一一对应”的思想。

数学中还有一类非常重要的对应,那就是映射。集合A到集合B的一个映射是A到B的满足下列条件的一个对应:对于A中每一个元素,B中都有唯一一个元素与之对应。特别地,如果A中不同的元素对应于B中的元素也不同,就称为单射,如果B中每一个元素都有A中一个元素对应之,则称满射。同时具备两点的映射称为一一映射。映射是现代数学中一个基本的概念。数学中的映射主要有以下几种:

①数集到数集里的映射。函数就是这类映射。

②数集到点集的映射。实数集到数轴上的点集的映射,复数集到平面点集的映射。它是我们实现代数、几何问题互化的理论根基。

③几何图形集合到数集里的映射。在几何测量中,图形集合中每一个图形与一个非负实数―这图形的测度相对应。

④点集到点集里的映射。几何变换就是这种映射。

数(数组)与形的映射对应导致数形结合思想。数和形(或者说数量关系和空间形式)都是数学的研究对象,并且由数学中不同的分支学科来研究。17世纪以后,由于建立了实数集与直线上点集的一一对应、有序实数对(x,y)的集合与坐标平面上点集的一一对应,从而在二元方程f(x,y)=0的集合与平面曲线集合之间建立了对应关系,实现了数与形的结合,导致解析几何学的产生,数量关系可以转化为图形性质,图形性质可以转化为数量关系,几何问题能用代数方法来研究,代数由于运用几何模型而具有鲜明的直观性。正如戈丁所说:“解析几何是下面的事实的系统应用:在实数与直线上的点之间,在实数与平面上的点之间,以及在实数三元组与空间中的点之间,都存在着自然的对应。于是数的计算可以用几何的方式来解释,而几何问题可以重新表述为代数问题。”例如,常常用线段图使数量关系形象化,其实质就是用线段的长短表示数量的大小,借助线段长度的和、差、倍、分关系表示数量关系。由于蕴涵在题意中的数量关系直观地表示出来了,因而能调动学生的形象思维,以支持他们的逻辑思维活动,这样就有利于分析题意,从而找到解题途径。数形结合对于初步认识分数几乎是不可缺少的,可让学生对分数有直观感受。

形与形的映射对应导致变换思想。变换思想主要有数的变换、式的变换、名数的变换与形的变换等。例如,分数与小数、百分数的互化,假分数与带分数或整数的互化,都是数的变换。式的变换的目的是为了简便计算,它是以运算律、运算性质作为变换的依据。名数的变换反映了用不同的计量单位量同一个量时得到的形式上不同的结果。形的变换有分割、拼合、对称、旋转、平移等。

利用对应思想可以实现转换而有效解决一些看上去不易解决的问题。

例1:有40支乒乓球队参加比赛。比赛采用淘汰制,最后产生冠军队。共需赛多少场?

分析:每赛一场淘汰一支球队,每淘汰一支球队就得赛一场。这样,就可以在安排的赛场集合和被淘汰的球队集合之间建立一一对应。因此,这两个有限集的元素个数相等。为了产生1个冠军队,40支球队需要淘汰40-1=39支球队。因此,也就需要安排39场比赛。

在这里,由于我们发现了两个有限集之间的一一对应关系,使得我们有可能将求一个有限集的元素个数问题转化为求与之对等的另一个有限集元素的个数。

例2:如图1,是一个城区的街道示意图,问从A到B最近路线有几种走法?

分析:所谓的最近走法,就是只按两个方向走:向下(记作|)、向左(记作―)。显然一种走法就对应着“― ― ― ― | | | |”的一个排列,而它们的一个排列也同样对应着一种走法,是一个一一对应。而排列的条件是8个位置选出4个(不区分)位置放“―”,剩下的安排“|”,共C种。

例3:集合S={1,2,…,16}的五元子集S1={a,a,a,a,a}中,任何两元素之差不为1,这样的子集S有多少个?

分析:由于S中的每个元素都在S中且任两个之差不为1,不妨设a,a,a,a,a为上升排列,作子集S′={a,a-1,a-2,a-3,a-4},则S′与S一一对应,而S′是{1,2,…,12}的五元子集,故共有C个。

实际上,此问题等价于:有16名学生,其中女生5名,要排成一排,其中任何两名女生不得相邻,问共有多少种不同的排法?

对应是人的思维对两个集合间联系的把握,对应将各种类别、各种层次的对象联系起来,呈现出它们之间某些相似或相同的属性,使各种数学对象能够相互结合、转化。学生学习数学应该掌握对应思想。

参考文献:

篇9

数学概念的教学一般来说要经历概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的应用(包括概念所涉及的数学思想方法的运用)等阶段,而学生对抽象性东西的理解、掌握却是最困难的,特别是职高生,他们的思维能力较弱,认知水平较低。所以,职高数学概念教学中的一个重要内容,就是要想方设法创设数学概念形成的问题情景,克服概念的抽象性。

根据数学概念产生的方式,结合学生的认知特点,我们可以用下列几种方法来创设数学概念形成的问题情景。

一、从学生的认知水平出发,创设联系实际的问题情景

因为数学概念的产生、发展有各自不同的途径,有的是直接从现实生活的模型中抽象出来的,所以,数学概念教学要根据学生的认知水平,尽可能地模拟客观实际情况,让学生能从熟悉的生活、生产和其它活动的实际问题中,经历由感性到理性、由实践到认识的过程,然后形成准确、完整的概念。因此,教师提供给学生所学概念的直观背景材料,显然应该是学生熟悉的,且是能从中亲身体验思维加工过程的。

如在“角的概念的推广”教学中,“推广”的主要内容是:从原有的0°―360°的角,推广到正、负任意大、小的角。重点的、也是首先的,是解决正、负角问题。这一概念,可看成是原有0°―360°角内部衍生出来的,但更多的成分可看成是实际现实模型中抽象出来的,因为现实生活中普遍存在两种方向相反的角。因此,本概念教学的设计重心是:着力选择生活模型抽象出正、负角。

选择什么模型呢?进入我思考范围的有:A例:时钟的指针形成的角。B例:用扳手对螺帽拧紧、拧松形成的角。C例:医院B超显示屏上扇形面上扫描线,左转与右转运动形成的角,等等。C例符合概念模型,但不为大多数学生所熟悉,非但不能较好地为概念教学服务,而且要增加B超扫描屏幕的解释,影响教学进程,不取为好。A例虽然能演示相反方向的角,但缺乏现实生活意义,不足以说明正、负角引进的必要性,也不可取。B例事例简单、鲜明、突出、有真实感,在拧紧、拧松中,学生易感知两种相反方向角的形成,是一个好例子。

这里,学生的学习基础是正、负数引进中的原有认识:用正、负区分具有相反意义的两个量,即对正、负数产生的认识。学生在感知扳手对螺帽的拧紧、拧松过程中,能较好地认识到现实生活中是有两种不同方向的角,并且原有的记述方法已经不能区分出这两种角。在此基础上,我设计以下问题进行教学:

1.怎样区分这两种不同方向的角呢?

2.你遇到过类似的两种相反意义的量的问题吗?

3.它是如何解决的呢?能用它的方法解决本问题吗?

如此,顺利地进行角的概念的推广教学。

二、回顾已有概念的扩展过程,创设再扩展概念的问题情景

有些数学概念是已有概念的扩展,若能揭示已有概念的扩展规律,便可以水到渠成的引入新概念。

如复数概念的教学,先回顾已经历过的几次数集扩展的事实:引进负数数集扩展到有理数,引进无理数数集扩展到实数。后提出问题:

1.这些数集扩展的原因及其规律如何?(实际问题的需要使得在已有的数集内有些运算无法进行)

数集的扩展过程体现了如下规律:

(1)每次扩展都增加规定了新的元素;

(2)在原数集内成立的运算规律,在新数集内仍然成立;

(3)每次扩展后的新数集里能解决原数集不能解决的问题。

有了上述准备后,教师提出问题:负数不能开平方的事实说明实数集不够完善,因而提出将实数集扩充为一个更为完整的数集的必要性。那么,怎样解决这个问题呢?

2.借鉴上述规律,为了扩充实数集,引入新元素i,并作相关的规定,这样学生对i的引入就不会感到疑惑,对复数集概念的建立也不会觉得突然,使思维很自然地步入知识发生和形成的轨道中,顺利地进行算数概念的扩展,同时为概念的理解和进一步研究奠定基础。

三、引导新、旧概念对比,创设概念间迁移的问题情景

学生感知和理解事物的一般方式是由学生的已有认知结构来决定的。新的概念不是被同化到现有认知结构中,就是改造这个现有认知结构以接纳新概念。所以,在概念教学中,教师要充分调动学生的原有认知结构。许多数学概念间存在着一定的联系,教师若能将新旧概念间的联系点设计成问题情景,引导学生将新的概念转化为已有认知结构中的相关概念,建立起新旧概念间的联系,便可以使学生牢固地掌握新的概念。

四、通过具体实验,创设概念直观化模型的问题情景

篇10

sinx是对边比斜边。sinx函数，即正弦函数，三角函数的一种。正弦函数是三角函数的一种。对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sinx，叫做正弦函数。

函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

（来源：文章屋网 ）